七年级完全平方公式培优

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平方差完全平方公式(培优)

平方差完全平方公式•选择题（共1小题）二.填空题（共3小题）2. （2011?湛江）多项式 2x 2- 3X +5是 _____________________ 次3. （2010?毕节地区）写出含有字母 x , y 的四次单项式 ____________________ .（答案不唯一，只要写出一个）4. （ 2004?南平）把多项式 2x 2- 3X +X 3按x 的降幕排列是 _ _5. (1999?内江)配方：X 2+4X +=(X + ) 2 配方：x 2-x+ =(x-1) 22三.解答题(共小题) 5.计算：(1)(x - y ) (x+y ) (x 2+y 2) (2) (a - 2b+c ) ( a+2b - c )6 .计算：1232 - 124 X 122 .7 .计算：2004 2tfi)4 2- 2005X20038. (x - 2y+z ) (- x+2y+z ).9 .运用乘法公式计算.(1) (x+y ) 2-(x -y ) 2;(2) (x+y - 2) (x - y+2);(3) X ；(4) .10 .化简：(m+n - 2) ( m+n+2).11 . (x - 2y - m ) (x - 2y+m )12 .计算(1) (a - b+c - d ) (c- a - d - b );(2) (x+2y ) (x - 2y ) (x 4- 8x 2/+16y 4).13 .计算：20082- 20072+20062- 20052+…+22- 12.14 .利用乘法公式计算：◎ ( a - 3b+2c ) (a+3b - 2c )② 472 - 94 X 27+272.1. (1999?烟台) F 列代数式I ，比逹,普，其中整式有（ A . 1个B . 2个 C. 3个 D. 4个项式.15 .已知：x 2 - y 2=20, x+y=4,求 x - y 的值. ______________________16 .观察下列各式：(x - 1) (x+1) =x 2 - 1； (x - 1) (x 2+x+1) =x 3- 1 ； (x - 1) (x 3+x 2+x+1) =x 4- 1 …(1) _______________________________________________________________________________ 根据上面各式的规律得：(x - 1) (x m -1+x m -2+x m -3+…+x+1) = ______________________________________________________ ；(其中n 为正整数)；(2) 根据这一规律，计算 1+2+22+23+24+…+268+269的值.17.先观察下面的解题过程，然后解答问题：题目：化简(2+1) (22+1) ( 24+1).解：(2+1) (22+1) ( 24+1) = (2 - 1) (2+1) (22+1) (24+1) = (22 - 1) ( 22+1) (24+1) = (24 - 1) (24+1) =28 - 1 . 问题：化简(3+1) (32+1) ( 34+1) ( 38+1)-( 364+1).19 . （2012?黄冈）已知实数 x 满足x 丄=3，则x 2丄的值为 ___________________________20 . （2007?天水）若a 2 - 2a+仁0.求代数式 /+~丄^的值.21 . （2009?佛山）阅读材料：把形如 ax 2+bx+c 的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即 a 2±2ab+b 2= （a ± b ） 2.例如：（x - 1） 2+3、（x - 2） 2+2X 、（*X -2） 2疔x 2是x 2 - 2x+4的三种不同形式的配方（即"余项”分别是常数项、一次项、二次项--见横线上的部分）请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出 x 2- 4x+2三种不同形式的配方；（2）将a 2+ab+b 2配方（至少两种形式）;（3）已知 a 2+b 2+c 2 - ab - 3b - 2c+4=0,求 a+b+c 的值.22 . (2004?太原)已知实数 a 、b 满足(a+b ) 2=1, (a - b ) 2=25,求 a 2+b 2+ab 的值.2 +，223 . (2001?宁夏)设 a - b=- 2，求一的值.24 .已知(x+y ) 2=49, (x - y ) 2=1，求下列各式的值：(1) x 2+y 2; (2) xy .25 .已知x+丄=4,求x --------- 的值.26 .已知：x+y=3, xy=2，求 x 2+y 2 的值.27.已知 a+b=3, ab=2,求 a 2+b 2, (a - b ) 2 的值.28 .若 x+y=2,且(x+2) (y+2) =5,求 x 2+xy+y 2 的值.18.门讨）⑴肖〔吟）（吟）（1+盘）29 -宀11x+1=0，求x2+；的值•求下列各式的值: (1)(2)平方差完全平方公式参考答案与试题解析一.选择题（共1小题）1 . （1999?烟台）下列代数式2x2+x- 2,齢21? F3 2 _ n卩十卩，其中整式有3 2VA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个考点：整式.分析：解决本题关键是搞清整式的概念，紧扣概念作出判断.解答：解：整式有X2+x-2竺共22八个. 故选B.点评：主要考查了整式的有关概念.要能准确的分清什么是整式.整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母.单项式和多项式统称为整式.单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法.多项式是若干个单项式的和，有加减法.二.填空题（共3小题）2. （2011?湛江）多项式2x2- 3X+5是二次三项式.考点：多项式.专题：计算题.分析：根据单项式的系数和次数的定义，多项式的定义求解.解答：解：由题意可知，多项式2x2-3x+5是二次三项式.故答案为：二，点评：本题主要考查多项式的定义，解答此次题的关键是熟知以下概念：多项式中的每个单项式叫做多项式的项；多项式中不含字母的项叫常数项；多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数.3. （2010?毕节地区）写出含有字母x, y的四次单项式科•（答案不唯一，只要写出一个）考点：单项式.专题：开放型.分析：单项式的次数是指单项式屮所有字母因数的指数和••• x3y, x2y2, xy3等都是四次单项式. 解答：解：根据四次单项式的定义，x2y2,x3y, xy3 等都符合题意（答案不唯—A）.点评：考查了单项式的次数的概念.只要两个字母的指数的和等于4的单项式都符合要求.4. （2004?南平）把多项式2x2-3X+X3按x的降幕排列是x^Zx2—3x考点：多项式．分析：按照x 的次数从大到小排列即可．解答：解：按x的降幕排列是x3+2x2—3x．点评：主要考查降幂排列的定义，就是按照x的次数从大到小的顺序排列，操作时注意带着每一项前面的符号．三．解答题(共26 小题)5．计算：(1)(x—y) (x+y) (x2+y2)(2)(a—2b+c) ( a+2b- c)考点：平方差公式；完全平方公式．分析：(1) (x—y)与(x+y)结合，可运用平方差公式，其结果再与(x2+y2)相结合，再次利用平方差公式计算；( 2 )先运用平方差公式，再应用完全平方公式．解答：解：( 1 )( x—y)( x+y)( x2+y2)，=( x2—y2)( x2+y2)，=x4—y4；( 2)( a—2b+c) ( a+2b—c)，2—( 2b—c)2，=a=a2—4b2+4bc—点评：本题主要考查了平方差公式与完全平方公式，熟记公式是解题的关键．平方差公式：(a+b) (a- b) =a2- b2.完全平方公式：(a± b)2=a2± 2ab+b2.6 •计算：1232- 124 X 122 .考点：平方差公式.分析：先把124 X 122 写成(123+1)X(123- 1), 利用平方差公式计算，去掉括号后再合并即可.解答：解：1232- 124X 122,=1232-(123+1) (123-1),=1232-( 1232 -12),=1.点评：本题考查平方差公式的实际运用，构造成平方差公式的结构形式是解题的关键.7 •计算：2004 20042- 2005X2003考点：平方差公式.分析：观察可得：2005=2004+1 ,2003=2004 - 1, 将其写成平方差公式代入原式计算可得答案.解答：解：2004 12004 2 - 2005 X 2003200420042 - (2004+13 X (2004-1)20042004 2 - 2004 2+1=2004.点评：本题考查平方差公式的实际运用，注意要构造成公式的结构形式，利用公式达到简化运算的目的.8. (x- 2y+z) (-x+2y+z).考点：平方差公式.专题：计算题.分析：把原式化为[Z+(x- 2y) ][z -(x-2y)]，再运用平方差公式计算.解答：解：(x- 2y+z) (-x+2y+z), =[Z+ (x-2y) ][z -(x- 2y)], =£- ( x-2y )2, =£-( x2- 4xy+4y ),=z2- Y+4xy - 4y2.点评：本题考查了平方差公式，整体思想的利用是利用公式的关键，注意运用公式计算会减少运算量.9 •运用乘法公式计算.(1)(x+y) 2-(x-y) 2;(2)(x+y- 2) (x- y+2);(3)x；(4).考点：平方差公式．专题：计算题．分析：(1) (x+y) 2-(x-y) 2可以利用平方差公式进行计算；( 2)( x+y- 2 )(x- y+2)转化成[x+( y- 2) ][x -( y- 2) ]的形式，利用平方差公式以及完全平方公式进行计算；(3 )x可以转化成( 80-)( 80+)的形式，利用平方差公式计算；(4)可以转化为( 20-) 2进行简便计算．解答：解：(1) (x+y)2-( x- y) 2=( x+y+x- y)( x+y- x+y)，=4xy；(2)( x+y- 2)(x- y+2)，=[x+( y- 2) ][x -( y- 2) ]，=x2-y2+4y- 4；(3 )x,=(80-)(80+)，=；( 4) =( 20-)2=400 - 2 X 20X + ,点评：本题主要考查平方差公式和完全平方公式的运用，利用完全平方公式以及平方差公式可以使计算更加简便.10 .化简：(m+n- 2)(m+n+2).考点：平方差公式.分析：把(m+n)看作整体，m+n是相同的项，互为相反项是- 2 与2，然后利用平方差公式和完全平方公式计算即可.解答：解：( m+n- 2)( m+n+2 )，=( m+n) 2- 22，22=m +n +2mn- 4. 点评：本题主要考查了平方差公式的应用.运用平方差公式( a+b)( a - b) =a2- b2计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方.11. (x - 2y - m) (x—2y+m)考点：平方差公式.专题：计算题.分析：把x- 2y 当成一个整体，利用两数的和乘以这两数的差，等于它们的平方差计算即可.解答：解：( x- 2y- m )(x- 2y+m)，=( x- 2y) 2- m2，2- 4xy+4y2-=x2.m点评：本题主要考查了平方差公式，整体思想的利用比较关键．12．计算(1)(a—b+c—d) (c—a - d - b);(2) (x+2y) (x—2y) (x4—8x2/+l6y4) •考点：平方差公式．专题：计算题．分析：根据平方差公式以及完全平方公式即可解答本题．解答：解：( 1 )原式=([ c—b—d) +a][( c—b—d)—a] =( c—b—d) 2—a2 =c2+b2+d2+2bd—2bc—2cd—a2，(2 )T x4—8x2y2+16y4=( x2—4y2) 2•••原式=(x2—4y2)( x2—4y2)2=( x2—4y2) 3=( x2) 3—3( x2) 2( 4y2) +3x2?(4y2) 2—( 4y2)3=x6—12x4y2+48x2y4—64y6．点评：本题考查了平方差公式以及完全平方公式的运用，难度适中．13 ．计算：20082—20072+20062—20052+ (22)12.考点：平方差公式．分析：分组使用平方差公式，再利用自然数求和公式解题．解答：解：原式=( 20082—20072)+(20062-20052) + …+(22- 12),=( 2008+2007 )( 2008 - 2007) +( 2006+2005)( 2006- 2005) +(2+1)(2- 1)，=2008+2007+20 06+2005+… +2+1，=2017036．本题考查了平方差公式的运用，注意分组后两数的差都为1 ，所有两数的和组成自然数求和．14 ．利用乘法公式计算：◎ ( a- 3b+2c) (a+3b- 2c)②472- 94 X 27+272.点评：考点：平方差公式；完全平方公式.分析：①可用平方差公式计算：找出符号相同的项和不同的项，结合再按公式解答，②把94 写成2X 47 后，可用完全平方公式计算.解答：解：①原式=[a -( 3b- 2c)][a+( 3b - 2c) ]=a2 -( 3b- 2c)2=9b2+12bc-4c2；②原式=472- 2X 47X 27+272=(47- 27)2=400.点评：本题考查了平方差公式，完全平方公式，熟记公式是解题的关键.①把(3b - 2c) 看作一个整体是运用平方差公式的关键；②把94写成2X 47是利用完全平方公式的关键.15 .已知：x2- y2=20, x+y=4,求x - y 的值. _5考点：平方差公式.分析：本题是平方差公式的应用.解答：解：a2- b2=(a+b) (a- b), x2- y2= (x+y) ( x -y) =20 把x+y=4代入求得x- y=5.点评：运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方.把x+y=4代入求得x- y的值，为5.16 .观察下列各式：(x- 1) (x+1) =x2- 1；(x- 1) (x2+x+1) =x3- 1 ； (x- 1) (x3+x2+x+1) =x4- 1 …(1)根据上面各式的规律得：(x- 1) (x m-1+x m-2+x m-3+…+x+1) = x m- 1 ；(其中n为正整数)；(2)根据这一规律，计算1+2+22+23+24+…+268+269的值.考点：平方差公式.分析：(1 )认真观察各式，等式右边x的指数比左边x的最高指数大1,利用此规律求解填空；(2 )先根据上面的式子可得：1+x+x2+x3+ …+x°= (x n+1- 1 ) + ( x- 1 ),从而得出1+2+22+…+268+269= (?69+1-1) r2-1), 再进行计算即可.解答：解：(1) ( x- 1 )(x m-1+x m-2+x m- 3+…+x2+x+1) =x m-1;(2 )根据上面的式子可得：2 31+x+x +x + …+宀(x n+1- 1 ) 十(X- 1 ),••• 1+2+22+…+268+269= (269+1-1)-( 2 - 1)=270- 1 .点评：本题考查了平方差公式，认真观察各式，根据指数的变化情况总结规律是解题的关键.17.先观察下面的解题过程，然后解答问题：题目化简(2+1) (22+1) ( 24+1).解：(2+1) (22+1) ( 24+1) = (2 - 1) (2+1) (22+1) (24+1) = (22- 1) ( 22+1) (24+1) = (24- 1) (24+1) =28- 1 . 问题：化简(3+1) (32+1) ( 34+1) ( 38+1)・・・(364+1).考点：平方差公式.分析：根据题意，整式的第一个因式可以根据平方差公式进行化简，然后再和后面的因式进行运算.解答：解：原式J (3-1) (3+1)(32+1) (34+1)(38+1)(364+1), (4分)丄(32 - 1)(32+1)(34+1)(38+1)(364+1),丄(34- 1)1(34+1) (38+1)(364+1),丄(38- 1)1(38+1)(364+1),二(364- 1 )(364+1), (8分)=1(3128-=(31). ( 10 分) 本题主要考查了平方差公式，关键在于把(3+1)化简为(3 - 1) (3+1)的形式，点评:考点：专题：分析：平方差公式.计算题.由平方差公式，（1+2）（1 -丄）2 =1 —2寺（1-解答: 丄22--,依此类推，从而得出结果.解：原式=（1 - 丄22(1 +18.)(1=1(1 + ；）考点：完全平方公式.专题：计算题.分析：将x+ —=3两边平方, 然后移项即可得出答案.解答：解：由题意得，1 o x+—=3,两边平方得：«+2+ ：=9,故 x 2+ ° =7.X 故答案为：7.点评：此题考查了完全平方公式的知识，掌握完全点评: （1+二）24-■）.1210-■）210=1-本题考查了平方差公式的反复应用，是基础知识要熟练掌握.(1+(1+(1+(1+19 . （2012?黄冈）已知实数 x 满足二=3,则x 2+ °的值为 7平方公式的展开式的形式是解答此题的关键，属于基础题.20 . （2007?天水）若a2- 2a+仁0.求代数式/+~岂的值•考点：完全平方公式.分析：根据完全平方公式先求出a的值，再代入求出代数式的值.解答：解：由a2-2a+1=0 得（a -1）2=0,••• a=1;把a=1代入a4+—^=1+1=2故答案为：2.点评：本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式先求出a 的值，是解决本题的关键.21. （2009?佛山）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a± b）2.例如：（x- 1）2+3、（x-2）2+2X、（丄x-2）2芒x2是x2- 2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、2 4一次项、二次项--见横线上的部分）请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出x2- 4x+2三种不同形式的配方；（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）;（3）已知a2+b2+c2- ab - 3b - 2c+4=0,求a+b+c 的值.考点：完全平方公式.专题：阅读型.分析：（1）（2）本题考查对完全平方公式的灵活应用能力，由题中所给的已知材料可得x2-4x+2 和a2+ab+b2的配方也可分别常数项、一次项、二次项三种不同形式；(3 )通过配方后，求得a，b，c的值，再代入代数式求值. 解答：解：(1)X2- 4x+2的三种配方分别为：2- 4x+2= (x -x2) 2- 2,X2 - 4x+2=(x+ . '：) 2(2, f+4) x,x2- 4x+2= C Zx-:'：)2-x2;(2)a2+ab+b2=(a+b) 2- ab,2 2a +ab+b =(F r(3)a2+b2+c2-ab - 3b -2c+4,=(a2- ab+丄b2)(4+ (上b2- 3b+3)+ (c2- 2c+1),+ (c2- 2c+1),=(a-亍b)2〒(b-2) 2+ (c- 1)2=0,从而有a-=b=0, b - 2=0,c- 1=0,即a=1, b=2, c=1,a+b+c=4.点评：本题考查了根据完全平方公式：a2± 2ab+b2=(a ± b) 2进行配方的能力.22 . (2004?太原)已知实数a、b 满足(a+b) 2=1, (a- b) 2=25,求a2+b2+ab 的值.考点：完全平方公式.分析：先由已知条件展开完全平方式求出ab的值，再将a2+b2+ab 转化为完全平方式(a+b) 2和ab的形式，即可求值.解答：解：•••( a+b)2=1, ( a- b)2=25,.a2+b2+2ab=1 , a2+b2-2ab=25..4ab= - 24,ab= - 6, .a2+b2+ab=(a+b) 2- ab=1 -(-6) =7.点评：本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式展开后建立方程组，再整体代入求解.23 . (2001?宁夏)设a- b=- 2，求* 严-命的值.考点：完全平方公式.分析：对所求式子通分，然后根据完全平方公式把分子整理成平方的形式，把a -b= - 2代入计算即可.解答：解：原式/ + b2- 2ab =2G-b):1 2•/ a - b_- 2 ,•••原式_(-2〉2_ 2=2 .本题考查了完全平方公式，利用公式整理成已知条件的形式是解题的关键，注意整体思想的利用.24 .已知(x+y) 2=49, (x- y) 2=1，求下列各式的值: (1) x2+y2; (2) xy.考点：完全平方公式.分析：根据完全平方公式把（x+y） 2 和（x- y）2展开，然后相加即可求出x2+y2的值，相减即可求出xy的值.解答：解：由题意知：(x+y)2_x2+y2+2xy_49①，(x- y) 2_x2+y2 -2xy_1 ②，①+②得：(x+y)2+ (x-y) 2,_x2+y2+2xy+x2+y2-2xy,_2 (x2+y2),_49+1,_50,•-x2+y2_25；①-②得：4xy_(x+y) 2-( x-y) 2=49 -1_48,• xy_12.点评:点评：25 .已知考点：分析：本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式，熟记公式是解题的关键.x+-^4,求X-丄的值.解答:完全平方公式. 把已知条件两边平方求出x2+ ；的值，再X根据完全平方公式整理成（X -丄）2的形式并代入数据计算，然后进行开方运算.解：•••二4,X••• x2+ - =142 ，(x-—)X2=12,点评：26 .已知考点：--x -二= .\本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式，利用好乘积二倍项不含字母是常数是解题的关键.x+y=3, xy=2,求x2+y2的值.完全平方公式.分析：利用完全平方公式巧妙转化即可.解答：解：••• x+y=3,••• x2+y2+2xy=9,••• xy=2,• - x2+y2=9 -2xy=9 - 4=5.点评：本题考查了利用完全平方公式恒等变形的能力.27.已知a+b=3, ab=2，求a2+b2, (a- b) 2的值.考点：完全平方公式.分析：先把a+b=3两边平方, 然后代入数据计算即可求出a2+b2的值,根据完全平方公式把( a- b) 2展开, 再代入数据求解即可.解答：解：T a+b=3,• a2+2ab+b2=9,T ab=2,•-a2+b2=9 - 2 x 2=5；•(a-b) 2=a2- 2ab+b2=5- 2 x 2=1.点评：本题主要考查完全平方公式, 熟记公式结构是解题的关键, 整体代入思想的利用使计算更加简便.28 .若x+y=2,且(x+2) (y+2) =5,求x2+xy+y2的值.考点：完全平方公式.专题：整体思想.分析：先根据多项式乘多项式的法则把( x+2)(y+2)展开并解答：点评：29. x2考点：分析：代入数据求出xy的值，再根据完全平方公式把x+y=2两边平方，整理并代入数据即可求出x2+xy+y2的值.解：•••( x+2)(y+2) =5,••• xy+2 (x+y)+4=5,••• x+y=2,• xy=- 3, 二x2+xy+y2=(x+y) 2- xy=22 -(-3) =7. 本题考查了完全平方公式，运用整体代入思想，熟练对代数式进行变形是解题的关键.—11x+1=0, 求x2解答: 完全平方公式. 先把x2-11x+1=0两边同除x (由题意可知X M 0),得到x+二=11,然后把该式子两边平方即可得到/+ ;的值.X 解：••• X M 0 ,• X+ 二亠，X(x+—) 2=121,本题考查了完全平方公式，关点评:键是知道隐含条件 X M 0, x 2- 11X + 1=0两边同除X 得到 X+二=11，利用 X 和丄互为倒数乘积是1,利用完全平方公式来进行解题.完全平方公式. 本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式.使分式中含有 x 十！的形式，代入求值. 解:（ 1） /宀 X =（X -丄）2 - 2， X =42 - 2， =14;2 30 .已+， (1)y H ；X(2)2 X I + x求下列各式的值: 14+1' 考点：分析：解答:一15'本题主要考查完全点评:平方公式，解题的关键是灵活运用完全平方公式，并利用好乘积二倍项不含字母是常数的特点.。

