五年级上册奥数讲义(完整资料).doc

4. 最大公因数与最小公倍数
最大公因数：在几个自然数的公因数中，最大的一个称为这几个数 的最大公因数。
a、b 的最大公因数=(a，b)
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最小公倍数： 在几个自然数的公倍数中，除零外最小的一个称为这几个数的
最小公倍数。 a、b 的最小公倍数=[a、b]
2
18
30
3
9
15
3
5
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一、 知识要点 1. 质数与合数
第一讲 整数问题 第 2 课 倍数与因数（一）
质数：一个数除了 1 和它本身，不再有别的因数，这个数叫 做质数。（素数）
合数：一个数除了 1 和它本身，还有别的因数，这个数叫做 合数。
1 不是质数，也不是合 数。 2. 质因数与分解质因数 质因数：如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个 数的质因数。
2、4、6、8、0），那么它必能被 2 整除。
（2）能被 5 整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是 0 或 5，那么它 必能被 5 整除。
（3）能被 3（或 9）整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被 3（或 9）整除，那么它必能被 3（或 9）整除。
（4）能被 4（或 25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被 4（或 25）整除，那么它必能被 4（或 25）整除。
的数能够被
整除？
4 整除。
78 4
7653
863
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4. 如果两个数的和是 64，这两个 数的积可以整除 4875，那么这两个 数的差是多少？
3. 一个六位数 2356 是 22 的倍数， 那么这样 的六位数中，最大的一个是多少？
5.一位采购员买了同样的 72 只热 水杯，可是发票不慎弄湿，单价无 法辨认，总价数字也不全，只能看 出： 173. 元。你能算出热 水杯的单价吗？
点？
5. 把一张长 120cm，宽 80cm 的长方形 纸裁成同样大小的正方形(纸不能有 剩余)，至少能裁成多少张这样的正方 形纸，每张裁成的纸是多大？
6. 用一个数去除 31，61，76 都余 1， 这个数最大是多少？
一、 知识要点
第 3 课 倍数与因数（二）
1. 最小公倍数与最大公因数之间的关系
答：甲的年龄是 70 岁，乙的年龄是 10 岁。
【例 4】写出三个小于 20 的自然数，它们的最大公因数为 1，但两两均不互 质，共有几组?
解：假设这三个数分别是 a、b、c ∵a、b、c 两两不互质，且 a＜20，b＜20，c＜20， 则两两间的质因数互不相同且乘积小于 20 （a，b）=2 或（a，b）=3 或（a，b）=5； （a，c）=2 或（a，c）=3 或（a，c）=5； (b，c）=2 或 (b，c）=3 或 (b，c）=5； ∴a，b，c 三数有可能是 2×3=6，2×5=10，3×5=15，2×6=12，3
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一、 知识要点 1. 整除——因数、倍数
第一讲 整数问题 第 1 课 数的整除
必要条件： （1）a、b、c 三个数是整数 （2）b≠0 （3）a÷b=c
结论：整数 a 能被整数 b 整除，或 b 能整除 a，则 a 叫做 b 的倍数，b 叫 做 a 的因数。 记作：b｜a
3. 三个人绕环行跑道练习骑自行车， 他们骑一圈的时间分别为半分钟、45 秒钟、1 分 15 秒。三人同时从起点出 发，最少需要多长时间才能再次在起 点相会？
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4. 有一个表，每走 9 分钟亮一次灯， 每到整点时响一次铃。中午 12 点时既 亮灯又响铃。下次既亮灯又响铃在几
a 应是 3。 所以这个数应是
答：这笔账应是
元。
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【例 3】：173 是一个四位数，在其中的方框中先后填入三个数字，所得
到的三个四位数，依次可以被 9、11、6 整除。先后填入的三个数字的和是多
少？
[方法一] 试商法
[方法二] 倍数特征
解：
解：
三、 课后作业
1. 在 中填入适当的数字，使所组成 2. 71450 至少加上多少后就能被 4
一共可以分成多少个小组？
解： 30=2×3×5
24=2×3×2×2
42=2×3×7
（30，24，42）=2×3=6（人）
30÷6=5（个）
24÷6=4（个）
42÷6=7（个）
5＋4＋7=16（个）
答：每组最多可以分 6 人，一共可以分 16 个组。
【例 2】有一种长 16 厘米，宽 12 厘米的塑料扣板，如果用这种扣板拼成一
a+b=8。 ∵4｜856ab，则 4｜ab，∴ab=偶数 ∵5｜856ab，则 b=0 或 b=5，又∵ab 为偶数，∴b=0 ∵a+b=2 或 a+b=5 或 a+b=8，且 b=0，∴a=2 或 a=5 或 a=8 当 a=2，b=0 时，这个数为 85620；当 a=5，b=0 时，这个数为 85650；
31、37、
41、43、 47、
53、59、
61、67、
71、73、
79、
83、89、
97.
