材料力学第八章+组合变形
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《材料力学》课程讲解课件第八章组合变形
强度条件（简单应力状态）——
max
对有棱角的截面，最大的正应力发生在棱角点处，且处于单向应力状态。
max
N A
M zmax Wz
M ymax Wy
x
对于无棱角的截面如何进行强度计算——
1、确定中性轴的位置；
y
F z
M z F ey M y F ez
ez F ey z
y
zk yk z
y
x
1、荷载的分解
F
Fy F cos
Fz F sin
z
2、任意横截面任意点的“σ”
x
F
y
（1）内力： M z (x) Fy x F cos x
M y (x) Fz x F sin x
（2）应力：
Mz k
M z yk Iz
My k
M y zk Iy
（应力的 “＋”、“－” 由变形判断）
F
1， 首先将斜弯曲分解
为两个平面弯曲的叠加 Fy F cos
z
L2
L2
Fz F sin
z
2， 确定两个平面弯曲的最大弯矩
y
Mz
Fy L 4
M
y
Fz L 4
3， 计算最大正应力并校核强度
max
My Wy
Mz Wz
217.8MPa
查表： Wy 692.2cm3
4， 讨论 0
y
Wz 70.758cm3
的直径为d3，用第四强度理论设计的直径为d4，则d3 ___＝__ d4。
（填“＞”、“＜”或“＝”）
因受拉弯组合变形的杆件，危险点上只有正应力，而无切应力，
r3 1 3 2 4 2
r4
材料力学第八章组合变形
例题: 图示吊车大梁,由32a热轧普通工字钢制成，许 用应力 [σ]＝160MPa ，L＝4m 。起吊的重物重量F ＝80kN,且作用在梁的中点,作用线与y轴之间的夹角α ＝5°，试校核吊车大梁的强度是否安全。
F
Fy F cos 50
L2
L2
解：1. 外力分解
Fy F cos 80 cos 50 79.7kN Fz F sin 80 sin 50 6.96kN
材料力学
Mechanics of Materials
例：图示梁，已知F1=800N，F2=1650N，截面宽度 b=90mm，高度h=180mm。求：
1、梁上的max及所在位置； 2、若改为a=130mm的正方形截面，梁上的max； 3、若改为d=130mm圆形截面，梁上的max。
F2
F1 z
32
32 6
d3
72.6mm
取 d 73mm
构件在荷载的作用 下如发生两种或两种以 上基本形式的变形，且 几种变形所对应的应力 （和变形）属于同一数 量级，则构件的变形称 为组合变形。
❖组合变形的分析方法 线弹性小变形范围内，采用叠加原理
材料力学
Mechanics of Materials
二.组合变形分析方法 条件:线弹性小变形
组合 变形
0.642q 106 31.5 103
0.266q 106 237 103
160MPa
q 7.44kN / m
材料力学
Mechanics of Materials
M zD 0.456q
M zA 0.266q
z
M yD 0.444q
M yA 0.642q
A截面
y
max
材料力学 第八章 组合变形
度理论校核此杆的强度。 解：①外力分析
y ZC
Mx z P2z
P2y 400N YA 457N Z A 20.1N
P2Z 70.5N YC 257N Z C 90.6N
YA A 150
T M x 120Nm
B 200
C YC D 100
P2y
x
y
M Z (Nm) M (Nm)
建立图示杆件的强度条件
解：①外力向形心
x A 150 P1 T A 150 B 200 C T B 200 C 100 D 简化并分解
z
z P2z D P2y x 弯扭组合变形 y
100
M Z (Nm) M (Nm)
y
②每个外力分量对应 x 的内力方程和内力图 X
(Nm) My (Nm) Mz
x X
125 37.8 162.8MPa
孔移至板中间时
N 100 103 2 A 631.9mm 10(100 x) x 36.8mm 6 σ max 162.8 10
偏心拉伸或压缩：
CL11TU11
任意横截面上的内力： N P,M y Pa,M z Pb
第八章 组合变形
§8–1 组合变形和叠加原理
§8–2 拉(压)弯组合 §8–4 偏心压缩 截面核心 §8-4 弯曲与扭转
§8–1组合变形和叠加原理
一、组合变形 ：在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简
单变形，当几种变形所对应的应力属同一量级时，不能忽略
之，这类构件的变形称为组合变形。 P P
弯曲与扭转
P1
80ºP2 z
x A 150 B 200 C 100 D
y
材料力学课件第8章组合变形zym
§8—4 扭转与弯曲的组合 一、圆截面杆弯扭组合 实例： （一）实例： 已知：塑性材料轴尺寸，传动力偶Me。 已知：塑性材料轴尺寸，传动力偶 。 试建立轴的强度条件。 试建立轴的强度条件。 解： 1、确定危险点： 、确定危险点： （1）外力分析 ） F 计算简图： ①计算简图： Fτ 由 ∑ M x = 0 得： FD = Me 2 可确定F 由F可确定 τ。 可确定 外力分解： ②外力分解： 变形判断： ③变形判断： AB段扭转变形，BE段弯扭组合变 段扭转变形， 段弯扭组合变 段扭转变形 形，EC段弯曲变形。 段弯曲变形。 段弯曲变形
解： 、确定各边为中性轴时的压力作用点： 1、确定各边为中性轴时的压力作用点： b2 h2 2 iy = , iz2 = 12 12 h az = ∞ AB截距： a y = − , 截距： 截距 2 h2 iz2 12 = h , zF = 0 F作用点 坐标： yF = − = − 作用点a坐标 作用点 坐标： h 6 ay − 2 同样确定b,c,d点。 同样确定 点 2、连线 确定截面核心。 、连线a,b,c,d确定截面核心。 确定截面核心 解：
