离散第2讲 广义并交笛卡尔归纳定义
离散数学知识点整理
离散数学一、逻辑和证明1.1命题逻辑命题：是一个可以判断真假的陈述句。
联接词：∧、∨、→、↔、¬。
记住“p仅当q”意思是“如果p，则q”，即p→。
记住“q除非p”意思是“¬p→q”。
会考察条件语句翻译成汉语。
系统规范说明的一致性是指系统没有可能会导致矛盾的需求，即若pq无论取何值都无法让复合语句为真，则该系统规范说明是不一致的。
1.3命题等价式逻辑等价：在所有可能情况下都有相同的真值的两个复合命题，可以用真值表或者构造新的逻辑等价式。
谓词+量词变成一个更详细的命题，量词要说明论域，否则没有意义，如果有约束条件就直接放在量词后面，如∀x>0P(x)。
当论域中的元素可以一一列举，那么∀xP(x)就等价于P(x1)∧P(x2)...∧P(xn)。
同理，∃xP(x)就等价于P(x1)∨P(x2)...∨P(xn)。
两个语句是逻辑等价的，如果不论他们谓词是什么，也不论他们的论域是什么，他们总有相同的真值，如∀x（P(x)∧Q(x))和(∀xP(x))∧(∀xQ(x))。
量词表达式的否定：¬∀xP(x) ⇔∃x¬P(x)，¬∃xP(x) ⇔∀x¬P(x)。
1.5量词嵌套我们采用循环的思考方法。
量词顺序的不同会影响结果。
语句到嵌套量词语句的翻译，注意论域。
嵌套量词的否定就是连续使用德摩根定律，将否定词移入所有量词里。
1.6推理规则一个论证是有效的，如果它的所有前提为真且蕴含着结论为真。
但有效论证二、集合、函数、序列、与矩阵2.1集合∈说的是元素与集合的关系，⊆说的是集合与集合的关系。
常见数集有N={0,1,2,3...}，Z整数集，Z+正整数集，Q有理数集，R实数集，R+正实数集，C复数集。
A和B相等当仅当∀x(x∈A↔x∈B)；A是B的子集当仅当∀x(x∈A→x∈B)；A是B的真子集当仅当∀x(x∈A→x∈B)∧∃x(x∉A∧x∈B)。
幂集：集合元素的所有可能组合，肯定有∅何它自身。
《离散数学》讲义 - 2
注意：
①括号的约定，与命题逻辑合式公式对括号的约定 类似，但量词后的括号不能省略。 ②谓词合式公式简称为谓词公式。
离散数学
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小结
谓词函数
谓词和客体变元 谓词函数、命题 客体变元取值范围及真值
个体域和全总个体域 量词
存在量词和全称量词（表示及判定）
谓词公式 谓词表达式表示命题或句子（带有量词）
32
小结
谓词公式翻译
量词 谓词函数 联结词
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2－3习题作业
P62 (3)a),c);(5);(7)
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2－4 变元的约束
离散数学
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1、概念
（1）指导变元（作用变元）和作用域（辖域） 给定a为一个谓词公式，其中有一部分公式形 式为(x)P(x)或(x)P(x)。其中、后面跟的x 叫做量词的指导变元或作用变元；P(x)叫做相应量 词的作用域或辖域。 注意：括号有决定性的作用。
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附3：一些人对某种食物过敏。 解：设：M(x)：x是人。 R(y)：y是食物。 Q(x,y)：x对y过敏。 (x)(M(x)(y)(R(y)Q(x,y)))
离散数学
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附4：有且仅有一个偶数是质数。 分析：命题（有一个偶数是质数）（只有一个偶数是质 数） 解：设：P(x)：x是偶数。 Q(x)：x是质数。 E(x,y)：x等于y。 (x)((P(x)Q(x))(y)( (P(y)Q(y))E(x,y))) 或 (x)((P(x)Q(x))(y)( (P(y)E(x,y))Q(y)))
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2、n元谓词的确定－约束变元的概念
根据约束变元的概念，P(x1,x2,…,xn)是n元 谓词，它有n个相互独立的自由变元。若对其中的 k个变元进行约束则成为n－k元谓词。即根据谓词 公式中所包含的自由变元的个数。 谓词公式中如果没有自由变元出现，则该公式 就成为一个命题。
离散数学知识点总结
注意/技巧：析取符号为V，大写字母Vx + y = 3不是命题前件为假时，命题恒为真运用吸收律命题符号化过程中要注意命题间的逻辑关系，认真分析命题联结词所对应的自然语言中的联结词，不能只凭字面翻译。
也就是说，在不改变原意的基础上，按照最简单的方式翻译通用的方法：真值表法VxP（x）蕴含存在xP（x）利用维恩图解题证明两个集合相等：证明这两个集合互为子集常用的证明方法：任取待证集合中的元素<,>构造相应的图论模型第一章命题逻辑命题和联结词命题的条件：表达判断的陈述句、具有确定的真假值。
选择题中的送分题原子命题也叫简单命题，与复合命题相对简单联结词的真值表要记住非（简单）合取（当且仅当P，Q都为真时，命题为真）析取（当且仅当P，Q都为假时，命题为假），P，Q可以同时成立，是可兼的或条件（→）（当且仅当P为真，Q为假时，命题为假）P是前件，Q是后件只要P，就Q等价于P→Q只有P，才Q等价于非P→非Q，也就是Q→PP→Q特殊的表达形式：P仅当Q、Q每当P双条件（↔）（当且仅当P与Q具有相同的真假值时，命题为真，与异或相反）命题公式优先级由高到低：非、合取和析取、条件和双条件括号省略条件：①不改变先后次序的括号可省去②最外层的括号可省去重言式（永真式）、矛盾式（永假式）、偶然式可满足式：包括重言式和偶然式逻辑等价和蕴含（逻辑）等价:这是两个命题公式之间的关系，写作“⇔”，要与作为联结词的↔区分开来。
如果命题公式A为重言式，那么A⇔T常见的命题等价公式：需要背过被标出的，尽量去理解。
关键是掌握公式是将哪个符号转换为了哪个符号，这对于解证明题有很大的帮助！验证两个命题公式是否等价：当命题变元较少时，用真值表法。
当命题变元较多时，用等价变换的方法，如代入规则、替换规则和传递规则定理：设A、B是命题公式，当且仅当A↔B是一个重言式时，有A和B逻辑等价。
