高中数学第一章常用逻辑用语1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件课堂导学

1.3.1 推出与充分条件、必要条件

课堂导学

三点剖析

一、充分条件与必要条件的判断

【例1】在下列各题中，判断A是B的什么条件，并说明理由.

(1)A：|p|≥2，p∈R.B：方程x2+px+p+3=0有实根；

(2)A：圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切.B：c2=(a2+b2)r2.

解析：(1)当|p|≥2时，例如p=3，则方程x2+3x+6=0无实根，而方程x2+px+p+3=0有实根，必有p≤-2或p≥6，可推出|p|≥2，故A是B的必要不充分条件.

(2)若圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切，圆心到直线ax+by+c=0的距离等于r，即r=，所以c2=(a2+b2)r2；反过来，若c2=(a2+b2)r2，则=r成立，说明

x2+y2=r2的圆心(0,0)到直线ax+by+c=0的距离等于r，即圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切，故A是B的充分必要条件.

温馨提示

对于涉及充分必要条件判断的问题，必须以准确、完整理解充分、必要条件的概念为基础，有些问题需转化为等价命题后才容易判断.

二、探究充分条件与必要条件

【例2】设定义域为R的函数f(x)=则关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0

有7个不同实数解的充要条件是( )

A.b＜0且c＞0

B.b＞0且c＜0

C.b＜0且c=0

D.b≥0且c=0

解析：f(x)=

故函数f(x)的图象如右图.

由图知，f(x)图象关于x=1对称，且f(x)≥0,

若方程f2(x)+bf(x)+c=0 ①有7个解，则方程t2+bt+c=0 ②有两个不等实根，且一根为正，一根为0.否则，若方程②有两相等实根，则方程①至多有4个解，若方程②有两个不等正实根，则方程①有8个解.

∵f(x)=0满足方程，则c=0,

又∵另一个f(x)＞0,

∴b=-f(x)＜0.

故b＜0且c=0,选C.

答案：C

温馨提示

充分与必要条件的寻找，要重视它们的定义

三、充要条件的证明

【例3】证明：关于x的方程ax2+bx+c=0有一根为-1的充要条件是a-b+c=0.

证明：①充分性

∵a-b+c=0

∴a·(-1)2+b·(-1)+c=0

∴x=-1是方程ax2+bx+c=0的一个根

∴a-b+c=0是关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为-1的充分条件.

②必要性

∵x=-1是方程ax2+bx+c=0的根

∴a·(-1)2+b·(-1)+c=0即a-b+c=0

∴a-b+c=0是关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为-1的必要条件.

综合①②关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为-1的充要条件是a-b+c=0.

温馨提示

p是q的充要条件，充分性是指p q，必要性是指q p.而p的充要条件是q，充分性则是指q p，必要性则是指p q.

各个击破

类题演练１

在△ABC中，命题p：，命题q：△ABC是等边三角形，那么命题p

是命题q的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分又不必要条件

解析：由已知和正弦定理，得

令

则

解得k=1.

∴sin A=sin B=sin C, ∴A=B=C.

∴p q，p是q的充分条件，

若△ABC为等边三角形，

则a=b=c,A=B=C,

∴

∴q p，q是q的必要条件.

∴p为q的充分必要条件.

∴答案：C

变式提升１

命题甲：“a,b,c成等差数列”是命题乙=2的( )

A.必要不充分条件

B.充分不必要条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：若a=b=c=0，则a,b,c也成等差数列，但推不出=2

反过来由=2a+c=2b，即a,b,c成等差数列，故选A.

类题演练2

对任意实数a,b,c，给出下列命题：

①“a=b”是“ac=bc”的充要条件

②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件

③“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件

④“a＜5”是“a＜3”的必要条件

其中真命题的个数是( )

A.1

B.2

C.3

D.4 解析：①中，当c=0时，ac=bc/a=b.

故“a=b”是“ac=bc”的充分不必要条件，故①错误.

③中，“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，故③错误.

②④正确.

答案：B

变式提升2

已知条件p：x+y≠-2，条件q：x,y不都是-1，则p是q的( )条件. A.充分不必要 B.必要不充分

C.充要

D.既不充分也不必要

解析：p：x+y≠-2,q：x≠-1或y≠-1.

p：x+y=-2，q：x=-1且y=-1.

∵q p，但p/q.

∴p是q的充分且不必要条件，选A.

类题演练3

证明一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0

证明：充分性：若ac<0，则b2-4ac>0且<0

∴方程ax2+bx+c=0有两个相异实根，且两根异号，即方程有一正根和一负根

必要性：若一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根

则Δ=b2-4ac>0,x1·x2=<0

∴ac<0.

变式提升3

已知p：|1-|≤2，q：x2-2x+1-m2≤0(m＞0)，且p是q的必要而不充分条件，求

实数m的取值范围.

解析：由x2-2x+1-m2≤0得

1-m≤x≤1+m,

∴q：A={x|x>1+m或x<1-m,m>0}，

由|1-|≤2得-2≤x≤10,

∴p：B={x|x>10或x<-2}.

∵p是q的必要而不充分条件，

∴A B解得m≥9.