第一章 误差分析与误差的传播习题及解答
误差分析习题解答
“误差分析和数据处理”习题及解答1．指出下列情况属于偶然误差还是系统误差？ （1）视差；（2）游标尺零点不准；（3）天平零点漂移；（4）水银温度计毛细管不均匀。
答：（1）偶然误差；（2）系统误差；（3）偶然误差；（4）系统误差。
2．将下列数据舍入到小数点后3位：3.14159； 2.71729；4.510150； 3.21650；5.6235； 7.691499。
答：根据“四舍六入逢五尾留双”规则，上述数据依次舍为： 3.142； 2.717； 4.510； 3.216； 5.624； 7.691。
3．下述说法正确否？为什么？（1）用等臂天平称衡采取复称法是为了减少偶然误差，所以取左右两边所称得质量的平均值作为测量结果，即()12m m m =+左右 （2）用米尺测一长度两次，分别为10.53 cm 及10.54 cm ，因此测量误差为0.01 cm 。
答：（1）错。
等臂天平称衡时的复称法可抵消因天平不等臂而产生的系统误差。
被测物（质量为m ）放在左边，右边用砝码（质量为m r ）使之平衡，ml 1 = m r l 2，即2r 1l m m l =当l 1 = l 2时，m = m r 。
当l 1 ≠ l 2时，若我们仍以m r 作为m 的质量就会在测量结果中出现系统误差。
为了抵消这一误差，可将被测物与砝码互换位置，再得到新的平衡，m l l 1 = ml 2，即1l 2l m m l =将上述两次称衡结果相乘而后再开方，得m =这时测量结果中不再包含因天平不等臂所引起的系统误差。
（2）错。
有效数字末位本就有正负一个单位出入；测量次数太少；真值未知。
4．氟化钠晶体经过五次重复称量，其质量（以克计）如下表所示。
试求此晶体的平均质量、平均误差和标准误差。
解：平均质量 3.691300.738265iimm n===∑ 平均误差 ||0.000120.0000245iim m d n-=±=±=±∑ 标准误差0.000032σ===±5．测定某样品的重量和体积的平均结果W = 10.287 g ，V = 2.319 mL ，它们的标准误差分别为0.008 g 和0.006 mL ，求此样品的密度。
计算方法-刘师少版第一章课后习题完整答案
9000 m=1
9000.00
解 （1）∵ 2.0004＝0.20004×10 ,
x − x ∗ = x − 0.20004 ≤ 0.000049 ≤ 0.5 × 10 −4
m-n=-4,m=1 则 n=5,故 x=2.0004 有 5 位有效数字
x1 =2，相对误差限 ε r =
1 1 × 10 −( n −1) = × 101−5 = 0.000025 2 × x1 2× 2
-2
（2）∵ －0.00200= -0.2×10 ,
m=-2
x − x ∗ = x − (−0.00200) ≤ 0.0000049 ≤ 0.5 × 10 −5
m-n=-5, m=-2 则 n=3,故 x=-0.00200 有 3 位有效数字
x1 =2，相对误差限 ε r =
4
1 × 101−3 =0.0025 2× 2
4 3 4 πR − π ( R * ) 3 3 ε r* (V ) = 3 4 3 πR 3 R 3 − (R* )3 ( R − R * )( R 2 + RR * + R * ) = = R3 R3 R − R * R 2 + RR * + R * R − R * R 2 + RR * + RR * = ⋅ ≈ ⋅ R R R2 R2
可以得到计算积分的递推公式：
I n = 1 − nI n −1
1 0
n = 1,2, L
1 0
I 0 = ∫ e x −1 dx = e x −1
则准确的理论递推式 实际运算的递推式 两式相减有
* *
= 1 − e −1
I n = 1 − nI n −1
* * In = 1 − nI n −1 * * * In − In = −n( I n −1 − I n −1 ) = − ne( I n −1 ) *
误差分析及绪论习题-复习题 (1)