蕴含:若A→B是一个重言式，就称作A蕴含B，记作A⇒B常见的蕴含公式的运用方法同上面的命题等价公式证明A⇒B：①肯定前件，推出后件为真②否定后件，推出前件为假当且仅当A⇒B且B⇒A时，A⇔B，也就是说，要证明两个命题公式等价，可以证明它们相互蕴含联结词的完备集新的联结词：条件否定、异或（不可兼或）、或非（析取的否定）、与非（合取的否定）任意命题公式都可由仅含{非，析取}或{非，合取}的命题公式来等价地表示全功能联结词集合极小全功能联结词集合对偶式对偶式：将仅含有联结词非、析取、合取（若不满足，需先做转换）的命题公式A中的析取变合取，合取变析取，T变F，F变T得到的命题公式A*称为A的对偶式范式析取式：否定+析取合取式：否定+合取析取范式：（合取式）析取（合取式）……析取（合取式）。
离散数学数理逻辑部分定义与概念
离散数学数理逻辑部分定义与概念命题逻辑1.（论域）定义：论域是一个数学系统，记为D。
它由三部分组成：(1)一个非空对象集合S，每个对象也称为个体；(2)一个关于D的函数集合F；(3)一个关于D的关系集合R。
2.（逻辑连接词）定义设n > 0，称{0, 1}n到{0, 1}的函数为n元函数，真值函数也称为联结词。
若n = 0，则称为0元函数。
3.（命题合式公式）定义(1)常元0和1是合式公式；(2)命题变元是合式公式；(3)若Q, R是合式公式，则(?Q)、(Q∧R)、(Q∨R)、(Q→R)、(Q?R)、(Q⊕R)是合式公式；(4)只有有限次应用(1)-(3)构成的公式是合式公式。
4.（生成公式）定义：设S是联结词的集合。
由S生成的公式定义如下：⑴若c是S中的0元联结词，则c是由S生成的公式。
⑵原子公式是由S生成的公式。
⑶若n≥1，F是S中的n元联结词，A1, …, A n是由S生成的公式，则F A1…A n是由S生成的公式。
5.（复杂度）公式A的复杂度表示为FC(A)常元复杂度为0。
命题变元复杂度为0，如果P是命题变元，则FC(P) = 0。
如果公式A = ?B，则FC(A) = FC(B)+ 1。
如果公式A = B1∧B2，或A = B1∨B2，或A = B1→B2，或A = B1?B2，或A = B1⊕B2，或则FC(A) = max{FC(B1), FC(B2)} + 1。
6.命题合式公式语义论域：研究对象的集合。
解释：用论域的对象对应变元。
结构：论域和解释称为结构。
语义：符号指称的对象。
公式所指称对象。
合式公式的语义是其对应的逻辑真值。
7.（合式公式语义）设S是联结词的集合是{?，∧，∨，⊕，→，?}。
由S生成的合式公式Q在真值赋值v下的真值指派v(Q)定义如下：⑴v(0) = 0, v(1) = 1。
⑵若Q是命题变元p，则v(Q) = pv。
⑶若Q1, Q2是合式公式若Q = ?Q1，则v(Q) = ?v(Q1)若Q = Q1∧Q2，则v(Q) = v(Q1) ∧v(Q2)若Q = Q1∨ Q2，则v(Q) = v(Q1) ∨v(Q2)若Q = Q1→Q2，则v(Q) = v(Q1) →v(Q2)若Q = Q1?Q2，则v(Q) = v(Q1) ?v(Q2)若Q = Q1⊕Q2，则v(Q) = v(Q1) ⊕v(Q2)8.（真值赋值）由S生成的公式Q在真值赋值v下的真值v(Q)定义如下：⑴若Q是S中的0元联结词c，则v(Q) = c。
离散数学第二章讲解
练习
1. 设A={0,1}, B={1,2}, 则AB ={(0,1),(0,2), (1,1),(1,2)} BB ={(1,1),(1,2), (2,1),(2,2)}
2. #A=2, #B=3 则#(AB)= 6
#(2AB)= 26 由A到B的不同的关系的个数是 26
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普遍关系 因为AB AB，AA AA 所以AB是一个由A到B的关系 AA是A上的一个关系
常将AA记作UA={(ai,aj)|ai,ajA}
恒等关系 定义集合A上的恒等关系IA={(a,a)|aA}
例:设A={a,b,c},则 UA=AA={(a,a),(a,b),(a,c), (b,a),(b,b),(b,c), (c,a),(c,b),(c,c)}是A上的普遍 关系 IA={(a,a),(b,b),(c,c)}是A上的恒等关系
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对于B={2,5,8}
则B×B ={(2,2),(2,5),(2,8),(5,2),(5,5),(5,8) ,(8,2),(8,5),(8,8)} 令6={(2,2),(5,2),(8,2)}
7={(8,5), (5,2),(2,8),(2,5)}
因为6 BB, 7 BB, 所以，6, 7均是集合B上的关系
其中第i个元素ai称为该有序n元组的第i个坐标。
例 {a,b,c,d}={b,a,d,c},但(a,b,c,d)(b,a,d,c) {4,4,3,2}={4,3,2} ,但(4,4,3,2)(4,3,2) 当n=2时，有序二元组(a,b)又称为序偶。
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定义：设(a1,a2,…,an) 和(b1,b2,…,bn)是两个有序n元组， 若a1= b1, a2=b2,…,an=bn,则称这两个有序n元组相等，并 记作(a1,a2,…,an)=(b1,b2,…,bn)。
离散数学知识点总结
离散数学知识点总结离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、物理学等领域都有着广泛的应用。
下面就来对离散数学中的一些重要知识点进行总结。
一、集合论集合是离散数学的基础概念之一。
集合是由一些确定的、互不相同的对象组成的整体。
集合的表示方法有列举法和描述法。
集合之间的关系包括子集、真子集、相等。
集合的运算有并集、交集、补集等。
集合的并集是由属于两个或多个集合中的所有元素组成的集合。
交集则是由同时属于两个或多个集合的元素组成的集合。
补集是在给定的全集 U 中，不属于某个集合 A 的元素组成的集合。
集合的运算遵循一些基本的定律，如交换律、结合律、分配律等。
这些定律在解决集合相关的问题时非常有用。
二、关系关系是集合论中的一个重要概念，它描述了两个集合元素之间的某种联系。
关系可以用集合的形式表示，也可以用关系矩阵和关系图来表示。
关系的性质包括自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性。
不同性质的关系在实际应用中有着不同的意义。
等价关系是一种特殊的关系，它同时具有自反性、对称性和传递性。
等价关系可以将集合中的元素进行分类，形成等价类。
偏序关系也是一种常见的关系，它具有自反性、反对称性和传递性。
偏序关系可以用来描述元素之间的顺序关系，例如在集合的包含关系中。
