18专题十八三角函数大题

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重难点专题18 三角函数中w取值范围问题八大题型汇总(原卷版) 备战2024年高考数学重难点突破

题型8新定义 (9)已知函数y =Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0)，在[x 1,x 2]上单调递增（或递减），求ω的取值范围第一步：根据题意可知区间[x 1,x 2]的长度不大于该函数最小正周期的一半，即x 2-x 1≤12T =πω，求得0<ω≤πx 2-x 1.第二步：以单调递增为例，利用[ωx 1+φ,ωx 2+φ]⊆[―π2+2kπ,π2+2kπ]，解得ω的范围；第三步：结合第一步求出的ω的范围对k 进行赋值，从而求出ω（不含参数）的取值范围.结合图象平移求ω的取值范围1、平移后与原图象重合思路1：平移长度即为原函数周期的整倍数；思路2：平移前的函数=平移后的函数.2、平移后与新图象重合：平移后的函数=新的函数.3、平移后的函数与原图象关于轴对称：平移后的函数为偶函数；4、平移后的函数与原函数关于轴对称：平移前的函数=平移后的函数-；5、平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数中。

()f x ()g x ()f x ()g x y x ()f x ()g x三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为T，相邻的对称轴和对2，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期称中心之间的“水平间隔”为T4性，进而可以研究ω的取值。

三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与x轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定ω的取值.已知三角函数的零点个数问题求ω的取值范围对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关，若在在区间至多含有k个零点，需要确定包含k+1个零点的区间长度的最小值．三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与x轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定ω的取值.ππ。

专题十八锐角三角函数学案

专题十八锐角三角函数学案班级姓名组别等级【复习目标】1.理解锐角三角函数的定义，掌握特殊锐角(30°，45°，60°)的三角函数值，并会进行计算．2.掌握直角三角形边角之间的关系，会解直角三角形．3.通过复习提高分析问题、解决问题的能力，养成独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯.4.通过复习发展自己的数感、符号意识和运算能力，并养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯.【复习过程】一、自主复习（一）复习指导根据下面的题纲自主复习有关的基础知识快速记忆，构建知识体系，为后面的训练作好准备. 1.锐角三角函数定义在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别为a ，b ，c ．∠A 的正弦：sin A ＝∠A 的对边斜边＝________；∠A 的余弦：cos A ＝∠A 的邻边斜边＝________；∠A 的正切：tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边＝________.它们统称为∠A 的锐角三角函数．锐角三角函数的取值范围：0＜sin α＜1，0＜cos α＜1，tan α＞0注意：锐角三角函数只能在直角三角形中使用，如果没有直角三角形，常通过作垂线构造直角三角形．sin α cos α tan α 30° 45° 60°说明：锐角三角函数的增减性，当角度在0°-90°之间变化时. （1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 3.锐角三角函数之间的关系（1）平方关系(同一锐角的正弦和余弦值的平方和等于1)1cos sin 22=+A A（2）互余关系:若∠A+∠B=90°，则有sinA=cosB ，cosA=sinB 4.解直角三角形 (1)定义：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．(直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角)(2)直角三角形的性质：在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别为a ，b ，c ． ①三边之间的关系：____________； ②锐角之间的关系：____________；③边角之间的关系：sin A ＝ac ，cos A ＝b c ，tan A ＝a b ，sin B ＝b c ，cos B ＝a c ，tan B ＝b a. ④在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半. ⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 几何表示：【∵∠ACB=90°，D 为AB 的中点 ∴ CD=21AB=BD=AD 】 ⑥射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项.几何表示：【在Rt △ABC 中，∵∠ACB=90°CD ⊥AB ，∴ BD AD CD •=2;AB AD AC •=2;AB BD BC •=2 】⑦等积法：直角三角形中，两直角边之积等于斜边乘以斜边上的高.（a b c h =）由上图可得：AB ·CD=AC ·BC. 类型已知条件解法两边两直角边a 、b22c a b =+，tan aA b =，90B A ∠=︒-∠ 直角边a ，斜边c 22b c a =-，sin aA c =，90B A ∠=︒-∠一边一锐角直角边a ，锐角A 90B A ∠=︒-∠，tan a b A =，sin ac A= 斜边c ，锐角A90B A ∠=︒-∠，sin a c A =，cos b c A =（二）复习检测要求:自主学习完成后,独立完成复习检测题.完成后,组长组织本组同学统一答案，个人自己批阅，用红笔改错,不明白的求助于小组其他成员.1.如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB ＝2BC ，则sin B 的值为( ) A ．12B ．22C ．32D ．12.如图，A ，B 两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A 同侧的河岸边选定一点C ，测出AC ＝a 米，∠BAC＝90°，∠ACB ＝40°，则AB 等于( )米．A ．a sin 40° B．a cos 40° C．a tan 40° D．atan 40°3.在△ABC 中，若∠A ，∠B 满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos A －12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B －222＝0，则∠C ＝__________.4.数学实践探究课中，老师布置同学们测量学校旗杆的高度．小民所在的学习小组在距离旗杆底部10米的地方，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为60°，则旗杆的高度是__________米．二、合作探究组内交流自学环节中存在的疑惑，组长掌握组内的情况，记录组内没能解决的问题，准备班内解决.发言要求：言简意赅、明确清晰.下面的探究题，先独立完成，然后小组内交流，准备充分的小组准备班内展示.探究一: 如图，在矩形ABCD 中，点E 在AB 边上，沿CE 折叠矩形ABCD ，使点B 落在AD 边上的点F 处，若AB ＝4，BC ＝5，则tan ∠AFE 的值为( )A ．43B ．35C ．34D ．45探究二: 如图4，ABCD 为正方形，E 为BC 上一点，将正方形折叠，使A 点与E 点重合，折痕为MN ，若10,31tan =+=∠CE DC AEN（1）求△ANE 的面积；（2）求sin ∠ENB 的值。

三角函数知识点及典型例题

三角函数知识点及典型例题三角函数知识点及典型例题§1.1.1、任意角1、正角、负角、零角、象限角的概念.2、与角α终边相同的角的集合：{}|360,S k k Z ββα==+?∈.§1.1.2、弧度制1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、 rl =α.3、弧长公式： R4、扇形面积公式： S=21 lr=21αr 2.§1.2.1、任意角的三角函数1、设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么：xyx y ===αααtan ,cos ,sin . 2、设点()00,y x A 为角α终边上任意一点，那么：（设2020y x r +=）_______sin r y =α，________cos rx=α，_____tan x y =α.3、αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号一正二正弦三切四余和三角函数线的画法. 4、诱导公式一：()()()_tan _2tan _cos _2cos _sin _2sin απααπααπα=+=+=+kk k （Z k ∈）5、特殊角0°，30°，45°，60°，90°，180°，270°的三角函数值. §1.2.2、同角三角函数的基本关系式1、平方关系：22sin cos 1αα+=.2、商数关系：sin tan cos ααα=. §1.3、三角函数的诱导公式1、诱导公式二：()()()._tan _tan _,cos _cos _,sin _sin ααπααπααπ=+-=+-=+2、诱导公式三：()()()._tan _tan _____,cos _cos _,sin _sin αααααα-=-=--=-3、诱导公式四：()()()._tan _tan _,cos _cos _,sin _sin ααπααπααπ-=--=-=-4、诱导公式五：._sin _2cos _,cos _2sin ααπααπ=??-=-5、诱导公式六：._sin _2cos _,cos _2sin ααπααπ-=??+=+ §1.4.1、正弦、余弦函数的图象1、记住正弦、余弦函数图象：2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图.§1.4.2、正弦、余弦函数的性质1、周期函数定义：对于函数()x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()x f T x f =+，那么函数()x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.§1.4.3、正切函数的图象与性质 1、记住正切函数的图象：2、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. §1.5、函数()?ω+=x A y sin 的图象1、能够讲出函数x y sin =的图象和函数()b x A y ++=?ωsin 的图象之间的平移伸缩变换关系.2、对于函数：()()0,0sin >>++=ω?ωA b x A y 有：振幅A ，周期ωπ2=T ，初相?，相位?ω+x ，频率πω21==f .第三章、三角恒等变换两角和与差的正弦、余弦、正切公式cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-tan()αβ-tan tan 1tan tan αβαβ-=+ . tan()αβ+tan tan 1tan tan αβαβ+=-二倍角的正弦、余弦、正切公式1、_cos sin 2_2sin ααα=，变形：cos α=ααsin 22sin .2、22cos2cossin ααα=-22cos 1α=-212sin α=-变形1：21cos 2cos 2αα+=，变形2：21cos 2sin 2αα-=. 3、22tan tan 21tan ααα=- 1、注意正切化弦、平方降次. 解三角形 1、正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin === 2、余弦定理a A bc c b cos 222-+=变形 cosA=bca cb 2222-+b B ac c a cos 2222-+=变形 cosB=acb c a 2222-+c C ab b a cos 2222-+=变形cosC=abc b a 2222-+3、三角形面积公式： S =21absinC=21bcsinA=21acsinB 课本题(必修4)1.（P 11 习题13）若扇形的周长为定值l ，则该扇形的圆心角为多大时，扇形的面积最大？22.（P 23 练习4）已知sin （4π-x ）=-51，且0<x<="">623.（ P 24 习题9(2)）设tan α=-21，计算αααα22cos 2cos sin sin 1--。

2018年高考数学分类汇编之三角函数,推荐文档

、选择题C1. 【2018全国二卷6】在△ ABC 中，cos —2A . 4j2B .30C.29D . 252.【2018全国二二卷10】若f(x)cosxsinx 在[ a, a] 是减函数，则a的最大值是nn3 nA.-B . —C. —D . n4243.【2018全国三一 *一卷4】若sin 1，则cos237 .【2018浙江卷5】函数y=2|x|sin2x 的图象可能是，BC 1，AC 5，则 AB 500 - 98〉D7 - 9G【2018全国三卷9】△ ABC 的内角A , B ,C 的对边分别为a ,c ，若△ ABC 的面积为A .7tB .nC.— 4D .5.【2018北京卷7】在平面直角坐标系中，记 d 为点P (cos 0, sin B)到直线x my 20的距离，当 0, m 变化时，d 的最大值为A. 1B. 2C. 3D.46.【2018天津卷6】将函数ysin(2x 5)的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数10 A 在区间吟上单调递增3B在区间［壬，］上单调递减5 C在区间［53］上单调递3D 在区间［—,2 ］上单调递减A.1.【2018全国一卷16】已知函数f x 2sinx sin2x ,贝U f x 的最小值是 ____________________ . 2 .【2018 全国二卷 15 】已知 sin a cos 3 1 , cos a sin 3 0，则 sin( a 3) _____________________ .n3. 【2018全国三卷15】函数f x cos 3x — 在0, n 的零点个数为64. 【2018北京卷11】设函数f (x ) =cos( x ”(0)，若f(x)仁才)对任意的实数x 都成立，贝U 3的最小值为5.【2018江苏卷7】已知函数y sin(2x )( )的图象关于直线x 对称，则的值是 . 2 2 36.【2018江苏卷13】在厶ABC 中，角A, B,C 所对的边分别为a,b,c , ABC 120 ,ABC 的平分线交AC 于点D ,且BD 1，贝U 4a c 的最小值为 __________ .7. 【2018浙江卷13】在厶ABC 中，角A, B , C 所对的边分别为 a , b, c .若a= , b=2, A=60 °则sin B= ______________ ,c= __________ . 三•解答题1. 【2018全国一卷17】在平面四边形 ABCD 中， ADC 90°, A 45o , AB 2, BD 5.(1)求 cos ADB ; (2)若 DC 2 2，求 BC ., 12. 【2018 北京卷 15】在厶 ABC 中，a=7, b=8, cosB=—.二、填空题(I)求/ A；(I)求AC边上的高.3.【2018天津卷15】在4阮中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，°已知bsinA acos(B訐5.【2018江苏卷17】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆(I )求角 B 的大小;(II )设 a=2, c=3，求 b 和 sin(2A B)的值.4.【2018江苏卷 16】已知4，为锐角，tan 3，cos() (1)求cos2 的值;(2 )求tan()的值.线段MN 构成.已知圆 O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为 50米•现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚I 内的地块形状为矩形 ABCD,大棚H 内的地块形状为 △ CDP ,要求A,B 均在线段MN 上，C,D 均在圆弧上.设 OC 与MN 所成的角为 (1 )用分别表示矩形 ABCD 和厶CDP 的面积，并确定sin 的取值范围;(2)若大棚I 内种植甲种蔬菜，大棚□内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4 ：3 .求当为何值时，能使甲、乙两种\ ；/L 丿r; rP1蔬菜的年总产值最大. (第门3 46.【2018浙江卷18】已知角a 的顶点与原点 O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P( -，-―)5 55 (I)求 sin ( a +n)的值； (n)若角 B 满足 sin ( a + 3)=一，求 cos B 的值. 13 7.【2018上海卷18】设常数a R ，函数f(x ) asin2x 2 cos 2x (1 )若(力为偶函数，求a 的值；(2)若〔一〕1，求方程f(x ) 1 .2在区间［,］上的解. 4O 的一段圆弧 MPN ( P 为此圆弧的中点)和参考答案、选择题1.A2.A3.B4.C5.C6.A7.D彳3^312 n21门、填空题1.2.3. 34.—5. -6. 97.；22367 •解答题1.解：（ 1) 在 △ ABD中，由正弦定理得BD ABsin Asin ADB由题设知，5 22，所以 sin ADBsin 45sin ADB5/ 2-23 由题设知，ADB 90，所以 cos ADB,1 —■ 255所以BC 5.又由 bsi nA acos(B —)，得 a si nB acos(B -n ),6 6（2）由题设及（1）知, cos BDC sinADB 于在△ BCD 中，由余弦定理得BC 2 BD 2 DC 2BD DC cos BDC 258 2 5 2 3 辽 25.52•解：（1）在厶 ABC 中，••• 1cosB=—— 7n）sin B= 1 -------2、cos B4、3 7由正弦定理得—sin A sin B sin A77---- — 3 =4 3 , . sinA= . v B € 2，二 A €( 0, nn2），.上- (n )在厶 ABC 中，T sinC=sin (A+B ) =sinAcosB+sinBcosA=—324、3 3 - 3 714如图所示，在△ ABC 中, ■/ sinC=-^ , . h= BC sinC = 7BC1433 23•解：在厶ABC 中，由正弦定理—，可得 bsin A asin B , sinA sinB.AC 边上的高为&卫2即sin B cos(B n)，可得tan B . 3 .又因为B (0 , n，可得B=n•6 3在厶ABC中，由余弦定理及a=2, c=3, B=n，3解:有b2c2 2accosB 7,故b= 7 .由bsinAnacos(B n，可得sinA因为a<c,故cos A2——.因此sin2A 2sin Acos A.74、372cos2 A 2cos A所以，si n(2A B) sin 2 Acos B cos2 As in B7 33 144.解：(1)因为tan 4,tan3也，所以sincos4 cos3因为sin2 2cos 1，所以2cos9，因此,25cos2 小2 2cos725(2)因为为锐角，所以(0, n •又因为cos( 所以sin( 2、~5因止匕tan(因为tan 所以tan2 2ta n1 tan 2247因此，tan( )tan[2 ( )] tan 2 tan(1 + tan2 tan(2115•解：(1)连结PO并延长交MN 于H,贝U PH丄MN，所以OH=10.过O作OE丄BC于E,则OE// MN，所以/ COE= 0,故OE=40cos0, EC=40sin 0,则矩形ABCD的面积为2X40co0 (40sin 0+10) =800 (4sin 0cos 0+cos 0),、 1△ CDP 的面积为一x 2 x 40c0s(40 - 40sin) =1600 (cos0 - sincos 0).2过N作GN丄MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K,贝U GK=KN=10.1 n令/ GOK= 00，贝y sin 00= —, 00 €( 0,—).4 6当沃［如扌)时，才能作出满足条件的矩形所以si n0的取值范围是［^ , 1).4ABCD,答：矩形ABCD的面积为800 (4sin Qcos肝cos B)平方米，△ CDP的面积为1 1600 (cos0 - sir D cos B) , sin B 的取值范围是［—,1).4(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4 : 3,设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k (k>0),则年总产值为4k x 800( 4sin 0cos0+cos 0) +3k x 1600( cos 0 - sirficos 0)n、=8000k (sin0cos0+cos0) , 0€ [ 00,—) 2设 f (0) =sin0cos0+cos0, 0€ [ 00上)，，2则f'( ) cos2sin2 sin (2sin2 sin 1) (2sin 1)(sin 1).令f飞)=。

