数形结合中的解析几何模型
高中数学解析几何,数形结合。二级结论学习笔记高考一轮复习
高中数学解析几何，数形结合。
二级结论学习笔记高考
一轮复习
知识点解析
一、高中数学解析几何：
1、椭圆定义：椭圆是由两个焦点和一个双曲线组成的，其最大截面与最小截面的比例称为离心率。
2、圆的定义：圆是一种特殊的椭圆，其最大截面等于最小截面，离心率为1.
3、正多边形的定义：正多边形是一种多边形，其边长相等，每一个内角都是同样的角度。
4、球的定义：球是一种立体图形，由一个圆心和一个半径组成，其表面上所有点距离圆心的距离都是相同的。
5、四棱锥的定义：四棱锥是一种立体图形，其底面是一个正方形，顶面是一个平行四边形，它有四条侧面，每一条侧面都是平行四边形。
6、三棱柱的定义：三棱柱是一种立体图形，其底面是一个正方形，顶面是一个平行六边形，它有三条侧面，每一条侧面都是平行三角形。
二、数形结合：
1、三角形内角和：三角形的内角和是180度。
2、圆的周长：圆的周长等于2πR，R为圆的半径。
3、正多边形的外角和：正多边形的外角和是180度减去(多边形的边数-2)乘以180度。
4、椭圆的面积：椭圆的面积等于πab，其中a、b分别为椭圆的长轴和短轴。
5、球的表面积：球的表面积等于4πR2，其中R是球的半径。
6、四棱锥的体积：四棱锥的体积等于1/3a2h，其中a为四。
“解析几何”中常用的数学思想方法
“解析几何”中常用的数学思想方法数学思想是数学的灵魂，是将知识转化为能力的桥梁，也是解决问题的思维策略．《解析几何》内容中蕴含着丰富的数学思想，例谈如下：1.数形结合的思想数形结合是研究曲线与方程的最重要的思想方法．应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决.例1．如图,圆O 1与圆O 2的半径都是1,O 1O 2=4,过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得PM =,试建立适当的坐标系，并求动点 P 的轨迹方程．思路分析：本题是解析几何中求轨迹方程问题，由题意建立坐标系，写出相关点的坐标，由几何关系式：ＰＭ＝PN 2,即 ＰＭ２＝２ＰＮ２，结合图形由勾股定理转化为：)1(212221-=-PO PO ,设P(x ,y ),由距离公式写出代数关系式,化简整理得出所求轨迹方程解：以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则O 1（-2，0），O 2（2，0），由已知：ＰＭ＝PN 2,即ＰＭ２＝２ＰＮ２，因为两圆的半径都为1,所以有：)1(212221-=-PO PO ，设P （x ,y ）则（x +2）2+y 2-1=2[(x -2)2+y 2-1]，即33)6(22=+-y x综上所述，所求轨迹方程为：33)6(22=+-y x （或031222=+-+x y x ）． 2.分类讨论的思想所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。
实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。
例2．在平面直角坐标系中，已知矩形ＡＢＣＤ的长为２，宽为１，ＡＢ、ＡＤ边分别在ｘ轴、ｙ轴的正半轴上，Ａ点与坐标原点重合（如图５所示）．将矩形折叠，使Ａ点落在线段ＤＣ上．（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为ｋ，试写出折痕所在直线的方程； （Ⅱ）求折痕的长的最大值。
解析几何初步的数形结合(最新整理)
解析几何初步的数形结合一．关于数形结合数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。
数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。
我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。
”数形结合在数学研究中有着不可忽视的作用。
二．课题背景高中数学不少问题都涉及数形结合，数形结合是高中数学新课程中所渗透的重要思想方法之一。
阶级初步这部分内容能很好的培养和发展学生的数形结合思想，特别是覆盖范围极广！一、解决集合问题：在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。
二、解决函数问题：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。
函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。