三、函数函数是一种特殊的关系，它对于定义域中的每个元素，在值域中都有唯一的元素与之对应。
函数的类型包括单射函数、满射函数和双射函数。
函数的复合是将两个函数依次作用，得到一个新的函数。
函数的逆是在函数是双射的情况下存在的，并且逆函数的复合等于原函数。
四、图论图是由顶点和边组成的结构。
图可以分为无向图和有向图。
图的基本概念包括顶点的度、路径、回路、连通性等。
图的存储方式有邻接矩阵和邻接表。
邻接矩阵适合表示稠密图，而邻接表适合表示稀疏图。
图的遍历算法有深度优先搜索和广度优先搜索。
这两种算法在图的处理中经常被用到，例如寻找图中的路径、判断图的连通性等。
离散数学讲义第2章
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2-2 命题函数与量词（续）
例3：Q(x, y)：“x比y重” 当x，y指人或物时，它是一个命题，若x，y为实数时， Q(x, y)不是命题。
b) (x)(P(x)(y) R(x,y)) (x)的作用域是：(P(x)(y)(R(x,y))， (y)的作用域是：R(x,y)。 x,y为约束变元。
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2-4 变元的约束（续）
c) (x)(y)(P(x,y)Q(y,z))(x)P(x,y) (x)(y)的作用域是：(P(x,y)Q(y,z)) x,y为约束变元，z是自由变元。 (x)的作用域是P(x,y) x为约束变元，y是自由变元。
例2：没有不犯错误的人。(F(x), M(x)) 解： (x)(M(x) F(x))
且该命题与“任何人都会犯错误”意义相同： (x)(M(x) F(x))
例3：尽管有些人聪明，但未必一切人都聪明。(P(x),M(x)) 解： (x)(M(x) P(x)) ((x)(M(x) P(x)))
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某些为假。
例5：(P(x, y) P(y, z)) P(x, z)。考虑P(x, y)的解释： （1）“x小于y”，则P(x, y)永真。 （2）“x为y的儿子”，则P(x, y)永假。 （3）“x距离y10米”，则P(x, y)可能为真或假。
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2-2 命题函数与量词（续）
个体变元：函数P(x)中的x。
(z)(P(z)R(z,y)) Q(x,y) 但不可换名为
(y)(P(y)R(y,y)) Q(x,y) 或
离散数学知识点总结
离散数学知识点总结离散数学知识点总结同时要善于总结，在学习《离散数学》的过程，对概念的理解是学习的重中之重。
本文就来分享一篇离散数学知识点总结，希望对大家能有所帮助！一、认知离散数学离散数学是计算机科学基础理论的核心课程之一，是计算机及应用、通信等专业的一门重要的基础课。
它以研究量的结构和相互关系为主要目标，其研究对象一般是有限个或可数个元素，充分体现了计算机科学离散性的特点。
学习离散数学的目的是为学习计算机、通信等专业各后续课程做好必要的知识准备，进一步提高抽象思维和逻辑推理的能力，为计算机的应用提供必要的描述工具和理论基础。
1．定义和定理多离散数学是建立在大量定义、定理之上的逻辑推理学科，因此对概念的理解是学习这门课程的核心。
在学习这些概念的基础上，要特别注意概念之间的联系，而描述这些联系的实体则是大量的定理和性质。
在考试中有一部分内容是考查学生对定义和定理的识记、理解和运用，因此要真正理解离散数学中所给出的每个基本概念的真正的含义。
比如，命题的定义、五个基本联结词、公式的主析取范式和主合取范式、三个推理规则以及反证法；集合的五种运算的定义；关系的定义和关系的四个性质；函数（映射）和几种特殊函数（映射）的定义；图、完全图、简单图、子图、补图的定义；图中简单路、基本路的定义以及两个图同构的定义；树与最小生成树的定义。
掌握和理解这些概念对于学好离散数学是至关重要的。
2. 方法性强在离散数学的学习过程中，一定要注重和掌握离散数学处理问题的方法，在做题时，找到一个合适的解题思路和方法是极为重要的`。
如果知道了一道题用怎样的方法去做或证明，就能很容易地做或证出来。
反之，则事倍功半。
在离散数学中，虽然各种各样的题种类繁多，但每类题的解法均有规律可循。
所以在听课和平时的复习中，要善于总结和归纳具有规律性的内容。
在平时的讲课和复习中，老师会总结各类解题思路和方法。
作为学生，首先应该熟悉并且会用这些方法，同时，还要勤于思考，对于一道题，进可能地多探讨几种解法。
离散数学知识点(可编辑修改word版)
1.内容及范围主要来自 ppt，标签对应书本2.可能有错，仅供参考离散数学知识点说明：定义：红色表示。
定理性质：橙色表示。
公式：蓝色表示。
算法: 绿色表示页码：灰色表示数理逻辑：1.命题公式：命题，联结词(⌝，∧，∨，→，↔)，合式公式，子公式2.公式的真值：赋值，求值函数，真值表，等值式，重言式，矛盾式3.范式：析取范式，极小项，主析取范式，合取范式，极大项，主合取范式4.联结词的完备集：真值函数，异或，条件否定，与非，或非，联结词完备集5.推理理论：重言蕴含式，有效结论，P 规则，T 规则， CP 规则，推理6.谓词与量词:谓词，个体词，论域，全称量词，存在量词7.项与公式:项，原子公式，合式公式，自由变元，约束变元，辖域，换名，代入8.公式语义:解释，赋值，有效的，可满足的，不可满足的9.前束范式:前束范式10.推理理论:逻辑蕴含式，有效结论，∀-规则（US），∀+规则（UG），∃-规则(ES)，∃+规则(EG), 推理集合论：1.集合: 集合, 外延性原理, ∈, ⊆, ⊂, 空集, 全集, 幂集, 文氏图, 交, 并, 差, 补, 对称差2.关系: 序偶, 笛卡尔积, 关系, domR, ranR, 关系图, 空关系, 全域关系, 恒等关系3.关系性质与闭包:自反的, 反自反的, 对称的, 反对称的, 传递的,自反闭包 r(R),对称闭包 s(R), 传递闭包 t(R)4.等价关系: 等价关系, 等价类, 商集, 划分5.偏序关系:偏序, 哈斯图, 全序(线序), 极大元/极小元, 最大元/最小元, 上界/下界6.函数: 函数, 常函数, 恒等函数, 满射,入射,双射，反函数, 复合函数7.集合基数:基数, 等势, 有限集/无限集, 可数集, 不可数集代数结构：1.运算及其性质：运算，封闭的,可交换的,可结合的,可分配的,吸收律, 幂等的，幺元,零元,逆元2.代数系统：代数系统，子代数，积代数，同态，同构。
离散第二章
B B {
4.