3 由： W ≥ M max = 12 ×10 N ⋅ m 6
[σ ]
100 × 10 Pa
= 12 × 10−5 m3 = 120cm3
查表选定16号工字钢。 查表选定 号工字钢。 号工字钢 （2）组合变形校核计算： ）组合变形校核计算： 16号工字钢：W=141cm3,A=26.1cm3 号工字钢： 号工字钢
2、应力状态分析 、 均为单向应力状态 单向应力状态。 均为单向应力状态。
'' σ A = σ ′ +σ A =
F (0.425m) F × (0.075m) + −3 2 15 ×10 m 5310 ×10−8 m 4
材料力学- 8组合变形
l/2 l/2
D
A P
C
d
B
Q
l/2
D
l/2
解：
B
A P
mA
C
Q Q 1 mC QD 2 A M C
Ql/4
B
（1）受力分析与计算简 图：将载荷Q向轮心平移 （2）内力分析，画出弯 矩图和扭矩图；找出危险 面和危险点：危险面在中 点C处 （3）代公式：求最大安 全载荷Q
d
T
QD/2
r3
设计中常采用的简便方法：
因为偏心距较大，弯曲应力 是主要的，故先考虑按弯曲强 度条件 设计截面尺寸
M Wz 6000 6 35 10 d 3 32
解得立柱的近似直径 取d=12.5cm,再代 入偏心拉伸的强 度条件校核
d 0.12 m
15000 6000 3.14 0.1252 3.14 0.1253 4 32 32.4 106 32.4MPa 35MPa
M 2 T2 [ ] Wz
l/2
D
l/2
Ql Q M 0.8 0.2Q 4 4
B
A P
mA
C
d
T
Q Q 1 mC QD 2 A M C
Ql/4
QD Q 0.36 0.18Q 2 2
r3
B
M 2 T2 [ ] Wz
Wz
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 3
32
T
QD/2
（1）计算内力
将立柱假想地截开，取上段为 研究对象，由平衡条件，求出 立柱的轴力和弯矩分别为
F
N
FN P 15000 N M Pe 15000 0.4 6000N m
D
A P
C
d
B
Q
l/2
D
l/2
解：
B
A P
mA
C
Q Q 1 mC QD 2 A M C
Ql/4
B
（1）受力分析与计算简 图：将载荷Q向轮心平移 （2）内力分析，画出弯 矩图和扭矩图；找出危险 面和危险点：危险面在中 点C处 （3）代公式：求最大安 全载荷Q
d
T
QD/2
r3
设计中常采用的简便方法：
因为偏心距较大，弯曲应力 是主要的，故先考虑按弯曲强 度条件 设计截面尺寸
M Wz 6000 6 35 10 d 3 32
解得立柱的近似直径 取d=12.5cm,再代 入偏心拉伸的强 度条件校核
d 0.12 m
15000 6000 3.14 0.1252 3.14 0.1253 4 32 32.4 106 32.4MPa 35MPa
M 2 T2 [ ] Wz
l/2
D
l/2
Ql Q M 0.8 0.2Q 4 4
B
A P
mA
C
d
T
Q Q 1 mC QD 2 A M C
Ql/4
QD Q 0.36 0.18Q 2 2
r3
B
M 2 T2 [ ] Wz
Wz
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 3
32
T
QD/2
（1）计算内力
将立柱假想地截开，取上段为 研究对象，由平衡条件，求出 立柱的轴力和弯矩分别为
F
N
FN P 15000 N M Pe 15000 0.4 6000N m
《材料力学》第八章组合变形
解 (1)外力分析，确定变形类型—拉弯组合；
（2）内力分析，确定危险截面—整个轴；
M=600(kN·cm) FN=15(kN)
(3)应力计算，确定危险点—ａ、b点；
P产生拉伸正应力： t
FN AFNd 2源自4FNd 24
M拉产弯生组弯合曲：的正应力：wmax
M Wy
M
d3
32
32M
d3
P M= a Pe
补例8.1 已知： P=2kN,L求=：1mσm,Iazx=628×104mm4,Iy=64×1040mm2740 2844
解:1.分解P力。 Py Pcos φ Pz Psin φ 2．画弯矩图，确定危险截面--固定端截面。 3．画应力分布图，确定危险点—A、 B点
σ” σ’
A
x
y
Pyl
M
z
践中，在计算中，往往忽略轴力的影响。
4.大家考虑扭转、斜弯曲与拉（压）的组合怎么处理？
例8.5 图8.14a是某滚齿机传动轴AB的示意图。轴的直径为35 mm，材料为45钢， [σ]=85 MPa。轴是由P=2.2kW的电动机通过
带轮C带动的，转速为n=966r／min。带轮的直径为D=132 mm，
Mz Py l - x Pcosφ l - x Mcosφ My Pz l - x Psinφ l - x Msinφ
式中的总弯矩为：M Pl- x
3.计算两个平面弯曲的正应力。在x截面上任取一点A(z 、y)，
与弯矩Mz、My对应的正应力分别为σ’和σ”，故
- Mz y , - M yz
第八章 组合变形
基本要求: 掌握弯曲与拉伸（或压缩）的组合、扭转与弯曲的组合 的强度计算。
重点： 弯曲与拉伸（或压缩）的组合，扭转与弯曲的组合。
（2）内力分析，确定危险截面—整个轴；
M=600(kN·cm) FN=15(kN)
(3)应力计算，确定危险点—ａ、b点；
P产生拉伸正应力： t
FN AFNd 2源自4FNd 24
M拉产弯生组弯合曲：的正应力：wmax
M Wy
M
d3
32
32M
d3
P M= a Pe
补例8.1 已知： P=2kN,L求=：1mσm,Iazx=628×104mm4,Iy=64×1040mm2740 2844