三、解决方程与不等式的问题：处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。
四、解决三角函数问题：有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。
五、解决线性规划问题：线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。
从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。
六、解决数列问题：数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数。
用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。
七、解决解析几何问题：解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中。
八、解决立体几何问题：立体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，可将抽象的几何问题转化纯粹的代数运算。
数形结合法解几何问题
数形结合法解几何问题
数形结合法是一种解决几何问题的有效方法，它的基本思路是通过数学的知识和图形的特点相结合，从而推导出几何问题的解答。
具体说来，数形结合法通常包括以下步骤：
1. 对几何问题进行分析，明确所求的量以及已知的条件。
2. 结合图形的特点，运用数学知识，列出相应的方程或不等式。
3. 将方程或不等式进行化简和变形，得出所求的未知量或关系式。
4. 验证结果是否符合原问题的要求及已知条件。
例如，对于一个求解三角形面积的问题，我们可以先利用三角形的面积公式S=1/2×底×高，得到面积与底和高的关系，然后通过已知的条件列出方程，最后解出未知量即可得到答案。
除了数学知识和图形特点的结合，数形结合法还可以借助计算机软件进行模拟和验证，大大提高几何问题的解决效率和准确性。
因此，数形结合法在实际应用中具有广泛的应用前景，可以为许多领域的研究提供有力的工具和方法。
- 1 -。
例谈数形结合思想——利用解析几何中的三种模式求解最值问题
如 下变 式 ： 变 式 ｌ 求 函数ｙ — ： ＝
分 析 ：： ｙ 三二
Ｘ— ｌ
表 示 点 （ 。 与 点 （ ， ） １
，
， 一
１ 的 连 线 的斜 ）
率 ， 点 （ ， 是 抛 物 线 ｙ ｘ上 的动 点 （ ≠ １ 。如 图 ３ 直 线１ 而 ｘ ｘ） ： ｘ ） ， 与 ｌ 抛 物 线 的切 线 ， 切 点 为 ｘ ， ） 则 由导 数 知 ， 率 为２ 。 是 设 ｏｘ ， 斜 ｘ，
ｘ／３ ｃ ｓ ２ ｏ ｘ＋
分 析 ：可变 形 为ｖ ：— Ｘ ３ ｓ ｘ Ｏ ／ ｉ － ｎ
—
，
也 可 变形 为 ｖ ：
则 切 线 方 程 为ｙ ｘ＝ ｘ（ — 。 。 点 （ ， １ 代 人 ， 。 １ ｘ — ‘２ ０ｘ ｘ） 将 ｏ １ ） 一 得ｘ： ± ／２ ，
（ ／３ｅ ｓ ＋ ） ０ 、 ｏｘ ２ 一
斜 率模 式 解 析几何 中的斜率 是 这样定 义 的 ： ． ， ， 率ｋ 当ｘ ≠ｘ 时 斜 ：
一
、
（ｉｘ ｓ ｘ 是 线 段 Ａ Ｊ 的 动 点 ， 得 经 过 点 Ｃ的直 线 １、 的 斜 ｓ ，ｉ ） ｎ ｎ Ｂ２ 易 ．ｌ ， 率分 别 为 ３ 和
ｖ
— Ｖ
。
因 此 ， 于 分 式 的形 式 ． 对 视情 况 可 以将 其 转 化 为 斜 率 的
２ ｉ ｘ＋１ ｓｎ
．
１
１
Ｓ ｎＸ一 —— Ｉ
分 析 ： 数 变形 为ｖ ———厶 ， 函 ＝ ＿ 即表 示 点 （ｉｘ ｓ ｘ 与 点 Ｃ ｓ ，ｉ ） ｎ ｎ
．
１
ｓｌ ｎｘ＋ － — － —
数形结合的再思考——例说平面几何在解析几何中的应用
图５
例 ４ 过双 曲线 ２ ｙ２ ｘ ｎ Ｄ ‘ ‘
一
：
ｌ ｎ＞ ０６＞ （ ，
点， 当Ｐ、 Ａ三点共 线时 Ｐ Ａ— Ｐ Ｆ ≤ 即 Ｆ、
．
０ 的右焦点 Ｆ作倾斜 角为 ６ 。 ） ０ 的直线交双 曲线
Ｐ —ＰＦ ： Ｆ 因此 Ｐ ＋ＪＢ取到最大值 Ａ Ａ， Ｆ ）
对教材 中出现 的例题或 习题进行适当 的改
解： 图６ 过点 、 如 ， Ｂ作 双曲线右准线的垂
线， 垂足分别为Ｃ、 过点Ｂ作直线 Ｃ的垂线， Ｄ，
垂足为Ｅ点． ＢＦ＝ ｔ 则 Ａ 设 ， Ｆ＝ ５， ｔ根据双曲 线 的 定 义， ＡＣ ： ， ＢＤ ： 兰 所 以Ａ ： 篁 Ｅ
Ｐ ｜ ｏ Ｆ
Ｐ
１／ ／
０＼ Ｊ Ｚ
Ｂ１
图 ３
评注： 解答这道题的关键是发现点 Ｊ是椭圆 Ｅ ；
