高等代数教案第章欧氏空间

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第八讲欧氏空间

高等代数选讲
高等代数选讲
第八讲欧氏空间
线性空间中，向量之间的基本运算只有加法与数量乘法。作为几何空间的推广，可以发现几何向量的度量性质，如长度、夹角等，在线性空间的理论中没有得到反映。但是向量的度量性质在许多问题（包括几何问题）有特殊的地位。因此有必要在线性空间中引入度量的概念，使其更接近于几何空间，并有更丰富的内容与方法。
高等代数选讲 8、构造内积的方法在实线性空间V 中构造内积使之构成欧氏空间，通常采用如下两种方法：（1）直接构造：对任意 , V ，直接构造二元实函数 , ，并验证其满足内积的四条公理。（2）由正定矩阵确定内积：若V 为 n 维实线性空间，任取V 的基 1 , 2 ,, n ，以及 n 阶正定矩阵A，定义： b1 b , a1 , a2 ,, an A 2 bn 其中 a11 a2 2 an n , b11 b2 2 bn n
高等代数选讲欧氏空间证与内积有关的正交变换与对称变换在现实生活中有着广泛而重要的应用，这两种变换在标准正交基下分别对应着正交矩阵及实对称矩阵这两种具有特殊性质的矩阵。要求掌握正交变换与对称变换的概念及性质，能够运用它们与对应特殊矩阵之间的关系解题对实对称矩阵A，要求能熟练地找到正交矩阵 T Q，使 Q AQ为对角阵，以及以另一种形式出现的同一个问题，即用正交变换化实二次型为标准形。将线性空间关于某个子空间进行直和分解是不唯一的，但是欧氏空间关于某个子空间及其正交补空间的直和分解是唯一的。欧氏空间的这种分解是很重要的，要求掌握子空间的正交补的概念及基本性质，会求某些子空间的正交补。
1 1 2 2 n n
高等代数选讲（2） R mn －－对于实矩阵 A aij mn , B bij mn 内积为

3-4 欧氏空间

的内积. 称 [a, b] 为向量 a 与 b 的内积 • 向量空间带有内积运算就称为欧氏空间向量空间带有内积运算, 就称为欧氏空间欧氏空间.
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内积的性质维向量, 为实数, 设 a, b, c 为 n 维向量 k 为实数则有 (1) [a, b] = [b, a]; (2) [ka, b] = k [a, b]; (3) [a + b, c] = [a, c] + [b, c]; (4) [a, a] ≥ 0, 等号成立的充分必要条件是 a = 0. 2 2 [a, a] = a1 +L+ an 向量的内积设有 n 维向量 a = (a1, …, an), b = (b1, …, bn), 记
R A
a
e3
O e1
e2
Q
P
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A′
结束铃
定理2 定理 n 的一个规范正交基, 设 e1,…, er 为 R 的子空间 V 的一个规范正交基 … n 对 R 中任一向量 a, 记 a′ = [a, e1]e1 +L+ [a, er ]er 正交, 中每个向量都正交. 则 a − a′ 与 V 正交即 a − a′ 与 V 中每个向量都正交 ′ ′ R • 称 a′ 为向量 a 在向量空间 V ′ 上的正交投影向量正交投影向量. 上的正交投影向量 A • 几何背景
提示: 提示对于立体向量 a, b [a, b] = || a || ⋅ || b || cosϕ 其中ϕ 为向量 a 与 b 的夹角
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• 非零向量 a 的单位化或规范化向量单位化(或规范化)向量 1 o a = a || a || 同向(即夹角为零的单位向量. 即夹角为零)的单位向量表示与 a 同向即夹角为零的单位向量同时正交的单位向量. 例1 求与 a = (1,1,1), b = (1,−2,1)同时正交的单位向量 − 同时正交的单位向量同时正交, 解设非零向量 x = (x1, x2, x3) 与 a, b 同时正交则有

9.1 欧氏空间定义及性质

定义 4 称向量 , ( V) 正交，记成 (, ) 0 .
由定义 3 可知， (, ) cos ，故非零向量, 具有如
下结论： , 互相垂直夹角为 90 度 cos 0 .
这里正交的定义与解析几何中正交定义是一致的.
(α, kβ) = ( kβ,α) = k (β,α) = k (α,β) .
6) (α,β+γ) = (α,β) + (α,γ)
(α,β+γ) = (β+γ,α) = (β,α) + (γ,α)
= (α,β) + (α,γ) .
7) (0,α) = (α,0) = 0 ( 对任意的α∈V )
3) (α+β,γ) = (α,γ) + (β,γ) 4) (α,α)≥0 ，并且α = 0 当且仅当 (αα) = 0 这时，称V是欧几里德空间.
公理1称为对称性，公理2，3合称为线性性，公理4称为恒正性. 对称性，线性性和恒正性正是数量积（如功）的基本属性.
在此基础上可进一步建立向量长度、夹角、距离等概念，这均为几何空间的特征，是以欧氏几何为基础的，故称为欧氏空间.
r
r
(a11, b11) (a22, b11) (arr , b11) (aii, b11) aib1(i, 1)
i1
i1
r
r
(a11, b22 ) (a22, b22 ) (arr , b22 ) (aii , b22 ) aib2 (i , 2 )
x1 = x2 = ···= xn = 0 当且仅当 (ξ,ξ) = x12 + ···+ xn2 = 0.

高等代数课件第八章

由此得 | | , x12 x22 xn2 （5）
( ,) (x1 y1)2 (xn yn )2 （6）
2．标准正交基的性质
设 {1,2} 是 V2 的一个基，但不一定是
正交基。从这个基出发，只要能得出 V2 的一个
正交基 {1, 2}, 问题就解决了,因为将 1和2
再分别除以它们的长度，就得到一个规范正交
注意：（7）和（8）在欧氏空间的不等式（6）里被统一起来. 因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹不等式.
三、向量的正交
定义4 欧氏空间的两个向量ξ与η说是正交的,
如果 , 0
定理8.1.2 在一个欧氏空间里，如果向量ξ
与1,2,,r 中每一个正交，那么ξ与 1,2,,r
的任意一个线性组合也正交.
2 a1 2 a1 0,
因而 2 0,
这就得到 V2 的一个正交基 {1, 2}.
3．标准正交基的存在性
定理8.2.2（正交化方法) 设 {1,2 ,,n}
是欧氏空间V的一组线性无关的向量, 那么可以求
出V 的一个正交组 {1, 2,, n}, 使得 k 可以由 1,2,,k 线性表示，k = 1,2,…,m.
由于1,2,,k 线性无关，得 k 0,
又因为假定了 1, 2 ,, k1 两两正交，所以
k ,i
k ,i
k ,i i , i
i , i 0, i 1,2,, k 1
这样，1, 2,, k 也满足定理的要求。
定理8.2.3 任意n(n >0)维欧氏空间一定有正交
基，因而有标准正交基.
例4 在欧氏空间 R3中对基
4) 当 0 时, , 0 这里 ,, 是V的任意向量，a是任意实数，那么
, 叫做向量ξ与η的内积，而V叫做对于这个内积来说的一个欧氏空间（简称欧氏空间）.

