高中数学第二章平面向量22平面向量的线性运算221向量加法运算及其几何意义课后集训.doc

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高中数学第2章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义aa高一数学

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向量加法(jiāfǎ)的三角形法则和平行四边形法则
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[探究问题]
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1．求作两个向量和的法则有哪些？这些法则的物理模型是什素
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么？
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提示：(1)平行四边形法则，对应的物理模型是力的合成等．
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(2)三角形法则，对应的物理模型是位移的合成等．
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2．设 A1，A2，A3，…，An(n∈N，且 n≥3)是平面内的点，则一
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般情况下，A→1A2＋A→2A3＋A→3A4＋…＋An→－1An的运算结果是什么？
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(2)①D→G＋E→A＋C→B＝G→C＋B→E＋C→B＝G→C＋C→B＋B→E＝G→B＋B→E＝
小结

高中数学第二章平面向量22平面向量的线性运算221向量加法运算及其几何意义同步优化.doc

2. 2. 1向量加法运算及其几何意义5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.如图2-2-1所示，在圆0中,)图2-2-1A.有相同起点的向量B.单位向量C.模相等的向量D.相等的向量解析：指定大小和方向后就可以确定一个向量，不能说某些向量是有相同起点的，A错；本题中没有给定向量的长度是1，所以不能说它们是单位向量，B错；这三个向量的方向是不同的，所以不是相等的向量，D错；这三个向量的模都是圆的半径，所以它们的模相等.答案：C2.(1)把平面上所有单位向量的起点平行移动到同一点P,则这些向量的终点构成的几何图形为 ___________________ .(2)把平行于直线1的所有单位向量的起点平行移动到直线1上的点P,这些向量的终点构成的儿何图形为 _________________ .(3)把平行于直线1的所有向量的起点平行移动到直线1上的点P,这些向量的终点构成的儿何图形为 _________________ •解析：向量是自由向量，根据向量相等，可以把向量的起点平移到同一点.(1)因为单位向量的模都是单位长度，所以同起点时，终点构成单位圆.应填：一个圆.(2)因为平行于直线1的所有单位向量只有两个方向，故这样的单位向量只有两个，起点为P, 则终点应为：直线1上与P的距离相等的两个点.(3)因为平行于直线1的向量只有两个方向，但长度不同，任何长度都有，所以终点应为：直线1上的任意一点.答案：(1)一个圆.⑵直线1上与点P的距离相等的两个点.⑶直线1上的任意一点.3.如图2-2-2,试作出向量a与b的和a+b・(1)⑵⑶图2-2-2解析：如图，首先作04 =a,再作AB=b,则OB =a+b.0 ABO BA(1) ⑵4•若a二“向北走8 km", b=“向东走8 km",贝!j|a+b|= 解析：如图所示.答案：8V2 东北方向10分钟训练（强化类训练，可用于课中）1 •如图2-2-3,正方形ABCD的边长为1,贝】JMB+BC+DC + AD|等于（）解析：| AB + BC + DC + AD |=| 2AC |=2| AC |= 2^/2 .答案：D2•如图224,四边形ABCD为菱形，则下列等式中成立的是（C.AC^BA = ADD. AC + AD = DC解析：由三角形法则和平行四边形法，可知AB+BC = AC,A错；BA^AC = BC, B错;CA + AD = DC, D错•只有C是正确的.答案：c3.已知向Sa/7b,且|a|>|b|>0,则向量a+b的方向（）.A.与向量a方向相同B.与向量a方向相反C.与向量b方向相同D.与向量b方向相反解析：己知a平行于b,如果a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a的方向相同;如果它们的方向相反，因为a的模大于b的模，所以它们的和仍然与a的方向相同.A. AB + BC = CA；a+b的方向是AJ B.V2 C.3 D. 2>/2图2-2-3答案：A4•如图225所示，已知向量a, b, c, d,求向量a+b+c+d.图 2-2-5解：在空间中任取一点 0,作 0A 二a, AB =b» BC =c, C£)=d* 则 0D =a+b+c+d.5.如图2-2-6所示,已知向量a 、b 、c,求作向量a+b+c.解：如图，首先作0A=b,再作AB =a, BC =c 则0C 二a+b+c.30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）1.已知平行四边形ABCD, S （AB + CD ）+（ BC4-5A ）=a,而b 是一非零向量，则下列结论正确的有（）① a 〃b ② a+b 二 a ③ a+b 二 b ④ |a+b|<|a|+|b|A.①③B.②③C.②④ 解析：在平行四边形ABCD 中，AB + CD=O, BC + DAM ）,所以a 为零向量，零向量和任何向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，所以①③正确. 答案：A 2.向量a 、b 都是非零向量，下列说法不正确的是（）A.向量a 与b 同向, B. 向量a 与b 同向， C. 向量a 与b 反向， D. 向量a 与b 反向，贝1」向量a+b 与a 的方向相同则向量a+b 与b 的方向相同且|a|<|b|,则向量a+b 与a 的方向相同且|a|>|b|,则向量a+b 与a 的方向相同解析：向量a 与b 反向，且|a|<|b|,则向量a+b 的方向应该和模较大的向量相同，即和b 的方向相同，所以C 错.答案：C3.a 、b 为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|,则下列说法正确的是（）A.a 〃b ，且a 与b 方向相同B.a 、b 是共线向量D.①②图 2-2-6C.a=-bD.a^ b无论什么关系均可解析:当两个非零向量a与b不共线时,a+b的方向与a>b的方向都不相同，且|a+b|<|a|+|b|；向量a与b同向时，a+b的方向与a、b的方向都相同，且|a+b|=|a|+|b|；向量a与b反向且|a|<|b|时，a+b的方向与b的方向相同（与a方向相反），且|a+b|=|b|-|a|.答案:A4.在平行四边形ABCD中，下列式子：®AD=J B +~BD；@J D =AC+CD； @ + = ；®~AB + ~BC = ~AC；⑤ AD = AB+BC + CD； ®AD=DC + CA.其屮不正确的个数是（）A」 B.2 C.4 D.6解析：DC + CA = DA,所以⑥错，其他各项都是正确的.答案：A5.下列命题①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a+b的方向必与a、b之一的方向相同;②Z\ABC 中，必有AB + BC + G4=0；③若4B + BC + CA=0,则A、B、C为一个三角形的三个顶点；④若a、b均为非零向量，则|a+b|与|a|+|b|—定相等.英中真命题的个数为（）A.O B」 C.2 D.3解析：①假命题•当a+b=O时，命题不成立;②真命题;③假命题.当A、B、C三点共线时也可以有AB + BC + CA=O;④假命题.只有当a与b同向时，相等，其他情况均为|a+b| >|a|+|b|.答案：BA. AB = CD , BC = AD6.如图2-2-7所示，在平行四边形ABCD中，0是対角线的交点.下列结论正确的是（）C.AO + OD = AC + CDD.AB+ BC-^-CD = DA解析：因为AO + OD = AD, AC + CD = AD,所以AO + OD = AC + CD. 答案：C 7.已知向量a、b,比较|a+b|与|a|+|b|的大小.解：⑴当a、b至少有一个为零向量时,有|a+b|=|a|+|b|;（2）当a、b为非零向量且a、b不共线时,有|a+b|<|a|+|b|；(3)当a、b为非零向量且a、b同向共线时,有|a+b|=|a|+|b|；(4)当a、b为非零向量且a、b异向共线时,有|a+b|<|a|+|b|.&已知四边形ABCD,対角线AC与BD交于点0,且A0=0C, D0=0B.求证：四边形ABCD 是平行四边形.证明：由已知得AO = OC,BO = OD.nV AD = A0 + 0D = BO + OC = BC,且A、D* B、C 不在同一直线上・故四边形ABCD是平行四边形.9.轮船从A港沿东偏北30。