}
# A 2 ,# B 3
___ 6
6
A B
则 # ( A B)
# (2
由
2 ) _____
6
2 A到 B 不同的关系的个数是 ____
13
5. 设
则
#A4
_______ _______ 2
16 16
# ( A A)
# (2
A A
16
)
A上不同关系的个数是 ________ 2
{(0,0), (0,2), (0,4), (1,0), (1,2), (2,0)}
试构造出
的关系矩阵
0 2 4
0 1 1 1 M 1 1 1 0 2 1 0 0
21
2. 设 A {1,2,3,4,5,6} ，A上的关系
1 {(i, j ) | i整除j }
二、关系
1. 关系的定义
定义2-4
笛卡尔积
A B 的任意一个子集 称
为是由A到B的一个二元关系，当 A B时，称
是A上的二元关系。
6
例3
设A={a,b}，B={2,5,8}
A B {( a,2), (a,5), (a,8), (b,2), (b,5), (b,8)} 令 1 {( a,2), (a,8), (b,2)} 2 {( a,5), (b,2), (b,5)}
即 x A 且（ y B 或 y C ）,
即 x A 且 y B C，因此 ( x, y) A ( B C ) ,
故 ( A B) ( A C ) A ( B C ) 。
由上证得 A (B C ) ( A B ) ( A C ) 5
离散数学知识点总结
总结离散数学知识点第二章命题逻辑1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假；2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积；3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反；4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假；5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写；6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项；7.n个变元共有n2个极小项或极大项，这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取；8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式；9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假)10.命题逻辑的推理演算方法：P规则，T规则①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法；第三章谓词逻辑1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质；多元谓词：谓词有n个个体，多元谓词描述个体之间的关系；2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^;3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词；第四章集合1.N，表示自然数集，1,2,3……，不包括0；2.基：集合A中不同元素的个数，|A|；3.幂集：给定集合A，以集合A的所有子集为元素组成的集合，P(A)；4.若集合A有n个元素，幂集P(A)有n2个元素，|P(A)|=||2A=n2；5.集合的分划：(等价关系)①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合；②这几个子集相交为空，相并为全(A)；6.集合的分划与覆盖的比较：分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中；覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次；第五章关系1.若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则笛卡尔A×B的基数为2种不同的关系；mn，A到B上可以定义mn2.若集合A有n个元素，则|A×A|=2n，A上有22n个不同的关系；3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性；空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性；全封闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性；4.前域(domR)：所有元素x组成的集合；后域(ranR)：所有元素y组成的集合；5.自反闭包：r(R)=RUI;x对称闭包：s(R)=RU1-R;传递闭包：t(R)=RU2R U3R U……6.等价关系：集合A上的二元关系R满足自反性，对称性和传递性，则R称为等价关系；7.偏序关系：集合A上的关系R满足自反性，反对称性和传递性，则称R是A上的一个偏序关系；8.covA={<x,y>|x,y属于A，y盖住x}；9.极小元：集合A中没有比它更小的元素(若存在可能不唯一)；极大元：集合A中没有比它更大的元素(若存在可能不唯一)；最小元：比集合A中任何其他元素都小(若存在就一定唯一)；最大元：比集合A中任何其他元素都大(若存在就一定唯一)；10.前提：B是A的子集上界：A中的某个元素比B中任意元素都大，称这个元素是B的上界(若存在，可能不唯一)；下界：A中的某个元素比B中任意元素都小，称这个元素是B的下界(若存在，可能不唯一)；上确界：最小的上界(若存在就一定唯一)；下确界：最大的下界(若存在就一定唯一)；第六章函数2种不同的关系，有m n种不同的函1.若|X|=m,|Y|=n,则从X到Y有mn数；2.在一个有n个元素的集合上，可以有22n种不同的关系，有n n种不同的函数，有n!种不同的双射；3.若|X|=m,|Y|=n，且m<=n，则从X到Y有A m n种不同的单射；4.单射：f:X-Y，对任意x,2x属于X,且1x≠2x，若f(1x)≠f(2x)；1满射：f:X-Y，对值域中任意一个元素y在前域中都有一个或多个元素对应；双射：f:X-Y，若f既是单射又是满射，则f是双射；5.复合函数：fºg=g(f(x));6.设函数f:A-B，g:B-C，那么①如果f,g都是单射，则fºg也是单射；②如果f,g都是满射，则fºg也是满射；③如果f,g都是双射，则fºg也是双射；④如果fºg是双射，则f是单射，g是满射；第七章代数系统1.二元运算：集合A上的二元运算就是2A到A的映射；2.集合A上可定义的二元运算个数就是从A×A到A上的映射的个数，即从从A×A到A上函数的个数，若|A|=2,则集合A上的二元运算的个数为2*22=42=16种；3.判断二元运算的性质方法：①封闭性：运算表内只有所给元素；②交换律：主对角线两边元素对称相等；③幂等律：主对角线上每个元素与所在行列表头元素相同；④有幺元：元素所对应的行和列的元素依次与运算表的行和列相同；⑤有零元：元素所对应的行和列的元素都与该元素相同；4.同态映射：<A,*>,<B,^>,满足f(a*b)=f(a)^f(b),则f为由<A,*>到<B,^>的同态映射；若f是双射，则称为同构；第八章群1.广群的性质：封闭性；半群的性质：封闭性，结合律；含幺半群(独异点)：封闭性，结合律，有幺元；群的性质：封闭性，结合律，有幺元，有逆元；2.群没有零元；3.阿贝尔群(交换群)：封闭性，结合律，有幺元，有逆元，交换律；4.循环群中幺元不能是生成元；5.任何一个循环群必定是阿贝尔群；第十章格与布尔代数1.格：偏序集合A中任意两个元素都有上、下确界；2.格的基本性质：1) 自反性a≤a 对偶: a≥a2) 反对称性a≤b ^ b≥a => a=b对偶:a≥b ^ b≤a => a=b3) 传递性a≤b ^ b≤c => a≤c对偶:a≥b ^ b≥c => a≥c4) 最大下界描述之一a^b≤a 对偶 avb≥aA^b≤b 对偶 avb≥b5）最大下界描述之二c≤a,c≤b => c≤a^b对偶c≥a,c≥b =>c≥avb6) 结合律a^(b^c)=(a^b)^c对偶 av(bvc)=(avb)vc7)等幂律a^a=a 对偶 ava=a8) 吸收律a^(avb)=a 对偶 av(a^b)=a9) a≤b <=> a^b=a avb=b10) a≤c,b≤d => a^b≤c^d avb≤cvd11) 保序性b≤c => a^b≤a^c avb≤avc12）分配不等式av(b^c)≤(avb)^(avc)对偶 a^(bvc)≥(a^b)v(a^c)13）模不等式a≤c <=> av(b^c)≤(avb)^c3.