课本例外补充习题 (第一章)1. 下列个数都是对真值进行四舍五入法后得到的近似值,试分别写出它们的绝对误差限,相对误差限和有效数字的位数?2.为了使11 的近似值的相对误差%1.0≤ , 问至少应取几位有效数字?3.如果利用四位函数表计算 2cos 1- 试用不同方法计算并比较结果的误差.4.求方程01402=+-x x 的两个根 . 使他们至少具有四位有效数字.( 已知 975.19399≈ )5、设0>x , *x 的相对误差为δ求 x ln 的误差。
6、下列个数都是经四舍五入法得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位。
摄指出他们是几位有效数字。
解：(1) *1x =1.1021 是五位有效数字。
(2) *2x =0.031 (2位)(3) *3x =385.6 (4位) (4) *4x =56.430 (5位) (5) *5x =7*1.0 (2位) .7、 求下 列各近似值得误差限 .(.1)*3*2*1x x x ++ , (.1.1)*3*2*1x x x ， (.1.1.1) *4*2x x , 其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第6题 所给的数 .8、计算球体积要使相对误差限为 1% , 问度量半径R 是允许的相对误差限 是多少?、 9、设 221gt s =假定g 是准确的 , 而对t 的测量有1.0±秒的误差 , 证明 当t 增加时s 的绝对误差增加 , 而相对误差却减少.10、 )1ln()(2--=x x x f 求)30(f 的值 , 若开平方用六位函数表问求对数时误差有多大?若改用另一个等价公式 )1ln()1ln(22-+-=--x x x x 计算 ,求对数时误差由多大?课本例外补充习题 (第一章)答案2. 下列个数都是对真值进行四舍五入法后得到的近似值,试分别写出它们的绝对误差限,相对误差限和有效数字的位数? 2.为了使11 的近似值的相对误差%1.0≤ , 问至少应取几位有效数字?解: 3166.311≈ , 31=∴a , %1.010**21|)(|11*≤≤∴+-n r a x ε ⇒ 10006101≤+-n ⇒ (-n+1)lg10≤lg6-lg1000= -n+1≤ 0.77815 –3 ⇒-n+1≤-2.2218 ⇒n ≥3.2218 .∴ n=4 . 说明应取4位有效数时相对误差限≤0.1% .3.如果利用四位函数表计算 2cos 1- 试用不同方法计算并比较结果的误差.解: 用四位函数表值接计算0006.09994.012cos 1=-≈- , 只有1位有效数字.42210*092.69994.1)03490.0(2cos 12sin 2cos 1-≈≈+=-只有4位有效数字. 4210*09.61sin 22cos 1-≈=- , 只有3位有效数字.准确值 410*0917.62cos 1-=- , 故以上3种算法误差限分别为44410*002.0,10*0003.0,10*1.0--- .4.求方程01402=+-x x 的两个根 . 使他们至少具有四位有效数字.( 已知975.19399≈ )解: 975.393992021400240241600401=+=-+=-+=x975.1920*1+=x , 由伟大定理211x x = ,)1*(21=x x , 故0250151.0975.3912==x ,02500.0975.19203992021400240*22=-=⇒-=--=x x00005.010*2100001565.0|975.19974984.19||975.19399||||)(|4*111=≤=-=-=-=-x x x ε 4*22210*21|975.19399||||)(|-≤-=-=x x x ε 可见 21,x x 有四位有效数字.5、设0>x , *x 的相对误差为δ求 x ln 的误差。
误差分析试题及答案
误差分析试题及答案1. 误差的定义是什么？答案：误差是指测量值与真实值之间的差异。
2. 误差的来源有哪些？答案：误差的来源包括系统误差、随机误差和疏忽误差。
3. 请简述系统误差和随机误差的区别。
答案：系统误差是指在相同条件下重复测量时，误差值保持恒定或按一定规律变化的误差；随机误差则是指在相同条件下重复测量时，误差值随机变化，没有固定规律。
