高一数学 面面垂直课件
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——它就是本节课的内容之一：平面与平面垂直的判定定理。
问题 问引题2入
判定定理
平面与平面垂直的判定定理是：
如果一个平面经过另一个平面的一条 垂线，那么这两个平面相互垂直。
α A
D
β
B C
判定定定定理理 证明 证明过程 判定方法
判定定理
已知：直线AB平面，直线AB平面。 求证：平面 平面。
α A
D
求证：直线AB⊥平面β。
α A
D
β
E B C
问题 发现 猜想 证明 证明 过程 结论 注
性质定理
已知：平面 ⊥平面β，平面 ∩平面β=CD， A平面 ， AB⊥CD且AB交CD于B。
求证：直线AB⊥平面β。 证明：在平面β内过B点作BE⊥CD，
α
AB CD BE CD
ABE是二面角α CD β
构造这样的一个命题：
平面α 平面β 直线AB 平面α
直线AB
平面β。
请判断命题的真假。
问问题题 发现 猜想 证明 证明 过程 结论 注
性质定理
该命题是假命题。 由平面 平面，平面 内的直线AB不一定能与平面垂直。
α A
D
β
α A
D
β
B
B
C
C
那么在已有条件的基础上，再添加什么条件，可使命题为真？
问题 发发现现 猜想 证明 证明 过程 结论 注
15 a,
3
AF PA• AC 10 a,
PC
5
在RtAEF中，sin AEF AF 2 5 。
AE 5
小结
1、两个平面垂直的判定定理和性质定理
2、“转化思想”
面面关系
线面关系
线线关系
面面平行
线面平行
线线平行
面面垂直
线面垂直
线线垂直
3、平面 ⊥平面β，要过平面 内一点引平面β的垂线，
只需过这一点在平面 内作交线的垂线。
性质定理
1) 面面垂直线面垂直； （线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线）
2) 平面 ⊥平面β，要过平面 内一点引平面β的垂线，
只需过这一点在平面 内作交线的垂线。
Aα
D
β
B
α A
D
β
B
C
C
问题 发现练猜习2想 证明 证明过程 结论 注注
课后思考
在刚才的三个条件中，直线A B 直线AB
平面β 平面α
平面α
平面β。
再选取两个条件作为前提，另一个条件作为结论构造命题，即
平面α 平面β 直线AB 平面β
直线AB
平面α。
请判断命题的真假。
若是真命题，请给出证明； 若不是，那么添加什么条件可使命题为真？
应用
例1
例2
应用
例1、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。 求证：平面PAC平面PBD。
猜想，得：
性质定理
若增加条件ABCD，则命题为真，即
平面α 平面β
直线AB 平面α
平面α 平面β
CD
直线AB
平面β。
α A
D
AB CD
β
B C
问题 发现 猜猜想想 证明 证明 过程 结论 注
性质定理
已知：平面 ⊥平面β，平面 ∩平面β=CD， A平面 ， AB⊥CD且AB ∩ CD=B。
课后练习：
如图: 河堤斜面与水平面所成的二面角为60,堤面 上有一条直道CD, 它与堤脚的水平线A B的夹角为 30, 沿这条直道从堤脚向上行走到10m时人升高了 多少(精确到0.1m) ?
ED
G
30
CF
两个平面垂直的判定与性质
引入
建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌 的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线和墙面紧贴， 那么所砌的墙面与地面垂直。大家知道其中的理论根据吗？
P
A
D
O
B
C
例1题目 解答
应用
例1、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。
求证：平面PAC平面PBD。
P
A
O
B
证明： 正方形ABCD中，AC BD
PA BD
平面ABCD 平面ABCD
PA
BD
D AC 平面PAC，PA 平面PAC
AC PA A
C
BD 平面PAC
平面PAC
β
E B C
判定定理 证证明明 证明过程 判定方法
判定定理
已知：直线AB平面，直线AB平面。求证：平面 平面。
证明：设 β=CD，则AB β=B ，在平面β内过B点作BE⊥CD。
AB
CD
β β
AB CD
BE CD
ABE是二面角α 的平面角
CD
β
α A
D
AB BE
β β
AB
BE
ABE 90
平面PBD。
BD 平面PBD
例1题目 解答
应用
例2、已知直线PA垂直于O所在的平面，A为垂足， AB为O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。
1) 求证：平面PAC平面PBC；
2)
若PA=AB=a, AC
6 3
a，求二面角A PB
C的大小。
例2题目 1) 例2解答 2) 例2解答
应用
例2、已知直线PA垂直于O所在的平面，A为垂足， AB为O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。
应用
例2、已知直线PA垂直于O所在的平面，A为垂足，
AB为O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。