的右焦点， 根据椭圆定义有 Ｐ Ｂ＋Ｐ ＝２ （ Ｆ ａ Ｆ为
椭 圆的 左焦 点）把 ＰＡ＋ ＰＢ转 化 为 ＰＡ＋２ ， ａ— ＰＦ ＝ １ ０＋ ＰＡ — ＰＦ，设 点 Ｐ 椭 圆上 任 意 为
问题 的几何 意义， 最终代 数问题几何化． 解析 几何 问题是高考的热点之一， 它是用代数的方法 来解决几何问题， 体现 了“ 数形结合” 的数学 思想 方法． 不少同学在做解析几何题 目时感觉这类题 目思路 比较明确， 但计算量 比较大， 因此解题过 程 中往往半途而废， 有时也会“ 小题大做” 花 费 ， 很多时 间．这就 引发 我们对 “ 形结合” 数 的思考， 数与形 的互相转化， 不单单是单 向的， 而应该是 双 向的， 需要 “ ’ “ 的互助互 利， 与 形” 实现两者 的有机结合， 那样才真 正有助于完美解 决数学
利用数形结合解决解析几何
利用数形结合解决解析几何一、数形结合思想的概念：所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法．二、高考地位：数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合。
若要更好运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征.三、用数形结合思想解决最值问题：例1 已知M 为抛物线x y 42=上一动点，F 为抛物线的焦点，定点A （3，1），则MF MA +的最小值为（ ）A.3B.4C.5D.6变式 已知M 为抛物线x y 42=上一动点，过M 作准线的垂线交准线于点D ，定点A （1，3），则MD MA +的最小值为（ ）A.3B.4C.5D.6例2 若P 为椭圆2212x y +=上的一动点，则点P 到直线0x y +-=的最大距离为（ ）B. C.变式 已知点P 为椭圆2212x y +=在第一象限部分的点，则x y +的最大值为______。
小结：用数形结合可以解决圆锥曲线的最值问题，但解题时需让图象动起来，直到找出最符合题目的一种图象为止。
四、三．用数形结合解决直线与圆锥曲线的交点问题例3 已知抛物线x y 42=，过定点(2,1)P - 的直线l ,斜率为k ，则k 为何值时，直线l 与抛物线有且只有一个公共点？变式3 已知抛物线x y 42=，定点P(0,2)，若过点P 的直线与抛物线有且只有一个交点，求该直线的方程。
小结：解决交点问题时需将图像转动或平移，观察图像交点情况进行转化，最后用代数解题。
提高：已知双曲线22194x y -=，斜率为k 的直线l 过定点(0,2)，求下列情况下的k 的取值范围；（1）与双曲线有且只有一个公共点；（2）与双曲线没有公共点；（3）与双曲线有两个公共点；五．课后作业1.已知A （4，0），B(2,2),M 是椭圆221259x y +=上的动点，则MB MA +的最大值为（ ）A.10B.6C.10+10- 2.已知A(1,4),P 为双曲线22194x y -=右支上的一动点，12F F 、为双曲线的左右焦点，则1PF PA +的最小值为_______。
数形结合在解析几何中的应用
O
x
2、 圆 x 2 + 2 x + y 2 + 4 y − 3 = 0 到直线 x + y + 1 = 0 的距离等于 2 的点共有 、 （ ）. (B)2 个 (C) 3 个 (D)4 个 （A）1 个 ） 分析】本题涉及到圆与直线的位置关系,为求点的个数 就要解方程组,有一 为求点的个数,就要解方程组 【分析】本题涉及到圆与直线的位置关系 为求点的个数 就要解方程组 有一 定的运算量,但是 题目只要求点的个数,而不要求点的坐标 所以可以不解出方程, 定的运算量 但是,题目只要求点的个数 而不要求点的坐标,所以可以不解出方程 但是 题目只要求点的个数 而不要求点的坐标 所以可以不解出方程 因此,可以借助于图形求解 可以借助于图形求解. 因此 可以借助于图形求解 画出圆 C : ( x + 1) + ( y + 2 ) = 2 2 ,
| 2a + 2b |
2
2、已知方程 x 2 − a − x + 3 = 0 ( a > 0 ) 有两个不相等的实数根，求实数 a 的取值范围 、 有两个不相等的实数根， 的取值范围. 【分析】已知方程化为 x 2 − a = x − 3 . 分析】 的图象， 作函数 y = x 2 − a , y = x − 3 的图象， 已知方程 x 2 − a − x + 3 = 0 有两个实数根就是两个函数的图象有两个交点，由图可 有两个实数根就是两个函数的图象有两个交点， 由图可 才有可能。 知，只有 a > 3 ， 即 a > 9 时。才有可能。故实数 a 的取值范围是 a > 9 .