2020-2021学年北师大版七年级数学下册第一章《1.6完全平方公式》同步培优训练(附答案)

2020-2021年度北师大版七年级数学下册《1.6完全平方公式》同步培优训练（附答案）1．若x+y＝7，xy＝10，则x2+xy+y2的值为2．如果（a+b）2＝16，（a﹣b）2＝4，且a、b是长方形的长和宽，则这个长方形的面积是3．若x2+2（m﹣3）x+9是完全平方式，则m的值等于．4．设（2a+3b）2＝（2a﹣3b）2+A，则A＝．5．已知：a m•a n＝a5，（a m）n＝a2（a≠0），则（m﹣n）2＝．6．化简：（3m+n）2﹣3m（m+2n）．7．已知（a+b）2＝25，（a﹣b）2＝9．求a2﹣6ab+b2．8．如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成相等的四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．（1）图②中阴影部分的正方形的边长等于；（2）请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积：方法一：；方法二：；（3）根据（2），直接写出（m﹣n）2，（m+n）2，mn这三个代数式之间的等量关系．（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：对于任意的有理数x和y，若x+y＝9，xy＝18，求x﹣y的值．9．已知：a+b＝4，ab＝2，求下列式子的值：①a2+b2；②（a﹣b）2．10．计算：（x﹣2y）（x+3y）+（x﹣y）2．11．已知，求下列各式的值：（1）；（2）．12．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解：因为a+b＝3，ab＝1所以（a+b）2＝9，2ab＝2所以a2+b2+2ab＝9，2ab＝2得a2+b2＝7根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；（2）请直接写出下列问题答案：①若2a+b＝5，ab＝2，则2a﹣b＝；②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝．（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形的，设AB＝6，两正方形的面积和S1+S2＝18，求图中阴影部分面积．13．解答下列问题：（1）已知a2+b2＝10，a+b＝4，求a﹣b的值．（2）关于x的代数式（ax﹣3）（2x+1）﹣4x2+m化简后不含有x2项和常数项，且an+mn ＝1，求5n2+9n+2的值．14．已知，a+b＝3，ab＝﹣2，求下列各式的值：（1）（a﹣2）（b﹣2）；（2）a﹣b．15．阅读理解：若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b，则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80解决问题：（1）若x满足（2020﹣x）（x﹣2016）＝2．则（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝；（2）若x满足（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝2020，求（2021﹣x）（x﹣2018）的值；（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝20，BC＝12，点E．F是BC、CD上的点，且BE ＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为160平方单位，则图中阴影部分的面积和为平方单位．16．先化简，再求值：（2a+b）2﹣（3a﹣b）2+5a（a﹣b），其中a＝1，b＝﹣1．17．计算（1）（2x+y﹣2）（2x+y+2）（2）（x+5）2﹣（x﹣2）（x﹣3）18．（1）已知4m+n＝90，2m﹣3n＝10，求（m+2n）2﹣（3m﹣n）2的值（2）已知（a+b）2＝7，ab＝2，求a2+b2值．19．计算（1）已知x＝，y＝，求代数式（2x+3y）2﹣（2x﹣3y）2的值．（2）已知a﹣b＝5，ab＝1，求a2+b2的值．20．若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17请仿照上面的方法求解下面问题：（1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积．参考答案1．解：因为x+y＝7，xy＝10，所以x2+xy+y2＝x2+2xy+y2﹣xy＝（x+y）2﹣xy＝49﹣10＝39．2．解：∵（a+b）2＝16，（a﹣b）2＝4，∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab＝12，∴ab＝3，∴长方形的面积为3，3．解：∵x2+2（m﹣3）x+9是完全平方式，∴m﹣3＝±3，解得：m＝6或0．故答案为：6或0．4．解：∵（2a+3b）2＝4a2+12ab+9b2，（2a﹣3b）2＝4a2﹣12ab+9b2，∴（2a+3b）2＝（2a﹣3b）2+24ab，∴A＝24ab，故答案为：24ab．5．解：∵a m•a n＝a m+n＝a5，（a m）n＝a mn＝a2（a≠0），∴m+n＝5，mn＝2，∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝52﹣4×2＝25﹣8＝17．故答案为：17．6．解：原式＝（9m2+6mn+n2）﹣（3m2+6mn）＝9m2+6mn+n2﹣3m2﹣6mn＝6m2+n2．7．解：因为（a+b）2＝25，（a﹣b）2＝9，所以（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab＝16，所以a2﹣6ab+b2＝（a﹣b）2﹣4ab＝9﹣16＝﹣7．8．解：（1）图①被分割的四个小长方形的长为m，宽为n，拼成的图②整体是边长为m+n 的正方形，中间是边长为m﹣n的小正方形，故答案为：m﹣n；（2）方法一：阴影部分是边长为m﹣n的正方形，因此面积为（m﹣n）2，方法二：大正方形的面积减去四个长方形的面积，即（m+n）2﹣4mn，故答案为：（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn；（3）由（2）得，（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；答：（m﹣n）2，（m+n）2，mn这三个代数式之间的等量关系为（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；（4）由（3）得，（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，所以（x﹣y）2＝92﹣4×18＝9，因此x﹣y＝3或x﹣y＝﹣3，答：x﹣y的值为3或﹣3．9．解：∵a+b＝4，ab＝2，∴①a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×2＝16﹣4＝12；②（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝（a+b）2﹣4ab＝42﹣4×2＝16﹣8＝8．10．解：（x﹣2y）（x+3y）+（x﹣y）2＝x2+3xy﹣2xy﹣6y2+x2﹣2xy+y2＝2x2﹣xy﹣5y2．11．解：（1）原式＝（x+）2﹣2＝52﹣2＝23；（2）原式＝（x+）2﹣4＝52﹣4＝21．12．解：（1）∵（x+y）2﹣2xy＝x2+y2，x+y＝8，x2+y2＝40，∴82﹣2xy＝40，∴xy＝12，答：xy的值为12；（2）①∵（2a﹣b）2＝（2a+b）2﹣8ab，2a+b＝5，ab＝2，∴（2a﹣b）2＝52﹣8×2＝9，∴2a﹣b＝±＝±3，故答案为：±3；②根据a2+b2＝（a﹣b）2+2ab可得，（4﹣x）2+（5﹣x）2＝[（4﹣x）﹣（5﹣x）]2+2（4﹣x）（5﹣x），又∵（4﹣x）（5﹣x）＝8，∴（4﹣x）2+（5﹣x）2＝（﹣1）2+2×8＝17，故答案为：17；（3）设AC＝m，CF＝n，∵AB＝6，∴m+n＝6，又∵S1+S2＝18，∴m2+n2＝18，由完全平方公式可得，（m+n）2＝m2+2mn+n2，∴62＝18+2mn，∴mn＝9，∴S阴影部分＝mn＝，答：阴影部分的面积为．13．解：（1）∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，∴42＝10+2ab，∴2ab＝6，∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝10﹣6＝4，∴a﹣b＝±2；（2）原式＝2ax2+ax﹣6x﹣3﹣4x2+m＝（2a﹣4）x2+（a﹣6）x+m﹣3，∵化简后不含有x2项和常数项，∴2a﹣4＝0，m﹣3＝0，∴a＝2，m＝3，又∵an+mn＝1，∴2n+3n＝1，∴n＝，∴5n2+9n+2＝5×+9×+2＝++2＝2+2＝4．14．解：（1）∵a+b＝3，ab＝﹣2，∴（a﹣2）（b﹣2）＝ab﹣2a﹣2b+4＝ab﹣2（a+b）+4＝﹣2﹣2×3+4＝﹣4；（2）∵a+b＝3，ab＝﹣2，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×（﹣2）＝13，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝13﹣2×（﹣2）＝17，∴a﹣b＝．15．解：（1）设2020﹣x＝a，x﹣2016＝b，则（2020﹣x）（x﹣2016）＝ab＝2，a+b＝（2020﹣x）+（x﹣2016）＝4，所以（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×2＝12；故答案为：12；（2）设2021﹣x＝a，x﹣2018＝b，则（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝a2+b2＝2020，a+b ＝（2021﹣x）+（x﹣2018）＝3，所以（2021﹣x）（x﹣2018）＝ab＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]＝×（32﹣2020）＝﹣；答：（2021﹣x）（x﹣2018）的值为﹣；（3）由题意得，FC＝（20﹣x），EC＝（12﹣x），∵长方形CEPF的面积为160，∴（20﹣x）（12﹣x）＝160，∴（20﹣x）（x﹣12）＝﹣160，∴阴影部分的面积为（20﹣x）2+（12﹣x）2，设20﹣x＝a，x﹣12＝b，则（20﹣x）（x﹣12）＝ab＝﹣160，a+b＝（20﹣x）+（x﹣12）＝8，所以（20﹣x）2+（x﹣12）2＝（20﹣x）2+（12﹣x）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝82﹣2×（﹣160）＝384；故答案为：384．16．解：原式＝4a2+4ab+b2﹣9a2+6ab﹣b2+5a2﹣5ab＝5ab，当a＝1，b＝﹣1时，原式＝﹣5．17．解：（1）原式＝（2x+y）2﹣4＝4x2+4xy+y2﹣4；（2）原式＝x2+10x+25﹣x2+5x﹣6＝15x+19．18．解：（1）∵4m+n＝90，2m﹣3n＝10，∴原式＝﹣（4m+n）（2m﹣3n）＝﹣900；（2）∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝7，ab＝2，∴a2+b2＝3．19．解：（1）（2x+3y）2﹣（2x﹣3y）2＝（4x2+12xy+9y2）﹣（4x2﹣12xy+9y2）＝4x2+12xy+9y2﹣4x2+12xy﹣9y2＝24xy，当x＝，y＝时，原式＝24××＝；（2）∵a﹣b＝5，ab＝1，∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝52+2×1＝27．20．解：（1）设（5﹣x）＝a，（x﹣2）＝b，则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5；（2）∵正方形ABCD的边长为x，AE＝1，CF＝3，∴MF＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3，∴（x﹣1）•（x﹣3）＝48，∴（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，∴阴影部分的面积＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2．设（x﹣1）＝a，（x﹣3）＝b，则（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝48，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，∴a＝8，b＝6，a+b＝14，∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28．即阴影部分的面积是28．。