分配格：满足a^(bvc)=(a^b)v(a^c)和av(b^c)=(avb)^(avc)；4.分配格的充要条件：该格没有任何子格与钻石格或五环格同构；5.链格一定是分配格，分配格必定是模格；6.全上界：集合A中的某个元素a大于等于该集合中的任何元素，则称a为格<A,<=>的全上界，记为1；(若存在则唯一)全下界：集合A中的某个元素b小于等于该集合中的任何元素，则称b为格<A,<=>的全下界，记为0；(若存在则唯一)7.有界格：有全上界和全下界的格称为有界格，即有0和1的格；8.补元：在有界格内，如果a^b=0,avb=1，则a和b互为补元；9.有补格：在有界格内，每个元素都至少有一个补元；10.有补分配格(布尔格)：既是有补格，又是分配格；11.布尔代数：一个有补分配格称为布尔代数；第十一章图论1.邻接：两点之间有边连接，则点与点邻接；2.关联：两点之间有边连接，则这两点与边关联；3.平凡图：只有一个孤立点构成的图；4.简单图：不含平行边和环的图；5.无向完全图：n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单无向图；有向完全图:n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单有向图；6.无向完全图有n(n-1)/2条边，有向完全图有n(n-1)条边；7.r-正则图：每个节点度数均为r的图；8.握手定理：节点度数的总和等于边的两倍；9.任何图中，度数为奇数的节点个数必定是偶数个；10.任何有向图中，所有节点入度之和等于所有节点的出度之和；11.每个节点的度数至少为2的图必定包含一条回路；12.可达：对于图中的两个节点v,j v，若存在连接i v到j v的路，则称i vi与v相互可达，也称i v与j v是连通的；在有向图中，若存在i v到j v的j路，则称v到j v可达；i13.强连通：有向图章任意两节点相互可达；单向连通：图中两节点至少有一个方向可达；弱连通：无向图的连通；(弱连通必定是单向连通)14.点割集：删去图中的某些点后所得的子图不连通了，如果删去其他几个点后子图之间仍是连通的，则这些点组成的集合称为点割集；割点：如果一个点构成点割集，即删去图中的一个点后所得子图是不连通的，则该点称为割点；15.关联矩阵：M(G)，m是i v与j e关联的次数，节点为行，边为列；ij无向图：点与边无关系关联数为0，有关系为1，有环为2；有向图：点与边无关系关联数为0，有关系起点为1终点为-1，关联矩阵的特点：无向图：①行：每个节点关联的边，即节点的度；②列：每条边关联的节点；有向图：③所有的入度(1)=所有的出度(0);16.邻接矩阵：A(G)，a是i v邻接到j v的边的数目，点为行，点为列；ij17.可达矩阵：P(G)，至少存在一条回路的矩阵，点为行，点为列； P(G)=A(G)+2A(G)+3A(G)+4A(G)可达矩阵的特点：表明图中任意两节点之间是否至少存在一条路，以及在任何节点上是否存在回路；A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为1的通路条数；2A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为2的通路条数；3A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为3的通路条数；4A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为4的通路条数；P(G)中主对角线所有数的和：表示图中的回路条数；18.布尔矩阵：B(G)，v到j v有路为1，无路则为0，点为行，点为列；i19.代价矩阵：邻接矩阵元素为1的用权值表示，为0的用无穷大表示，节点自身到自身的权值为0；20.生成树：只访问每个节点一次，经过的节点和边构成的子图；21.构造生成树的两种方法：深度优先；广度优先；深度优先：①选定起始点v；②选择一个与v邻接且未被访问过的节点1v；③从v出发按邻接方向继续访问，当遇到一个节点所1有邻接点均已被访问时，回到该节点的前一个点，再寻求未被访问过的邻接点，直到所有节点都被访问过一次；广度优先：①选定起始点v；②访问与v邻接的所有节点1v,2v,……,k v,这些作为第一层节点；③在第一层节点中选定一个节点v为起点；1④重复②③，直到所有节点都被访问过一次；22.最小生成树：具有最小权值(T)的生成树；23.构造最小生成树的三种方法：克鲁斯卡尔方法；管梅谷算法；普利姆算法；（1）克鲁斯卡尔方法①将所有权值按从小到大排列；②先画权值最小的边，然后去掉其边值；重新按小到大排序；③再画权值最小的边，若最小的边有几条相同的，选择时要满足不能出现回路，然后去掉其边值；重新按小到大排序；④重复③，直到所有节点都被访问过一次；（2）管梅谷算法(破圈法)①在图中取一回路，去掉回路中最大权值的边得一子图；②在子图中再取一回路，去掉回路中最大权值的边再得一子图；③重复②，直到所有节点都被访问过一次；（3）普利姆算法①在图中任取一点为起点v，连接边值最小的邻接点2v；1②以邻接点v为起点，找到2v邻接的最小边值，如果最小边值2比v邻接的所有边值都小(除已连接的边值)，直接连接，否则退回1v，1连接v现在的最小边值(除已连接的边值)；1③重复操作，直到所有节点都被访问过一次；24.关键路径例2 求PERT图中各顶点的最早完成时间, 最晚完成时间, 缓冲时间及关键路径.解：最早完成时间TE(v1)=0TE(v2)=max{0+1}=1TE(v3)=max{0+2,1+0}=2TE(v4)=max{0+3,2+2}=4TE(v5)=max{1+3,4+4}=8TE(v6)=max{2+4,8+1}=9TE(v7)=max{1+4,2+4}=6TE(v8)=max{9+1,6+6}=12 最晚完成时间TL(v8)=12TL(v7)=min{12-6}=6TL(v6)=min{12-1}=11TL(v5)=min{11-1}=10TL(v4)=min{10-4}=6TL(v3)=min{6-2,11-4,6-4}=2 TL(v2)=min{2-0,10-3,6-4}=2 TL(v1)=min{2-1,2-2,6-3}=0 缓冲时间TS(v1)=0-0=0TS(v2)=2-1=1TS(v3)=2-2=0TS(v4)=6-4=2TS(v5=10-8=2TS(v6)=11-9=2TS(v7)=6-6=0TS(v8)=12-12=0关键路径: v1-v3-v7-v825.欧拉路：经过图中每条边一次且仅一次的通路；欧拉回路：经过图中每条边一次且仅一次的回路；欧拉图：具有欧拉回路的图；单向欧拉路：经过有向图中每条边一次且仅一次的单向路；欧拉单向回路：经过有向图中每条边一次且仅一次的单向回路；26.（1）无向图中存在欧拉路的充要条件：①连通图；②有0个或2个奇数度节点；（2）无向图中存在欧拉回路的充要条件：①连通图；②所有节点度数均为偶数；（3）连通有向图含有单向欧拉路的充要条件：①除两个节点外，每个节点入度=出度；②这两个节点中，一个节点的入度比出度多1，另一个节点的入；度比出度少1；（4）连通有向图含有单向欧拉回路的充要条件：图中每个节点的出度=入度；27.哈密顿路：经过图中每个节点一次且仅一次的通路；哈密顿回路：经过图中每个节点一次且仅一次的回路；哈密顿图：具有哈密顿回路的图；28.判定哈密顿图（没有充要条件）必要条件：任意去掉图中n个节点及关联的边后，得到的分图数目小于等于n；充分条件：图中每一对节点的度数之和都大于等于图中的总节点数；29.哈密顿图的应用：安排圆桌会议；方法：将每一个人看做一个节点，将每个人与和他能交流的人连接，找到一条经过每个节点一次且仅一次的回路(哈密顿图)，即可；30.平面图：将图形的交叉边进行改造后，不会出现边的交叉，则是平面图；31.面次：面的边界回路长度称为该面的次；32.一个有限平面图，面的次数之和等于其边数的两倍；33.欧拉定理：假设一个连通平面图有v个节点，e条边，r个面，则 v-e+r=2；34.判断是平面图的必要条件：(若不满足，就一定不是平面图)设图G是v个节点，e条边的简单连通平面图，若v>=3，则e<=3v-6；35.同胚：对于两个图G1,G2，如果它们是同构的，或者通过反复插入和除去2度节点可以变成同构的图，则称G1，G2是同胚的；36.判断G是平面图的充要条件：图G不含同胚于K3.3或K5的子图；37.