解:1.分解P力。 Py Pcos φ Pz Psin φ 2．画弯矩图，确定危险截面--固定端截面。 3．画应力分布图，确定危险点—A、 B点
σ” σ’
A
x
y
Pyl
M
z
践中，在计算中，往往忽略轴力的影响。
4.大家考虑扭转、斜弯曲与拉（压）的组合怎么处理？
例8.5 图8.14a是某滚齿机传动轴AB的示意图。轴的直径为35 mm，材料为45钢， [σ]=85 MPa。轴是由P=2.2kW的电动机通过
带轮C带动的，转速为n=966r／min。带轮的直径为D=132 mm，
Mz Py l - x Pcosφ l - x Mcosφ My Pz l - x Psinφ l - x Msinφ
式中的总弯矩为：M Pl- x
3.计算两个平面弯曲的正应力。在x截面上任取一点A(z 、y)，
与弯矩Mz、My对应的正应力分别为σ’和σ”，故
- Mz y , - M yz
第八章 组合变形
基本要求: 掌握弯曲与拉伸（或压缩）的组合、扭转与弯曲的组合 的强度计算。
重点： 弯曲与拉伸（或压缩）的组合，扭转与弯曲的组合。
材料力学第8章组合变形
MB
M
2 yB
M
2 zB
(364 N m)2 (1000N m)2 1064N m
•由Mz图和My图可知， B截面上的总弯矩最大， 并且由扭矩图可见B截 面上的扭矩与CD段其 它横截面上相同，TB ＝-1000 N·m，于是判 定横截面B为危险截面。
3. 根据MB和TB按第四强度理论建立的强度条件为
Wp
r4
M 2 0.75T 2
W
300N.m 1400N
300N.m
1500N 200
150
300N.m
128.6N.m
120N.m
（2）作内力图
危险截面E 左处
T 300N.m
M
M
2 y
M
2 z
176N.m
（3）由强度条件设计d
r3
M2 T2 W
W d 3
32
32 M 2 T 2
第8章 组合变形
8.1 组合变形和叠加原理 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合 8.3 偏心压缩和截面核心 8.4 扭转与弯曲的组合 8.5 组合变形的普遍情况
8.1 组合变形和叠加原理
组合变形——实际构件由外力所引起的变形包含两种或两 种以上的基本变形。如压力框架、烟囱、传动轴、有吊车 的立柱。 叠加原理——如果内力、应力、变形等与外力成线性关系， 则在小变形条件下，复杂受力情况下组合变形构件的内力， 应力，变形等力学响应可以分成几个基本变形单独受力情 况下相应力学响应的叠加，且与各单独受力的加载次序无 关。 前提条件：
即 亦即 于是得
r4
M 2 0.75T 2 [ ]
W
•请同学们按
照第三强度理 (1064 N m)2 0.75(1000 N m)2 100106 Pa W
材料力学第八章-组合变形
12 103 141106
94.3MPa 100MPa
故所选工字钢为合适。
材料力学
如果材料许用拉应力和许用压应力不 同，且截面部分 区域受拉，部分区域 受压，应分别计算出最大拉应力 和最 大压应力，并分别按拉伸、压缩进行 强度计算。
材料力学
=+
材料力学
t,max
=+
t,max
①外力分析：外力向形心简化并沿主惯性轴分解。
②内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和 内力图，确定危险面。
③应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立 危险点的强度条件。
一般不考虑剪切变形；含弯曲组合变形，一般以弯
曲为主，其危险截面主要依据Mmax，一般不考虑弯
曲切应力。
材料力学
四.叠加原理
构件在小变形和服从胡克定律的条件下， 力的独立性原理是成立的。即所有载荷作用 下的内力、应力、应变等是各个单独载荷作 用下的值的代数和。
材料力学
F F
350
150
y
50 z
50 150 z0 z1
显然，立柱是拉伸和弯曲的 组合变形。
1、计算截面特性（详细计算略） 面积 A 15103 m2
z0 75mm I y 5310 cm4
材料力学
2、计算内力 取立柱的某个截面进行分析
FN F
M (35 7.5) 102 F 42.5102 F
组合变形
§8.1 组合变形和叠加原理 §8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合 §8.3 偏心压缩和截面核心 §8.4扭转与弯曲的组合
content
1、了解组合变形杆件强度计算的基本方法 2、掌握拉（压）弯组合变形和偏心拉压杆 件的应力和强度计算 3、掌握圆轴在弯扭组合变形情况下的强度 条件和强度计算
材料力学第5版(孙训方编)第八章
13
第八章 组合变形及连接部分的计算
故有中性轴的方程：
My Iy
z0
Mz Iz
y0
0
中性轴与y轴的夹角q（图a）为
tanq z0 M z I y I y tan
y0 M y I z I z
其中 角为合成弯矩 M
M
2 y
M
2 z
与y的夹角。
14
第八章 组合变形及连接部分的计算
tanq I y tan
c
z
dA
y
z
dA
y
(a)
横截面对于形心主惯性轴 的惯性矩则称为形心主惯性矩 (principal centroidal moment of inertia)。
29
第八章 组合变形及连接部分的计算
显然当梁的横截面具有一个对称轴时，这个对称轴和它垂 直的形心轴都是形心主惯性轴，外力产生的弯矩作用在包含其 中任何一根轴的纵向面内时梁都发生平面弯曲。
c
z
dA
y
z
dA
y
(a)
反之如果荷载产生的 弯矩作用在包含z轴的纵向 面内，亦发生平面弯曲。
28
第八章 组合变形及连接部分的计算
yz d A称为横截面对于一对相互垂直轴y , z的惯性积 A
