2017-2018学年最新中考数学压轴题的满分攻略-几何计算域说理计算问题

几何计算说理与说理计算问题

【真题典藏】

1. （2007年上海市第24题）参见《考典35 梯形的存在性问题》第1题，如图1．

2. （2008年上海市第24题）如图2，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．二次函数y ＝－x 2＋bx ＋3的图像经过点A (－1,0)，顶点为B ．

（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点B 的坐标；

（2）如果点C 的坐标为(4,0)，AE ⊥BC ，垂足为点E ，点D 在直线AE 上，DE ＝1，求点D 的坐标．

图1 图2

3．（2010年上海市第24题）如图3，已知平面直角坐标系xOy ，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 过点A (4,0)、B (1,3)．

（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；

（2）记该抛物线的对称轴为直线l ，设抛物线上的点P (m ,n )在第四象限，点P 关于直线l 的对称点为E ，点E 关于y 轴的对称点为F ，若四边形OAPF 的面积为20，求m 、n 的值．

图3

4．（2012年上海市第24题）如图4，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2＋6x ＋c 的图像经过点A (4, 0)、B (－1,0)，与y 轴交于点C ，点D 在线段OC 上，OD ＝t ，点E 在第二象限，∠ADE ＝90°，1tan 2

DAE ∠=，EF ⊥OD ，垂足为F ．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）求线段EF 、OF 的长（用含t 的代数式表示）；

（3）当∠ECA ＝∠OAC 时，求t 的值．

图4

【满分攻略】

我们用三种方法证明第1题（2007年上海市第24题）的第（2）题DC //AB ：

方法一，由于点(,)B a b 在双曲线4y x =上，所以4b a

=． 因为1A B x DE DB x a ==，4

14E A y CE a CA y a

===，所以DE CE DB CA =，因此DC //AB ． 这里依据“三角形一边的平行线判定定理推论”． 方法二，因为4tan E E y CE CDE DE x a ∠===，4

44tan 1A E B E y y AE a ABE BE x x a a -

-∠====--， 所以CDE ABE ∠=∠，因此DC //AB ．

方法三，如图6，由反比例函数的图形与性质，知△AOC 与△BOD 的面积相等．

图5中的△ADC 与图6中的△AOC 的面积相等，图5中的△BCD 与图6中的△BOD 的面积相等，经过等量代换，图5中的△ACD 与△BCD 的面积相等．因为这两个三角形是同底CD 的，因此它们是同底等高的三角形，所以DC //AB ．

图5 图6 图7

其中方法一和方法二是通过计算进行说理，方法三是说理证明．

第2题（2008年上海市第24题）的第（2）题求点D 的坐标是几何计算．

准备动作：222

23(214)(1)4y x x x x x =-++=--+-=--+．

罗列点：A (－1,0)，B (1,4)，C (4,0)．

画图：先画直线BC ，过点A 向BC 画垂线，垂足为E ．

拿起圆规，以E 为圆心，1长为半径画圆，圆与直线AE 有几个交点？这就是行动体现思想，你画图的过程已经体现了分类讨论思想，点D 有两个（如图7）．

试问有必要画抛物线吗？

解题的过程反复用到数形结合思想——不要问为什么——拿来就用．示范一下：

注意标志性语句的引领作用，体现书写的层次性，吸引阅卷老师的注意力．

第3题（2010年上海市第24题）的第（1）题做完之后停一停，确认无误之后再作第（2）题，否则就是徒劳无益．

第（1）题用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求抛物线的对称轴和顶点坐标，无需画图．抛物线的表达式为y＝－x2＋4x，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2,4)．

第（2）题的最大障碍就是画示意图了，事实上，无需画出抛物线，如图8，只要顺次画出点A、对称轴、点P的大概位置（在点A的右下方）、点E、点F，就可以直观感受到，四边形OAPE是等腰梯形，四边形OAPF是平行四边形．

说理是关键的一步：

平行四边形OAPF的底边OA＝4是确定的，高是点P到x轴的距离，用点P的纵坐标表示为－n，列方程－4 n＝20容易求的n＝－5．解方程－m2＋4m＝－5，会得到m有两个解，根据题目条件“点P(m,n)在第四象限”舍去不合题意的解．

如果不用上述几何说理的方法，我们也可以根据点的坐标特征进行说理：

这个说理方法的最大困难是用m表示点F的坐标(4－m,n)．

图8

第4题（2012年上海市第24题），DE和AD横看成岭侧成峰，DE∶AD＝1∶2，既是Rt △ADE的两条直角边的比，也是两个相似的△DEF和△ADO的斜边比．

第（1）题求得抛物线的解析式y＝－2x2＋6x＋8，与y轴交于点C(0，8)．

第（2）题，如图9，在Rt △ADE 中，已知1tan 2

DAE ∠=，所以12DE AD =． 已知∠ADE ＝∠EFD ＝90°，所以∠DEF 与∠ADO 都是∠EDF 的余角．

因此∠DEF ＝∠ADO ．

所以△DEF ∽△ADO ．因此

12DF EF DE AO DO AD ===，即142DF EF t ==． 于是得到2DF =，12

EF t =．所以2OF t =-．

图9 图10

第（3）题难在示意图怎么画？在森林中认识树木：当∠ECA ＝∠OAC 时，如果延长CE 与x 轴交于点M ，根据等角对等边，那么△MAC 是等腰三角形，MA ＝MC ．这样我们作AC 的垂直平分线先找到点M ，在MC 的适当位置画一个点E ，这样示意图就画好了．

如图10，设AC 的垂直平分线与x 轴交于点M ，那么MA ＝MC ，∠MCA ＝∠MAC ．

当∠ECA ＝∠OAC 时，点E 在MC 上． 由于12cos AC AO A AC MA

==，而OA ＝4，OC ＝8，所以45AC =． 因此2102AC MA AO

==．所以MO ＝6． 由EF //MO ，得EF CF MO CO =，即18(2)268

t t --=．解得t ＝6．