3. 公因数与公倍数 公因数：几个自然数公有的因数，叫做这几个自然数的公因数。
公倍数：几个自然数公有的倍数，叫做这几个自然数的公倍数。
一个数的因数的个数是（
（
）的。
几个数的公因数的个数是（
（
）的。
）的，倍数的个数是 ）的，公倍数的个数是
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×6=18。 又 ∵（a，b，c）=1； （6，10，15）=1；（10，15，12）=11；（10，15，18）=
答：共有三组，分别是（6、10、15），（10、12、15），（10、15、18）。
三、 课后习题 1. 求 56，36，284 的最小公倍数。
2. 有 336 个苹果、252 个梨子、210 个 桔子，用这三种水果最多可以分成多 少份相同的礼物？每份礼物中，三种 水果各占多少？
分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解 质因数。
例：30 分解质因数。 解：30=2×3×5 答：2、3、5 是 30 的质因数。
分解质因数的方法：可以用短除式来求质因数
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100 以内的质数（要会背的）：
2、3、5、7、
11、13、 17、19、
23、29、
分为 2 和 821 两个数，因为 821—2＝819，又 13｜819，所以 13｜2821，进而 13｜3546725。
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二、 典型例题详解 猜猜会是什么数？ 【例 1】：一个 856 五位数，能被 3、4、5 整除，这样的五位数中，最
小的一个是多少？ 解：先将 856 ，看做 856ab。 ∵3｜856ab，则 3｜8+5+6+a+b，3｜19+a+b，∴a+b=2 或 a+b=5 或
即：如果 m｜a，n｜a，且（m，n）=1，那么（m×n）｜ a。 例如：如果 2｜72，9｜72，且（2，7）=1，那么 18｜72。
性质 4：如果 a 能整除 b，b 能整除 m，那么 a 能整除 m。 即：如果 a｜b，b｜m，那么 a｜m。
例：如果 7｜14，14｜28，那么 7｜28。
4. 数的整除特征 （1）能被 2 整除的数的特征：如果一个整数的个位数是偶数（即个位数是
性质 2：如果 a 能同时被 m、n 整除，那么 a 也一定能被 m 和 n
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的最小公倍数整除。 即：如果 m｜a，n｜a，那么 [m，n]｜a。
例如：如果 6｜36，9｜36，那么[6，9]｜36。
性质 3：如果 m、n 都能整除 a，且 m 和 n 互质，那么 m 与 n 的 积能整除 a。
用公有的质因数2除 用公有的质因数3除 除到两个商是互质数为止
（18，30）=2×3=6
[18，30]=2×3×3×5=90
二、 典型例题详解
【例 1】五年级三个班分别有 30、24、42 人参加课外科技活动，现在要把参
加的人分成人数相等的小级，并且各班同学不能打乱，那么每组最多多少人？
用短除法计算：
当 a=8，b=0 时，这个数为 85680。 答：五位数中最小的一个是 85620。
【例 2】：一本老账本上记着：72 只桶，共 67.9 元，其中□处是被虫 蛀掉的数字，请把这笔账补上。
解：先将 67.9 ，看做整数 a679b。 ∵72=8×9，且（8，9）=1，∴8｜a679b，且 9｜a679b。 若 8｜a679b，则 8｜79b，所以 b=2。 若 9｜a679b，b=2，则 9｜a6792，9｜a+6+7+9+2，9｜a+24，所以
-（7＋3）＝0。因为 0 是任何整数的倍数，来自百度文库以 11｜0。因此 13574 是 11 的 倍数。
例：判断 123456789 这九位数能否被 11 整除？ 解：这个数奇数位上的数字之和是 9＋7＋5＋3＋1=25，偶数位上的数