（product of inertia）,用Iyz表示。
而满足Iyz=0 且通过横截面形心的一对正交轴（y轴和z轴） 称为形心主惯性轴（principal centroidal axis of inertia）。
MzD=0.456 qa2 ， 且 MyD= 0.444 qa2， 故D 截面也是可能的危险面。为确定危险截面，需比较A截面 和D 截面上的最大弯曲正应力。
第八章 组合变形及连接部分的计算
故有中性轴的方程：
My Iy
z0
Mz Iz
y0
0
中性轴与y轴的夹角q（图a）为
tanq z0 M z I y I y tan
y0 M y I z I z
其中 角为合成弯矩 M
M
2 y
M
2 z
与y的夹角。
14
第八章 组合变形及连接部分的计算
tanq I y tan
c
z
dA
y
z
dA
y
(a)
横截面对于形心主惯性轴 的惯性矩则称为形心主惯性矩 (principal centroidal moment of inertia)。
29
第八章 组合变形及连接部分的计算
显然当梁的横截面具有一个对称轴时，这个对称轴和它垂 直的形心轴都是形心主惯性轴，外力产生的弯矩作用在包含其 中任何一根轴的纵向面内时梁都发生平面弯曲。
c
z
dA
y
z
dA
y
(a)
反之如果荷载产生的 弯矩作用在包含z轴的纵向 面内，亦发生平面弯曲。
28
第八章 组合变形及连接部分的计算
yz d A称为横截面对于一对相互垂直轴y , z的惯性积 A
（product of inertia）,用Iyz表示。
而满足Iyz=0 且通过横截面形心的一对正交轴（y轴和z轴） 称为形心主惯性轴（principal centroidal axis of inertia）。
MzD=0.456 qa2 ， 且 MyD= 0.444 qa2， 故D 截面也是可能的危险面。为确定危险截面，需比较A截面 和D 截面上的最大弯曲正应力。
材料力学第8章 组合变形
b.未通过轴线或形心主惯性轴，向其分解
注意：荷载分解、简化的前提是不改变研究段的内力。
（2）内力分析方法
用截面法计算任意截面的内力，通过内力确定变形的组成
z
Fsz My
Ty
Fsy
M z FN
FN
T
x M z , Fsy M y , Fsz
轴向拉、压 扭转 x,y面内的平面弯曲 x,z面内的平面弯曲
§8-2 两相互垂直平面内的弯曲
F sin
F cos F
（2）求B点的应力
MB FN
WA
12.32103 25103
0.1 0.22
0.1 0.2
6
B
17.23 MPa
（3）求B点30º斜截面上的正应力
300 cos2 30 17.23 cos2 30 12.99 MPa
（4）求B点的主应力
1 0 2 0 3 17.23 MPa
z
面梁，其横截面都有两个相互垂直的对称 轴，且截面的周边具有棱角，故横截面上
Mz
的最大正应力发生在截面的棱角处。于是
，可根据梁的变形情况，直接确定截面上
My
最大拉、压应力点的位置，而无需定出其
y
中性轴。
因危险点为单向应力状态（忽略弯曲切应力的影响）， 故，强度条件为：
max
M y max Wy
F sin
12.32kN m
F cos F
例： 如图示一矩形截面折杆，已知F＝50kN，尺寸如图所示， α＝30°。（1）求B点横截面上的应力；（2）求B点α＝30°截
面上的正应力；（3）求B点的主应力σ1、 σ2、 σ3。
FN
B
MB 100mm
材料力学-第八章组合变形
M z y M y sin
Iz
Iz
x
M y z M z cos
Iy
Iy
x
y
z
y
z
M
y sin
z
cos
对于圆形截面
因为过形心的任意轴均为截面的对称轴，所以当横 截面上同时作用两个弯矩时，可以将弯矩用矢量表示， 然后求二者的矢量和。于是，斜弯曲圆截面上的应力计 算公式为：
A
C
B
D
2 kN 5 kN
300 500
2 kN (a)
500
解：
1.5 kN Am
7 kN
C
1.5 kN m
B
D
（1）分析载荷 如图b所示
5 kN
12 kN (b)
T 1.5 kN m
（2）作内力图 x
如图c、d、e、f 所示
(c)
MC MD
1.5 kN Am
7 kN
C
1.5 kN m
B
FN A
F (2a)2
1 4
F a2
（2）开槽后的正应力
My
FN F
My
Fa 2
FN
2
max
FN A
My Wy
F 2a2
Fa / 2 2a2 a2 /
6
2
F a2
2a
2a
z
a
所以：
2
1
8
y
§8.3 斜弯曲
F1
材料力学 强度理论与组合变形
第八章强度理论与组合变形§8-1 强度理论的概念１．不同材料在同一环境及加载条件下对“破坏”（或称为失效）具有不同的抵抗能力（抗力）。
例1常温、静载条件下，低碳钢的拉伸破坏表现为塑性屈服失效，具有屈服极限σ，s铸铁破坏表现为脆性断裂失效，具有抗拉强度σ。
图9-1a,bb２．同一材料在不同环境及加载条件下也表现出对失效的不同抗力。
例2常温静载条件下，带有环形深切槽的圆柱形低碳钢试件受拉时，不再出现塑性变形，而沿切槽根部发生脆断，切槽导致的应力集中使根部附近出现两向和三向拉伸型应力状态。
图（9-2a,b）例3 常温静载条件下，圆柱形铸铁试件受压时，不再出现脆性断口，而出现塑性变形，此时材料处于压缩型应力状态。
图（9-3a ）例4 常温静载条件下，圆柱形大理石试件在轴向压力和围压作用下发生明显的塑性变形，此时材料处于三向压缩应力状态下。
图９－３b３．根据常温静力拉伸和压缩试验，已建立起单向应力状态下的弹性失效准则，考虑安全系数后，其强度条件为 []σσ≤ ，根据薄壁圆筒扭转实验，可建立起纯剪应力状态下的弹性失效准则，考虑安全系数后，强度条件为 []ττ≤ 。
建立常温静载一般复杂应力状态下的弹性失效准则——强度理论的基本思想是： １）确认引起材料失效存在共同的力学原因，提出关于这一共同力学原因的假设； ２）根据实验室中标准试件在简单受力情况下的破坏实验（如拉伸），建立起材料在复杂应力状态下共同遵循的弹性失效准则和强度条件。