π (D) 0， 2
( x − 2) 2 + ( y − 2) 2 = (3 2) 2 ，
解析几何解题技巧之“数”“形”结合策略份
解析几何解题技巧之“数”“形”结合策略(一)份解析几何解题技巧之“数”“形”结合策略 1解析几何解题技巧之“数”“形”结合策略一、“数”“形”结合解题法的理论概述（一）方法释义首先，关于解析几何的释义，其泛指几何学上一个小分支，主要用代数方法研究集合对象之间的关系和性质，因此也称作“坐标几何”。
其包括平面解析几何和立体解析几何两部分，其中，平面解析几何是二维空间上的解析几何；立体解析几何是三维空间上的解析几何，而立体解析几何则比平面解析几何更加复杂、抽象。
其次，关于数形结合的.释义，即是把题目所给条件中的“数”与“形”一一对应，用简单的、直观的几何图形以及条件之间的位置关系把复杂的、抽象的数学语言以及条件之间的数量关系结合起来，通过形象思维与抽象思维之间的结合，以形助数，或以数解形，从而使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，以起到优化解题途径的目的。
（二）解题思路在遇到解析几何时，能清楚条件与问题之间的数量关系与位置关系，将“数”与“形”一一对应，便能够快速找到解题突破点。
事实上，当熟练掌握到数形结合方法，能够举一反三时，遇到的所有题目都将是同一题目了。
因此，掌握数形结合思，就必须厘清下列关系：第一点，复数、三角函数等以几何条件和几何元素为背景建立的概念；第二点，题目所给的等式或代数方程式的结构中所含明显的几何意义；第三点，函数与图象的对应关系；第四点曲线与方程的对应关系；第五点，实数与数轴上的点的对应关系。
二、“数”“形”结合法在几何解题中的实例解析（一）解析几何中圆类问题实践证明，数形结合对速解圆类问题的帮助很大，因为在一般解题过程中，解析几何圆类问题主要围绕求圆与圆之间的位置关系、圆与直线的位置关系、圆的标准方程等几方面展开。
比如在判断圆与直线的位置关系时，通过建立直角坐标系，便可以直观地观察到直线在圆外，但是答题需要写出确切的答题步骤才能得分。
这时就需要有“数”“形”结合解题思想的辅导——以数解形：通过计算圆心到直线的距离，距离比圆的半径大即表明直线在圆外。
数形结合必考题型全梳理!(附例题)
高中数学：数形结合必考题型全梳理！（附例题）一、数形结合的三个原则一、等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．首先，由代数式、方程、不等式构造函数时一要注意变量(包括自变量和因变量)的取值范围。
二、双向性原则既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，直观的几何说明不能代替严谨的代数推理.另一方面，仅用直观分析，有时反倒使问题变得复杂，比如在二次曲线中的最值问题，有时使用三角换元，反倒简单轻松.三、简单性原则不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，确定好主元；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线(直线中含有参数)与定二次曲线．二、数形结合的应用一、利用数轴、韦恩图求集合利用数形结合的思想解决集合问题，常用的方法有数轴法、韦恩图法等。
当所给问题的数量关系比较复杂，不好找线索时，用韦恩图法能达到事半功倍的效果。
二、数形结合在解析几何中的应用解析几何问题往往综合许多知识点，在知识网络的交汇处命题，备受出题者的青睐，求解中常常通过数形结合的思想从动态的角度把抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来，达到研究、解决问题的目的.构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常见的对应有：（一）与斜率有关的问题（二）与距离有关的问题三、数形结合在函数中的应用（一）利用数形结合解决与方程的根有关的问题【点拨】数形结合可用于解决方程的根的问题，准确合理地作出满足题意的图象是解决这类问题的前提.（二）利用数形结合解决函数的单调性问题（三）利用数形结合解决比较数值大小的问题（四）函数的最值问题（五）利用数形结合解决抽象函数问题四、运用数形结合思想解不等式（一）解不等式（二）求参数的取值范围五、运用数形结合思想解决三角函数问题时间，提高考试效率，起到事半功倍的效果.六、借助向量的图象解决几何问题利用向量可以解决线段相等，直线垂直，立体几何中空间角（异面直线的角、线面角、二面角）和空间距离（点线距、线线距、线面距、面面距），利用空间向量解决立体几何问题，将抽象的逻辑论证转化为代数计算，以数助形，大大降低了空间想象能力，是数形结合的深化。
数形结合在平面解析几何中的重要性
数形结合在平面解析几何中的重要性
在平面解析几何中，多项式通常用于解决许多相关问题。
多项式
可以用来表示函数，而这些函数又可以用来描述数学中的形状，因此
它们对于理解平面解析几何具有重要性。
多项式的一个重要性质是，它们可以描述出一个平面形状的特征。
例如，假设我们有一个多项式f(x)=ax^2+bx+c，它可以表示一个二次
曲线，其特征如系数a的非零值所示。
这些系数可以用来表示曲线的
凹凸性和形状，使曲线变得更加容易理解和描述。
另外，多项式在解决类似于高斯线和泰勒线计算问题时也发挥了
重要作用。
高斯线是指一组多项式及其导数值的集合，它与一个特殊
函数f(x)相关，使得所有的多项式函数在不同点上的值都相等。
这样
的多项式可以用来求解复杂的几何问题，而不需要考虑其他的约束条件。
此外，多项式也可有用在曲线积分方面。
曲线积分是一种求解某
一曲线下一定区间内函数值的积分算法。
曲线积分可以利用多项式函
数表示出一个特定形状，可以用来求解整个曲线积分问题。