完全平方公式变形的应用培优

完全平方公式变形的应用培优
1.变形一：平方差公式
将完全平方公式中的等式两边移项，可以得到平方差公式：
(a+b)²-a²=2ab；
(a-b)²-a²=-2ab
这些公式可以用于解决一些二次方程的求解问题，也可以用于快速计
算一些算术运算，如：(42)²-40²=(42+40)(42-40)=82*2=164
2.变形二：立方差公式
(a+b)³-a³=3a²b+3ab²+b³；
(a-b)³-a³=-3a²b+3ab²-b³
这些公式可以用于解决一些立方方程的求解问题和立方运算问题，如：(a+b)³=(a+b)(a+b)²
1.应用一：平方求和公式
1²+2²+…+n²=(n(n+1)(2n+1))/6
2.应用二：定积分计算
∫(x²+2x+1)dx=∫(x+1)²dx=(1/3)(x+1)³+C
3.应用三：因式分解
x²+6x+9=(x+3)²
以上是完全平方公式变形的一些应用示例，从中可以看出完全平方公式变形在代数学习中的重要性。

通过灵活运用完全平方公式变形，可以解决一些复杂的方程和计算问题，提高解题能力和计算效率。

因此，学生在数学学习中一定要熟练掌握完全平方公式的变形和应用。

2022-2023学年初一数学第二学期培优专题训练26 完全平方公式因式分解的5个类型

专题26 完全平方公式因式分解五个类型类型一直接用完全平方公式因式分解1．分解因式：2244a ab b -+=________. 2．因式分解：1-2a +a 2=________．3．分解因式a 2－10a ＋25的结果是______．4．因式分解：222x xy y -+=______． 5．因式分解：222x xy y ++=________． 6．因式分解：222m mn n ++=__________． 7．分解因式：221x x ++= ___________ ． 8．分解因式：x 2﹣8x +16＝_____．9．因式分解：244b b -+=____． 10．因式分解221x x -+=______．类型二完全平方公式因式分解进阶11．分解因式：214a a -+＝______． 12．分解因式：214m m -+=__________． 13．分解因式：x 2+x+14＝_____． 14．因式分解：2441a a ++=______________ 15．分解因式：2244a ab b -+=______． 16．分解因式221236x xy y -+=______． 17．分解因式：224129x xy y -+=________．18．分解因式：x 2y 2－2xy ＋1＝_______． 19．分解因式：224129m mn n -+= __________.20．因式分解24129m m -+=______． 21．2441x x -+=________；2216249a ab b ++=________；22．因式分解4x 2+12xy +9y 2＝_____． 23．24129a a -+分解因式得__________． 24．因式分解：2296x xy y ++=______. 25．因式分解229124x xy y -+=______ 26．分解因式：9﹣12t+4t 2＝_____．27．在括号内填上适当的因式：（1）225101x x ++=( )；（2）212b b -+=( )（3）24x x ++( )=(x+__)²（4）24m +( )+9n²=( )² 类型三先提公因式再完全平方公式因式分解28．分解因式：am 2﹣2amn +an 2＝_____． 29．因式分解：2mx 2﹣4mxy +2my 2＝_____． 30．因式分解：2xm 2﹣12xm +18x ＝_____．31．分解因式：ma 2﹣2ma +m ＝___．32．分解因式x 3y ﹣6x 2y +9xy ＝___________．33．因式分解：22bx bx b -+=______. 34．分解因式：﹣x 2y ＋6xy ﹣9y ＝___． 35．分解因式：﹣m 2+4m ﹣4═_____．36．分解因式：﹣8a 3b +8a 2b 2﹣2ab 3＝_____．37．因式分解：－2x 3＋4x 2y －2xy 2＝________．类型四展开后再用完全平方公式因式分解38．分解因式：2(1)4a a +-=_________．39．因式分解：()241x x --=__________．40．因式分解：()44x x ++=___________．41．将(2)1x x -+因式分解的结果是________． 42．因式分解：8(a 2＋1)－16a ＝____________．43．因式分解：()228a b ab +-的结果是______． 44．分解因式(a －b )(a －9b )＋4ab 的结果是____．45．分解因式（a+1）（a+3）+1的结果是_____． 46．分解因式()(4)a b a b ab --+的结果是________．47．分解因式：x(x-1)-3x+4=____． 48．分解因式：x 2-4（x-1）= ______．类型五其中三项整体用完全平方公式然后再用公式49．因式分解：22421x y y ---=__________．50．因式分解2221b bc c -+-=______． 51．分解因式：2221y x x ---=_____．52．分解因式：2242x y xy --+=___________．专题26 完全平方公式因式分解五个类型类型一直接用完全平方公式因式分解1．分解因式：2244a ab b -+=________.解：原式=a 2-2×a ×2b +（2b ）2=（a -2b ）2， 2．因式分解：1-2a +a 2=________．解：由题意可知：1-2a +a 2=(1-a )2，3．分解因式a 2－10a ＋25的结果是______．【解答】a 2－10a ＋25=（a －5）24．因式分解：222x xy y -+=______．解：原式()2x y =-，5．因式分解：222x xy y ++=________．解：222x xy y ++=()2x y +．6．因式分解：222m mn n ++=__________．【解答】222m mn n ++=2()m n +，7．分解因式：221x x ++= ___________ ．解：221x x ++=2(1)x +8．分解因式：x 2﹣8x +16＝_____．【解答】x 2-8x +16，=x 2-2×4×x +42，=（x -4）2． 9．因式分解：244b b -+=____．解：原式＝()22b -，10．因式分解221x x -+=______．解：221x x -+=（x ﹣1）2．类型二完全平方公式因式分解进阶11．分解因式：214a a -+＝______．解：214a a -+＝212a ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 12．分解因式：214m m -+=__________．解：221142m m m ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭， 13．分解因式：x 2+x+14＝_____．原式＝（x +12）2．14．因式分解：2441a a ++=______________根据完全平方公式可得，原式=()()2224121a a a ++=+，15．分解因式：2244a ab b -+=______．16．分解因式221236x xy y -+=______．17．分解因式：224129x xy y -+=________．原式22(2)2(2)(3)(3)x x y y =-⨯⨯+ 2(23)x y =-．18．分解因式：x 2y 2－2xy ＋1＝_______．【解答】：x 2y 2－2xy ＋1＝(xy －1)². 19．分解因式：224129m mn n -+= ___________________.直接运用完全平方公式分解因式即可，即原式=(2m －3n )2.20．因式分解24129m m -+=______．解：24129m m -+=22(2)2233m m -⨯⨯+=2(23)m -21．2441x x -+=________；2216249a ab b ++=________；【解答】222441(2)41(21)x x x x x -+=-+=-，2222216249(4)24(3)(43)a ab b a ab b a b ++=++=+，22．因式分解4x 2+12xy +9y 2＝_____．解：4x 2+12xy +9y 2＝（2x +3y ）2．23．24129a a -+分解因式得__________．解：224129(23)a a a -+=-，24．因式分解：2296x xy y ++=______.解：()222963x xy y x y ++=+25．因式分解229124x xy y -+=______解：229124x xy y -+=()232x y -.26．分解因式：9﹣12t+4t 2＝_____．解：原式＝(3﹣2t)2．27．在括号内填上适当的因式：（1）225101x x ++=( )；（2）212b b -+=( )（3）24x x ++( )=(x+__)²（4）24m +( )+9n²=( )² 试题解析：（1）25x 2+10x+1=（5x+1）2；（2）1-2b+b 2=（b-1）2（3）x 2+4x+4=（x+2）2；（4）4m 2+（±12mn ）+9n 2=（2m±3n ）2．类型三先提公因式再完全平方公式因式分解28．分解因式：am 2﹣2amn +an 2＝_____．解：am 2﹣2amn +an 2＝()()2222a m mn n a m n -+=-， 29．因式分解：2mx 2﹣4mxy +2my 2＝_____．解：2mx 2﹣4mxy +2my 2，＝2m （x 2﹣2xy +y 2），＝2m （x ﹣y ）2． 30．因式分解：2xm 2﹣12xm +18x ＝_____．解：原式＝2x （m 2﹣6m+9）＝2x （m ﹣3）2．31．分解因式：ma 2﹣2ma +m ＝___．解：ma 2﹣2ma +m = m （a 2﹣2a +1）=m （a －1）2，32．分解因式x 3y ﹣6x 2y +9xy ＝_______________________．解：原式=xy （x 2-6x+9）=xy （x-3）2，33．因式分解：22bx bx b -+=______.由完全平方公式：22bx bx b -+=()221b x x -+ =()21b x -34．分解因式：﹣x 2y ＋6xy ﹣9y ＝___．解：﹣x 2y ＋6xy ﹣9y()()22=693y x x y x --+=--35．分解因式：﹣m 2+4m ﹣4═_____．解：原式=-（m 2-4m +4）=-（m -2）2.36．分解因式：﹣8a 3b +8a 2b 2﹣2ab 3＝_____．解：原式＝﹣2ab （4a 2﹣4ab +b 2）＝﹣2ab （2a ﹣b ）2，37．因式分解：－2x 3＋4x 2y －2xy 2＝__________________________．原式=-2x （x 2-2xy+ y 2）=－2x （x －y ）2，38．分解因式：2(1)4a a +-=___________________________________． 2222(1)412421(1)a a a a a a a a +-=++-=-+=-．类型四展开后再用完全平方公式因式分解39．因式分解：()241x x --=________________．解：()241x x --244x x =-+()22x =-． 40．因式分解：()44x x ++=___________．41．将(2)1x x -+因式分解的结果是________．原式=x 2-2x+1=（x-1）2.42．因式分解：8(a 2＋1)－16a ＝____________．()()()222811681281.a aa a a +-=+-=-43．因式分解：()228a b ab +-的结果是______．解：()228a b ab +-22448a ab b ab =++-2244a ab b =-+()22a b =- 44．分解因式(a －b )(a －9b )＋4ab 的结果是____．解：（a-b ）（a-9b ）+4ab=a 2-10ab+9b 2+4ab= a 2-6ab+9b 2=（a-3b ）2． 45．分解因式（a+1）（a+3）+1的结果是_____．首先去括号，进而利用乘法公式分解因式，（a+1）（a+3）+1=244a a ++=2(2)a +. 46．分解因式()(4)a b a b ab --+的结果是___________．()(4)a b a b ab --+=2254a ab b ab -++=2244a ab b -+=2(2)a b -． 47．分解因式：x(x-1)-3x+4=____．解：x （x-1）-3x+4，=x 2-x-3x+4，=x 2-4x+4，=（x-2）2．48．分解因式：x 2-4（x-1）= ______．x 2-4（x-1）=x 2-4x+4=（x-2）2．类型五其中三项整体用完全平方公式然后再用公式49．因式分解：22421x y y ---=__________．22421x y y ---224(21)x y y =-++22(2)(1)x y =-+(21)(21)x y x y =++--． 50．因式分解2221b bc c -+-=______．解：原式=2()1b c --=[][]()1()1b c b c ---+=()()11b c b c ---+， 51．分解因式：2221y x x ---=_____．解：2221y x x ---=()22+2+1y x x -()22+1y x =-()()=11y x y x ++-- 52．分解因式：2242x y xy --+=__________________．原式=()()()()22242422x y xy x y x y x y -=--=+--++-.。

2019-2020北师大版七年级数学下册完全平方公式及应用培优训练(35道题含答案)