欧氏空间（Eulerspace）

欧氏空间(Euler space )一、内积与欧氏空间1.设V 是实数域R 上的线性空间,在V 上定义一个二元实函数,称为内积,记为),(βα,它具有以下性质: )3(,)2(),,(),)(1( αββα= 这样的线性空间V 称为欧几里的空间,简称欧氏空间.2.设V 是数域P 上的线性空间,如果V 中的任意两个向量βα,都按某一法则对应P 内唯一确定的数,记为),(βαf ,且),(),(),(,,,,)1(221122112121βαβαβααβααk f k k k f V P k k +=+∈∈∀有;),(),(),(,,,,)2(221122112121βαβαββαββαl f l l l f V P l l +=+∈∈∀有则称),(βαf 是V 上的一个双线性函数.3.内积是双线性函数.4.设V 是n 维欧氏空间,n e e e ,,,21 为V 的一组基,V ∈βα,,若n n e x e x e x +++= 2211α; n n e y e y e y +++= 2211β则j i n j ni j i j i n j n i j i y x a y x e e ∑∑∑∑====∆=1111),(),(βα,5.称 )),(()(j i ij e e a A ==为基n e e e ,,,21 的度量矩阵.6. 设n e e e ,,,21 是n 维欧氏空间V 的一组基,,A 是基n e e e ,,,21 下的度量矩阵,则任意V ∈βα,,有AY X '=),(βα.7.度量矩阵必为正定矩阵,且不同基下的度量矩阵是合同的.二、长度与夹角1。

欧氏空间V 中向量长度 ),(||ααα=；单位化：当||0||0αααα=≠时， 2．欧氏空间中的重要不等式：① Cauchy-Буняковский不等式：对任意向量V ∈βα,有线性相关时等式成立。

，当且仅当βαβαβα|,||||),(|≤。

欧式空间

，当且仅当βαβαβα|,||||),(|≤。

欧氏空间

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事实上，我们有

2
0
1dx 2 ,
0
2
, 若m n, cos mx cos nxdx 0, 若m n,
, 若m n, sin mx sin nxdx 0, 若m n,
0
2
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2
0
cos mx sin nxdx cos nxdx sin nxdx 0
f ( x), g ( x),
b
有不等式
b 2
a f ( x) g ( x)dx a f
( x)dx
g a
b
2
( x)dx .
(8)
(8)式称为施瓦兹(Schwarz)不等式. （7）和（8）在欧氏空间的不等式（6）里被统一起来. 因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹不等式.
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| i | i, A (aij ) nn
求 A 的行列式 | A | 的值.
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i
的长度
8.2 正交基
一、内容分布 8.2.1正交组的定义、性质 8.2.2标准正交基的定义、性质及存在性 8.2.3子空间的正交补 8.2.4正交矩阵的概念 8.2.5 n维欧氏空间同构的概念及判别
n
a1 , a 2 , a n , b1 , b2 , , bn 有不等式
(a1b1 a n bn ) 2 (a1 a n ) 2 (b1 bn ) 2
(7)
(7)式称为柯西(Cauchy)不等式.
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例7 考虑例3的欧氏空间C[a,b]，由不等式（6）推出，对于定义在[a,b]上的任意连续函数

高等代数第7章欧式空间 7.1 欧氏空间的定义及性质

称为n维向量x与y的夹角 .
x, y
x y
例求向量 1,2,2,3与 3,1,5,1的夹角.
18 2 解 cos 3 261. 非负性当 x 0时, x 0;当 x 0时, x 0; 2. 齐次性 x x ; 3. 三角不等式 x y x y .
单位向量及n维向量间的夹角
1 当 x 1时, 称 x 为单位向量 .
2 当 x 0, y 0时, arccos
(4)[ x , x ] 0, 且当x 0时有[ x , x ] 0.
则称V（R）关于这个数积构成一个欧氏空间。这里 x,y为任意向量，k为任意实数。
数积的性质：（1）（x ,ky)=k(x , y) (2) (x , y+z )=(x , y)+( x , z ) (3) (x , )=0
欧氏空间的定义及性质
定义：设V（R）是实数域R上的线性空间，
在V（R）中定义了一个叫做数积的运算，即有一定的法则，按照这个法则，对V（R）中的任意两个向量x,y,都能确定R中唯一一个实数，称之为x与y的数积，记作（x,y),如果这个运算具有性质：
(1) ( 2) ( 3)
x, y y, x ; x, y x, y; x y, z x, z y, z ;
n (4) k i i 1
, l
i j 1 i
n
n,m ki l j ( i i 1, j 1
,
i
j
)
向量的长度及性质
定义2 令
x
x, x
2 2 2 x1 x2 xn ,
称 x 为n 维向量 x的长度或范数 .