可以看出，多项式在平面解析几何中具有十分重要的作用。
它们
能够描述出一幅图像的特征，使图像变得更加容易理解和描述；同时，它们也能有效地解决高斯线等复杂问题，以及曲线积分等问题。
因此，多项式在平面解析几何中扮演着重要的角色，是解决平面解析几何问
题的基础。
解析几何中的数学思想
教学实践2014-03解析几何的本质是用代数的方法研究几何问题，解几知识中，蕴含着深刻的数学思想，对解几本质的考查往往通过对其思想应用的考查得以体现。
首先是由解几本质特征所决定的函数与方程思想，数形结合思想，其次是研究几何问题常用到的化归与转化的思想方法，分类与整合的思想方法，一般与特殊的思想方法等。
一、数形结合思想解析几何的基本思想就是数形结合，因为数与形是数学中最古老、最基本的研究对象，在解题中要善于将数形结合的数学思想运用于对圆锥曲线和平面几何性质以及相互关系的研究，即通过“以形辅数”“以数解形”“数形结合”将抽象的数学问题与直观的几何图形相结合，从而达到优化解题的途径。
例1（2012年福建理19题）如图椭圆E ∶x2a2+y2b2（a >b >0）的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e =12，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8。
（1）求椭圆E 的方程；（2）设动直线l ∶y =kx+m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x =4相交于点Q ，试探究在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由。
评析：本题是一道循规蹈矩的解析几何题，对于问题（2）在探求“数”与“形”之间的联系时，若发现只需判断∠PMQ 为直角即证明MP ，MQ 即可将问题化繁为简.然而，在平时如果能注意结合探究教学，不难得出如下结论：已知F 1（-c ，0）、F 2（c ，0）分别是椭圆C ∶x2a2+y 2b2=1（a >b >0）的左右焦点，点P （x 0，y 0）为椭圆上的一个动点，过点P 作椭圆的切线e 1与过右焦点F 2作与焦半径PF 2垂直的直线l 2交于点Q ，则点Q 的轨迹即为椭圆的左准线x =a2c，那么，由此进行必要的合情推理，是可以猜想出所求的点M 应该是右焦点，设为M （x 0，0），这样就大大减少了计算量。
数形结合巧解解析几何问题
“数形结合”巧解解析几何问题四川省遂宁高级实验学校 陈玉华我们都知道，解析几何的基本思想是用代数的方法(即坐标方法)研究几何问题．但是解析几何归根结底是研究解决几何问题的，因而又不能片面地强调用代数方法而忽略了几何图形本身的性质．在这里数形结合分析解决问题惟妙惟肖，各显神功．圆是特殊图形，在初中平面几何中我们学过许多有关圆的性质，如垂径定理，切线性质等．另外勾股定理，相似三角形性质、三角形中线、高线、角平分线性质，三角形内角和定理等等．在解决解析几何问题时，应充分利用平面几何性质，有时可大大减少计算量,使问题变得简单明了，解法漂亮，避免复杂计算．1.求轨迹问题【例1】已知动圆M 与圆C 1:(x+4)2+y 2=2外切，与圆C 2:(x-4)2+y 2=2内切，求动圆圆心M 的轨迹方程。
【分析】利用两圆内外切的充要条件找出点M 点满足的几何条件,结合圆锥曲线定义求解.【解】设动圆M 的半经为r,则由已知|MC 1|=r +2|=r∴|MC 1|-|MC 2|=又C 1(-4,0),C 2(4,0)∴|C 1C 2|=8, ∴|C 1C 2|＞据双曲线定义可知,点M 的轨迹是以C 1(-4,0),C 2(4,0)为焦点的双曲线的右支,∵a =∴22214b c a =-=,故点M 的轨迹方程为: 221(214x y x -=≥ 【点评】求曲线的轨迹方程时,利用几何条件探求轨迹的曲线类型,从而再利用待定系数法求出轨迹方程,这样可以减少计算量,提高解题速度与质量.【例2】如图,△AOB 中,∠AOB=3π,AB 在直线:3l x =上移动,求△AOB 外心的轨迹方程.【解】设外心为M （x,y ），连结MA 、MB ，∵∠AOB=3π，∴∠AMB=23π， 过M 作MN ⊥AB 于N ，则∠AMN=3π，又∵M 为△AOB 的外心，∴|MA|＝|MO|,于是|MN|=12|MA|＝12|MO|,即3x -=(03)x <<化简并整理得：223(4)12x y --=．【点评】利用了圆的几何性质:圆心角等于圆周角的二倍，寻找到动点M 的等量关系，大大地提高了解题效率.2.求值问题【例1】直线l 经过抛物线22(0)y px p =>的焦点Ｆ,且与抛物线交于点Ｐ,Ｑ两点，由P,Q 分别向准线引垂线PR 、QS ，垂足分别为R 、S.如果|PF|=a ,|QF|=b ,M 为RS 的中点,则|MF|的值为( )A. a b +B. 1()2a b + C. ab 【解析】据抛物线的定义,有|PF|=|PR|,|QF|=|QS|,易知△PRS 为直角三角形,故要求的是直角三角形斜边上的中线长,在直角梯形PRSQ中,容易求得|RS|=故|FM|=12选答案D.【点评】不会用圆锥曲线定义,想先求出M的坐标后,用两焦点间的距离公式求|MF|,由于计算中变量较多,关系复杂而无法计算出最后的结果.【例2】设动点P到两定点F1(-1,0),F2(1,0)的距离分别为d1和d2,∠F1PF2=2θ,且存在常数λ,λ∈(0,1),使得d1d2sin2θ=λ,(1)证明:点P的轨迹C是双曲线并求出方程,(2)如图,过点F2的直线与双曲线C的右支交AB两点,问是否存在λ,使△F1AB是以B为直角顶点的等腰直角三角形?