2019-2020学年高中数学第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义

③当两个非零向量a与b反向且|a|<|b|时(如图2),则a+b与b方向相同 (与a方向相反),且|a+b|=||a|-|b||. ④当两个向量a与b中至少有一个为0时,则必有|a+b|=|a|+|b|=||a||b||. 综上可知任意两个向量a,b恒有||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.
uuur uuur 则飞机飞行的路程指的是| AB |+| BC |;
uuur uuur uuur 两次飞行的位移的和指的是 AB + BC = AC .
uuur uuur 依题意,有| AB |+| BC |=800+800=1 600(km), 又α=35°,β=55°,∠ABC=35°+55°=90°,
新知导学课堂探究
新知导学·素养养成
1.向量加法的定义定义:求两个向量和的运算,叫做向量的加法. 对于零向量与任一向量a,规定0+a=a+ 0 = a .
2.向量求和的法则
三角形法则
法则
前提作法
结论
已知非零向量a,b,在平面内任取一点A
uuur uuur
uuur
作 AB =a, BC =b,再作向量 AC
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur (1)解析:a=( AB + CD )+( BC + DA )= AB + BC + CD + DA =0, 所以 0∥b,①正确;0+b=b,③正确;|0+b|=|0|+|b|,⑤正确.故选 C.
uuur uuur uuur (2)化简:① AB + CD + BC ;