三角函数题目及答案

三角函数题目及答案三角函数11.在下列各组角中，终边不相同的一组是( )A ．60°与－300°B ．230°与950°C ．1050°与－300°D ．－1000°与80°2．给出下列命题，其中正确的是( ) (1)弧度角与实数之间建立了一一对应的关系(2)终边相同的角必相等 (3)锐角必是第一象限角(4)小于90°的角是锐角 (5)第二象限的角必大于第一象限角 A ．(1) B ．(1)(2)(5) C ．(3)(4)(5) D ．(1)(3) 3．一个半径为R 的扇形，它的周长为4R ，则这个扇形所含弓形的面积为( ) A.12(2－sin 1cos 1)R 2 B.12sin 1cos 1R 2 C.12R 2 D ．(1－sin 1cos 1)R 24．α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点且cos α＝24x ，则x 的值为( ) A. 3 B ．±3 C ．－ 3 D ．－ 2二、填空题6．填写下表：7.(2008年惠州调研)已知θ∈⎝⎭⎪⎪π2，π，sin θ＝35，则tan θ＝________.A.⎝⎛⎭⎪⎪⎫12，1 B.⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1，－12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，02．α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝( )A.15 B ．－15 C.513 D ．－5133．已知f (x )＝2cos π6x ，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2008)＝( )A ．0B ．2C ．2＋ 3 D ．3＋ 34．如果sin θ＝m,180°<θ<270°，那么tan θ＝( ) A.m －31－m2B ．－m1－m2C ．±m1－m2D ．－1－m 2m 二、填空题6．化简：1＋2sin 20°cos 160°sin 160°－1－sin 220°＝________. 7．已知sin(540°＋α)＝－45，则cos(α－270°)＝__________；若α为第二象限角，则[sin(180°－α)＋cos(α－360°)]2tan(180°＋α)＝________________.8．已知tan αtan α－1＝－1，则sin α－3cos αsin α＋cos α＝__________；sin2α＋sin αcos α＋2＝__________.三、解答题9．化简：sin(nπ＋α)cos(nπ－α)cos[(n＋1)π－α](n∈Z)．两角和与差、二倍角公式及简单的三角恒等变换一、选择题1.⎝⎛⎭⎪⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos π12＋sin π12＝( )A ．－32B ．－12 C.12D.322．已知sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝35，那么cos 2β的值为( )A.725B.1825 C ．－725 D ．－18253．(2009年上海预考)已知0<α<π，sin α＋cos α＝12，则cos 2α的值为( ) A.74 B ．－74 C ．±74 D ．－344．(2008年湖南卷)函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π4，π2上的最大值是( ) A ．1 B.1＋32 C.32D ．1＋ 35．若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1二、填空题6．(2009年淄博模拟)已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝________. 7．已知α，β均为锐角，且sin α－sin β＝－12，cosα－cos β＝13，则cos(α－β)＝______.8.(2009年青岛模拟)2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如右图)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于________．三、解答题9．已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋β＝45，cos ⎝⎛⎭⎫α－β＝－45，且32π<α＋β<2π，π2<α－β<π，分别求cos 2α和cos 2β的值．10．(2009年培正中学月考)设f(x)＝6cos2x－3sin 2x.(1)求f(x)的最大值及最小正周期；(2)若锐角α满足f(α)＝3－23，求tan 45α的值．三角函数的性质一、选择题1．(2008年广东卷)已知函数f(x)＝(1＋cos 2x)sin2x，x∈R，则f(x)是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π2的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为π2的偶函数2．函数f(x)＝sin x－3cos x(x∈[－π，0])的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π，－5π6 B.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－5π6，－π6 C.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π3，0 D.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π6，0 3．当x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π2，π2时，函数f (x )＝sin x ＋3cos x 的值域是( )A ．[－1, 1] B.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12，1C ．[－2, 2]D ．[－1, 2]4．已知－π6≤x <π3，cos x ＝m －1m ＋1，则m 的取值范围是( )A ．m ＜－1B ．3<m ≤7＋43C ．m ＞3D ．3<m <7＋43或m ＜－15．(2009年全国卷Ⅰ)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4π3，0中心对称，那么⎪⎪⎪⎪φ的最小值为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2二、填空题6．(2008年广东卷)已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin x ，x ∈R ，则f (x )的最小正周期是________．7．下面有5个命题：①函数y ＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π.②终边在y 轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪⎪α＝k π2，k ∈Z . ③在同一坐标系中，函数y ＝sin x 的图象和函数y ＝x 的图象有3个公共点．④把函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π6得到y ＝3sin 2x 的图象．⑤函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π2在[0，π]上是减函数．其中，真命题的编号是______．(写出所有真命题的编号)8．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2x ＋π3的递减区间是________；函数y ＝lg cos x 的递减区间是________．三、解答题 9．求函数y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4x 的最小正周期和最小值；并写出该函数在[0，π]上的单调递增区间．10．是否存在实数a ，使得函数y ＝sin 2x ＋a ·cos x＋58a －32在闭区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值；若不存在，试说明理由．三角函数的图象及其变换一、选择题1．(2010年全国卷Ⅰ)为得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π6个长度单位 B ．向右平移π6个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位 D ．向右平移5π6个长度单位 2.(2009年厦门模拟)函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如右图所示，则( )A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π4，φ＝5π43．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π2，π的简图是( )4．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝⎛⎭⎪⎪⎫其中ω>0，⎪⎪⎪⎪φ<π2的最小正周期是π，且f (0)＝3，则( )A ．ω＝12，φ＝π6B ．ω＝12，φ＝π3C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝π35.如右图所示是函数y ＝2sin(ωx＋φ)⎝⎛⎭⎪⎪⎫|φ|≤π2ω＞0的一段图象，则ω、φ的值是( )A ．ω＝1011，φ＝π6B ．ω＝1011，φ＝－π6C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝－π6二、填空题6．将函数y ＝f (x )·sin x (x ∈R)的图象向右平移π4个单位后，再作关于x 轴的对称变换，得到函数y ＝1－2sin 2x 的图象，则f (x )可以是__________．7．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3的图象为C ，如下结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①图象C 关于直线x ＝1112π对称；②图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2π3，0对称； ③函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π12，5π12内是增函数；④由y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C .8．设函数f (x )的图象与直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f (x )在[a ，b ]上的面积，已知函数y ＝sin nx 在0，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤πn 上的面积为2n (n ∈N *)，则y ＝sin 3x在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，2π3上的面积为________.三、解答题9．(2010年广东卷)已知函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A >0,0<φ<π)(x ∈R)的最大值是1，其图象经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3，12. (1)求f (x )的解析式；(2)已知α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，且f (α)＝35，f (β)＝1213，求f (α－β)的值．10．(2010年山东卷)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)，(0<φ<π，ω>0)为偶函数，且函数y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π8的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的解析式及其单调递减区间．正、余弦定理及应用一、选择题1．(2009年德州模拟)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B ＝( ) A.14 B.34 C.24D.232．用长度分别为2、3、4、5、6(单位：cm)的5根细木棒围成一个三角形(允许连接，但不允许折断)，能够得到的三角形的最大面积为( )A ．85 cm 2B ．610 cm 2C ．355 cm 2D ．20 cm 23．(2009年成都模拟)设a 、b 、c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边，则a 2＝b ⎝⎛⎭⎫b ＋c 是A ＝2B 的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而充分条件 D ．既不充分又不必要条件4.如右图所示，在山脚A 处测得该山峰仰角为θ，对着山峰在平坦地面上前进600 m 后测得仰角为原来的2倍，继续在平坦地面上前进200 3 m 后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度为( )A ．200 mB ．300 mC ．400 mD ．100 3 m5．甲船在岛B 的正南方A 处，AB ＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是( )A.1507分钟B.157分钟 C ．21.5分钟D．2.15分钟二、填空题6．(2008年山东卷)已知a、b、c分别为△ABC的三个内角A、B、C的对边，向量m＝(3，－1)，n＝(cos A，sin A)．若m⊥n，且a cos B＋b cos A＝c sin C，则角B＝________.7．在△ABC中，已知角A、B、C成等差数列，边a、b、c成等比数列，且边b＝4，则S△ABC＝________.8．如右图所示，为测量河对岸A、B两点的距离，在河的这边取C、D两点观察．测得CD＝ 3 km，∠ADB＝45°，∠ADC＝30°，∠ACB＝75°，∠DCB＝45°，(A、B、C、D在同一平面内)，则A、B两点间的距离为________．三、解答题9.(2009年银川模拟)如右图所示，在△ABC中，AC＝2，BC＝1，cos C＝3 4.(1)求AB的值；(2)求sin⎝⎛⎭⎫2A＋C 的值．10．(2008年全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos B＝－5 13，cos C＝45.(1)求sin A的值；(2)设△ABC的面积S△ABC＝332，求BC的长．角的概念和任意角的三角函数参考答案1．C 2.D 3.D4．解析：∵cos α＝xr＝xx2＋5＝24x，∴x＝0(舍去)或x＝3(舍去)或x＝－ 3. 答案：C5．C 6.略7．－348．{1，－3}9．解析：设扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l ，周长为C ，则S ＝12lr ，∴r ＝2S l ，∴C ＝l ＋2r ＝l ＋4S l ≥4S ，又∵0<l <2πr ＝4πSl ，∴l <2πS .当且仅当l ＝4Sl ，即l ＝2S <2πS 时等号成立． ∴当l ＝2S 时，周长有最小值4S ，此时，α＝l r ＝l ×l 2S ＝(2S )22S ＝2(rad)．10．解析：因为x ＝3r ，y ＝－4r ，所以|OP |＝x 2＋y 2＝5|r |.(1) 当r >0时，则|OP |＝5r ，sin α＝－45， cos α＝35， tan α＝－43. (2) 当r <0时，则|OP |＝－5r ，sin α＝45， cos α＝－35， tan α＝－43.同角三角函数的基本关系及诱导公式参考答案 1．D2．解析：α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝－11＋cot 2α＝－513. 答案：D 3．C 4.B 5.D 6.－1 7．－45 －31008．－53 1359．解析：①当n ＝2k (k ∈Z)时，原式＝sin αcos α－cos α＝－sin α；②当n ＝2k －1(k ∈Z)时，原式＝(－sin α)(－cos α)cos α＝sin α.10．解析：由sin ⎝⎛⎭⎫3π＋θ＝lg1310，有－sin θ＝lg 10－13＝－13，⇒sin θ＝13. cos ⎝⎛⎭⎫π＋θcos θ⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫π－θ－1＋cos ⎝⎛⎭⎫θ－2πsin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ－3π2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π－sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫3π2＋θ＝－cos θcos θ⎝⎛⎭⎫－cos θ－1＋cos θcos θ⎝⎛⎭⎫－cos θ＋cos θ＝1cos θ＋1＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝2×9＝18.两角和与差、二倍角公式及简单的三角恒等变换参考答案1．D 2.A 3.B 4.C5．解析：∵α为第三象限角，∴sin α<0，cos α<0，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝－1－2＝－3. 答案：B6．－5665 7.59728．解析：图中小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，∴ 每一个直角三角形的面积是6，设直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，则⎩⎨⎧a 2＋b 2＝2512ab ＝6 ， ∴ 两条直角边的长分别为3,4，直角三角形中较小的锐角为θ，cos θ＝45，cos 2θ＝2cos 2θ－1＝725. 答案：7259．解析：∵3π2<α＋β<2π，π2<α－β<π，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋β＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋β＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫α－β＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β＝35，所以cos 2α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋β＋⎝⎛⎭⎫α－β＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋βcos ⎝⎛⎭⎫α－β－sin ⎝⎛⎭⎫α＋βsin ⎝⎛⎭⎫α－β ＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－45－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－35×35＝－725； cos 2β＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋β－⎝⎛⎭⎫α－β＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋βcos ⎝⎛⎭⎫α－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋βsin ⎝⎛⎭⎫α－β＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－45＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－35×35＝－1. 10．解析：(1)f (x )＝61＋cos 2x 2－3sin 2x＝3cos 2x －3sin 2x ＋3＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 2x －12sin 2x ＋3＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6＋3.故f (x )的最大值为23＋3；最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由f (α)＝3－23，得23cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2α＋π6＋3＝3－23，故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2α＋π6＝－1.又由0<α<π2得π6<2α＋π6<π＋π6，故2α＋π6＝π，解得α＝512π. 从而tan 45α＝tan π3＝ 3.三角函数的性质参考答案1． D 解析：f (x )＝(1＋cos 2x )sin 2x ＝2cos 2x sin 2x ＝12sin 22x ＝1－cos 4x 4.2．：D 解析：f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π3，因x －π3∈ ⎣⎢⎢⎡－43π，⎦⎥⎥⎤－π3故x －π3∈ ⎣⎢⎢⎡ －12 π，⎦⎥⎥⎤－π3，则x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－16π，0. 3．D 4.B5．答案：A 解析：∵函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎪⎫4π3，0中心对称．∴2·4π3＋φ＝k π＋π2∴φ＝k π－13π6(k ∈Z)，由此易得|φ|min ＝π6.故选A.6．π 解析：f (x )＝sin 2x －sin x cos x ＝1－cos 2x2－12sin 2x ，此时可得函数的最小正周期T ＝2π2＝π. 7．答案：①④ 解析：①y ＝sin 4x －cos 4x ＝sin 2x －cos 2x ＝－cos 2x ，正确；②错误；③y ＝sin x ，y ＝x 在第一象限无交点，错误；④正确；⑤错误．8.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z) ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫2k π，2k π＋π2(k ∈Z)9．解析：y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4x＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 2x －cos 2x )＋3sin2x＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6，故该函数的最小正周期是π；最小值是－2；单调递增区间是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π3，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5π6，π. 10．解析：y ＝1－cos 2x ＋a cos x ＋58a －32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos x －a 22＋a 24＋58a －12.当0≤x ≤π2时，0≤cos x ≤1.若a2>1时，即a >2，则当cos x ＝1时， y max ＝a ＋58a －32＝1⇒a ＝2013<2(舍去)，若0≤a 2≤1，即0≤a ≤2，则当cos x ＝a2时，y max ＝a 24＋58a －12＝1⇒a ＝32或a ＝－4<0(舍去)．若a2<0，即a <0，则当cos x ＝0时， y max ＝58a －12＝1⇒a ＝125>0(舍去)．综合上述知，存在a ＝32符合题设．三角函数的图象及其变换参考答案1．C 解析：∵y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋x ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋5π6，∴可由y ＝sin x 向左平移5π6得到．2．C 3．A 解析：f (π)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2π－π3＝－32，排除B 、D ，f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2×π6－π3＝0，排除C.也可由五点法作图验证．4．D 解析：由T ＝2πω＝π，∴ω＝2.由f (0)＝3⇒2sin φ＝3，∴sin φ＝32.∵⎪⎪⎪⎪φ<π2，∴φ＝π3.故选D.5．C 6.f (x )＝2cos x7．①②③ 解析：函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3的图象为C ，①图象C 关于直线2x －π3＝k π＋π2对称，当k＝1时，图象C 关于x ＝1112π对称，①正确；②图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k π2＋π6，0对称，当k ＝1时，恰好关于点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2π3，0对称，②正确；③x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π12，5π12时，2x －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2，∴ 函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π12，5π12内是增函数，③正确；④由y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －2π3，得不到图象C .④不正确．所以应填①②③. 8.439．解析：(1)依题意有A ＝1，则f (x )＝sin(x ＋φ)，将点M ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π3，12代入得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3＋φ＝12，而0<φ<π，∴π3＋φ＝56π，∴φ＝π2，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π2＝cos x ； (2)依题意有cos α＝35，cos β＝1213，而α、β∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2， ∴sin α＝1－(35)2＝45，sin β＝1－(1213)2＝513，f (α－β)＝cos(α－β)＝cos αcos β＋sinαsin β＝35×1213＋45×513＝5665.10．解析：(1)f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤32sin (ωx ＋φ)－12cos (ωx ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋φ－π6.因为f (x )为偶函数，所以对x ∈R ，f (－x )＝f (x )恒成立，因此sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－ωx ＋φ－π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋φ－π6. 即－sin ωx cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫φ－π6＋cos ωx sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫φ－π6＝sin ωx cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫φ－π6＋cos ωx sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫φ－π6，整理得sin ωx cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫φ－π6＝0.因为ω>0，且x ∈R ，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫φ－π6＝0.又因为0<φ<π，故φ－π6＝π2.所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋π2＝2cos ωx . 由题意得2πω＝2·π2，所以ω＝2.故f (x )＝2cos 2x .因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π8＝2cos π4＝ 2.(2)将f (x )的图象向右平移π6个单位后，得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π6的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 4－π6的图象．所以g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 4－π6＝2cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 4－π6 ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－π3. 当2k π≤x 2－π3≤2k π＋π(k ∈Z)，即4k π＋2π3≤x ≤4k π＋8π3(k ∈Z)时，g (x )单调递减，因此g (x )的单调递减区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4k π＋2π3，4k π＋8π3(k ∈Z)．正、余弦定理及应用参考答案1．B 解析：△ABC 中，a 、b 、c 成等比数列，且c ＝2a ，则b ＝2a ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34. 2．B 解析：用2、5连接，3、4连接各为一边，第三边长为6组成三角形，此三角形面积最大，面积为610cm 2.3．A 解析：设a 、b 、c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边，若a 2＝b ⎝⎛⎭⎫b ＋c ，则sin 2A ＝sin B (sin B ＋sin C )，则1－cos 2A 2＝1－cos 2B2＋sin B sin C ，∴12(cos 2B －cos 2A )＝sin B sin C ， sin(B ＋A )sin(A －B )＝sin B sin C ，又sin(A ＋B )＝sin C ，∴ sin(A －B )＝sin B ， ∴A －B ＝B ，A ＝2B ，若△ABC 中，A ＝2B ，由上可知，每一步都可以逆推回去，得到a 2＝b ⎝⎛⎭⎫b ＋c ，所以a 2＝b ⎝⎛⎭⎫b ＋c 是A ＝2B 的充要条件．4．B 解析：由条件可得cos(π－4θ)＝(2003)2×2－60022×(2003)2＝－12， ∴sin 4θ＝32，∴山峰的高度为2003×32＝300(m)．5．A 解析：t 小时后，甲乙两船的距离为s 2＝(6t )2＋(10－4t )2－2×6t ×(10－4t )cos 120°＝28t 2－20t ＋100.∴当t ＝202×28＝514小时＝514×60分钟＝1507分钟时，甲乙两船的距离最近．6．π6 解析：m ⊥n ⇒3cos A －sin A ＝0⇒A ＝π3，由正弦定理得，sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin C sin C ，sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin(A ＋B )＝sin C ＝sin 2C⇒C ＝π2.∴B ＝π6.7．43 解析：由A 、B 、C 成等差数列，得2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，得B ＝π3，由a 、b 、c 成等比数列，得b 2＝ac ，∴ac ＝16，∴S △ABC ＝12ac sin B＝4 3.8．5 解析：∵∠ACD ＝∠ACB ＋∠BCD ＝120°，∠CDA ＝30°，∴∠DAC ＝30°⇒AC ＝DC ＝ 3.在△BCD 中，∠DBC ＝180°－75°－45°＝60°，∴BC＝DC·sin 75°sin 60°＝6＋22，在△ABC中，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 75°＝5⇒AB＝ 5 km.9．解析：(1)由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝4＋1－2×2×1×34＝2.那么，AB＝ 2.(2)由cos C＝34，且0<C<π，得sin C＝1－cos2C＝74.由正弦定理，ABsin C＝BCsin A，解得sin A＝BC sin CAB＝148. 所以，cos A＝528.由倍角公式sin 2A＝2sin A·cos A＝5716，且cos 2A＝1－2sin2A＝916，故sin⎝⎛⎭⎫2A＋C＝sin 2A cos C＋cos 2A sin C＝378.10．解析：(1)由cos B＝－513，得sin B＝1213，由cos C＝45，得sin C＝35.所以sin A＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C＝33 65.(2)由S△ABC＝332得12×AB×AC×sin A＝332，由(1)知sin A＝3365，故AB×AC＝65，又AC＝AB×sin Bsin C＝2013AB，故2013AB2＝65，AB＝132.所以BC＝AB×sin Asin C＝112.。