2019-2020北师大版七年级数学下册完全平方公式及应用培优版一、单选题1．下列计算或运算中，正确的是（） A ．623a a a ÷=B ．238(2)8a a -=-C ．2(3)(3)9a a a -+=-D ．222()a b a b -=-2．若229x kxy y -+是一个完全平方式，则常数k 的值为（） A ．6B ．6-C ．6±D ．无法确定3．若(x +y )2=9，(x -y )2=5，则xy 的值为（） A ．-1 B ．1 C ．-4 D ．4 4．已知x+1x=6，则x 2+21x =（）A ．38B ．36C ．34D ．325．已知(x －2015)2＋(x －2017)2＝34，则(x －2016)2的值是( ) A ．4B ．8C ．12D ．166．计算：(a-b ＋3)(a ＋b-3)=( )A ．a 2＋b 2-9B ．a 2-b 2-6b-9C ．a 2-b 2＋6b －9D ．a 2＋b 2-2ab ＋6a ＋6b ＋97．三种不同类型的长方形地砖长宽如图所示，现有A 类1块，B 类4块，C 类5块.小明在用这些地砖拼成一个正方形时，多出其中1块地砖，那么小明拼成正方形的边长是( )A ．m+nB ．2m+2nC ．2m+nD ．m+2n8．设22(45)(45)a b a b m -=++ ，则m =( ) A ．40abB ．40ab -C ．80abD ．80ab -9．若等式x 2+ax +19＝（x ﹣5）2﹣b 成立，则 a +b 的值为（） A ．16 B ．﹣16 C ．4 D ．﹣410．已知(m －n)2＝36，(m ＋n)2＝4 000，则m 2＋n 2的值为( ) A ．2 016B ．2 017C ．2 018D ．4 03611．若有理数a ，b 满足a 2+b 2=5，（a+b ）2=9，则－4ab 的值为（） A ．2 B ．－2 C ．8 D ．－8 12．若a ＋b ＝3，ab ＝－7，则a bb a+的值为（） A ．－145B ．－25C ．－237D ．－25713．若22(x 2y)(x 2y)m -=++，则m 等于（）A ．4xyB ．4xy -C ．8xyD ．8xy -14．如图，将完全相同的四个长方形纸片拼成一个大的正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，则可以得出一个等式为（）A ．（a+b ）2=a 2+2ab+b 2B ．（a ﹣b ）2=a 2﹣2ab+b 2C ．a 2﹣b 2=（a+b ）（a ﹣b ）D ．（a+b ）2=（a ﹣b ）2+4ab15．图（1）是一个长为2a ,宽为2b （a b >）的长方形,用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）拼成一个正方形，则中间空白部分的面积是（）A ．abB ．2()a b -C ．2()a b +D ．22a b -二、填空题16．若22(3)16x m x +-+是关于x 的完全平方式，则m =__________．17．若x ﹣1x=2，则x 2+21x 的值是______．18．已知3a b +=，2ab =-，（1）则22a b +=____；（2）则a b -=___． 19．已知a 2＋2a ＋b 2－6b ＋10＝0，那么a ＝_______，b ＝______.20．已知ABC V 的三边长分别为a 、b 、c ，且a 、b 、c 满足269450a a b c -++-+-=，则ABC V 的形状是________三角形．21．已知x 2+2x ＝3，则代数式（x +1）2﹣（x +2）（x ﹣2）+x 2的值为_____．22．如图，在边长为 2a 的正方形中央剪去一边长为 ()a 2+ 的小正方形 ()a 2>，将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为__________________．三、解答题23．已知7a b -=，12ab =-．（1）求22a b ab -的值；（2）求22a b +的值；（3）求+a b 的值；24．先化简，再求值：（a+b ）2+b （a ﹣b ）﹣4ab ，其中a=2，b=﹣12．25．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足a 2+b 2﹣4a ﹣8b+20=0，c=3cm ，求△ABC 的周长．26．先化简再求值：22(3)(3)(3)6(2)a b b a a b b b ⎡⎤+-+--÷-⎣⎦ 其中13a =-，2b =-.27．（1）已知（a +b ）2＝6，（a ﹣b ）2＝2，求a 2+b 2与ab 的值；（2）已知x +，求x 2+的值28．若x +y =3，且(x +2)(y +2)=12．（1）求xy 的值；（2）求x 2+3xy +y 2的值．29．已知x y 1-+与2x 8x 16++互为相反数，求22x 2xy y ++的值．30．己知5,6x y xy +==，求下列代数式的值:(1) 22x y + (2) ()2x y -31．当a、b为何值时，多项式a2＋b2－4a＋6b＋18有最小值？并求出这个最小值．32．有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2=（a+b）2，对于方案一，小明是这样验证的：a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．方案二：方案三：33．阅读材料：若2222440m mn n n -+-+=，求m ，n 的值．解：∵2222440m mn n n -+-+=，∴()()2222440m mn nnn -++-+=，∴()()2220m n n -+-=，∴()20m n -=，()220n -=，∴2n =，2m =．根据你的观察，探究下面的问题：（1）2262100a b a b ++-+=，则a =__________，b =__________．（2）已知22228160x y xy y +-++=，求xy 的值．（3）已知ABC △的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足22248180a b a b +--+=，求ABC △的周长．34．探索题图a 是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b 的形状拼成一个正方形．（1）你认为图b 中的影部分的正方形的边长等于．（2）请用两种不同的方法求图b 中阴影部分的面积．方法1： (只列式，不化简）方法2： (只列式，不化简）（3）观察图b 你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：(m+n)2，(m-n)2，mn ．（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=8，ab=5，则 (a-b)2= ． 35．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A 可以用来解释2222()a ab b a b ++=+，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．（1）图B 可以解释的代数恒等式是；（2）现有足够多的正方形和矩形卡片（如图C ），试画出．．一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形（每两块纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使该矩形的面积为2223a ab b ++，并利用你所画的图形面积对2223a ab b ++进行因式分解．参考答案1．C 2．C 3．B 4．C 5．D 6．C 7．D 8．D 9．D 10．C 11．D 12．C 13．D 14．D 15．B 16．7或-1 17．6 18．13； 17± 19．-13 20．直角 21．8 22．3a 2 -4a-423．解：因为a －b ＝7，所以b －a ＝－7.则： (1)22a b ab -＝ab (b －a )＝－12×7＝－84；(2)22a b ＋＝(a －b )2＋2ab ＝(－7)2＋2×(－12)＝25；(3)a b ＋＝±()2a b ＋＝±()24a b ab -＋＝±()()27412-⨯-＋＝±1. 24．解：原式=a 2+2ab+b 2+ab-b 2-4ab=a 2-ab ，当a=2，b=-12时，原式=4+1=5． 25.解：∵a 2+b 2﹣4a ﹣8b+20=0， ∴a 2﹣4a+4+b 2﹣8b+16=0， ∴（a ﹣2）2+（b ﹣4）2=0，又∵（a ﹣2）2≥0，（b ﹣4）2≥0， ∴a ﹣2=0，b ﹣4=0， ∴a=2，b=4，∴△ABC 的周长为a+b+c=2+4+3=9，答：△ABC 的周长为9．26．解：原式=（9a 2+6ab+b 2-9a 2+b 2-6b 2）÷（-2b ） =（-4b 2+6ab ）÷（-2b ）=2b-3a，当a=-13，b=-2时，原式=-4+1=-3．27．解：（1）∵，∴a2+2ab+b2＝6 ①，a2﹣2ab+b2＝2 ②，①+②，得：2（a2+b2）＝8，则a2+b2＝4；①﹣②，得：4ab＝4，则ab＝1；（2）∵,∴.28．解：（1）∵x+y=3，（x+2）（y+2）=12，∴xy+2x+2y+4=12，∴xy+2（x+y）=8，∴xy+2×3=8，∴xy=2；（2）∵x+y=3，xy=2，∴x2+3xy+y2=（x+y）2+xy=32+2=11．29．解:x y 1-+Q 与2x 8x 16++互为相反数，x y 1∴-+与2(x 4)+互为相反数，即2x y 1(x 4)0-+++=， x y 10∴-+=，x 40+=，解得x 4=-，y 3=-．当x 4=-，y 3=-时，原式2(43)49=--=．30．解：(1) 2222()252613.x y x y xy +=+-=-⨯=(2) ()222()45461x y x y xy -=+-=-⨯=31．解：a 2＋b 2－4a ＋6b ＋18＝a 2－4a ＋b 2＋6b ＋18＝a 2－4a ＋4＋b 2＋6b ＋9＋5＝(a －2)2＋(b ＋3)2＋5，∵(a －2)2≥0，(b ＋3)2≥0，∴当a －2＝0，b ＋3＝0，即a ＝2，b ＝－3时，原式有最小值，最小值为5.32．解：由题意可得：方案二：a 2+ab+（a+b ）b=a 2+ab+ab+b 2=a 2+2ab+b 2=（a+b ）2，方案三：a 2+[()]2a a b b +++[()]2a ab b ++=2221122a ab b ab b ++++=a 2+2ab+b 2=（a+b ）2．点睛：本题考查了完全平方公式的几何背景，解答本题的关键是明确题意，写出相应的推导过程．33．（1）∵2262100a b a b ++-+=，∴()()2269210a a b b ++-+=+，∴()()22310a b ++-=，∵()230a +≥，()210b -≥，∴30a +=，3a =-，10b -=，1b =；（2）∵22228160x y xy y +-++=，∴()()22228160x xy y yy -++++=， ∴()()2240x y y -++=，∵()20x y -≥，()240y +≥，∴0x y -=，x y =，40y +=，4y =-，∴4x =-，∴16xy =；（3）∵22248180a b a b +--+=，∴222428160a a b b -++-+=，∴()()222140a b -+-=，∵()210a -≥，()240b -≥，∴10a -=，1a =，40b -=，4b =，∵a b c +>，∴5c <，∵b a c -<，∴3c >，∵a 、b 、c 为正整数，∴4c =，∴ABC △周长＝1449++=．34．解：（1）阴影部分的正方形边长是：m ﹣n ．故答案为：m ﹣n ；（2）阴影部分的面积就等于边长为m ﹣n 的小正方形的面积，方法1：边长为m +n 的大正方形的面积减去长为2m ，宽为2n 的长方形面积，即（m +n ）2﹣4mn ；方法2：边长为m ﹣n 的正方形的面积，即（m ﹣n ）2；（3）由题意可得：（m -n ）2=（m +n ）2-4mn ．故答案为：（m -n ）2=（m +n ）2-4mn ．（4）∵a +b =8，ab =5，∴（a +b ）2=64，∴（a ﹣b ）2+4ab =64，∴（a ﹣b ）2=64﹣4×5=44． 35．解：（1）()2222a ab a a b +=+ （2）①根据题意，可以画出相应的图形，如图所示②因式分解为：()()22232a ab b a b a b ++=++。

初一-第04讲-完全平方公式与整式的除法(培优)-学案

学科教师辅导讲义学员编号：年级：七年级课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第04讲---完全平方公式与整式的除法授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①理解完全平方公式，了解完全平方公式的几何背景，会灵活运用完全平方公式进行计算。

②掌握整式的除法法则，能够准确计算整式乘法的计算题；授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂一、知识框架二、知识概念（一）完全平方公式1、完全平方公式：222()2a b a ab b+=++222()2a b a ab b-=-+即两个数的和（或差）的平方，等于两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，这两个公式称为完全平方公式。

完全平方公式的特点：（1）两个公式的左边都是一个二项式的完全平方的形式，二者仅有一个“符号”不同；（2）两个公式的右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边两项式中每一项的平方，中间一项是左边二体系搭建项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同；（3）公式中的a,b 可以是数，也可以是单项式或多项式。

（4）完全平方公式的变形公式：①()2222a b a b ab +=+- ②()2222a b a b ab +=-+ ③()2222()ab a b a b =+-+ ④22()()4a b a b ab +=-+ ⑤22()()4a b a b ab -=+- 2、完全平方公式的几何意义①如右图2中，一方面大正方形面积为 2()a b +，另一方面大正方形面积可看做四个部分的面积之和，则有22222()2a b a ab ab b a ab b +=+++=++ ②如右图1中，左下角正方形面积为 2()a b -，另一方面它的面积可看做大正方形减去其余三块部分的面积，则有222()()()a b a a b b a b b b -=--•--•-=222a ab b -+3、完全平方公式的应用。

七年级完全平方公式培优讲义讲课讲稿

七年级完全平方公式培优讲义平方差和完全平方公式培优讲义教师寄语：. 服装是裁缝制作的，仅仅是货币的标志。

而人的知识，品德和气质，却是一个人真正的人生价值，对于庸俗的人，你可以反【知识精要】:1．乘法公式：平方差公式（a+b）（a－b）=a2+b2，完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b22．运用平方差公式应注意的问题：（1）公式中的a和b可以表示单项式，也可以是多项式；（2）有些多项式相乘，表面上不能用公式，但通过适当变形后可以用公式．如（a＋b－c）（b－a+c）=[（b+a）－c）]［b－（a－c）］=b2－（a－c）3．运用完全平方公式应注意的问题：（1）公式中的字母具有一般性，它可以表示单项式、多项式，只要符合公式的结构特征，就可以用公式计算；（2）在利用此公式进行计算时，不要丢掉中间项“2ab”或漏了乘积项中的系数积的“2”倍；（3）计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接用公式进行计算；如不符合，应先变形为公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计算．【典例评析】:例1、计算：（1）(-3mn-1)(1-3mn)-8m 2n 2；（2）(a+b-c)(a-b+c)例2、计算：(a-2) (a+2) (a 2+4)(a 4+16)例3、计算： (1)2091×1998 ; (2)1101991002+⨯例4、逆用平方差公式巧算：(1)(2a+3)2-(2a-3)2; (2)(1－221)(1－231)(1－241)(1－251)(1－261)例5.．已知zx yz xy z y x y z a y x ---++=-=-222,10,则代数式的最小值等于多少？【课堂精练（一）】:1、计算：(1)(a 2b+5)( a 2b-5) (2)(5x-2y 2)( -5x-2y 2)(3)(x+1)(x-1)-(3x-2)(-3x-2) (4)(m-n-p)(-m-n-p)(5)(x 4+y 4)(x 2+y 2)(x+y)(x-y)2、平方差公式的逆用与巧用(1)20102-2009×2011 (2)20122010201120112⨯-(4)若(a+2b)2=(a-2b)2+A ，则A= ；(5) 计算：12-22+32-42+…+992-1002；【培优拓展】:1、如果x-y=6，x 2-y 2=24,那么x+y= ;2、分析这组等式：1×3=22-1；3×5=42-1,5×7=62-1，…11×13=122-1…请用N 的式子表示规律：-----------------。

湘教版数学七年级下2.2.2完全平方公式培优练习(含答案)