高中数学第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义课件3新人教A必修4

【即时小测】
1.思考下列问题.
(1)两个向量相加结果可能是一个数量吗？提示：不能，实数相加结果是数，而向量具有方向，所以相加的结果是向量. (2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加，这种说法对吗？提示：这种说法是不正确的.向量既有大小又有方向，在进行向量相加时，不仅要确定长度还要确定向量的方向.
答案：CF
知识点1 向量的加法
【知识探究】
观察图形，回答下列问题：
问题1：三角形法则和平行四边形法则的使用条件有何不同？问题2：共线向量怎样进行求和？问题3：当涉及多个向量相加时，运用哪个法则求解？
【总结提升】 1.对向量加法的三角形法则和平行四边形法则的三点说明 (1)两个法则的使用条件不同. 三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和. (2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的. (3)在使用三角形法则时要注意“首尾相连”，在使用平行四边形法则时需要注意两个向量的起点相同.
3.如图，在正六边形ABCDEF中BuuAur
uuur CD
uur EF
=______.
【解析】根据正六边形的性质，对边平行且相等，我们容易得到
uuur uuur uur uuur uuur uur uur uuur uur BA CD EF BA AF EF BF CB CF.
uur
【解题探究】典例图1中a与b有何关系，图2两向量相加可采用哪种方
法进行？图3三向量相加可采用哪种方法进行？提示：图1中向量a与向量b共线，图2中两向量相加可采用三角形法则或平行四边形法则进行.图3中三向量相加可采用三角形法则或平行四边形法则进行.
【解析】如图中(1)，(2)所示，首先作OuuAu=r a，然后作 Auu=Burb，则 Ou=uBura+b.

高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.1向

则
则．对于零向量与任一向量 a 的和有 a＋0
＝ 0＋a ＝量平行作A→B＝a，A→D＝b，则 A、B、D 求和四边三点不共线，以 AB ， AD 为邻边的法形法作平行四边形 ABCD .
则则则对角线上的向量A→C＝a＋b，如图，这种作两个向量和的方法叫作两个向量加法的平行四边形法则.
课时作业
一、向量加法的定义求两个向量和的运算
[自主梳理] ，叫作向量的加法．
二、向量加法的运算法则
已知非零向量 a，b，在平面上任取一点 A，作
向量
A→B＝a.B→C＝b，则向量A→C 叫作 a 与 b 的和，
求和三角形记作 a＋b，即 a＋b＝A→B＋B→C＝A→C . 的法法则这种求两个向量和的方法，称为向量加法的三角形法
探究三向量加法的应用 [典例 3] 在某地抗震救灾中，一架飞机从 A 地按北偏东 35°的方向飞行 800 km 到达 B 地接到受伤人员，然后又从 B 地按南偏东 55°的方向飞行 800 km 送往 C 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和． [解析] 如图所示，设A→B，B→C分别表示飞机从 A 地按北偏东 35°的方向飞行 800 km，从 B 地按南偏东 55° 的方向飞行 800 km. 则飞机飞行的路程指的是|A→B|＋|B→C|；两次飞行的位移的和指的是A→B＋B→C＝A→C.
依题意，有|A→B|＋|B→C|＝800＋800＝1 600(km)．又 α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°. 所以|A→C|＝ |A→B|2＋|B→C|2＝ 8002＋8002＝800 2(km)．其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东 35°＋45°＝80°. 从而飞机飞行的路程是 1 600 km，两次飞行的位移和的大小为 800 2 km，方向为北偏东 80°.

高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义课件新人教A版必修4 (1)

12
知识拓展1.向量加法的多边形法则:n个向量经过平移,顺次使前一个向量的终点与后一个向量的起点重合,组成一组向量折线,这n 个向量的和等于从折线起点到终点的向量.这个法则叫做向量加法的多边形法则.多边形法则的实质就是三角形法则的连续应用.
2.三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意义. (4)规定:a+0=0+a=a. (5)结论:|a+b|≤|a|+|b|.
A.3
B.4
答案:D
C.7
D.5
【做一做 1-3】在边长为 1 的正方形 ABCD 中,|�� + �� + ��|
等于( )
A.0
B.1
C. 2D. 3
解析: |�� + �� + ��| = |�� + ��| = |��| = 1.
∴(a+b)+c=a+(b+c).
(3)运算的意义:向量加法的几何意义是向量加法的三角形法则和平行四边形法则;实数加法的意义是实数的加法法则.
由此可见,向量的加法与实数的加法不相同,其根本原因是向量不仅有大小而且还有方向,而实数仅有大小,是数量,所以向量的运算不能按实数的运算法则来进行.
题型一
图①
图②
再以 OD,OC 为邻边作▱ODEC,连接 OE,则�� = �� +
�� =a+b+c 即为所求.