三角函数计算题100道

三角函数计算题100道为了简洁起见，我将为您提供100道三角函数计算题的答案，并附上简要的解释。

1. sin(0) = 0正弦函数在角度为0度时的值等于0。

2. cos(0) = 1余弦函数在角度为0度时的值等于13. tan(45) = 1正切函数在角度为45度时的值等于14. csc(30) = 2余切函数在角度为30度时的值等于25. sec(60) = 2正割函数在角度为60度时的值等于26. cot(60) = 1/√3余割函数在角度为60度时的值等于1/√3，其中√3表示根号下37. sin(90) = 1正弦函数在角度为90度时的值等于18. cos(90) = 0余弦函数在角度为90度时的值等于0。

9. tan(0) = 0正切函数在角度为0度时的值等于0。

10. csc(0) = 未定义余切函数在角度为0度时的值未定义。

11. sec(30) = 2/√3正割函数在角度为30度时的值等于2/√3 12. cot(45) = 1余割函数在角度为45度时的值等于1 13. sin(60) = √3/2正弦函数在角度为60度时的值等于√3/2 14. cos(45) = √2/2余弦函数在角度为45度时的值等于√2/2 15. tan(30) = √3/3正切函数在角度为30度时的值等于√3/3 16. csc(45) = √2余切函数在角度为45度时的值等于√2 17. sec(60) = 2正割函数在角度为60度时的值等于2 18. cot(90) = 0余割函数在角度为90度时的值等于0。

19. sin(180) = 0正弦函数在角度为180度时的值等于0。

20. cos(180) = -1余弦函数在角度为180度时的值等于-1 21. tan(120) = √3正切函数在角度为120度时的值等于√3 22. csc(150) = -2余切函数在角度为150度时的值等于-2 23. sec(240) = -2正割函数在角度为240度时的值等于-2 24. cot(270) = 0余割函数在角度为270度时的值等于0。

考点18 函数y=Asin(ωx φ)的图象与性质

考点十八函数y =A sin(ωx +φ)的图象和性质知识梳理1．五点法作y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图用“五点法”作图，就是令ωx ＋φ取下列5个特殊值：0, π2, π, 3π2, 2π，通过列表，计算五点的坐标，描点得到图象 2．三角函数图象变换3．函数y =A sin(ωx +φ)的几个概念若函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A ＞0，ω＞0，x ∈(－∞，＋∞))表示一个振动量时，则A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．典例剖析题型一三角函数的图象变换例1 (2015山东文)要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象________．(填序号)① 向左平移π12个单位 ②向右平移π12个单位 ③向左平移π3个单位 ④向右平移π3个单位答案 ②解析 ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x －π12， ∴要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位．变式训练把函数y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为________．答案 x ＝－π2解析将y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin(2x＋π6)；再将图象向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin[2(x －π3)＋π6]＝sin(2x －π2)，故x ＝－π2是其图象的一条对称轴方程．解题要点图象平移时要注意平移量的求解，由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，两种变换区别在于：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值．题型二三角函数的五点法作图例2 设函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 (1)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(2)说明函数f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到的．解析 (1) 列表，描点画出图象：(2) 方法一把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，最后把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象．方法二将y ＝sin x 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝sin2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象；再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象．解题要点 (1)五点法作简图：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．题型三由图象求y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例3 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，－π2<φ<π2，x ∈R 的部分图象如图所示． (1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π，－π6时，求f (x )的取值范围．解析 (1)由题中图象得A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，所以T ＝2π，则ω＝1.将点⎝⎛⎭⎫π6，1代入得sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝1，又－π2<φ<π2，所以φ＝π3，因此函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. (2)由于－π≤x ≤－π6，－2π3≤x ＋π3≤π6，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤12，所以f (x )的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12. 解题要点确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的步骤和方法 (1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2；(2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT ；(3)求φ：常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下： “第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2；“第五点”时ωx ＋φ＝2π.题型四函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称性、周期性、奇偶性例4 函数f (x )＝cos(2x －π6)的最小正周期是________．答案 π解析最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π.变式训练已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2(x ∈R )，下面结论错误的是________．(填序号) ① 函数f (x )的最小正周期为π ② 函数f (x )是偶函数③ 函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称④ 函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数答案 ③解析 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2＝－cos 2x ，故其最小正周期为π，故①正确；易知函数f (x )是偶函数，②正确；由函数f (x )＝－cos 2x 的图象可知，函数f (x )的图象不关于直线x ＝π4对称，③错误；由函数f (x )的图象易知，函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，④正确，故选③. 解题要点 1.三角函数的奇偶性的判断技巧：首先要知道基本三角函数的奇偶性，再根据题目去判断所求三角函数的奇偶性；也可以根据图象做判断．2.求三角函数周期的方法： ①利用周期函数的定义．②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.③利用图象． 3.三角函数的对称性：正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形，正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．另外函数y ＝A sin(ωx ＋φ)、余弦函数y ＝A cos(ωx ＋φ)在对称轴处必取极值±A ，在对称轴处必取0，借助这一性质可快速解题．当堂练习1．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是________．答案 2，－π3解析由图象可得，3T 4＝5π12－⎝⎛⎭⎫－π3＝3π4， ∴T ＝π，则ω＝2ππ＝2，再将点⎝⎛⎭⎫5π12，2代入f (x )＝2sin(2x ＋φ)中得，sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋φ＝1，令5π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得，φ＝2k π－π3，k ∈Z ，又∵φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则取k ＝0，∴φ＝－π3. 2．(2014·辽宁卷) 将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数________．(填序号)①在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减 ②在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增③在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减 ④在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增答案 ②解析由题可知，将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的图象，令－π2＋2k π≤2x －23π≤π2＋2k π，k ∈Z ，即π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z 时，函数单调递增，即函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，可知当k ＝0时，函数在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增．3. (2014·四川卷)为了得到函数y ＝sin (2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点________．(填序号)①向左平行移动12个单位长度 ②向右平行移动12个单位长度③向左平行移动1个单位长度 ④向右平行移动1个单位长度答案 ①解析因为y ＝sin(2x ＋1)＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋12，所以为得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需要将y ＝sin 2x 的图象向左平行移动12个单位长度．4．(2014·安徽卷)若将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________．答案3π8解析将f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2φ的图象，由该函数的图象关于y 轴对称，可知sin ⎝⎛⎭⎫π4－2φ＝±1，即sin ⎝⎛⎭⎫2φ－π4＝±1，故2φ－π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π2＋3π8，k ∈Z ，所以当φ>0时，φmin ＝3π8.5．(2015新课标Ⅰ文)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为________．答案 ⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析由已知图象可求得ω与φ的值，然后利用余弦函数的单调区间求解．由图象知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎫54－14＝2， ∴2πω＝2，∴ω＝π. 由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4. 由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z . 课后作业一、填空题1．将函数f (x )＝sin 2x 的图象向左平移π12个单位，得到函数g (x )＝sin(2x ＋φ)0＜φ＜π2的图象，则φ等于________. 答案 π6解析由题意g (x )＝sin 2(x ＋π12)＝sin(2x ＋π6)，又g (x )＝sin(2x ＋φ)，0＜φ＜π2，∴φ＝π6.2．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为________. 答案 π4解析由函数横向平移规律“左加右减”则y ＝sin(2x ＋φ)向左平移π8个单位得y ＝sin(2x ＋π4＋φ).由y ＝sin(2x ＋π4＋φ)为偶函数得π4＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，则φ＝π4＋k π，k ∈Z ，则φ的一个可能值为π4.3．下列函数中，周期为π，且在[π4，π2]上为减函数的是________.①y ＝sin(2x ＋π2) ②y ＝cos(2x ＋π2) ③y ＝sin(x ＋π2) ④y ＝cos(x ＋π2)答案 ①解析对于选项①，注意到y ＝sin(2x ＋π2)＝cos2x 的周期为π，且在[π4，π2]上是减函数，故选①.4．函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向左平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式应为________. 答案－sin x解析由图象的平移得g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－sin x . 5．已知函数y ＝cos(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则________.① ω＝1，φ＝2π3② ω＝1，φ＝－2π3③ ω＝2，φ＝2π3④ ω＝2，φ＝－2π3答案 ④解析由题图可知14T ＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π，又T ＝2πω，∴ω＝2，又f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π3，1，∴cos ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝1，∴2π3＋φ＝2k π，令k ＝0，得φ＝－23π. 6．要得到函数y ＝sin(x －π6)的图象可将函数y ＝sin(x ＋π6)的图象上的所有点________.答案向右平移π3个长度单位解析由y ＝sin[(x －π3)＋π6]＝sin(x －π6)知应向右平移π3个长度单位.7．(2015陕西理)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________.答案 8解析由图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5. ∴y max ＝k ＋3＝8.8．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是________. 答案 2解析 ∵y ＝sin ω(x －π4)过点(34π，0)，∴sin π2ω＝0，∴π2ω＝k π，ω＝2k ，当k ＝1时，ω最小值为2.9．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则f (x )＝________.答案 2sin(π8x ＋π4)解析依题意得，A ＝2，2πω＝2×(6＋2)＝16，ω＝π8， sin(π8×2＋φ)＝1，又|φ|<π2，因此φ＝π4，f (x )＝2sin(π8x ＋π4)． 10．设y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，φ＜(－π2，π2))的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论中：①图象关于点(π4，0)对称； ②图象关于点(π3，0)对称；③在[0，π6]上是增函数； ④在[－π6，0]上是增函数．正确结论的编号为________．答案 ②④解析 ∵T ＝π，∴ω＝2，∴y ＝sin(2x ＋φ)，∵图象关于直线x ＝π12对称，∴π6＋φ＝π2＋k π，(k ∈Z )，∴φ＝π3＋k π(k ∈Z )，又∵φ∈(－π2，π2)，∴φ＝π3. ∴y ＝sin(2x ＋π3).当x ＝π4时，y ＝sin(π2＋π3)＝12，故①不正确．当x ＝π3时，y ＝0，故②正确；当x ∈[0，π6]时，2x ＋π3∈[π3，2π3]，y ＝sin(2x ＋π3)不是增函数，即③不正确；当x ∈[－π6，0]时，2x ＋π3∈[0，π3]⊆[0，π2]，故④正确．11． (2015湖南文)已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________. 答案 π2解析由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2sin ωx ，y ＝2cos ωx得sin ωx ＝cos ωx ，∴tan ωx ＝1，ωx ＝k π＋π4 (k ∈Z )．∵ω>0，∴x ＝k πω＋π4ω(k ∈Z )．设距离最短的两个交点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，不妨取x 1＝π4ω，x 2＝5π4ω，则|x 2－x 1|＝⎪⎪⎪⎪5π4ω－π4ω＝πω.又结合图形知|y 2－y 1|＝⎪⎪⎪⎪2×⎝⎛⎭⎫－22－2×22＝22，且(x 1，y 1)与(x 2，y 2)间的距离为23， ∴(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(23)2， ∴⎝⎛⎭⎫πω2＋(22)2＝12，∴ω＝π2. 二、解答题12．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1. (1)求它的振幅、最小正周期、初相； (2)画出函数y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的图象．解析 (1)振幅为2，最小正周期T ＝π，初相为－π4.(2)图象如图所示．13．(2015湖北文)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1) f (x )的解析式； (2) 将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．解析 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，因此g (x )＝5sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋π6＝k π，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z .即y ＝g (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，0，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π12，0.。

