正方体的展开图
正方体展开图
1.(04山西)把正方体的表面沿某些棱剪开展 成一个平面图形，请根据各面上的图案判断 这个正方形是( )
2.如图有一正方体房间，在房间内 的一角A 处有一只小虫，它想到房 间的另一角B处去吃食物，它采取怎 样的行走路线最近？
A
B
变形：如图有一长方体房间，在房间 内一角A 处有一只小虫，它想到房间 的另一角B处去吃食物，它采取怎样 的行走路线最近？
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)(15)源自16)(17)(18)
想一想？你能去掉一个面,使它折成一 个正方体吗？
原正方体中相对面在展开图中的位置关 关系？
正方体的每对相对面展开后总是 间隔出现，展开后有公共边或有 公共顶点的两个正方形一定是相 邻面．
1.(04长沙市)如图是一个正方体展开图，在其 中的四个正方形内标有数字1、2、3和-3，要 在其余正方形内分别填上-1、-2，使它折成正 方体后，相对面上的两个数互为相反数。则A 处应填________
2.(05湖南省常德市)如图是一个正方体纸盒的平面展开 图，其中的五个正方形内都有一个单项式，当折成正方 体后，“？”所表示的单项式与对面正方形上的单项式 是同类项，则“？”所代表的单项式可能是（ ）
A. b
B. c
C. d
D. e
3.(05四川省)右图是一个正方体的展开图， 如果正方体相对的面上标注的值相等，那 么x=____ y=____
A
B
这节课我们探索了．．．．．． 这节课我体验到了．．．．．． 这节课我还想．．．．．．
１．请你设计制作一款正方 体形状的产品包装盒。 ２．仿照本节课方法探索长 方体的表面展开图。
正方体展开图
正方体的展开图
3．“222”型，两行只能有1个正方形相 连。
4.“33”型，两行只能有1个正方形相连。
长方体、正方体的展开图
上
后
左 下 右 前
你能找出展开图中相对的面吗？
上 前 左 后 右 下
你能找出展开图中相对的面吗？
上
右
前 下
左
后
你能找出展开图中相对的面吗？
3 1 5 4 6
2
你能找出展开图中相对的面吗？ 上 前 下 左 后
右
你能找出展开图中相对的面吗？
上
后 右
左
前
下
你能找出展开图中相对的面吗？
2 1 5 3 4
6
你能找出展开图中相对的面吗？
前
右
后
上
左
下
你能找出展开图中相对的面吗？
上 右
后
左
前
下
141型
不能出 现“田” 字型
132型
33型
222型Βιβλιοθήκη 1．“141型”，中间一行4个作侧面， 上下两个各作为上下底面，• 共有6种基 本图形。
2．“231型”，中间3个作侧面，上 （或下）边2• 个那行，相连的正方形作 底面，不相连的再下折作另一个侧面， 共3种基本图形。
正方形的11种展开图
正方形的11种展开图
正方体的11种展开图如下：
确定正方体展开图的方法口诀：
正方体盒巧展开，六个面儿七刀裁。
十四条边布周围，十一类图记分明。
四方成线两相卫，六种图形巧组合。
跃马失蹄四分开，两两错开一阶梯。
对面相隔不相连，识图巧排“7”、“凹”、“田”。
用一个平面截正方体，可得到以下三角形、矩形、正方形、五边形、正五边形、六边形、正六边形、菱形、梯形，具体截法如下：（1）三角形：过一个顶点与相对的面的对角线以内的范围内的线。
（2）矩形：过两条相对的棱或一条棱。
（3）正方形：平行于一个面。
（4）五边形：过四条棱上的点和一个顶点或五条棱上的点。
（5）六边形：过六条棱上的点。
（6）正六边形：过六条棱的中点。
（7）菱形：过相对顶点。
（8）梯形：过相对两个面上平行不等长的线。
正方体11种平面展开图
正方体的11种平面展开图正方体的平面展开图共有11种（那些经旋转或翻转后方向不同但实质相同的图形不重复计算），具体来讲分以下4类。
第一类：“1—4—1”型，其特点是有4个连成一排的正方形，两侧又各有1个正方形，共有6种。
第二类：“1—3—2”型，其特点是有3个连成一排的正方形，这一排正方形的一侧有1个正方形，另一侧有2个正方形（其中只有1个与中间那一排相连），共有3种。
第三类：“2—2—2”型，其特点是有2个连成一排的正方形，其两侧又各有2个连成一排的正方形，只有1种。
