相交线与平行线小结-数学七年级人教版
人教版七年级数学上册《相交线与平行线》知识点归纳(五四制)
人教版七年级数学上册《相交线与平行线》知识点归纳（五四制）第十二章相交线与平行线相交线与平行线一：相交线（1）相交线的定义两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线．（2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类．（3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）相交：如图所示，直线AB与直线CD相交于点O，其中以O为顶点共有4个角： 1，2，3，4对顶角与邻补角（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．（3）对顶角的性质：对顶角相等．（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的邻补角：其中1和2有一条公共边，且他们的另一边互为反向延长线。
像1和2这样的角我们称他们互为邻补角；对顶角：1和3有一个公共的顶点O，并且1的两边分别是3两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角；1和2互补，2和3互补，因为同角的补角相等，所以1＝3。
所以对顶角相等二：垂线（1）垂线的定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．（2）垂线的性质过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”“过一点”的点在直线上或直线外都可以．如图所示，图中ABCD，垂足为O。
垂直的两条直线共形成四个直角，每个直角都是90。
垂线段最短（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．（2）垂线段的性质：垂线段最短．正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．点到直线的距离（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．三、平行线在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．（1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．记作：a∥b；读作：直线a平行于直线b．（2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意：①前提是在同一平面内；②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线．如图，直线a与直线b平行，记作a//b平行线公理及推论（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．（2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．（3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．（4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．四、平行线的性质同位角、内错角同旁内角同一个平面中的三条直线关系三条直线在一个平面中的位置关系有4中情况：有一个交点，有两个交点，有三个交点，没有交点（1）有一个交点：三条直线相交于同一个点，如图所示，以交点为顶点形成各个角，可以用角的相关知识解决（2）有两个交点:（这种情况必然是两条直线平行，被第三条直线所截。
专题01 相交线与平行线(考点串讲)-七年级数学下学期期末考点大串讲(人教版)
是多少呢？
分析：根据图形的特点，将图中的两条小路分别向右、向上平移得到一个
新的长方形．
解：经过平移后得到新长方形的长为21－1＝20(米)，宽为10－1＝9(米)．
所以草地的面积为20×9＝180(平方米)．
命题高频点 5
探究问题
【例 5】如图，AB∥CD，∠ABE 与∠CDE 的平分线相交于点 F，若∠ABM
④因为 AB∥CD，CD∥EF，所以 AB∥EF.其中正确的推理是( B )
是点 C 到
直线 OB 的距离；
(4)因为连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，
线段PC、PH、OC这三条线段的大小关系是
号连接)．
垂线段最短
PH＜PC＜OC
，所以
(用“＜”
考点三：平行的性质与判定
5．(深圳中考)下列选项中，哪个不可以得到 l1∥l2( C )
A．∠1＝∠2
B．∠2＝∠3
C．∠3＝∠5
∠B＋∠C＋∠ADC＝360°.
9．如图，直线 EF、CD 相交于点 O，OA⊥OB，且 OC 平分∠AOF.
(1)若∠AOE＝40°，求∠BOD 的度数；
(2)若∠AOE＝α，求∠BOD 的度数(用含α的式子表示)；
(3)从(1)(2)的结果中你能看出∠AOE 和∠BOD 有何关系？请直接写出结果．
2
2
(3)从(1)(2)的结果中能看出∠AOE＝2∠BOD.
10．(1)如图①，已知∠ABC，射线ED∥AB，过点E作∠DEF＝∠ABC，
试说明：BC∥EF；
(2)如图②，已知∠ABC，射线ED∥AB，∠ABC＋∠DEF＝180.判断直线
人教版七年级数学下册相交线与平行线知识点
一相交线与平行线1.相交线➢关键词：邻补角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角➢性质：对顶角相等..2.垂线➢关键词：垂直、垂足、➢定义：两条直线相交所成的四个角中;有一个角是直角时;就说这两条直线互相垂直．其中一条直线叫另一条直线的垂线;它们的交点叫垂足..➢性质：1在同一平面内;过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．2直线外一点与直线上各点连结的所有线段中;垂线段最短．简称：垂线段最短.该垂线段的长度称为点到直线的距离..3.平行线➢定义：在同一个平面内;不相交的两条直线叫做平行线．平行用符号“//”表示..如图一;直线AB与CD是平行线;记作“AB//CD” ;读作“AB平行于CD”．在同一个平面内;两条直线的位置关系只有两种：相交或平行．图一➢判定：1同位角相等;两直线平行..2内错角相等;两直线平行..3 同旁内角互补;两直线平行..4 平行于同一直线的两直线平行..5垂直于同一直线的两直线平行..➢性质：1 两条平行线被第三条直线所截;同位角相等．2 两条平行线被第三条直线所截;内错角相等．3 两条平行线被第三条直线所截;同旁内角互补．4.命题➢定义：判断一件事情的语句;叫做命题．➢一般形态：1“如果……;那么……．”2“若……;则……．”3“倘若……;那么……．”➢分类：1正确的命题：如果题设成立;那么结论一定成立的命题．2如果题设成立;不能保证结论总是成立的命题．5. 数学名词➢定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理;如“内错角相等;两直线平行”、“两直线平行;内错角相等”等等．➢公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题;叫做公理;如“同位角相等;两直线平行”、“两直线平行;同位角相等”等．➢证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明．二平面直角坐标系1. 有序数对➢定义：有顺序的两个数a与b组成的数对a;b叫做有序数对..➢应用：找出平面上点的坐标..2. 平面直角坐标系➢平面直角坐标系：由平面内两条互相垂直、原点重合的数轴组成..水平的数轴称为 X轴或横轴;竖直的数轴称为y轴或纵轴..➢用坐标表示地理位置：➢用坐标表示平移：1一般地;在平面直角坐标系中;将点x;y向右或左平移 a个单位长度;可以得到对应点x+a;y或x-a;y；将点x;y 向上或下平移b个单位长度;可以得到对应点表示x;y+b或 x;y-b..2一般地;将一个图形一次沿两个坐标轴方向平移所得到的的图形;可以通过将原来的图形作一次平移得到..3一般地;在平面直角坐标系内;如果把一个图形各个点的横坐标都加或减去一个正数a;相应的新图形就是把原图形向上或向下平移a个单位长度..三二元一次方程组1.概念➢二元一次方程：含有两个未知数;并且未知数的指数都是1;像这样的方程叫做二元一次方程;一般形式是ax+by=ca≠0;b≠0..➢二元一次方程的解：一般地;使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程组的解..➢二元一次方程组：把两个二元一次方程合在一起;就组成了一个二元一次方程组..➢二元一次方程组的解：一般地;二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解..2.消元法➢定义：将未知数的个数由多化少;逐一解决的想法;叫做消元思想..➢代入消元：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来;再代入另一个方程;实现消元;进而求得这个二元一次方程组的解;这种方法叫做代入消元法;简称代入法..➢加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时;将两个方程的两边分别相加或相减;就能消去这个未知数;这种方法叫做加减消元法;简称加减法..习题一一、选择题1. 如图;∠1和∠2是同位角的是A. ① ② B . ① ③ C . ② ③ D. ② ④① ② ③ ④2. 张雷同学从A 地出发沿北偏东500的方向行驶到B 地;再由B 地沿南偏西200的方向行驶到C 地;则∠ABC 的度数为A. 400B. 300C. 200D. 00 3.下列说法中;正确的是A. 相等的两个角是直角B. 同旁内角互补C. 一个角的补角一定是钝角D. 如果同位角不相等;两条直线一定不平行4.如图1;一个宽度相等的纸条;如图那么折叠一下;∠1等于 度A. 150º B . 120º C. 60º D. 75º5．点B-3;0在 上A 、 在x 轴的正半轴上B 、 在x 轴的负半轴上C 、 在y 轴的正半轴上D 、 在y 轴的负半轴上6．点C 在x 轴上方;y 轴左侧;距离x 轴2个单位长度;距离y 轴3个单位长度;则点C 的坐标为 A 、2;3 B 、 -2;-3 C 、 -3;2 D 、3;-2 7．若点Mx ;y 的坐标满足x +y =0;则点M 位于A ．第二象限B ．第一、三象限的夹角平分线上C ．第四象限D ．第二、四象限的夹角平分线上 8．某同学的座位号为2;4;那么该同学的所座位置是A 、 第2排第4列B 、 第4排第2列C 、 第2列第4排D 、 不好确定9．二元一次方程组32325x y x y -=⎧⎨+=⎩的解是A ．3217 (23)0122x x x x B C D y y y y =⎧⎧===⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-=⎩⎩⎪⎪=⎩⎩ 10．关于x;y 的二元一次方程组59x y kx y k +=⎧⎨-=⎩的解也是二元一次方程2x+3y=6的解;则k 的值是•A ．k=－34 B ．k=34 C ．k=43 D ．k=－43 11．如果方程组1x y ax by c +=⎧⎨+=⎩有唯一的一组解;那么a;b;c 的值应当满足A ．a=1;c=1B ．a ≠bC ．a=b=1;c ≠1D ．a=1;c ≠112．方程3x+y=7的正整数解的个数是A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2112121213．已知x;y 满足方程组45x m y m+=⎧⎨-=⎩;则无论m 取何值;x;y 恒有关系式是A ．x+y=1B ．x+y=－1C ．x+y=9D ．x+y=9 二 填空题1.如图1所示;点A 的坐标为_______;点B 的坐标为_______;点C 的坐标为_______;点D 的坐标为_______;2.如图2所示;添加条件：_______________只需写一个;可以使AB ∥CD;理由是___________________________.ODECBAOD ECBA3. 如图3;直线AB 、CD 相交于点O ;OE ⊥AB ;O 为垂足;如果∠EOD = 38°;则∠AOC = ;∠COB = .4．写出一个解为12x y =-⎧⎨=⎩的二元一次方程组__________．5．a －b=2;a －c=12;则b －c 3－3b －c+94=________．6．已知32111x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩和都是ax+by=7的解;则a=_______;b=______． 三、解答题：1.已知：如图;AD ∥BC ;∠D ＝100°;AC 平分∠BCD ;求∠DAC 的度数．2．已知y=3xy+x;求代数式2322x xy yx xy y+---的值．4321BAED C xy2341-1-2-3-4-3-2-12143(1)DC B A1 2 3。
