数理方程练习题

第二章 定解问题与偏微分方程理论

习题2.1

1. 密度为ρ均匀柔软的细弦线x =0端固定，垂直悬挂，在重力作用下，于横向拉它一下，使之作微小的横振动。试导出振动方程。

2. 长为L ，均匀细杆，x = 0端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长b 静止后（在弹性限度内）突然放手，细杆作自由振动。试写出振动方程的定解条件。

3. 长为L 、密度为ρ的底半径为R 的均匀圆锥杆（轴线水平）作纵振动，锥的顶点固定在x =0处。导出此杆的振动方程。

4. 一根长为L 、截面面积为1的均匀细杆，其x =0端固定，以槌水平击其x =L 端，使之获得冲量I 。试写出定解问题。

习题2.2

1. 一半径为r ，密度为ρ，比热为c ，热传导系数为k 的匀质圆杆，如同截面上的温度相同，其侧面与温度为u 1的介质发生热交换，且热交换的系数为k 1。试导出杆上温度u 满足的方程。

4. 设有一根具有绝热的侧表面的均匀细杆，它的初始温度为)(x ϕ，两端满足下列边界条件之一：

（1）一端（x =0）绝热，另一端（x = L ）保持常温u 0；

（2）两端分别有热流密度q 1和q 2进入；

（3）一端（x =0）温度为u 1(t )，另一端（x = L ）与温度为)(t θ的介质有热交换。 试分别写出上述三种热传导过程的定解问题。

习题2.4

1. 判断下列方程的类型：

（1）04=+++++u cu bu au au au y x yy xy xx ；

（2）02=+++++u cu bu au au au y x yy xy xx ；

（3）02222=+++++u au bu au au au y x yy xy xx ；

（4）0=+yy xx xu u 。

2. 求下列方程的通解

（1）0910=++yy xy xx u u u ；

（3）0384=++yy xy xx u u u 。

第三章 分离变量法

习题3.1

2. 求解下列定解问题

（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-====><<=====)

(,00)0,0(,0002x L x u u u u t L x u a u t t t L x x xx tt

3. 求下列边值问题的固有值和固有函数：

（1）⎩⎨⎧===+''==0

,000L x x X X X X λ （3）⎩⎨⎧0,0012===+'+''==e x x y y y y x y x λ 习题3.2

1.求定解问题：

⎪⎩⎪⎨⎧-===><<====)

(0

,0)0,0(,002x L x u u u t L x u a u t L x x xx t 习题3.5

2. 求解定解问题：

⎪⎩⎪⎨⎧===><<=+-===-0

0020

,0)0,0(,0T u u u t L x Ae u a u t L x x x t xx α 0T 是常数。

3. 求解定解问题：

2000cos sin ,(0,0)0,00,0

tt xx x x x x L t t t x u a u A t x L t L u u u u πω====⎧=+<<>⎪⎪==⎨⎪==⎪⎩

习题3.6

2. 求解定解问题： ⎪⎩⎪⎨⎧====><<+=====)

(),(,)0,0(),(002102x u x u M u M u t L x x f u a u t t t L x x xx tt ψϕ

其中，1M 和2M 为常数。

5. 求解定解问题：

⎪⎩

⎪⎨⎧====+=0),0(,),0()(,),(,0)0,()(,x u Ex x u E E L t u t u g g u u t x xx tt 为常数为常数

第四章 行波法

习题4.1

1. 求下列波动方程柯西问题的解： (1) ⎪⎩⎪⎨⎧=====2002,sin x u x u u a u t t

t xx tt (2) ⎪⎩⎪⎨⎧=====x

u u u a u t t t xx tt 002,5 6. 求下列强迫振动的柯西问题的解

（1）⎪⎩⎪⎨⎧==+===2002,5)ex p(x

u u x u a u t t t xx tt ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧==+===0,sin )ex p(002t t t xx tt u x u t x u a u 习题4.2

1. 求解半无界弦定解问题：

2000, 0,0sin , cos 0

tt xx t t t x u a u x t u x u x u ===⎧=<<+∞>⎪==⎨⎪=⎩

5. 求解下列定解问题：

⎪⎩⎪⎨⎧==>+∞<<-∞=-++==)(),()0,(,0200

22x u x u t x u a u u u t t t xx t tt ψϕεε [提示：作代换t

w e u ε=。] 第五章 积分变换

习题5.1

1．若)()]([ωf x g F =，求证：)(2)]([ωπ-=g x f F 。

3．求函数的付里叶变换

（1）|)|exp()(x x f -=；（2）)ex p()(2

x x f π-=；（3）2cos )(x x f ω= 第六章 格林函数法

1．求区域上的格林函数

（1）求上半圆域的格林函数；

（2）求上半球域的格林函数。

2．求解圆域上的Dirichlet 问题

⎩

⎨⎧=≤==)(),(1,01θϕθr r u r u ∆ （1）θθϕcos )(a =；（2）θθϕcos )(a b +=。

第七章