第四类：“3—3”型，其特点是有3个连成一排的正方形，其一侧还有3个连成一排的正方形，只有1种。
注：①将长方体、正方体展开：无论怎么剪，都要剪7条棱。
②“隔”的原理：相对的面如果在同一行或同一排，中间一定只隔一个面；相对的面如果不在同一行或同一排，中间可以隔着一些面。
③长方体、正方体中各面的关系：相对、相邻。
每个面都有1个相对的面，4个相邻的面。
注：立体图中相对的面在展开图中符合“隔”的原理，而相邻的面在展开图中不符合“隔”的原理。
④长方体、正方体中最多可以同时看到三个面，且这三个面都是相邻的面。
⑤要区分好是从“立体图”到“展开图”，还是从“展开图”到“立体图”：正方体、长方体展开图⑥长方体（不包含正方体）最多有1组相对的面是正方形；当有2组相对的面是正方形时，长方体就变成了正方体（特殊的长方体）。
长方体（不包含正方体）的6个面中，最多有4个面的面积相等；12条棱中，最多有8条棱长度相等。
（即2个相对的面是正方形，其余四个面变为完全相同的长方形。
）⑦正方体的棱长扩大a倍：棱长和扩大a倍，表面积扩大a2倍，体积扩大a3倍。
（给出其中一个，要能将其余的都求出来）⑧常见的平方、立方（需熟记在心）12=1 22=4 32=9 42=16 52= 25 62=36 72=49 82=64 92=81 ……13=1 23=8 33=27 43=64 53= 125 63=216 ……互逆。
4.1.1正方体的展开图
B
D
E
F
G
下列平面图形能折叠成正方体吗？
×
√
×
×
√
√
活动五 看看谁学得更好
判断下列图形能不能折成正方体？
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
正方体展开图的对面
1
2
3
4
观察，黑板上的立方体平面展开，
有何特点？
Z端是对面
相隔是对面
考考你 下面图形中，哪些是正方体的平面展 开图 ？ 若是，找出相对面。
我思故我进步！
反思：几种常见的不能折叠成正方体 的图形。
一、由五个正方形组连成的 “五子连” 形 如
二、由五个正方形组成的“7字”形 如
SKIP
我思故我进步！
三、由五个正方形组成的“凹字” 形
如
四、由四个正方形组成的“田字” 形
SKIP
试一试
下面六个正方形连在一起的图形，经折 叠后能围成正方体的图形有哪几个？(动手试 试）
KEY: 棒
2、“坚”在下，“就”在后，胜利在哪里？
坚
持
就
胜 利
是
下图是一个正方体的展开图，标注了字母 A的面是正方体的正面，如果正方体的左面与 右面所标注代数式的值相等，求 x 的值．
－2
3
-4
1
A 3x-2
再 见
正方体展开图能得到下例图形吗？
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
⑩
11
第一类: 一四一,共六种。
结构特点
一 四 一
第二类: 二三一，共三种
正方体11种展开图
图1
图2
图3
图4
图5
图6
第二类（3种）：中间三连方，两侧各有二、一个。 “二三一”
型
图7
图8
图9
第三类（1种）：中间二连方，两侧各有二个。
图 10 “二二二”型
第四类 （1种）：两排各有三个。
“三三”型
图 11
展开1 第一类（6种）：中间四连方，两侧各有一个。
展开第一类（6种）：中间四连方，两侧各有一个。 2
(16)
(17)
(18)
在展开的过程中注意你剪开了几条棱？
将正方体展开成平面图形 需要剪开7条棱
（无论用哪种方案展开）
开始时我们已经在正方体的 相对的面上标上相同的数字，现在观察一下这些数字在展
开图中有什么规律？
“一四一” 型
“二三一”型
“三三”型
“二二二”型
考考你 下图是正方体的表面展开图。
1、如果“你”在前面，那么谁在 后面？
了！
太棒
你们
2、“坚”在下，“就”在后， “胜”、“利”在哪里？
坚
持就是
胜
利
圆 柱 圆 锥
三 棱 锥
四棱 锥
五棱锥
展开第3 一类（6种）：中间四连方，两侧各有一个。
展开4 第一类（6种）：中间四连方，两侧各有一个。
展开5 第一类（6种）：中间四连方，两侧各有一个。
展开6 第一类（6种）：中间四连方，两侧各有一个。
展开7