4. 什么是绝对误差和相对误差？答案：绝对误差是指测量值与真实值之间的绝对差值；相对误差是指绝对误差与真实值之比。
5. 如何减小测量误差？答案：减小测量误差的方法包括：使用更精确的测量工具、改进测量方法、多次测量取平均值、使用误差补偿技术等。
6. 误差分析中常用的统计方法有哪些？答案：误差分析中常用的统计方法包括：平均值、标准偏差、方差、置信区间等。
7. 请解释误差传播的概念。
答案：误差传播是指当一个物理量由多个测量值通过某种函数关系计算得到时，各个测量值的误差如何影响最终结果的误差。
8. 误差传播的一般公式是什么？答案：误差传播的一般公式为：Δf = √((∂f/∂x1)²Δx1² + (∂f/∂x2)²Δx2² + ... + (∂f/∂xn)²Δxn²)，其中f是函数，x1, x2, ..., xn是变量，Δx1, Δx2, ..., Δxn是变量的误差。
9. 什么是误差限？答案：误差限是指测量值在一定置信水平下，真实值可能落在的区间范围。
10. 误差分析在实际工程中的意义是什么？答案：误差分析在实际工程中的意义在于：确保测量结果的准确性和可靠性，为设计、生产和质量控制提供科学依据。
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第一章 误差和数据处理习题解答1、指出下列情况属于随机误差还是系统误差： （1）视差；（2）天平零点漂移； （3）千分尺零点不准； （4）照相底版收缩；（5）水银温度计毛细管不均匀；（6）电表的接入误差。
解：（1）忽左忽右，属随机误差；（2）往单方向漂移属系统误差；随机漂移属随机误差； （3）属系统误差，应作零点修正； （4）属系统误差； （5）按随机误差处理；（6）属系统误差，可作修正。
2、说明以下因素的系统误差将使测量结果偏大还是偏小： （1）米尺因低温而收缩； （2）千分尺零点为正值； （3）测密度铁块内有砂眼；（4）单摆公式测重力加速度，没考虑θ≠0； （5）安培表的分流电阻因温度升高而变大。
解：（1）使结果偏大；（2）使结果偏大，属系统误差，修正时应减去这正零点值； （3）使密度值偏小； （4）使结果偏小：当θ≠0时，单摆公式为： )2sin 411(220θπ+=g l T 或22202)2sin 1(4θπ+=T l g若用θ=0的20204T l g π=近似，结果偏小；（5）分流电阻变大，分流变小，使结果偏大。
3、用物理天平（仪∆=0.020g ）称一物体的质量m ，共称5次，结果分别为36.127g 、36.122g 、36.121g 、36.120g 和36.125g 。
试求这些数据的平均值、绝对不确定度和相对不确定度。
解：36.12736.12236.12136.12036.12536.12336.12306m g +++++==m S =0.0026g ，说明：平均值的有效数字比测量值多了一位，这是由于经多次测量随机误差减小的缘故，是正常、合理的。
（未考虑天平的仪器误差）。
已知：仪∆=0.020g ，0.020u g ==∴ (36.1230.020)m m u g =±=±。
相对误差100%0.06%rm u u m=⨯≅。
说明：①本题测量的随机误差大大小于天平的仪器误差，故实际上可写成u B ≈Δ仪； ②本题的S m 最好用计算器的统计计算功能计算；③相对误差必须以%为单位，不能写成0.0006，更不能写成0.0006g 。
大学物理实验复习资料
大学物理实验复习资料大学物理实验复习资料复习要求1．第一章实验基本知识；2．所做的十二个实验原理、所用的仪器（准确的名称、使用方法、分度值、准确度）、实验操作步骤及其目的、思考题。
第一章练习题（答案）1．指出下列情况导致的误差属于偶然误差还是系统误差？⑴ 读数时视线与刻度尺面不垂直。
——————————该误差属于偶然误差。
⑵ 将待测物体放在米尺的不同位置测得的长度稍有不同。
——该误差属于系统误差。
⑶ 天平平衡时指针的停点重复几次都不同。
——————该误差属于偶然误差。
⑷ 水银温度计毛细管不均匀。
——————该误差属于系统误差。
⑸ 伏安法测电阻实验中，根据欧姆定律R x =U/I ，电流表内接或外接法所测得电阻的阻值与实际值不相等。