2018三角函数专题(理科)(2018高考真题)

2018三角函数专题（理）1.已知集合22{(,)|3,,}A x y x y x y =+∈∈Z Z ≤，则A 中元素的个数为( ) A ．9 B ．8 C ．5 D ．42.已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b ( ) A ．4B ．3C ．2D ．03.在ABC △中，cos 2C =1BC =，5AC =，则AB =( ) A．BCD．4.若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是( ) A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π5.若，则( ) A ．B ．C ．D ． 6.的内角的对边分别为，，，若的面积为，则( ) A ．B ．C ．D ．7.在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =（） A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +8.设R x ∈，则“11||22x -<”是“31x <”的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不重复条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9.已知a ∈R ，则“1a >”是“11a<”的（） A. 充分非必要条件 B.必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件1sin 3α=cos 2α=897979-89-ABC △A B C ，，a b c ABC △2224a b c +-C =π2π3π4π610．已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A. a b c >> B. b a c >> C. c b a >> D. c a b >> 11．将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数（） A. 在区间35[,]44ππ上单调递增 B. 在区间3[,]4ππ上单调递减 C. 在区间53[,]42ππ上单调递增 D. 在区间3[,2]2ππ上单调递减 12．如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则的最小值为（） A.2116 B. 32 C. 2516D. 313.设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件14．在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为（） A. 1B. 2C. 3D. 415．设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤则（） A. 对任意实数a ，(2,1)A ∈B. 对任意实数a ，（2，1）A ∉C. 当且仅当a <0时，（2，1）A ∉D. 当且仅当32a ≤时，（2，1）A ∉ 16．已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是()π3A−1B+1C．2D．217.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a ，b =2，A =60°，则sin B =___________，c =___________．18.已知向量，，．若，则________．19.在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -，(2,0)B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF =，则AE BF ∙的最小值为_________.20.设函数f （x ）=πcos()(0)6x ωω->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．21.若x ，y 满足x +1≤y ≤2x ，则2y –x 的最小值是__________． 22.已知函数)22)(2sin(πϕπϕ<<-+=x y 的图象关于直线3π=x 对称，则ϕ的值是______23.在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：x y 2=上在第一象限内的点，B (5，0)，以AB 为直径的圆C 与l 交于另一点D ，若0=⋅，则点A 的横坐标为_______24.在ABC ∆中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，︒=∠120ABC ，ABC ∠的平分线交AC 与点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为_______25.已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是________．26.已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________．27．已知圆2220x y x +-=的圆心为C ，直线1,23⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y (t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC ∆的面积为 . 28.已知,R a b ∈，且360a b -+=，则128ab+的最小值为 . ()=1,2a ()=2,2-b ()=1,λc ()2∥c a +b λ=29.在平面四边形ABCD 中，90ADC =︒∠，45A =︒∠，2AB =，5BD =． ⑴求cos ADB ∠；⑵若DC =，求BC ．30.在△ABC 中，a =7，b =8，cos B =–17．（Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．31.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos()6b A a B π=-.（I ）求角B 的大小；（II ）设a =2，c =3，求b 和sin(2)A B -的值.32.已知βα,为锐角，34tan =α，55)cos(-=+βα， (1)求α2cos 的值； (2)求)tan(βα-的值．33.已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （）．（Ⅰ）求sin （α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=，求cos β的值．34.设常数a ∈R ，函数2()sin 22cos f x a x x =+。

2021年高考数学考点18三角函数的图像与性质必刷题理含解析

考点18 三角函数的图像与性质1．已知函数，则下列结论错误的是A．的最小正周期为B．的图象关于直线对称C．的一个零点为D．在区间上单调递减【答案】B2．已知函数的最大值为，其图象相邻两条对称轴之间的距离为且的图象关于点对称，则下列判断正确的是（）A．要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位B．函数的图象关于直线对称C．当时，函数的最小值为D．函数在上单调递增【答案】A3．函数的最大值为，A． B． C． D．【答案】A4．函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意可得函数的周期为2（﹣）=2，∴=2，解得ω=π，∴f（x）=cos（πx+φ），再根据函数的图象以及五点法作图，可得+φ=，解得φ=，f（x）=cos（πx+），令2kπ≤πx+≤2kπ+π，可解得2k﹣≤x≤2k+，∴f（x）的单调递减区间为：[2k﹣，2k+]，k∈Z故答案为：D.5．若（）的最小正周期为，，则（）A．在单调递增 B．在单调递减C．在单调递增 D．在单调递减【答案】D6．已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为A． B． C． D．【答案】B【解析】7．已知函数，给出下列四个结论：（）①函数的最小正周期是；②函数在区间上是减函数；③函数图像关于对称；④函数的图像可由函数的图像向右平移个单位，再向下平移1个单位得到．其中正确结论的个数是A． 1 B． 2 C． 3 D． 4【答案】B【解析】函数的最小正周期，故①正确令8．已知函数的部分图象如图所示，如果，且，则 ( )A． B． C． D． 1【答案】B【解析】由图知，T=2×=π，∴ω=2，因为函数的图象经过（﹣），0=sin（﹣+ϕ）∵，所以ϕ=，∴，，所以．故选：B．9．已知函数，若，则的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】B10．已知函数f(x)= lnx-x，若在△ABC中，角C是钝角，则( )A． f(sinA)>f(cosB) B． f(sin A)<f(cosB) C． f(sinA)<f(sinB) D． f(sinA)<f(sinB) 【答案】B【解析】由题意，函数，则，当时，，所以函数为单调递增函数，当时，，所以函数为单调递减函数，又由中，角C为钝角，所以，即，则，且，所以，故选B.11．已知f(x)= 2sinx-cosx，f(x)的最大值为f(θ)，则cosθ=( )A． B． C． D．【答案】C12．函数在上的单调递减区间为________．【答案】【解析】由题得，由，得，令得，因为，所以函数的单调减区间为．故答案为：.13．已知函数（0≤x≤），若函数的所有零点依次记为，则 =_____.【答案】14．函数的图像向左平移个单位长度，得到偶函数的图像，则的最大值为_________．【答案】【解析】图象向左平移得到f（x+）=sin（2x++φ），∴g（x）=sin（2x++φ），∵g（x）为偶函数，因此+φ=kπ+，又φ＜0，故φ的最大值为．故答案为：.15．函数的最大值是______．【答案】516．函数，的单调递减区间为__________．【答案】【解析】∵，∴，令，则，∵正弦函数在上单调递增，∴由得：．∴函数在的单调递增区间为．17．设函数的最小正周期为，且满足，则函数的单调增区间为______________．【答案】18．已知非零实数满足等式，则＝___________. 【答案】±【解析】16θ+=16sinπθcosπθ⇒16θ+=8sin2πθ⇒sin2πθ=2θ+⇒|2θ|+||≥2=1⇒sin2πθ=±1⇒θ=±．故答案为：±．19．已知函数的最小正周期为．（1）求的值；（2）求函数在区间上的取值范围．【答案】（1）1；（2）.20．已知＝(2asin2x，a)，＝(－1,2 sinxcosx＋1)，O为坐标原点，a≠0，设f(x)＝＋b，b>a. (1)若a>0，写出函数y＝f(x)的单调递增区间；(2)若函数y＝f(x)的定义域为[，π]，值域为[2,5]，求实数a与b的值．【答案】（1）；（2）或.21．已知向量，，，设．（1）求函数的解析式及单调递增区间；（2）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且，，，求的面积．【答案】（1），；（2）【解析】（1）解：．，．得，．所以函数的单调递增区间为，．（2）解：∵，∴．∵，∴，∴，即．由余弦定理得：，∴，∴．∴．22．已知函数的图像与x轴的相铃两个交点的距离为.（1）求的值；（2）设函数，求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）；（2）在区间上的最大值为1，最小值为。

三角函数解答题精选16道-带答案!!!

（2）令，得，，
设，，
易知，
所以，当时，在区间上单调递增；在区间上单调递减.
点睛：本题考查二倍角公式、两角和公式、辅助角公式、三角函数的图象和性质等知识，意在考查学生的转化能力和基本计算能力.
4．（1），；（2）
【解析】分析：第一问需要应用诱导公式、倍角公式以及辅助角公式化简函数解析式，之后结合正弦函数的单调区间求解即可，第二问利用题中的条件，求得，根据题中所给的自变量的取值范围，求得整体角的范围，利用平方关系，结合角的范围，求得，之后将角进行配凑，利用和角公式求得结果.
3．（1）最小正周期，对称轴方程为，；（2）在区间上单调递增；在区间上单调递减.
【解析】分析：（1）利用二倍角公式、两角和的余弦公式化简函数表达式，再利用周期公式和整体思想进行求解；（2）利用整体思想和三角函数的单调性进行求解.
详解：（1），
因为，所以最小正周期，
令，所以对称轴方程为， .
∴f（x）=﹣ sin（2x+ ）+6sinxcosx﹣2cos2x+1=﹣sin2x﹣cos2x+3sin2x﹣（1+cos2x）+1
=2sin2x﹣2cos2x=2 sin（2x﹣ ）
因此，f（x）的最小正周期T= =π；
（2）∵0≤x≤ ，∴﹣ ≤2x﹣ ≤
∴当x=0时，sin（2x﹣ ）取得最小值﹣ ；当x= 时，sin（2x﹣ ）取得最大值1
【解析】分析：（1直接利用二倍角公式变形，再由辅助角公式化积即可求函数的最小正周期；
（II）结合已知条件求出，进而可求出函数在区间上的最大最小值及相应的值．
详解：
（1）
所以的最小正周期是

2018年全国各地高考数学试题及解答分类大全(三角函数三角恒等变换)

