安徽省江南十校2019届高三3月联考理科数学试题

2019安徽省“江南十校”综合素质测试数学（理科）解析及评分标准一、选择题1. 答案 D 【解析】{2,2}A =−,故选D.2. 答案A 【解析】|i ||||||1i |2z z ====−,故选A.3. 答案C 【解析】标准方程为212x y =，故选C. 4. 答案B 【解析】由正弦定理知，sin sin 22cos sin sin 3B C C C C ===，cos 3C ∴= 25cos 22cos 1,9C C ∴=−=故选B. 5. 答案Ｄ 【解析】12AB AD ⋅=，2+3AE AB AD =，BD AB AD =−+ 212211(+)()1323326AE BD AB AD AB AD ⋅=⋅−+=−+−⨯=−,故选D. 6. 答案C 【解析】11121=2ABC A B C V L π−⋅三棱柱,故选C 7 .答案C 【解析】由已知得，24ππω=，112,()cos().223f x x πω∴==+故选C. 8 .答案A 【解析】由已知得()(),()f x f x y f x R −=−=且在上单调递增，22(3log )(log 1)f x f x ∴<−由可得223log log 1x x <−21log 2x ∴<−，解得：0x <<故选A. 9 .答案B 【解析】记(1,0)A ，则2224||2b c PF a −==，2214||22b c PF a a +=+=，1||1F A c =+， 2||1F A c =−，由角平分线性质得21122||||404||||PF F A c c c PF F A =⇒−=⇒=， 或作1AD PF ⊥于D ,由角平分线的对称性质知1112||||||||||24DF PF PD PF PF a =−=−==，2||||1AD AF c ==−，在1Rt ADF ∆中，222112||1,||||||AF c AF AF AD =+=+,解得4c =故12212214||||24.22PF F c S F F PF c ∆−=⨯=⋅=故选B. 10 .答案C 【解析】由已知，min min ()()f x g x ≥，由已知可得2min ()1),f x =+min ()3g x =，21)3,4k ∴+≥∴≥−故选C.11 .答案B 【解析】由已知得原几何体是由一个棱长为2的正方体挖去一个四分之一圆柱及一个八分之一球体得到的组合体，216245420,484S ππππ∴=⨯−−⨯+⨯+=+表故选B. 12 .答案C 【解析】前44组共含有数字：44(441)1980⨯+=个，198044(20191980)2019441975,S ∴=−+−=−=故选C.二、填空题13. 答案２ 【解析】0,2x y ==时，min 3022z =⨯+=14. 答案1− 【解析】22sin cos 1sin 4cos 4αααα⋅=+，2tan 14tan 4αα=+，tan 2α=， []123tan =tan ()11123βαβα−+−==−+⨯. 15. 答案240 【解析】[]66()=()x y z x y z ++++，含2z 的项为24226T C()x y z =+⋅，所以形如2a b x y z 的项的系数之和为246C 2=240⋅.16.【解析】由已知动点P 落在以AB 为轴、该侧面与三棱锥侧面ACD 的交线为椭圆的一部分，设其与AC 的交点为P ，此时PB 最大，由P 到AB P 为AC 的中点，且2cos ,5BAC ∠=在BAP ∆中，由余弦定理可得 PB ==. 三、解答题17【解析】（1）由1232n n a a a a b ++++=①2n ≥时，123112n n a a a a b −−++++=②①−②可得：12()n n n a b b −=−(2)n ≥，∴3322()8a b b =−=∵12,0n a a =>，设{}n a 公比为q ，∴218a q =，∴2q =…………………………3分 ∴1222n n n a −=⨯=∴12312(12)222222212n nn n b +−=++++==−−，∴21n n b =−.…………6分 （2）证明：由已知：111211(21)(21)2121n n n n n n n n n a c b b +++===−⋅−−−−. ………………9分 ∴12312231111111212121212121n n n c c c c +++++=−+−++−−−−−−− 111121n +=−<−………………………………………………………………………………12分18 【解析】（1）∵2AB =，1A B ，160A AB ∠=，由余弦定理：22211112cos A B AA AB AA AB A AB =+−⋅∠，即21112303AA AA AA −−=⇒=或1−，故13AA =.………2分取BC 中点O ，连接1,OA OA ，∵ABC ∆是边长为2的正三角形， ∴AO BC ⊥，且AO =1BO =，由11A AB A AC ∆≅∆得到11A B AC ==1A O BC ⊥， 且1AO =， ∵22211AO A O AA +=，∴1AO A O ⊥，…………………4分又BC AO O =,故1A O ⊥平面ABC ，∵1A O ⊂平面1A BC ， ∴平面1A BC ⊥平面ABC . ………………………………………6分（2）解法一：以O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，取11B C 中点K ，以OK 所在的直线为y 轴，过O 作1OG AA ⊥，以OG所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系.