———————————————该误差属于系统误差。
2．指出下列各量为几位有效数字，再将各量改取成三位有效数字，并写成标准式。
测量值的尾数舍入规则：四舍六入、五之后非零则入、五之后为零则凑偶⑴ 63.74 cm ——四位有效数字， 6.37×10cm 。
⑵ 1.0850 cm ——五位有效数字， 1.08cm ，⑶ 0.01000 kg ——四位有效数字，1.00 ×10－2kg ，⑷ 0.86249m ——五位有效数字，8.62 ×10－1m ，⑸ 1.0000 kg ——五位有效数字， 1.00kg ，⑹ 2575.0 g ——五位有效数字，2.58×103g ，⑺ 102.6 s ；——四位有效数字，1.03 ×102s ，⑻ 0.2020 s ——四位有效数字，2.02 ×10－1s ，⑼ 1.530×10－3 m. ——四位有效数字，1.53 ×10－3m⑽ 15.35℃ ——四位有效数字，1.54×10℃3．实验结果表示⑴ 精密天平称一物体质量，共称五次，测量数据分别为：3.6127g ，3.6122g ，3.6121g ，3.6120g ，3.6125g ，试求① 计算其算术平均值、算术平均误差和相对误差并写出测量结果。
误差和分析数据的处理习题及答案（可编辑）
误差和分析数据的处理习题及答案误差和分析数据的处理 1．指出在下列情况下，各会引起哪种误差？如果是系统误差，应该采用什么方法减免？（1）砝码被腐蚀；（2）天平的两臂不等长；（3）容量瓶和移液管不配套；试剂中含有微量的被测组分；（5）天平的零点有微小变动；（6）读取滴定体积时最后一位数字估计不准；（7）滴定时不慎从锥形瓶中溅出一滴溶液；（8）标定HCl溶液用的NaOH标准溶液中吸收了CO2。
2．如果分析天平的称量误差为±0.2mg，拟分别称取试样0.1g和1g左右，称量的相对误差各为多少？这些结果说明了什么问题？ 3．滴定管的读数误差为±0.02mL。
如果滴定中用去标准溶液的体积分别为2mL和20mL左右，读数的相对误差各是多少？从相对误差的大小说明了什么问题？ 4．下列数据各包括了几位有效数字？（1）0.0330 (2) 10.030 (3) 0.01020 (4) 8.7×10-5 (5) pKa=4.74 (6) pH=10.00 5．将0.089g Mg2P2O7沉淀换算为MgO的质量，问计算时在下列换算因数（2MgO/Mg2P2O7）中哪个数值较为合适：0.3623,0.362,0.36？计算结果应以几位有效数字报出。
6．用返滴定法测定软锰矿中MnO2质量分数，其结果按下式进行计算：问测定结果应以几位有效数字报出？ 7．用加热挥发法测定BaCl2??2H2O中结晶水的质量分数时，使用万分之一的分析天平称样0.5000g，问测定结果应以几位有效数字报出？ 8．两位分析者同时测定某一试样中硫的质量分数，称取试样均为3.5g，分别报告结果如下：甲：0.042%,0.041%；乙：0.04099%,0.04201%。
问哪一份报告是合理的，为什么？ 9．标定浓度约为0.1mol??L-1的NaOH，欲消耗NaOH溶液20mL左右，应称取基准物质H2C2O4??2H2O 多少克？其称量的相对误差能否达到0. 1%？若不能，可以用什么方法予以改善？若改用邻苯二甲酸氢钾为基准物，结果又如何？ 10．有两位学生使用相同的分析仪器标定某溶液的浓度（mol??L-1），结果如下：甲：0.12,0.12,0.12（相对平均偏差0.00%）；乙：0.1243,0.1237,0.1240（相对平均偏差0.16%）。
现代科学工程计算基础课后答案
现代科学工程计算基础课后答案《现代科学与工程计算基础》较为详细地介绍了科学与工程计算中常用的数值计算方法、基本概念及有关的理论和应用。
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其目的是使大学生和研究生了解数值计算的重要性及其基本内容，熟悉基本算法并能在计算机上实现，掌握如何构造、评估、选取、甚至改进算法的数学理论依据，培养和提高读者独立解决数值计算问题的能力。