2018年全国各地高考数学试题及解答分类大全（三角函数三角恒等变换）一、选择题1．（2018北京文）在平面坐标系中，AB ，CD ，EF ，GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是（） A ．AB B ．CD C ．EF D ．GH 1．【答案】C【解析】由下图可得，有向线段OM 为余弦线，有向线段MP 为正弦线，有向线段AT 为正切线．2．（2018天津文）将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数（）（A ）在区间[,]44ππ- 上单调递增（B ）在区间[,0]4π上单调递减（C ）在区间[,]42ππ上单调递增（D ）在区间[,]2ππ 上单调递减2．【答案】A【解析】由函数sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象平移变换的性质可知：将sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后的解析式为：sin 2sin 2105y x x ⎡ππ⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．则函数的单调递增区间满足：()22222k x k k πππ-≤≤π+∈Z ，即()44k x k k πππ-≤≤π+∈Z ，令0k =可得函数的一个单调递增区间为,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，选项A 正确，B 错误；函数的单调递减区间满足：()322222k x k k πππ+≤≤π+∈Z ，即()344k x k k πππ+≤≤π+∈Z ，令0k =可得函数的一个单调递减区间为3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，选项C ，D 错误；故选A ．3．（2018天津理）将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数（）(A)在区间35[,]44ππ上单调递增 (B)在区间3[,]4ππ上单调递减 (C)在区间53[,]42ππ上单调递增(D)在区间3[,2]2ππ上单调递减3．【答案】A【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将πsin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π10个单位长度之后的解析式为：sin 2sin210ππ5y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则函数的单调递增区间满足：()2π22π2ππ2k x k k -≤≤+∈Z ，即()ππ4π4πk x k k -≤≤+∈Z ，令1k =可得一个单调递增区间为3π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，函数的单调递减区间满足：()3π2π22π2π2k x k k +≤≤+∈Z ，即()3πππ4π4k x k k +≤≤+∈Z ，令1k =可得一个单调递减区间为5π7π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选A ．4．（2018全国新课标Ⅰ文）已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则（）A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为44、答案：B解答：222()2cos (1cos )23cos 1f x x x x =--+=+， ∴最小正周期为π，最大值为4.5．（2018全国新课标Ⅱ文）若()cos sin f x x x =-在[0,]a 是减函数，则a 的最大值是（）A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π5．【答案】C【解析】因为()cos sin 4f x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，所以由0224k x k π+π≤+≤π+π，()k ∈Z得32244k x k ππ-+π≤≤+π，()k ∈Z ，因此[]30,,44a ππ⎡⎤⊂-⎢⎥⎣⎦，04a 3π∴<≤，从而a 的最大值为43π，故选C ．6．（2018全国新课标Ⅱ理）若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是（）A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π6．【答案】A【解析】因为()cos sin 4f x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，所以由()022,4k x k k π+π≤+≤π+π∈Z 得()322,44k x k k ππ-+π≤≤+π∈Z ，因此[]π3π,,44a a ⎡⎤-⊂-⎢⎥⎣⎦，π,4a a a ∴-<-≥-，3π4a ≤，π04a ∴<≤，从而a 的最大值为π4，故选A ．7．（2018全国新课标Ⅲ文、理）若1sin 3α=，则cos2α=（） A ．89B ．79C ．79-D ．89-7.答案：B解答：227cos 212sin 199αα=-=-=.故选B.8．（2018全国新课标Ⅲ文）函数2tan ()1tan xf x x=+的最小正周期为（）A ．4π B ．2π C ．πD ．2π8.答案：C解答：22222sin tan sin cos 1cos ()sin cos sin 2sin 1tan sin cos 21cos xx x x x f x x x x x x x x x=====+++，∴()f x 的周期22T ππ==.故选C.二、填空1．（2018北京理）设函数f （x ）=πcos()(0)6x ωω->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．1．【答案】23【解析】()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，所以π4f ⎛⎫⎪⎝⎭取最大值，()ππ2π46k k ω∴-=∈Z ，()283k k ω∴=+∈Z ，0ω>，∴当0k =时，ω取最小值为23．2．（2018江苏）已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是 ▲ ．2．【答案】π6-【解析】由题意可得2sin π13ϕ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，所以2πππ32k ϕ+=+，()ππ6k k ϕ=-+∈Z ，因为ππ22ϕ-<<，所以0k =，π6ϕ=-．3．（2018全国新课标Ⅰ文）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos 23α=，则a b -=（）A ．15B C D ．13．答案：B解答：由22cos22cos 13αα=-=可得222225cos 1cos 6sin cos tan 1ααααα===++，化简可得tan 5α=±；当tan 5α=时，可得15a =，25b =，即5a =，5b =，此时5a b -=；当tan 5α=-时，仍有此结果.4．（2018全国新课标Ⅰ理）已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．4.答案：解答：∵()2sin sin 2f x x x =+，∴()f x 最小正周期为2T π=，∴2'()2(cos cos 2)2(2cos cos 1)f x x x x x =+=+-，令'()0f x =，即22cos cos 10x x +-=，∴1cos 2x =或cos 1x =-.∴当1cos 2=，为函数的极小值点，即3x π=或53x π=,当cos 1,x =-x π=∴5()3f π=.()3f π=，(0)(2)0f f π==，()0f π=∴()f x 最小值为5．（2018全国新课标Ⅱ文）已知5π1tan()45α-=，则tan α=__________．5．【答案】32【解析】5tan tan5tan 114tan 541tan 51tan tan 4αααααπ-π-⎛⎫-=== ⎪π+⎝⎭+⋅，解方程得3tan 2α=．6．（2018全国新课标Ⅱ理）已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________．6．【答案】12-【解析】sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，()()221sin cos 1αα∴-+-=，1sin 2α∴=，1cos 2β=，因此()22111111sin sin cos cos sin cos 1sin 1224442αβαβαβαα+=+=⨯-=-+=-+=-．7．（2018全国新课标Ⅲ理）函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．7．答案：3解答：由()cos(3)06f x x π=+=，有3()62x k k Z πππ+=+∈，解得39k x ππ=+，由039k πππ≤+≤得k 可取0,1,2，∴()cos(3)6f x x π=+在[0,]π上有3个零点.三、解答题1．（2018北京文）已知函数()2sin cos f x x x x =+．（1）求()f x 的最小正周期；（2）若()f x 在区间3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上的最大值为32，求m 的最小值．1．【答案】（1）π；（2）π3．【解析】（1）()1cos 211122cos 2sin 222262x f x x x x x -π⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==．（2）由（1）知()π1sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为π3x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,，所以π5ππ22666x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦,．要使得()f x 在π3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上的最大值为32，即πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭在3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上的最大值为1．所以ππ262m -≥，即π3m ≥．所以m 的最小值为π3．2. （2018上海）设常数a R ∈，函数f x （）22?asin x cos x =+（1）若f x （）为偶函数，求a 的值；（2）若4f π〔〕31=，求方程12f x =（）ππ-［，］上的解。

三角函数综合测试题(含答案)

三角函数综合测试题一、选择题〔每题5分，共70分〕1． sin2100 =A ．23 B ． -23 C ．21 D ． -21 2．α是第四象限角，5tan 12α=-，那么sin α= A ．15 B ．15- C ．513 D ．513-3. )12sin12(cos ππ- )12sin12(cosππ+＝A ．－23 B ．－21 C ． 21 D ．234． sinθ＝53，sin2θ＜0，那么tanθ等于 A ．－43 B ．43 C ．－43或43 D ．545．将函数sin()3y x π=-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变〕，再将所得的图象向左平移3π个单位，得到的图象对应的僻析式是 A ．1sin 2y x = B ．1sin()22y x π=-C .1sin()26y x π=-D .sin(2)6y x π=-6. ()2tan cot cos x x x +=A ．tan xB ． sin xC . cos xD . cot x7.函数y =x x sin sin -的值域是A. { 0 }B. [ -2 , 2 ]C. [ 0 , 2 ]D.[ -2 , 0 ]αcos 81=α,且)2,0(πα∈，那么sin α+cos α的值为A.25 B. -25 C. ±25 D. 239. 2(sin cos )1y x x =--是A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数10．在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为 A ．)45,()2,4(ππππ B ．),4(ππ C ．)45,4(ππ D ．)23,45(),4(ππππ 11．，函数y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数(0＜θ＜π) 其图象与直线y ＝2的交点的横坐标为x 1，x 2，假设| x 1－x 2|的最小值为π，那么 A ．ω＝2，θ＝2πB ．ω＝21，θ＝2π C ．ω＝21，θ＝4π D ．ω＝2，θ＝4π12. 设5sin7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，那么 A ．a b c << B ．a c b << C ．b c a << D ．b a c <<13．函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象关于直线8x π=对称，那么ϕ可能是A .2π B .4π- C .4π D .34π14．函数f (x )＝xxcos 2cos 1-A ．在⎪⎭⎫⎢⎣⎡20π，、⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ,2上递增，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡23,ππ、⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ2,23上递减 B ．在⎪⎭⎫⎢⎣⎡20π，、⎥⎦⎤ ⎝⎛23ππ，上递增，在⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ,2、⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ223，上递减C ．在⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ，2、⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ223，上递增，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡20π，、⎥⎦⎤⎝⎛23ππ，上递减D ．在⎪⎭⎫⎢⎣⎡23,ππ、⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ2,23上递增，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡20π，、⎥⎦⎤⎝⎛ππ,2上递减〔每题5分，共20分,〕15.⎪⎭⎫⎝⎛-∈2,2ππα，求使sin α=32成立的α=16．sin15°cos75°+cos15°sin105°=_________ 17.函数y=Asin(ωx+ϕ)(ω＞0,|ϕ|＜2π,x ∈R )的局部图象如图，那么函数表达式为18．βα,为锐角，且cos α=71 cos )(βα+= 1411-, 那么cos β=_________ 19．给出以下命题：(1)存在实数α,使1cos sin =αα (2)存在实数α，使23cos sin =+αα (3)函数)23sin(x y +=π是偶函数〔4〕假设βα、是第一象限的角，且βα>，那么βαsin sin >.其中正确命题的序号是________________________________三.解答题(每题12分，共60分,) 20.函数y =3sin )421(π-x 〔1〕用五点法在给定的坐标系中作出函数一个周期的图象；〔2〕求此函数的振幅、周期和初相；〔3〕求此函数图象的对称轴方程、对称中心.21.)cos(2-)sin(πθπθk k +=+Z k ∈ 求:〔1〕θθθθsin 3cos 5cos 2sin 4+-; 〔2〕θθ22cos 52sin 41+22．设0≥a ，假设b x a x y +-=sin cos 2的最大值为0，最小值为－4，试求a 与b 的值，并求y 的最大、最小值及相应的x 值．23.21)tan(=-βα，71tan -=β，且),0(,πβα∈，求βα-2的值.24.设函数a x x x x f ++=ωωωcos sin cos 3)(2〔其中ω>0，R a ∈〕，且f (x )的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6π．〔1〕求ω的值；〔2〕如果)(x f 在区间]65,3[ππ-的最小值为3，求a 的值．测试题答案.一.DDDA,CDDA,DCAD,CA二arcsin32 1 y=)48sin(4-ππ+x 21(3) 三、解答题：20.函数y=3sin )421(π-x〔1〕用五点法作出函数的图象；〔2〕求此函数的振幅、周期和初相；〔3〕求此函数图象的对称轴方程、对称中心. 解〔1〕列表：x2π π23 π25 π27 π29421π-x 02π ππ232π 3sin )421(π-x 03 0 -3 0描点、连线,如下图：…………………………………………………………………………………………5 〔2〕周期T=ωπ2=212π=4π，振幅A=3，初相是-4π. ………………………………………………………….8 (3)令421π-x =2π+k π(k ∈Z ), 得x=2k π+23π(k ∈Z ),此为对称轴方程. 令21x-4π=k π(k ∈Z )得x=2π+2k π(k ∈Z ). 对称中心为)0,22(ππ+k(k ∈Z ) (12)21.sin(θ+k π)=-2cos(θ+k π) (k ∈Z ). 求:〔1〕θθθθsin 3cos 5cos 2sin 4+-;〔2〕41sin 2θ+52cos 2θ.解：由得cos(θ+k π)≠0, ∴tan(θ+k π)=-2(k ∈Z ),即tan θ=-2..................................................................................................2 〔1〕10tan 352tan 4sin 3cos 5cos 2sin 4=+-=+-θθθθθθ (7)〔2〕41sin 2θ+52cos 2θ=θθθθ2222cos sin cos 52sin 41++=2571tan 52tan 4122=++θθ (12)22．设a≥0，假设y ＝cos 2x －asinx ＋b 的最大值为0，最小值为－4，试求a 与b 的值，并求出使y 取得最大、最小值时的x 值．解：原函数变形为y ＝－41)2(sin 22a b a x ++++………………………………………2 ∵－1≤sin x ≤1，a ≥0∴假设0≤a ≤2，当sinx ＝－2a 时 y max ＝1＋b ＋42a ＝0 ①当sinx ＝1时，y min ＝－41)21(22a b a ++++＝－a ＋b ＝－4 ②联立①②式解得a ＝2，b ＝-2…………………………………………………………7 y 取得最大、小值时的x 值分别为： x ＝2kπ－2π(k ∈Z)，x ＝2kπ＋2π(k ∈Z)假设a ＞2时，2a ∈(1，＋∞)∴y max ＝－b a a b a +=+++-41)21(22＝0 ③y min ＝－441)21(22-=+-=++++b a a b a ④ 由③④得a ＝2时，而2a ＝1 (1，＋∞)舍去.............................................11 故只有一组解a ＝2，b ＝－2.. (12)23.tan(α－β)＝21，tan β＝-71，且α、β∈〔0，π〕，求2α－β的值. 解：由tanβ＝－71 β∈(0，π) 得β∈(2π, π) ①………………………2 由tanα＝tan[(α－β)＋β]＝31 α∈(0，π) ∴ 0＜α＜2π (6)∴ 0＜2α＜π由tan2α＝43＞0 ∴知0＜2α＜2π ②∵tan(2α－β)＝βαβαtan 2tan 1tan 2tan +-＝1 (10)由①②知 2α－β∈(－π，0)∴2α－β＝－43π (12)24.设函数a x x x x f ++=ϖϖϖcos sin cos 3)(2〔其中ω>0，a ∈R 〕，且f(x)的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6π．〔1〕求ω的值；〔2〕如果)(x f 在区间]65,3[xπ-的最小值为3，求a 的值．解：(1) f(x)＝23cos2ωx ＋21sin2ωx ＋23＋a (2)＝sin(2ωx ＋3π)＋23＋a…………………………………………………..4 依题意得2ω·6π＋3π＝2π解得ω＝21………………………………….6 (2) 由(1)知f(x)＝sin(2ωx ＋3π)＋23＋a 又当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-65,3ππ时，x ＋3π∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡67,0π…………………………………8 故－21≤sin(x ＋3π)≤1……………………………………………..10 从而f(x)在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-65,3ππ上取得最小值－21＋23＋a 因此，由题设知－21＋23＋a ＝3故a ＝213+ (12)。

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【模拟演练】1、[2014·江西卷16] 已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值； (2)若f ⎝⎛⎭⎫α4＝－25，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值．2、[2014·北京卷16] 函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图像如图所示．(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．3、[2014·福建卷18] 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )．(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．4、( 06湖南）如图,D 是直角△ABC 斜边BC 上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β.（1）证明 sin cos 20αβ+=; （2）若求β的值.BDCαβ A图5、（07福建）在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若ABC △最大边的边长为17，求最小边的边长．6、（07浙江）已知ABC △的周长为21+，且sin sin 2sin A B C +=．（I ）求边AB 的长；（II ）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．7、（07山东）如图,甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于1A 处时, 乙船位于甲船的北偏西105︒的方向1B 处,此时两船相距20 海里.当甲船航行20分钟到达2A 处时,乙船航行到甲船的北偏西120︒方向的2B 处,此时两船相距102海里, 问乙船每小时航行多少海里?8、（2013年全国新课标2）在ABC ∆中，c b a ,,C B A 所对的边分别为，，角，已知B cC b a sin cos +=（1）求B ；（2）若b=2, 求ABC S ∆的最大值。

