2013第四届启智杯初中组真题与详细解析

2013年第四届启智杯（初中组）真题与详细解析及评分标准说明：本卷共12题，每题10分，满分120分。答题时间120分钟。

1.完成以下算式：将适当的数字填入下述方框内，使除法算式成立。（不要求理由）

【参考答案】2013÷33 = 61

理由：先确定除数的十位数：因为20 被该数除上6余一位数，说明该除数的十位必为3；再定除数的个位数：根据余数是一位数，个位数只能是2、3、或4,32 6 =192，33 6 =198，34 6 =204；如果除数是32，则余数是8或9,结合后一位3，83或93均不是32的倍数，结论不成立；同样可以否定34；最终确定除数是33.

后面就比较清楚了。

【评分标准】确定除数的十位数得3分；再确定除数的个位数再得3分；确定尚的个位数得2分；全部确定再得2分。

2. 请完成以下两个问题：

（1）将999表示成9个连续的奇数之和的形式；

（2）将1

7 n表示成7 个连续的奇数之和的形式时，则其中最小的奇数是多少？（用含有字母n 的代数式表示，其中字母n 正整数）

【参考答案】

（1）由于999÷9=111，所取9个奇数的中间数应该是111，这个表示为 999=103+105+107+109+111+113+115+117+119. （2）类似地：

)67()47()27(7)27()47()67(7771+++++++-+-+-=⨯=+n n n n n n n n n

故最小的奇数是67-n

。

【评分标准】两个小题各5分。

【注】这类问题关键找出其平均数，以平均数为中心，向两端延伸。

3.观察下列等式： （1）2

22543=+

（2）2

22221413121110+=++

（3）2

22222227262524232221++=+++ ......

请按此规律写出第四个等式。

若按照此规律写的第n 个等式的等号左边最小数为2

210，则该等式的等号右边最大数是多少？ 【参考答案】

第四个等式：（4）2

22222222444342414039383736+++=++++ 等号左边最小数为2

210时，等号右边最大数是2

230。 解答方法1：

每个等式的左右两边是连续若干个完全平方数，其个数依次为3、5、7、9个等等，其特点

是左端比右端多1个。观察等式左边最小数发现：从上到下依次为

3 = 1×3 ；10 = 2×5；21 = 3×7；4×9；5×11；6×13；7×15；8×17；9×19；10×21 =210等各数的平方。因此，当等式左边最小数为2102时，该式为第10个式子，即n =10，这个式子左右两端共有21个数，左端11个，右端10个，右端最大的数为2

230 解答方法2：

观察已知三个等式可知：每个等式中，紧靠等号左边的数分别是

22222

2]3214[24,]214[12144）（）（，）（++=+=⨯=，......。

由此可知：第n 个等式中，紧靠等号左边的数是222)1(4]...3214[+=++++n n n ）（，

第 n 个等式的左边最小数为222)2(])1(2[n n n n n +=-+，依题意有

2

2

2

2102=+）（n n ，因为n 是正整数，所以21022

=+n n ，移项，分解因式得：

舍去。，或解得：）（5.10-10,0)112(10===--n n n n 故该等式的右边最大数是222)2(])1(2[n n n n n +=-+=2

230

【评分标准】写出第四个式子得4分；发现等式中数的平方特征及变化规律占2分；发现左端最小数的变化规律占2分；确定2

210在第10行占1分；写出最大数占1分。

4. 在如图所示的三个九宫图中，第2、3个分别是由第1、2个按照某种规律变化而来。 （1）这三个九宫图有什么相同点和不同点？

（2）请指出图1到图2、图2到图3的共同变化规律，并按照这种规律填写第4个图。

【参考答案】

（1）相同点：三个表的“左下至右上”对角线上各对应数相同；每行、每列、每个对角线三个数之和相等，都是99. “左下至右上”对角线上各对应数相同 不同点：除了“左下至右上”对角线之外，其他位置各对应数均不相同。

（2）变化规律：1到2、2到3三个图中，从左上角到右下角五条斜线上的数，第1条依次减1，第2条依次加1，第三条不变，第4条依次减1，第5条依次加1.

图4的填写如下：

【评分标准】第1问4分；第2问6分

其中第一问中相同点、不同点各占2分；第二问中规律占4分；填对第4个图占2分。

5.如下图，在平行四边形ABCD 中，已知,3,122cm S cm S BCF EBF ==∆∆求阴影部分四边形EFHG 的面积。

【参考答案】

首先，根据等高三角形面积之比等于其底之比，,3:1=∆∆BCF EBF S ：因此EF ：

FC=EB ：CD=1：

3；由于△EBF 相似于△CDF ，其面积之比等于相似比的平方，得,92CD F cm S =∆由此得

,12392cm S S S S CBF CD F BCD ABD =+=+==∆∆∆∆平行四边形ABCD 面积为224cm ，所以

四边形EFDA 的面积=211112cm S S EBF ABD =-=-∆∆. (1) 其次，212cm S CD A =∆（平行四边形ABCD 面积的一班），所以

26)2/1(cm S S CD A AH D ==∆∆. (2)

第三，由于CD = AB = AE+EB, EB:CD = 1:3, 故AE:CD =AE:AB = 2:3, AE:EB = 2:1. 根据等高三角形面积之比等于其底之比，以及212cm S ABD =∆,知道

28,3:2cm S S AED ABD AED ==∆∆∆：， （3）

而△CDG 相似于△AEG ，相似比为CD ：AE=3:2，故DG ：EG=3:2，

2:3=∆∆EG A DGA S ：

5/1632/2832/2=+⨯=+⨯=∆∆）（）（AED EG A S S （4）

最后，由（1）（2）（4）阴影部分四边形EFHG 的面积为：

S=四边形EFDA 的面积-28.15/16611cm S S EG A AH D =--=-∆∆。 （5） 答：阴影部分四边形EFHG 的面积为2

8.1cm

【注】也可以由28.15/1616cm S S S FG A BEF AH B =--=--∆∆∆得到。 【评分标准】五个等式各占2 分。

6.将2013个边长完全相同的正方形，按如图所示摆放，其中点

20132012321......A A A A A 、、、、、分别是正方形的中心。若这2013个正方形重叠形成的阴影部

分之间互不重叠，其面积之和为2

2012

cm ，则这些正方形的边长是多少？