目录第一章绪论§1 研究对象§2 误差的来源及其基本概念2.1 误差的来源2.2 误差的基本概念2.3 和、差、积、商的误差§3 数值计算中几点注意事项习题第二章函数的插值与逼近§1 引言1.1 多项式插值1.2 最佳逼近1.3 曲线拟合§2 Lagrange插值2.1 线性插值与抛物插值2.2 n次Lagrange插值多项式2.3 插值余项§3 迭代插值§4 Newton插值4.1 Newton均差插值公式4.2 Newton差分插值公式§5 Hermite插值§6 分段多项式插值6.1 分段线性插值6.2 分段三次Hermite插值§7 样条插值7.1 三次样条插值函数的定义7.2 插值函数的构造7.3 三次样条插值的算法7.4 三次样条插值的收敛性§8 最小二乘曲线拟合8.1 问题的引入及最小二乘原理8.2 一般情形的最小二乘曲线拟合8.3 用关于点集的正交函数系作最小二乘拟合8.4 多变量的最小二乘拟合§9 连续函数的量佳平方逼近9.1 利用多项式作平方逼近9.2 利用正交函数组作平方逼近§10 富利叶变换及快速富利叶变换10.1 最佳平方三角逼近与离散富利叶变换10.2 快速富利叶变换习题第三章数值积分与数值微分§1 数值积分的基本概念1.1 数值求积的基本思想1.2 代数精度的概念1.3 插值型求积公式§2 等距节点求积公式2.1 Newton—CoteS公式2.2 复化求积法及其收敛性2.3 求积步长的自适应选取§3 Romberg 求积法3.1 Romberg求积公式3.2 Richardson外推加速技术§4 Gauss型求积公式4.1 Gauss型求积公式的一般理论4.2几种常见的Gauss型求积公式§5 奇异积分和振荡函数积分的计算5.1 奇异积分的计算5.2 振荡函数积分的计算§6 多重积分的计算6.1 基本思想6.2 复化求积公式6.3 Gauss型求积公式§7 数值微分7.1 Taylor级数展开法7.2 插值型求导公式习题第四章解线性代数方程组的直接法§1 Gauss消去法§2 主元素消去法2.1 全主元素消去法2.2 列主元素消去法§3 矩阵三角分解法3.1 Doolittle分解法（或LU分解）3.2 列主元素三角分解法3.3 平方根法3.4 三对角方程组的追赶法§4 向量范数、矩阵范数及条件数4.1 向量和矩阵的范数4.2 矩阵条件数及方程组性态习题第五章解线性代数方程组的迭代法§1 Jacobi迭代法§2 Gauss-Seidel迭代法§3 超松弛迭代法§4 共轭梯度法习题第六章非线性方程求根§1 逐步搜索法及二分法1.1 逐步搜索法1.2 二分法§2 迭代法2.1 迭代法的算法2.2 迭代法的基本理论2.3 局部收敛性及收敛阶§3 迭代收敛的加速3.1 松弛法3.2 Aitken方法§4 New-ton迭代法4.1 Newton迭代法及收敛性4.2 Newton迭代法的修正4.3 重根的处理§5 弦割法与抛物线法5.1 弦割法5.2 抛物线法§6 代数方程求根6.1 多项式方程求根的Newton法6.2 劈因子法§7 解非线性方程组的Newton迭代法习题……第七章矩阵特征值和特征向量的计算第八章常微方分程数值解法附录参考文献欢迎下载，资料仅供参考!!!资料仅供参考!!!资料仅供参考!!!。
第一章 误差分析与误差的传播习题及解答
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
1 3. 用 s*= 2 gt2 表示自由落体运动距离与时间的关系式 ( g 为重力加速度 )，
st 是在时间 t 内的实际距离，则 st- s*是（C ）误差。
A. 舍入
B. 观测
C. 模型
D. 截断
4、舍入误差是( )产生的误差。
A. 只取有限位数
B.模型准确值与用数值方法求得的准确值
五、简述题 1. 叙述在数值运算中，误差分析的方法与原则是什么？ 解：数值运算中常用的误差分析的方法有：概率分析法、向后误差分析法、区间分析法等。
误差分析的原则有：1）要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法；2）要避免两近数相减；3）要 防止大数吃掉小数：4）注意简化计算步骤，减少运算次数。
5. 计算下列矩阵的范数：
1）
，求
2）
，求
3)
，求
解：1）
2）
3）
Hale Waihona Puke 1 0 16.求矩阵
A
0
1
0
的谱半径.