３）实际上，当前工程上常用的经典强度理论都按脆性断裂和塑性屈服两类失效形式，分别提出共同力学原因的假设。
§8-２四个强度理论１．最大拉应力准则（第一强度理论）基本观点：材料中的最大拉应力到达材料的正断抗力时，即产生脆性断裂。
表达式：u σσ=+max复杂应力状态321σσσ≥≥， 当01>σ， 1m a xσσ=+简单拉伸破坏试验中材料的正断抗力b u σσσ==1，032==σσ 最大拉应力脆断准则： b σσ=1(9-1a)相应的强度条件：[]bb n σσσ=≤1(9-1b)适用范围：虽然只突出 1σ 而未考虑 32,σσ 的影响，它与铸铁，工具钢，工业陶瓷等多数脆性材料的实验结果较符合。
材料力学刘鸿文第六版最新课件第八章 组合变形
667 667
F c 160 106 171300N
934 934
许 可 压 力 为 F 45000N 45kN
§8-2 拉伸或压缩与弯曲的组合
例２图 示一夹具。在夹紧零件时, 夹 具受到的P = 2KN的力作用 。已知： 外力作用线与夹具竖杆轴线间的距离
e = 60 mm, 竖杆横截面的尺寸为b = 10 mm ，h = 22 mm,材料许用应力 [] = 170 MPa 。 试校核此夹具竖杆 的强度。
4、拉（压）弯组合变形下的强度计算
拉弯组合变形下的危险点 处于单向应力状态
t ,max
Fl Wy
F A
[ t ]
c ,max
Fl Wy
F A
[ c ]
4、中性轴位置
由中性轴上各点的正应力均为零;
FN
My
Байду номын сангаас
|z| 0
A
Iy
| z | FN I y A M y
+_
（-z y)
y -_
z
_
_
+
|z|
第三组
圆截面、弯扭组合变形
§8-4 扭转与弯曲的组合
扭转+双向弯曲
求合弯矩
M
2
M
2 y
M
2 z
§8-4 扭转与弯曲的组合
例题1 传动轴左端的轮子由电机带动，传入的扭转力偶矩
Me=300Nm。两轴承中间的齿轮半径R=200mm，径向啮合 力F1=1400N，轴的材料许用应力〔σ 〕=100MPa。试按 第三强度理论设计轴的直径d。
§8-1 组合变形和叠加原理
基本变形 构件只发生一种变形；
轴向拉压、扭转、平面弯曲、剪切；
F c 160 106 171300N
934 934
许 可 压 力 为 F 45000N 45kN
§8-2 拉伸或压缩与弯曲的组合
例２图 示一夹具。在夹紧零件时, 夹 具受到的P = 2KN的力作用 。已知： 外力作用线与夹具竖杆轴线间的距离
e = 60 mm, 竖杆横截面的尺寸为b = 10 mm ，h = 22 mm,材料许用应力 [] = 170 MPa 。 试校核此夹具竖杆 的强度。
4、拉（压）弯组合变形下的强度计算
拉弯组合变形下的危险点 处于单向应力状态
t ,max
Fl Wy
F A
[ t ]
c ,max
Fl Wy
F A
[ c ]
4、中性轴位置
由中性轴上各点的正应力均为零;
FN
My
Байду номын сангаас
|z| 0
A
Iy
| z | FN I y A M y
+_
（-z y)
y -_
z
_
_
+
|z|
第三组
圆截面、弯扭组合变形
§8-4 扭转与弯曲的组合
扭转+双向弯曲
求合弯矩
M
2
M
2 y
M
2 z
§8-4 扭转与弯曲的组合
例题1 传动轴左端的轮子由电机带动，传入的扭转力偶矩
Me=300Nm。两轴承中间的齿轮半径R=200mm，径向啮合 力F1=1400N，轴的材料许用应力〔σ 〕=100MPa。试按 第三强度理论设计轴的直径d。
§8-1 组合变形和叠加原理
基本变形 构件只发生一种变形；
轴向拉压、扭转、平面弯曲、剪切；
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1 2 vV ( 1 2 3 )2 6E
切变模量与弹性模量 和泊松比之间的关系：
E G 2(1 )
1 vd [( σ1 σ 2 )2 (σ 2 σ 3 )2 (σ 3 σ1 )2 ] 6E
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材料力学
第八章 组合变形
材料力学
第八章 组合变形
D
800
4、在还未选定工字钢型号之前， 可先不考虑轴向内力FN的影响，
C
根据弯曲强度条件来选择，然后
B
根据组合应力进行校核。
M max [ ] Wz 3 M max 1210 5 3 12 10 m Wz 100106 [ ] 3 120cm
A
C
2500
1500
FN~N
M~M (+)
F
max
+
(-)
=
(-)
查表选用:
I 16
3 W 141cm A 26.1cm2
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材料力学
第八章 组合变形
D
800
C A
C
5、校核危险点 F M Cmax N max A Wz
B
2500
1500
40103 12106 2610 141103
材料力学
第八章 组合变形
材料力学期末考试
考试时间：6月7日（15周周六）上午8:30-10:30。 考试方式：闭卷、统考。 考试地点： 安全12-1、12-2： 3205
题型：5填空题+5计算题。
拉压、扭转、弯曲——2 应力状态和强度理论——1 组合变形及连接部分的计算——1
安全12-3、12-4： 3206
Mz z y Iy Iz
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材料力学
第八章 组合变形
利用上式固然可求算x 截面上任意点处的弯曲正应力，但对