第八章欧氏空间欧氏空间的定义及基本性质.doc

第八章欧氏空间计划课时：22学时 (P335—360)§8.1 欧氏空间的定义及基本性质（4学时）教学目的及要求：理解内积、长度、夹角、正交、距离的定义，掌握柯西一施瓦兹不等式。

通过本节的学习，使学生逐步掌握由特殊的例子抽象出一般概念的方法。

教学重点、难点：内积的定义、柯西一施瓦兹不等式本节内容分为下面四个问题讲授：一．内积及欧氏空间的定义1. 内积及欧氏空间的定义定义1（内积及欧氏空间的定义P336）注意：(1) .通过这个定义让学生逐步学会从具体例子抽象出一般概念的方法。

(2). 让学生体会公理化定义的特点。

(3). 内积的定义是本章的难点之一。

例1 （P336）例2 （P336）例3 （P336）例4 （P336）2. 向量的长度定义2（向量的长度P337）例5 （P336）例6 （P336）例7 （P336）长度的性质： | kα|＝|k||α|.单位向量二. 柯西一施瓦兹不等式定理8.1.1注意：Cauchy不等式与Schwarz不等式这两个看似完全不同的不等式在高等代数课程中达到了高度的统一。

例8 （P338）例9（P338）三. 两向量的夹角、正交、距离定义3（P338-339）定义4 （P339）作业：P356-P357习题八1（1），2，3，4，5.§8.2 度量矩阵与正交基（4学时）教学目的及要求：理解度量矩阵、规范正交基、正交矩阵的定义及相应的理论，掌握在规范正交基下内积的算法与正交化方法教学重点、难点：正交化方法本节内容分为下面三个问题讲授：一. 度量矩阵(1). 内积的计算(2).度量矩阵定理8.2.1 （P 309）例1 (P 341)二. 规范正交基(1). 规范正交基的定义注意：一个基为规范正交基的充分必要条件是它的度量矩阵是单位矩阵.(2). 在规范正交基下内积、坐标的算法(3). 规范正交基的求法—正交化过程.定理8.2.3注意：1.Schmidt 正交化方法肯定了)1(≥n n 维欧氏空间的规范正交基的存在性。

高等代数教案(北大版)第九章欧式空间

第九章
Euclid 空间
Euclid 空间是定义了内积的实线性空间，在线性空间中，向量间的基本运算只限于线性运算，而几何空间作为具体模型，还有很多性质没有推广到线性空间中来。把几何空间中的长度、夹角等度量概念引入线性空间，就成了建立 Euclid 空间的一个基本目的，其中内积的概念起了关键作用，它使得 Euclid 空间具有更丰富的几何内容。 Euclid 空间的理论在解析几何等数学分支和涉及正交变换的应用学科中都具有广泛的应用。教学目的：为解决用正交变换把二次型化为标准形问题，必须在线性空间的基础上引入度量，建立 Eulicd 空间。通过本章的学习，让学生了解并领会 Eulicd 空间的定义及基本性质、内积的定义、标准正交基、同构正交矩阵、正交变换、子空间、正交补的概念，掌握标准正交基的求法、无关向量组扩充为标准正交基的 Schmidt 正交化方法、同构的充要条件、正交矩阵的性质和判定方法、正交补的存在唯一性和实对称阵正交相似标准对角矩阵的求法。教学重点：Eulicd 空间的基本概念、度量矩阵、标准正交基、正交矩阵、实对称矩阵的标准形。教学难点：正交变换、对称变换和正交子空间。教学方法与手段：1. 理论课教学以讲授为主，部分介绍性内容用多媒体。 2．习题课以多媒体教学为主。教学内容：
§2
一、概念
标准正交基
定义 1 正交向量组：欧氏空间 V 中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为正交向量组. 规定：单个非零向量组成的向量组是正交向量组. 性质证明正交的向量组必线性无关设α1, α2,…, αm是一正交向量组，即(αi, αj)=0, i≠j.
令k1α1+k2α2+…+kmαm=0, 在等式两边用 α i 作内积：

《高等代数》第八章欧氏空间

ai 1 () = a11() () . 对 A() 作下述初等行变换：
a11()
A(
)

ai1

(

)

a1 j ()

aij ()

a11()

0

a1 j ()

aij () a1 j () ()
的多项式，且
di() | di+1() ( i = 1, 2, … , r-1 ) .
证明经过行列调动之后，可以使得 A() 的
左上角元素 a11() 0，如果 a11() 不能除尽 A()
的全部元素，由引理设可以- 矩找阵到A与(A)(的)左等上价角的元素
B1() ，它的并左且上角A(元)素中b至1(少)有 0一，个并元且素次不数能比被它除
们的乘积是 1 可以推知，它们都是零次多项式，也就是非零的数 .
证毕
二、举例
例 1 求下列 - 矩阵的秩
2 1
(1) 1

2

1 2 2 1 2 3 2
2 1
1 ;

2

1
(2) 2

1
1
引理设 - 矩阵A() 的左上角元素 a11() 0
并且 A() 中至少有一个元素不能被它除尽，那么一定可以找到一个与 A() 等价的矩阵 B() ，它的左上角元素也不为零, 但是次数比 a11() 的次数低.
证明根据 A() 中不能被 a11() 除尽的元素
所在的位置，分三种情况来讨论：
如此下去，A() 最后就化成了所要求的形式.

第七章欧氏空间

ξη
π
2
时, cos θ = 0.即 < ξ , µ >= 0称 ξ与 η 正交 .
补充定义: 零向量与任意向量均正交. 补充定义
ξ 推广：推广：在欧氏空间中，与向量 η ⋯ η n 中每个向量正交.则 ξ与η1 ⋯η 的任意线性组
合也正交.即 < ξ ,η i
>= 0 ⇒< ξ , ∑ a iη i >= 0
d (iii) 三角不等式：(ξ ,η ) ≤ d (ξ , ζ ) + d (ζ ,η ). 称(i)、(ii)、(iii)为距离公理。（iii）在解析几何中的意义是：三角形两边之和大于第三边。
定理2 定理如果W是欧氏空间V的一个子空间，那么
对V的内积来说，W也是一个欧氏空间。
7.2
正交基
n n
则< ξ,η >= a1b1 +⋯+ anbn , 由定理1得：
(a1b1 + ⋯+ anbn ) ≤ (a1 + ⋯an )(b1 + ⋯bn )
2 2 2 2 2
这正是大家熟知的Cauchy（柯西）不等式。
在 C [ a , b ] 中， f , g ∈ C[a, b]，规定 ∀
< f , g >= ∫ fgdx 则 ∫ a a
1）求出A 的特征根λ1 … λt是A 的不同特征根;
定义 1. 欧氏空间Ｖ中的一组两两正交的非零向量叫Ｖ的一个正交组。如果这组向量都是单位向量。则称为一个标准正交组。说明：正交组是线性无关的向量组。 ① ② 在ｎ维欧空间Ｖ中.两两正交的非零空间 . 向量个数不超过n个.在面几何中.正交的非零向量是有两个.在空间解几中.正交的非零向量是有3个. ③特别:如果α1 ⋯α n 是n维欧氏空间Ｖ的一组正 α是交组.则称 α1 ⋯α为V的一个正交基.如果 α1 ⋯ n n n维欧氏空间V的标准正交基.则称为V的一个标准正交基.