二部图：①无向图的节点集合可以划分为两个子集V1，V2；②图中每条边的一个端点在V1，另一个则在V2中；完全二部图：二部图中V1的每个节点都与V2的每个节点邻接；判定无向图G为二部图的充要条件：图中每条回路经过边的条数均为偶数；38.树：具有n个顶点n-1条边的无回路连通无向图；39.节点的层数：从树根到该节点经过的边的条数；40.树高：层数最大的顶点的层数；41.二叉树：①二叉树额基本结构状态有5种；②二叉树内节点的度数只考虑出度，不考虑入度；③二叉树内树叶的节点度数为0，而树内树叶节点度数为1；④二叉树内节点的度数=边的总数(只算出度)；握手定理“节点数=边的两倍”是在同时计算入度和出度的时成立；⑤二叉树内节点的总数=边的总数+1；⑥位于二叉树第k层上的节点，最多有12 k个(k>=1)；⑦深度为k的二叉树的节点总数最多为k2-1个，最少k个(k>=1)；⑧如果有n个叶子，2n个2度节点，则0n=2n+1；42.二叉树的节点遍历方法：先根顺序（DLR）；中根顺序（LDR）；后根顺序（LRD）；43.哈夫曼树：用哈夫曼算法构造的最优二叉树；44.最优二叉树的构造方法：①将给定的权值按从小到大排序；②取两个最小值分支点的左右子树(左小右大)，去掉已选的这两个权值，并将这两个最小值加起来作为下一轮排序的权值；③重复②，直达所有权值构造完毕；45.哈夫曼编码：在最优二叉树上，按照左0右1的规则，用0和1代替所有边的权值；每个节点的编码：从根到该节点经过的0和1组成的一排编码；欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求。
笛卡尔哲学的四幅逻辑图—对培训与学习都很有用
笛卡尔哲学的四幅逻辑图—对培训与学习都很有用此图南哥拍摄于广东.佛山的春天这个世界上本来不缺乏良知，而缺乏对良知真假的辨别-笛卡尔笛卡尔是近代法国哲学家、数学家、物理家，是一位集大成者，其智慧在今天知识泛滥、鸡汤流行及浮躁的“知识至暗时代”，依然可以为智慧点燃一盏明灯，让人类在追求真理的过程中，可获得更多的良知与智慧。
笛卡尔之所以能够成为几个领域的大咖，或许是笛卡尔在研究任何命题的时候，都遵循以下的四条法则，这形成了笛卡尔认知世界的第一性原理。
在今天，当我们试图构建解决问题，提升培训的有效性及搭建知识图谱、萃取岗位知识的时候，都会用到笛卡尔的这四条法则，这也是所有知识型工作者思考问题的原点，今天南哥用相对通俗的文字、配图及例子，为大家解析一下笛卡尔的这四条重要法则（有偏颇的地方欢迎大家在留言处指正）。
1笛卡尔认为：凡是我没有明确地认识到的东西，我决不把他当成真的接受，要小心避免轻率的判断和先入为主的判断，除非这个东西清晰地呈现在我的心理，使我根本无法怀疑这个东西，我不去相信太多我不确定的信息、知识及逻辑，这只能干扰我的判断。
而实际上，在智能手机普及和信息泛滥的时代，很多人违背了这条原则，在各大互联网平台上发布了大量的“不确定”的东西，而我们很多人就真的信了，最近的典型例子莫过于咪蒙的《寒门状元》事件，我们中的多少人就把这个“虚构的故事“给信了呢？（借由笛卡尔的思想，请你特别关注我把虚构的故事加了引号，这是一个不确定的信息，是否虚构都不可信）。
对于知识传播工作者，不管是培训师，还是知识付费工作者，这是你必须遵循的首要价值观，请尽你所能，提供【真】的东西，而非为了流量及金钱，制造一些时髦的、打动人心的、激发焦虑的概念及所谓的趋势，在这里我深刻的能感受到张小龙说的“善良比聪明更重要”，特别是对于知识传播工作者，这点尤为重要，如果是“非真的”知识传播，那么一定是误人子弟，毁人无限。
2笛卡尔认为：解决问题的最基本的逻辑，就是把所谓困难的、复杂的难题，按照可能性和必要性的程度，分成若干部分，以便于逐一解决。
离散第2讲 广义并交、笛卡尔、归纳定义
如何在集合的基础上定义出次序的概念？ 可以是单个客体，
集合，甚至序偶
定义1.9：设a, b为任意对象，称集合{{a}, {a, b}} 为二元有序组，或序偶，简记作<a,b>。其中a称 为序偶<a,b>的第一分量，b称为序偶的<a,b>第二 分量。 定理1.17：对任意序偶<a,b>, <c, d>， <a,b>=<c, d>当且仅当a=c且b=d。
例如
= {0，1} +={0，1，00，01，10，11，000，001，010，01 1，……}
第2讲 集合的运算与归纳定义
归纳定义*
*= +∪{}
*可归纳定义如下：
1、基础条款：* 2、归纳条款：如果x*且 ，则 x* 3、终极条款：只有有限次应用条款1、2所得之元素才 是*之元素
∪{A, B} = AB
∩{A, B} = AB
∪{A, B, C} = ABC ∩{A, B, C} = ABC ∪{} = ∩{} =
∪{, {}} = {}
∩{, {}} = ∪{, A} =A
∩{, A} =
第2讲 集合的运算与归纳定义
序偶(ordered pairs)
1.1
1.2 1.3
集合的概念与表示
集合运算
集合的归纳定义
第2讲 集合的运算与归纳定义
集合的表示方法
列举法 描述法 试定义算术表达式的集合S
S = {123, 55, 1+2, －100， (99×3)／10, …} ? S = {x | x是一算术表达式} ? (1) 如果x是整数，则xS（是算术表达式） (2) 如果x, y S ，则(+ x) 、(– x) 、(x + y) 、(x – y) 、(x y) 、(x／y) 均S （均是算术表达式） (3)只有有限次应用条款1、2所得的符号序列S
离散数学定义定理
离散数学定义定理1.3.1命题演算的合式公式规定为：（1）单个命题变元本身是一个合式公式。
（2）如果A是合式公式，那么┐A是合式公式。
（3）如果A和B是合式公式，那么（A∨B）、（A∧B）、（A→B）、（A B）、都是合式公式。
（4）当且仅当有限次地应用（1）（2）（3）所得到的包含命题变元，连接词和圆括号的符号串是合式公式。
1.3.2 设A i是公式A的一部分，且Ai是一个合式公式，称A i是A的子公式。
1.3.3 设P为一命题公式，P1,P2,……，P n为出现在P中的所有命题变元，对P1,P2,……，P n指定一组真值称为对P的一种指派。
若指定的一种指派，使P的值为真，则称这组指派为成真指派。
若指定的一种指派，使P的值为假，则称这种指派为成假指派。
含n个命题变元的命题公式，共有2n个指派。
1.3.4 给定两个命题公式A和B，设P1,P2,……，P n为所有出现于A和B中的原子变元，若给P1,P2,……，P n任一组真值指派，A和B的真值都相同，称A和B是等价的，记做A <=>B。
1.3.5 设A为一命题公式，若A在它的各种指派情况下，其取值均为真，则称A为重言式或永真式。
1.3.6 设A为一命题公式，若A在它的各种指派情况下，其取值均为假，则称A为矛盾式或永假式。
1.3.7设A为一命题公式，若A在它的各种指派情况下至少存在一组成真指派，则称A为可满足式。
1.4.1 设X式合式公式A的子公式，若有Y也是一个合式公式，且X<=>Y，如果将Ａ中的Ｘ用Ｙ置换，得到公式Ｂ，则A<=>B。
1.4.2 设A，B为两个命题公式，A<=>B，当且仅当A ←→B为一个重言式。
P=>Q称做P蕴含Q或蕴含式，又称永真条件式。
蕴含式有下列性质：（1）对任意公式A，又A=>A；（2）对任意公式A，B和C，若A=>B，B=>C，则A=>C；（3）对任意公式A，B和C，若A=>B，A=>C，则A=>(B∧C);（4）对任意公式A，B和C，若A=>C，B=>C，则A∨B=>C.1.5.1 一个命题公式称为合取范式，当且仅当它具有形式：A1∧A2∧…∧A n(n≥1)，其中A1，A2，…，A n都是有命题变元及其否定所组成的析取式。
离散第2讲-广义并交、笛卡尔、归纳定义PPT
a2=b2，…，an=bn
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❖集合的笛卡尔积定义1Fra bibliotek11：对任意集合A1, A2，A1A2叫做A1, A2的 笛卡尔积，定义如下：
如果xE+，那么x-2E+ 终极条款：只有有限次应用条款1、2所得元素才是E+ 的元素
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❖与形式语言有关的一些概念
字母表：指有限非空的符号的集合，一般用表示 二进制基数的集合 ={0，1} 26个英文字母定义的集合 ={a, b, c, …, x, y, z}
字：指有限数目的符号所组成的串，若每一符号均取自字 母表之上，则称为字母表之上的一个字，用表示空字 01，100，101， a, aa, bike, iwefhweoi, ….