字之和是 8＋6＋4＋2＝20.因为 25—20＝5，又因为 11 5，所以 11 123456789。 （7）能被 7（11 或 13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位
的倍数，所以 125｜29375。 （6）能被 11 整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位
数字之和的差（大减小）能被 11 整除，那么它必能被 11 整除。(奇数位指： 这个数的个位、百位、万位……；偶数位指：这个数的十位、千位、十万位……)
例：判断 13574 是否是 11 的倍数？ 解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（4＋5＋1）
个正方形，最少需要多少块？
解：16=2×2×2×2 12=2×2×3
用短除法计算：
[16，12]=2×2×2×2×3
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=48（厘米） 48÷16=3（块） 48÷12=4（块） 3×4=12（块） 答：最少需要 12 块扣板。
【例 3】甲对乙说：“我现在的年龄是你的 7 倍，过几年是你的 6 倍，再过若 干年就分别是你的 5 倍、4 倍、3 倍、2 倍。”求出甲、乙现在的年龄。
以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被 7（11 或 13）整除。 例：判断 1059282 是否是 7 的倍数？ 解：把 1059282 分为 1059 和 282 两个数。因为 1059-282＝777，又因为
7｜777，所以 7｜1059282。因此 1059282 是 7 的倍数。 例：判断 3546725 能否被 13 整除？ 解：把 3546725 分为 3546 和 725 两个数.因为 3546-725=2821.再把 2821
整数 a 除以整数 b（b≠0）等于 c（c 是整数且没有余数），那么说 a 能被 b 整除，或 b 能整 除 a，a 叫做 b 的倍数，b 叫做 a 的因数。
2. 相关基础知识点回顾 （1）0 是任何整数的倍数。 （2）1 是任何整数的因数。
3. 数整除的性质 性质 1：如果 a、b 都能被 m 整除，那么它们的和与差也能被 m 整除。 即：如果 m｜a，m｜b，那么 m｜（a±b）。 例如：如果 2｜10，2｜6，那么 2｜（10＋6），并且 2｜（10—6）。
定理一：两个自然数分别除以它们的最大公因数，所得的商互质。 即：如果（a，b）=d，那么（a÷d，b÷d）=1
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例：1864 能否被 4 整除？ 解：1864=1800+64，因为 4｜64， 4 是 1864 的因数，1864 是 4 的倍数，
所以 4｜1864。 （5）能被 8（或 125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被 8
（或 125）整除，那么它必能被 8（或 125）整除。 例：29375 能否被 125 整除？ 解：29375=29000+375，因为 125｜375，125 是 375 的因数，375 是 125
解：∵甲现在的年龄是乙的 7 倍，则甲的年龄比乙大 6 倍； ∵当甲的年龄是乙的 6 倍时，则甲的年龄比乙大 5 倍； ∵当甲的年龄是乙的 5 倍时，则甲的年龄比乙大 4 倍； ∵当甲的年龄是乙的 4 倍时，则甲的年龄比乙大 3 倍； ∵当甲的年龄是乙的 3 倍时，则甲的年龄比乙大 2 倍； ∵当甲的年龄是乙的 2 倍时，则甲的年龄比乙大 1 倍； ∴甲、乙的年龄差是 6、5、4、3、2 的公倍数。 [6，5，4，3，2]=6×5×4×3×2=60（岁） 60÷（7-1）=10（岁） 10+60=70（岁）