第二节欧式空间的基本概念

|| 2
|| 2 =
1 (1,0,1)T= ( 1 ,0,
2
2
1 | 3
||3=
1 (1,2,1)T = ( 1 ,
6
6
2, 6
1 )T . 6
2、正交向量组的性质
定理2 正交向量组必是线性无关向量组.
证明
设 α1,…, αm 是一个正交向量组 , 则
i ,
j
=
|| i
||2
α=<α, α1>α1+…+ <α, αn>αn ; (2) <α,β> = x1y1+…+xn yn ; (3) ||α|| = x12 L xn2 ; (4) d (α,β) = ( x1 y1)2 L ( xn yn )2
证明 (1) 用 αi 与 α=x1α1+…+xnαn 两端作内积, 得 <α, αi >= <x1α1+…+xnαn ,αi > = xi<αi,αi > = xi ,
( i=1,2, …,n ) 所以 α=<α ,α1>α1+…+<α ,αn>αn .
α=x1α1+…+xnαn , β=y1α1+…+ynαn , (1) xi =<α, αi > (i=1,2, …,n) , α=<α, αi >α1+…+<α, αn>αn ,
n
n
nn
(2) <α,β>= xii , y j j =
两个向量 α 和 β 都指定了一个实数与之对应, 这个实数记作 <α,β>，且满足以下条件： (1)对称性： <α,β>=<β,α>; (2)齐次性： <kα,β>=k<α,β>; (3) 加性： <α+β,γ>=<α,γ>+<β,γ>; (4)非负性： <α,α> 0, 等号成立的充分必要条件是

第一节n维欧氏空间

第一章预备知识第一节 n 维欧氏空间1．向量空间所谓数域上的向量空间是指一个交换群V ，其元素称为向量，群的运算记为加法，并且定义了数F F λ∈与向量v V ∈的乘法v λ，满足以下条件：(1) ()v v v λµλµ+=+；(2) ()()v v λµλµ=；(3) 121()v v v v 2λλλ+=+；(4) ，其中1v v =,F λµ∈，12,,v v v V ∈。

如果在V 中存在个元素n 1,,n δδ"，使得V 中任意一个元素v 都能够表示成1,,n δδ"的线性组合111nni n i i v λδλδλδ==++=∑"i F λ，∈，并且这样的表达式是唯一的，则称{}i δ为空间V 的一个基底，基底{}i δ中元素的个数与基底的选择无关，称为域上的向量空间V 的维数。

n F 注：以后讨论中。

F =\例子：n 维欧氏空间。

n \2．维欧氏向量空间n 假定V 是维向量空间，若在V 上给定一个对称的、正定的双线性函数，即它满足下列条件：n ,:V V ×<>→\(1) ；1212,,,v v v v v v v <+>=<>+<>(2) 1212,,v v v v λλ<>=<>>；(3) ；1221,,v v v v <>=<(4) 且等号只在,0v v <>≥0v =时成立，其中12,,,v v v V λ∈\∈，则称(,,)V <>为维欧氏向量空间。

满足上述条件的双线性函数称为欧氏内积，通常记成n ,<> 1212,v v v v ⋅=<>设(,为n 维欧氏向量空间，则在V 上能够取基底{,)V <>}i δ，使得1,,,0,.i j ij i j i j δδδ=⎧<>==⎨≠⎩这样的基底称为V 中的单位正交基底。

高代竞赛辅导第9章欧氏空间

9.欧氏空间1.（华南理工大学2006）4R正交基，其中1111111111222211A --⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭。

解分析：设m n A R ⨯∈的列向量为12,,,n ααα ，则12(,,,)n A ααα= ，列空间12,,,Im n W A ααα=<>= 。

0Ti i x Wx W x x αα⊥∈⇔⊥⇔⊥⇔=0Ker T TA x x A ⇔=⇔∈，从而有(Im )K er TWA A⊥⊥==，这表明：将A 改成T A ，又可以得到以上是两个非常重要的结论，在很多地方都用的上。

具体到本题：相当于求Ker TA 也就是求齐次线性方程组0T A x =的解空间的一个标准正交基，这是一个标准问题。

先求0T A x =的一个基础解系：121331,2002αα-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；任何将12,αα正交化、单位化得121414,14140707ββ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

2.（中山大学2006）设由向量123(1,1,2,1),(3,1,4,1),(1,1,0,1)T T Tααα=-=-=-生成的子空间为W ，求一个线性方程组，使得它的解空间为恰好W 。

解设矩阵()123,,A ααα=，则Im WA =()Im K er T A A⊥=。

这样问题就归结为：求齐次线性方程组0T A x =的解空间的一个基础解系1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 0101⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，这个基础解系生成的空间就是Ker T A ，而它的正交补也就是W ，恰好是和以上两个向量都正交的向量全体，这正好就是齐次线性方程组123240x x x x x ++=⎧⎨-+=⎩的解空间，因此123240x x x x x ++=⎧⎨-+=⎩就是要求的线性方程组。

3.（南开大学2006）设线性方程组123451245123452303220390x x x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪+-+=⎨⎪++-+=⎩ 的解空间为V 。

第一章欧式空间

第一章欧式空间1 向量空间的概念(1) 定义1.1：实数域上的向量空间指的是一个交换群，群运算为加法满足： R y x,,,∈∈∀以及V w v()(yv x v xy = ；v v =1；xw xv w v x +=+)(;yw xw w y x +=+)((2) 向量空间的基若有V e e n ∈....1且对V v ∈∀ 都存在R x x n ∈....1 使∑=ii iv xv ，称n e e (1)是向量空间的基。

称})....{(1R x x x R i n n ∈=为数组空间显然V 和n R 是一一对应的。

(3) 欧式向量空间：定义了一个对称正定的双线性函数的向量空间成为欧式向量空间，记为),,(><V ，<，>是双线性函数满足：>>=<<v w w v ,,0,>≥<v v 且00,=⇔>=<v v v若V e e n ∈....1是基，且ji j i e e δ>=<, 称n e e ....1为标准正交基。

另外∑∑==jj j ii ie y w e x v , 则ii y x w v >=<,例1.1：验证>>=<<w v wT vT ,,，特别有：vT v =,T 是正交阵。