【解析】（1）略221 (0,1) 1x yλλλ-=∈-（2）假设存在λ使Rt△F1AB为等腰直角三角形，记|AB|=t,|BF2|=x,则|BF1|=t,|AF1,由双曲线的定义可得：1212||||2()2||||22tBF BF a t x aAF AF a t x a x⎧=-=⎧--=⎪⇒⇒⎨⎨-=-=⎪⎩=⎩⎪⎩，在Rt△F1BF2中，222222221212||||||444F F BF BF t x c t=+⇒+==⇒+=，∵t=∴2221251117a aλ--=⇒==-⇒【点评】充分利用双曲线的定义及等腰直角三角形的性质入手，使整个运算过程，化繁为简，代数运算方法望尘莫及，体现了数学的简洁美.3.求范围问题【例1】已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的右焦点为F，过F作直线与椭圆相交于A、B两点，若有2BF AF=，求椭圆离心率的取值范围.【解析】如图示，据椭圆的对称性，不妨∠AFX=θ,(0,)2πθ∈，设|AF|=t,则|BF|=2t,其A、B两点在右准线上的射影分别为C、D，据椭圆的定义得：||||2||,||||||AF t BF te AC e BDAC e BD e=⇒==⇒=，过A作AE⊥BD于E，则||||||tBE BD ACe=-=，在Rt△ABE中得：||11cos(0,1)(,1)||33(0,1)BEeAB eeθ⎧==∈⇒∈⎪⎨⎪∈⎩【点评】利用椭圆的第二定义,抓住椭圆的对称性,构建直角三角形,转化为三角函数的有界性,近而求出离心率的范围,具有异曲同工之妙！4.求最值问题【例1】已知F是椭圆22195x y+=的左焦点,P是此椭圆上的动点,A(1,1)是一定点.(1)求3||||2PA PF+的最小值,并求点P的坐标.(2)求||||PA PF+的最大值和最小值.【分析】问题(1)按常规思路,设P(x,y),则32PA PF+=又P 点在椭圆上,y 可以用x 表示,这样32PA PF +可以表示为x 的一元函数,再求此函数的最小值,虽说此想法看上去可行,但实际操作起来,十分困难,如果利用椭圆的第二定义,转化到点到准线的距离来求,问题就变得简单了.【解】(1)由椭圆方程,得: 3,2a b c ==,∴23e =,左焦点F(-2,0)左准线9:2l x =- 设点P 到左准线l 的距离为d ,则||23PF e d ==,即2||3PF d = ∴32PA PF PA d +=+,由于A 在椭圆内,过A 作AK ⊥l 于K, 易证|PK|即为PA d +的最小值,其值为112,此时P 点纵坐标为1,得到横坐标为∴32PA PF +的最小值为112,这时点P 的坐标为((2)记椭圆的右焦点为F 2(2,0) ,据椭圆的第一定义可知: 22PF PF a +=, ∴22(2)6PA PF PA a PF PA PF +=+-=-+,而22||PA PF AF -≤=∴2PA PF ≤-≤∴max 6PA PF +=min 6PA PF +=【点评】(1)转化是一种重要的数学思想，两小题充分利用了椭圆的第一、二定义，将看似没有“出路”的问题巧妙的化解了；（2）用几何法求最值“化曲为直”，其基本原理是利用三角形三边的大小关系，当三点共线时取等.【例2】已知抛物线2y x =,动弦AB 长为2,求弦AB 的中点M 到y 轴的最小距离．【分析】记A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),要求出AB 的中点纵坐标最小值,可求出y 1+y 2的最小值,结合图形,可以看到y 1,y 2是梯形ABC 1D 1的两底,这样就使中点坐标成为梯形的中位线,可以利用几何图形的性质和抛物线的定义来求解.【解】设抛物线弦的端点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2),AB 的中点M(x 0,y 0),抛物线2y x =的焦点F(0,14),准线1:4l y =-,设A 、B 、M 到准线l 垂足分别为C 、N 、D,则2|MN|=|AC|+|BD|,|MN|=y 0+14, ∴2(y 0+14)=|AF|+|BF|≥|AB|=2∴2(y 0+14)≥2∴y 0≥34∴AB 中点纵坐标的最小值为34【点评】利用定义,数形结合,则解法直观,简明.5.求证明问题【例1】求证:以抛物线22(0)y px p =>过焦点的弦为直经的圆,必与此抛物线的准线相切．【分析】如右图,设AB 为过焦点的弦,AB 的中点M 即为圆心,证明以|AB|为直经的圆与准线l 相切,就是证明圆心M 到l 的距离等于|AB|的一半,一般的证法是先求出直经长,再推导圆心到准线的距离等于直经的一半,但计算过程比较繁,如果利用定义就能使推导过程简化.【证明】过AB 两点分别作AC 、BD 垂直于l ，垂直分别为C 、D 。
数形结合在解析几何中的应用
数形结合思想在高中解析几何中的应用广南一中第一中学（冯桂花）解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，是由法国著名数学家笛卡尔和费马共同创立的。
由于解析几何中蕴涵有丰富的数学思想方法，对研究数学及其他自然科学时有很重要的作用。
国内同行对解析几何中数学思想方法的教学研究较多，但这些研究大多只在理论上阐述了在解析几何中数学思想方法的重要性和必要性等问题，或者指出解析几何中蕴含的几种数学思想方法。
缺少在教学中加强对学生数学思想方法的培养，没有很好地体现新课程标准的要求；其次缺少对蕴含在解析几何课程中的核心思想方法的研究。
本文拟通过案例分析法、文献分析法、理论分析法对这一这一部分内容教学提供有力依据。
1 数形结合思想在高中新教材解析几何部分的重要地位1.1 数形结合的思想方法是贯穿于解析几何部分全部知识的核心数学思想方法解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何，最根本的做法就是设法把平面的几何结构有系统的代数化、数量化。