七下数学人教版课本知识点总结非常完整
七下数学课本知识点总结非常完整人教版七年级数学下册知识点第五章 相交线与平行线一、1、在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有 两 种： 相交 和 平行 ， 垂直 是相交的一种特殊情况。
2、在同一平面内，不相交的两条直线叫 平行线 。
如果两条直线只有 一个 公共点，称这两条直线相交；如果两条直线 没有 公共点，称这两条直线平行。
3、两条直线相交所构成的四个角中，有 公共顶点 且有 一条公共边 的两个角是 邻补角。
邻补角的性质： 邻补角互补 。
4、两条直线相交所构成的四个角中，一个角的两边分别是另一个角的两边的 反向延长线 ，这样的两个角互为 对顶角 。
对顶角的性质：对顶角相等。
如图1所示，∠1与∠3互为对顶角。
∠1=∠3；∠2与∠4互为对顶角，∠2=∠45、两条直线相交所成的角中，如果有一个是 直角或90°时，称这两条直线互相垂直， 其中一条叫做另一条的垂线。
如图2所示，当 ∠1 = 90°时， a ⊥ b 。
垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
简单说成：垂线段最短。
性质3：如图2所示，当 a ⊥ b 时，∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4 = 90°。
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离。
6、同位角、内错角、同旁内角基本特征：①在两条直线(被截线)的 同一方 ，都在第三条直线(截线)的 同一侧 ，这样的两个角叫 同位角 。
同位角呈“F ” ②在两条直线(被截线) 之间 ，并且在第三条直线(截线)的 两侧 ，这样的两个角叫 内错角 。
内错角呈“Z ”③在两条直线(被截线)的 之间 ，都在第三条直线(截线)的 同一旁 ，这样的两个角叫 同旁内角 。
同旁内角呈“U ” 7、平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
人教版初中数学七年级下 相交线和平行线知识点总结
人教版初中数学七年级下相交线和平行线知识点总结本章介绍了平面内两条直线相交与平行的关系，重点探讨了两条直线相交时形成角的特征、两条直线互相垂直的特性、两条直线平行的条件和特征，以及有关图形平移变换的性质。
本文将对其中的重点知识点进行总结。
5.1 相交线1.邻补角与对顶角当两条直线相交时，所形成的四个角具有不同的关系。
其中，对顶角是具有特殊位置关系的两个角，它们的大小相等；邻补角则是互为反向延长线的两个角，它们的和为180度。
2.垂线垂线是指当两条直线相交时，其中一个角为直角的情况。
垂线具有两个性质：一是过一点只有一条直线与已知直线垂直；二是连接直线外一点与直线上各点的垂线段最短。
3.垂线的画法画垂线的方法有两种：一是过直线上一点画已知直线的垂线；二是过直线外一点画已知直线的垂线。
画法可采用“一靠二移三画”的方法。
4.点到直线的距离点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
记忆时应结合图形进行理解。
本章内容的重点是垂线和其性质、平行线的判定方法和性质、平移和其性质，以及这些知识点的组织运用。
在研究这些知识点时，需要注意记忆其定义和性质，掌握其画法和应用方法。
垂线是指从一个点垂直于一条直线或平面的线段，而垂线段则是垂线的长度。
它们都具有垂直的性质，可以用来计算点到直线的距离或两点间的距离。
点到直线的距离是特殊的两点（即已知点与垂足）间距离，而两点间的距离是点与点之间的长度。
线段和距离都是长度的概念，但线段是一种图形，不能等同于距离。
平行线是指在同一平面内不相交的两条直线，它们的位置关系只有两种：相交和平行。
判断两条直线的位置关系可以根据它们的公共点个数来确定，有且只有一个公共点时两直线相交，无公共点时两直线平行，两个或两个以上公共点时两直线重合。
平行公理指出，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
同时，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
三线八角是指两条直线被第三条直线所截形成的八个角，包括同位角、内错角和同旁内角。
人教版数学七年级下册-相交线与平行线 教学反思
《相交线与平行线》教学反思（1）内容呈现上充分体现认知过程，给学生提供探索与交流的时间和空间强调学生通过“做数学”来学习数学是本章教科书的一个突出特点。
在内容处理上，加强了实验几何的成分，将实验几何与论证几何有机结合。
对于几何中的结论，多是采用先让学生通过画图、折纸、剪纸、度量或做试验等活动，探索发现几何结论，然后再对结论进行说明、解释或论证，为由实验几何到论证几何的过渡做好铺垫，在教学时应充分注意这一点。
对于本章中的一些概念、性质、公理和定理，教科书大多是通过“留空”、设问、设置“观察”“思考”“讨论”“探究”“归纳”以及“数学活动”等栏目，让学生通过探索活动来发现结论，经历知识的“再发现”过程，在探究活动的过程中发展创新思维能力，改变学生的学习方式。
（2）注意加强直观性密切联系实际，体现知识的形成和应用过程。
几何图形是从实际中抽象出来的，所以几何图形的定义、性质都是比较抽象的，这一点对于学生来说有一定的困难．为了减少学生学习的困难，在学习这一章时，注意加强了直观教学，使教学内容尽量贴近学生的生活。
（3）循序渐进地安排技能训练这一章的教学，除了要学习一些数学知识以外，还担负着一些技能和能力的培养和训练的任务。
这既有几何语言、图形方面的，也有说理、推理方面的。
这些内容，都是进一步学习空间与图形知识的基础。
（4）有意识地培养学生有条理地思考和表达对于推理能力的培养，本套教科书按照“说点儿理”“说理”“简单推理”“用符号表示推理”等不同层次分阶段逐步加深地安排。
本章对于推理的要求还处在入门阶段，只是结合知识的学习，识图、画图、几何语言的训练从“说理”过渡到“简单推理”。
各个过程中，都没有采用“已知……，求证……，证明”的形式逻辑格式，而是用说理的方式展示推理的过程，但强调让学生经历推理的过程，感受推理论证的作用，使说理、推理作为观察、实验、探究得出结论的自然延续。
因此教学中要注意准确把握教学要求，对推理能力的培养要有一个循序渐进逐步提高的过程，要鼓励学生用自己的语言说明理由，在书写格式上不作统一要求，可以用自然语言，可以结合图形进行说明，可以用箭头等形式表明自己的思路，也可以用数学符号语言表示说理、简单推理的过程，等等。
我对相交线和平行线的认识
我对相交线和平行线的认识
1. 相交线
相交线是指在同一平面内有一个公共点的两条线或线段。
这个公共点被称为交点。
相交线形成一个交角,根据角的大小可以分为锐角、直角和钝角。
2. 平行线
平行线是指在同一平面内,两条线彼此之间的距离相等且不相交的线条。
平行线之间没有交点。
一些关于相交线和平行线的基本性质:
- 两条相交线形成两对垂直的同位角。
- 两条平行线之间的距离相等。
- 一条线与一条平行线垂直相交时,形成的角为直角。
- 任意两条不平行的线在平面上总是相交。
- 过一点外加一条直线,只有一条平行线可以通过这一点。
相交线和平行线在几何学和日常生活中有广泛的应用,例如建筑设计、导航定位等。
理解它们的性质和关系对于学习几何知识很有帮助。
新人教七年级数学下册_第五章_相交线与平行线_全章讲与练
第五章相交线与平行线第一节、知识梳理：相交线与平行线一、学习目标1.理解对顶角、邻补角的概念，掌握其性质，会用其性质进行有关推理和计算；2.掌握垂线、垂线段、点到直线的距离的概念；3.掌握“三线八角”的内容.二、学习重点与难点学习重点：1.邻补角、对顶角以及点到直线距离的概念；2.掌握两直线平行的三个判定方法.学习难点： 1.对顶角的性质、垂线性质；2.灵活运用平行线的判定方法来解题.三、知识概要1.要正确理解邻补角、对顶角的含义：（1）判断两个角是否是邻补角，关键要看这两个角的两边，其中一边是公共边，另外两边是互为反向延长线；（2）邻补角是成对的，是具有特殊位置关系的两个互补的角；（3）判断两个角是否是对顶角，看这两个角是不是有公共顶点且有相同的邻补角，只有符合这两个条件时，才能确定这两个角是对顶角.2.垂线、垂线段和点到直线的距离是三个不同的概念，不要混淆：（1）两条直线互相垂直是两条直线相交的特殊情况，特殊在交角都为直角，垂线是其中一条直线对另一条直线的称呼；（2）垂线是直线，垂线段是一条线段，是图形.（3）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说成垂线段是距离.3.两条直线的位置关系，是在两条直线在“同一平面内”的前提下提出来的，它们的位置关系只有两种：一是相交（有一个公共点），二是平行（没有公共点）：（1）识别同位角、内错角、同旁内角的关键是要抓住“三线八角”，只有“三线”出现且必须是两线被第三线所截才能出现这三类角；（2）判定两条直线平行时要正确判断出是什么角，什么关系，由此可以推出哪两条直线平行.四、知识链接1.本周相交线、平行线是以前学的直线的位置关系的延伸.2.通过内错角、同位角、同旁内角等角度的比较得到平行线.而由平行线又可得到下周的平行线性质.五、中考视点平行与相交线中的垂直是经常考的内容.一般考其基础知识，以填空选择为主.平行线的性质与平移一、学习目标1.掌握平行线的性质并会应用.2.理解命题并会判断.3.理解平移的定义并会应用平移的特征.二、知识概要1.平行线的性质性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等.性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等.性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同旁内角互补.2.两条平行线的距离同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离.对于这个概念，应注意三点：（1）两条直线必须是平行的；（2）第三条直线同时垂直于它们；（3）距离是线段的长度，是个具体的数，而不是线段这个图形.3.关于命题判断一件事情的语句叫做命题.每个命题都是由条件和结论两部分组成的.4.平移的概念在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动就称做为平移. 5.平移的基本特征平移的基本特征是：经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应线段平行且相等，对应角相等.三、重点难点学习重点：1.平行线的性质及其应用.2.平移的特征.学习难点：1.命题的判断.2.平移变换及其性质应用.四、知识链接平行线的性质与判定定理有互逆性，平移变换及性质是研究动态几何的基础内容之一.五、中考视点平行线的知识是每年必考的内容，在填空选择中经常直接考平行线的性质.在解答题中经常与其他知识联系，综合考查.平移知识也是考的比较多的内容，尤其是在做辅助线时经常用到.第二节、教材解读:理解“三线八角”当两条直线AB和CD被第三条直线EF所截（如图），可得到八个角.根据位置特征不同，把∠1和∠5、∠2和∠6、∠4和∠8、∠3和∠7这样的称作同位角；把∠4和∠6、∠3和∠5这样的称作内错角；把∠4和∠5、∠3和∠6这样的称作同旁内角.在数学中也常把与同位角、内错角、同旁内角相关的问题称作“三线八角”问题.1.所谓同位角也就是位置特征相同，如∠1和∠5同在“左上”（AB和CD左侧，EF上方）；∠2和∠6同在“左下”（AB和CD左侧，EF下方）；∠4和∠8同在“右上”（AB和CD右侧，EF上方）；∠3和∠7同在“右下”（AB和CD右侧，EF下方）.2.所谓内错角是指在两条被截直线之内，在第三条直线左右错开的位置的角，如∠4和∠6在AB和CD之内，而在EF左右两边错开的角；∠3和∠5在AB和CD之内，而在EF左右两边错开的角.3.所谓同旁内角是指在第三条直线同旁，而在两条被截直线之内的位置的角，如∠4和∠5同在EF 上边而在AB和CD之内；∠3和∠6同在EF 下边而在AB和CD之内.第三节、错解剖析【例1】填空：从直线外一点到这条直线的 ____，叫做点到直线的距离．错解：垂线段．【思考与分析】点到直线的距离是指垂线段的长度，它是一个数量而不是图形．错误的原因是概念不清.正解：垂线段的长度．【例2】判断正误：有公共端点且没有公共边的两个角是对顶角．错解：正确．【思考与分析】此题错在没有抓住对顶角概念的实质，出现了扩大概念实质和概念外延的错误，把一些不是对顶角的角看成了对顶角，如下图中∠1和∠2有公共顶点且没有公共边，但它们不是对顶角．错误的原因是概念不清.正解：如果一个角与另一个角有公共端点且两边分别是这个角的两边的反向延长线，那么这两个角叫对顶角．