2)
若PA=AB=a, AC
6 3
a，求二面角A
PB
C的大小。
解：过点A在平面PAC内作AFPC，交PC于F，
过点A在平面PAB内作AEPB，交PB于E，连EF，
E F
平面PAC 平面PBC
AF PC
的平面角 αβ
ABE
90。
A
AB BE
D
AB CD
β
BE β
AB β。
E
CD β
B
BE CD B
C
问题 发现 猜想 证明 证证明明过过程程 结论 注
性质定理
平面与平面垂直的性质定理是：
如果两个平面相互垂直，那么在一个平面 内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
α A
D
β
B C
问题 发现 猜想 证明 证明过程 结论 注
PB EF
AF 平面PBC
AE PB
AE PB
例2题目 1) 例2解答 2) 例2解答 计算
2)
若PA=AB=a, AC
wk.baidu.com
6 3
a，求二面角A
PB
C的大小。
PA PB a, 在RtPAB中，AE 2 a,
PA a, AC 6 a,
2
EE FF
3
在RtPAC中，PC
1) 求证：平面PAC平面PBC；
证明：
AB是圆O的直径 C是圆周上异于A、B的一点
BC
A
C
PA BC
平面ABC 平面ABC
BC
PA
AC 平面PAC，PA 平面PAC
AC PA A
BC
BC
平面PAC 平面PBC
平面PAC
平面PBC。
例例22题题目目 1) 例2解答 2) 例2解答
β
E 二面角α CD β为直二面角。
B
C
平面α 平面β。
判定定理 证明 证明过程 判定方法
判定定理
面面垂直的判定方法：
1、定义法： 找二面角的平面角
说明该平面角是直角。
（一般通过计算完成证明。）
2、判定定理：
要证两个平面垂直，只要在其中一个平面内找到
判定定理
另一个平面的一条垂线。 （线面垂直面面垂直）
证明 证明过程 判定定方方法法
性质定理
现在你知道用一端系有铅锤的线来检查所砌的 墙面是否和地面垂直的道理了吗？
问题 发现 猜想 证明 证明 过程 结论 注
性质定理
在刚才的命题中，直线AB，平面 ，平面有以下三种关系：
直线AB 直线AB
平面β 平面α
平面α
平面β。
如果仍然选取其中两个条件作为前提，另一个条件作为结论
问题 问引题2入
判定定理
平面与平面垂直的判定定理是：
如果一个平面经过另一个平面的一条 垂线，那么这两个平面相互垂直。
α A
D
β
B C
判定定定定理理 证明 证明过程 判定方法
判定定理
已知：直线AB平面，直线AB平面。 求证：平面 平面。
α A
D
求证：直线AB⊥平面β。
α A
D
β
E B C
问题 发现 猜想 证明 证明 过程 结论 注
性质定理
已知：平面 ⊥平面β，平面 ∩平面β=CD， A平面 ， AB⊥CD且AB交CD于B。
求证：直线AB⊥平面β。 证明：在平面β内过B点作BE⊥CD，
α
AB CD BE CD
ABE是二面角α CD β
构造这样的一个命题：
平面α 平面β 直线AB 平面α
直线AB
平面β。
请判断命题的真假。
问问题题 发现 猜想 证明 证明 过程 结论 注
性质定理
该命题是假命题。 由平面 平面，平面 内的直线AB不一定能与平面垂直。
α A
D
β
α A
D
β
B
B
C
C
那么在已有条件的基础上，再添加什么条件，可使命题为真？
问题 发发现现 猜想 证明 证明 过程 结论 注
15 a,
3
AF PA• AC 10 a,
PC
5
在RtAEF中，sin AEF AF 2 5 。
AE 5
小结
1、两个平面垂直的判定定理和性质定理
2、“转化思想”
面面关系
线面关系
线线关系
面面平行
线面平行
线线平行
面面垂直
线面垂直
线线垂直
3、平面 ⊥平面β，要过平面 内一点引平面β的垂线，
只需过这一点在平面 内作交线的垂线。
性质定理
1) 面面垂直线面垂直； （线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线）
2) 平面 ⊥平面β，要过平面 内一点引平面β的垂线，
只需过这一点在平面 内作交线的垂线。
Aα
D
β
B
α A
D
β
B
C
C
问题 发现练猜习2想 证明 证明过程 结论 注注
课后思考
在刚才的三个条件中，直线A B 直线AB
平面β 平面α
平面α
平面β。
再选取两个条件作为前提，另一个条件作为结论构造命题，即
平面α 平面β 直线AB 平面β
直线AB
平面α。
请判断命题的真假。
若是真命题，请给出证明； 若不是，那么添加什么条件可使命题为真？
应用
例1
例2
应用
例1、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。 求证：平面PAC平面PBD。
猜想，得：
性质定理
若增加条件ABCD，则命题为真，即
平面α 平面β
直线AB 平面α
平面α 平面β
CD
直线AB
平面β。
α A
D
AB CD
β
B C
问题 发现 猜猜想想 证明 证明 过程 结论 注
性质定理
已知：平面 ⊥平面β，平面 ∩平面β=CD， A平面 ， AB⊥CD且AB ∩ CD=B。
课后练习：
如图: 河堤斜面与水平面所成的二面角为60,堤面 上有一条直道CD, 它与堤脚的水平线A B的夹角为 30, 沿这条直道从堤脚向上行走到10m时人升高了 多少(精确到0.1m) ?