2 欧式空间：(1)定义：设S 是一点集，固定S O ∈，若对S P ∈∀，→OP 与V 中唯一一个向量对应。

而且定义其长度><=→→→OP OP OP ,,则称S 是欧式向量空间，O 称为原点。

→OP 称为向量。

记为n E (2) 3E 中向量的运算 ①内积定义：),(cos b a b a b a ∠=⋅.显然：b a b a ⊥⇔=⋅031....e e 是基且两两垂直，称}....,{31e e O =σ是正交标架，),,(321x x x e xv i i i==∑),,(321x x x 称为v 的坐标。

第七讲欧氏空间部分

第七讲欧式空间及特殊矩阵对称矩阵与正定矩阵一 .实对称矩阵A 正定的充分必要条件 1.任意的,0n x R x ∈≠，都有0T x Ax > 2.A 的所有顺序主子式都大于零 3.A 的所有主子式都大于零 4.A 的所有特征值都大于零5.存在唯一的正定矩阵B ，使得2T A B B B ==6.存在可逆矩阵P ，使得T A P P =(A 与单位矩阵合同)1.A 是n 阶实矩阵，0A =,证明：TA A kE +正定当且仅当0k >证明：对任意的,0n x R x ∈≠，()()TTTT x AA kE x Ax Ax kx x +=+其中()0,0TTAx Ax x x ≥>，所以T A A kE +正定当且仅当对任意的,0n x R x ∈≠，()()0TT T T x A A kE x Ax Ax kx x +=+>当且仅当0k >2. A 是m n ⨯实矩阵，m n <，证明：TAA 正定当且仅当()r A m = 证明：TAA 正定当且仅当对任意的,0m x R x ∈≠，()()0TTTTT xAA x A x A x =>，当且仅当对任意的,0mx R x ∈≠,0TA x ≠，当且仅当TA 的列向量线性无关，当且仅当()r A m =.3. A 是n 阶正定矩阵，B 是n m ⨯实矩阵， ()r B m =，证明：(0)TB AB kE k +≥正定. 证明：A 是n 阶正定矩阵，存在可逆矩阵C ，使得T A C C =，T T TB AB kE BC CB kE +=+ 对任意的mx R ∈，()()()()TTTT T T T xBAB kE x x B C CB kE x CBx CBx kx x +=+=+由于()r B m =，C 可逆，所以()r CB m =,所以对,0mx R x ∈≠,()0CB x ≠ 所以任意的,0mx R x ∈≠，()()0,0TT CBx CBx kx x >≥所以()()()0TTTT xBAB kE x CBx CBx kx x +=+>，即(0)T B AB kE k +≥正定.4. A 是n 阶实对称矩阵，证明：234A A E -+正定证明：2222393734342424A A E A A E E A E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-++-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由于A 是实对称矩阵，所以234A A E -+337224TA E A E E ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意的,0n x R x ∈≠，()233734224T T Tx A A E x x A E A E E x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=--+⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦337224TT A E x A E x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中33770,02244T TT x A E A E E x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+≥>⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以()2340TxAA E x -+>，即234A A E -+正定.或A 是n 阶实对称矩阵， ()()222343434TT T A A EA A E A A E -+=-+=-+所以234A A E -+为实对称矩阵.设若λ是A 的一个实特征值，则234λλ-+是234A A E -+的特征值.又237024λ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，所以234A A E -+的特征值都大于零，所以234A A E -+正定.5. A 为n 阶反对称矩阵，证明：2A -半正定.证明：T A A =-,2TA A A -=,所以任意的,0mx R x ∈≠，()()()()20TT T T x A x x A A x Ax Ax -==>，2A -半正定.6. A 为n 阶正定矩阵，B 为n 阶实反对称矩阵，证明：2A B -正定.证明：B 为n 阶实反对称矩阵，所以2B -半正定，A 为正定矩阵，所以2A B -正定. 7.()ij n n A a ⨯=为正定矩阵，12,,,n b b b 均为非零实数，证明()ij i j n n B a bb ⨯=也正定证明：11n n b b B A b b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以B 与A 合同，A 正定，所以B 正定.8.A 、B 都为n 阶实对称矩阵，其中B 为n 阶正定矩阵，证明：存在可逆矩阵Q ，使=T Q BQ E ,T Q AQ 为对角矩阵（这里E 为n 阶单位矩阵）证明：A 、B 都为n 阶实对称矩阵，其中B 为n 阶正定矩阵，所以存在可逆矩阵P ,使得T B P P =,即()1111T T P BP P BP E --==，设111TP AP A =，则1A仍为n 阶实对称矩阵，所以存在正交矩阵T ,11T n T A T λλ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，同时TT E T E =,令 1Q TP =，则=T Q BQ E ,T Q AQ 为对角矩阵.9.A 是n 阶半正定矩阵，B 是n 阶正定矩阵，证明：A B B +≥,当且仅当0A =时取等号.证明:B 为n 阶正定矩阵，所以存在可逆矩阵P ,使得TB P P =, 即()1111TT PBP P BP E --== (其中11P P -=)，设111T PAP A =，则1A 仍为n 阶半正定矩阵，所以存在正交矩阵T ,11(0,1,2,,)Ti n T A T i n λλλ⎛⎫⎪=≥= ⎪ ⎪⎝⎭ ，由于T 是正交矩阵，同时有T T ET E =,令 1Q PT =，则=T Q BQ E ,TQ AQ 1n λλ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，所以11TT T n QA B Q Q AQ Q BQ E λλ⎛⎫⎪+=+=+≥ ⎪ ⎪⎝⎭,1111T T TA B P P B Q QP P +≥===.10. A 是n 阶实对称矩阵，B 为m 阶正定矩阵，证明：存在非零矩阵H ，使得TB HAH -正定.