【例3】如图，若AB∥CD，CD∥EF，则AB∥EF.理由是什么？错解：等量代换．【思考与分析】上面的回答把相等和平行混为一谈，相等说的是两个量的大小关系，平行说的则是两条直线的位置关系，完全不是一码事，所以，平行线的传递性是不能用"等量代换"来表达的．错误的原因是位置关系和数量关系混淆正解：平行于同一条直线的两条直线平行．【例4】判断正误：同一平面内不相交的两条线是平行线．错解：正确.【思考与分析】平行线是讲同一平面内两条直线的位置关系.不相交的两条射线或线段有可能延长或反向延长后相交．错误的原因是没有分清“三线”的区别和联系.正解：同一平面内不相交的两条直线是平行线．【例5】判断正误：不相交的两条直线是平行线．错解：正确．【思考与分析】在同一平面内不相交的两条直线是平行线，但在空间里很容易找到不相交的两条直线，而且它们并不平行，错误的原因是思考不周.正解：在同一平面内不相交的两条直线是平行线．第四节、思维点拨【例1】已知，如图，直线AB、CD相交于O，OE平分∠BOD且∠AOE=150°，你能求出∠AOC的度数吗？【思考与分析】观察图形我们可知，∠AOE与∠BOE是邻补角，所以∠BOE的度数可求，又由OE是∠BOD的角平分线可求得∠BOD=2∠BOE，而∠AOC与∠BOD是对顶角，故∠AOC 可求.解：∵ AB是直线（已知），∴∠AOE与∠BOE 是邻补角（邻补角定义）.∴∠AOE+∠BOE=180°（补角定义）.又∠AOE=150°（已知），∴∠BOE=180°-∠AOE=180°－150°=30°（等式性质）.∵ OE平分∠BOD（已知），∴∠BOD=2∠BOE（角平分线定义）.即∠BOD=2×30°＝60°.∵∠AOC与∠BOD是对顶角（由图可知），∴∠AOC＝∠BOD（对顶角相等）.∴∠AOC＝60°.反思：在思考过程中抓住角平分线DE与各个角的关系是解题的关键.【例2】如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠1=15°30′，则下列结论中不正确的是（）.A.∠2=45°B.∠1=∠3C.∠AOD与∠1互为补角D.∠1的余角等于75°30′思考与解: ∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°.∵OF平分∠AOE，∵∠1与∠3是对顶角，∴∠1=∠3.∴B正确.∵∠AOD与∠1互为补角.∴C正确.∵∠1=15°30′，∴∠1的余角=90°-15°30′=74°30′.∴D不正确.故选D.【小结】我们在做这类选择题时，首先把题中条件与图形一一对应，然后看每个结论是否与条件冲突.【例3】已知，如图，直线AB、CD互相垂直，垂足为O，直线EF过点O，∠DOF＝32°，你能求出∠AOE的度数吗？【思考与分析】我们由AB⊥CD可知∠AOC＝90°，因此，∠AOE与∠EOC 互余.又因为∠EOC与∠DOF是对顶角，于是∠EOC=32°，于是∠AOE可求.解法一：∵直线CD与EF交于O（已知），∴∠EOC=∠DOF （对顶角相等）.∵∠DOF＝32°（已知），∴∠EOC=32°（等量代换）.∵AB、CD互相垂直（已知），∴∠AOC＝90°（垂直定义）.∴∠AOE+∠EOC=90°.∴∠AOE=90°-∠EOC=90°-32°=58°.解法二：∵直线AB、CD互相垂直（已知），∴∠BOD＝90°（垂直定义）.∴∠BOF+∠DOF=90°.∵∠DOF＝32°（已知），∴∠BOF=90°-∠DOF=58°.∵直线AB与直线EF交于点O（已知），∴∠AOE=∠BOF（对顶角相等）.∴∠AOE＝58°.反思：第一种解法先用对顶角后用互余，第二种解法先用互余后用对顶角，我们在平时做题时也应该多想多做，多角度分析解决问题.【例4】如图3，直线AB与CD相交于点F，EF⊥CD，则∠AFE与∠DFB之间的关系是______.【思考与分析】我们由所给的条件EF⊥CD，得∠CFE=90°，也就是说∠AFE＋∠AFC=90°，又根据对顶角相等，得∠AFC＝∠DFB，所以∠AFE＋∠DFB=90° .本题也可利用平角的定义来解，即由∠AFE＋∠DFB＋∠EFD=180°，又因为∠EFD=90°，所以∠AFE＋∠DFB=90°.解：∠AFE与∠DFB互为余角（或∠AFE＋∠DFB=90°）.【小结】这类题目的特点是有条件而无结论，要从所给的条件出发，通过分析、比较、猜想，寻找多种解法和结论，再进行说理证明.这类题目具有较强的探索性，思维空间较大且灵活，突破了死记概念的传统模式.【例5】平行直线AB和CD与相交直线EF、GH相交，图中的同旁内角共有（）对.A. 4对B. 8对C. 12对D. 16对【思考与解】我们可将原图分解为八个“三线八角”即“直线AB和CD 被直线EF所截”、“直线AB和CD 被直线GH所截”、“直线EF和GH被直线AB所截”、“直线EF和GH被直线CD所截”、“直线AB和EF被直线GH所截”、“直线EF和CD 被直线GH所截”、“直线AB和GH被直线EF所截”、“直线GH和CD 被直线EF所截”.每一个“三线八角”都有两对同旁内角，故原图中共有16对，因此选择D.【小结】解这类问题，关键是如何用图形分解法把图形分成若干个“三线八角”.【例题】（1）如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=50°，BD∥AC，则∠CBD的度数是°.（2）已知：如图2，直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠BEF的平分线与∠DFE 的平分线相交于点P．你能说明∠P=90°吗？（3）如图3，已知AB∥CD，∠C=75°，∠A=25°，则∠E的度数为 .【思考与解】（1）解法一：由题意我们知BD∥AC.所以∠ABD+∠BAC=180°.所以∠CBD=180°-50°-90°=40°.解法二：由题意我们知∠C=90°-∠A=90°-50°=40°.又因为BD∥AC. 所以∠CBD=∠C=40°.（2）因为AB∥CD.所以根据平行线的性质得：∠BEF+∠EFD=180°.又因为EP、FP分别平分∠BEF和∠EFD.所以∠P=180°-（∠1+∠2）= 180°-90°=90°.（3）因为AB∥CD. 所以∠BFE=∠C=75°.所以∠AFE=180°-∠BFE= 180°-75°=105°.所以∠E=180°-∠A-∠AFE=180°-25°-105°=50°反思：我们在做这类题的时候，一定要想是不是这样做最简单，是不是只有这一种解法？【例6】如图1，如果∠B＝∠1=∠2＝50°，那么∠D＝ .【思考与分析】我们通过观察图形，由∠B＝∠1=∠2＝50°可得AB∥DC、AD∥BC，再利用其性质同旁内角互补可得∠D的度数.解：因为∠B＝∠1，所以AB∥DC，所以∠B＋∠BCD=180°，∠BCD=130°.又因为∠B＝∠2，所以AD∥BC，所以∠BCD＋∠D=180°，∠D=50°.反思：我们解题时用的是同旁内角互补.还可以利用∠D＝∠1＝∠B＝50°.也可以利用∠D＝∠2＝∠B＝50°.大家可以试一试.【例7】如图2，直线l1、l2分别与直线l3、l4相交，∠1与∠3互余，∠3的余角与∠2互补，∠4＝125°，则∠3＝ .思考与解：因为∠1与∠3互余，∠3的余角与∠2互补，所以∠1＋∠2＝180°.所以l1∥l2.所以∠3＝∠5＝180°－∠4＝55°.反思：我们难以理解的是为什么∠1＋∠2＝180°？我们可由题意列式∠1＋∠3＝90°，90°－∠3＋∠2＝180°.两个式子相加可得∠1＋∠2＝180°.在解决有关平行问题的时候，有时需要添加必要的辅助线，而添加平行线作为辅助线，更是解决此类问题好的帮手.下面举几例说明.【例8】如图1所示，直线a∥b，∠ACF＝50°，∠ABE＝28°，求∠A的大小.【思考与分析】要求∠A的大小，关键是确定辅助线的位置.于是我们会想到过点A作AD∥b，这样利用平行线的知识即可求解.解：过点A作AD∥b，则∠DAC＝∠ACF＝50°.又因为a∥b，所以AD∥a.所以∠DAB＝∠ABE＝28°.所以∠BAC＝∠DAC－∠DAB＝50°－28°＝22°，即∠A的大小是22°.反思：在解题时我们做AD∥b，那么是不是必须要做辅助线呢？我们继续思考：∠A在△ABG中，∠ABE也在△ABG中且等于28°，那么只要求出∠AGB的度数，就可求∠A的度数.【例9】如图2，AB∥CD，EO与FO相交于点O，试猜想∠AEO、∠EOF、∠CFO之间的关系，并说明理由.【思考与分析】由于∠BEO、∠EOF、∠DFO三个角的位置较散，设法通过辅助线使之相对集中，我们可以考虑AB∥CD，可以过点O作MN∥AB，这样即可找到三个角之间的关系了.由此猜想∠AEO+∠CFO+∠EOF=360°.解：过点O作MN∥AB.因为AB∥CD，所以CD∥MN.所以∠AEO+∠EOM=180°，∠MOF+∠CFO=180°.所以∠AEO+∠CFO+∠EOF=∠AEO+∠EOM＋∠MOF+∠CFO＝180°＋180°＝360°.反思：我们解这道题是用的两组同旁内角之和.其实我们还可以连结EF，正好把这三个角分成一组同旁内角和一个三角形的三个内角.由同旁内角和三角形内角和可得出同样的结论.【例10】如图3，已知AB∥ED，α＝∠A+∠E，β＝∠B+∠C+∠D.试探索β与2α的数量关系，并说明你的理由.【思考与分析】我们由已知条件AB∥ED可知α＝∠A+∠E＝180°，于是只需知道β＝∠B+∠C+∠D的大小即可探索出β与2α的数量关系.此时可以过点C作CF∥AB，从而求出β＝∠B+∠C+∠D＝360°，即有β＝2α.解：猜想β＝2α.理由是：过C作CF∥AB，因为 AB∥ED，所以∠α＝∠A+∠E＝180°.又因为AB∥ED，所以CF∥DE，即（∠B+∠1）+（∠2+∠D）＝360°.故β＝2α.【小结】这道题的思路与我们做的上题是相同的，也可以连结BD来解.第五节、竞赛数学在竞赛试题中，平行和垂直是做为基础知识应用在一些综合性的题目之中，单独出题的情况很少，但当平行和垂直的性质与实际情况结合时，往往也会被做为新题型来考查.【例1】请说明在同一平面内三条直线的位置关系及交点个数.【思考与分析】本题有多种分类，如以两条直线的位置关系分类，再考虑第三条直线的位置；又如以三条直线交点的个数分类等.下面我们就第二种分类加以说明.解：（1）如图1，三条直线互相平行，此时交点个数为0；（2）如图2，三条直线相交于同一点，此时交点个数为1；（3）如图3，三条直线两两相交且不交于同一点，此时交点个数为3；（4）如图4，其中两条直线平行，都与第三条直线相交，此时交点个数为2.综上所述，平面内三条直线的交点个数为0或1或2或3个.（如果按第一种情况进行分类研究，又该如何呢？请大家思考一下.）反思：求解中（2）、（3）两种情况称为三条直线两两相交.当题目中图形不全或不确定时，我们一定要注意分类.【例2】（1）请你在平面上画出6条直线（没有三条共点），使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交，并简单说明画法.（2）能否在平面上画出7条直线（任意3条都不共点），使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交，如果能，请画出一例，如果不能，请简述理由.【思考与分析】“6条直线相交且任意3条都不共点”，要解决这个问题，我们可以首先画出两条相交直线，这样可以发现若不出现3条直线共点可以出现平行线.对于（2）中所求，可以根据（1）得到的结论先对其进行推理，不要盲目的画图.解：（1）在平面上任取一点A，过A作两直线m1与n1.在n1 上取两点B、C，在m1上取两点D、G.过B作m2∥m1，过C作m3∥m1，过D作n2∥n1，过G作n3∥n1，这时m2、m3、n2、n3交得E、F、H、I四点，如图所示.由于彼此平行的直线不相交，所以，图中每条直线都恰与另3条直线相交.（2）在平面上不能画出没有3线共点的7条直线，使得其中每条直线都恰与另外3条直线相交.理由如下：假设平面上可以画出7条直线，其中每一条都恰与其它3条相交，因两直线相交只有一个交点，又因没有3条直线共点，所以每条直线上恰有与另3条直线交得的3个不同的交点.根据直线去数这些交点，共有3×7＝21个交点，但每个交点分属两条直线，被重复计数一次，所以这7条直线交点总数为因为这与交点个数应为整数矛盾.所以，满足题设条件的7条直线是画不出来的.反思：本题在说明理由时应用了假设法.利用假设推导出结果是否与题中条件冲突.这与我们以后要学的反证法相类似.【例3】平行直线AB和CD与相交直线EF、GH相交，图中的同旁内角共有（）对.A. 4对B. 8对C. 12对D. 16对【思考与解】我们可将原图分解为八个“三线八角”即“直线AB和CD 被直线EF所截”、“直线AB和CD 被直线GH所截”、“直线EF和GH被直线AB所截”、“直线EF和GH被直线CD所截”、“直线AB和EF被直线GH所截”、“直线EF和CD 被直线GH所截”、“直线AB和GH被直线EF所截”、“直线GH和CD 被直线EF所截”.每一个“三线八角”都有两对同旁内角，故原图中共有16对，因此选择D.【小结】解这类问题，关键是如何用图形分解法把图形分成若干个“三线八角”.