则111(1,0,0),(1,3,0),(1,3,0),B B C A −111(2,3,0),(0,3,0),(BC BB BA ∴=−==−……………………………………………8分设平面11ABB A 的一个法向量为(,,1)m x y =，则1130(2,0,1)020m BB y x m y m BA x y ⎧⋅==⎧=⎪⎪⇒⇒=⎨⎨=⎪⋅=−+=⎪⎩⎩设所求角为θ，则11||2sin39||||13BC m BC m θ⋅===…………………………………………………12分1解法二：以O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，以1OA 所在的直线为y 轴，以OA 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系.则1(1,0,0),(1,0,0)B A A C ，设1(,,)C x y z ，由11=C A CA可得1(C −，11(2,6,3),(1,0,3),(1,BC AB BA ∴=−−=−=−……………………8分设平面11ABB A 的一个法向量为(,,)m x yz =，则110,(6,1,0y m AB x x m z m BA x ⎧=⎧⋅=−=⎪⎪==⎨⎨=⎪⋅=−=⎪⎩⎩取 设所求角为θ，则11||2sin 39||||13BC m BC m θ⋅===…………………………………………………12分 解法三：由（1）111111332C ABA AOA V BCS BC AO A O −==⨯⨯⨯⨯=设C 到平面11ABB A 的距离为h ，则由111//CC ABB A 面知1C 到平面11ABB A 的距离也为h ，则 111111sin 60332CABA ABA V hS h AB A A h −===⨯⨯⨯⨯︒==………………………………9分 设所求角为θ，则1sin h BC θ===………………………………………………………12分 19【解析】（1）由数据可知，2012，2013，2016，2017，2018五个年份考核优秀，故ξ的所有可能取值为0123，，，. 0353381(0)56C C P C ξ===，12533815(1),56C C P C ξ=== 2130535333883010(2),(3)5656C C C C P P C C ξξ======………………………………………………………………4分 故ξ的分布列为：所求0123.565628288E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=………………………………………………………………6分（2）解法一：8882222111()72()8360i ii i i i x x x x x x ===−=⇒=−+⨯=∑∑∑ 888111()()34.5()()8226.5i i i i i i i i i xx y y x y x x y y x y ===−−=⇒=−−+⨯⨯=∑∑∑ 故去掉2015年的数据之后686483296,777x y ⨯−⨯−==== 2222255()736067672i i i i x x x x ≠≠−=−=−−⨯=∑∑ 5529()()7226.5637634.57i i i i i i x x y y x y x y ≠≠−−=−=−⨯−⨯⨯=∑∑…………………………9分 所以^34.50.4872b =≈，^^2934.56 1.27772a y b x =−⋅=−⨯≈ 从而回归方程为：^0.48+1.27.y x =…………………………………………………………………………12分 解法二： 因为66x x ==，所以去掉2015年的数据后不影响^b 的值， 所以^34.50.4872b =≈， …………………………………………………………………………9分 而去掉2015年的数据之后686483296,777x y ⨯−⨯−====， ^^2934.56 1.27772a yb x =−⋅=−⨯≈ 从而回归方程为：^0.48+1.27.y x =…………………………………………………………………………12分注： 若有学生在计算^a 时用^0.48b ≈计算得^^290.486 1.267a yb x =−⋅=−⨯≈也算对。

20【解析】(1)设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>由题意得24b =⎪=⎩32a b =⎧⎨=⎩∴椭圆C 的标准方程为22194x y +=………………4分 (2)解法一：设:(22)l y t t =−<<且0t ≠，1(,)E x t ，2(,)F x t ，130x >>，20r x >> 设(0,)M s ， A E M 、、共线，∴AM AE k k = ∴1000(3)(3)s t x −−=−−−−，133t s x ∴=+，得13(0,)3t M x +，同理得13N(0,)3t x −…………8分 221133(,t)(,)33t t FM FN x x t x x ⋅=−−⋅−−+−2221133(1)(1)33x t x x =+−−+− 2222221122221499x x x t x t x t =−=−⋅−222222249(9)4494t