证明：B 为m 阶正定矩阵，所以存在m 阶正交矩阵P ,使得1,T Tm B P P P P μμ⎛⎫ ⎪==∑ ⎪⎪⎝⎭ 记1(0)m μμ≥≥> , A 为n 阶实对称矩阵，()r A r =，所以存在n 阶正交矩阵Q ,使得1,T n A Q Q λλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 1,n λλ⎛⎫⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭不妨设{}1m a x i iλλ=如果n m >，取()10T H P H Q =,其中1m mH ⨯⎫⎪⎪⎪=⎝则()11111T T TT m m k B HAH P H H P P P k μμ-⎛⎫⎪-=∑-Λ= ⎪ ⎪-⎝⎭ ，其中11,m λλ⎛⎫⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭()11111T T T Tm m k B HAH P H H P P P k μμ-⎛⎫⎪-=∑-Λ= ⎪ ⎪-⎝⎭10(=1,2,,)2mi i i i k i m μμμλλ-=-> 如果n m <，取10T H H P Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中1n nH ⨯⎫⎪⎪⎪=⎝则1111TTT Tm m k H H O B HAH P P P P O O k μμ-⎛⎫⎡⎤⎛⎫Λ ⎪-=∑-=⎢⎥⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭ ⎪⎣⎦-⎝⎭，其中i n ≤时，102mi i i i k μμμλλ-=->，n i m <≤时，00i i i k μμ-=->，综上TB HAH -正定.11. A 、B 都为n 阶正定矩阵，且AB BA =，则AB 亦为正定矩阵证明：()TT TAB B A BA AB ===,所以AB 是对称矩阵.A 为n 阶正定矩阵，所以存在正定矩阵P ,使得2A P =，所以112TP ABP P P BP PBP P BP --===,所以AB 与TP BP相似，而TP BP 正定，所以特征值都大于零，所以AB 的特征值都大于零，又AB 是对称矩阵，所以，AB 亦为正定矩阵.12. A 、B 都为n 阶正定矩阵，证明：1）方程0A B λ-=的根均大于零2）方程0A B λ-=的根均1当且仅当A B =证明：A 为n 阶正定矩阵，1A -也为n 阶正定矩阵，所以存在正定矩阵P ,使得12AP -=，所以1112T P A BP P P BP PBP P BP ---===,所以1A B -与TP BP 相似，而TP BP 正定，所以特征值都大于零，所以1A B -的特征值都大于零.1）1A B A E A B λλ--=-，A 为正定矩阵，0A >，所以方程0A B λ-=的根即为10E A B λ--=的根，即为1A B -的特征值，所以方程0A B λ-=的根均大于零.2）如果方程0A B λ-=的根均1当且仅当1A B -的特征值均为1，由于1A B -与T P BP 相似，而TP BP 正定，所以1A B -可对角化，所以1A B -的特征值均为1当且仅当1A B E -=,当且仅当A B =.13.设B 为n 阶实矩阵，而TE B B -为正定矩阵，证明：若λ是B 的一个实特征值，则1λ<证明：若λ是B 的一个实特征值，设x 为B 的对应λ的单位特征向量，则Bx x λ=，由于0x ≠，且T E B B -为正定矩阵，所以()()()210TT T T x E B B x x x Bx Bx λ-=-=->，λ是实数，所以1λ<.14. A 为n 阶可逆的对称矩阵，B 为n 阶反对称矩阵，AB BA =，证明：A +B 可逆证明：1A B A E A B -+=+，由于AB BA =，所以11A B BA --=，所以()()1111TTT A BB A BA A B ----==-=-,所以1A B -是反对称矩阵，所以1A B -的特征值都是零或纯虚数，所以1-不是1A B -的特征值，所以110E A B --⋅-≠，所以10A B A E A B -+=+≠，即A +B 可逆.15. A 为n 阶实正定矩阵， 1) 证明:TAG a ββ⎛⎫= ⎪⎝⎭正定的充分必要条件为10T a A ββ-->； 2)讨论：A 为n 阶实正定矩阵，C 为s 阶方阵时，TAB G BC ⎛⎫= ⎪⎝⎭正定的充分必要条件.证明:因为11100101T T T EA AE A Aa a A ββββββ---⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以10,0TT AAa a A ββββ-⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎝⎭⎝⎭合同,所以TA G a ββ⎛⎫= ⎪⎝⎭正定的充分必要条件为100T A a A ββ-⎛⎫ ⎪-⎝⎭正定.即100T A a A ββ-⎛⎫⎪-⎝⎭所有顺序主子式均大于零，由于A 为n 阶正定矩阵,所以其顺序主子式均大于零. 所以100T A a A ββ-⎛⎫⎪-⎝⎭正定的充分必要条件为11000T T A A A a A ββββ--⎛⎫=> ⎪-⎝⎭,即110T T a A a A ββββ---=->. 2）A 为n 阶实正定矩阵，C 为s 阶方阵时，T A B G B C ⎛⎫=⎪⎝⎭正定的充分必要条件：1T C B A B --正定与1）类似有T A B G B C ⎛⎫=⎪⎝⎭正定的充分必要条件为100T A C B A B -⎛⎫⎪-⎝⎭正定.即100T A C B A B -⎛⎫⎪-⎝⎭所有其顺序主子式均大于零，由A 正定知当k n ≤时G 的k 顺序主子式都大于0，当k n >时，100T A C B A B -⎛⎫⎪-⎝⎭的k 顺序主子式为k n k nA A C C --=其中k n C -为1T C B A B --的k n -阶顺序主子式，所以T AB G BC ⎛⎫=⎪⎝⎭正定的充分必要条件为0(1,,)k n k nA A C k n n s C --=>=++ ，充分必要条件0(1,,)k n C k n n s ->=++ ，即1T C B A B --正定.16.若Q 是n 阶正定矩阵，x 为n 阶为实非零列向量，证明：10()1T T x Q xx x -<+<. 证明：Q 是n 阶正定矩阵，对任意的x 为n 阶为实列向量，显然T Q xx +为正定矩阵，所以1()T Q xx -+为正定矩阵，所以1()0T T x Q xx x -+≥.因为110()()()1101T T T T TE Q xx x E Q xx x x Q xx x --⎛⎫⎛⎫+-+⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1()001()T T T Q xx x Q xx x -⎛⎫+= ⎪-+⎝⎭，而00()011011T T TE x EQ Q xx x xx -⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以001Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭与()1T TQ xx x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭合同，由于001Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭正定，所以()1T TQ xx x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭也正定，而TQ xx +正定，所以()1T TQ xx x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭正定当且仅当11()0T T x Q xx x --+>，即1()1T T x Q xx x -+<. 