【例4】有10条公路（假设公路是笔直的，并且可以无限延伸），无任何三条公路交于同一个岔口，现有31名交警，刚好满足每个岔口有且只有一名交警执勤，请你画出公路示意图.【思考与解】我们可以把公路想象成直线，岔口想象成交点，由警察的人数及题意可知，10条直线刚好有31个交点.根据前面所学知识，平面上的10条直线，若两两相交，最多出现45个交点，现在只要求出现31个交点，就要减去14个交点，这种情况下，通常采取两种办法：（1）多条直线共点；（2）出现平行线.根据题意，方法（1）不能实现，所以想到使用平行线.在某一方向上有5 条直线互相平行，则减少10个交点，若6条直线平行，则可减少15个交点，所以这个方向上最多可取5条平行线，这时还有4个点要去掉，换一个方向取3条平行线，即可再减少3个交点，这时还剩下2条直线与1个要减去的点，只须让其在第三个方向上互相平行即可，如图所示：【小结】本题考查我们对知识的综合应用能力，在做题时，要牢牢把握平行线的性质，与图形结合，从简单的图形推理找出问题的入手点.【例5】把正方形ABCD边AD平移得到EF，作出平移后的正方形能有几种作法？【思考与分析】据题意，平移是指正方形整体平移，只有一个.我们根据以前学过的作图方法和本周学的平移作图，作法有如下几个：作法1：过E作EF的垂线，截取EG＝EF，过G点作EF的平行线，截取GH＝EF（注意截取方向），连接FH就得到平移后的正方形.如图（1）.作法2：过E、F分别作EF的垂线，截取EG＝EF，FH＝EF（注意截取方向），连接GH，就得到平移后的正方形.如图（1）.作法3：过F作EF的垂线，截取FH＝EF，过H点作EF的平行线，截取GH＝EF（注意截取方向），连接EG就得到平移后的正方形.如图（1）.作法４：过E作AC的平行线，过F作BD的平行线，截取EH=AC，FG=BD（注意截取方向）.连接EG，GH，HF，就得到平移后的正方形.如图（2）.作法5：连接EA，FD，过B点作EA的平行线，过C作FD的平行线.截取BG=EA，CH=FD （注意截取方向）.如图（3）.连接EG，GH，HF，就得到平移后的正方形.【小结】平移变换不改变图形的形状、大小和方向.连结对应点的线段平行且相等.要描述一个平移变换，必须指出平移的方向和移动的距离．【例6】电脑游戏上有一种俄罗斯方块的游戏，游戏规则：在所给各种各样的方块中，通过平移、旋转的方式，罗列方块使之排满每一横行，每排满一行，便消去一行，得100分，依次类推（本题特殊规定，只准平移），小方块在屏幕顶端居中出现（奇数列时居中偏左）．现在电脑屏幕上显示（如图所示）.（1）若按规定，想得分，甲方块需要怎样平移，才可能直接得分或为以后打下得分基础？乙方块呢？（2）若你把甲方块放到左侧，发现屏幕已暗示出丙方块为形状，在这种情况下，丙方块只需如何移动，便可得多少分？（注：屏幕上一共有10行10列）【思考与分析】第（1）题观察甲方块与底部方块的特点，我们可得出平移方式.第（2）题将丙方块通过平移嵌入空隙之中，即可得分.解：（1）甲方块可左移3个单位，下移7个单位放到屏幕左侧；乙方块需向右平移3个单位，下移8个单位，放到屏幕右侧.（可用其他平移方式）（2）丙方块下移7个单位，便可排满2行，得200分.【小结】解本题的关键是将各个方块通过平移嵌成一个长方形，需根据方块和现有图形选择合理的平移方式.【例7】如图1，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D，在C、D之间有一点P，如果P点在C、D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系是否发生变化.若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD 之间的关系又是如何？【思考与分析】若P点在C、D之间运动时，我们只要过点P作出l1的平行线即可知道∠APB＝∠PAC+∠PBD；若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），则可以分为如图2和如图3两种情形，同样分别过点P作出l1或l2的平行线，即有∠APB＝∠PBD －∠PAC或∠APB＝∠PAC－∠PBD.解：若P点在C、D之间运动时，则有∠APB＝∠PAC+∠PBD.理由是：如图1，过点P作PE∥l1，则∠APE＝∠PAC，又因为l1∥l2，所以PE∥l2，所以∠BPE＝∠PBD，所以∠APE+∠BPE＝∠PAC+∠PBD，即∠APB＝∠PAC+∠PBD.若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），则有两种情形：（1）如图2，有结论：∠APB＝∠PBD－∠PAC.理由是：过点P作PE∥l1，则∠APE＝∠PAC，又因为l1∥l2，所以PE∥l2，所以∠BPE＝∠PBD，所以∠APB＝∠BPE-∠APE，即∠APB＝∠PBD－∠PAC.（2）如图3，有结论：∠APB＝∠PAC－∠PBD.理由是：过点P作PE∥l2，则∠BPE＝∠PBD，又因为l1∥l2，所以PE∥l1，所以∠APE＝∠PAC，所以∠APB＝∠APE-∠BPE，即∠APB ＝∠PAC-∠PBD.【小结】我们做这类题的时候可以发现：点的移动带动角的位置变化，角的位置变化决定了角之间的关系.因此我们可以利用分类思想来分析题意，解决多种情况的讨论.第六节、本章训练基础训练题一、选择题（每题5分，共35分）1.两条平行线被第三条直线所截，那么一组同位角的平分线的关系是（）.A.互相垂直B.互相平行C.相交但不垂直D.不能确定2.下列说法正确的是（）.A.相等的角是对顶角B.两直线平行，同位角相等C.同旁内角互补D.两直线平行，同位角互补3.如图1所示，已知DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠B＝72°，∠ACB＝40°，那么∠BDC等于（）.A.78°B.90°C.88°D.92°4.下列说法：①两条直线平行，同旁内角互补；②同位角相等，两直线平行；③内错角相等，两直线平行；④垂直于同一直线的两直线平行，其中是平行线的性质的是（）.A.①B.②和③C.④D.①和④5.船向北偏东50°方向航行到某地后，依原航线返回，船返回时方向应该是（）A.南偏西40°B.北偏西50°C.北偏西40°D.南偏西50°6.线段AB是由线段CD经过平移得到的，那么线段AC与BD的关系为（）.A.平行B.相交C.相等D.平行且相等7.如果两个角有一条边在同一条直线上，而另一条边互相平行，那么这两个角的关系是（）.A.相等B.互补C.相等或互补D.没有关系二、填空题（每题5分，共35分）8. a∥b，a∥c则_______∥_______，根据______.9.经过平移后的图形与原来图形的______.和______.分别相等，图形的______.和______.没有发生改变.10.在同一平面上，如果AB⊥EF，AC⊥EF，那么点C与直线AB的位置关系是______.11.把△ABC向右平移4cm得△A1B1C1，再把△A1B1C1向下平移3cm得△A2B2C2，若把△A2B2C2看成是由△ABC经一次平移得到的，请量一量，其平移的距离是______.cm.12.船的航向从正北方向依逆时针方向驶向西南方向，它转了_____度.13.已知梯形ABCD，AD∥BC，BC＝6，AD＝3，AB＝4，CD＝2，AB平移后到DE处，则△CDE的周长是_____14.如果△ABC经过平移后得到△DEF，若∠A＝41°，∠C＝32°，EF＝3cm，则∠E＝______，BC＝ ______ cm三、解答题（每题10分，共30分）15.如图，AC⊥AB，∠1=30°，∠B＝60°，（1）你能确定AD与BC平行吗?（2）能确定AB平行于CD吗?16.如图，AD平分∠EAC，AD∥BC，你能确定∠B与∠C的数量关系吗?17.如图所示，AB∥CD,AD∥BC，∠A的2倍与∠C的3倍互补，求∠A和∠D的度数.答案一、 1.B 2.B 3.C 4.A 5.D 6.D 7.C二、 8. b，c，平行于同一条直线的两条直线平行9. 对应角、对应边，形状、大小10. 在直线AB上11. 512. 13513. 914. 107°，3三、15.【思考与分析】通过观察图形并结合题中条件我们可以得到：∠ACB=180°-∠BAC －∠ABC＝180°－90°－60°＝30°.由此可得AD∥BC.但是由题中条件我们求不出∠D或者∠ACD，因此不能判定AB与CD是否平行.解：（1）因为∠BAC=90°，∠B＝60°，且∠BAC＋∠B＋∠ACB=180°，所以∠ACB=180°－∠BAC－∠B＝180°－90°－60°＝30°.所以AD∥BC（内错角相等，两直线平行）.（2）不能确定.因为求不出∠D或者∠ACD，找不到两直线平行的判定条件，所以AB与CD不一定平行.16.【解题思路】我们通过观察图形并结合题中条件可知，要想知道∠B与∠C的数量关系，就得利用AD∥BC，从而得到∠B＝∠1，∠C＝∠2.只要∠1＝∠2，那么∠B＝∠C.而题中给出了AD平分∠EAC，正好得到∠1＝∠2！解：因为AD∥BC，所以∠B＝∠1（两直线平行，同位角相等）.所以∠C＝∠2（两直线平行，内错角相等）.又因为AD平分∠EAC，所以∠1＝∠2.所以∠B＝∠C.17.【思考与分析】经过仔细分析我们可知，题目要求∠A和∠D的度数，而条件只给出了∠A和∠C的关系.因此，分清∠A、∠C和∠D三者之间的关系是解题的关键.解：因为AB∥CD，所以∠A＋∠D＝180°.所以∠A＝180°－∠D.因为AD∥BC，所以∠C＋∠D＝180°.所以∠C＝180°－∠D.所以∠A＝∠C.再由2∠A＋3∠C＝180°解得∠A＝∠C＝36°.所以∠D＝144°.提高训练题一、填空题1. 直线l1，l2在同一平面内不相交，则它们的位置关系是.2. 若直线l1// l2，l2// l3，则 ____ // ____，其理由是.3. 若直线l1//l2，一条射线与l1有交点，那么这条射线与l2的位置关系是___________ .二、选择题1. 下列哪种情况，直线l1和l2不一定是平行线（）A. l1和l2是不相交的两条直线B. l1和l2都平行于直线l3C. 在同一平面内l1和l2没有一个公共点D. 在同一平面内，l1⊥l3，l2⊥l32. 若∠1与∠2的关系为内错角，∠1=40°，则∠2等于（）A. 40°B. 140°C. 40°或140°D. 不确定3. 下列说法正确的是（）A.若两个角相等,则这两个角是对顶角B.若两个角是对顶角,则这两个角是相等C.若两个角不是对顶角,则这两个角不相等D.所有的对顶角相等三、解答题1. 如图，已知三角形ABC，分别过A，B，C三点作它们的对边BC，CA，AB的平行线.。
七年级下册数学相交线与平行线知识点归纳
七年级下册数学相交线与平行线知识点归纳相交线与平行线1、两条直线相交所成的四个角中，相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线，性质是邻补角互补;相对的两个角叫做对顶角，特点是它们的两条边互为反向延长线。
性质是对顶角相等。
2、三线八角：对顶角(成正比)，邻补角(优势互补)，同位角，内错角，同旁内角。
3、两条直线被第三条直线所截：同位角f(在两条直线的同一旁，第三条直线的同一侧)内错角z(在两条直线内部，位于第三条直线两侧)同旁内角u(在两条直线内部，坐落于第三条直线同侧)4、两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角为90度，则称这两条直线互相垂直。
其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，他们的交点称为垂足。
5、横向三要素：横向关系，横向记号，像距6、垂直公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
7、垂线段最长。
8、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
9、平行公理：经过直线外一点，存有且只有一条直线与这条直线平行。
推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
如果b//a,c//a,那么b//c10、平行线的认定：①同位角相等，两直线平行。
②内错角成正比，两直线平行。
③同旁内角互补，两直线平行。
11、推断：在同一平面内，如果两条直线都旋转轴同一条直线，那么这两条直线平行。
(一)正负数1.正数：大于0的数。
2.负数：小于0的数。
3.0即不是正数也不是负数。
4.正数大于0，负数小于0，正数大于负数。
(二)有理数1.有理数：由整数和分数组成的数。
包括：正整数、0、负整数，正分数、负分数。
可以写成两个整之比的形式。
(无理数是不能写成两个整数之比的形式，它写成小数形式，小数点后的数字是无限不循环的。
如：π)2.整数：正整数、0、正数整数，泛称整数。
3.分数：正分数、负分数。
(三)数轴1.数轴：用直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。
(画一条直线，在直线上任取一点表示数0，这个零点叫做原点，规定直线上从原点向右或向上为正方向;选取适当的长度为单位长度，以便在数轴上取点。
