基本不等式课件.ppt

回顾反思
利用基本不等式求函数的最值问题时需注意: (1) “一正、二定、三相等”这三者缺一不可. (2) 注重等价变形，合理“配项、凑项”, 正确
使用均值不等式. (3) 若使用基本不等式，但等号不能取到，则
可考虑利用函数的单调性求解.
变式训练：
(1)已知 a＞0，b＞0，且 4a＋b＝1，求 ab 的最大值； (2)已知 x＜54，求 f(x)＝4x－2＋4x1－5的最大值； (3)已知函数 f(x)＝4x＋ax(x＞0，a＞0)在 x＝3 时取得最小值， 求 a 的值． (4)设 0＜x＜52，则函数 y＝4x(5－2x)的最大值为______． (5)设 x＞－1，则函数 y＝x＋x5＋x1＋2的最小值为________．
x1
x1
≥ 2 ( x 1) 2 1 2 2 1. x1
当且仅当 x 1 2 ,即 x 2 1时等号成立． x1
等号取不到！
在定义域中吗？
思路分析
求函数 f ( x) ax b (a 0,b 0, x D)的最值， x
一般可用基本不等式求解，但必须保证取到等号．
应用前提：
一正：即所求最值得各项必须是正值
二定:即含变量的各项的和或者积必须是常数
三相等:具备不等式等号成立的条件，使函数 取得最大值或者最小值
经典例题
例 1 求函数 y x 1 ( x 0)的最值． 2x
思路分析 例 1 求函数 y x 1 ( x 0)的最值． 2x
x1
x1
≥ 2 ( x 1) 2 1 2 2 1. x1
当且仅当 x 1 2 ， x1
即 x 2 1时等号成立．
所以函数的最小值为2 2 1．
拓wk.baidu.com延伸
延伸 2 求函数 y x 2 ( x ≥ 1)的最小值． x1
解 将函数式变形为
y x 2 =( x 1) 2 - 1
思路2：将函数式变形为 y ( x 1 ) 2 x
合理配凑 创设情境
求解过程
解 由 x < 0，可得 x 0, 1 0.
各项为正
2 x
所以 x 1 ≥ 2 ( x) ( 1 )
2 x
2x
2.
易错！
从而 y x 1 ( x 1 )≤ 2.
思路1： 由基本不等式，可得
知识模糊
y x 1 ≥ 2 x 1 2. 审题不清
2x
2x
当且仅当x 1 ,即x2 1 等号成立.
2x
2
又x 0,所以x 2 时,等号成立. 2
所以函数的最小值为 2, 无最大值．
缺少运用基本不等式的条件——a,b为正实数．
思路分析
例 1 求函数 y x 1 ( x 0)的最值． 2x
2x
2 x
当且仅当 x 1 ,即 x 2 ( x 0)时等号成立．
2x
2
所以函数的最大值为 2, 无最小值．
拓展延伸
延伸 1 求函数 y x 2 ( x 1)的最小值． x1
思路１：由 x 0, 2 0， x1
并非定值, 此法错误！
所以 x 2 ≥ 2 x 2 .
若取不到等号，可利用函数的单调性求解．
思路分析
函数 f ( x) ax b (a 0,b 0)的单调性为： x
在区间(, b ]和[ b ,)上单调递增， y aa
在区间[ b ,0)和(0, b ]上单调递减．
b a
ob
a
x
a
a
求解过程
解 先利用函数单调性定义证明 y x 2 ( x ≥ 1)在[1,)上单调递增（略）． x1 所以当 x=1时，ymin 2.
解：∵f(x)＝4x＋ax≥2 4x·ax＝4 a， 当且仅当 4x＝ax，即 4x2＝a 时 f(x)取得最小值． 又∵x＝3，∴a＝4×32＝36.
(4)设 0＜x＜52，则函数 y＝4x(5－2x)的最大值为______．
解：因为 0＜x＜52，所以 5－2x＞0， 所以 y＝4x(5－2x)＝2×2x(5－2x) ≤22x＋25－2x2＝225，当且仅当 2x＝5－2x，即 x＝54时等号 成立，故函数 y＝4x(5－2x)的最大值为225.
x1
x1
当且仅当 x 2 ，即 x=1 时等号成立． x1
此时 ymin 2
2 2 2. 1 1
结论错误
拓展延伸
延伸 1 求函数 y x 2 ( x 1)的最小值． x1
思路2： 将函数式变形为
积为定值！
y x 2 =( x 1) 2 - 1.
若ab＞０，则
b a≥2 ab
(当且仅当a=b时取“=”)．
两个重要结论：
已知 x＞0，y＞0，则
(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y时，x＋y 有最 小 值是 2 p (简记：积定和最小)． (2)如果和 x＋y 是定值 s，那么当且仅当 x＝y 时，xy 有
s2
最大 值是 4 (简记：和定积最大)．
解 因为 x＜54，所以 5－4x＞0，则 f(x)＝4x －2＋4x1－5＝－(5－4x＋5－14x)＋3≤－2＋3
＝1.当且仅当 5－4x＝5－14x，即 x＝1 时，等
号成立．故 f(x)＝4x－2＋4x1－5的最大值为 1.
(3)已知函数 f(x)＝4x＋ax(x＞0，a＞0)在 x＝3 时 取得最小值，求 a 的值．
利用基本不等式求函数的最值
默写：基本不等式
基本不等式
若 a≥0,b≥0,则 ab ≤ a b（当且仅当 a=b 时取“=”）． 2
重要结论 若a∈R, b∈R，则 ab ≤ ( a b )2 (当且仅当a=b时取“=”).
2 若a∈R, b∈R，则 a2 b2 ≥ 2ab (当且仅当a=b时取“=”)．
(1) 已知 a＞0，b＞0，且 4a＋b＝1， 求 ab 的最大值
解 (1) ∵a＞0，b＞0,4a＋b＝1， ∴1＝4a＋b≥2 4ab＝4 ab， 当且仅当 4a＝b＝12，即 a＝18，b＝12时，等号 成立． ∴ ab≤14，∴ab≤116.所以 ab 的最大值为116.
(2)已知 x＜54，求 f(x)＝4x－2＋4x1－5的最大值；