湘教版七年级下册 2.2.2完全平方公式培优练习一、选择题1. 如图是一个正方形,分成四部分,其面积分别是a 2,ab,ab,b 2,则原正方形的边长是( ) A. a 2+b2B.a+bC.a-bD.a 2-b 22.下面各运算中，结果正确的是( ) A.2a 3+3a 3=5a6B.-a 2•a 3=a 5C.（a +b ）（-a -b ）=a 2-b 2D.（-a -b ）2=a 2+2ab +b 23.若(2x -5y )2=(2x +5y )2+m ，则代数式m 为( ) A.-20xy B.20xy C.40xy D.-40xy 4. 若a+=7,则a 2+的值为( ) A.47B.9C.5D.515. 不论x ，y 为何有理数，x 2+y 2-10x +8y +45的值均为( )A.正数B.零C.负数D.非负数 6.已知(a+b)2-2ab=5，则a 2+b 2的值为( ) A.10 B.5 C.1 D.不能确定 7. 如图，将完全相同的四个长方形纸片拼成一个正方形，则可得出一个等式为( ) A ．(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2B ．(a －b)2＝a 2－2ab ＋b 2C ．a 2－b 2＝(a ＋b)(a －b) D ．(a ＋b)2＝(a －b)2＋4ab 8.下列运算中，正确的运算有( )①(x ＋2y)2＝x 2＋4y 2；②(a－2b)2＝a 2－4ab ＋4b 2；③(x＋y)2＝x 2－2xy ＋y 2；④(x－14)2＝x 2－12x ＋116.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题9.已知：a -b =3，ab =1，则a 2-3ab +b 2=_____． 10. 填上适当的整式，使等式成立：(x -y )2+_____=(x +y )2．11.若a +b =4，则a 2+2ab +b 2的值为_____． 12.已知x 2-4＝0，则代数式x (x +1)2- x (x 2+ x )-x -7的值是．13.若a 2b 2+a 2+b 2+1-2ab =2ab ，则a +b 的值为_____． 14.请看杨辉三角(1)，并观察下列等式(2)：(1) (a ＋b)1＝a ＋b ； (a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2； (a ＋b)3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3； (a ＋b)4＝a 4＋4a 3b ＋6a 2b 2＋4ab 2＋b 4；…(2)根据前面各式的规律，则(a ＋b)6＝__________．三、计算题15.计算：(a -2b +3c )(a +2b -3c )．16.已知(a +b )2=24，(a -b )2=20，求： (1)ab 的值是多少？ (2)a 2+b 2的值是多少？17. (1)已知a －b ＝3，求a(a －2b)＋b 2的值； (2)已知ab ＝2，a ＋b ＝5，求a 3b ＋2a 2b 2＋ab 3的值．18.在三个整式x 2＋2xy ，y 2＋2xy ，x 2中，请你任意选出两个进行加(或减)法运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解．参考答案：一、选择题1.D2.D3.D4.A5. A6.B7. D8.B二、填空题9.分析：应把所给式子整理为含（a-b）2和ab的式子，然后把值代入即可．解：∵（a-b）2=32=9，∴a2-3ab+b2=（a-b）2-ab=9-1=810.分析：所填的式子是：（x+y）2-（x-y）2，化简即可求解．解：（x+y）2-（x-y）2=（x2+2xy+y2）-（x2-2xy+y2）=4xy．11.分析：原式利用完全平方公式化简，将a+b的值代入计算即可求出值．解：∵a+b=4，∴a2+2ab+b2=（a+b）2=16．12.分析：分析：因为x2-4=0，∴x2=4，根据完全平方公式和单项式乘多项式的法则化简原式后，再代入求值．解：x(x+1)2-x(x2+x)–x-7＝x3+2x2+x-x3-x2-x-7=x2-7.当x2-4＝0时，x2＝4，原式＝-3．13.分析：首先把2ab移到等式的左边，然后变为a2b2+a2+b2+1-2ab-2ab=0，接着利用完全平方公式分解因式，最后利用非负数的性质即可求解．解：∵a2b2+a2+b2+1-2ab=2ab，∴a2b2+a2+b2+1-2ab-2ab=0，∴a2b2-2ab+1+a2+b2-2ab=0，∴（ab-1）2+（a-b）2=0，∴ab=1，a-b=0，∴a=b=1或-1，∴a+b=2或-2．14.解：a6＋6a5b＋15a4b2＋20a3b3＋15a2b4＋6ab5＋b6三、计算题(本大题共4小题)15.分析：首先将原式变为：[a-（2b-3c）][a+（2b-3c）]，然后利用平方差公式，即可得到a2-（2b-3c）2，求出结果．解：（a-2b+3c）（a+2b-3c）=[a-（2b-3c）][a+（2b-3c）]=a2-（2b-3c）2=a2-（4b2-12bc+9c2）=a2-4b2+12bc-9c2．16.分析：由（a+b）2=24，（a-b）2=20，可以得到：a2+b2+2ab=24…①，a2+b2-2ab=20…②，通过两式的加减即可求解．解：∵（a+b）2=24，（a-b）2=20，∴a2+b2+2ab=24…①，a2+b2-2ab=20…②，（1）①-②得：4ab=4，则ab=1；（2）①+②得：2（a2+b2）=44，则a2+b2=22．17.分析：（1）首先对a(a－2b)＋b2进行转化成（a －b）的形式，再利用已知条件就可以了；（2）同理可解。

数学七年级下期培优学案-平方差公式和完全平方公式

数学七年级下期培优学案(3)----平方差公式和完全平方公式一、平方差公式1. 公式：22)()a b a b a b +-=-（2. 公式的特征：（1）左边是两个二项式的乘积，存在一组相同的量和一组相反的量（2）右边是相同量的平方与相反量平方的差；3. 公式的顺用例1. 用平方差公式计算22224433(1)(4)(4)22(2)()()()()a a y x y x y x y x -+--+-++练习1计算(1)(1)(1)(1)x x x x +-+- (2)(23)(23)x y x y --- (3)()()x y z x z y +-+-4. 公式逆用例2计算2211(5)(5)22x x +--练习2填空(1)(1)ab -+（）=221a b - (2)()()a b a b -+（）=44a b - 2(3)6,3,b a b -=-=2若a 且则a+b= ；5. 利用平方差公式计算例3.利用平方差公式计算2(1)9991001(2)39.840.2(3)200420032005⨯⨯-⨯练习3计算22222242222222007(1)2007200820061111(2)(1)(1)(1)...(1)23410(3)3(41)(41)(41)1(4)2012201120102009...21-⨯----⨯++++-+-++-二、完全平方公式1. 公式及其变形 22222222222222222222)2()())22()()()()22()()4,()()411()2a b a ab b a b a b a b a b ab a b a b a b a b ab a b a b ab a b a b ab x x x x±=±+++-+=±=+-++--==+=-+-=+-±=±+ （（ 2. 口诀：（1）展开式：首平方，尾平方，首尾二倍在中央（2）中间项口诀：同正异负3.公式的识别与求完全平方的展开式例4.计算2(1)(25)x -+ 2(2)(38)x --2(3)(2)(2)x y x x y --+ 22(4)()()()2m n m n m n m +-++-(5)(21)(21)a b a b +++- 22(6)(21)(21)x x -+2(7)498 2(8)199202198-⨯（9）（－21ab 2－32c ）2 210()a b c -+（）4.结合完全平方公式特征，完善公式例5.(1)(5x+2y)2-(5x-2y)2＝（2）( -2)2＝ 1-2x+ （3）( )-24a 2c 2+( )＝( -4c 2)2练习4. （1） a 2＋b 2＝（a ＋b ）2－______＝（a －b ）2－__________．（2）如果4a 2－m ·ab ＋81b 2是一个完全平方式，则m = .（3） x 2－xy ＋________＝（x －______）2．22222(4)4___,412 ____.(5)()2,____.x ax a x xy m m x y M x xy y M ++=++=-+=++=是完全平方公式，则是一个完全平方式，则则 5.利用完全平方公式求值例6.（1）已知a ＋b ＝7，ab ＝10，求a 2＋b 2，（a －b ）2的值（2）已知（a ＋b ）2＝9，（a －b ）2＝5，求a 2＋b 2，ab 的值（3）若x+y=a,xy=b,求x 2+y 2,x 4+y 4的值.练习5.（1）已知2a －b ＝5，ab ＝23，求4a 2＋b 2－1的值（2）已知 2()16,4,a b ab +==求223a b +与2()a b -的值（3）已知6,4a b a b +=-=求ab 与22a b +的值。

2024年北师大版数学七(下)重难点培优训练2 平方差公式和完全平方公式(学生版)

2024年北师大版数学七（下）重难点培优训练2 平方差公式和完全平方公式一、选择题1．（2024八上·黔西南期末）若4y2+my+9是完全平方式，则m的值是（）A．−12B．12C．−12或11D．−12或12 2．（2023七下·石家庄期中）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”() A．56B．66C．76D．863．（2023七下·大渡口期中）若a+b=5，ab=−1，则(a−b)2等于（）A．25B．1C．21D．294．（2023七下·济南高新技术产业开发期末）如图分割的正方形，拼接成长方形的方案中，可以验证（）A．(a+b)(a−b)=a2−b2B．(a+b)2=a2+2ab+b2C．(a−b)2=a2−2ab+b2D．(a−b)2=a2−2ab−b25．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）A．(x-2y)(2y+x)B．(x-2y)(-x-2y)C．(x+2y)(-x-2y)D．(2y-x)(-x-2y)6．（2023七下·江阴期中）一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“创新数”，例如27＝62-32，63＝82-12，故27，63都是“创新数”，下列各数中，不是“创新数”的是（）A．31B．41C．16D．547．（2023七下·沭阳期中）计算(a−b)(a+b)(a2+b2)(a4+b4)的结果是（）A．a8−b8B．a8−2a4b4+b8C．a8+2a4b4+b8D．a8+b88．下列运算中，错误的运算有（）.①(2x+y)2=4x2+y2②(a-3b)2=a2-9b2③(-x-y)2=x2-2xy+y2④(x-12)2=x2-2x+14A．1个B．2个C．3个D．4个9．（2023七下·南山期中）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和(a+b)n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”，根据“杨辉三角”计算(a+b)9的展开式中第三项的系数为（）A．28B．36C．45D．5610．（2023七下·通州期中）下列运算：①(a+b)2=a2+b2；②(x+2)2=x+2x+4；③(x−3)(x+ 3)=x2−3；④(x+5)(x−1)=x2+4x−5，其中正确的是（）A．①B．②C．③D．④二、填空题11．（2023七下·通州期中）计算：2023×2021−20222=．12．（2023七下·云岩期中）如图，长为a，宽为b的长方形的周长为16，面积为12，则a2+b2的值为．13．（2023七下·石阡期中）若(x−2023)(x−2021)=2，则(x−2023)2+(x−2021)2的值为．14．（2023七下·石家庄期中）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．当S1+S2＝40时，则图3中阴影部分的面积S3＝．15．（2023七下·顺义期中）观察下列各式的规律：1×3=22−1；3×5=42−1；5×7=62−1；7×9=82−1…请将发现的规律用含n的式子表示为．16．（2023七下·石家庄期中）已知N=(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)，则N的个位数字是．三、计算题17．（2023七下·金溪期中）运用乘法公式计算：（1）(2m −3n)(−2m −3n)−(2m −3n)2（2）1002−992+982−972+⋯+22−12．18．（2023七下·即墨期中）计算：（1）(12)−2−π0+(−3)2．（2）2m 3⋅3m −(2m 2)2+m 6÷m 2．（3）(2a −b)2−4(a −b)(a +2b)．（4）20212−2020×2022．（用简便方法计算）四、综合题19．（2023七下·凤翔期中）聪聪和同学们用2张A 型卡片、2张B 型卡片和1张C 型卡片拼成了如图所示的长方形．其中A 型卡片是边长为a 的正方形；B 型卡片是长方形；C 型卡片是边长为b 的正方形．（1）请用含a 、b 的代数式分别表示出B 型卡片的长和宽；（2）如果a =10，b =6，请求出他们用5张卡片拼出的这个长方形的面积．20．（2022七下·义乌期中）你会求（a －1）（a 2012＋a 2011＋a 2010＋‥‥a 2＋a ＋1）的值吗？这个问题看上去很复杂，我们可以先考虑简单的情况，通过计算，探索规律：（a －1）（a ＋1）＝a 2－1（a －1）（a 2＋a ＋1）＝a 3－1；（a －1）（a 3＋a 2＋a ＋1）＝a 4－1；（1）由上面的规律我们可以大胆猜想，得到（a －1）（a 2012＋a 2011＋a 2010＋……a 2＋a ＋1）＝ .（2）利用上面的结论，求22013＋22012＋22011＋……22＋2＋1的值是 .（3）求52013＋52012＋52011＋……52＋5＋1的值.21．（2023七下·深圳期中）在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的，请认真观察图形，解答下列问题：（1）如图1，用两种不同的方法表示阴影图形的面积，得到一个等量关系：．（2）如图1中，a，b满足a+b=9，ab=15，求a2+b2的值．（3）如图2，点C在线段AB上，以AC，BC为边向两边作正方形，AC+BC=14，两正方形的面积分别为S1，S2，且S1+S2=40，求图中阴影部分面积．22．（2023七下·宝安期中）【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法，它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．例如，把二次三项式x2−2x+3进行配方解：x2−2x+3=x2−2x+1+2=(x2−2x+1)+2=(x−1)2+2我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”例如，5是“完美数”，理由：因为5=22+12，再如，M=x2+2xy+2y2=(x+y)2+y2，（x，y是整数）所以M也是“完美数”（1）【问题解决】下列各数中，“完美数”有．（填序号）①10 ②45 ③28 ④29（2）若二次三项式x2−6x+13（x是整数）是“完美数”，可配方成(x−m)2+n（m，n为常数），则mn的值为；（3）【问题探究】已知S=x2+9y2+8x−12y+k（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k的值．（4）【问题拓展】已知实数x，y满足−x2+7x+y−10=0，求x+y的最小值．23．（2023七下·石阡期中）如图1，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．（1）请直接用含a和b的代数式表示S1=，S2=；写出利用图形的面积关系所得到的公式：（用式子表示）．（2）依据这个公式，康康展示了“计算：(2+1)×(22+1)×(24+1)×(28+1)”的解题过程．解：原式=(2−1)×(2+1)×(22+1)×(24+1)×(28+1)=(22−1)×(22+1)×(24+1)×(28+1)=(24−1)×(24+1)×(28+1)=(28−1)×(28+1)=216−1．请仿照康康的解题过程计算：2×(3+1)×(32+1)×(34+1)×(38+1)+1．（3）对数学知识要会举一反三，请用（1）中的公式证明：任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数．24．（2023七下·英德期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它们的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2，请解答下列问题：（1）如图2，需要张边长为a的正方形，张边长为b的正方形，张边长为a、b的长方形．（2）类似图1的数学等式，写出图2表示的数学等式：．（3）用多项式乘多项式的法则验证（2）中得到的等式．25．（2023七下·龙岗期中）如图(a)所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图(a)中的阴影部分拼成一个如图(b)所示的长方形．（1）通过观察比较图(b)与图(a)中的阴影部分面积，可以得到乘法公式(用含a，b的等式表示)（2）(应用)请应用这个公式完成下列各题：①若a+2b=3，2b-a=2，则a2-4b2的值为②若4m2=12+n，2m+n=4，则2m-n的值为（3）(拓展)计算：1002-992+982-972+……+42-32+22-12．26．（2022七下·咸阳期中）阅读材料：若满足（8-x）（x-6）=-3，求（8-x）2+（x-6）2的值．解：设8-x=a，x-6=b，则（8-x）（x-6）=ab=-3，a+b=8-x+x-6=2所以（8-x）2+（x-6）2=a2+b2=（a+b）2-2ab=22-2×（-3）=10请仿照上例解决下面的问题：（1）问题发现：若x满足（3-x）（x-2）=-10，求（3-x）2+（x-2）2的值；（2）若（6-x）2+（x-4）2=8求（6-x）（x-4）的值；（3）类比探究：若x满足（2022-x）2+（2021-x）2=2020；求（2022-x）（2021-x）的值；27．（2021七下·娄底期中）阅读材料并回答问题：我们知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，如（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2就可以用图①或图②中图形的面积表示.（1）请写出图③所表示的代数恒等式；（2）试画一个几何图形，使它的面积可用（a+b）（a+3b）＝a2+4ab+3b2表示；（3）请依照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，并画出它对应的几何图形.28．（2022七下·连云港期中）（1）【知识情境】通常情况下，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式.如图1，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b）.把余下的部分剪拼成一个长方形（如图2）.通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是；（2）【拓展探究】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式.如图3是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块.用不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个恒等式，这个恒等式可以为：；（3）已知a+b=4，ab=2，利用上面的恒等式求a3+b3的值.29．（2022七下·定远期中）【阅读材料】我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．（1）【理解应用】观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式；（2）【拓展升华】利用（1）中的等式解决下列问题①已知a2+b2=20，a+b=6，求ab的值；②已知(2021−c)(c−2019)=1，求(2021−c)2+(c−2019)2的值．答案解析部分1．【答案】D【知识点】完全平方式【解析】【解答】∵4y2+my+9是完全平方式，∴4y2+my+9=（2y±3）2=4y2±12y+9，∴m=±12，故答案为：D.【分析】根据完全平方式的特点将4y2+my+9写成某一个多项式的平方的形式，从而求解. 2．【答案】C【知识点】平方差公式及应用【解析】【解答】∵76=202-182，∴76是神秘数；故答案为：C。

