第8章传递函数矩阵的矩阵分式描述

并 使D (s)为 列 既 约 。 则 N(s)D-1 (s)为 真 ， 当 且 仅 当
cj N(s) cj D (s)
j 1,2,...p
j 1,2,...p
则N(s)D-1 (s)为 严 真 ， 当 且 仅 当
cj N(s) cj D (s)
cj为所示矩阵第 j列的列次数。
称最小阶MFD为不可简约MFD
则 N(s)D-1 (s) 为最小阶当且仅当其为左不可简
1 约MFD， 为最小阶当且仅当其为右不 D (s)N (s) L L
可简约MFD。
8.2 矩阵分式描述的真性和严真性
8.2.1 真性和严真性 对 q p 传递函数矩阵G(s)
g11 (s) g12 (s) g1p (s) g (s) g (s) g (s) 21 22 2p G (s) g ( s ) g ( s ) g ( s ) q2 qp q1 n ij (s) 传 递 函 数 元g ij (s) d ij (s)
1
MFD的特性
（1）MFD的实质 类同于单输入单输出线性定常系统
的传递函数的分式表示，多输入多输出线性定常系统 传递函数矩阵的MFD实质上也是G(s)的分式化表示。 称D(s)和DL(s)为G(s)的分母矩阵，N(s)和NL(s)为
G(s)的分子矩阵。
Hale Waihona Puke Baidu
G(s) N(s)D (s)
-1
-1 DL (s)NL (s)
1 所 以D 为 真, 非 严 真 。 L (s)N(s)
（2）分母矩阵为非既约的情形
结论8.12 [非列既约右MFD真性严真性判据]
对 右MFD N(s)D -1 (s), D(s)为p p阵 但 为 非 列 既 约 ， N(s)为q p阵 ， 引 入 一 个 p p单 模 阵 V(s), 表 D(s) D(s)V(s) N(s) N(s)V(s)
系的传递函数矩阵G(s)为 q p 有理分式矩阵。
则一定存在 q p和p p
DL(s),使成立：
多项式矩阵N(s)和
D(s),以及 q p和q q 多项式矩阵NL(s)和
G(s) N(s)D (s)
-1
-1 DL (s)NL (s)
N(s)D-1 (s)为G(s) 的 一 个 右 矩 阵 分 式 描， 述即 右 MFD
（1）分母矩阵为既约的情形
结论8.10 [列既约右MFD真性严真性判据]
对右MFD N(s)D -1 (s), D(s)为p p阵且为列既约， N(s)为q p阵，
则N(s)D-1 (s)为 真 ， 当 且 仅 当
cj N(s) cj D(s)
cj N(s) cj D(s)
ri N L (s) ri D L (s)
则D -1 为真，当且仅当 L (s)N(s)
i 1,2,...q
ri N L (s) ri D L (s)
ri 为所示矩阵第 i行的行次数。
i 1,2,...q
例：左 MFDD-1 L (s)N(s) : (s 2)2 (s 1)2 (s 2)(s 1)2 0 s D L (s) , N L (s) 2 s 1 0 s 2 N L (s)为 行 既 约 ， 且 1 r1 N L (s) r1 D L (s) 4 1 r2 N L (s) r2 D L (s) 1
定义8.1 [G(s)真性严真性] 称G(s)为严真，当且仅当
对 i=1,2,..q，j=1,2,..,p,G(s)元满足 degnij(s)<degdij(s)
称G(s)为真，当且仅当
对 i=1,2,..q，j=1,2,..,p,至少存在一个G(s)元满足
degn (s) degd (s),其余元满足 degn ij (s) degd ij (s)
(s 2)(s 1) 2
1
d r1 (s 2)(s 1) 3 , d r2 (s 2)(s 1) 3 (s 2)(s 1) 3 (3s2 6s 2)(s- 2) s 3 3s 1 s 1 0 G(s) 3 0 (s 2)(s 1) s(s - 2) s s(s 1)
2 2 s s(s 2) s 1 0 s s 1 -1 G (s) D L1 (s) N L1 (s) , MFD的阶次 3 s2 0 s s 1 0 degdet D (s) degdetD(s) 1
（6）最小阶MFD
3s2 6s 2 3 (s 1) G(s) s (s 1) 3
s 3 3s 1 (s - 2)(s 1)3 s (s 2)(s 1) 3
1 (s - 2)(s 1)2 s (s 2)(s 1) 2
-1 2 1
2s 1 2s2 s 1


N(s)D-1 (s)为 非 真 。
结论8.11 [行既约左MFD真性严真性判据]
对左MFD D -1 N L (s)为q p阵， L (s) N(s), D L (s)为q q阵且为行既约，
则D -1 为真，当且仅当 L (s)N(s)
-1 2 1
对D(s) degdet D(s) 0