集合的归纳定义方法 集合定义的自然数
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❖集合族的概念
定义1.7：称每个元素都是集合的集合为集合族 （collection）。 若集合族C可表示为C = { Sd | dD }，则称D为 集合族C的标志集（index set）。
C = {{0}, {0, 1}, {0, 1, 2}, …} C = {Nd | dI+}
S = {123, 55, 1+2, －100， (99×3)／10, …} ? S = {x | x是一算术表达式} ? (1) 如果x是整数，则xS（是算术表达式） (2) 如果x, y S ，则(+ x) 、(– x) 、(x + y) 、(x – y) 、(x y) 、(x／y) 均S （均是算术表达式） (3)只有有限次应用条款1、2所得的符号序列S
离散数学部分概念和公式总结
离散数学部分概念和公式总结命题：称能判断真假的陈述句为命题。
命题公式：若在复合命题中，p、q、r等不仅可以代表命题常项，还可以代表命题变项，这样的复合命题形式称为命题公式。
命题的赋值：设A为一命题公式，p ,p ,…,p 为出现在A中的所有命题变项。
给p ,p ,…,p 指定一组真值，称为对A的一个赋值或解释。
若指定的一组值使A的值为真，则称成真赋值。
真值表：含n（n≥1）个命题变项的命题公式，共有2^n组赋值。
将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表，称为A的真值表。
命题公式的类型：（1）若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。
（2）若A在它的赋值下取值均为假，则称A为矛盾式或永假式。
（3）若A至少存在一组赋值是成真赋值，则A是可满足式。
主析取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项，则称该析取范式为A的主析取范式。
主合取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项，则称该析取范式为A的主析取范式。
命题的等值式：设A、B为两命题公式，若等价式A↔B是重言式，则称A与B是等值的，记作A<=>B。
约束变元和自由变元：在合式公式∀x A和∃x A中，称x为指导变项，称A为相应量词的辖域，x称为约束变元，x的出现称为约束出现，A中其他出现称为自由出现（自由变元）。
一阶逻辑等值式：设A，B是一阶逻辑中任意的两公式，若A↔B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A<=>B，称A<=>B为等值式。
前束范式：设A为一谓词公式，若A具有如下形式Q1x1Q2x2Q k…x k B，称A为前束范式。
集合的基本运算：并、交、差、相对补和对称差运算。
笛卡尔积：设A和B为集合，用A中元素为第一元素，用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积，记为A×B。
二元关系：如果一个集合R为空集或者它的元素都是有序对，则称集合R是一个二元关系。
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《离散数学》第1讲 ❖集合的概念、表示与基本运算 Page 1 to 7
❖内容提要
基础知识
集合、元素的概念 怎样表示一个集合（列举、描述 … ） 空集、全集、有限集、无限集
外延性公理
集合相等、子集、若干定理
集合的基本运算
并、交、差、补 幂集运算
ξ第一讲 集合的概念、表示与基本运算
-6-
❖何为集合？何为元素？
定义1.5：(1)设 A、B为任意集合，则由A、B的所 有元素合在一起所组成的集合称为A与B的并集， 记成A∪B。即：A∪B={x | xA或xB} x A∪B xA或xB
例1.6
U={0, 1, 2, …, 9}
A={2, 4}, B={4, 5, 6, 7}, C={0, 8, 9}, D={1, 2, 3} A∪B， A∪C， C∪D， B∪D
定义1.2：只含有限多个元素的集合称为有限集； 不是有限集的集合称为无限集。
空集是有限集 有限集合A中元素的个数称为A的基数(cardinality)，记 为|A| 空集的基数是0，即|| = 0
ξ第一讲 集合的概念、表示与基本运算
-15-
❖空集、有限集和无限集举例
{x | x=0 或 x=1} 自然数集合N 正整数集合 A = { 1，2，{1，2} } {} 师范大学全体学生 方程x2 + x + 1 = 0 的根
A={2, 4}, B={{4, 5}, 6, 7}, C=
使得xB即可 (x A且x B)或者(x A且x C)
集合的补运算 complement（–）
定义1.4：设A、B为集合，当AB且AB时，称A为B的真 子集，记成AB。读做A真包含于B，或B真包含A
ξ第一讲 集合的概念、表示与基本运算
离散数学课本定义和定理
第1章集合1.1 集合的基本概念1. 集合、元（元素）、有限集、无限集、空集2. 表示集合的方法：列举法、描述法3. 定义1.1.1（子集）：给定集合A和B，如果集合A的任何一个元都是集合B中的元，则称集合A包含于B或B包含A，记为或，并称A为B的一个子集。
如果集合A和B满足，但B中有元不属于A，则称集合A真包含于B，记为，并且称A为B的一个真子集。
4. 定义1.1.2（幂集）：给定集合A，以A的所有子集为元构成的一个集合，这个集合称为A 的幂集，记为或1.2 集合的运算定义1.2.1（并集）：设A和B是两个集合，则包含A和B的所有元，但不包含其他元的集合，称为A和B的并集，记为.定义1.2.2（交集）：A和B是两个集合，包含A和B的所有公共元，但不包含其他元的集合，称为A和B的交集，记为.定义1.2.3（不相交）：A和B是两个集合，如果它们满足，则称集合A和B是不相交的。
定义1.2.4（差集）：A和B是两个集合，属于A而不属于B的所有元构成集合，称为A和B 的差集，记为.定义1.2.5（补集）：若A是空间E的集合，则E中所有不属于A的元构成的集合称为A的补集，记为.定义1.2.6（对称差）：A和B是两个集合，则定义A和B的对称差为1.3 包含排斥原理定理1.3.1设为有限集，其元素个数分别为，则定理 1.3.2设为有限集，其元素个数分别为，则定理1.3.3设为有限集，则重要例题P11 例1.3.1第2章二元关系2.1 关系定义2.1.1（序偶）：若和是两个元，将它们按前后顺序排列，记为，则成为一个序偶。
※对于序偶和，当且仅当并且时，才称和相等，记为定义2.1.2（有序元组）：若是个元，将它们按前后顺序排列，记为，则成为一个有序元组（简称元组）。
定义2.1.3（直接积）：和是两个集合，则所有序偶的集合，称为和的直接积（或笛卡尔积），记为. 定义2.1.4（直接积）：设是个集合，，则所有元组的集合，称为的笛卡尔积（或直接积），记为.定义2.1.5（二元关系）若和是两个集合，则的任何子集都定义了一个二元关系，称为上的二元关系。
离散数学 第二章 关系[2]
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离散数学
R={(a,b) : aAbAa与b是同乡}A×A 于是，R是西安交通大学同学之间的同乡关系。 例2 . 设A是某一大家庭。 R1 = {(a,b) : aAbAa是b的父亲或母亲}A×A R2 = {(a,b) : aAbAa是b的哥哥或姐姐}A×A R3 = {(a,b) : aAbAa是b的丈夫或妻子}A×A 于是， R1是父母与儿女之间的关系，即父母子女关系； R2是兄弟姐妹之间的关系，即兄弟姊妹关系； R3是夫妻之间的关系，即夫妻关系。 例3 . 设N是自然数集合。