2 0 2
1 0 1
解 I A 0 1 0 1 3
4分
2 0 2
矩阵 A 的特征值为 1 0, 2 1, 3 3
8分
所以谱半径 A max0,1,3 3
7. 证明向量 X 的范数满足不等式
7. 近似值 x* 0.231关于真值 x 0.229有( 2 )位有效数字；
8. 3 x* 的相对误差为 x* 的相对误差的(
9. 计算方法主要研究(
)误差和(
1
)倍；
3
)误差；（截断，舍入）
10.近似数 x*=0.0310,有（ ）位有数数字。解：3 位
分析化学练习题带答案
分析化学补充习题第一部分：误差及分析数据处理一．填空：√1．用丁二酮肟总量法测定Ni的含量，得到下列结果：10.48%、10.37%、10.43%、10.40% 10.47%已求得单次测定结果的平均偏差为0.036% 则相对平均偏差为（）；标准偏差为（）；相对标准偏差为（）。
√2．滴定管的读数常有±0.01mL的误差，在完成一次测定时的绝对误差可能为（）mL；常量分析的相对误差一般要求应≤0.1%，为此，滴定时消耗标准溶液的体积必须控制在( ) mL以上。
√3．定量分析中，影响测定结果精密度的是（）误差。
4．置信度一定时增加测定次数n，置信区间变（）；n不变时，置信度提高，置信区间变（）。
√5．0.908001有（）位有效数字，0.024有（）位有效数字二．选择：√1．下列有关偶然误差的论述中不正确的是（A）偶然误差具有随机性（B）偶然误差具有单向性（C）偶然误差在分析中是无法避免的（D）偶然误差的数值大小、正负出现的机会是均等的2．当置信度为95%时测得Al2O3的μ的置信区间为（35.21±0.10）%其意义是（A）在所有测定的数据中有95%在此区间内（B）若再进行测定，将有95%的数据落在此区间内（C）总体平均值μ落入此区间的概率为0.95（D）在此区间内包含μ值的概率为95%3．用加热驱除水分法测定CaSO4·1/2H2O中结晶水的含量时，称取试样0.2000g，已知天平称量误差为±0.1mg，分析结果的有效数字应取（A）一位（B）四位（C）两位（D）三位√4．如果要求分析结果达到0.1%的准确度，使用灵敏度为0.1mg的天平称取试样时，至少应称取（A）0.1g （B）0.2g （C）0.05g （D）0.5g5．有两组分析数据要比较他们的测量精密度有无显著性差异，应当用（A）Q检验法（B）t检验法（C）F检验法（D）w检验法三．判断：√1．下面有关有效数字的说法是否正确（A）有效数字中每一位数字都是准确的（B）有效数字中的末位数字是估计值，不是测定结果（C）有效数字的位数多少，反映了测量值相对误差的大小（D）有效数字的位数与采用的单位有关√2．下面有关误差的叙述是否正确（A）准确度高，一定要求精密度高（B）系统误差呈正态分布（C）精密度高，准确度一定高（D）分析工作中，要求分析误差为零√3．判断下列说法是否正确（A）偏差是指测定值与真实值之差（B）随机误差影响测定结果的精密度（C）在分析数据中，所有的“0”均为有效数字（D）方法误差属于系统误差4．某同学根据置信度为95%对其分析结果计算后，写出报告结果为(25.25±0.1348)%.该报告的结果是否合理。
误差理论与测量平差基础习题集1
第一章绪论§1-1观测误差1.1.01为什么说观测值总是带有误差,而且观测误差是不可避免的？1.1.02观测条件是由哪些因素构成的？它与观测结果的质量有什么联系？1.1.03测量误差分为哪几类?它们各自是怎样定义的?对观测成果有何影响？试举例说明。