j1
2
cj D(s)
2 1 3
D(s)为 非 列 既 约 。
尽 管 有 0 c1 N(s) c1 D(s) 2 0 c2 N(s) c2 D(s) 1 而事实上 s s 1 N(s)D (s) 1 2 s 1 1
1 D为G(s) 的 一 个 左 矩 阵 分 式 描， 述即 左 MFD L (s)NL (s)
如何构造右MFD和左MFD？
G(s) N(s)D (s)
-1
D(s) 由G(s) 各列的最小公分母构成 N(s) 为G(s) 各列构成最小公分母时 的分子
G(s) D (s)NL (s)
-1 L
D L (s) 由G(s) 各行的最小公分母构成 N(s) 为G(s) 各行构成最小公分母时 的分子
右MFD和左MFD的分母矩阵和分子矩阵一般为不同。
（2）MFD的次数
对传递函数矩阵G(s)的一个右MFD规定
N(s)D (s) 的次数 degdetD(s)
对传递函数矩阵G(s)的一个左MFD规定
1 D 的次数 degdetDL (s) L (s)N(s)
-1
（3）MFD的的不唯一 对传递函数矩阵G(s)，其右MFD和左 MFD不唯一， 且不同的MFD可能具有不同的次数。只要能构成 -1 就是 MFD G(s) 。 N(s)D (s)或G(s) D-1 L (s)N L (s)
-1
s 1 0 s2 G(s) s 0 s2
2 1
1 s s 1 s 2
s s 0 s 1 0 , 左MFD的阶次 3 s s 1 0 s 2 0 选择一个非奇异多项式 矩阵W (s) 0 s 3 0 s 0 s 2 DL1 (s) W (s)D L (s) 0 1 0 s 2 0 s 2 s s 3 s 0 s 2 s 0 s 1 0 N L1 (s) W (s) N L (s) 0 1 0 s s 1 0 s s 1
（5）同次数MFD的扩展构造 对 q p 的传递函数矩阵G(s)，N(s)D-1 (s)其一 个右MFD，而W(s)为任一 p p 单模矩阵， 定义
N(s) N(s) W (s), D (s) D(s) W (s) 则 N(s) D (s) 也 为G(s)的 一 个 右 MFD， 且 有 degdet D(s) degdetD(s)
例：右 MFDN(s)D-1 (s) : (s 2)2 (s 1)2 - (s 2)(s 1)2 0 s D(s) , N(s) 2 s 1 0 s 2 D(s)为 非 列 既 约 ， 为 此 引 单 人模 阵 V(s), (s 2)2 (s 1)2 - (s 2)(s 1)2 1 D(s) D(s)V(s) 0 s2 s 2 0 - (s 2)(s 1)2 2 s 2 s 2 0 1 0 s 0 s N(s) N(s)V(s) 2 2 s 1 s 2 1 s 3s 4 s 1 D(s)为 列 既 约 ， 且 2 c1 N(s) c1 D(s) 2 1 c2 N(s) c2 D(s) 3 所 以D -1 (s)N(s)为 真, 但 非 严 真 。 0 1
cj为所示矩阵第 j列的列次数。
j 1,2,...p
j 1,2,...p
则N(s)D-1 (s)为 严 真 ， 当 且 仅 当
注意：结论中D(s)为列既约是一个不可缺少的前 题，否则结论只是必要条件，而非充分条件。
s s 1 例：右 MFDN(s)D (s) 1 2 s 1 1
定义8.2 对传递函数矩阵G(s)，称G(s)为真，当且仅当
s
lim G (s) G 0 (非零常阵）
称G(s)为严真，当且仅当
s
lim G (s) 0
定义8.3 称MFD为真，当且仅当其导出的传递函 数矩阵G(s)为真。 称MFD为严真，当且仅当其导出的传递函数矩阵 G(s)为严真。 和在传递函数是一样，只有当MFD为真或严真时， 他所表征的系统才是可实现的。 8.2.2 真性和严真性的判别准则
对 q p 的传递函数矩阵G(s)，N(s)D-1 (s)
和 D-1 L (s)NL (s) 为其一个右MFD和一左MFD，则 有：
N(s)D-1 (s)为 最 小 右 MFD degdetD(s)最 小
1 D为最小左 MFD degdetD L (s)最 小 L (s)NL (s)
MFD的不唯一，所以最小阶MFD也不唯一；
第8章 传递函数矩阵的矩阵分式描述
8.1 矩阵分式描述（matrix-fraction
description ,MFD)
它实质上就是把有理分式矩阵形式的传递函数矩
阵G(s)表示为两个多项式矩阵之“比”，MFD形
式上是单输入单输出系统传递函数模型的一种扩
展。
右MFD和左MFD
对于p维输入和q维输出，描述系统输入和输出关
3
d c1 (s) (s 1) 3 , d c2 (s) (s 2)(s 1) 3 , d c3 (s) (s 2)(s 1) 2 (s 1) 3s 6s 2 s 3s 1 1 G(s) s s s
2 3
(s 2)(s 1) 3
（4）不同次数MFD的扩展构造 对 q p 的传递函数矩阵G(s)， N(s)D-1 (s) 为其 中一个右MFD，而W(s)为任一 p p 非奇异 矩阵，定义
N(s) N(s) W (s), D (s) D(s) W (s) 则 N(s) D -1 (s) 也 为G(s)的 一 个 右 MFD， 且 有 degdet D(s) degdetD(s)
3 3 2 s 0 s s 0 s -1 G (s) DL1 (s) N L1 (s) , MFD的阶次 4 s s 1 0 s 2 0 degdet D (s) degdetD(s) 1
选择一个单模矩阵 W (s) 0 s 2 s(s 2) 1 s s 2 DL1 (s) W (s)D L (s) 0 1 s2 0 s 2 0 s s 1 0 s 2 s 1 1 s s 1 0 N L1 (s) W (s) N L (s) 0 1 0 s s 1 0 s s 1