初一下册数学知识点：相交线与平行线
平行线与相交线是初一数学下学期学习的第二章内容，主要讲述了相交线、平行线及其判定、平行线的性质等，通过对本篇的学习，相信同学们会更进一步的了解在平面内不重合的两条相交与平行的两种位置的关系，运用平移设计一些优美的图案。
初一下册数学知识点：相交线与平行线第五章相交线与平行线一、目标与要求1.理解对顶角和邻补角的概念，能在图形中辨认;2.掌握对顶角相等的性质和它的推证过程;3.通过在图形中辨认对顶角和邻补角，培养学生的识图能力。
二、重点在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角;两条直线互相垂直的概念、性质和画法;同位角、内错角、同旁内角的概念与识别。
三、难点在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角;对点到直线的距离的概念的理解;对平行线本质属性的理解，用几何语言描述图形的性质;能区分平行线的性质和判定，平行线的性质与判定的混合应用。
四、知识框架五、知识点、概念总结1.邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。
2.对顶角：一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。
3.对顶角和邻补角的关系4.垂直：两条直线、两个平面相交，或一条直线与一个平面相交，如果交角成直角，叫做互相垂直。
5.垂线：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。
6.垂足：如果两直线的夹角为直角，那么就说这两条直线互相垂直，它们的交点叫做垂足。
7.垂线性质(1)在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
(2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
简单说成：垂线段最短。
(3)点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
8.同位角、内错角、同旁内角：同位角：∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。
内错角：∠2与∠6像这样的一对角叫做内错角。
同旁内角：∠2与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。
9.平行：在平面上两条直线、空间的两个平面或空间的一条直线与一平面之间没有任何公共点时，称它们平行。
人教版初中数学七年级下相交线和平行线知识点总结
人教版初中数学七年级下 相交线与平行线知识点总结5、1相交线 1、邻补角与对顶角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角,它们的概念及性质如下表:注意点:⑴对顶角就是成对出现的,对顶角就是具有特殊位置关系的两个角;⑵如果∠α与∠β就是对顶角,那么一定有∠α=∠β;反之如果∠α=∠β,那么∠α与∠β不一定就是对顶角⑶如果∠α与∠β互为邻补角,则一定有∠α+∠β=180°;反之如果∠α+∠β=180°,则∠α与∠β不一定就是邻补角。
⑶两直线相交形成的四个角中,每一个角的邻补角有两个,而对顶角只有一个。
2、垂线⑴定义,当两条直线相交所成的四个角中,有一个角就是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。
符号语言记作:如图所示:AB ⊥CD,垂足为O⑵垂线性质1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记)⑶垂线性质2:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。
简称:垂线段最短。
3、垂线的画法:ABCD O⑴过直线上一点画已知直线的垂线;⑵过直线外一点画已知直线的垂线。
注意:①画一条线段或射线的垂线,就就是画它们所在直线的垂线;②过一点作线段的垂线,垂足可在线段上,也可以在线段的延长线上。
画法:⑴一靠:用三角尺一条直角边靠在已知直线上,⑵二移:移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上,⑶三画:沿着这条直角边画线,不要画成给人的印象就是线段的线。
4、点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离 记得时候应该结合图形进行记忆。
如图,PO ⊥AB,同P 到直线AB 的距离就是PO 的长。
PO 就是垂线段。
PO 就是点P 到直线AB 所有线段中最短的一条。
现实生活中开沟引水,牵牛喝水都就是“垂线段最短”性质的应用。
5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念 分析它们的联系与区别⑴垂线与垂线段 区别:垂线就是一条直线,不可度量长度;垂线段就是一条线段,可以度量长度。
人教版七年级下册数学相交线与平行线知识点总结
相交线与平行线镇海中学陈志海5.1 相交线邻补角、对顶角对顶角相等直线a与直线b互相垂直，记作a b。
垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
垂线段最短。
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
同位角、内错角、同旁内角5.2 平行线及其判定5.2.1 平行线在同一平面内，当直线a与直线b不相交时，我们就说直线a与直线b互相平行，记作//a b. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
即如果b a，c a，那么b c.5.2.2 平行线的判定判定方法1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
同位角相等，两直线平行。
判定方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
内错角相等，两直线平行。
判定方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
同旁内角互补，两直线平行5.3 平行线的性质5.3.1 平行线的性质性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
两直线平行，同位角相等。
性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
两直线平行，内错角相等。
性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
两直线平行，同旁内角互补。
5.3.2 命题、定理、证明判断一件事情的语句，叫做命题命题由题设和结论两部分组成。
题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。
数学中的命题通常可以写成“如果……那么……”的形式，这时“如果”后的部分是题设，“么”后接的部分是结论。
如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题。
题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题中做假命题。
在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明。
人教版七年级数学下册第五章相交线与平行线知识整理复习（含答案）
⼈教版七年级数学下册第五章相交线与平⾏线知识整理复习（含答案）七年级数学下册第五章知识整理知识梳理1.两个⾓有⼀条公共边，它们的另⼀条边互为反向延长线，具有这样位置关系的两个⾓，互为___________.2.两个⾓有⼀个公共顶点，并且⼀个⾓的两边分别是另⼀个⾓两边的反向延长线，具有这种位置关系的⾓，互为___________.对顶⾓的性质:___________.3.垂直是相交的⼀种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的⼀条直线叫做另⼀条直线的___________，它们的交点叫做___________。
4.在同⼀平⾯内，过⼀点有且只有___________直线与已知直线垂直。
5.连接直线外⼀点与直线上各点的所有线段中，___________最短，简单说成：___________。
6.直线外⼀点到这条直线的垂线段的长度，叫做___________。
7.如图，∠1和∠4，这两个⾓分别在直线AB，CD的同⼀⽅(上⽅)，并且都在直线EF的同侧(右侧)，具有这种位置关系的⼀对⾓叫做_______;∠2和∠4，这两个⾓都在直线AB，CD之间，并且分别在直线EF两侧，具有这种位置关系的⼀对⾓叫做_______;∠2和∠3也都在直线AB，CD之间，但它们在直线EF的同⼀旁，具有这种位置关系的⼀对⾓叫做_______;8.在同⼀平⾯内不相交的两条直线(a与b)互相_______,记作_______.9.平⾏线的基本事实(平⾏公理):经过直线外⼀点，有且只有_______直线与这条直线平⾏.10.如果两条直线都与第三条直线平⾏，那么这两条直线也_______.11.平⾏线的判定⽅法:(1)_______相等，两直线平⾏;(2)_______相等，两直线平⾏;(3)_______互补，两直线平⾏。
12.平⾏线的性质:(1)两直线平⾏，同位⾓_______;(2)两直线平⾏，内错⾓_______;(3)两直线平⾏，同旁内⾓_______.13.判断⼀件事情的语句，叫做_______.经过推理证实的真命题叫做_______.14.在很多情况下，⼀个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做_______.15.平移得到的新图形与原图形的形状和⼤⼩_______.知识反馈★知识点1;邻补⾓与对顶⾓1.下列说法正确的是( )A.和为180°的⾓为邻补⾓B和为180°的两个⾓为邻补⾓C，有公共顶点，和为90°的⾓为邻补⾓D.有公共顶点和⼀条公共边，它们的另⼀边互为反向廷长线的两个⾓为邻补⾓2.如图，∠1和∠2是对顶⾓的是( )3.如图，直线AB、CD相交于点O，若∠AOC＝(3x+10°),∠BOC＝(2x-10°)，求∠AOD的度数.★知识点2:垂线与垂线段4.过直线AB外⼀点P画直线AB的垂线，则( )A.能画⽆数条B只能画2条 C.只能画1条 D.不能画成5.在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有⼀部分同学画出下列四种图形，请你数⼀数，错误的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个6.如图，在体育测试中，裁判员测量某同学的跳远成绩，在直线l上的A、B、C三点中，点________到沙坑中脚印点P的距离为该同学的成绩.7.如图，在三⾓形ABC中，∠BCA＝90°，CD⊥AB，垂⾜为点D.线段AB，BC，CD的⼤⼩关系如何?并说明理由.★知识点3:同位⾓、内错⾓、同旁内⾓8.如图，下⾯说法中正确的是( )A.∠2和∠3是同位⾓B.∠3和∠4是同旁内⾓C，∠1和∠2是内错⾓ D.∠1和∠3是同旁内⾓9.如图所⽰，直线DE、BC被直线AB所截，∠1与∠4是_________,∠2与∠4是_________，∠1与∠2是_________，∠3与∠4是_________.★知识点4:平⾏线的定义及画法10.下列⽣活中的线是平⾏线的有( )①铁路上并排的两条铁轨;②上体育课时，双杠的两个横杠;③滑雪时两只雪撬滑动轨迹;④操场上的升旗杆与教室屋梁。
最新人教版七年级数学下册各章节知识点归纳
最新⼈教版七年级数学下册各章节知识点归纳七年级数学下册知识点归纳第五章相交线与平⾏线5.1 相交线⼀、相交线两条直线相交，形成4个⾓。
1、两条直线相交所成的四个⾓中，相邻的两个⾓叫做邻补⾓，特点是两个⾓共⽤⼀条边，另⼀条边互为反向延长线，性质是邻补⾓互补；相对的两个⾓叫做对顶⾓，特点是它们的两条边互为反向延长线。
性质是对顶⾓相等。
①邻补⾓：两个⾓有⼀条公共边，它们的另⼀条边互为反向延长线。
具有这种关系的两个⾓，互为邻补⾓。
如：∠1、∠2。
②对顶⾓：两个⾓有⼀个公共顶点，并且⼀个⾓的两条边，分别是另⼀个⾓的两条边的反向延长线，具有这种关系的两个⾓，互为对顶⾓。
如：∠1、∠3。
③对顶⾓相等。
⼆、垂线1．垂直：如果两条直线相交成直⾓，那么这两条直线互相垂直。
2．垂线：垂直是相交的⼀种特殊情形，两条直线垂直，其中⼀条直线叫做另⼀条直线的垂线。
3．垂⾜：两条垂线的交点叫垂⾜。
4．垂线特点：过⼀点有且只有⼀条直线与已知直线垂直。
5．点到直线的距离：直线外⼀点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离。
连接直线外⼀点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