1.1.04用钢尺丈量距离，有下列几种情况使量得的结果产生误差，试分别判定误差的性质及符号：（1）长不准确；（2）尺尺不水平；（3）估读小数不准确；（4）尺垂曲；（5）尺端偏离直线方向。
1.1.05在水准测量中，有下列几种情况使水准尺读数带有误差，试判别误差的性质及符号：（1）视准轴与水准轴不平行；（2）仪器下沉；（3）读数不准确；（4）水准尺下沆。
§1-2测量平差学科的研究对象1.2.06 何谓多余观测?测量中为什么要进行多余观测？1.2.07 测量平差的基本任务是什么？§1-3测量平差的简史和发展1.3.08 高斯于哪一年提出最小二乘法？其主要是为了解决什么问题？1.3.09 自20世纪五六十年代开始，测量平差得到了很大发展，主要表现在那些方面？§1-4 本课程的任务和内容51.4.10 本课程主要讲述哪些内容？其教学目的是什么？第二章误差分析与精度指标§2-1 正态分布2.1.01 为什么说正态分布是一种重要的分布？试写出一维随机变量X的正态分布概率密度式。
6§2-2 偶然误差的规律性2.2.02 观测值的真误差是怎样定义的？三角形的闭合差是什么观测值的真误差？2.2.03 在相同的观测条件下，大量的偶然误差呈现出什么样的规律性？2.2.04 偶然误差*服从什么分布？它的数学期望和方差各是多少？§2-3 衡量精度的指标2.3.05 何谓精度？通常采用哪几种指标来衡量精度？2.3.06 在相同的观测条件下，对同一个量进行若干次观测得到一组观测值，这些观测值的精度是否相同？能否认为误差小的观测值比误差大的观测值精度高？2.3.07 若有两个观测值的中误差相同，那么，是否可以说这两个观测值的真误差一定相同？为什么？2.3.08 为了鉴定经纬度的精度，对已知精确测定的水平角α=45O00’00”作12次观测，结果为：45o00’06” 44o59’55” 44o59’58” 45o00’04”45o00’03” 45o00’04” 45o00’00” 44o59’58”44o59’59” 44o59’59” 45o00’06” 45o00’03”设α没有误差，试求观测值的中误差。
第一章习题解答与问题
c1，c2，……，cm+ n，bm+ n+ 1 1 1 1 7．在计算机上对调和级数 1 + + + L + 自左至右求和计算 2 3 n n 1 Sn = ∑ k =1 k 当n很大时，Sn 将不随n 的增加而增加。试利用相对误差限和有效数字关系说明这一现象
产生的原因。 8． Fibonacci数列最初两项为 F0=1，F1=1，其递推公式为： Fn+2 = Fn + Fn+1，( n≥0) （1） 利用数学归纳法证明 Fibonacci 数列的通项可以表示成：
4
π 1 dx = arctan 1 = 可以计算出无理数π 的值。将定积分表示为积分和 2 4 1+ x
R
H
∫
1
0
xn dx ( n = 1，2，…，20) 的递推 5+ x
关系，并研究递推算法的数值稳定性。 6．计算两个多项式Pn(x)和Qm(x)的乘积多项式Tn+m(x)的方法称为向量的卷积方法。设
783 / 100 ( n = 1，2，…) 计算到y100。若取 783 ≈ 27.982 （五位有效数字） ，试问，计算 y100 将有多大的误差？ 解：由于初值 y0 = 28 没有误差，误差是由 783 ≈ 27.982 所引起。记 x = 27.982 ， δ = x − 783 。则利用理论准确成立的递推式 yn = yn-1 – 783 / 100 Yn = Yn-1 – x / 100 (Y0 = y0) 783 )/ 100
