实对称矩阵的相似矩阵

即存在正交矩阵P ,使得P1 AP
1 1
A2008
P P 1
2008
P2008 P1
PEP1
E
例3 设三阶实对称矩阵 A 的特征值为-1,1,1,与特
征值-1对应的特征向量为 p1 (0,1,1)T
,求 A x1
解:设与特征值
1
对应的特征向量为
x2
由于实对称矩阵不同特征值所对应的特征向 x3
1
对 2 3 4,由 A 4E x 0,得基础解系
1
2 0,
0
0
3 1.
1
2与3恰好正交 ,
所以 1, 2 , 3两两正交.
再将 1, 2 , 3单位化,令i
i i
i
1,2,3得
0
1 1 2 ,
1 2
1
2 0,
0
0
3 1 2.
1 2
于是得正交阵
定理3 设 A为 n阶对称矩阵, 是A的特征方程的r 重根,则矩阵 A E 的秩 R( A E) n r,从而 对应特征值 恰有 r 个线性无关的特征向量.
二、实对称矩阵的相似理论
定理4 任意实对称矩阵 A 都与对角矩阵相似。
证明：设 A 的互不相等的特征值为 1,2 ,L ,s
它们的重数依次为 r1, r2 ,L , rs 其中 r1 r2 L rs n
量一定正交,故
p1T
0即 1
x2 x3 0 0
解之得基础解系
p2
0 0
,
p3
11
又 A 的对应于二重特征值 1 的线性无关的特
则 Ax x , A x x, 即A x x
于是有 xT Ax xT Ax xT x xT x,
及 xT Ax xT AT x Ax T x xT x xT x.
两式相减，得
xT x 0.
但因为 x 0,
n
n
所以 xT x xi xi xi 2 0 0,
A E 2 1 2 4 1 2 0
0 2 得 1 4, 2 1, 3 2.
第二步 由A i E x 0,求出A的特征向量
对 1 4,由A 4E x 0,得
2
2x1 2x2 0 x1 3 x2 2 x3
0
解之得基础解系
1
2 2 .
2x2 4x3 0
角元素的对角矩阵。
三. 实对称矩阵对角化的方法
根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为： 1. 求A的特征值;
2. 由A i Ex 0,求出A的特征向量;
3. 将特征向量正交化; 4. 将特征向量单位化.
5.将求出的n个正交规范的特征向量构成矩阵P， 则P为正交矩阵使得P1AP 。
1
对 2 1,由A E x 0,得
2
x1 x1
2 x2 2 x3
0 0
2x2 x3 0
2
解之得基础解系
2
1
.
2
对 3 2,由A 2E x 0,得
2
x1
4 x1 3x2
2x2 2x3
0
0
解之得基础解系 3
1 2.
2x2 2x3 0
2
第三步 将特征向量正交化
i 1
i 1
即 , 由此可得是实数.
定理1的意义
由于对称矩阵A的特征值i为实数, 所以齐次 线性方程组 ( A i E)x 0
是实系数方程组,由 A i E 0知必有实的基础解
系, 从而对应的特征向量可以取实向量.
定理2 设1, 2 是实对称矩阵A的两个特征值, p1, p2是对应的特征向量, 若1 2,则p1与p2正交.
第四节 教学要求
1、掌握实对称矩阵特征值的性质 2、熟练掌握实对称矩阵对角化的方法
一、实对称矩阵特征值的性质
说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵．
定理1 实对称矩阵的特征值为实数.
证明 设复数为对称矩阵A的特征值 ,复向量x为
对应的特征向量,
即
Ax x , x 0.
用 表示的共轭复数, x表示x的共轭复向量,
由于1,2 ,3是属于A的3个不同特征值1, 2 ,
3的 特 征 向 量, 故 它 们 必 两 两 正 交.
第四步 将特征向量单位化
令
i
i i
,
i 1,2,3.
得
2 3
1 2 3 ,
2 3
2 1 3 ,
1 3
2 3
1 3
3 2 3.
2 3
2 2 1
作
P
1, 2 , 3
证明 1 p1 Ap1, 2 p2 Ap2 , 1 2 ,
A对称, A AT ,
1 p1T 1 p1 T Ap1 T p1T AT p1T A,
于是 1 p1T p2 p1T Ap2 p1T 2 p2 2 p1T p2 ,
1 2 p1T p2 0.
1 2 , p1T p2 0. 即p1与p2正交.
P
1
,2
,3
1
0 2
1 0 0 1 2
1 2 0 1 2
则
P 1 AP
2 0
0 4
0 0.
0 0 4
利用对角化可求方阵的幂
例2 设 A为3阶实对称矩阵,A的特征值为
1 2 1, 3 1. 求 A2008 .
解: 由于A是实对称矩阵,故A必可对角化,且
1
A ～ 1 1
1
由定理3，对应于特征值 i (i 1, 2,L , s),
恰有 ri 个线性无关的特征向量， 又由定理2及 r1 r2 L rs n 知，A 有 n个线性无 关的特征向量， 从而 A 与对角矩阵相似。
定理5 设 A 为 n 阶实对称矩阵，则存在正交矩阵P
使 P 1 AP ，其中 是以 A 的 n 个特征值为对
1
3
2 1
1 2
2, 2
4 0 0
则
来自百度文库
P
1
AP
0
1
0 .
0 0 2
4 0 0 (2) A 0 3 1
0 1 3
4 0 A E 0 3
0
1 2 4 2,
0 1 3
得特征值 1 2, 2 3 4.
0
对 1 2,由A 2E x 0,得基础解系
1 1
其中对角矩阵 的主对角元的排列顺序与 P 中列向量的排列顺序相对应.
例1 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 P， 使 P1AP为对角阵.
2 2 0
4 0 0
(1)A 2 1 2, (2) A 0 3 1
0 2 0
0 1 3
解 (1)第一步 求 A 的特征值
2 2 0