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y
++
o -
-x
y
-+
o -
+
x
y
-+
o +
-
x
、、、、、
、、、、、
、、、、、
6、三角函数线正弦线：MP; 余弦线：OM;
正切线： AT.
a的的的 P、 x,y) r
x
y T
P O M Ax
7. 三角函数的定义域：三角函数 f (x) sinx f (x) cosx f (x) tanx
8．如果 π ＜θ＜ π ，那么下列各式中正确的是( )
4
2
A．cosθ＜tanθ＜sinθ
B．sinθ＜cosθ＜tanθ
C．tanθ＜sinθ＜cosθ
D．cosθ＜sinθ＜tanθ
9．若 A、B 是锐角△ABC 的两个内角，则 P（cosB－sinA，sinB－cosA）在( )
A．第一象限
任意角
1．D 2．Ｃ 3．Ａ 4．Ｄ
三角函数
1．B 2．A 3． C 4．D 5． A 6． C 7．B
11．A
12．±4
4 ±
5
13．［ π ， 3π ］ 14． 0 22
15．二
16．［0， π ］∪（ π ， π ］∪（ 3π ，2π） 17．（ π ， 3π
4
24
2
44
8．D
9． D
10． D
③终边不相同，它们的同名三角函数值一定不相同；
④不相等的角，同名三角函数值也不相同．
其中正确的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
2．若角 α、β 的终边关于 y 轴对称，则下列等式成立的是( )

2018年各地高考真题分类汇编(文)-三角函数---教师版(可编辑修改word版)

2 3 330 三角函数和解三角形1.（2018 年全国 1 文科·8）已知函数 f ( x ) = 2 cos 2 x - sin 2x + 2 ，则 BA. f ( x ) 的最小正周期为 π，最大值为 3B. f ( x ) 的最小正周期为 π，最大值为 4C. f (x ) 的最小正周期为2π ，最大值为 3D. f (x ) 的最小正周期为2π ，最大值为 42.（2018 年全国 1 文科·11）已知角的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点 A (1，a ) ， B (2 ，b ) ，且cos 2= 2，则 a - b = B 3A.15 B. 5C. 25 5D ．13.（ 2018 年全国 1 文科· 16） △ ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知b s in C +c sin B = 4a sin B sin C ， b 2 + c 2 - a 2 = 8 ，则△ABC 的面积为．4. （2018 年全国 2 文科·7）．在△ABC 中， cos C = 5 ， BC = 1 ， AC = 5 ，则 AB = AA. 4 2 5B. C ． D ．25.（2018 年全国 2 文科·10）若 f (x ) = cos x - sin x 在[0, a ] 是减函数，则 a 的最大值是 CA.π4B.π 2C. 3π4D. π6．（2018 年全国 2 文科·15）已知 tan(α -5π) = 1，则tan α = 3．4 527.（2018 年全国 3 文科·4）若sin= 1，则cos 2= B3A.89B.79C. - 79 D. - 89229 58.（2018 年全国 3 文科·6）函数 f (x) =tan x1+ tan2x的最小正周期为CA．πB．πC．πD．2π 4 29.（2018 年全国3 文科·11）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a2 +b2 -c2△ABC 的面积为4，则C =CππA.B．2 3ππ C．D．4 610.（2018 年北京文科·7）在平面直角坐标系中， AB, C D, E F , G H 是圆x2+y2= 1上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角以O为始边，OP 为终边，若tan< cos< sin，则P 所在的圆弧是C（A） AB （B）C D（C）E F （D）G H11.（2018 年北京文科·14）若△ABC 的面积为cB=60°；的取值范围是（2，+∞）.a3(a2 +c2 -b2 ) ,且∠C 为钝角，则412.（2018 年天津文科·6）将函数y = sin(2x +图象对应的函数A ππ) 的图象向右平移个单位长度，所得5 107 （A ）在区间[- π π, ] 上单调递增（B ）在区间[- 4 4 π , 0] 上单调递减4π ππ（C ）在区间[ , ] 上单调递增（D ）在区间[ , π] 上单调递减4 2213.（2018 年江苏·7）．已知函数 y = sin(2x +)(- π << π) 的图象关于直线 x = π对称，则的值是．2 2 314. （2018 年江苏·13）在△ABC 中，角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ， ∠ABC = 120︒ ，∠ABC 的平分线交 AC 于点 D ，且 BD = 1，则4a + c 的最小值为 9 ．15.（2018 年浙江·13）在△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ．若 a = ，b =2，A =60°，则 sin B =217 ，c = 3 ．16.（2018 年北京文科·16）（本小题 13 分）已知函数 f (x ) = sin 2 x + 3 sin x cos x .（Ⅰ）求 f (x ) 的最小正周期；（Ⅱ）若 f (x ) 在区间[- π , m ] 上的最大值为 3，求m 的最小值.3216.（共 13 分）解：（Ⅰ）f (x ) = 1- cos 2x +3 sin 2x = 3 sin 2x - 1 cos 2x + 1 = sin(2x - π) + 1 ，2 2 2 2 2 6 2所以 f (x ) 的最小正周期为T =2π = π .2（Ⅱ）由（Ⅰ）知 f (x ) = sin(2x - π) + 1.6 2π π 5π π因为 x ∈[- , m ]，所以2x - ∈[- , 2m - ] .3 6 6 67 π π 要使得 f (x ) 在[- π , m ] 上的最大值为 3 ，即sin(2x - π) 在[- π, m ] 上的最大值为 1.所以2m - ≥ 6 2 3 ，即 m ≥π 2 6 3π .学科&网 3所以m 的最小值为 .317.（2018 年天津文科·16）（本小题满分 13 分）在△ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ．已知 b sin A =a cos(B – π)．6（Ⅰ）求角 B 的大小；（Ⅱ）设 a =2，c =3，求 b 和 sin(2A –B )的值．（16）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．满分 13 分．（ Ⅰ ）解：在△ ABC 中，由正弦定理 a = sin A bsin B，可得 b sin A = a sin B ，又由 b sin A = a cos(B - π) ，得 a sin B = a cos(B - π) ，即sin B = cos(B - π) ，可得tan B = 6 6 6．又因为 B ∈(0 ，π) ，可得 B = π．3（Ⅱ）解：在△ABC 中，由余弦定理及 a =2，c =3，B = π，有b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B = 7 ，3故 b = ．由 b s in A = a cos(B - π) ，可得 6sin A =．因为 a <c ，故cos A =．因此sin 2 A = 2sin A cos A =4 3 ， cos 2 A = 2 cos 2 A - 1 = 177所以， sin(2 A - B ) = sin 2 A cos B - cos 2 A sin B =4 3 ⨯ 1 - 1⨯ 3 = 3 3 7 2 7 2 1418.（2018 年江苏·16）（本小题满分 14 分）33 727已知,为锐角，tan=4，cos(+) =-5．3 5（1）求cos 2的值；（2）求tan(-)的值．16．本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力．满分14 分．解：（1）因为tan=4 ，tan=sin，所以sin=4 cos．3 cos 3因为sin2+c os2=1，所以cos2=9，25因此，cos 2= 2 cos2- 1 =-7 ．25（2）因为,为锐角，所以+∈(0,π)．又因为cos(+)=-5，所以sin(+)=5=2 5，5因此tan(+)=-2．因为tan=4，所以tan 2=32 tan1 -tan2=-24，7因此，tan(-) = tan[2- (+)] =tan 2- tan(+)=-2．1+ t an 2tan(+) 1119.（2018 年浙江·18）（本题满分14 分）已知角α 的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P（-3，-4）．5 5（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β 满足sin（α+β）= 5，求cosβ 的值．1318.本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力。

限时集训(十八) 同角三角函数的基本关系与诱导公式

限时集训(十八) 同角三角函数的基本关系与诱导公式(限时：45分钟满分：81分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．α是第一象限角，tan α＝34，则sin α＝( )A.45 B.35 C ．－45D ．－352．若sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝( ) A ．－35B.35C.45D ．－453．(2013·安徽名校模拟)已知tan x ＝2，则sin 2x ＋1＝( ) A ．0 B.95 C.43D.534．已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos (－π－α)tan α，则f ⎝⎛⎭⎫－313π的值为( ) A.12 B ．－13C ．－12D.135．(2013·西安模拟)已知2tan α·sin α＝3，－π2＜α＜0，则sin α＝( )A.32B ．－32C.12 D ．－126．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( ) A ．1＋ 5 B ．1－ 5 C ．1±5D ．－1－ 5二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．化简sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos (π＋α)＋sin (π－α)·cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (π＋α)＝________.8．若cos(2π－α)＝53，且α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，则sin(π－α)＝________. 9．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23⎝⎛⎭⎫π2＜α＜π.则sin α－cos α＝________.三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．已知sin(3π＋θ)＝13，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos (θ－π)－sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ的值．11.已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求： (1)sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值．12．是否存在α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值，若不存在，请说明理由．限时集训(十八) 同角三角函数的基本关系与诱导公式答案1．B 2.B 3.B 4.C 5.B 6.B 7．0 8.－23 9.4310．解：∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，∴sin θ＝－13.∴原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θcos θ·(－cos θ)＋cos θ＝11＋cos θ＋cos θ－cos 2θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝2⎝⎛⎭⎫－132＝18.11．解：(1)原式＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ. 由条件知sin θ＋cos θ＝3＋12，故sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝3＋12.(2)由sin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝1＋2sin θcos θ ＝(sin θ＋cos θ)2，得m ＝32. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θ·cos θ＝34知⎩⎨⎧sin θ＝32，cos θ＝12，或⎩⎨⎧sin θ＝12，cos θ＝32.又θ∈(0,2π)，故θ＝π6或θ＝π3.12．解：假设存在α、β使得等式成立，即有 ⎩⎪⎨⎪⎧sin (3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－β， ①3cos (－α)＝－2cos (π＋β)， ② 由诱导公式可得⎩⎨⎧sin α＝2sin β， ③3cos α＝2cos β， ④③2＋④2得sin 2α＋3cos 2α＝2，解得cos 2α＝12.又∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， ∴α＝π4或α＝－π4.将α＝π4代入④得cos β＝32.又β∈(0，π)，∴β＝π6，代入③可知符合．将α＝－π4代入④得cos β＝32.又β∈(0，π)．∴β＝π6，代入③可知不符合．综上可知，存在α＝π4，β＝π6满足条件．。

三角函数50题精选题附答案

1. 已知方程（a 为大于1的常数）的两根为，，且、，则的值是_________________.解析：属于易错题，由于限定了角的范围，所以最终答案只有一个，1>a ∴a 4tan tan -=+βα0<，o a >+=⋅13tan tan βα∴βαtan ,tan 是方程01342=+++a ax x 的两个负根又⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈2,2,ππβα ⎪⎭⎫⎝⎛-∈∴0,2,πβα 即⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈+0,22πβα由tan ()βα+=βαβαtan tan 1tan tan ⋅-+=()1314+--a a =34可得.22tan -=+βα2.函数f(x)=的值域为______________。

解析：易错题，错因：令x x t cos sin +=后忽视1-≠t ,从而121)(-≠-=t t g ，得到错解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡---2122,2122 正解：⎥⎦⎤ ⎝⎛--⋃⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡---2122,11,2122 3.在△ABC 中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=，则∠C 的大小应为( )A ．B ．C ．或D ．或解析：遇到这类型题，首先排除两个答案，因为给定条件就是让我们去排除4.已知tana tanb 是方程x 2+3x+4=0的两根，若a ，b ∈(-)，则a+b=（）A ．B ．或-C ．-或D ．-解析：tana .tanb=4；tana +tanb=-3，所以tana tanb 均为负，即a ，b 都属于四象限 5.在中，，则的大小为（）A. B. C.D.解析：由3s i n 463c o s 41A B A B +=+=⎧⎨⎩c o s s i n 平方相加得115sin()sin 2266A B C C ππ+=∴=∴=或若C =56π，则A B +=π6113cos 4sin 0cos 3A B A -=>∴<又1312<5366A C C πππ∴>∴≠∴= ∴选A ，实际上首先排除两个答案的6.函数为增函数的区间是……………… ( ) A.B.C.D.解析：注意x 前面系数为负7.已知且，这下列各式中成立的是（） A.B.C.D.解析：解法1sin β＞-cos α=sin （3π/2-α），因为β、（3π/2-α）都在二象限，sinx 二象限为减函数，所以β＜（3π/2-α）解法2：首先排除AC（为什么），由特殊值法排除B8.△ABC中，已知cosA=，sinB=，则cosC的值为（）A、 B、 C、或 D、9.设cos1000=k，则tan800是（）A、 B、 C、 D、10.函数的单调减区间是（）A、（）B、C、 D、11.在△ABC中，则∠C的大小为（）A、30°B、150°C、30°或150°D、60°或150°12.若,且,则_______________.13、设ω>0，函数f(x)=2sinωx在上为增函数，那么ω的取值范围是_____14已知奇函数单调减函数，又α，β为锐角三角形内角，则（）A、f(cosα)＞ f(cosβ)B、f(sinα)＞ f(sinβ)C、f(sinα)＜f(cosβ)D、f(sinα)＞ f(cosβ)15.函数的值域是．16.若，α是第二象限角，则=__________17.已知定义在区间[-p，]上的函数y=f(x)的图象关于直线x= -对称，当xÎ[-，]时，函数f(x)=Asin(wx+j)(A>0, w>0,-<j<)，其图象如图所示。