北师大版数学七年级下册 1.6 完全平方公式综合培优训练(含答案)

北师大版数学七年级下册 1.6 完全平方公式综合培优训练（含答案）一、选择题（共10小题，3*10=30）1.下面计算正确的是( )A.(a+b)(a-b)=2a+2bB.b5 + b5 = b10C.x5 .x5 = x25D.(y-z)2=y2-2yz+z22．下列等式成立的是( )A.(-1)3=-3B.(-2)2×(-2)3=(-2)6C.2a-a=2D.(x-2)2=x2-4x+43．下列运算中，正确的是( )D．(2a＋b)2＝2a2＋2ab＋b24．若(x＋m)2＝x2－6x＋n，则m，n的值分别为( )A．3，9 B．3，－9C．－3，9 D．－3，－95．下列变形中，错误的是()①(b－4c)2＝b2－16c2；②(a－2bc)2＝a2＋4abc＋4b2c2；③(x＋y)2＝x2＋xy＋y2；④(4m－n)2＝16m2－8mn＋n2.A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④6．若(x－y)2＝x2＋xy＋y2＋N，则N为()A．－3xy B．3xyC．－xy D．xy7．将9.52变形正确的是()A ．9.52＝92＋0.52B ．9.52＝(10＋0.5)×(10－0.5)C ．9.52＝102－2×10×0.5＋0.52D ．9.52＝92＋9×0.5＋0.529．若a ＋b ＝3，a 2＋b 2＝7，则ab 等于( )A ．2B ．1C ．－2D ．－110．如图为某正方形的房屋结构平面图，其中主卧与客卧都为正方形，其面积之和比其余面积(阴影部分)多2.25平方米，则主卧与客卧的周长差为( )A ．12米B ．10米C ．8米D ．6米二．填空题（共8小题，3*8=24）11．(5-x 2)2等于；12. 1022等于；13. a ＋1)2－a 2＝________________.14. (a ＋b)2－b(2a ＋b)=_______15．若m+n=3，则2m 2+4mn+2n 2-6的值为________.16．不论x ，y 为何有理数，x 2+y 2-10x+8y+45______017. 当x ＝－45，y ＝－35时，代数式(x ＋y)2＝______；(x －y)2＝____. 18．若(x ＋y)2＝49，xy ＝12，则x 2＋y 2＝______.三．解答题（共7小题， 46分）19．(6分)计算(1)(3a -4b)2(2)(2b -2c)220．(6分) 计算：(1)(－ab －14c)(ab ＋14c)； (2)(2x ＋3)2(2x －3)2.21．(6分) 计算：(1)982+(a -b)2(2)(3a -b)(3a+b)-(a+b)222．(6分) 利用完全平方公式简便计算：(1)⎝⎛⎭⎫601602； (2)2 0212－4 042×2 020＋2 0202.23．(6分) 已知a ＋b ＝2，a 2＋b 2＝10，求ab 和(a －b)2的值．24．(8分) (1)求证等式(a＋b)2－(a－b)2＝4ab成立。