高中数学第二章平面向量22平面向量的线性运算221向量加法运算及其几何意义课件新人教A版必修

图2-2-1
一级达标重点名校中学课件
[合作探究·攻重难]
向量加法运算法则的应用
[探究问题]
1．求作两个向量和的法则有哪些？这些法则的物理模型是什么？提示：(1)平行四边形法则，对应的物理模型是力的合成等． (2)三角形法则，对应的物理模型是位移合成等． 2．设 A1，A2，A3，…，An(n∈N，且 n≥3)是平面内的点，则一般情况下， A→1A2＋A→2A3＋A→3A4＋…＋An→－1An的运算结果是什么？提示：将三角形法则进行推广可知A→1A2＋A→2A3＋A→3A4＋…＋An→－1An＝A→1An.
如图2-2-5，用两根绳子把重10 N的物体W吊在
水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处
所受力的大小(绳子的重量忽略不计)
[思路探究]
【导学号：84352181】
作出对应的几何图形，构造有关向量
→
利用三角形法则或平行四边形法则运算
→
图2-2-5 回答实际问题
一级达标重点名校中学课件
一级达标重点名校中学课件
[跟踪训练] 1．已知正方形ABCD的边长等于1，则|A→B＋A→D＋B→C＋D→C|＝________. 2 2 [|A→B＋A→D＋B→C＋D→C|＝|A→B＋B→C＋A→D＋D→C|＝|A→C＋A→C|＝2|A→C|＝ 2 2.]
一级达标重点名校中学课件
向量加法的实际应用
一级达标重点名校中学课件
(1)如图2-2-2，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段
DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填上一个向
量)：
①A→B＋D→F＝________；

高中数学必修四第2章平面向量课件 2.2.1 向量加法运算及其几何意义

③A→B＋A→D＋C→D＝________； ④A→C＋B→A＋D→A＝________. [思路探索] 首先观察各向量字母的排列顺序，再进行恰当的组合，利用向量加法法则运算求解．解 (1)C→D＋B→C＋A→B＝(A→B＋B→C)＋C→D＝A→C＋C→D＝A→D. (2)A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A ＝(A→B＋B→C)＋(C→D＋D→F)＋FA ＝A→C＋C→F＋F→A＝A→F＋F→A＝0.
(3)①A→D＋A→B＝A→C，
②C→D＋A→C＋D→O＝C→O＋A→C＝A→O，
③A→B＋A→D＋C→D＝A→C＋C→D＝A→D，
④A→C＋B→A＋D→A＝D→C＋B→A＝0.
答案
→ (1)AD
(2)0
(3)①A→C
②A→O
③A→D
④0
[规律方法] (1)解决该类题目要灵活应用向量加法运算，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序，特别注意勿将0 写成0. (2)运用向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．
类型一向量的加法运算【例 1】化简或计算：(1)C→D＋B→C＋A→B＝________. (2)A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A＝________.
(3)在平行四边形 ABCD 中(如图)，对角线 AC、BD 交于点 O. 则①A→D＋A→B＝________； ②C→D＋A→C＋D→O＝________；
类型二利用向量证明几何问题【例 2】在平行四边形 ABCD 的对角线 BD 的延长线及反向延长线上，取点 F、E，使 BE＝DF(如图)．用向量的方法证明：四边形 AECF 也是平行四边形．
[思路探索] 本题主要考查利用向量方法证明几何问题，只需证明一组对边对应的向量相等即可．