第二类（3种）：中间三连方，两侧各有一、二个。
展开8
第二类（3种）：中间三连方，两侧各有一、二个。
展开9
第二类（3种）：中间三连方，两侧各有一、二个
展开10
第三类（1种）：中间二连方，两侧各有二个。
正方体展开全图11种情况
三 棱 锥
四棱锥
五棱锥
正方体展开图
“一四一” 型
“二三一” 型
“三三” 型
“二二二” 型
第一类（6种）：中间四连方，两侧各有一个。
展开1
第一类（6种）：中间四连方，两侧各有一个。
展开2
第一类（6种）：中间四连方，两侧各有一个。
展开3
第一类（6种）：中间四连方，两侧各有一各有一个。
展开5
第一类（6种）：中间四连方，两侧各有一个。
展开6
第二类（3种）：中间三连方，两侧各有一、二个。
展开7
第二类（3种）：中间三连方，两侧各有一、二个。
展开8
第二类（3种）：中间三连方，两侧各有一、二个。
展开9
展开10
第三类（1种）：中间二连方，两侧各有二个。
相间的两个小正方形（中间隔着一个小正方形）是正方体的 两个对面，如图6中的A面和B面；“Z”字两端处的小正方形 是正方体的对面，如图7、图8的A面和B面．
A
A
B
A
B
图6
图7
B
图8
图9
例3．（2005河南）如图9，一个正方体的每个面上都写有 一个汉字，其平面展开图如图9所示，那么在该正方体中， 和“超”相对的字是 ．
A
B
变形：如图有一长方体房间，在房间内一角A 处有一只小虫，它想到房间的另一角 B处去吃食物，它采取怎样的行走路线最近？
A
B
一、一线不过四
是指在正方体展开图中，一条直线上的小正方形不会 超过四个，如图1、图2都不是正方体的展开图．
图1
图2
例1．（2004连云港）下面每个图片都是由6个大小相同的 正方形组成，其中不能折成正方体的是（ ）
正方体11种平面展开图
正方体的11种平面展开图正方体的平面展开图共有11种（那些经旋转或翻转后方向不同但实质相同的图形不重复计算），具体来讲分以下4类。
第一类：“1—4—1”型，其特点是有4个连成一排的正方形，两侧又各有1个正方形，共有6种。
第二类：“1—3—2”型，其特点是有3个连成一排的正方形，这一排正方形的一侧有1个正方形，另一侧有2个正方形（其中只有1个与中间那一排相连），共有3种。
第三类：“2—2—2”型，其特点是有2个连成一排的正方形，其两侧又各有2个连成一排的正方形，只有1种。
第四类：“3—3”型，其特点是有3个连成一排的正方形，其一侧还有3个连成一排的正方形，只有1种。
注：①将长方体、正方体展开：无论怎么剪，都要剪7条棱。
②“隔”的原理：相对的面如果在同一行或同一排，中间一定只隔一个面；相对的面如果不在同一行或同一排，中间可以隔着一些面。
③长方体、正方体中各面的关系：相对、相邻。
每个面都有1个相对的面，4个相邻的面。
注：立体图中相对的面在展开图中符合“隔”的原理，而相邻的面在展开图中不符合“隔”的原理。
④长方体、正方体中最多可以同时看到三个面，且这三个面都是相邻的面。
⑤要区分好是从“立体图”到“展开图”，还是从“展开图”到“立体图”：互逆正方体、长方体展开图⑥长方体（不包含正方体）最多有1组相对的面是正方形；当有2组相对的面是正方形时，长方体就变成了正方体（特殊的长方体）。
长方体（不包含正方体）的6个面中，最多有4个面的面积相等；12条棱中，最多有8条棱长度相等。
（即2个相对的面是正方形，其余四个面变为完全相同的长方形。
）⑦正方体的棱长扩大a倍：棱长和扩大a倍，表面积扩大a2倍，体积扩大a3倍。
（给出其中一个，要能将其余的都求出来）⑧常见的平方、立方（需熟记在心）12=1 22=4 32=9 42=16 52= 25 62=36 72=49 82=64 92=81 ……13=1 23=8 33=27 43=64 53= 125 63=216 ……。
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A
1
多面体可由平面图形围成,我们用 剪刀沿一个正方体的一些棱剪开, 展开成一个平面图形,那么这个平 面图形就是这个正方体的平面展
开图。
A
2
A
3
请同学们将自己准备好的正方体沿某些 棱剪开,能展成哪几种平面图形？与同伴 进行交流.