高三数学第一轮复习课时作业(18)三角函数的图像与性质

课时作业(十八) 第18讲三角函数的图像与性质时间：45分钟分值：100分基础热身 1．函数y ＝cos x －12的定义域为( )A.⎣⎡⎦⎤－π3，π3 B.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π3，k ∈ZC.⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π3，k ∈ZD ．R2．2011·枣庄模拟下列函数中，以π为最小正周期的偶函数，且在⎝⎛⎭⎫π2，π上为减函数的是( ) A ．y ＝sin2x ＋cos2x B ．y ＝|sin x |C ．y ＝cos 2x D ．y ＝tan x3．2010·江西卷函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A ．－1,1 B.⎣⎡⎦⎤－54，－1C.⎣⎡⎦⎤－54，1D.⎣⎡⎦⎤－1，544．2010·上海卷函数y ＝12sin2x 的最小正周期T ＝________.能力提升5．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上( )A ．单调递增且有最大值B ．单调递增但无最大值C ．单调递减且有最大值D ．单调递减但无最大值6．设函数f (x )＝x sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，若f (x 1)>f (x 2)，则下列不等式必定成立的是( )A ．x 1＋x 2>0B ．x 21>x 22 C ．x 1>x 2 D ．x 1<x 27．函数y ＝(sin x －2)(cos x －2)的值域是( ) A.⎣⎡⎦⎤92－22，92＋22 B.⎣⎡⎦⎤32，92＋22C.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ D.[]－2，2 8．函数f (x )＝sin πx －14x 的零点的个数是( )A ．5B ．6C ．7D ．89．已知函数y ＝sin x 的定义域为a ，b ，值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，则b －a 的值不可能是( )A.π3B.2π3C ．π D.4π310．函数f (x )＝(sin x －cos x )2的最小正周期为________． 11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x (x ≤0)，2cos x (0<x <π)，若ff (x 0)＝2，则x 0＝________.12．设函数y ＝cos 12πx 的图像位于y 轴右侧所有的对称中心从左到右依次为A 1，A 2，…，A n ，….则A 50的坐标是________．13．给出下列命题：①正切函数的图像的对称中心是唯一的；②y ＝|sin x |，y ＝|tan x |的最小正周期分别为π，π2；③若x 1>x 2，则sin x 1>sin x 2；④若f (x )是R 上的奇函数，它的最小正周期为T ，则f ⎝⎛⎭⎫－T2＝0.其中正确命题的序号是________．14．(10分)已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π2上的最大值和最小值．15．(13分)2011·朝阳二模已知函数f (x )＝2sin x cos x －2sin 2x ＋1. (1)求函数f (x )的最小正周期及值域； (2)求f (x )的单调递增区间．难点突破16．(12分)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图像关于点M ⎝⎛⎭⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值．课时作业(十八)【基础热身】1．C 解析由题意得cos x ≥12，∴2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z ，故选C.2．B 解析由函数为偶函数，排除A 、D ；由在⎝⎛⎭⎫π2，π上为减函数，排除C ，故选B. 3．C 解析 y ＝sin 2x ＋sin x －1＝⎝⎛⎭⎫sin x ＋122－54，∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝－12时，y min ＝－54；当sin x ＝1时，y max ＝1，∴函数的值域为⎣⎡⎦⎤－54，1，故选C.4．π 解析由周期公式得T ＝2π|ω|＝2π2＝π.【能力提升】5．A 解析由－π2≤x －π4≤π2，得－π4≤x ≤3π4，则函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4在区间⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上是增函数，又⎣⎡⎦⎤0，π2⊆⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，所以函数在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，且有最大值22，故选A.6．B 解析函数f (x )为偶函数，易知f (x )＝f (|x |)，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (|x |)为增函数．又由f (x 1)>f (x 2)，得f (|x 1|)>f (|x 2|)，故|x 1|>|x 2|，于是x 21>x 22.7．A 解析函数可化为y ＝sin x cos x －2(sin x ＋cos x )＋4，令sin x ＋cos x ＝t (|t |≤2)，则sin x cos x ＝t 2－12，∴y ＝t 2－12－2t ＋4＝12(t －2)2＋32.∵t ＝2∉－2，2，且函数在－2，2上为减函数，∴当t ＝2，即x ＝2k π＋π4(k ∈Z )时，y min ＝92－22；当t ＝－2，即x ＝2k π－3π4(k ∈Z )时，y max ＝92＋2 2.8．C 解析如图所示，画出函数y ＝sin πx 和y ＝14x 的图像，在0，＋∞)上，两个函数图像有4个交点，∴在(－∞，＋∞)上，方程sin πx ＝14x 的解有7个，即函数f (x )＝sin πx －14x 的零点的个数是7，故选C.9．A 解析画出函数y ＝sin x 的简图，要使函数的值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，则函数定义域为⎣⎡⎦⎤2k π＋5π6，2k π＋13π6，k ∈Z 或其子集，又定义域为a ，b ，则a ，b 在同一个k 所对应的区间内，且a ，b必须含2k π＋3π2，还有2k π＋5π6、2k π＋13π6之一，知b －a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤2π3，4π3，故选A.10．π 解析 f (x )＝(sin x －cos x )2＝sin 2x －2sin x cos x ＋cos 2x ＝1－2sin x cos x ＝1－sin2x ， ∴函数f (x )的最小正周期为π.11.2π3解析如下图所示：⎝⎛⎭⎫12x ＝2⇒x ＝－1， ∴f (x 0)＝2cos x 0＝－1，∴x 0＝2π3.12．(99,0) 解析由12πx ＝π2＋k π，k ≥0且k ∈Z ，得图像的对称中心横坐标为x ＝2k ＋1，k ≥0且k ∈N ，令k ＝49即可得A 50的坐标是(99,0)．13．④ 解析 ①正切函数的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )；②y ＝|sin x |，y ＝|tan x |的最小正周期都是π；③正弦函数在定义域R 上不是单调函数；④f ⎝⎛⎭⎫－T 2＝f ⎝⎛⎭⎫－T 2＋T ＝f ⎝⎛⎭⎫T 2＝－f ⎝⎛⎭⎫－T 2，故f ⎝⎛⎭⎫－T2＝0. 14．解答 (1)因为f (x )＝2sin(π－x )cos x ＝2sin x cos x ＝sin2x ，所以函数f (x )的最小正周期为π.(2)由－π6≤x ≤π2，得－π3≤2x ≤π，所以－32≤sin2x ≤1，即f (x )在⎣⎡⎦⎤－π6，π2上的最大值为1，最小值为－32.15．解答 (1)f (x )＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，则函数f (x )的最小正周期是π，函数f (x )的值域是[]－2，2.(2)依题意得2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，则k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )，即f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )．【难点突破】16．解答由f (x )是偶函数，得f (－x )＝f (x )，即sin(－ωx ＋φ)＝sin(ωx ＋φ)，所以－cos φsin ωx ＝cos φsin ωx 对任意x 都成立．又ω>0，∴cos φ＝0.依题设0≤φ≤π，所以φ＝π2，∴f (x )＝cos ωx ，其对称中心为(π2＋k πω，0)(k ∈Z )．∵f (x )的图像关于点M ⎝⎛⎭⎫3π4，0对称，∴令π2＋k πω＝3π4， ∴ω＝23(2k ＋1)，k ＝0,1,2，….当k ＝0时，ω＝23，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋π2在⎣⎡⎦⎤0，π2上是减函数；当k ＝1时，ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2在⎣⎡⎦⎤0，π2上是减函数；当k ≥2时，ω≥103，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2在⎣⎡⎦⎤0，π2上不是单调函数．综上得ω＝23或ω＝2.。