ED
G
30
CF
两个平面垂直的判定与性质
引入
建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌 的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线和墙面紧贴， 那么所砌的墙面与地面垂直。大家知道其中的理论根据吗？
P
A
D
O
B
C
例1题目 解答
应用
例1、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。
求证：平面PAC平面PBD。
P
A
O
B
证明： 正方形ABCD中，AC BD
PA BD
平面ABCD 平面ABCD
PA
BD
D AC 平面PAC，PA 平面PAC
AC PA A
C
BD 平面PAC
平面PAC
β
E B C
判定定理 证证明明 证明过程 判定方法
判定定理
已知：直线AB平面，直线AB平面。求证：平面 平面。
证明：设 β=CD，则AB β=B ，在平面β内过B点作BE⊥CD。
AB
CD
β β
AB CD
BE CD
ABE是二面角α 的平面角
CD
β
α A
D
AB BE
β β
AB
BE
ABE 90
平面PBD。
BD 平面PBD
例1题目 解答
应用
例2、已知直线PA垂直于O所在的平面，A为垂足， AB为O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。
1) 求证：平面PAC平面PBC；
2)
若PA=AB=a, AC
6 3
a，求二面角A PB
C的大小。
例2题目 1) 例2解答 2) 例2解答
应用
例2、已知直线PA垂直于O所在的平面，A为垂足， AB为O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。
应用
例2、已知直线PA垂直于O所在的平面，A为垂足，
AB为O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。
2)
若PA=AB=a, AC
6 3
a，求二面角A
PB
C的大小。
解：过点A在平面PAC内作AFPC，交PC于F，
过点A在平面PAB内作AEPB，交PB于E，连EF，
E F
平面PAC 平面PBC
AF PC
的平面角 αβ
ABE
90。
A
AB BE
D
AB CD
β
BE β
AB β。
E
CD β
B
BE CD B
C
问题 发现 猜想 证明 证证明明过过程程 结论 注
性质定理
平面与平面垂直的性质定理是：
如果两个平面相互垂直，那么在一个平面 内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
α A
D
β
B C
问题 发现 猜想 证明 证明过程 结论 注
PB EF
AF 平面PBC
AE PB
AE PB
例2题目 1) 例2解答 2) 例2解答 计算
2)
若PA=AB=a, AC
wk.baidu.com
6 3
a，求二面角A
PB
C的大小。
PA PB a, 在RtPAB中，AE 2 a,
PA a, AC 6 a,
2
EE FF
3
在RtPAC中，PC
1) 求证：平面PAC平面PBC；
证明：
AB是圆O的直径 C是圆周上异于A、B的一点
BC
A
C
PA BC
平面ABC 平面ABC
BC
PA
AC 平面PAC，PA 平面PAC
AC PA A
BC
BC
平面PAC 平面PBC
平面PAC
平面PBC。
例例22题题目目 1) 例2解答 2) 例2解答
β
E 二面角α CD β为直二面角。
B
C
平面α 平面β。
判定定理 证明 证明过程 判定方法
判定定理
面面垂直的判定方法：
1、定义法： 找二面角的平面角
说明该平面角是直角。
（一般通过计算完成证明。）
2、判定定理：
要证两个平面垂直，只要在其中一个平面内找到
判定定理
另一个平面的一条垂线。 （线面垂直面面垂直）
证明 证明过程 判定定方方法法
性质定理
现在你知道用一端系有铅锤的线来检查所砌的 墙面是否和地面垂直的道理了吗？
问题 发现 猜想 证明 证明 过程 结论 注
性质定理
在刚才的命题中，直线AB，平面 ，平面有以下三种关系：
直线AB 直线AB
平面β 平面α
平面α
平面β。
如果仍然选取其中两个条件作为前提，另一个条件作为结论