于图中所示那类横截面没有外棱角的梁，由于My 单独作用下
最大正应力的作用点和Mz 单独作用下最大正应力的作用点不 相重合，所以还不好判定在My和Mz共同作用下最大正应力的 作用点及其值。
材料力学 （2）任意横截面 n-n 上 C 点的应力 由叠加原理，得 C点处的正应力为
第八章 组合变形
FN F zF z F yF y A Iy Iz
式中 A为横截面面积;
My
FN
z Mz (y,z) y
Iy , Iz 分别为横截面对 y 轴和 z 轴的惯性矩; ( zF，yF ) 为力 F 作用点的坐标; ( z，y) 为所求应力点的坐标. 河南理工大学土木工程学院
回顾
强度理论是关于材料破坏原因的假说。 从力学行为方面考虑，常用工程材料分作两类：脆性材料 和塑性材料。 r 第一类强度理论： r1 1 最大拉应力理论 最大伸长线应变理论
r 2 1 ( 2 3 )
第二类强度理论： 最大切应力理论
形状改变能密度理论 r 4 河南理工大学土木工程学院
材料力学
第八章 组合变形
q
B l
120
q
M z max
A
z y
80
1 (q cos )l 2 8 M max cos 866N .m
1 M max ql 2 1kN .m 8
1 M y max (q sin )l 2 8 M max sin 500N .m
外力作用时，在线性弹性且小变形情况下，可以分别按平面弯
曲计算每一弯曲情况下横截面上的应力和位移，然后叠加。 河南理工大学土木工程学院
材料力学
第八章 组合变形
图示悬臂梁 x 截面上的弯矩和任意点C处的正应力为： 由于水平外力F1 由于竖直外力F2
弯
矩
弯曲正应力
My(x)=F1 x My z Iy
固端截面： M Z 1.6kN.m,
M y 2kN.m
M Z M y 6M z 6M y 6 1600 6 2000 max 11.52MPa 2 2 2 2 Wz Wy bh hb 9 18 18 9
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18cm
求图示悬壁梁的最大正应力，并指出作用点的位置。 P2=1.6 kN z A P1=1 kN
r 3 1 3
1 [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ] 2
材料力学
第八章 组合变形
材 料 力 学
第八章 组合变形
2014年6月26日
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材料力学
第八章 组合变形
本 章 内 容
§8-1 概述 §8-2 两相互垂直平面内的弯曲 §8-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形 §8-4 扭转和弯曲的组合变形 §8-5 连接件的实用计算法
河南理工工程实例
河南理工大学土木工程学院
材料力学
第八章 组合变形
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材料力学
第八章 组合变形
§8 – 2
双向弯曲
具有双对称截
面的梁，它在任何
一个纵向对称面内 弯曲时均为平面弯 曲。 故具有双对称截面的梁在两个纵向对称面内同时承受横向
河南理工大学土木工程学院
材料力学 故有中性轴的方程：
第八章 组合变形
My Iy
Mz z0 y0 0 Iz
中性轴与y轴的夹角q（图a）为
z0 M z I y I y tanq tan y0 M y I z I z
2 其中φ角为合成弯矩 M M y M z2
与y的夹角。
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O
y
zF z0 yF y0 1 2 0 2 iy iz
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材料力学
第八章 组合变形
zF z0 yF y0 1 2 0 2 iy iz
用 ay和 az 记中性轴在 y , z 两轴上的截距，则有
i ay yF
中性轴
2 z
2 iy az zF
试选用工字钢型号。
D
800
C A B
2500 1500
F
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材料力学
第八章 组合变形
1、先计算出CD 的杆长
D
800
l 25002 8002 2620 mm 2.62m
C
2、取AB为研究对象，画受力简图
B
A
2500
1500
F
FCD
FAx
FCDy
A
FCDx
FAy
B F
0 0.8 FCD 2.5 F (2.5 1.5) 0 2.62 FCD 42kN
A
M
为计算方便将FCD分解 2.5 FCDx FCD 40kN 2.62 0.8 FCDy FCD 12.8kN 2.62
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材料力学
第八章 组合变形
第八章 组合变形
外棱角的梁，求任何横截面上
最大拉应力和最大压应力时， 可直接按两个平面弯曲判定这 些应力所在点的位置，而无需 定出中性轴的方向角q。
(c)
工程计算中对于实体截面的梁在斜弯曲情况下，通常不考 虑剪力引起的切应力。
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材料力学
第八章 组合变形
例8.1 图示矩形截面木梁荷载作用线如图所示。已知 q=0.5 kN/m，l=4 m，=30°，许用应力[]=10 MPa，试校
核该梁的强度。
q
q
B
1 M z max (q cos )l 2 8 z M max cos 866N .m
120
A
l 解：
M max
y
80
M y max
1 2 ql 1kN .m 8