三角函数大题专项含答案

精选文档三角函数专项训练1．在△ ABC 中，角 A 、 B 、 C 对应边 a 、b 、 c ，外接圆半径为1，已知 2（ sin 2A ﹣sin 2C ）＝（ a ﹣ b ） sinB ．222（ 1）证明 a +b ﹣c ＝ ab ；（ 2）求角 C 和边 c ．2．在△ ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ，b ， c ．已知 bsinA ＝ acos （B ﹣）．（Ⅰ）求角 B 的大小；（Ⅱ）设 a ＝ 2，c ＝ 3，求 b 和 sin （ 2A ﹣ B ）的值． 3．已知 α，β为锐角， tan α＝，cos （ α+β）＝﹣．（ 1）求 cos2α的值；（ 2）求 tan （α﹣ β）的值．4．在平面四边形 ABCD 中，∠ ADC ＝90°，∠ A ＝ 45°， AB ＝ 2， BD ＝5．（ 1）求 cos ∠ ADB ；（ 2）若 DC ＝ 2 ，求 BC ．5．已知函数 f （x ）＝ sin 2x+sinxcosx ．（Ⅰ）求 f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）若 f （x ）在区间 [ ﹣， m] 上的最大值为，求 m 的最小值．6．在△ ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ．已知 asinA ＝ 4bsinB ，ac ＝（ a2﹣ b 2﹣ c 2）（Ⅰ）求 cosA 的值；（Ⅱ）求 sin （2B ﹣ A ）的值7．设函数 f （ x ）＝ sin （ ωx ﹣） +sin （ ωx ﹣），此中 0＜ω＜ 3，已知 f （）＝ 0．（Ⅰ）求 ω；（Ⅱ）将函数 y ＝ f （ x ）的图象上各点的横坐标伸长为本来的 2 倍（纵坐标不变），再将获得的图象向左平移个单位，获得函数 y ＝ g （ x ）的图象，求 g （ x ）在 [﹣，]上的最小值．8．在△ ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ， c ．已知 a ＞b ， a ＝5， c ＝6， sinB ＝．（Ⅰ）求 b 和 sinA 的值；（Ⅱ）求sin（2A+）的值．9．△ ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为a， b， c，已知△ ABC 的面积为．（1）求 sinBsinC；（2）若 6cosBcosC＝ 1， a＝ 3，求△ ABC 的周长．10．△ ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为a， b， c，已知 sin（ A+C）＝ 8sin 2．（1）求 cosB；（2）若 a+c＝ 6，△ ABC 的面积为 2，求 b．11．已知函数f（ x）＝cos（2x﹣）﹣2sinxcosx．（ I）求 f（ x）的最小正周期；（ II ）求证：当x∈[﹣，]时， f（ x）≥﹣．12．已知向量＝（cosx，sinx），＝（3，﹣），x∈[0，π]．（ 1）若，求x的值；（ 2）记 f（ x）＝，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x 的值．13．在△ ABC 中，∠ A＝ 60°， c＝a．（1）求 sinC 的值；（2）若 a＝ 7，求△ ABC 的面积．14．已知函数f（ x）＝ 2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞ 0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求 f（ x）的单一递加区间．15．在△ ABC 中，内角A， B， C 所对的边分别为a，b， c，已知 b+c＝ 2acosB．（1）证明： A＝ 2B；（2）若 cosB＝，求 cosC 的值．216．设 f（ x）＝ 2sin（π﹣x） sinx﹣（ sinx﹣ cosx）．（Ⅱ）把y＝ f（ x）的图象上全部点的横坐标伸长到本来的 2 倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，获得函数y＝ g（ x）的图象，求g（）的值．17．在△ ABC 中，内角A， B， C 所对的边分别为a，b， c，已知 asin2B＝bsinA．（1）求 B；（2）已知 cosA＝，求 sinC 的值．18．在△ ABC 中，内角A， B， C 所对的边分别为a，b， c，已知 b+c＝ 2acosB．（Ⅰ）证明：A＝ 2B；（Ⅱ）若△ ABC 的面积 S＝，求角A的大小．19．在△ ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别是a， b， c，且+＝．（Ⅰ）证明：sinAsinB＝ sinC；（Ⅱ）若b 2+c2﹣ a2＝bc，求 tanB．20．在△ ABC 中， AC＝ 6， cosB＝，C＝．（1）求 AB 的长；（2）求 cos（ A﹣）的值．21．已知函数f（ x）＝ 4tanxsin（﹣x）cos（x﹣）﹣．（1）求 f（ x）的定义域与最小正周期；（2）议论 f（ x）在区间 [﹣，]上的单一性．22．△ ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为a， b， c，已知 2cosC（ acosB+bcosA）＝ c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c＝，△ ABC的面积为，求△ ABC的周长．参照答案1．在△ ABC 中，角 A、 B、 C 对应边 a、b、 c，外接圆半径为1，已知 2（ sin 2A﹣sin2C）＝（a﹣ b） sinB．（1）证明 a 2+b2﹣c2＝ ab；（2）求角 C 和边 c．【解答】证明：（ 1）∵在△ ABC 中，角 A、 B、 C 对应边 a、 b、 c，外接圆半径为1，∴由正弦定理得：＝2R＝ 2，∴ sinA＝， sinB＝， sinC＝，∵ 2（ sin 2A﹣ sin2C）＝（ a﹣ b） sinB，∴ 2（）＝（ a﹣ b）?，化简，得： a 2+b2﹣c2＝ ab，故 a 2+b2﹣ c2＝ ab．2 22解：（ 2）∵ a +b ﹣c ＝ ab，∴ cosC＝＝＝，解得C＝，∴ c＝ 2sinC＝ 2?＝．2．在△ ABC 中，内角A， B， C 所对的边分别为a，b， c．已知 bsinA＝ acos（B﹣）．（Ⅰ）求角 B 的大小；（Ⅱ）设a＝ 2，c＝ 3，求 b 和 sin（ 2A﹣ B）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ ABC 中，由正弦定理得，得bsinA＝asinB，又 bsinA＝ acos（ B﹣）．∴ asinB ＝ acos （ B ﹣），即sinB ＝ cos （ B ﹣）＝cosBcos+sin Bsin＝cosB+，∴ tanB＝，又 B ∈（ 0， π），∴ B ＝．（Ⅱ）在△ ABC 中， a ＝ 2，c ＝ 3， B ＝，由余弦定理得 b ＝＝，由 bsinA ＝ acos （B ﹣），得 sinA ＝，∵ a ＜ c ，∴ cosA ＝，∴ sin2A ＝ 2sinAcosA ＝，cos2A ＝2cos 2A ﹣ 1＝，∴ sin （ 2A ﹣B ）＝ sin2AcosB ﹣ cos2AsinB ＝＝．3．已知 α，β为锐角， tan α＝，cos （ α+β）＝﹣．（ 1）求 cos2α的值；（ 2）求 tan （α﹣ β）的值．【解答】解：（ 1）由，解得，∴ cos2α＝；（ 2）由（ 1）得， sin2，则 tan2α＝．∵ α， β∈（ 0，），∴ α+β∈（ 0， π），∴ sin （ α+β）＝＝．则 tan （ α+β）＝．∴ tan （ α﹣ β）＝ tan[2 α﹣（ α+β）] ＝＝．4．在平面四边形 ABCD 中，∠ ADC ＝90°，∠ A ＝ 45°， AB ＝ 2， BD ＝5．（ 1）求 cos ∠ ADB ；（ 2）若 DC ＝ 2 ，求 BC ．【解答】解：（ 1）∵∠ ADC ＝ 90°，∠ A ＝45°， AB ＝ 2，BD ＝ 5．∴由正弦定理得：＝，即＝，精选文档∴ sin∠ ADB ＝＝，∵AB＜ BD ，∴∠ ADB ＜∠ A，∴ cos∠ ADB＝＝．（ 2）∵∠ ADC＝ 90°，∴ cos∠ BDC ＝sin∠ ADB ＝，∵DC＝2 ，∴ BC＝＝＝ 5．2sinxcosx．5．已知函数 f（x）＝ sin x+（Ⅰ）求 f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若 f（x）在区间 [ ﹣， m] 上的最大值为，求 m 的最小值．【解答】解：（ I ）函数 f（ x）＝ sin 2x+sinxcosx＝+sin2x＝ sin（ 2x﹣） +，f（ x）的最小正周期为 T＝＝π；（Ⅱ）若 f（x）在区间 [ ﹣， m] 上的最大值为，可得 2x﹣∈[﹣， 2m﹣] ，即有 2m﹣≥，解得 m≥，则 m 的最小值为．6．在△ ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．已知 asinA＝ 4bsinB，ac＝（ a2﹣ b 2﹣ c2）（Ⅰ）求cosA 的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣ A）的值【解答】（Ⅰ）解：由，得 asinB＝ bsinA，又 asinA＝ 4bsinB，得 4bsinB＝ asinA，两式作比得：，∴ a＝2b．由，得，由余弦定理，得；（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入 asinA＝ 4bsinB，得．由（Ⅰ）知， A 为钝角，则 B 为锐角，∴．于是，，故．7．设函数 f（ x）＝ sin（ωx﹣） +sin （ωx﹣），此中 0＜ω＜ 3，已知 f（）＝ 0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y＝ f（ x）的图象上各点的横坐标伸长为本来的 2 倍（纵坐标不变），再将获得的图象向左平移个单位，获得函数 y＝ g（ x）的图象，求 g（ x）在 [﹣，]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数 f（ x）＝ sin （ωx﹣）+sin （ωx﹣）＝ sinωxcos﹣ cosωxsin﹣sin （﹣ωx）＝sinωx﹣ cosωx＝sin（ωx﹣），又 f（）＝sin（ω﹣）＝0，∴ω﹣＝kπ，k∈Z，又 0＜ω＜ 3，∴ ω＝2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（ x）＝sin（ 2x﹣），将函数y＝ f（ x）的图象上各点的横坐标伸长为本来的 2 倍（纵坐标不变），获得函数y ＝sin（ x﹣）的图象；再将获得的图象向左平移个单位，获得y＝sin（ x+﹣）的图象，∴函数 y＝ g（ x）＝sin（ x﹣）；当 x∈[﹣，] 时， x﹣∈[﹣，]，∴sin（ x﹣）∈[﹣，1]，∴当 x＝﹣时， g（ x）获得最小值是﹣×＝﹣．8．在△ ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为a，b， c．已知 a＞b， a＝5， c＝6， sinB＝．（Ⅰ）求 b 和 sinA 的值；（Ⅱ）求 sin（2A+）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ ABC 中，∵ a＞ b，故由 sinB＝，可得 cosB＝．由已知及余弦定理，有＝ 13，∴ b＝．由正弦定理，得 sinA＝．∴ b＝， sinA＝；（Ⅱ）由（Ⅰ）及 a＜ c，得 cosA＝，∴ sin2A＝ 2sinAcosA＝，cos2A＝1﹣ 2sin 2A＝﹣．故 sin（ 2A+）＝＝．9．△ ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为a， b， c，已知△ ABC 的面积为．（1）求 sinBsinC；（2）若 6cosBcosC＝ 1， a＝ 3，求△ ABC 的周长．【解答】解：（ 1）由三角形的面积公式可得S△ABC＝acsinB＝，∴3csinBsinA＝ 2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA＝ 2sinA，∵sinA≠ 0，∴sinBsinC＝；（2）∵ 6cosBcosC＝ 1，∴ cosBcosC＝，∴ cosBcosC﹣ sinBsinC＝﹣＝﹣，∴ cos（ B+C）＝﹣，∴ cosA＝，∵ 0＜A＜π，∴A＝，∵＝＝＝2R＝＝2，∴ sinBsinC＝?＝＝＝，∴bc＝8，2 2 2∵a ＝ b +c ﹣ 2bccosA，∴ b 2+c2﹣bc＝ 9，∴（b+c）2＝9+3cb＝9+24＝33，∴ b+c＝∴周长 a+b+c＝ 3+．10．△ ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为2．a， b， c，已知 sin（ A+C）＝ 8sin（1）求 cosB；（2）若 a+c＝ 6，△ ABC 的面积为 2，求 b．【解答】解：（ 1） sin（A+C）＝ 8sin 2，∴sinB＝ 4（1﹣ cosB），∵sin 2B+cos2B＝ 1，2 2∴16（1﹣ cosB） +cos B＝ 1，∴16（1﹣ cosB）2+cos2B﹣ 1＝ 0，∴16（cosB﹣ 1）2+（ cosB﹣1）（ cosB+1）＝ 0，∴（ 17cosB﹣ 15）（ cosB﹣ 1）＝ 0，∴cosB＝；（ 2）由（ 1）可知 sinB＝，∵S△ABC＝ ac?sinB＝2，∴ac＝，∴ b 2＝ a2+c2﹣ 2accosB＝ a2+c2﹣ 2××＝a 2+c2﹣15＝（ a+c）2﹣ 2ac﹣15＝ 36﹣17﹣ 15＝ 4，∴ b＝ 2．11．已知函数f（ x）＝cos（2x﹣）﹣2sinxcosx．（ I）求 f（ x）的最小正周期；（ II ）求证：当x∈[﹣，]时， f（ x）≥﹣．【解答】解：（Ⅰ） f（x）＝cos（ 2x﹣）﹣2sinxcosx，＝（co2x+sin2x）﹣ sin2x，＝cos2x+ sin2x，＝sin（ 2x+ ），∴T＝＝π，∴f（ x）的最小正周期为π，（Ⅱ）∵ x∈[﹣， ]，∴2x+ ∈[﹣，]，∴﹣≤ sin（ 2x+）≤ 1，∴ f（ x）≥﹣12．已知向量＝（cosx，sinx），＝（3，﹣），x∈[0，π]．（ 1）若，求x的值；（ 2）记 f（ x）＝，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x 的值．【解答】解：（ 1）∵＝（cosx，sinx），＝（3，﹣），∥，∴﹣cosx＝ 3sinx，当 cosx＝ 0 时， sinx＝ 1，不合题意，当 cosx≠ 0 时， tanx＝﹣，∵x∈[0，π]，∴ x＝，（ 2） f（ x）＝＝3cosx﹣sinx＝ 2（cosx﹣sinx）＝ 2cos（x+），∵x∈[0，π]，∴ x+∈[，] ，∴﹣ 1≤ cos（ x+）≤，当 x＝ 0 时， f（ x）有最大值，最大值3，当 x＝时，f（x）有最小值，最小值﹣2．13．在△ ABC 中，∠ A＝ 60°， c＝a．（1）求 sinC 的值；（2）若 a＝ 7，求△ ABC 的面积．【解答】解：（ 1）∠ A＝60°， c＝a，由正弦定理可得sinC＝sinA＝×＝，（ 2） a＝ 7，则 c＝ 3，精选文档∴C＜ A，∵sin 2C+cos2C＝ 1，又由（ 1）可得 cosC＝∴ sinB＝ sin（ A+C）＝ sinAcosC+cosAsinC＝，×+×＝，∴ S△ABC＝ acsinB＝× 7×3×＝ 6 ．14．已知函数f（ x）＝ 2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞ 0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求 f（ x）的单一递加区间．【解答】解： f（ x）＝ 2sinωxcosωx+cos2ωx，＝sin2ωx+cos2ωx，＝，因为函数的最小正周期为π，则：T＝，解得：ω＝ 1．（ 2）由（ 1）得：函数f（ x）＝，令（ k∈Z），解得：（ k∈Z ），因此函数的单一递加区间为：[]（ k∈Z）．15．在△ ABC 中，内角A， B， C 所对的边分别为a，b， c，已知 b+c＝ 2acosB．（1）证明： A＝ 2B；（2）若 cosB＝，求 cosC 的值．【解答】（ 1）证明：∵ b+c＝ 2acosB，∴sinB+sinC＝2sinAcosB，∵sinC＝ sin（ A+B）＝ sinAcosB+cosAsinB，∴sinB＝ sinAcosB﹣ cosAsinB＝ sin（ A﹣ B），由 A，B∈（ 0，π），∴0＜A﹣ B＜π，∴ B＝ A﹣ B，或 B＝π﹣（ A﹣ B），化为 A＝ 2B，或 A＝π（舍去）．∴A＝ 2B．（ II ）解： cosB ＝，∴ sinB ＝＝．cosA ＝cos2B ＝ 2cos 2B ﹣ 1＝，sinA ＝＝．∴ cosC ＝﹣ cos （ A+B ）＝﹣ cosAcosB+sin AsinB ＝+×＝．216．设 f （ x ）＝ 2sin （ π﹣x ） sinx ﹣（ sinx ﹣ cosx ）．（Ⅱ）把 y ＝ f （ x ）的图象上全部点的横坐标伸长到本来的 2 倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，获得函数 y ＝ g （ x ）的图象，求 g （）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵ f （ x ）＝ 2 sin （ π﹣ x ）sinx ﹣（ sinx ﹣ cosx ）2＝ 2 sin 2x ﹣ 1+sin2x＝ 2 ? ﹣ 1+sin2x＝ sin2x ﹣ cos2x+ ﹣1＝ 2sin （ 2x ﹣ ） + ﹣ 1，令 2k π﹣≤2x ﹣≤ 2k π+，求得 k π﹣ ≤ x ≤k π+ ，可得函数的增区间为 [k π﹣， k π+ ]， k ∈Z ．（Ⅱ）把 y ＝f （ x ）的图象上全部点的横坐标伸长到本来的 2 倍（纵坐标不变），可得 y＝ 2sin （ x ﹣） + ﹣ 1 的图象；再把获得的图象向左平移个单位，获得函数 y ＝ g （ x ）＝ 2sinx+ ﹣1 的图象，∴ g （）＝ 2sin + ﹣ 1＝．17．在△ ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ，b ， c ，已知 asin2B ＝bsinA ．（ 1）求 B ；（ 2）已知 cosA ＝，求 sinC 的值．【解答】解：（ 1）∵ asin2B ＝bsinA ，∴ 2sinAsinBcosB ＝sinBsinA ，∴ cosB ＝，∴ B ＝．（ 2）∵ cosA ＝，∴ sinA ＝，∴ sinC ＝ sin （ A+B ）＝ sinAcosB+cosAsinB ＝＝．（Ⅰ）证明：A＝ 2B；（Ⅱ）若△ ABC 的面积 S＝，求角A的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵b+c＝ 2acosB，∴sinB+sinC＝2sinAcosB，∴sinB+sin（ A+B）＝ 2sinAcosB∴sinB+sinAcosB+cosAsinB＝ 2sinAcosB∴sinB＝ sinAcosB﹣ cosAsinB＝ sin（ A﹣ B）∵A， B 是三角形中的角，∴B＝A﹣ B，∴ A＝ 2B；（Ⅱ）解：∵△ABC 的面积 S＝，∴bcsinA＝，∴2bcsinA＝a 2，∴2sinBsinC＝ sinA＝ sin2B，∴sinC＝ cosB，∴B+C＝ 90°，或 C＝ B+90°，∴A＝ 90°或 A＝ 45°．19．在△ ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别是a， b， c，且+＝．（Ⅰ）证明：sinAsinB＝ sinC；（Ⅱ）若b 2+c2﹣ a2＝bc，求 tanB．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC 中，∵+＝，∴由正弦定理得：，∴＝，∵sin（ A+B）＝ sinC．∴整理可得： sinAsinB＝ sinC，（Ⅱ）解： b 2+c2﹣a2＝ bc，由余弦定理可得 cosA＝．sinA＝，＝+＝＝1，＝，tanB＝ 4．20．在△ ABC 中， AC＝ 6， cosB＝，C＝．（1）求 AB 的长；（2）求 cos（ A﹣）的值．【解答】解：（ 1）∵△ ABC 中， cosB＝，B∈（0，π），∴sinB＝，∵，∴AB＝＝5；（ 2） cosA═﹣ cos（π﹣ A）＝﹣ cos（C+B）＝ sinBsinC﹣ cosBcosC＝﹣．∵ A 为三角形的内角，∴ sinA＝，∴ cos（ A﹣）＝cosA+sinA＝．21．已知函数 f（ x）＝ 4tanxsin（﹣ x） cos（ x﹣）﹣．（ 1）求 f（ x）的定义域与最小正周期；（ 2）议论 f（ x）在区间 [﹣，]上的单一性．【解答】解：（ 1）∵ f（ x）＝ 4tanxsin（﹣ x） cos（ x﹣）﹣．∴ x≠ kπ+ ，即函数的定义域为{ x|x≠ kπ+， k∈Z} ，则 f（ x）＝ 4tanxcosx?（ cosx+sinx）﹣＝ 4sinx（cosx+sinx）﹣2＝ 2sinxcosx+2sin x﹣＝ sin2x﹣cos2x＝2sin（ 2x﹣），则函数的周期T＝；（ 2）由 2kπ﹣＜ 2x﹣＜ 2kπ+， k∈Z，得 kπ﹣＜x＜kπ+， k∈Z，即函数的增区间为（ kπ﹣， kπ+）， k∈Z ，当 k＝ 0 时，增区间为（﹣，）， k∈Z ，∵ x∈[ ﹣，] ，∴此时 x∈（﹣，]，由 2kπ+＜ 2x﹣＜ 2kπ+， k∈Z ，得 kπ+＜ x＜ kπ+， k∈Z，即函数的减区间为（ kπ+， kπ+）， k∈Z ，当 k＝﹣ 1 时，减区间为（﹣，﹣）， k∈Z ，∵ x∈[ ﹣，] ，∴此时 x∈[﹣，﹣），即在区间 [ ﹣，] 上，函数的减区间为∈[﹣，﹣），增区间为（﹣，] ．22．△ ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为a， b， c，已知 2cosC（ acosB+bcosA）＝ c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c＝，△ ABC的面积为，求△ ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ ABC 中， 0＜ C＜π，∴ sinC≠ 0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（ sinAcosB+sinBcosA）＝ sinC，整理得： 2cosCsin（ A+B）＝ sinC，即 2cosCsin（π﹣（ A+B））＝sinC 2cosCsinC＝ sinC∴cosC＝，∴C＝；（Ⅱ）由余弦定理得7＝a 2+b2﹣ 2ab?，∴（ a+b）2﹣ 3ab＝ 7，∵ S＝absinC＝ab＝，∴ab＝6，∴（ a+b）2﹣ 18＝ 7，∴a+b＝5，∴△ ABC 的周长为5+．。

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专题十八三角函数大题
1．(2013年新课标理数全国卷1)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB= 3 ，BC=1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90° (1)若PB=12
，求PA ； (2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA
2．(2013年新课标理数全国卷2)△ABC 在内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a=bcosC+csinB 。

（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若b=2，求△ABC 面积的最大值。

3．(2015年新课标理数全国卷2) ∆ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，∆ABD 是∆ADC 面积的2倍。

(Ⅰ)求
C
B ∠∠sin sin ; (Ⅱ) 若AD =1，D
C =22求B
D 和AC 的长.
A
B C
P
4．(2016年新课标理数全国卷1)ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c = （I ）求C ；（II ）若ABC c ∆=,7
求ABC ∆的周长．
5．(2017年新课标理数全国卷1)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC
的面积为（1）求sin B sin C ; （2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长.
6．(2017年新课标理数全国卷2)ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知2
sin 8)sin(2
B C A =+，（1）求B cos ；（2）若6=+c a ，ABC ∆面积为2，求b .
2
3sin a A
7．(2017年新课标理数全国卷3)ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c
，已知
sin 0A A =
，a =，2b =．
（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积．
8．(2018年新课标理数全国卷1)在平面四边形中，，，
，.（1）求；
（2）若
.
9．(2019年新课标理数全国卷1)ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．
10．(2019年新课标理数全国卷1)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin sin 2
A C a b A +=．（1）求
B ；（2）若△AB
C 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．
ABCD 90ADC ∠=45A ∠=2AB =5BD =cos ADB ∠DC =BC。