17
离散数学
RS=不相等的整除关系()； R\S=小于又不整除关系( ∤)； S\R=相等关系(=) 。 5°关系的扩充(expansion)： 若R1 R2 ，则称关系R2 是关系R1的一个扩充；
例若R1={(a,b), (a,c)}, R2 ={(a,b), (a,c),(c,c)} , 则R1 R2 R1 R2
7
离散数学
(6)利用(5)所给的定义，我们可以递归的定义集合的 叉积幂如下： A2= A×A A3 = A2 ×A An = An-1 ×A (7)我们规定空集与任何集合A的叉积是空集 。 即 A× = = ×A 由于若偶对的第一分量或第二分量不存在就没有偶 对存在，故规定它们的叉积集合为空集是合理的。 定理1.设A,B,C,D是四个非空的集合。那么 A×B = C×D A = C B = D 。
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离散数学
(a)若(a,b)A×B，则有aA，bB，从而有aA， bB或bC，于是aA， bB∪C，故此有 (a,b)A×(B∪C); (b)若(a,b)A×C，则有aA，bC，从而有aA， bB或bC，于是aA， bB∪C，故此有 (a,b)A×(B∪C); 综合(a)、(b)总有(a,b)A×(B∪C)。 所以 A×(B∪C)(A×B)∪(A×C) 。 最后，由这两方面，根据包含关系的反对称性可得 A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C) 。
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❖序偶(ordered pairs)
如何在集合的基础上定义出以是次单序个客的体概，念？
集合，甚至序偶
定义1.9：设a, b为任意对象，称集合{{a}, {a, b}} 为二元有序组，或序偶，简记作<a,b>。其中a称 为序偶<a,b>的第一分量，b称为序偶的<a,b>第二 分量。
A1 A2 = {<x, y> | x A1，y A2}
说明
运算是左结合的 A1A2…An = (A1A2…An–1) An 当A1=A2=…=An=A时，A1A2… An记作An A1A2…An = {< a1, a2, …, an> | a1 A1，…, an An}
第2讲 集合的运算与归纳定义
❖笛卡尔积运算举例
例1.10 A={1, 2}, B={a, b, c}, C={}, R为实数集 A×B，B×A A×B×C， A×(B×C) A×， ×A R2， R3
第2讲 集合的运算与归纳定义
❖笛卡儿积的性质
定理1.20 设A、B、C为任意集合，表示∪，∩ 或－运算，那么：
A (B C) = (A B) (A C) (B C) A = (B A) (C A)
以上第三种定义方法称为归纳法
第2讲 集合的运算与归纳定义
❖集合的归纳定义(inductive definition)
一个集合的归纳定义由三部分组成：
1、基础条款： 指出某些元素属于欲定义之集合；
━ 奠基，确定集合的基本成员，其他成员可以此为基础逐
完 备
步确定。一般来讲要求基础集合尽可能的小。
性 条
集合的归纳定义
集合的归纳定义方法 集合定义的自然数
第2讲 集合的运算与归纳定义
❖集合族的概念
定义1.7：称每个元素都是集合的集合为集合族 （collection）。 若集合族C可表示为C = { Sd | dD }，则称D为 集合族C的标志集（index set）。
C = {{0}, {0, 1}, {0, 1, 2}, …} C = {Nd | dI+}
列举法 描述法 试定义算术表达式的集合S
S = {123, 55, 1+2, －100， (99×3)／10, …} ? S = {x | x是一算术表达式} ? (1) 如果x是整数，则xS（是算术表达式） (2) 如果x, y S ，则(+ x) 、(– x) 、(x + y) 、(x – y) 、(x y) 、(x／y) 均S （均是算术表达式） (3)只有有限次应用条款1、2所得的符号序列S
第2讲 集合的运算与归纳定义
❖集合的广义并和广义交
定义1.8：设C为非空集合族
（1）∪C = {x | 存在某个S，满足SC并且xS} ∪C称为C的广义并 (C中所有集合的并)
（2）∩C = {x | 对任意的S，如果SC则一定有xS} ∩C称为C的广义交(C中所有集合的交)
例如
C = {{0}, {0, 1}, {0, 1, 2}, …}
定理1.17：对任意序偶<a,b>, <c, d>， <a,b>=<c, d>当且仅当a=c且b=d。
第2讲 集合的运算与归纳定义
❖n元有序组
定义1.10： n元有序组<a1, a2, …, an>可以从二元 有序组（序偶）出发，递归地定义如下
<a1, a2> = {{a1}, {a1, a2}} <a1, a2 , a3 > = <<a1, a2>, a3 > … <a1, a2, …, an> = <<a1, a2, …, an–1>, an> 其中ai称为n元有序组的第i分量
字：指有限数目的符号所组成的串，若每一符号均取自字 母表之上，则称为字母表之上的一个字，用表示空字 01，100，101， a, aa, bike, iwefhweoi, ….
例1.11 归纳定义偶数集合E+
基础条款：0E+ 归纳条款：如果xE+，那么x+2E+
如果xE+，那么x-2E+ 终极条款：只有有限次应用条款1、2所得元素才是E+ 的元素
第2讲 集合的运算与归纳定义
❖与形式语言有关的一些概念
字母表：指有限非空的符号的集合，一般用表示 二进制基数的集合 ={0，1} 26个英文字母定义的集合 ={a, b, c, …, x, y, z}
定理1.21 对任意有限集合A1, A2, …, An，有：|A1 A2… An| = |A1|·|A2|·…·|An|
第2讲 集合的运算与归纳定义
❖PowerPoint Template_Sub
1.1 集合的概念与表示 1.2 集合运算 1.3 集合的归纳定义
第2讲 集合的运算与归纳定义
❖集合的表示方法
∪C = N, ∩C = {0}
C
=
{Nd
|
dI+}，∪C
=
dI
Nd
Nd, ∩C =
d1
dI
Nd
Nd
d1
第2讲 集合的运算与归纳定义
❖广义并、交运算实例
∪{A, B} = AB ∩{A, B} = AB ∪{A, B, C} = ABC ∩{A, B, C} = ABC ∪{} = ∩{} = ∪{, {}} = {} ∩{, {}} = ∪{, A} =A ∩{, A} =
本质上，n元有序组依然是序偶 定理1.18：对任意对象a1, a2, …, an，b1, b2, …, bn， < a1, a2, …, an > = < b1, b2, …, bn >当且仅当a1=b1，
a2=b2，…，an=bn
第2讲 集合的运算与归纳定义
❖集合的笛卡尔积
定义1.11：对任意集合A1, A2，A1A2叫做A1, A2的 笛卡尔积，定义如下：
计算机专业基础课程 授课人：梁妍
❖PowerPoint Template_Sub
1.1 集合的概念与表示 1.2 集合运算 1.3 集合的归纳定义
第2讲 集合的运算与归纳定义
《离散数学》第2讲 ❖集合运算与归纳定义 Page 7 to 13
❖内容提要
集合的运算
广义并、广义交运算 序偶和n元有序组 笛卡尔积
2、归纳条款： 指出由已确定元素构造新元素的规则；
款
━ 从基本元素出发，反复运用这些规则，可得到欲定义之
集合的所有成员。
纯 3、终极条款： 断定只有有限次应用条款1、2所得元素
粹 性
才是欲定义之集合的元素。
条 款
━ 保证整个定义过程所规定的集合只包括满足要求的那些
对象。
第2讲 集合的运算与归纳定义
❖归纳定义举例