x x t r =−−=+−=−1216FM FN ≤⋅≤2124164r r ∴≤−≤∴≤≤12分解法二：设1122:3(0),(,),(,)AE x my m E x y F x y =−≠,联立223194x my x y =−⎧⎪⎨+=⎪⎩得：22(49)240m y my +−=,21112212412274,,494939BE y m m y x k m m m x −∴==∴==−++− 4:(3)9BN y m x ∴=−−，令0x =得12(0,)9mN又由:3(0)AE x my m =−≠，令0x =得3(0,)M m …………………………………………8分又//l x 轴，2122449my y m ∴==+2222222222312312(0,)(0,)()4499m m FM FN x y x y x y y r m m ∴⋅=−−⋅−−=+−++=− 1216FM FN ≤⋅≤ 212416r ∴≤−≤4r ∴≤≤12分 21【解析】（1）证明：1m =时，1()ln f x x x=+ 22111'()()x f x f x x x x−=−+=∴在(0,1]上递减，在[，1,2)上递增， min ()(1)1,() 1.f x f f x ∴==∴≥…………………………………………………………………4分 （2）当0m =时，()ln ,(0,2)f x x x =∈，明显不满足要求； 当0m ≠时，设切点为00(,())x f x （显然01x ≠），则有000()'()1f x f x x =−， 00020ln 1m x x mx x x +−∴=−，整理得020021ln 10m mx x x ++−−= （*） 由题意，要求方程（*）在区间(0,2)上有两个不同的实数解. 令221()ln 1m m g x x x x +=+−−，3(2)(1)'()x m x g x x −−=……………………………………6分 ①当21m ≥即12m ≥时，()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减或先单调递减再递增， 而1()(e 1)(2e)0e g m =−−<，(1)0g m =>，321(2)ln 21ln 2048m g +=+−≥−>， 1(2)ln 204g m m m=+>， ()g x ∴在区间(0,1)上有唯一零点，在区间(1,2)上无零点， 所以此时不满足题要求.………………………………………………………………………………………………8分②当021m <<即102m <<时，()g x 在(0,2)m 上单调递增，在(2,1)m 上单调递减，在(1,2)上单调递增，(21)()ln 10,(1)0,m m m e eg g m e e m+−=+−<=> ()g x ∴在区间()2,0上有唯一零点，所以此时不满足题要求.………………………10分 ③当0<m 时，()g x 在()1,0上单调递减，在(1,2)上单调递增，0)2)(1()1(>−−=e me eg ，0)1(<=m g ，4232ln )2(−+=m g 当0)2(≤g 即32ln 42−≤m 时，()g x 在区间(0,2)上有唯一零点，此时不满足题要求. 当0)2(>g 即032ln 42<<−m 时，()g x 在区间(0,1)和(1,2)上各有一个零点， 设为21,x x ，又这时221)(x mx xm x x f −=−='显然在区间(0,2)上单调递减， )()(21x f x f '≠'∴所以此时满足题目要求.综上所述，m 的取值范围是24ln 203m −<<.…………………………………………………………12 分（2）解法二：设切点为000(,ln )mx x x +，由解法一的关于0x 的方程 00200(21)1ln 10x m x x x −+−+=在区间内(0,2)有两解,显然12不是方程的解， 故原问题等价于22ln 12x x x x m x +−=−在区间内(0,2)有两解.……………………………………6分设22ln (1ln )1(),02,.12122x x x x x x x x g x x x x x +−+−==<<≠−−则21(1)(2ln )1'(),02,.(12)2x x x x g x x x x −+=<<≠− 令1()2ln ,02h x x x x =+<<，则221221'(),x h x x x x−=−+= 故min 111(0,),'()0,(,2),'()0()()()2ln 40222x h x x h x h x h x h ∈<∈>⇒≥==−>故11(0,),(,1),'()0,(1,2),'()022x g x x g x ∈>∈<从而11(0,),(,1),(),(1,2),()22x g x x g x ∈∈递增递减，令()=1ln ,02t x x x x x +−<<，'()ln ,t x x ∴=(0,1)'()0,(1,2)'()0x t x x t x ∈<∈>由于时时min ()()(1)0t x t x t ∴≥==故11(0,),()0,(,2),()022x g x x g x ∈>∈≤……………………………10分而11(,2),()(1)0,()22x g x g x g x ∈≤=→→−∞时时,故22ln 12x x x x m x+−=−在区间内(0,2)有两解(2)0g m ⇔<<，解得24ln 203m −<<.………………………………………………………………12分（二）选考题：共10分。