4-4正态随机变量的线性函数的分布

1 fZ ( z) e 3 2
( z 5 ) 2 18
, z .
§4.4 正态随机变量的线性函数的分布
2.设随机变量 X 服从正态分布 N ( , 2 ) , 且二次方程
y 4 y X 0 无实根的概率为 0.5 , 则 _____. 解： 方程 y 2 4 y X 0 无实根就是 16 4 X 0 , 即 X 4, 按题意,有 P( X 4) 0.5 , 即 P( X 4) 0.5. 已知 X ~ N ( , 2 ) , 所以 X 4 4 P( X 4) P( ) ( ), 从而， 4 ( ) 0 .5 , 4 0 , 由此得 4. 因为 (0) 0.5 , 所以应有
i 1
i 1
i 1
前面，我们已经看到： 若X与Y独立，则X与Y不相关， 但由X与Y不相关，不一定能推出X与Y独立. 但对下述情形，独立与不相关等价 若(X,Y)服从二维正态分布，则
X与Y独立

X与Y不相关
§4.4 正态随机变量的线性函数的分布
小 结
1. 若 X ~ N ( , 2 )，则当b 0时，
fY ( y) [ FX ( y a )] 1 f X ( y a ) 1 e b b b 2 b
[ y ( a b )]2 2 b 2 2
,
所以Y ~ N (a b , b2 2 ). 当 b 0 时类似地可证.
§4.4 正态随机变量的线性函数的分布
2 推广： 设 X1 , X 2 , X n 相互独立， 且 X i ~ N ( i , i ),
i 1 , 2 , , n, 则
ci X i ~ N ( ci i , c i i 1 i 1 i 1
2 i
n
n
n
2
).
§4.4 正态随机变量的线性函数的分布
思考题
D）
E( X 2 ) [ E( X )]2 E(Y 2 ) [ E(Y )]2
Y a bX ~ N (a b , b2 2 ). X ~ N (0 ,1). 特别：
2 ), 2. 随机变量 X 与 Y 相互独立， 且 X ~ N ( x , x 2 2 2 Y ~ N ( y , y ), 则 X Y ~ N ( x y , x y ).
定理1表明： 正态随机变量的线性函数仍然是正态随机变量.
[推论]
设随机变量 X 服从正态分布, 则标准化的
随机变量
X
*
X

~ N (0 ,1).
1 在定理1中，设 a , b 即得结论.
§4.4 正态随机变量的线性函数的分布
[定理2] 设随机变量X 与Y 独立， 并且都服从正态分布：
设二维正态随机变量（X，Y）服从正态分布， 则随机变量 X Y , X Y 不相关的充要 条件是： A） E( X ) E(Y )
2 2 E ( X ) E ( Y ) B）
2 2 2 2 E ( X ) [ E ( X )] E ( Y ) [ E ( Y )] C）
2 X ~ N ( , 服从正态分布： i i i ), i 1 ,2 , n , 则它们
且有 的线性组合 ci X i 也服从正态分布，
i 1
n
2 2 c X ~ N ( c , c i i i i i i ),
n
n
n
其中 c1 , c2 , , cn 为常数.
2
§4.4 正态随机变量的线性函数的分布
补充例题
设 X , Y 是两个相互独立的服从同一正态分布 1 2 N (0 , ( ) ) 的随机变量， 则随机变量 X Y 的数学 2 期望 E ( X Y ) _____. 解: 设 Z X Y , 由正态随机变量的线性性质知
Z X Y ~ N (0 ,1) ,
于是 Z 的概率密度为
1 fZ ( z) e 2
z2 2
, z .
§4.4 正态随机变量的线性函数的分布
所以，
E( Z )

1 z e 2
z2 2
dz
1 2
z e

z2 2
dz
2 2
0

ze
z2 2
dz

2

.
2 2 X ~ N ( x , x ) , Y ~ N ( y , y ),
则它们的和也服从正态分布， 且有
Z X Y ~ N ( x y , 量的和仍是正态随机变量.
§4.4 正态随机变量的线性函数的分布
由定理1及定理2 还可得下面更一般的结论. [定理3] 设随机变量 X1 , X 2 , , X n 相互独立， 且都
§4.4 正态随机变量的线性函数的分布
重点：
1) 正态随机变量的线性函数的分布 2） 正态变量的独立性和无关性
§4.4 正态随机变量的线性函数的分布
2 [定理1] 设随机变量 X 服从正态分布 N ( , ) , 则 X 的线性函数 Y a bX (b 0) 也服从正态分布： 2 2 Y a bX ~ N (a b , b ). 证：由分布函数定义，Y 的分布函数为 FY ( y ) P(Y y ) P (a bX y ). 若 b 0 则有 ya ya ), ) FX ( FY ( y ) P( X b b 求导得
1.设随机变量 X 与 Y 独立， 且 X 服从均值为 1 , 标准差 为 2 的正态分布， 而 Y 服从标准正态分布， 试求随机 变量 Z 2 X Y 3 的概率密度. 解： 已知 X 与Y 独立， 且 X ~ N (1 ,2) , Y ~ N (0 ,1) , 所以 W 2 X Y ~ N (2 ,9). 又因为随机变量Z W 3, 于是 Z 2 X Y 3 W 3 ~ N (5 ,9). 由此可知， Z 的概率密度为