三、同位⾓、内错⾓、同旁内⾓两条直线被第三条直线所截形成8个⾓。
1．同位⾓：（在两条直线的同⼀旁，第三条直线的同⼀侧）在两条直线的上⽅，⼜在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个⾓叫同位⾓。
如：∠1和∠5。
2．内错⾓：（在两条直线内部，位于第三条直线两侧）在两条直线之间，⼜在直线EF的两侧，具有这种位置关系的两个⾓叫内错⾓。
如：∠3和∠5。
3．同旁内⾓：（在两条直线内部，位于第三条直线同侧）在两条直线之间，⼜在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个⾓叫同旁内⾓。
如：∠3和∠6。
5.2 平⾏线及其判定(⼀) 平⾏线1.平⾏：两条直线不相交。
互相平⾏的两条直线，互为平⾏线。
a∥b（在同⼀平⾯内，不相交的两条直线叫做平⾏线。
）2．平⾏公理：经过直线外⼀点，有且只有⼀条直线与这条直线平⾏。
人教版初中数学七年级下 相交线和平行线知识点总结
人教版初中数学七年级下 相交线和平行线知识点总结本章使生了解在平面不重合的直相交平行的位置系，究了直相交的形成的角的学内两条线与两种关研两条线时特征，直互相垂直所具有的特性，直平行的期共存件和所有的特征以及有形平移的两条线两条线长条它关图变换性，利用平移一些美的案质设计优图.。
重点：垂和的性线它质,平行的判定方法和的性，平移和的性，线它质它质以及些的用这组织运.5.1相交线1、邻补角与对顶角直相交所成的四角中存在几不同系的角，的念及性如下表：两线个种关它们概质形图点顶的系边关大小系关角对顶∠1∠与2有公共点顶∠1的两边与∠2的互两边为反向延长线角相等对顶即∠1=∠2角邻补 ∠3∠与4有公共点顶∠3∠与4有一公共，另一条边互反向延边为长。
线∠3+∠4=180°注意点：⑴角是成出的，角是具有特殊位置系的角；对顶对现对顶关两个⑵如果∠α∠与β是角，那一定有∠对顶么α=∠β；反之如果∠α=∠β，那∠么α∠与β不一定是角对顶⑶如果∠α∠与β互角，一定有∠为邻补则α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，∠则α∠与β不一定是角邻补。
⑶直相交形成的四角中，每一角的角有，而角只有一。
两线个个邻补两个对顶个2、垂线⑴定，直相交所成的四角中，有一角是直角，就直互相垂直，其中的一直叫做义当两条线个个时说这两条线条线另一直的垂，的交点叫做垂足。
条线线它们符言作：号语记 第1页共7页1243A BCDO如所示：图AB⊥CD ，垂足为O⑵垂性线质1：一点有且只有一直已知直垂直 过条线与线(平行公理相比与较记)⑶垂性线质2：接直外一点直上各点的所有段中，垂段最短。
：垂段最短。
连线与线线线简称线3、垂线的画法：⑴直上一点已知直的垂；⑵直外一点已知直的垂。
过线画线线过线画线线注意：①一段或射的垂，就是所在直的垂；②一点作段的垂，垂足可在段上，也画条线线线画它们线线过线线线可以在段的延上。
线长线法：⑴一靠：用三角尺一直角靠在已知直上，⑵二移：移三角尺使一点落在的另一直角上，⑶画条边线动它边边三：沿着直角，不要成人的印象是段的。
七年级数学下册第五章相交线与平行线题型总结及解题方法(带答案)
七年级数学下册第五章相交线与平行线题型总结及解题方法单选题1、如图，四边形ABCO是矩形，点D是BC边上的动点（点D与点B、点C不重合），则∠BAD+∠DOC∠ADO的值为（）A．1B．12C．2D．无法确定答案：A分析：过点D作DE//AB交AO于点E，由平行的性质可知∠BAD=∠ADE,∠DOC=∠ODE，等量代换可得∠BAD+∠DOC∠ADO的值.解：如图，过点D作DE//AB交AO于点E，∵四边形ABCO是矩形∴AB//OC∵DE//AB∴AB//DE,DE//OC∴∠BAD=∠ADE,∠DOC=∠ODE∴∠BAD+∠DOC∠ADO=∠BAD+∠DOC∠ADE+∠ODE=∠BAD+∠DOC∠BAD+∠DOC=1故选：A.小提示：本题主要考查了平行线的性质，灵活的添加辅助线是解题的关键.2、如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠2=35°，则∠1的度数是（）A．135°B．140°C．145°D．150°答案：C分析：根据邻补角的含义先求解∠3=145°,再利用平行线可得∠1=∠3=145°即可．解：如图，∵∠2=35°,∴∠3=180°−35°=145°,∵a∥b，∴∠1=∠3=145°,故选：C.小提示：本题考查的是邻补角的含义，平行线的性质，利用平行线的性质证明∠1=∠3是解本题的关键．3、如图，直线AB、CD相交于点O．若∠1+∠2=100°，则∠BOC的大小为（）A．50°B．100°C．130°D．150°答案：C分析：根据对顶角相等，以及∠1+∠2=100°，求得∠1=50°，根据邻补角即可求解．解：∵∠1+∠2=100°，∠1=∠2，∴∠1=50°，∴∠BOC=180°-∠1=180°-50°=130°，故选C．小提示：本题考查了对顶角相等，邻补角，掌握以上知识是解题的关键．4、如图，从位置P到直线公路MN共有四条小道，若用相同的速度行走，能最快到达公路MN的小道是( )．A．PA B．PB C．PC D．PD答案：B根据垂线段最短得，能最快到达公路MN的小道是PB，故选：B.5、如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥CD，下列说法错误的是（）A．∠AOD＝∠BOC B．∠AOE＋∠BOD＝90°C．∠AOC＝∠AOE D．∠AOD＋∠BOD＝180°答案：C分析：根据对顶角性质、邻补角定义及垂线的定义逐一判断可得．A、∠AOD与∠BOC是对顶角，所以∠AOD=∠BOC，此选项不符合题意；B、由EO⊥CD知∠DOE=90°，所以∠AOE+∠BOD=90°，此选项不符合题意；C、∠AOC与∠BOD是对顶角，所以∠AOC=∠BOD，此选项符合题意；D、∠AOD与∠BOD是邻补角，所以∠AOD+∠BOD=180°，此选项不符合题意；故选C．小提示：本题主要考查垂线、对顶角与邻补角，解题的关键是掌握对顶角性质、邻补角定义及垂线的定义．6、下列命题中，是真命题的有（）①两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④对顶角相等，邻补角互补．A．1个B．2个C．3个D．4个答案：A分析：根据平行线的性质及基本事实，对顶角及邻补角的性质进行判断．两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线平行，故①是假命题；在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故②是假命题；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③是假命题；对顶角相等，邻补角互补，故④是真命题．故选A．小提示：本题考查命题的真假判断，熟练掌握平行线的性质，对顶角及邻补角的性质是解题的关键．7、如图，将△ABC沿BC方向平移1cm得到对应的△A′B′C′．若B′C=2cm，则BC′的长是（）A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm答案：C分析：据平移的性质可得BB′=CC′=1，列式计算即可得解．解：∵△ABC沿BC方向平移1cm得到△A′B′C′，∴BB′=CC′=1cm，∵B′C=2cm，∴BC′=BB′+B′C+CC′=1+2+1=4（cm）．故选：C．小提示：本题考查了平移的性质，熟记性质得到相等的线段是解题的关键．8、下列命题是假命题的( )A．在同一平面内，若a∥b，b∥c，则a∥cB．在同一平面内，若a⊥b，b∥c，则a⊥cC．在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a⊥cD．在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c答案：C分析：根据平行的判定方法对A、C、D进行判断；根据平行的性质和垂直的定义对B进行判断．A．在同一平面内，若a∥b，b∥c，则a∥c，所以A选项为真命题；B．在同一平面内，若a⊥b，b∥c，则a⊥c，所以B选项为真命题；C．在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c，所以C选项为假命题；D．在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c，所以D选项为真命题．故选:C．小提示：本题考查了平行公理及平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解决本题的关键.9、如图，小明从A处出发沿北偏东40°方向行走至B处，又从B处沿南偏东70°方向行走至C处，则∠ABC等于（）A．130°B．120°C．110°D．100°答案：C分析：根据方位角和平行线性质求出∠ABE，再求出∠EBC即可得出答案．解：如图：∵小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿南偏东70°方向行走至点C处，∴∠DAB=40°，∠CBE=70°，∵向北方向线是平行的，即AD∥BE，∴∠ABE=∠DAB=40°，∴∠ABC=∠ABE+∠EBC=40°+70°=110°，故选：C．小提示：本题考查了方向角及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等是解题的关键．10、对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（）A．a=3，b=2B．a=－3，b=2C．a=3，b=－1D．a=－1，b=3答案：B试题解析：在A中，a2=9，b2=4，且3＞2，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故A选项中a、b的值不能说明命题为假命题；在B中，a2=9，b2=4，且－3＜2，此时虽然满足a2＞b2，但a＞b不成立，故B选项中a、b的值可以说明命题为假命题；在C中，a2=9，b2=1，且3＞－1，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故C选项中a、b的值不能说明命题为假命题；在D中，a2=1，b2=9，且－1＜3，此时满足a2＜b2，得出a＜b，即意味着命题“若a2＞b2，则a＞b”成立，故D 选项中a、b的值不能说明命题为假命题；故选B．考点：命题与定理．填空题11、如图，直线a∥b，AB⊥BC，如果∠1=48°，那么∠2=_______度．答案：42．∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，即∠1+∠3=90°，∵∠1=48°，∴∠3=42°，∵a∥b，∴∠2=∠3=42°.故答案为42.点睛：本题关键利用平行线的性质解题.12、如图，若AB⊥BC，BC⊥CD，则直线AB与CD的位置关系是______．答案：AB∥CD∵AB⊥BC，BC⊥CD，∴∠ABC=∠BCD=90°，∴AB∥CD，故答案为AB∥CD.13、如图，AB∠CD，若GE平分∠DGH，HE平分∠GHB，GF平分∠CGH，若∠CGH=70°，则∠EHB的度数是______，图中与∠DGE互余的角共有______个．答案： 35°##35度 5分析：由平行线的性质可得，∠CGH=∠GHB=70°，∠GFH=∠CGF，利用邻角的补角可得∠DGH=∠GHA= 110°，利用角平分线的性质可得∠EHB=∠GHE=35°，∠CGF=∠GFH=∠HGF=35°，∠DGE=∠HGE= 55°，进而可求得答案．解：∵AB//CD，∴∠CGH=∠GHB=70°，∠DGH=∠GHA，∠GFH=∠CGF∴∠DGH=∠GHA=180°−70°=110°，又∵HE平分∠GHB，∵GE平分∠DGH，HE平分∠GHB，GF平分∠CGH，∴∠EHB=∠GHE=12∠GHB=35°，∠CGF=∠GFH=∠HGF=12∠CGH=35°，∠DGE=∠HGE=12∠DGH=55°，∴∠DGE+∠BHE=90°，∠DGE+∠GHE=90°，∠DGE+∠CGF=90°，∠DGE+∠HGF=90°，∠DGE+∠GFH=90°，∴与∠DGE互余的角共有5个，所以答案是：35°，5．小提示：本题考查了平行线的性质、角平分线的性质以及互余的定义，熟练掌握角平分线的性质及互余的定义是解题的关键．14、如图，将△ABC沿BC方向平移至△DEF处．若EC＝2BE＝2，则CF的长为_____．答案：1分析：利用平移的性质得到BE＝CF，再用EC＝2BE＝2得到BE的长，从而得到CF的长．解：∵△ABC沿BC方向平移至△DEF处．∴BE＝CF，∵EC＝2BE＝2，∴BE＝1，∴CF＝1．故答案为1．小提示：本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．