高中数学第二章平面向量 2.2 平面向量的线性运算 2.2.1 向量加法运算及其几何意义互动课堂

2.2.1 向量加法运算及其几何意义互动课堂疏导引导1.向量求和的三角形法则已知向量a、b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC叫做a与b的和向量，记作a+b，即a+b=AB+BC=AC.这种求两个向量和的方法，叫做向量加法的三角形法则.（如图2-2-1所示）图2-2-1疑难疏引①由向量求和的三角形法则可知，两个向量的和仍为向量.②向量求和的三角形法则的本质是两个加数向量的首尾相接，和向量是从一个向量的起点指向另一个向量的终点.③当两个向量共线（平行）时，向量加法的三角形法则同样适用.2.向量加法的运算性质（1）对于零向量与任一向量a的和有a+0=0+a=a.(2)向量加法的交换律：a+b=b+a.简证如下：①若a、b不共线，作AB=a,BC=b,则A、B、C三点不共线，AC=a+b.作AD=b，连结DC，（如图2-2-2），由于AD=BC，∴四边形ABCD为平行四边形.∴DC AB.∴|DC|=|AB|=|a|,又DC与AB同向，∴AB=DC，此时有b+a=AD+DC=AC,即有a+b=b+a.②当a与b共线且同向时，a+b及b+a都与a同向，且|a+b|=|a|+|b|；|b+a|=|b|+|a|.a+b与b +a 同向，故有a +b =b +a .③当a 与b 共线且反向时，不妨设|a |＞|b |,a +b 与a 同向，且|a +b |=|a |-|b |,b +a 与a 同向，且|b +a |=|a |-|b |.故a +b 与b +a 同向，因此a +b =b +a .综合①②③知a +b =b +a .图2-2-2 图2-2-3(3)向量加法的结合律：（a +b ）+c =a +(b +c ). 验证如下：如图2-2-3.（a +b ）+c =OB +BC =OC ,a +(b +c )= OC AC OA =+. ∴(a +b )+c =a +(b +c ).疑难疏引向量加法的运算律同实数加法的运算律一致,都满足交换律与结合律.由于向量的加法具有这两个运算律,因此，对于多个向量加法的运算就可以按照任意的次序与组合来进行了.3.向量求和的平行四边形法则已知两个不共线的向量a ，b ，作AB =a ，AD =b ，则A 、B 、D 三点不共线，以AB 、AD 为邻边作平行四边形ABCD ，则对角线上的向量AC =a +b .这个法则叫做向量求和的平行四边形法则.疑难疏引两个向量不共线时，向量加法的三角形法则与平行四边形法则是一致的，当两向量为共线向量时，三角形法则同样适用，而平行四边形法则就不适用了.因此在选用两个法则进行向量求和时应熟练、灵活.4.向量加法的实际应用向量的加法在日常生产、生活中应用广泛，主要体现在求两个或多个向量的和向量，可选用灵活的法则解决.案例1一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，该船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度.【探究】本题是用向量解决物理问题，可先用向量表示速度，再用向量的加法合成速度即可.图2-2-4【解】如图2-2-4.OA 表示水流速度，OB 表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，OC 表示船实际航行的速度，∠AOC=30°,|OB |=5 km/h. ∵四边形OACB 为矩形， ∴|OA |=︒==︒30sin ||||,3530tan ||OB OC AC =10. ∴水流速度大小为35km/h,船实际速度为10 km/h ，与水流速度的夹角为30°.【规律总结】用向量解决实际问题的步骤为：①用向量表示实际量；②进行向量运算；③回扣实际问题，作出回答.活学巧用1.已知a ∥b ，试用向量加法的三角形法则作出向量a +b .图2-2-5解析：a ∥b 时，也可用向量加法的三角形法则求出其和向量.（1）作AB =a ，BC =b .则a +b =AB +BC =AC .如图2-2-6所示.图2-2-6 图2-2-7(2)作11B A =a ，11C B =b ，则a +b =11B A +11C B =11C A ，如图2-2-7所示.2.已知非零向量a ，b ，试说明|a +b |与|a |+|b |的大小.解析：解答本题可用向量加法的三角形法则作出图形辅助解决，并且要注意分类讨论.（1）当a，b不共线时，根据向量求和的三角形法则显然有|a+b|＜|a|+|b|.(2)当a，b方向相同时，有|a+b|=|a|+|b|.（3）当a，b方向相反时，有|a+b|＜|a|+|b|.综上有|a+b|≤|a|+|b|.3.在矩形ABCD中，AC等于（）A.BC+BAB.AB+ADC.AD+CDD.DC+AD解析：画出图形，帮助分析.若对向量求和的本质理解深刻了，也可直接按照向量加法的交换律运算.显然D选项中，DC+AD=AD+DC=AC.而其他的选项运算的结果不是AC. 答案：D4.化简下列各式.（1）CD+BC+AB；（2）AB+BC+CA；（3）AB+BC+CD+DE+EF.分析：根据向量加法的运算律，对于多个向量求加法时，可以按照需要将向量组合，使之构成首尾相接，进行运算.第（1）个可以使用结合律转化为求AB+BC+CD的和；第（2）个则可以直接运算；第（3）个各向量首尾相接，恰好构成一个向量链，因此可直接计算. 解：（1）CD+BC+AB=AB+BC+CD=AD.(2)AB+BC+CA=0.(3) AB+BC+CD+DE+EF=AF.5.如图2-2-8,在ABCD中，已知有以下4个等式：①AB+AD=AC;②AC+DO+CD =AD;③AB+AD+CD=CB;④AC+BA+DA=0,其中正确的式子有___________个.（）A.1B.2C.3D.4解析：本题要结合图形及向量加法的运算律对选项中的等式一一验证.图2-2-8①AB+AD=AB+BC=AC，故①正确；②AC+DO+CD=AC+CD+DO=AO≠AD，故②不正确；③AB+AD+CD=AC+CD=AD≠CB，故③不正确；④AC+BA+DA=BA+AC+DA=BC +DA=AD+DA=0，故④正确.答案：B6.在正六边形中，若OA=a，OE=b，试用向量a、b将OB、OC、OF表示出来.分析：如图2-2-9所示，在正六边形中，有很多菱形、三角形，这就为使用向量求和的三角形法则或平行四边形法则创造了条件.图2-2-9解：设正六边形的中心为P，则OB=OP+OA=（OA+OE）+OA=2a+b，OC=OP+PC =OP+OP=2a+2b，OF=OE+OP=2b+a.7.轮船从A港沿东偏北30°方向行驶了40 km到达B处，再由B处沿正北方向行驶40 km 到达C处，求此时轮船与A港的相对位置.图2-2-10解：如图2-2-10所示，设AB、BC分别是轮船两次位移，则AC表示两次位移的和位移，20km.在Rt△ACD中, 即AC=AB+BC.在Rt△ABD中，|DB|=20 km,|AD|=3|AC 340=km,∠CAD=60°,即此时轮船位于A 港东偏北60°，且距离A 港340km 处.。