友情提示：
1、沿着棱剪
2、展开后是一个完整图形
A
4
知识再现
根据口诀快速说出下列图形是 不是正方体的平面展开图？
A
21
1
“一三二”
A
22
2
2个“三”日字
连
A
23
3
整体没有“田”
×
A
24
4
3个“二”成阶
梯
A
25
5
凹字不能有
×
A
26
6
“一四一”
A
27
一、一线不过四
是指在正方体展开图中，一条直线上的小正方形不会 超过四个，如图1、图2都不是正方体的展开图．
在选项A中，由Z字型结构知b与c对面，与已知正方体b、c相邻不符，应排除
；在选项B中，b面与c面隔着a面，b面与c面是对面，也应排除；在选项D中，
虽然a、b、c三面成拐角型，是正方体的A三个邻面，b面作为上面，a面为正面3，1 则c面应在正方体的左面，与原图不符，应排除，故应选（C）．
“坚”在下，“就”在后，胜利在哪里？
图1
图2
例1．（2004连云港）下面每个图片都是由6个大小相同的 正方形组成，其中不能折成正方体的是（ ）
A
B
C
D
分析：因为一条直线上的小正方形A 不会超过四个，所以应选（B）28 ．
二、田、凹应弃之
就是说在正方体表面展开图中不会有“田”字型、“凹”字型 的形状，如图3、图4、图5．
图3
图4
图5
例2．（2003天津）在下列图形中（每个小正方形皆为全等的
的三个面是正方体的邻面．
例4．（2004镇江）如图10，有一个正方体纸盒，在它的三个 侧面分别画有三角形、正方形和圆，现用一把剪刀沿着它的棱 剪开成一个平面图形，则展开图可以是（ ）
（正方体纸盒） （A）
（B）
（C）
（D）
图10
分析：我们把画有圆的一面记为a面，正方形阴影面记为b面，三角形阴影面
记为c面．
A
B
图6
A B
图7
A B
图8
图9
例3．（2005河南）如图9，一个正方体的每个面上都写有 一个汉字，其平面展开图如图9所示，那么在该正方体中， 和“超”相对的字是 ．
分析：自—信—沉—着—超，构成了竖着的Z字型，所以“自”与“超”
对应，பைடு நூலகம்应填“自”．
A
30
四、间二、拐角邻面知 中间隔着两个小正方形或拐角型
正方形），可以是一个正方体表面展开图的是（ ）．
A
B
C
D
分析：通过观察、想象，可以知道A、D含“田”字型、“凹”
字型，B也不能，应选（C）． A
29
三、相间、“Z”端是对面
相间的两个小正方形（中间隔着一个小正方形）是正方体的两 个对面，如图6中的A面和B面；“Z”字两端处的小正方形是 正方体的对面，如图7、图8的A面和B面．
坚
持就是
胜
“胜”在上，
利
“利”在前！
A
32
如果“你”在前面，那么谁在后面？
了！
太棒
你们
KEY: 棒
A
33
3、如下图是一个正方体的展开图，每个
面内部都标注了字母，请根据要求填空：
1）如果D面在左面，那么F面在
；
2）如果B面在后面，从左面看是D面，
那么上面是
。
D
E
DE
A
B
AB
C
C
F
A
F
34
将如图所示的正方体沿某些棱展开后，
能得到的图形是（ C ）
★A
★B
★
C
★
A
A
35
畅所欲言
1.你收获了什么? 2.你最喜欢哪一个环节呢?
A
36