即在平面中建立了坐标系，把平面内的点与有序数组建立起一一对应的关系，因而平面内的一条曲线可以由带两个变量的一个方程表示，也即实现了曲线的“代数化”。
这样，几何问题就可以用代数形式表示，在求解析几何问题时，就可以运用代数方法进行研究。
其过程可表示为：几何问题而数形结合的基本思想是：在研究问题的过程中，注意把数形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化、形象化，抽象问题具体化，直观问题深刻化，从而使问题得到正确有效的解决。
因此，数形结合的思想方法是解析几何的一个核心思想方法，是统领解析几何知识结构的一根主要红线。
我国著名数学家华罗庚先生曾对数形结合思想做过深刻而彻底的阐述：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”。
并风趣地教导人们，千万不要“得意忘形”。
实际上，解析几何沟通了数学内数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系，几何的概念得以用代数方法表示，几何目标得以用代数方法达到，反之，代数语言可得到几何解释而变得直观、易懂。
数形结合思想在高中数学解析几何中的应用
数形结合思想在高中数学解析几何中的应用摘要：高中数学的解析几何部分是高中板块数学教学的重点和难点，所以，教师在教学中要对解析几何教学展开深入教研，采取一定的教学手段，教育和引导学生掌握一定的解析几何思维，才能让学生充分理解和掌握解析几何的知识点和解题思路。
数形结合思想是高中数学解析几何教学非常重要的数学思想方法，在数与形的对应转换中使抽象问题具体化、复杂问题简单化。
本文将对数形结合四线在高中数学解析几何中的应用。
关键词：数形结合；高中数学；解析几何；应用高中生学习数学的方式方法主要是在结合数字和形状来探究如何解答数学题，这种学习的方法可以让高中复杂的数学问题简易化且直观化，有利于高中生更加深入理解高中数学问题。
在将复杂问题简化过程中，学生可以进一步理解数学图形和数字之间的逻辑关系，在解决代数和图形问题时能够准确地找到解答方式，进而提高做数学题的效率。
一、关于数形结合思想及其在高中数学解析几何中的重要性分析数，意味着严谨；形，意味着直观。
数形结合是综合了数的严谨性、形的直观性，并以数、形的对应转换来解决数学问题，它通过“数”与“形”之间的灵活切换，借用直观的图形语言具象抽象的数学语言，或借用数学语言的数量关系解释图形的本质属性。
数形结合思想就像架起数、形的桥梁纽带，联结起数学的抽象思维和几何图形的形象思维，带领学生“以形助数”、或“以数解形”，从难以理解的抽象思维走向易感知、易理解的形象思维。
[1]高中数学解析几何，一直是高中数学教学的重要知识模块。
解析几何一般需要借助于直角坐标系，在直角坐标系中展现圆锥曲线在平面中的位置关系，运用代数运算手段，研究抛物线、双曲线、椭圆等圆锥曲线的定义、概念、性质以及其与直线的位置关系等。
[2]数学解析几何问题的解答，往往考察学生综合处理数学问题的能力，也检验学生的计算能力。
但如果学生具备一定的数形结合思维和能力，就能够在数与形的一一对应关系中发现数学的规律性和灵活性，并迅速找到解题的突破点和捷径，减少复杂的推理和计算环节，可大大减少解题的繁琐运算过程，有效节约答题时间。
高中数学数形结合思想在解析几何中的应用ppt实用资料
形
求出这个最小值。 数形结合思想在《解析几何》中的应用
y-3x最大值为： 13
段没有公共点，则正数a的取值范围为--------。
练习5：已知双曲线
的右焦点为F，
y-3x最小值 为：-13
Y 段没有公共点，则正数a的取值范围为--------。
练习1：已知x，y满足条件
，
dM
练习4：直线
与圆
在第
例2：椭圆
Y
点的线段相交，则l
M
Y斜率的[5取,+值∞)范∪围(-是∞--,------52-]---。
2
O π 围是------------------。 π 数形结合思想：数（式）
2 围是------------------。
X
形
段没有公共点，则正数a的取值范围为--------。
例1、已知x=
,求 最大值和最小值。
与连结A(1 , 2 )B(2, 3)的线
数形结合思想：数（式）
形
段没有公共点，则正数a的取值范围为--------。
2
M
练习4：直线
与圆
在第
-5 一象限内有两个不同的交点,则m的取值范
5
练习2：从点P(m , 3)向圆
-3 引切线，则切线长最小值为--------。
O
3F
MF 最小，并
A(9,2) 9X
引切线，则切线长最小值为--2---6---。
P
PY 3
P
-2
O
X
A
-2
例2：椭圆
2x2 a2
+
y2
a2
=1与连结A(1 , 2 )B(2, 3)的线
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求
x 2y
y
的最大值和最小值。 1 b 解：令 x 2 y b y x 2 2 2 2 由 x y 2x 4 y 0 得 x
O
x 1
2
y 2 5
2
可以看成过圆上的点作斜率为
的平行直线系。求纵截距的范
1 2
围。利用直线和圆相切，容易得到
构造距离公式——求最值
说明：对于代数式
x a 2 y b 2
可以看成P(x,y)
与A(a,b)两点间距离。利用距离公式求最值，可以使过
程简单清晰。
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距离公式模型
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位置关系模型