15、命题“如果a+b=0，那么a，b互为相反数”的逆命题为____________________________.答案：如果a，b互为相反数，那么a+b=0分析：交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题.解：逆命题为：如果a，b互为相反数，那么a+b=0.所以答案是：如果a，b互为相反数，那么a+b=0.小提示：本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．解答题16、如图，已知AB∥DE，那么∠A+∠C+∠D的和是多少度？为什么？答案：∠A+∠C+∠D的和是360度，理由见解析．分析：如图（见解析），过点C作CF//AB，则CF//DE，先根据平行四边形的性质（两直线平行，同旁内角互补）得出∠A+∠FCA=180°,∠D+∠DCF=180°，再根据角的和差即可得．如图，过点C作CF//AB，则所求的问题变为∠A+∠ACD+∠D的和是多少度∴∠A+∠FCA=180°∵AB//DE∴CF//DE∴∠D+∠DCF=180°∴∠A+∠FCA+∠D+∠DCF=180°+180°=360°即∠A+∠ACD+∠D=360°．小提示：本题考查了平行线的性质、角的和差，熟记平行线的性质是解题关键．17、如图，钱塘江入海口某处河道两岸所在直线（PQ，MN）夹角为20°，在河道两岸安装探照灯B和A，若灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BQ逆时针旋转至BP便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．设灯A转动的速度是a度/秒，灯B转动的速度是b度/秒．已知∠BAN＝50°．（1）当b＝2时，问灯B转动几秒后，射出的光束第一次经过灯A？（2）当a＝3，b＝6时，若两灯同时转动，在1分钟内（包括1分钟），问A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）若A、B两灯同时转动（a＞b），在45秒与90秒时，两灯的光束各平行一次，求a，b的值．答案：（1）15秒；（2）1609秒；（3）269，23． 分析：（1）根据B 灯转动30度时第一次经过灯A ，列出方程即可得解；（2）根据内错角相等，两灯的光线平行，构建方程求解可得结果；（3）分两种情形，根据平行线的判定，构建方程解决问题即可．解：（1）设灯B 转动t 秒后，射出的光束第一次经过灯A ．由题意得：2t ＝30，解得：t ＝15，答：灯B 转动15秒后，射出的光束第一次经过灯A ．（2）设A 灯转动x 秒，两灯的光束互相平行．根据题意得：180﹣50﹣3x ＝6x ﹣30时，两灯的光束互相平行，解得：x ＝1609，答：A 灯转动1609秒，两灯的光束互相平行．（3）在45秒与90秒时，两灯的光束各平行一次45秒时第一次平行，由题意得：45a ﹣130＝30﹣45b ，90秒时第二次平行，由题意得：90a ﹣180﹣50＝90b ﹣30，解得：a ＝269，b ＝23 答：a ，b 的值分别为269，23．小提示：本题主要考查了平行线的判定以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：内错角相等，两直线平行．18、完成下面的证明：如图，BE 平分∠ABD ，DE 平分∠BDC ，且∠α+∠β＝90°，求证：AB ∠CD ．证明：∵BE平分∠ABD（已知），∴∠ABD＝2∠α（）∵DE平分∠BDC（已知），∴∠BDC＝（）．∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β）（）∵∠α+∠β＝90°．（已知），∴∠ABD+∠BDC＝（）．∴AB∠CD（）答案：角平分线的定义；2∠β；角平分线的定义；等量代换；180°；等量代换，同旁内角互补两直线平行分析：首先根据角平分线的定义可得∠ABD=2∠α，∠BDC=2∠β，根据等量代换可得∠ABD+∠BDC=2∠α+2∠β=2(∠α+∠β)，进而得到∠ABD+∠BDC=180°，然后再根据同旁内角互补两直线平行可得答案．证明：∵BE平分∠ABD（已知），∴∠ABD＝2∠α（角平分线的定义）∵DE平分∠BDC（已知），∴∠BDC＝2∠β(角平分线的定义)．∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β）（等量代换）∵∠α+∠β＝90°．（已知），∴∠ABD+∠BDC＝180°（等量代换），∴AB∠CD（同旁内角互补两直线平行）．所以答案是：角平分线的定义；2∠β；角平分线的定义；等量代换；180°；等量代换，同旁内角互补两直线平行．小提示：此题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定，解题的关键是掌握角平分线定义和平行线的判定方法．。
人教版初一数学相交线与平行线必考知识点归纳总结
人教版初一数学相交线与平行线必考知识点归纳总结单选题1、如图,测量运动员跳远成绩选取的是AB的长度,其依据是（）A．两点确定一条直线B．垂线段最短C．两点之间线段最短D．两点之间直线最短答案：B解析：根据垂线的定义即可求解.由图可知，依据是垂线段最短，故选：B.小提示：此题主要考查垂线段的性质，解题的关键是熟知垂线段最短.2、已知各角的度数如图所示，则下列各题中的x和y分别是（）．A．40°,70°B．30°,70°C．40°,80°D．30°,80°答案：B解析：根据对顶角相等列方程可求得x的值；根据邻补角互补列方程可求得y的值．解：根据题意得：x=2x-30°，解得：x=30°；y+2y-30°=180°，解得：y=70°；故选：B．小提示：本题考查了一元一次方程组的应用，理解对顶角相等，邻补角互补，解答本题的关键是找出题目中的等量关系，列出方程组．3、如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上，若∠α=135°，则∠β等于（）A．45°B．60°C．75°D．85°答案：C解析：直接利用平行线的性质以及三角形的性质进而得出答案．由题意可得：∵∠α=135°，∴∠1=45°，∴∠β=180°−45°−60°=75°．故选C．小提示：此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠1的度数是解题关键．4、如图所示，有下列五种说法：①∠1和∠4是同位角；②∠3和∠5是内错角；③∠2和∠6旁内角；④∠5和∠2是同位角；⑤<1和∠3是同旁内角；其中正确的是（）A．①②③④B．①②③④C．①②③④⑤D．①②④⑤答案：D解析：如图，①∠1和∠4是直线AC和直线BC被直线AB截得的同位角，所以①正确；②∠3和∠5是直线BC和直线AB被直线AC截得的内错角，所以②正确；③∠2和∠6是直线AB和直线AC被直线CB截得的内错角，所以③错误；④∠5和∠2是直线AC和直线BC被直线AB截得的同位角，所以④正确；⑤∠1和∠3是直线BC和直线AB被直线AC截得的同旁内角，所以⑤正确.故答案选D.点睛：（1）准确识别同位角、内错角、同旁内角的关键，是弄清两角是由哪两条直线被哪条直线截得，这其中的关键是辨别出截线，在截线的两旁的是内错角，在截线的同旁的为同位角或同旁内角；（2）辨别截线方法：先找出两角的边所在直线，公共直线即是截线.5、根据语句“直线l1与直线l2相交，点M在直线l1上，直线l2不经过点M．”画出的图形是（）A．B．C．D．答案：D．小提示：本题考查根据语句画图问题，掌握画图的基本语句是解题关键．解析：利用直线l2不经过点M可判断A，利用点M在直线l1上，不在直线l2上可判断B，利用点M在直线l1外可判断C，根据直线l1与直线l2相交，点M在直线l1上，直线l2不经过点M可判断D．解：A．直线l2不经过点M，故本选项不合题意；B．点M在直线l1上，不在直线l2上，故本选项不合题意；C．点M在直线l1外，故本选项不合题意；D．直线l1与直线l2相交，点M在直线l1上，直线l2不经过点M，故本选项符合题意；6、用反证法证明“a＞b”时,应先假设（）A．a≥b B．a≤b C．a=b D．a＜b答案：B解析：根据反证法的步骤，假设其反面成立即可.用反证法证明“a＞b”时,应先假设：a≤b.故选B.小提示：本题考查了反证法，反证法的证题步骤是：(1)假设命题结论的反面成立；(2)从这个假设出发，一步步推导出与某个定理、公式或已知条件相矛盾的结论；(3)肯定原命题结论正确．7、下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容，则回答正确的是（）：BECA．⊙代表∠FECB．□代表同位角C．▲代表∠EFCD．※代表AB答案：C解析：延长BE交CD于点F，利用三角形外角的性质可得出∠BEC＝∠EFC+∠C，结合∠BEC＝∠B+∠C可得出∠B＝∠EFC，利用“内错角相等，两直线平行”可证出AB∥CD，找出各符号代表的含义，再对照四个选项即可得出结论．证明：延长BE交CD于点F，则∠BEC＝∠EFC+∠C．又∵∠BEC＝∠B+∠C，∴∠B＝∠EFC，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．∴※代表CD，⊙代表∠EFC，▲代表∠EFC，□代表内错角．故选：C．小提示：本题考查了平行线的判定以及三角形外角的性质，利用各角之间的关系，找出∠B＝∠EFC是解题的关键．8、一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB//CF，∠F=∠ACB=90°，则∠DBC的度数为( )A．10°B．15°C．18°D．30°答案：B解析：直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠ABD=45°，进而得出答案．解：由题意可得：∠EDF=45°，∠ABC=30°，∵AB∥CF，∴∠ABD=∠EDF=45°，∴∠DBC=45°﹣30°=15°．故选：B．小提示：本题考查的是平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．填空题9、如图，给出下列条件：①∠B+∠BCD=180°；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④∠B=∠5；⑤∠B=∠D．其中，一定能判定AB∥CD的条件有_____________（填写所有正确的序号）．答案：①③④解析：根据平行线的判定方法对各小题判断即可解答．① ∵∠B+∠BCD=180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），正确；② ∵∠1=∠2，∴AD∥BC，错误；③ ∵∠3=∠4，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），正确；④ ∵∠B=∠5，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），正确；⑤ ∠B=∠D不能证明AB∥CD，错误，所以答案是：①③④．小提示：本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解答的关键．10、用反证法证明：“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”.第一步应假设：______．答案：这两条直线不平行解析：本题需先根据已知条件和反证法的特点进行证明，即可求出答案．证明：已知两条直线都和第三条直线平行；假设这两条直线不平行，则两条直线有交点，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行因此，两条直线有交点时，它们不可能同时与第三条直线平行因此假设与结论矛盾．故假设不成立，即如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．所以答案是：这两条直线不平行．小提示：本题主要考查了反证法，在解题时要根据反证法的特点进行证明是本题的关键．11、空间两条不重合的直线的位置关系有________、________、________三种．答案：相交平行异面解析：在空间，直线与直线的位置关系有平行、相交、异面三种，在同一平面内两条不重合的直线的位置关系是平行或相交，根据两条直线所在的空间解答即可.在空间，直线与直线的位置关系有相交、平行、异面，所以答案是：相交、平行、异面.小提示：此题考查相交于平行的特征及性质，关键是要明确两条直线所在的平面是在空间或是在同一平面内.12、两条直线平行的条件（除平行线定义和平行公理推论外）：两条直线被第三条直线所截，如果___________，那么这两条直线平行．这个判定方法可简述为：_________，两直线平行．答案：同位角相等（答案不唯一）同位角相等（答案不唯一）解析：根据平行线的判定定理解答即可．两条直线平行的条件（除平行线定义和平行公理推论外）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．这个判定方法可简述为：同位角相等，两直线平行．