平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义讲义新人教A版必修4

向量加法运算及其几何意义知识梳理1、向量加法的定义求两个向量和的运算叫做向量的加法.2、求向量和的方法(1)三角形法则:已知非零向量a、b,在平面上任取一点A,作AB = a, £ = b，则向量AC叫做a与b的和或和向量，记作a+ b,即a+ b= AB +B C = A C .上述求两个向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.点的对角线OC就是a与b的和，如图.这种求两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.对于零向量与任一向量a,规定：a+ 0= 0+ a= a.3 .向量加法的交换律和结合律(1)向量加法的交换律：a+ b= b + a；(2)向量加法的结合律：(a+ b) + c = a+ ( b+ c).常考题型题型一、求作向量的和例1、如图，已知a, b,求作向量a + b.变式训练如图，已知a、b、c,求作向量a+ b+ c.(2)平行四边形法则:已知两个不共线向量a, b,作OA = a, OB = b,以a, b为邻边作？OACB则以0为起题型三、向量加法的应用例3、轮船从A 港沿东偏北30°方向行驶了 40 km 到达B 处，再由B 处沿正北方向行驶 40 km 到达C 处，求此时轮船与 A 港的相对位置.题型二、向量加法运算例2、化简或计算:CD +BC +7B ； 7B + DF +CD +BC + TA变式训练如图，在△ ABC 中，0为重心, ⑴ BC +cE+E A ； D E 、F 分别是BC AC AB 的中点，化简下列三式:OE + AB + EA ；(3)AB + F E + DC .变式训练雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落的速度是 4.0 m/s ，现在有风,风使雨滴以433 m/s 的速度水平向东移动，求雨滴着地时的速度和方向.课堂小测1、下列等式错误的是()5、如图所示，P, Q 是三角形ABC 的边BC 上两点，且BA QC 求证: 7B+7C Z AP +7Q .A . a + 0 = 0+ a = aT TAB + BA = 0T TC. 2、在矩形ABCDK | A . 2 53、如图，在平行四边形 T T(1) AB + AD = T T T (3) AB + AD + CD =AB | = 4, | BC | = 2, B . 4 5ABCDKB . AB + "BC + AC = 0 D. CA + AC =M N + N + P MT T T贝恫量AB + AD + AC 的长度等于(.124、如果 | AB | = 8, | AC | = 5,那么 | ；(4) AC + BABC |的取值范围为利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤fiQ C同步练习 1、如图所示，在平行四边形 A. BD B. ABCD 中, DB C. BC DC BA 等于( BC D.CB2、在厶ABC =a , BC =b 则a b 等于（ A .C A•BC • AC 3、在四边形 ABCD 中，若AC = AB AD ，则四边形 ABCD r 曰定是 A.正方形 .菱形 C .矩形 •平行四边形 4、若四边形 ABCD A . AB BC 二 AC 为菱形，则下列等式中成立的是（ .7B AC D. AC A ^^DC 5、已知向量a 表示"向东航行 1 km ”，向量b 表示 "向南航行1 km ”，则a b 表示（A.向东南航行.2 km B .向东南航行2 km C .向东北航行.2 km D.向东北航行2 km 6、已知 b 为非零向量，且 a +b = b ，则（） F-A. a b ，且a 与b 方向相同 .a , b 是共线向量且方向相反 .a , b 无论什么关系均可7、如图所示的方格纸中有定点 O , E , F , G , H ，则 CP 二( A. O H B . O GFO .EO8、如图所示，四边形 ABCD 是梯形， B. OC9、在平行四边形 ABCD 中，若BC = BC AB ，则四边形ABCD 是AD _ BC ，贝U OA+BC AB =(A. CD C. DA D. CO10、已知 a = 3, b =5，则向量a b 模长的最大值是r- L —jJ-LL-jj-I ----------- 片 ---------- L-S--4OI I F I I <i i r M i ■Lw 」二二三』11、已知 AB =3, =5，贝U AC 的取值范围是12、设a 表示“向东走19 km ”，b 表示“向西走5 km示“向南走5 km ”，试说明下列向量的意义.(1) a ■ a ; (2) 1 b ; ( 3)13、在水流速度为10 km/h 的河中，如果要使船以10 3 km/h 的速度与河岸成直角地横渡, 求船行驶速度的大小与方向.14、求证：三角形的三条中线构成的向量首尾相连正好构成一个三角形.c 表示“向北走10 km ”，d 表(5)b.c b ；(6)dad。

