第一章 误差分析与误差的传播习题及解答

四、解答题 1. 设 x>0,x*的相对误差为 δ，求 f(x)=ln x 的误差限。
解：求 lnx 的误差极限就是求 f(x)=lnx 的误差限，由公式有
已知 x*的相对误差 满足
，而
，故
即
2. 下列各数
都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几
位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。 解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得
第一章 误差分析与误差的传播
一、判断题： 1.舍入误差是模型准确值与用数值方法求得的准确值产生的误差。 ( )
x2 2. 用 1- 2 近似表示 cosx 产生舍入误差。
( )
3. 任给实数 a 及向量 x ，则 || ax || a || x ||。
()
二、填空题：
1.设
x*
2.40315 是真值
5. 计算下列矩阵的范数：
1）
，求
2）
，求
3)
，求
解：1）
2）
3）
1 0 1
6.
求矩阵
A
0
1
0
的谱半径.
2 0 2
1 0 1
解 I A 0 1 0 1 3
4分
2 0 2
矩阵 A 的特征值为 1 0, 2 1, 3 3
8分
所以谱半径 A max0,1,3 3
7. 证明向量 X 的范数满足不等式
和
。（ 2.7183 和 8.0000）
12. 、
，则 A 的谱半径
＝
，A 的
＝
（ 11.计算
）
取
，利用（ ）式计算误差最小。
四个选项：
解：
三、选择题
1. 用 1+ x 近似表示 3 1 x 所产生的误差是( D )误差。 3
A. 舍入
B. 观测
C. 模型
D. 截断
2、-324.7500 是舍入得到的近似值，它有( C )位有效数字。
B. x1 x2 x1 x2
C． x1x2 x2 x1 x1 x2 D. x2 2 x x
答：A 8. x = 1.234, 有 3 位有效数字，则相对误差限 r （ ）．
(A).0.5×10 -1； (B). 0.5×10 -2； (C). 0.5×10 -3； (D). 0.1×10 -2． 答：B
五、简述题 1. 叙述在数值运算中，误差分析的方法与原则是什么？ 解：数值运算中常用的误差分析的方法有：概率分析法、向后误差分析法、区间分析法等。
误差分析的原则有：1）要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法；2）要避免两近数相减；3）要 防止大数吃掉小数：4）注意简化计算步骤，减少运算次数。
有 5 位有效数字，其误差限
，相对误差限
有 2 位有效数字，
有 5 位有效数字， 3. 下列公式如何才比较准确？ （1）
（2） 解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。 （1） （2）
4.设
，假定 是准确的，而对 的测量有
而相对误差却减少。
解：
秒的误差，证明当 增加时 的绝对误差增加，
x
2.40194 的近似值，则
x* 有(3)位有效数字。
2. x*的相对误差约是 x*的相对误差的 1 倍。
2
3. 为了使计算
y 10 3 4 6 x 1 (x 1)2 (x 1)3
的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写
为
，为了减少舍入误差，应将表达式 2001 1999 改写为
。
（ y 10 (3 (4 6t)t)t, t 1 ， x 1
7. 近似值 x* 0.231关于真值 x 0.229有( 2 )位有效数字；
8. 3 x* 的相对误差为 x* 的相对误差的(
9. 计算方法主要研究(
)误差和(
1
)倍；
3
)误差；（截断，舍入）
10.近似数 x*=0.0310,有（ ）位有数数字。解：3 位
11. 按 四 舍 五 入 原 则 数 2.7182818 与 8.000033 具 有 五 位 有 效 数 字 的 近 似 值 分 别 为
（1） X X n x
2
1
(2)
X
X
X
n1
1
证明（1）设 x j 是向量 X 的分量，则X2 Fra bibliotekmai x
xi
2
n i 1
xi 2 n
X
2，
所以由向量范数的概念可知，结论成立。
5分
（2）由
X
mai x
xi
1 n
n i 1
xi
1 n
X
1
n
X
mai x
xi
i 1
xi
X 1
所以结论成立。
8、为了使 20 的近似值的相对误差限小于 0.1%，要取几位有效数字？
解：设 20 有 n 位有效数字，由 20 4.4 ，知 a1 4
令
* r
(
20 ) 1 10 (n1) 1 10 (n1) 0.1%
2a1
8
,
取
n 4,
* r
(
20 ) 0.125 10 3 0.1%
故
20 4.472
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
1 3. 用 s*= 2 gt2 表示自由落体运动距离与时间的关系式 ( g 为重力加速度 )，
st 是在时间 t 内的实际距离，则 st- s*是（C ）误差。
A. 舍入
B. 观测
C. 模型
D. 截断
4、舍入误差是( )产生的误差。
A. 只取有限位数
B.模型准确值与用数值方法求得的准确值
C. 观察与测量
D.数学模型准确值与实际值
（A）
5、3.141580 是 π 的有( )位有效数字的近似值。
A. 6
B. 5
C. 4
D. 7
（B ）
6、用 1+x 近似表示 ex 所产生的误差是(
)误差。
A. 模型
B. 观测
C. 截断
D. 舍入
（C）
7. 以下误差限公式不正确的是（ ）
A． x1 x2 x1 x2
2 2001
；）
1999
22 4. 3.142,3.141, 7 分别作为 的近似值有 , , 位有效数字。（4 ,3 ,3；）
5. 的近似值 3.1428 是准确到
近似值。答： 102
6. 取 x 3.142 作为 x 3.141 592 654 ┅的近似值，则 x 有
位有效数字.答：4