所以答案是：同位角相等，同位角相等．小提示：本题主要考查平行线的判定定理，属于基础题，熟练掌握平行线的判定定理是解题关键．13、如图，射线OC的端点O在直线AB上，OE⊥OC于点O，且OE平分∠BOD，OF平分∠AOE，若∠BOC=70°，则∠DOF=__________．答案：60°解析：直接利用垂线的定义得出∠COE=90°，再利用角平分线的定义得出∠DOF的度数．解：∵OE⊥OC于点O，∴∠COE=90°，∵∠BOC=70°，∴∠BOE=∠COE-∠BOC=90°-70°=20°，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=∠BOE=20°，∵∠AOB=180°，∴∠AOE=180°-∠BOE=180°-20°=160°，∵OF平分∠AOE，∠AOE=80°，∴∠EOF=12∴∠DOF=∠EOF-∠DOE=80°-20°=60°，所以答案是：60°．小提示：此题主要考查了垂线以及角平分线的定义，正确得出∠BOE的度数是解题关键．解答题14、已知：如图，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4．（1）求证：AD∥BE；（2）若∠B=∠3=2∠2，求∠D的度数．答案：（1）证明见解析；（2）72°.解析：根据平行线的性质推出∠1=∠ACD，求出∠2=∠ACD，根据∠2+∠CAF=∠ACD+∠CAF推出∠DAC=∠4，求出∠DAC=∠3，根据平行线的判定得出即可．根据平行线性质可求得∠D=∠DCE.（1）证明：∵AB∥CD，∴∠1=∠ACD，∵∠BCD=∠4+∠E，∵∠3=∠4，∴∠1=∠E，∵∠1=∠2，∴∠2=∠E，∴AD∥BE；（2）解：∵∠B=∠3=2∠2，∠1=∠2，∴∠B=∠3=2∠1，∵∠B+∠3+∠1=180°，即2∠1+2∠1+∠1=180°，解得∠1=36°，∴∠B=2∠1=72°，∵AB∥CD，∴∠DCE=∠B=72°，∵AD∥BE，∴∠D=∠DCE=72°．小提示：本题考查了平行线的性质和判定，三角形的外角性质的应用，能推出∠4=∠DAC=∠3是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．15、看图填空：(1)∠1和∠3是直线________被直线____所截得的______；(2)∠1和∠4是直线_________被直线____所截得的______；(3)∠B和∠2是直线_________被直线_____所截得的______；(4)∠B和∠4是直线_________被直线_____所截得的_______答案： AB，BC AC 同旁内角 AB，BC AC 同位角 AB，AC BC 同位角 AC，BC AB 内错角解析：试题解析：根据同旁内角、同位角及内错角的概念可得：(1)∠1和∠3是直线AB、BC被直线AC所截得的同旁内角；(2)∠1和∠4是直线AB，BC 被直线AC所截得的同位角；(3)∠B和∠2是直线AB，AC被直线BC所截得的同位角；(4)∠B和∠4是直线AC，BC被直线AB所截得的内错角.。
七年级下册数学相交线与平行线知识点
七年级下册数学相交线与平行线知识点七年级下册数学相交线与平行线知识点文字像精灵，只要你用好它，它就会产生让你意想不到的效果。
所以无论我们说话还是作文，都要运用好文字。
只要你能准确灵活的用好它，它就会让你的语言焕发出活力和光彩。
下面，店铺为大家分享七年级下册数学相交线与平行线知识点，希望对大家有所帮助！七年级下册数学相交线与平行线知识点篇11.平面上不相重合的两条直线之间的位置关系为_______或________2.两条直线相交所成的四个角中，相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线，性质是邻补角互补；相对的两个角叫做对顶角，特点是它们的两条边互为反向延长线。
性质是对顶角相等。
P3例；P82题；P97题；P352(2)；P353题3.两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角为90度，则称这两条直线互相垂直。
其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，他们的交点称为垂足。
4.垂直三要素：垂直关系，垂直记号，垂足5.做直角三角形的高：两条直角边即是钝角三角形的高，只要做出斜边上的高即可。
6.做钝角三角形的高：最长的边上的高只要向最长边引垂线即可，另外两条边上的高过边所对的顶点向该边的延长线做垂线。
7.垂直公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
8.垂线段最短；9.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
10.两条直线被第三条直线所截：同位角F(在两条直线的同一旁，第三条直线的同一侧),内错角Z(在两条直线内部，位于第三条直线两侧)，同旁内角U(在两条直线内部，位于第三条直线同侧)。
P7例、练习111.平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
12.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
如果b//a,c//a,那么b//cP174题13.平行线的判定。
P15例结论：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。
P15练习；P177题；P368题。
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为此,在设计中教学应认真研究该单元有关学习主题， 之间的关系乃至于关例，习题之间的递进和难易关 系
3.了解学生 学生自走进数学课堂之初，就不是白纸一张，任
由教师在上面涂画,他们对数学已经有了自己的认识， 而随后的学习又是在其已有的知识经验的基础上进 行的，甚至还带有自己特点的行为倾向。因此，了 解学生的现有状况是从事有效的数学教学活动的起 点，了解学生可以使我们知道教学活动可以从哪里 开始，又应该往哪里走，甚至应该在哪里应多停留 一会儿。
P
A
∟
m
B 河边
AB C
Dm
垂线段最短
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实际上，通过这样几个环节，一个完整的教学 设计便已经生成了。
二、用以交流的教学设计的一些思考
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上面我们阐述了教学设计的一般过程,作为自己教学的一 个计划，教学设计未必要求成文，也没有一定的规范要求， 但为了便于交流，撰写比较规范的教学设计方案是十分必要 的。
那么，教学设计的规范如何呢?我个人认为，教学设计未 必有统一的规范，至少现在尚没有形成一个统一的规范。但 没有统一的规范要求，并不是说教师可以随意撰写教学设计。 一般而言，交流的教学设计是写给别人看的。因此，应将在 数学教学设计过程的每一个阶段所做的工作，在教学设计方 案中具体地放映出来。
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相信:勤奋出聪明,
博学出智慧， 多练出技巧， 巧思出硕果！
初中数学教学设计说课
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在具体教学实践中,一线教师更为关注具体教学 单元和课题的教学设计，因此，我们今天就谈谈如 何进行具体教学单元和课题的教学设计。
一、教学设计的一般过程
不管是什么类型的数学教学设计，其基本过程 大致相同，即确立目标、分析任务、了解学生、设 计活动、评价结果等环节。
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思路、想法,又可能会遇到些什么困难，学生之间在 这些问题上有什么差异，只有了解这些才能据此设 计合理的教学活动。 4.设计活动
基于上面学生学习任务的分析和对学生的了解， 就可以开展具体教学活动的设计了。当然，对于单 元教学活动的设计，主要关注具体教学活动的顺序、 侧重点、各个教学环节的学时安排以及具体素材的 选取要求等。
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轨道上来。这样,教学就演变成为教学设计的教学，教学设计 方案也就极容易成为制约课堂教学的枷锁。
交城县第六中学 成秀敏
知识结构图
两条
直线
相 交
相交
线
一般情况 邻补角 对顶角
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邻补角互补
对顶角相等
特殊
垂线存在性和唯一性 垂直 垂线段最短
点到直线的距离
两条直线被 第三条所截
同位角、内错角、同旁内角
有了单元设计，自然就要进行具体课题的教学设 计了。具体课题的设计是单元设计的具体化，其重
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况,并据此在课堂教学中进行适当的调整。例如，学
生是否掌握了有关知识技能，学生对概念的理解水
平如何，学生在探索活动可能会遇到哪些障碍，遇
到这些障碍教师会怎么处理等。
上面
分析了教学设计的五个环节，当然，这几个环节并 非割裂的，而应是相互关联的，有时甚至是不可分 割的。例如，任务是针对学生而言的，因而在分析 任务的时候就不可避免地了解了学生。但不管怎样， 任何一个教学设计应该关注这样几应当关注他们是否具备将要进行 的数学教学活动所需要的知识技能和数学方法。仅 此显然仍是不够的,还需要了解学生的思维水平、认 知特征、对数学的价值倾向、学生在数学活动方面 的群体差异等，这些都是设计合理的数学教学的基 本前提。
例如，在教学解一元一次方程的过程中需要进 行数与式的运算；建立一元一次方程时需要理解问 题的现实背景，具备一定的现实生活经验；在学生 的探究活动中需要一定的活动经验，这些学生是否 具备。在具体问题的解决中，学生可能会有哪些
教学设计大致包括这样几个方面:
1.学生起点分析
学生的起点是指教学活动展开的学生基础，它不仅包括学
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出现哪些困难或成果,如何帮助学生克服困难或者如何评价学 生的成果等；如果教学过程需要使用一定的教学媒体，还应 该写清楚使用什么教学媒体和资源，怎样使用等。
从上面的分析可以看出，一个优秀的教学设计方案应是 在充分分析教学任务和学生的认知水平、现实情境的基础上， 将可实施的课程转变为学生习得的课程的过程。因此，教学 设计方案中对每一个教学环节都应进行精心的安排。
同时应认识到，教学活动本身就是一个动态系统，因此， 教学设计时应避免一种将教学过程机械化的倾向。在过去的 有些教学设计中，充斥着大量的师问生答式的对话，教师将 教学过程中学生的回答都“设计”好了，在具体教学中，教师 就容易将教学设计方案看成教学的准绳、标准，只要学生的 回答与教学设计不符，教师就设法使学生的回答回到设计的
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(2)阅读教材参考资料,准确领会编写意图
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在教学实施时,研究教科书以及相关教师参考用 书，领会编写者的编写意图就显得十分重要了，只 有这样才能对教学目标进行恰当的定位。
数学目标不仅包括知识技能，还包括问题解决， 数学思考以及情感态度等方面。
2.分析任务
教学目标必须通过具体的教学任务来体现。因此， 教学任务也可以作为一种实践中的教学目标。 分析 任务的目的在干:明确学习主题过程中的重点，难点 是什么；在具体知识技能等的学习过程中学生可能 经历怎样的过程，如何顺利达成相关目标；学习素 材应如何体现这些教学主题等。
平
平行线的判定
行 线
平行线的性质
平行公理
重点知识回顾
1、在两同条一直线平的面位内置, 关系有
a O 相交 b
易错点:同一平面内两
条直线的位置关系有相 交、垂直、平行三种
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。
a
b 平行
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1、如图,若∠AOD= 90°，
A
直线AB、CD的位置关系是 AB⊥CD
这个推理过程∵可∠以A写O成D：=90°F（已知），C E O
D
∴AB⊥CD（垂直的定义）．
2、若直线AB⊥CD ,则∠AOD= 90 °
这个推理过程可以写成： ∵AB⊥CD（已知），
∴ ∠AOD=90° （垂直的定义） ．
重点知识回顾
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在河边的A处,有一个牧童在放牛，牛吃饱后要到河边饮水 ，问牧童怎样把牛牵到河边，才能走最少的路？能说明理 由吗？
牧童