2022-2023学年初一数学第二学期培优专题训练22 完全平方式及其应用

专题22 完全平方式及其应用【例题讲解】阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把多项式222a ab b ++及222a ab b -+叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式2x bx c ++（b 、c 为常数）写成()2x h k ++（h 、k 为常数）的形式．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题．【知识理解】(1)若多项式216x kx ++是一个完全平方式，那么常数k 的值为（）A ．4B ．8C ．8±D ．16±(2)若多项式24x x m ++是一个完全平方式，那么常数m 的值为________；(3)配方：()226103x x x --=--______；224x x ++=______；【知识运用】(4)通过配方发现，代数式247x x -+有最小值，则最小值为______；(5)利用配方法因式分解：22232a a a a +-=++______()2414a -=+-=______；(6)已知22228160m mn n n ++-+=，则m =______、n =______；(7)若()()13M a a =+-，()()212N a a =--，则M ______N （用“<、>”号填空）．【解答】（1）解：222164x kx x kx ++=++∴k =±2×4=±8，故选：C （2）222422?2x x m x x ++=+⨯+，∴m =4，故答案为：4；（3）()22261069910319x x x x x --=-+--=--，()2222421313x x x x x ++=+++=++，故答案为：19；()213x ++；（4）()22247444723x x x x x -+=-+-+=-+，∵()220x -≥，∴()2233x -+≥，故答案为：3；（5）223a a +-2214a a =++-()214a =+-()()1212a a =+++-()()31a a =+- 故答案为：1；(3)(1)a a +-（6）22228160m mn n n ++-+=，22228160m mn n n n +++-+=，()()2240m n n ++-=，∴0m n +=且40n -=，解得：n =4，m =-4，故答案为：-4；4；（7）M -N =(a +1)(a −3)-2(a −1)(a −2)=()2223232a a a a ----+ =2223264a a a a ---+-=247a a -+-=()2230a ---<∴M <N ，故答案为：<．【综合解答】1．若229x kxy y -+是一个完全平方式，则常数k 的值为( )A ．6B ．6-C ．6±D ．无法确定2．若多项式29216x mx -+是一个完全平方式，则m 的值为（）A ．24±B ．12±C ．24D ．123．如果多项式2(2)16x m x +-+是一个二项式的完全平方式，那么m 的值为（）A ．6B ．10±C ．10或6-D ．6或2-4．如果229x kxy y -+是一个完全平方式，那么k 的值是（）A ．3B ．±6C ．6D ．±35．若多项式4a 2+ma+1是一个含a 的完全平方式，则m 等于（）A ．4B ．4或﹣4C ．2D ．2或﹣26．若()2419x k x -++能用完全平方公式因式分解，则k 的值为（）A ．±6B ．±12C ．-13或11D ．13或-117．若216x mx ++是完全平方式，则m =______．8．已知多项式4x 2－x ＋1，它与某个单项式的和可以写成一个多项式的完全平方，则这个单项式是________．9．多项式4a 2+9加上一个单项式后，可化为一个多项式．．．的平方，则这个单项式是______．（写一个即可）10．若2249a kab b ++是完全平方式，则______k =11．若9x 2－kxy ＋4y 2是一个完全平方式，则k 的值是_______．12．若224x mxy y ++是一个完全平方式，则m =_________．13．多项式28x x a -+是一个完全平方式，则a=_______；14．若x 2﹣ax +16是一个完全平方式，则a ＝_____．15．若多项式241x Q ++是完全平方式，请你写出所有满足条件的单项式Q 是_______．16．把4x 2＋1加上一个单项式，使其成为一个完全平方式．请你写出所有符合条件的单项式__________．17．使得m2+m+7是完全平方数的所有整数m的积是______________．18．关于x的二次三项式4x²+mx+1是完全平方式，则m=________19．多项式x2+2mx+64是完全平方式，则m= ________．20．如果多项式9x2＋1加上一个单项式M后能成为一个完全平方式，求这个单项式M.21．【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．例1 用配方法因式分解：a2＋6a＋8．原式＝a2＋6a＋9－1＝（a＋3）2－1＝（a＋3－1）（a＋3＋1）＝（a＋2）（a＋4）．例2若M＝a2－2ab＋2b2－2b＋2，利用配方法求M的最小值；a2－2ab＋2b2－2b＋2＝a2－2ab＋b2＋b2－2b＋1＋1＝（a－b）2＋（b－1）2＋1；∵（a－b）2≥0，（b－1）2≥0，∴当a＝b＝1时，M有最小值1．请根据上述自主学习材料解决下列问题：(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2＋10a＋________；(2)用配方法因式分解：a2－12a＋35．(3)若M＝a2－3a+1，则M的最小值为________；(4)已知a2＋2b2＋c2－2ab＋4b－6c＋13＝0，则a＋b＋c的值为________；22．对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对(a，b)与(c，d)．我们规定：(a，b)⊗(c，d)=a2+d2−bc．例如：(1，2)⊗(3，4)=12+42−2×3=11．(1)若(2x，kx)⊗(y，−y)是一个完全平方式，求常数k的值；(2)若2x+y=12，且(3x+y，2x2+3y2)⊗(3，x−3y)=104，求xy的值；(3)在（2）的条件下，将长方形ABCD及长方形CEFG按照如图方式放置，其中点E、G分别在边CD、BC上，连接BD、BF、DF、EG．若AB=2x，BC=8x，CE=y，CG=4y，求图中阴影部分的面积．23．教材原题解答:已知M是含字母x的单项式，要使多项式2++是某个多项式的平方，求M．x M41解:根据完全平方公式，分两种情况:当M 为含字母x 的一次单项式时，()2224121x M x M ++=++2214M x x ∴=±⨯=±．当M 为含字母x 的四次单项式时，则44M x =M ∴为4x 或4x -或44x问题发现:由上面问题解答过程，我们可以得到下列等式:()()22422244121;44121x x x x x x ++=±++=+．观察等式的左边多项式的系数发现:()24441±=⨯⨯．爱学习的小明又进行了很多运算:()()22221624943;912432x x x x x x ++=+-+=-等等，发现同样有()22244169,12494=⨯⨯-=⨯⨯．于是小明猜测:若多项式2ax bx c ++(,,a b c 是常数，0a >)是某个含x 的多项式的平方，则系数,,a b c 一定存在某种关系问题解决:（1）请用代数式表示,,a b c 之间的关系；（2）若多项式294y +加上一个含字母y 的单项式，就能变形为一个含y 的多项式的平方，请直接写出所有满足条件的单项式，24．阅读下列材料利用完全平方公式，将多项式2x bx c ++变形为2()x m n ++的形式，然后由2()0x m +≥就可求出多项式2x bx c ++的最小值．将多项式-2x bx c ++变形为2()x p q -++的形式，然后由2()0x p -+≤就可求出多项式2x bx c -++的最大值．例题：求21237x x -+的最小值．解：222221237266637(6)1x x x x x -+=-⋅+-+=-+．因为不论x 取何值，2(6)x -总是非负数，即2(6)0x -≥．所以2(6)11x -+≥．所以当6x =时，21237x x -+有最小值，且最小值是1．同理可求223x x -++的最大值．解：222232113(1)4x x x x x -++=--+-+=--+（）．因为不论x 取何值，2(1)x -≥0，所以2(1)0x --≤．所以2(1)44x --+≤．所以当x =1时，223x x -++有最大值，且最大值是4．根据上述材料，解答下列问题：(1)填空：2241(2)x x x +-=+－，所以241x x +-的最小值为．(2)已知2416x x t -++是关于x 的代数式，求2416x x t -++的最大值（用含t 的式子表示）．(3)已知A 、B 是关于x 的代数式，A =(ax +6)(1)x +，B =2x （3ax +），求A －B 的最值（用含a 的式子表示）．专题22 完全平方式及其应用【例题讲解】阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把多项式222a ab b ++及222a ab b -+叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式2x bx c ++（b 、c 为常数）写成()2x h k ++（h 、k 为常数）的形式．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题．【知识理解】(1)若多项式216x kx ++是一个完全平方式，那么常数k 的值为（）A ．4B ．8C ．8±D ．16±(2)若多项式24x x m ++是一个完全平方式，那么常数m 的值为________；(3)配方：()226103x x x --=--______；224x x ++=______；【知识运用】(4)通过配方发现，代数式247x x -+有最小值，则最小值为______；(5)利用配方法因式分解：22232a a a a +-=++______()2414a -=+-=______；(6)已知22228160m mn n n ++-+=，则m =______、n =______；(7)若()()13M a a =+-，()()212N a a =--，则M ______N （用“<、>”号填空）．【解答】（1）解：222164x kx x kx ++=++∴k =±2×4=±8，故选：C （2）222422?2x x m x x ++=+⨯+，∴m =4，故答案为：4；（3）()22261069910319x x x x x --=-+--=--，()2222421313x x x x x ++=+++=++，故答案为：19；()213x ++；（4）()22247444723x x x x x -+=-+-+=-+，∵()220x -≥，∴()2233x -+≥，故答案为：3；（5）223a a +-2214a a =++-()214a =+-()()1212a a =+++-()()31a a =+- 故答案为：1；(3)(1)a a +-（6）22228160m mn n n ++-+=，22228160m mn n n n +++-+=，()()2240m n n ++-=，∴0m n +=且40n -=，解得：n =4，m =-4，故答案为：-4；4；（7）M -N =(a +1)(a −3)-2(a −1)(a −2)=()2223232a a a a ----+ =2223264a a a a ---+-=247a a -+-=()2230a ---<∴M <N ，故答案为：<．【综合解答】1．若229x kxy y -+是一个完全平方式，则常数k 的值为( )A ．6B ．6-C ．6±D ．无法确定【答案】C【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k 的值．【解答】解：22x kxy 9y -+是一个完全平方式，k 6∴-=±，解得：k 6=±，故选C ．【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．2．若多项式29216x mx -+是一个完全平方式，则m 的值为（）A ．24±B ．12±C ．24D ．12 【答案】B【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．【解答】解：∵29216x mx -+是一个完全平方式∴()2229216324x mx x mx -+=-+∴()22292163492416x mx x x x -+=±=±+∴224m =±∴12m =±故选B ．【点评】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握公式是解题的关键．3．如果多项式2(2)16x m x +-+是一个二项式的完全平方式，那么m 的值为（）A ．6B ．10±C ．10或6-D ．6或2- 【答案】C【分析】利用二项式的完全平方式的标准格式可得(2)8m x x -=±，系数相等28m -=±，解方程即可．【解答】解：∵22(2)16816x m x x x +-+=±+，∴(2)8m x x -=±，∴28m -=±，∴28m -=或28m -=-，∴10m =或6m =-．故选择：C ．【点评】本题考查二项式的完全平方式，掌握二项式的完全平方式的标准格式，利用完全平方式的标准格式构造方程是解题关键．4．如果229x kxy y -+是一个完全平方式，那么k 的值是（）A ．3B ．±6C ．6D ．±3【答案】B【分析】根据完全平方式得出k ＝±2×1×3，求出即可．【解答】∵x 2−kxy ＋9y 2是一个完全平方式，∴x 2−kxy ＋9y 2＝x 2±2•x•3y ＋（3y ）2，即k ＝±6，故选：B ．【点评】本题考查了对完全平方式的应用，注意：完全平方式有两个：a 2＋2ab ＋b 2和a 2−2ab ＋b 2．5．若多项式4a 2+ma+1是一个含a 的完全平方式，则m 等于（）A ．4B ．4或﹣4C ．2D ．2或﹣2 【答案】B【分析】关于含有a 、b 的完全平方式有两个(a+b)2=a 2+2ab+b 2和(a-b)2=a 2-2ab+b 2，记作“首平方、尾平方、两倍首尾放中央”.【解答】首为2a ，尾为1，所以ma=+221a ⨯⨯=+4a ，所以m 等于4或﹣4.故选B.【点评】理解记忆完全平方式的形式.6．若()2419x k x -++能用完全平方公式因式分解，则k 的值为（） A ．±6B ．±12C ．-13或11D ．13或-11 【答案】C 【分析】先找到平方项是24x 与9，由此得到另一项的值，由此计算得到k 的值即可.【解答】∵()2419x k k -++能用完全平方公式因式分解，∴平方项是24x 与9，∴()2419x k k -++=22(23)4129x x x ±=±+，∴()112k -+=±,∴k= -13或11,故选：C.【点评】此题考查完全平方公式的变形计算，熟练掌握公式的计算方法及特点是解题的关键. 7．若216x mx ++是完全平方式，则m =______．【答案】8±【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到m 的值．【解答】解：216x mx ++是完全平方式，8m ∴=±．故答案为：8±．【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．8．已知多项式4x 2－x ＋1，它与某个单项式的和可以写成一个多项式的完全平方，则这个单项式是________．【答案】2154x 或−【分析】根据完全平方公式分这个单项式可能是一次项，二次项或常数项三种情况分类讨论求值即=2112x ，此时这个单项式为2154x ；若此单项式为常数项，则4=2124x ，1516a ， ∴1516；故答案为：2154x 或−【点评】本题主要考查完全平方公式的应用，熟练掌握全完平方公式是解题的关键．4a 2+9加上一个单项式后，可化为一个多项式．．．个即可）【解答】解：22412923,a a a 24222493,3a a 多项式4a 2+9加上一个单项式124故答案为：12a 或449a （答案不唯一）【点评】本题考查的是完全平方式的特点，单项式的含义，掌握【答案】12±【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k 的值．【解答】∵2249a kab b ++是完全平方式，∴2222249(23)4129a kab b a b a ab b ++=±=±+，∴12k =±，故答案为：±12【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数，熟记完全平方公式是解题关键．11．若9x 2－kxy ＋4y 2是一个完全平方式，则k 的值是_______．【答案】12±【分析】根据完全平方式()()2222222,2a ab b a b a ab b a b -+=-++=+ 分类讨论即可．【解答】根据完全平方式()()2222222,2a ab b a b a ab b a b -+=-++=+分类讨论有： ()222229432=9124x kxy y x y x xy y -+=±±+∴12k =±故答案为：12±【点评】本题考查完全平方公式，正确理解公式是解题关键．12．若224x mxy y ++是一个完全平方式，则m =_________．【答案】±4【分析】将原式化简为：()222x mxy y ++，为完全平方公式，则根据完全平方公式xy 22x y m =±⋅⋅，从而求解出m【解答】原式=()222x mxy y ++∵这个式子是完全平方公式∴xy 22x y m =±⋅⋅ 解得：m=±4故答案为：±4【点评】本题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解题的关键，注意容易漏掉“负解”． 13．多项式28x x a -+是一个完全平方式，则a=_______；【答案】±8．【分析】完全平方公式：（a±b ）2=a 2±2ab+b 2，这里首末两项是x 和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x 和4的积的2倍．【解答】∵x 2-ax+16是一个完全平方式，∴ax=±2•x×4=±8x ，∴a=±8．【点评】本题是根据完全平方公式的结构特征进行分析，对此类题要真正理解完全平方公式，并熟记公式，这样才能灵活应用．本题易错点在于：是加上或减去两数乘积的2倍，在此有正负两种情况，要全面分析，避免漏解． 15．若多项式241x Q ++是完全平方式，请你写出所有满足条件的单项式Q 是_______．【答案】±4x , 4x 4【分析】根据题意可知本题是考查完全平方式，设这个单项式为Q ，①如果这里首末两项是2x 和1这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x 和1积的2倍，故Q = ±4x ; ②如果如果这里首末两项是Q 和1，则乘积项是4x 2=2×2x 2，所以Q = 4x 4.【解答】解：∵4x 2 +1±4x = (2x ±1)24x 2+1+4x 4 = (2x 2+1)2;∴加上的单项式可以是±4x , 4x 4,中任意一个,故答案为：±4x , 4x 4.【点评】本题主要考查完全公式的有关知识，根据已知两个项分类讨论求出第三项是解题的关键.16．把4x 2＋1加上一个单项式，使其成为一个完全平方式．请你写出所有符合条件的单项式__________．【答案】-1，4x ，-4x ，【解答】试题分析：这个单项式为Q ，如果这里首末两项是2x 和1这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x 和1积的2倍，故；如果这里首末两项是Q 和1，则乘积项是，所以；如果该式只有项或1，它也是完全平方式，所以． ∵；；；．∴加上的单项式可以是-1，4x ，-4x ，中任意一个．考点：完全平方式点评：本题比较复杂，需要我们全面考虑问题，首先考虑三个项分别充当中间项的情况，就有三种情况，还有就是第四种情况加上一个数，得到一个单独的单项式，也是可以成为一个完全平方式，这种情况比较容易忽略，要注意．17．使得m 2+m +7是完全平方数的所有整数m 的积是______________．【答案】±4【解答】试题分析：根据完全平方式的特点，两个数的平方和加减两数积的2倍，因此可知这两个数为2x和1，因此积的2倍为4x，因此m=±4.点评：此题主要考查了完全平方式，解题时主要是根据完全平方式的特点，两个数的平方和加减两数积的2倍，先判断出两个数，然后确定积的2倍即可,19．多项式x2+2mx+64是完全平方式，则m= ________．【答案】±8【解答】根据完全平方式的特点，首平方，尾平方，中间是加减首尾积的2倍，因此可知2mx=2×（±8）x，所以m=±8．故答案为±8．【点评】此题主要考查了完全平方式，解题时，要明确完全平方式的特点：首平方，尾平方，中间是加减首尾积的2倍，关键是确定两个数的平方．20．如果多项式9x2＋1加上一个单项式M后能成为一个完全平方式，求这个单项式M.负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．例1 用配方法因式分解：a2＋6a＋8．原式＝a2＋6a＋9－1＝（a＋3）2－1＝（a＋3－1）（a＋3＋1）＝（a＋2）（a＋4）．例2若M＝a2－2ab＋2b2－2b＋2，利用配方法求M的最小值；a2－2ab＋2b2－2b＋2＝a2－2ab＋b2＋b2－2b＋1＋1＝（a－b）2＋（b－1）2＋1；∵（a－b）2≥0，（b－1）2≥0，∴当a＝b＝1时，M有最小值1．请根据上述自主学习材料解决下列问题：(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2＋10a＋________；(2)用配方法因式分解：a2－12a＋35．(3)若M＝a2－3a+1，则M的最小值为________；(4)已知a2＋2b2＋c2－2ab＋4b－6c＋13＝0，则a＋b＋c的值为________；解：222a b +22ab b -+2)(b b -+2()0a b -，2(0b +，2(3)0c -，0a b ∴-=，0b +，3c -=，解得：2a b ==-3c =，则221a b c ++=--=-．故答案为：1-．【点评】本题考查了整式的混合运算，非负数的性质：偶次方，完全平方式，以及因式分解d )=a 2+d 2−bc ．例如：(1，2)⊗(3，4)=12+42−2×3=11．(1)若(2x，kx)⊗(y，−y)是一个完全平方式，求常数k的值；(2)若2x+y=12，且(3x+y，2x2+3y2)⊗(3，x−3y)=104，求xy的值；(3)在（2）的条件下，将长方形ABCD及长方形CEFG按照如图方式放置，其中点E、G分别在边CD、BC上，连接BD、BF、DF、EG．若AB=2x，BC=8x，CE=y，CG=4y，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)k=±4；(2)xy=10；(3)S阴=128．【分析】（1）根据新定义，求出(2x，kx)⊗(y，−y)，再根据完全平方式的特征，即可求出k；（2）根据新定义，求出(3x+y，2x2+3y2)⊗(3，x−3y)=104的左边，从而得出方程，再配方将2x+y=12整体代入，即可求出xy；（3）根据阴影部分的面积等于三角形BCD的面积-三角形BGF的面积-三角形CGE的面积-三角形DFE的面积，代入相关数据求解即可．（1）解：(2x，kx)⊗(y，−y)=（2x）2+（-y）2-kx• y=4x2-kxy+y2，∵4x2-kxy+y2是一个完全平方式，∴k=±4；（2）解：(3x+y，2x2+3y2)⊗(3，x−3y)=（3x+y）2+（x-3y）2-3（2x2+3y2）=9x2+6xy+y2+x2-6xy+9y2-6x2-9y2=4x2+y2=（2x+y）2-4xy=104，∵2x+y=12，∴122-4xy=104，∴xy=10；（3）解：S△BDC=12•2x•8x=8x2，已知M 是含字母x 的单项式，要使多项式241x M ++是某个多项式的平方，求M ．解:根据完全平方公式，分两种情况:当M 为含字母x 的一次单项式时，()2224121x M x M ++=++2214M x x ∴=±⨯=±．当M 为含字母x 的四次单项式时，则44M x =M ∴为4x 或4x -或44x问题发现:由上面问题解答过程，我们可以得到下列等式:()()22422244121;44121x x x x x x ++=±++=+．观察等式的左边多项式的系数发现:()24441±=⨯⨯．爱学习的小明又进行了很多运算:()()22221624943;912432x x x x x x ++=+-+=-等等，发现同样有()22244169,12494=⨯⨯-=⨯⨯．于是小明猜测:若多项式2ax bx c ++(,,a b c 是常数，0a >)是某个含x 的多项式的平方，则系数,,a b c 一定存在某种关系问题解决:（1）请用代数式表示,,a b c 之间的关系；（2）若多项式294y +加上一个含字母y 的单项式，就能变形为一个含y 的多项式的平方，请直接写出所有满足条件的单项式，利用完全平方公式，将多项式2x bx c ++变形为2()x m n ++的形式，然后由2()0x m +≥就可求出多项式2x bx c ++的最小值．将多项式-2x bx c ++变形为2()x p q -++的形式，然后由2()0x p -+≤就可求出多项式2x bx c -++的最大值．例题：求21237x x -+的最小值．解：222221237266637(6)1x x x x x -+=-⋅+-+=-+．因为不论x 取何值，2(6)x -总是非负数，即2(6)0x -≥．所以2(6)11x -+≥．所以当6x =时，21237x x -+有最小值，且最小值是1．同理可求223x x -++的最大值．解：222232113(1)4x x x x x -++=--+-+=--+（）．因为不论x 取何值，2(1)x -≥0，所以2(1)0x --≤．所以2(1)44x --+≤．所以当x =1时，223x x -++有最大值，且最大值是4．根据上述材料，解答下列问题：(1)填空：2241(2)x x x +-=+－，所以241x x +-的最小值为．(2)已知2416x x t -++是关于x 的代数式，求2416x x t -++的最大值（用含t 的式子表示）．(3)已知A 、B 是关于x 的代数式，A =(ax +6)(1)x +，B =2x （3ax +），求A －B 的最值（用含a 的式子表示）．。

完全平方公式培优练习题

完全平方公式培优练习题完全平方公式是数学中重要的一个公式，掌握它可以在求解方程和解题过程中节省大量时间，提高计算效率。

下面我将为大家列举一些完全平方公式的培优练习题，希望能够对大家的数学学习起到一定的帮助。

1. 基础练习题(1) 计算下列各式的值：(a) $(3 + \sqrt{5})^2$(b) $(4 - \sqrt{3})^2$(c) $(2 + 3\sqrt{2})(2 - 3\sqrt{2})$(d) $(5 + \sqrt{6})(5 - \sqrt{6})$(2) 计算下列各式的值，并将结果化简：(a) $(\sqrt{7} - \sqrt{3})(\sqrt{7} + \sqrt{3})$(b) $(2\sqrt{2} + 3\sqrt{5})(2\sqrt{2} - 3\sqrt{5})$(c) $(\sqrt{5} + \sqrt{6})(\sqrt{5} - \sqrt{6})$(3) 下列各式中是否包含完全平方项？如果有，请写出完全平方项。

(a) $3x^2 + 10x + 4$(b) $2a^2 - 6ab + 4b^2$(c) $5x^2 - \sqrt{2}x + 6$2. 挑战性习题(1) 求解方程 $x^2 - 11x + 28 = 0$ 的实数解。

(2) 求解方程 $2x^2 - 3\sqrt{5}x + \frac{5}{4} = 0$ 的实数解。

(3) 已知 $a$ 和 $b$ 是实数，且满足 $a^2 - 3ab + 2b^2 = 0$，求所有可能的 $(a, b)$ 组合。

(4) 已知 $x$ 和 $y$ 是正实数，且满足 $(x^2 + 2xy + y^2)(x^2 - 2xy + y^2) = 169$，求 $x$ 和 $y$ 的值。

通过以上的培优练习题，我们可以深入理解完全平方公式的运用，并提高求解方程和解题的能力。

在解题过程中，可以利用完全平方公式将一些复杂的多项式进行分解，转化为简便的计算形式，从而提高解题效率。

(完整版)七年级平方差公式和完全平方公式-培优

变形公式⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-+=-+-=++-=+-+=+ab b a b a ab b a b a ab b a b a ab b a b a 4)()(4)()(2)(2)(2222222222常考公式⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫+-=+-+=+2)1(12)1(1222222x x x x x x x x 个性化教学辅导教案知识点一、多项式乘多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。

由多项式乘多项式法则可以得到：bd bc ad ac d c b d c a d c b a +++=+++=++)()())((知识点二、平方差公式：22))((b a b a b a -=-+两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差。

1、即：=-+))((b a b a 相同符号项的平方 - 相反符号项的平方2、平方差公式可以逆用，即：))((22b a b a b a +-=-。

3、能否运用平方差公式的判定①有两数和与两数差的积即：（a+b ）(a-b)或（a+b ）(b-a)②有两数和的相反数与两数差的积即：（-a-b ）(a-b)或（a+b ）(b-a)③有两数的平方差即：a 2-b 2 或-b 2+a 2知识点三、完全平方公式：(a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。