17.A 为秩为r 的半正定矩阵，则存在行满秩矩阵P ,使得TA P P =∑,其中1(0,1,2,,),T i r r i r PP E λλλ⎛⎫ ⎪∑=>== ⎪⎪⎝⎭. 证明：由于A 为秩为r 的半正定矩阵，所以存在正交矩阵Q ,使得000TA Q Q ∑⎛⎫=⎪⎝⎭其中1r λλ⎛⎫ ⎪∑= ⎪⎪⎝⎭，所以()00000r TT r E A Q Q Q E Q ∑⎛⎫⎛⎫==∑ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令()0rP E Q =，则P 是行满秩矩阵，且T A P P =∑18.A 是n 阶可逆矩阵，则A 可以分解为一个正交矩阵与一个正定矩阵的乘积证明：A 可逆，则TA A 正定，所以存在正交矩阵P ，使得1,(0,1,2,,)T Ti n P A AP i n λλλ⎛⎫ ⎪=>= ⎪ ⎪⎝⎭所以22T TP A AP ⎫⎪==∑⎪ ⎝，故11T T P A AP E --∑∑= 令1AP Q -∑=,则T Q Q E =,所以Q 为正交矩阵，且()T T T A Q P QP P P =∑=∑其中T QP 为正交矩阵，TP P ∑为正定矩阵.19. A 是n 阶实对称矩阵，证明：()r A n =当且仅当存在n 阶实矩阵B ,使得TAB B A +是正定矩阵.证明： ()r A n =，取B A =,即有TAB B A +是正定矩阵.反之，存在n 阶实矩阵B ,使得TAB B A +是正定矩阵，如果()r A r n =<，由A 是n 阶实对称矩阵，所以存在正交矩阵P ,使得000rTA P P Λ⎛⎫=⎪⎝⎭，其中1,r λλ⎛⎫⎪Λ= ⎪⎪⎝⎭1(0,1,)i r λ≠= ，令任取n 阶实矩阵B ，令1234T B B B P P B B ⎛⎫=⎪⎝⎭,则12123434000000TrrT T T TT B B B B AB B A P PP P P PP P B B B B ΛΛ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1120TTr r r T r B B B P P B ⎛⎫Λ+ΛΛ=⎪Λ⎝⎭，由于r n <，所以1120T r r r T r B B B B ⎛⎫Λ+ΛΛ ⎪Λ⎝⎭不正定，所以TAB B A +不可能是正定矩阵.关于对称变换1.()(),,αβαβ=A A2.A 是对称变换的充分必要条件为：A 关于标准正交基的矩阵是对称矩阵.1.设V 为n 维欧式空间，2()37g x x x =-+，A 是V 的一个对称变换，证明：对任意非零向量α，都有(,())0g αα>A证明：对任意非零向量α，都有()2(,())(,37)g αααα=-+A AA E2319(,)24αα⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A E E 3319(,)(,)224Tαααα⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A A E E 3319(,)(,)0224αααα⎛⎫⎛⎫=--+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A A E E2. 设A 是n 维欧式空间V 上的一个对称变换，{}1,,V V A a a a a =={}2V V A a a a =- ，证明： 12V V V =证明：令=-B A E ，{}{}11,0V V A B a a a a -==?，2V V B =所以12,V V 都是V 的子空间，所以12V V V + 显然.且12dim dim V V n += 任意12V V I a Î，由于由2V a Î所以存在V b Î，使得A a b b =-， 1V a Î，所以A a a = ，即2A A A A a b b a b b =-==-，所以22A A b b b =-.()()()()(),,,2,,ααββββββββββ=--=-+A A A A A()()()()()()2,2,,,2,2,0βββββββββββββ=-+=-+-=A A =A A ，所以0α=，故{}120V V I =，所以1212V V V V += ，又12dim dim V V n +=，所以12V V V = .3. 设A 是n 维欧式空间V 上的一个对称变换，证明：()10-A 是V A 的正交补证明：任意()10V α-∈ AA ，则0,α=A 且存在,V β∈使得αβ=A()()(),,,0αααβαβ===A A ，所以0α=，故(){}100V -= A A ，所以()()1100V V --+=⊕AA A A ，又()1dim 0dim V n -+=A A ，所以()1dim 0V n -⎡⎤+=⎣⎦A A ,故()10V V -⊂+A A ，又()10V V -+⊂A A 所以()10V V -=⊕AA .对任意的()10,V αγ-∈∈AA ，则0,α=A 且存在,V βγβ∈=A()()(),,,0αγαβαβ===A A ，所以()10V -⊥A A ，故()10-A 是V A 的正交补.4. 设A 是n 维欧式空间V 上的一个对称变换，证明：对V 中任意非零向量α，(),0A a a >的充分必要条件是A的特征值都是正实数.证明：设若λ是A 的一个特征值，设α为A 的对应λ的特征向量，则αλα=A ，所以()()()()()(),,,,,,A A a a l a a l a a a a a l a l a a ===== ，由于0,a ¹ 所以(),0a a ¹，所以l l =，所以A 的特征值都是实数. 又()(),,0A a a l a a => 而(),0a a >，所以0l >.5. 设A 是n 维欧式空间V 上的一个对称变换，求证：对任意,0V αα∈≠，都有(),0A a a <的充分必要条件为A的特征值均为负数.证明：设若λ是A 的一个特征值，设α为A 的对应λ的特征向量，则αλα=A ，所以()()(),,,0A a a l a a l a a ==< ，而(),0a a >，所以0l <.6.