人教版高中数学必修4第二章平面向量《2.2平面向量的线性运算：2.2.1 向量加法运算及其几何意义》教学PPT

以 OA、OB 为邻边做 OACB ， a
连结OC，则 OC OA OB a b.Oa来自Aabb
平行四边形法则 B
C
四、例题
例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以2 3 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）角求来船表实示际）航。行的速度的大小D 与方向（C 用与江水速度的夹
练习:化简
(1)AB BC AC
(2)AB BC CD AD
(3)AB BC CD DE AE
(4)AB BC CD DA 0 注: 1.首尾相接 2.以第一个向量的起点作为起点,
最后一个向量的终点作为终点
三、新课讲解 (二)向量加法的平行四边形法则
a ab ？
b
A
C
首尾相接
B
已知非零向量 a、b ,在平面内任取一点A，作AB = a,BC = b,
则向量AC叫做a与b的和，记作a + b,即
a + b = AB + BC = AC 这种求向量和的方法称为向量加法的三角形法则。
反之,任何一个向量都可以拆成若干个首尾相接的向量的和
三、新课讲解 (一)向量加法的三角形法则
(2)解 :由图可知AB DC
C
D
y
AB // CD AB CD ABCD为平行四边形. AD BC 200米.
50
B Ao x
练习
2.把平行于直线l的所有向量的起点平行移动到直线l
上点P处，这些向量的终点构成的几何图形为直 ___线__l

高中数学第二章平面向量 2.2 平面向量的线性运算 2.2.1 向量加法运算及其几何意义课前引导

2.2.1 向量加法运算及其几何意义
课前导引
问题导入
一人从A点出发向东走了400 m到达B点；接着向东偏北45°走2
200m到达C点；然后再向北走400 m到达D点,选择适当比列尺,用向量表示这个人的位移.
思路分析：如下图,一个单位表示100 m,则这个人的位移是
.
由物理知识我们知道这个人的位移是由几个分位移、、的合位移，在物理上记作=++.将这个问题抽象成数学知识即：向量等于向量、向量、向量的和，记作=++，这就是我们这节课要研究的向量的加法.
知识预览
1．求两个向量和的运算叫做向量的加法
2．向量加法的运算法则有三角形法则和平行四边形法则.
3．对任一向量a和零向量规定0+a=a+0=a.
4．向量加法的交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c).
1。

