2011年上海春季高考数学试卷

2011年上海市普通高等学校春季招生考试

数 学 试 卷

一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每题填对得4分，否则一律得零分.

1．函数)2lg(-=x y 的定义域为__________________。

2．若集合}4|{},1|{2≤≥=x x B x x A ，则B A ⋂=_____________。

3．在△ABC 中，3

2tan =A ，则A sin =_______________。 4．若行列式021

42=x

，则x =____________。 5．若]2

,2[,31sin ππ-∈=x x ，则x =____________。（结果用反三角函数表示） 6．6)1(x

x +的二项展开式的常数项为_______。 7．两条直线023:1=+-y x l 与02:2=+-y x l 的夹角的大小是________。

8．若n S 为等比数列}{n a 的前n 项的和，0852=+a a ，则3

6S S =_________________。 9．若椭圆C 的焦点和顶点分别是双曲线14

52

2=-y x 的顶点和焦点，则椭圆C 的方程是___。 10．若点O 和点F 分别为椭圆12

22

=+y x 的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则22||||PF OP +的最小值为___________。

11．根据如图所示的程序框图，输出结果i =___________。 12．2011年上海春季高考有8所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么录取方法

的种数为____________。

13．有一中多面体的饰品，其表面右6个正方形和8各正三角形组成（如图），AB 与CD 所成的角的大小是_______________。

14．为求方程015=-x 的虚根，可以把原方程变形为 0)1)(1)(1(22=++++-bx x ax x x ，由此可得原方程的一

个虚根为______________。

二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，选对得 5

分，否则一律得零分. 15．若向量)1,1(),0,2(==b a ，则谢列结论正确的是 [答] ( )

（A ）1=⋅. （B

=（C ）⊥-)(. （D ）//.

16．x x x f 2

14)(-=的图像关于 [答]（ ） （A ）原点对称. （B ）直线x y =对称.

（C ）直线x y -=对称. （D ）y 轴对称.

17．直线)2

1(:+=x k y l 与圆1:22=+y x C 的位置关系是 [答] ( ) （A ）相交或相切. （B ）相交或相离.

（C ）相切. （D ）相交.

18．若321,,a a a 均为单位向量，则)3

6,33(1=a 是)6,3(321=++a a a 的[答] ( ) （A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件.

（C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件.

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，写出必要的步骤.

19. (本题满分12分)

已知向量)c o s 2,1(),cos ,12(sin x x x =-=，设函数

x f ⋅=)(，求函数)(x f 的最小正周期及]2

,0[π∈x 时的最大值. 20. (本题满分14分) 某甜品店制作蛋筒冰淇淋，其上半部分呈半球

A B

D

C

形，下半部分呈圆锥形（如图）。现把半径为10cm 的圆形蛋皮分成5个扇形，用一个扇形蛋皮围成锥形侧面（蛋皮厚度忽略不计），求该蛋筒冰淇淋的表面积和体积（精确到0.01）.

21. (本题满分14分)本题共有2小题，第1小题4分，第2小题10分。

已知抛物线x y F 4:2=

（1）△ABC 的三个顶点在抛物线F 上，记△ABC 的三边AB 、BC 、CA 所在的直线的斜率分别为CA BC AB k k k ,,，若A 的坐标在原点，求CA BC AB k k k +-的值；

（2）请你给出一个以)1,2(P 为顶点、其余各顶点均为抛物线F 上的动点的多边形，写出各多边形各边所在的直线斜率之间的关系式，并说明理由。

说明：第（2）小题将根据结论的一般性程度给与不同的评分。

22. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题6分，第2小题6分，第3小题4分. 定义域为R ，且对任意实数21,x x 都满足不等式2

)()()2(2121x f x f x x f +≤+的所有函数)(x f 组成的集合记为M ，例如，函数M b kx x f ∈+=)(。

（1）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥=0,2

10,)(x x x x x f ，证明：)(x f M ∈； （2）写出一个函数)(x f ，使得M x f ∉)(，并说明理由；

（3）写出一个函数)(x f M ∈，使得数列极限.1)(lim ,1)(lim 2

=--=∞→∞→n n f n n f n n 23. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题8分，第3小题6分. 对于给定首项)0(30>>a a x ，由递推公式)(211N n x a x x n n n ∈⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=+得到数列}{n x ，对于任意的N n ∈，都有3a x n >，用数列}{n x 可以计算3a 的近似值。

（1）取100,50==a x ，计算321,,x x x 的值（精确到0.01）；归纳出1,+n n x x 的大小关系；

（2）当1≥n 时，证明：)(2

111n n n n x x x x -<--+； （3）当]10,5[0∈x 时，用数列}{n x 计算3100的近似值，要求4110-+<-n n x x ，请你估

计n ，并说明理由。