设A 是n 维欧式空间V 上的一个线性变换，*p A 也是V 上的变换，且对任意的,V αβ∈，都有()(),,p A A a b a b *=证明：1）*p A 是线性变换；2）A 的核等于*p A 的值域的正交补证明：1）对任意的,V αβ∈，()(),()αβαβαβαβ******+--+--p p p p p p A A A A A A =()()(),()(),αβαβαβαβαβα********+--+-+--p p p p p p p p A A A A A A A A()(),αβαββ****-+--p p p p A A A A ()()(),()(),αβαβαβαβαβα******⎡⎤⎡⎤=+--+-+--⎣⎦⎣⎦p p p p p p A A A A A A A A ()(),0αβαββ***⎡⎤-+--=⎣⎦p p p A AA A*p A 是V 上的变换，所以()V αβαβ***+--∈p p p A A A ，且()0αβαβ***+--=p p p A AA ，所以()αβαβ***+=+p p p A A A对任意的,V k P α∈∈，()(),()k k k k αααα****--p p p p A A A A()()(),()(),k k k k k k αααααα******=---p p p p p p A A A A A A()()(),()(),0k k k k k k αααααα****⎡⎤⎡⎤=---=⎣⎦⎣⎦p p p p A A A A A A ()0k k αα**-=p p A A ，所以*p A 是V 上的变换，所以()()k k V αα**-∈p p A A ，且()0k k αα**-=p p A A ，所以()k k αα**=p p A A所以*p A 是线性变换.2）设{}1120,V V V -*==p A A任意{}1120,V V V αγ-*∈=∈=p A A ，存在V b Î，使得*A g b =()()()*,,,0αγαβαβ===A A ，所以2V α⊥∈，任意2V α⊥∈，则对任意V β∈，()()*,,0αβαβ==A A ，由β的任意性，有(),0αα=A A ，所以0α=A ，所以1V α∈，所以12V V ⊥=正交矩阵1. A 为n 阶正交矩阵，0A <,证明：0A E +=证明：设λ是A 的一个特征值，α为A 的对应λ的单位特征向量，则A αλα=所以()()()1T T T T A A A A αααααα===,又()()2T T A A ααλλααλ==，所以21λ=.又因为A 为实矩阵，则A 的非实复特征值以共轭复数形式成对出现，设A 的非实复特征值为(1,2,,)k k a b i k l ±= ，实特征值为(1,2,,)j j t λ= ，则1j λ=±所以()()()221111l t l t k k k k j k k j k j k j A ab i a b i a b λλ=====+-=+∏∏∏∏，所以0A <时，(1,2,,j j t λ= 中有奇数个1-，即1-是A 的特征值，所以0A E +=. 2.A 、B 都为n 阶正交矩阵，0A B +=，证明：0A B +=证明：由于正交矩阵Q 满足TQ Q E =,所以正交矩阵的行列式为1±. A 、B 都为n 阶正交矩阵，且0A B +=，所以 A B =-，不妨设1,1A B ==-由于正交矩阵之积还是正交矩阵，所以1A B -还是正交矩阵，且111A B A B --==-，所以1A B A E A B -+=+，由上题1-是1A B -的特征值，所以1A B A E A B -+=+.3. A 为n 阶正交矩阵，且1是A -的s 重特征值，证明：()1s A =-.4. 设A 为n 阶正交矩阵，且只有一个实特征值，12,,,n ααα 为n 个线性无关的n 维列向量，证明：0A <的充分必要条件为()()()12,,,n A E A E A E ααα+++ 线性相关证明：设λ是A 的一个特征值， α为A 的对应λ的单位特征向量，则A αλα= 所以()()()1T T T T A A A A ααα===,又()()2T T A A ααλ==，所以21λ=.因为A 为实矩阵，则A 的非实复特征值以共轭复数形式成对出现，设A 的非实复特征值为(1,2,,)k k a b i k l ±= ，又A 只有一个实特征值实特征值为λ，则1λ=± 由于()()()2211l lk k k k k k k k A ab i a b i a b λλ===+-=+∏∏，所以0A <时，1λ=-，即1-是A 的特征值，所以0A E +=，以12,,,n ααα 为列作矩阵()12,,,n ααα ，由于12,,,n ααα 线性无关，所以()12,,,n ααα 可逆，所以()()()12,,,n r A E r A E n ααα+=+< .即()()()12,,,n A E A E A E ααα+++ 的秩小于n ，所以()()()12,,,n A E A E A E ααα+++ 线性相关.5. 设A 为n 阶正交矩阵， 12,,,n ααα 为n 个线性无关的n 维列向量，若()()()12,,,n A E A E A E ααα+++ 线性无关，证明：1A =6. 设A 是n 维欧式空间V 上的一个正交变换，{}1,,V V A a a a a =={}2V V A a a a =- ，证明： 12V V V =证明：令=-B A E ，{}{}11,0V V A B a a a a -==?，2V V B =所以12,V V 都是V 的子空间，所以12V V V + 显然.且12dim dim V V n +=任意12V V I a Î，由于由2V a Î所以存在V b Î，使得A a b b =-， 1V a Î，所以A a a = ，即2A A A A a b b a b b =-==-，所以22A A b b b =-.()()()()()()()222,,,,,,,ααααββββββββββββ==--=--+A A A A A A A A A A ()()()()()()22,,,,2,,βββββββββββββ=--+=--A A A A A()()()2,,20ββββββ=---==A A ，所以0α=，故{}120V V I =，所以121V V V V += ，又12dim dim V V n +=，所以12V V V = .7.设A 是n 维欧式空间V 上的一个变换，满足（1）()00=A ；（2）任意的,,V αβαβαβ∈-=-A A,证明：1）A 保持长度；2）A 保持内积； 3）A 是线性变换证明：1）由于任意的,,V αβαβαβ∈-=-A A，取0β=即有,V ααα∈=A ，所以A 保持长度.2）22,,V αβαβαβ∈-=-A A ，所以()2,αβαβαβ-=--A A A A A A ()()(),2,,αααβββ=-+A A A A A A ()222,ααββαβ=-+=-A A()22,ααββ=-+，所以()(),,αβαβ=A A3）()()(),αβαβαβαβ+--+--A A A A A A ()()(),αβαβ=++A A ()()()2,)2(,)2(,αβααββαβ-+-++A A A A A A (),)(,ααββ++A A A A ()()(),2,)2(,)2(,,)(,0αβαβαβααββαβααββ=++-+-++++=所以()0αβαβ+--=A A A ，所以()αβαβ+=+A A A()()()()()()()()()2,,2,,k k k k k k k k k αααααααααα--=-+A A A A A A A A A A ()()()()2,2,,0k k k k k αααααα=-+=，所以()0k k αα-=A A ，即()k k αα=A A 所以A 是线性变换.8.设A 为n 阶实矩阵，且其特征值均为实数，若A 的所以1阶和2阶主子式之和为0，证明：0n A =。

高等代数教案第 章欧氏空间

第八讲 欧氏空间

3-4 欧氏空间

9.1 欧氏空间定义及性质

高等代数课件 第八章

欧氏空间（Eulerspace）

欧式空间

欧氏空间

高等代数 第7章欧式空间 7.1 欧氏空间的定义及性质

第八章欧氏空间欧氏空间的定义及基本性质.doc

高等代数教案(北大版)第九章 欧式空间

《高等代数》第八章 欧氏空间

第七章 欧氏空间

第二节 欧式空间的基本概念