1 (q sin )l 2 8 M max sin 500N .m
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100.5MPa
FN~N
M~M (+)
F
[ ] 100MPa
+
(-)
=
由于最大应力超出很小，超出 部分在5%以内，仍可认为是安
(-)
全的。因此可以选择 I16
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材料力学
第八章 组合变形
二、偏心拉（压） (Eccentric loads）
当外力作用线与杆的轴线平行但不重合时，将引起轴
安全12-5、重修： 3207
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压杆稳定——1
材料力学
第八章 组合变形
回顾
空间应力状态的应变能密度：
1 2 2 vε 12 2 3 2 σ1σ 2 σ 2σ 3 σ 3σ1 2E
体积改变能密度+形状改变能密度：
vε vV vd
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材料力学
第八章 组合变形
注意到在F1 作用下x 截面绕中性轴y 转动，在F2 作用下x 截面绕中性轴z 转动,可见在F1和F2共同作用下，x 截面必定 绕通过y 轴与z 轴交点的另一个轴转动，这个轴就是梁在两 个相互垂直平面内同时弯曲时的中性轴，其上坐标为y，z的
任意点处弯曲正应力为零。
§8-6 铆钉和螺栓连接的计算
*§8-7
榫齿连接
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材料力学
第八章 组合变形
§8 –1 一、组合变形的概念
组合变形和叠加原理
构件在荷载作用下发生两种或两种以上的基本变形,
则构件的变形称为组合变形。
切变模量与弹性模量 和泊松比之间的关系：
E G 2(1 )
1 vd [( σ1 σ 2 )2 (σ 2 σ 3 )2 (σ 3 σ1 )2 ] 6E
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D
800
4、在还未选定工字钢型号之前， 可先不考虑轴向内力FN的影响，
C
根据弯曲强度条件来选择，然后
B
根据组合应力进行校核。
M max [ ] Wz 3 M max 1210 5 3 12 10 m Wz 100106 [ ] 3 120cm
A
C
2500
1500
FN~N
M~M (+)
F
max
+
(-)
=
(-)
查表选用:
I 16
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C A
C
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B
2500
1500
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考试时间：6月7日（15周周六）上午8:30-10:30。 考试方式：闭卷、统考。 考试地点： 安全12-1、12-2： 3205
题型：5填空题+5计算题。
拉压、扭转、弯曲——2 应力状态和强度理论——1 组合变形及连接部分的计算——1
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利用上式固然可求算x 截面上任意点处的弯曲正应力，但对
于图中所示那类横截面没有外棱角的梁，由于My 单独作用下
最大正应力的作用点和Mz 单独作用下最大正应力的作用点不 相重合，所以还不好判定在My和Mz共同作用下最大正应力的 作用点及其值。
材料力学 （2）任意横截面 n-n 上 C 点的应力 由叠加原理，得 C点处的正应力为
第八章 组合变形
FN F zF z F yF y A Iy Iz
式中 A为横截面面积;
My
FN
z Mz (y,z) y
Iy , Iz 分别为横截面对 y 轴和 z 轴的惯性矩; ( zF，yF ) 为力 F 作用点的坐标; ( z，y) 为所求应力点的坐标. 河南理工大学土木工程学院
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强度理论是关于材料破坏原因的假说。 从力学行为方面考虑，常用工程材料分作两类：脆性材料 和塑性材料。 r 第一类强度理论： r1 1 最大拉应力理论 最大伸长线应变理论
r 2 1 ( 2 3 )
第二类强度理论： 最大切应力理论
形状改变能密度理论 r 4 河南理工大学土木工程学院
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q
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120
q
M z max
A
z y
80
1 (q cos )l 2 8 M max cos 866N .m
1 M max ql 2 1kN .m 8
1 M y max (q sin )l 2 8 M max sin 500N .m
外力作用时，在线性弹性且小变形情况下，可以分别按平面弯
曲计算每一弯曲情况下横截面上的应力和位移，然后叠加。 河南理工大学土木工程学院
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第八章 组合变形
图示悬臂梁 x 截面上的弯矩和任意点C处的正应力为： 由于水平外力F1 由于竖直外力F2
弯
矩
弯曲正应力
My(x)=F1 x My z Iy
固端截面： M Z 1.6kN.m,
M y 2kN.m
