【精品】五年级奥数培优教程讲义第12讲-长方体和正方体(教师版)

第12讲长方体和正方体

教学目标

1、能够以基本概念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来；

2、依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化；

3、求一些不规则的物体体积时，可以通过变形的方法来解决。

知识梳理

一、专题简析

在数学竞赛中，有许多有关长方体、正方体的问题。解答稍复杂的立体图形问题要注意几点：

1、必须以基本概念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来；

2、依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化；

3、求一些不规则的物体体积时，可以通过变形的方法来解决。

二、常见问题

在长方体、正方体问题中，我们还会常常遇到这样一些情况：把一个物体变形为另一种形状的

物体；把两个物体熔化后铸成一个物体；把一个物体浸入水中，物体在水中会占领一部分的体

积。解答上述问题，必须掌握这样几点：

1、将一个物体变形为另一种形状的物体（不计损耗），体积不变；

2、两个物体熔化成一个物体后，新物体的体积是原来物体体积的和；

3、物体浸入水中，排开的水的体积等于物体的体积。

解答有关长方体和正方体的拼、切问题，除了要切实掌握长方体、正方体的特征，熟悉计算方

法，仔细分析每一步操作后表面几何体积的等比情况外，还必须知道：把一个长方体或正方体

沿水平方向或垂直方向切割成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍。

典例分析

考点一：重合或者挖出立体的面积及体积

例1、一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米？表面积是多少平方厘米？（单位：厘米）

【解析】（1）可以把零件沿虚线分成两部分来求它的体积，左边的长方体体积是10×4×2=80（立方厘米），右边的长方体的体积是10×（6－2）×2=80（立方厘米），整个零件的体积

是80×2=160（立方厘米）；

（2）求这个零件的表面积，看起来比较复杂，其实，朝上的两个面的面积和正好与朝下的一

个面的面积相等；朝右的两个面的面积和正好与朝左的一个面的面积相等。因此，此零件的表

面积就是（10×6＋10×4＋2×2）×2=232（平方厘米）。

例2、有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如图），你能算出它的体积和表

面积吗？（单位：厘米）

【解析】（1）先求出长方体的体积，8×5×6=240（立方厘米），由于挖去了一个孔，所以体

积减少了2×2×2=8（立方厘米），这个零件的体积是240－8=232（立方厘米）；

（2）长方体完整的表面积是（8×5＋8×6＋6×5）×2=236（平方厘米），但由于挖去了一个孔，它的表面积减少了一个（2×2）平方厘米的面，同时又增加了凹进去的5个（2×2）平方厘米的面，因此，这个零件的表面积是236＋2×2×4=252（平方厘米）。

例3、一个正方体和一个长方体拼成了一个新的长方体，拼成的长方体的表面积比原来的长方

体的表面积增加了50平方厘米。原正方体的表面积是多少平方厘米？

【解析】一个正方体和一个长方体拼成新的长方体，其表面积比原来的长方体增加了4块正方形的面积，每块正方形的面积是50÷4=12.5（平方厘米）。正方体有6个这样的面，所以，原来正方体的表面积是12.5×6=75（平方厘米）。

考点二：已知面积求体积或者已知体积求面积

例1、把11块相同的长方体砖拼成一个大长方体。已知每块砖的体积是288立方厘米，求大长方体的表面积。

【解析】要求大长方体的表面积，必须知道它的长、宽和高。我们用a、b、h分别表示小长方体的长、宽、高，显然，a=4h，即h=1/4a,2a=3b即b=2/3a，砖的体积是a*2/3a*1/4a=1/6a3。由1/6a3=288可知，a=12，b=2/3*12=8,h=1/4*12=3。大长方体的长是12×2=24厘米，宽12厘米，高是8＋3=11厘米，表面积就不难求了。

例2、一个长方体，前面和上面的面积之和是209平方厘米，这个长方体的长、宽、高以厘为

为单位的数都是质数。这个长方体的体积和表面积各是多少？

【解析】长方体的前面和上面的面积是长×宽＋长×高=长×（宽＋高），由于此长方体的长、宽、高用厘米为单位的数都是质数，所以有209=11×19=11×（17＋2），即长、宽、高分别为11、17、2厘米。知道了长、宽、高求体积和表面积就容易了。

考点三：体积转换

例1、有两个无盖的长方体水箱，甲水箱里有水，乙水箱空着。从里面量，甲水箱长40厘米，宽32厘米，水面高20厘米；乙水箱长30厘米，宽24厘米，深25厘米。将甲水箱中部分水倒入乙水箱，使两箱水面高度一样，现在水面高多少厘米？

【解析】由于后来两个水箱里的水面的高度一样，我们可以这样思考：把两个水箱并靠在一起，水的体积就是（甲水箱的底面积+乙水箱的底面）×水面的高度。这样，我们只要先求出原来

甲水箱中的体积：40×32×20=25600（立方厘米），再除以两只水箱的底面积和：40×32＋30×24=2000（平方厘米），就能得到后来水面的高度。

例2、有一个长方体容器，从里面量长5分米、宽4分米、高6分米，里面注有水，水深3分

米。如果把一块边长2分米的正方体铁块浸入水中，水面上升多少分米？

【解析】铁块的体积是2×2×2=8（立方分米），把它浸入水中后，它就占了8立方分米的空间，因此，水上升的体积也就是8立方分米，用这个体积除以底面积（5×4）就能得到水上升的高度了。

例3、有一个长方体容器（如下图），长30厘米、宽20厘米、高10厘米，里面的水深6厘米。如果把这个容器盖紧，再朝左竖起来，里面的水深应该是多少厘米？

【解析】首先求出水的体积：30×20×6=3600（立方厘米）。当容器竖起来以后，水流动了，

但体积没有变，这时水的形状是一个底面积是20×10=200平方厘米的长方体。只要用体积除

以底面积就知道现在水的深度了。

例4、长方体不同的三个面的面积分别为10平方厘米、15平方厘米和6平方厘米。这个长方体的体积是多少立方厘米？

【解析】长方体不同的三个面的面积分别是长×宽、长×高、宽×高得来的。因此，15×10×6=（长×宽×高）×（长×宽×高），而15×10×6=900=30×30。所以，这个长方体的体

积是30立方厘米。

考点四：分割图形

例1、一个棱长为6厘米的正方体木块，如果把它锯成棱长为2厘米的正方体若干块，表面

积增加多少厘米？

【解析】把棱长为6厘米的正方体锯成棱长为2厘米的正方体，可以按下图中的线共锯6次，每锯一次就增加两个6×6=36平方厘米的面，锯6次共增加36×2×6=432平方厘米的面积。因此，锯好后表面积增加432平方厘米。