知识点四、变形公式例题讲解1、计算(22)(22)a b c a b c +++-10199⨯2222211111(1)(1)(1)(1)(1)23499100-----L 2982、公式的逆用(1) 如果x 2-y 2=12，x +y=3，则x -y 的值是（2）已知a+b=3，ab=1，则a 2+b 2的值为（3）若22()12,()16,x y x y xy -=+=则=（4）已知a+b=5,ab=6，则(a-b)2的值为( )(A)1 (B)4 (C)9 (D)16（5）已知3)(,7)(22=-=+b a b a ，求=+22b a ________，=ab ________ （6）已知x 2＋16x ＋k 是完全平方式，则常数k 等于( )(A)64 (B)48 (C)32 (D)16（7）已知4x 2+4mx+36是完全平方式，则m 的值为( )(A)2 (B)±2 (C)-6 (D)±6基础巩固一、选择题1、下列等式能够成立的是（）A ．222121⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x xB ．222121⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x xC ．412122-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x D ．41)21(22+=-x x 2、下列等式能够成立的是（）A ．222)(y xy x y x +-=-B ．2229)3(y x y x +=+C ．2224121y xy x y x +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛- D ．9)9)(9(2-=+-m m m 3、如果9x 2+kx+25是一个完全平方式，那么k 的值是（）A ．15B ．±5C ．30D ．±30 4、若a ﹣b=，且a 2﹣b 2=，则a+b 的值为（）A ．﹣B ．C ．1D ．2 5、已知x y = 9，x －y=－3，则x 2+3xy+y 2的值为（）A 、27B 、9C 、54D 、186、将图（甲）中阴影部分的小长方形变换到图（乙）位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（）A ．（a+b ）2=a 2+2ab+b 2B ．（a ﹣b ）2=a 2﹣2ab+b 2C ．a 2﹣b 2=（a+b ）（a ﹣b ）D ．（a+2b ）（a ﹣b ）=a 2+ab ﹣2b2 7、若A=（2+1）（22+1）（24+1）（28+1），则A ﹣2003的末位数字是（）A ．0B ．2C ．4D ．6 8、（x+2）（x ﹣2）（x 2+4）的计算结果是（）A ．x 4+16B ．﹣x 4﹣16C ．x 4﹣16D ．16﹣x 4 9、（﹣x+y ）（）=x 2﹣y 2，其中括号内的是（）A ．﹣x ﹣yB ．﹣x+yC ．x ﹣yD ．x+y10、在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）．把余下的部分剪成两个直角梯形后，再拼成一个等腰梯形（如图），通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是（）A ．a 2﹣b 2=（a+b ）（a ﹣b ）B ．（a+b ）2=a 2+2ab+b 2C ．（a ﹣b ）2=a 2﹣2ab ﹣b 2D ．a 2﹣ab=a （a ﹣b ） 11、如图，从边长为（a+4）cm 的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm 的正方形．（a ＞0）剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙）则矩形的面积为（）A. （2a 2+5a ）cm 2 B ．（3a+15）cm 2 C ．（6a+9）cm 2 D ．（6a+15）cm 212、如图，在边长为2a 的正方形中央剪去一边长为（a+2）的小正方形（a ＞2），将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（）A ．a 2+4B ．2a 2+4aC ．3a 2﹣4a ﹣4D ．4a 2﹣a ﹣2 13、若4x 2﹣2（k ﹣1）x+9是完全平方式，则k 的值为（）A ．±2B ．±5C ．7或﹣5D ．﹣7或5 14、已知a ﹣b=3，则代数式a 2﹣b 2﹣6b 的值为（）A ．3B ．6C ．9D ．12 15、若a ﹣=2，则a 2+的值为（） A ．0B ．2C ．4D ．6 16、设（2a+3b ）2=（2a ﹣3b ）2+A ，则A=（）A ．6abB ．12abC ．0D ．24ab 17、已知x 2﹣3x+1=0，那么的值是（） A ．3B ．7C ．9D ．1118、当n 是整数时，（2n+1）2﹣（2n ﹣1）2是（）A ．2的倍数B ．4的倍数C ．6的倍数D ．8的倍数 19、已知x+y=7，xy=﹣8，下列各式计算结果正确的是（）A ．（x ﹣y ）2=91B ．x 2+y 2=65C ．x 2+y 2=511D ．x 2﹣y 2=567二、填空题 1、若2210a a --=，则221a a+=____________． 2、=⨯123457123455-1234562______ =⨯4394110______ 3、=++⋅⋅⋅++⋅1)12()12)(12(36442______4、已知121=+x x ，则22-+x x = ，已知101=-x x ，则22-+x x =5、已知0162=+-x x ，则22-+x x =6、已知100)(2=+b a ，4)(2=-b a ，则22b a += ，ab =7、已知8=+b a ，12=ab ，则22b a += ，2)(b a -=8、（a+b ﹣1）（a ﹣b+1）=（）2﹣（）2 9、若a+b=8，a ﹣b=5，则a 2﹣b 2= ．10、已知a+b=8，a 2b 2=4，则﹣ab=11、已知实数a 、b 满足a+b=5，ab=3，则a ﹣b=12、已知x 2+y 2+4x ﹣6y+13=0，那么x y =13、已知m 2+n 2﹣6m+10n+34=0，则m+n=14、已知m 2﹣5m ﹣1=0，则= 15、若m=2n+1，则m 2﹣4mn+4n 2的值是16、若|x+y ﹣5|+（xy ﹣6）2=0，则x 2+y 2的值为三、计算题 )53(2322ab ab a --)23)(25(y x y x -+ ()()2()x y x y x y --+-)4)(1()3)(3(+---+a a a a22)1()1(--+xy xy)4)(12(3)32(2+--+a a a (1)(2)(2)(21)2(2)x x x x x x -+----+四、解答题1、先化简，再求值: (x+2)2-(x+1)(x-1),其中x=1.52、已知0132=+-x x ，求221x x +和441xx +的值3、已知()222116x m xy y -++是一个完全平方式，求m 的值。

2020-2021学年七年级数学北师大版下册第一章 1.6.1完全平方公式培优教案

完全平方公式培优习题一、完全平方公式的基础推导过程及其逆过程1．多项式展开2222222))(()(2))(()(b ab a b a b a b a b ab a b a b a b a +-=--=-++=++=+2．几何意义2222)(S ABCD b ab a S b a ++=+=面积的方式：两种求解正方形2222-)-(S ABCD b ab a S b a +==面积的方式：两种求解正方形3．公式逆向222222)(2)(2b a b ab a b a b ab a -=+-+=++例1. 下列计算正确的是（）222222229)3)(3.(9)3)(3.(9)3)(3.(3)3)(3.(b a b a b a D b a b a b a C b a b a b a B b a b a b a A -=+----=----=-+--=-+例2. 已知n x n x 16)1(842+++是一个关于x 的完全平方式，则常数n 的值为_______。

练习1. 计算______________)2=--y x （练习2. 若2249y kxy x +-是一个完全平方式，则k 的值是_________。

练习3. 如果9)1(2+-+x m x 是一个完全平方式，那么m 的值是_______。

练习4. 已知________1012442=+=+-aa a a ，则。

二、完全平方公式四个模块之间的联系1．ab b a b a b a 、、、2222)()(+-+之间的关系 4)()(4)()(2)()(2)(2)(2222222222-+--=--+=++-=+-=-+=+b a b a b a b a ab b a b a ab b a ab b a b a 2．完全平方公式的特殊情况22212)1(aa a a +±=± 例1. 已知2,2-==+ab b a 则_________22=+b a 。

专题9.5完全平方公式专项提升训练-2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题(原卷版)

【拔尖特训】20222023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【苏科版】专题9.5完全平方公式专项提升训练班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022秋•秦淮区期中）下列运算正确的是（）A．a+2a＝3a2B．a2•a3＝a5C．（﹣2a2）3＝8a6D．（a+b）2＝a2+b22．（2022春•玄武区校级期中）计算（﹣2a+3b）2，结果是（）A．2a2+12ab+3b2B．2a2﹣12ab+3b2C．4a2+12ab+9b2D．4a2﹣12ab+9b23．（2022•睢宁县模拟）下列计算正确的是（）A．2a2﹣a2＝2B．（a﹣b）2＝a2﹣b2C．（﹣a3b）2＝a6b2D．（2a+3）（a﹣2）＝2a2﹣64．（2022•吴中区模拟）已知a2+b2＝5，ab＝﹣2，则（a+b）2的值为（）A．1B．9C．3D．﹣15．（2022春•锡山区期中）已知x+y＝7，xy＝10，则（x﹣y）2的值为（）A．3B．9C．49D．1006．（2021秋•崇川区期末）若x+4＝2y，则代数式x2﹣4xy+4y2的值为（）A．6B．8C．12D．167．（2022春•玄武区校级期中）观察图形，用两种不同的方法计算大长方形面积，我们可以验证等式（）A．（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2B．（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2C．（a+b）（a+2b）＝2a2+3ab+b2D．（a+b）（2a+b）＝a2+3ab+2b28．（2021秋•梁溪区校级期中）如图，将一边长为a的正方形（最中间的小正方形）与四块边长为b的正方形（其中b＞a）拼接在一起，则四边形ABCD的面积为（）A．a2+2ab B．a2+b2C．（b+a）2D．（b﹣a）2+b2二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上9．（2022•常州二模）计算：m•m﹣（m﹣1）2＝．10．（2022•通州区一模）计算852﹣130×85+652的结果是．11．（2022春•南京期末）若a2+b2＝5，a﹣b＝3，则ab＝．12．（2022春•常熟市期末）已知a+2b＝1，则a2﹣4b2+4b的值为．13．（2022春•江都区期末）已知a+b＝7，ab＝11，则a2+b2＝．14．（2022秋•启东市校级期末）如果二次三项式x2﹣2（m+1）x+25是一个完全平方式，那么m的值是．15．（2021春•仪征市期中）如图，4张长为a，宽为b（a＞b）的长方形纸片，按图中的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2，若S1＝S2，则a，b满足的关系式是．16．（2022秋•崇川区期中）我国南宋数学家杨辉用三角形系数表解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．“杨辉三角”给出了（a+b）n（n＝1，2，3，4…）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）：若(2x+1)2023=a1x2023+a2x2022+a3x2021+⋯⋯+a2022x2+a2023x+a2024，请根据上述规律，写出a1﹣a2+a3﹣••+a2023的值等于．三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．运用完全平方公式计算：（1）（4m +n ）2；（2）(y −12)2；（3）（﹣a ﹣b ）2；（4）（﹣a +b ）2．18．计算：（1）（12x +2y ）2+（12x ﹣2y ）2；（2）（a ﹣b +c ）2．19．（2022秋•江阴市期中）已知6x 2﹣4x ﹣3＝0，求（x ﹣1）2+2x 2﹣9的值．20．（2022春•常州期末）（1）已知x +y ＝3，xy ＝2．求x 2+y 2、（x ﹣y ）2的值；（2）已知x +2y ＝3，xy ＝1．求x 2﹣xy +4y 2的值．21．（2022春•高邮市期末）已知a +b ＝3，ab ＝﹣2，求下列各式的值：（1）a 2+b 2；（2）（a ﹣2）（b ﹣2）；（3）9a •27b ÷3b ﹣ab ．22．（2022春•徐州期中）已知x ﹣y ＝5，xy ＝﹣3．求：①（xy ﹣x 2）•2y 的值；②（x +y ）2的值．23．（2022秋•通州区期中）关于x 的整式，当x 取任意一组相反数m 与一m 时，若整式的值相等，则该整式叫做“偶整式”；若整式的值互为相反数，则该整式叫做“奇整式”．例如：x 2是“偶整式”，x 3是“奇整式”．（1）若整式A 是关于x 的“奇整式”，当x 取1与﹣1时，对应的整式值分别为A 1，A 2，则A 1+A 2＝；（2）判断式子（x ﹣2）2﹣（x +2）2是“偶整式”还是“奇整式”，并说明理由；（3）对于整式x 5﹣x 3+x 2+x +1，可以看作一个“偶整式”与“奇整式”的和．①这个“偶整式”是，“奇整式”是；②当x分别取﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3时，这七个整式的值之和是．24．（2022春•盐都区月考）阅读理解：若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b，则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80解决问题：（1）若x满足（2020﹣x）（x﹣2016）＝2，则（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝；（2）若x满足（x﹣2022）2+（x﹣2018）2＝202，求（x﹣2022）（x﹣2018）的值；（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝16，BC＝12，点E．F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为100平方单位，则图中阴影部分的面积和为平方单位．。

七年级完全平方公式培优

乘法公式1.乘法公式：平方差公式（a+b ）（a －b ）=a 2+b 2，完全平方公式：（a±b ）2=a 2±2ab+b 22．运用平方差公式应注意的问题：（1）公式中的a 和b 可以表示单项式，也可以是多项式；（2）有些多项式相乘，表面上不能用公式，但通过适当变形后可以用公式．如（a ＋b －c ）（b －a+c ）=[（b +a ）－c ）]［b －（a －c ）］ =b 2 －（a －c ）3．运用完全平方公式应注意的问题：（1）公式中的字母具有一般性，它可以表示单项式、多项式，只要符合公式的结构特征，就可以用公式计算；（2）在利用此公式进行计算时，不要丢掉中间项“2ab ”或漏了乘积项中的系数积的“ 2”倍；（3）计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接用公式进行计算；如不符合，应先变形为公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计算．【典例评析】:例1、计算：（1）(-3mn-1)(1-3mn)-8m 2n 2；（2）(a+b-c)(a-b+c)例2、计算：(a-2) (a+2) (a 2+4)(a 4+16)例3、计算： (1)2091×1998 ; (2)1101991002+⨯例4、逆用平方差公式巧算：(1)(2a+3)2-(2a-3)2; (2)(1－221)(1－231)(1－241)(1－251)(1－261)例 5.．已知zx yz xy z y x y z a y x ---++=-=-222,10,则代数式的最小值等于多少？【课堂精练（一）】:1、计算：(1)(a 2b+5)( a 2b-5) (2)(5x-2y 2)( -5x-2y 2)(3)(x+1)(x-1)-(3x-2)(-3x-2) (4)(m-n-p)(-m-n-p)(5)(x 4+y 4)(x 2+y 2)(x+y)(x-y)2、平方差公式的逆用与巧用(1)20102-2009×2011 (2)20122010201120112⨯-(4)若(a+2b)2=(a-2b)2+A ，则A= ；(5) 计算：12-22+32-42+…+992-1002；【培优拓展】:1、如果x-y=6，x 2-y 2=24,那么x+y= ;2、分析这组等式：1×3=22-1；3×5=42-1,5×7=62-1，…11×13=122-1…请用N 的式子表示规律：-----------------。

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