M Z M y 6M z 6M y 6 1600 6 2000 max 11.52MPa 2 2 2 2 Wz Wy bh hb 9 18 18 9
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18cm
求图示悬壁梁的最大正应力，并指出作用点的位置。 P2=1.6 kN z A P1=1 kN
r 3 1 3
1 [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ] 2
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2014年6月26日
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§8-1 概述 §8-2 两相互垂直平面内的弯曲 §8-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形 §8-4 扭转和弯曲的组合变形 §8-5 连接件的实用计算法
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§8 – 2
双向弯曲
具有双对称截
面的梁，它在任何
一个纵向对称面内 弯曲时均为平面弯 曲。 故具有双对称截面的梁在两个纵向对称面内同时承受横向
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材料力学 故有中性轴的方程：
第八章 组合变形
My Iy
Mz z0 y0 0 Iz
中性轴与y轴的夹角q（图a）为
z0 M z I y I y tanq tan y0 M y I z I z
2 其中φ角为合成弯矩 M M y M z2
与y的夹角。
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O
y
zF z0 yF y0 1 2 0 2 iy iz
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zF z0 yF y0 1 2 0 2 iy iz
用 ay和 az 记中性轴在 y , z 两轴上的截距，则有
i ay yF
中性轴
2 z
2 iy az zF
试选用工字钢型号。
D
800
C A B
2500 1500
F
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1、先计算出CD 的杆长
D
800
l 25002 8002 2620 mm 2.62m
C
2、取AB为研究对象，画受力简图
B
A
2500
1500
F
FCD
FAx
FCDy
A
FCDx
FAy
B F
0 0.8 FCD 2.5 F (2.5 1.5) 0 2.62 FCD 42kN
A
M
为计算方便将FCD分解 2.5 FCDx FCD 40kN 2.62 0.8 FCDy FCD 12.8kN 2.62
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外棱角的梁，求任何横截面上
最大拉应力和最大压应力时， 可直接按两个平面弯曲判定这 些应力所在点的位置，而无需 定出中性轴的方向角q。
(c)
工程计算中对于实体截面的梁在斜弯曲情况下，通常不考 虑剪力引起的切应力。
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例8.1 图示矩形截面木梁荷载作用线如图所示。已知 q=0.5 kN/m，l=4 m，=30°，许用应力[]=10 MPa，试校
核该梁的强度。
q
q
B
1 M z max (q cos )l 2 8 z M max cos 866N .m
120
A
l 解：
M max
y
80
M y max
1 2 ql 1kN .m 8
1 (q sin )l 2 8 M max sin 500N .m
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100.5MPa
FN~N
M~M (+)
F
[ ] 100MPa
+
(-)
=
由于最大应力超出很小，超出 部分在5%以内，仍可认为是安
(-)
全的。因此可以选择 I16
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二、偏心拉（压） (Eccentric loads）
当外力作用线与杆的轴线平行但不重合时，将引起轴
安全12-5、重修： 3207
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压杆稳定——1
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第八章 组合变形
回顾
空间应力状态的应变能密度：
1 2 2 vε 12 2 3 2 σ1σ 2 σ 2σ 3 σ 3σ1 2E
体积改变能密度+形状改变能密度：
vε vV vd
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第八章 组合变形
注意到在F1 作用下x 截面绕中性轴y 转动，在F2 作用下x 截面绕中性轴z 转动,可见在F1和F2共同作用下，x 截面必定 绕通过y 轴与z 轴交点的另一个轴转动，这个轴就是梁在两 个相互垂直平面内同时弯曲时的中性轴，其上坐标为y，z的
任意点处弯曲正应力为零。
§8-6 铆钉和螺栓连接的计算
*§8-7
榫齿连接
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第八章 组合变形
§8 –1 一、组合变形的概念
组合变形和叠加原理
构件在荷载作用下发生两种或两种以上的基本变形,
则构件的变形称为组合变形。