3 SinA 3 例 2： 求 y 的值域。 2CosA 4 3 SinA 1 y y 解： 可以看成动点 2 CosA 2
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y
1 a=1 -1 o x
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例6：（2000全国高考）设函数 f ( x )
，其中
x 1 ax
2
a 0 ，解不等式 f ( x ) 1
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说明：若方程（或不等式）的等号（或不等号）两 边的函数图象容易画出，可利用两图象的位置关系 探讨方程（或不等式）的解的问题（尤其含参数问 题）可避免复杂的运算和讨论，达到事半功倍的效 果。
f x x 2 10x 26 x 2 4 x 13 的最小值。
解：∵ f x x 2 10x 26 x 2 4 x 13
x
A(5, －1)
= ( x 5) 2 0 12 ( x 2) 2 (0 3) 2
可看成求P(x,0)到A(5,－ 1)和B(2,3)的距离 和最小值。
教学目标：
学习用解析几何方法解决一些代数问题，使学 生进一步熟悉数形结合这一数学思想。培养学生思 维的灵活性、创造性。
教学重点、难点：
如何依据题目特点选取解析几何模型。实现从 数到形的转化。
教学方法：
电脑辅助教学，边讲边练。
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填空：
① 两点间距离公式： d z1 __________ z2 复平面__________
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3 练习： 关于x的方程x x k 2 在（ 1， 1 ）内有一个实根，
2
则k的范围_______ .
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y 5/2
1
-1
-1/2
x
(3/4,-9/16) 结论：k= -9/16或k在区间[-1/2，5/2）上。
∴ f x min AB 5
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构造距离公式——求最值
25 练习:已知实数a,b满足a＋b=1,求证: a 2 b 2 2
2 2
y
Q
A
x
P
(－2, －2)
O
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斜率和截距模型位置关系来自型构造位置关系模型例4；已知复数 满足 z 3 z 3 10
和
z 5i z 5i 8 ，求 z 的值
Y
3
z
，
O3
4
X
答案：
z 4 i
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2
例5；（99年三南高考）解不等式
④
y 3(3 x)
以（3，0）为顶点，开口向 表示什么图形_______________________
左的抛物线的上半部分 ________________________. 返回 退出
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构造距离公式——求最值 例1：求函数 y B(2,3) O
x 2y
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的最大值为10，最小值为0
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构造直线的斜率和截距——求最值
yb 说明：①对于分式函数值域，若能写成 xa
的形式，可考虑建立动点(x,y)与定点
(a,b)的斜率的模型。
②若求 ax
y 的范围：可设 ，即， y ax b ax y b
5 4x x x
Y
y=x
-5
A O -2 1
X
14 2 答案： x 5, 2
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例6：（2000全国高考）设函数 f ( x )
，其中
x 1 ax
2
a 0 ，解不等式 f ( x ) 1
P(CosA,SinA)与A(－2,－1)连线 的斜率。如图： O A(－2, －1) x 答案： y
构造直线的斜率和截距——求最值
0,2
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构造直线的斜率和截距——求最值
2 2 x , y x y 2x 4 y 0。 例3 ：若实数 满足方程
建立直线纵截距模型。
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构造直线的斜率和截距——求最值
1 练习：1.已知集合 M x , y | y
Y
3 2
N x, y | y x b ， 若 M N ，求 b 的范围。
, 2 9 x 1
－ 3
O
－ 3 返回
3
X
答案：
3,3 2
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构造直线的斜率和截距——求最值
练习：2.已知
x y 4 ，求
2
Y
P (0,3) O X
y3 的范围。 x
5 5 , , 答案： 2 2
2 2 AB x1 x2 y1 y2 ___ 直角坐标平面__________
CosA 2 P SinA, CosA ② SinA 3 可看作哪两点连线的斜率_____________
Q 3,2
P 2,4 点的直线系。 ③ y k ( x 2) 4 表示过_________