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2. 2.1向量加法运算及其几何意义
课后集训
基础达标
1 •在四边形ABCD 中，CB + AD + BA 等于（）
解析：CB + AD + BA= （CB + BA ） AD = CA +AD = CD,故选 C.
答案：C
2. 在AABC 中，必有AB + C4 + BC 等于（）
A.O
B.O
C.任一向量
D.与三角形形状有关解析：AB + G4 + BC = AC + C4=0.故应选 B.
答案：B
3. 如右图，在厶ABC 中，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、CA 的屮点，则乔十丽（）解析：由于D 、E 、F 分别是AABC 三边的中点，
A AF = D£贝0乔+丽二丽+旋二庞，故应选D.
答案：D
4.
已知正方形ABCD 的边长为1 （如右图），AB=a f AC=c, BC =b,则|a+b+c|等于（）
A.O
B. 3 解析：如右图所示,a+b 二c,
| a+b+c | =21 c | = 2V2 . A. DB B. CA C. CD D. DC A. FD B. FC D. BE
c. V2 D. 2V2
・・・应选D.
答案：D
5.如
右图所示,0是四边形ABCD对角线的交点，若a+d二c+b则四边形ABCD形状为（）A.等腰梯形 B.菱形 C.平行四边形 D.矩形
解析：c+b= CB , a+d=d+a= DA ・•・DA = CB. A ABCD为平行四边形.
答案：C
6.(1) + + ____________________________ ;
(2)OB + AO + OC + CO= _______________ ;
(3)(AC + BA ) +CB= ______________ ;
(4)( AB + CB) +BD + DC= _______________ .
解析：(1) CD^BC^AB = CD^ ( AB + BC) =CD^AC = AC^CD = AD.
(2)OB + AO + OC + CO二+ =
(3)( AC + BA ) +CB = AC^BA + CB = AC+ (CB + BA) =AC + C4=0.
(4)(AB + CB) +BD +5C= ( AB + BD) +5C + CB = AD + DB = AB.
答案：(1) AD (2) ~\B(3) 0 (4) ~\B
综合运用
7.下列各式中不能化简为乔的是( )
A. ( AB + CD) +BC
B. (AD^MB ) + (BC + CM )
C. MB + AD + MB
D. 0C + A0 + CD
答案：C
&向量a、b满足|a|=6, |b|=10,则|a+b|的最大值是__________________________ ,最小值是
解析:当a 、b 不共线时,如右图，作AB =a, BC=b,则AC 二a+b.由向量加法的几何意义知 Ia+b | < |a| + |b |=16.
当a. b 共线同向时，如下图，作AB -a, BC 二b,则AC 二a+b,由向量加法的几何意义可知 | AC | = |a+b| = |a| + |b|=16.
A a
B b c
当a 、b 共线反向时：如下图所示，作AB=a t BC=b,则疋二a+b 由向量加法的几何意义可知 |a+b | = b -1 a| =10-6=4, /. | a+b | 的最大值为 16,最小值为 4.
C A
答案：16 4
9. 某人从点A 向东位移60 m 到达点B,又从点B 向东偏北30°方向位移50 m 到达点C,又从点C 向北偏酋60°方向位移30 m 到达点I),选用适当的比例尺作图，求点D 相对于点* 的位置.
在 RtACFB 中，|CF|二50Xsin30° =25, | BF |=50Xcos30° =25^3 .
在 RtACED 中，| CE |=30Xcos30° =15V3 , | DE |=30Xsin30° =15.
| DM | = | DE | + | EM 1=15+25=40.
~BM | = | BF\-\~MF\ = \ ~BF |-| EC 1 = 25^3-15^3 = 10^3.
・••在 RtADMA 中，| 而 |二40, | 而 |二60+10
・•・ I AD | = 7402 +(60 + 10V3)2 ^87.
由计算器计算得ZDAM 二27° 18’ .
tanZDAM= \ DM \_ 40
\AM\ 60 +10徭〜0. 517 3.
・・・D在A点东偏北27° 18’且距A87米处.
拓展探究
10.一架执行任务的飞机从A地按北偏西30°的方向飞行300 km后到达B地,然后向C地飞行，已知C地在A地东偏北30°的方向处，且A、C两地相距300 km,求飞机从B地到C地E 行的方向及B、C间的距离.
解：如右图，+ ZBAC=90° , | AB | = | AC |=300,所以| BC | = 300血（km）. 又因为ZABC二45°，且A地在B地的东偏南60°的方向处，可知C地在B地的东偏南15°的方向处.
答:飞机从B地向C地飞行的方向是东偏南15° ,B、C两地间的距离为300^2 km.
备选习题
11.（1）若a、b为非零向量，且| a+b | = |a | +1b |,则a的方向与b的方向必定________ .（2） _________________________________________________ 向量a与向量b反向，则a+b 与a的方向是 ________________________________________ .
（3） _________________________________________ 向量a、b满足关系式a+b二b,则a二, |a+b|= .
答案：⑴相同（2）同向或反向（3） 0 |b|
12.设a表示“向东走了2 s千米”，b表示“向南走了2 s千米”，c表示向西走了2 s 千米，d表示向北走了2 s千米，则
（1）a+d表示向_________ 方向走了___________ 千米.
（2） ____________________ b+c表示向__________ 方向走了千米.
（3） ______________________ a+c+d表示向________ 方向走了千米.
（4） ______________________ b+c+d表示向________ 方向走了千米.
答案：（1）东北22 s （2）西南22 s （3）北2 s （4）西2 s
13.如图1所示，己知0是线段AB的中点，M是平面上任意一点，试证明
MA^MB = MO + MO.
证法1：如图2,过A、B分别作MB、MA的平行线交于W易知MO + MO二+ . 证法2：因为MO二MB十BO , MO = MA + AO ,而AO + BO =0 ,所以易得
MO + MO = MA^MB.
14. 如下图甲所示，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°、60° ,求当整个系统处于平衡状态时，两根绳子拉力的大小•
甲乙
解：如上图乙所示，作出OOACB 的图形，使ZA0C=30° , ZB0C=60o ,在ZX0AC 中, ZAC0=ZB0C-60° , Z0AC=90° •
OB | = | AC |=150 N. 则可得与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150巧N,与铅垂线成60°角的绳子的拉力是 150 N.
15. 己知下图中电线A0与天花板的夹角为60。