∑ [ai ∑ b j ]
i =1 j =1
n
i
所用乘法为 n 次，加法次数不变，仍为( n + 2 ) ( n – 1) / 2。 ，算法输出 11 试构造一个算法，对输入的数据 x0，x1，x2，……，xn，以及x（均为实数） 为 ( x –x0) ( x –x1) ( x –x2)……( x –xn) 的计算结果。 解 算法如下： 第一步：输入x；x0，x1，x2，……，xn，M Å (x – x0 )；k Å 0； 第二步：M Å M×(x – x0 )；k Å k+1； 第三步：判断，若 k ≤ n，则转第二步；否则输出 M，结束。 12 利用级数公式
(完整word版)误差理论与数据处理-误差习题(word文档良心出品)
误差理论与数据处理习题习题一1．何谓量的真值？它有那些特点？实际测量中如何确定？2．比较绝对误差、相对误差和引用误差异同点？3．何谓修正值？含有误差的某一量值经过修正后能否得到真值？为什么？4．解释系统误差、随机误差和粗大误差之间的相互转化关系？5．分析求证近似数截取原则的合理性。
6．分析误差来源必须注意的事项有那些？7．用测角仪测得某矩形的四个角内角和为360°00′04″，试求测量的绝对误差和相对误差。
8．一个标称值为5g的砝码，经高一等标准砝码检定，知其误差为0.1mg，问该砝码的实际质量是多少？9．多级弹导火箭的射程为12 000km时，射击偏离预定点不超过1km。
优秀射手能在距离50m远处准确地射中直径为2cm的靶心，试评述这两种射击的准确度。
10．设准确度s＝0.1级，上限值为10A的电流表经过检定后，最大示值误差在3A处为＋8mA，问此表合格否？11．已知：某电压表在测量（10～200）V范围的电压时，其相对误差为0.2％。
求该电压表分别在测量180V和60 V时的可能最大的绝对误差？思考题：1、为什么说所有的实验与测量均存在误差？2、学习本课程的意义有哪些？3、解释真值的概念4、“误差”可以说清楚吗？为什么？5、“四舍五入”原则存在什么缺陷习题二1．叙述随机误差的含义和特点。
2．为什么说正态分布是随机误差最基本的、主要的分布？它的函数式及其数字特征是什么？有那些特点？3．为什么用算术平均值作为测量结果的最佳值？4．比较真误差与残余误差的概念。
5．单次测量标准差、算术平均值标准差的物理意义是什么？它们之间的关系如何？6．最佳测量次数如何掌握？为什么？7．比较贝塞尔公式、极差法和最大误差法的优缺点。
8．叙述置信概率、显著性水平和置信区间的含义及相互之间的关系。
9．对某量进行10次等精度测量，测量结果如下：10.60，10.54，10.72，10.51，10.65，10.69，10.55，10.63，10.55，10.53求最佳估计值和算术平均值标准差。
误差理论试题及答案
误差理论试题及答案一、选择题1. 误差的来源主要包括（）。
A. 测量仪器的精度B. 测量方法C. 环境条件D. 所有以上答案：D2. 系统误差和随机误差的主要区别在于（）。
A. 系统误差是可预测的，随机误差是不可预测的B. 系统误差是不可预测的，随机误差是可预测的C. 系统误差和随机误差都是可预测的D. 系统误差和随机误差都是不可预测的答案：A3. 测量误差的估计方法不包括（）。
A. 标准差B. 均方根误差C. 绝对误差D. 误差传递答案：D二、填空题1. 测量误差可以分为________和________两种类型。
答案：系统误差；随机误差2. 误差的绝对值越小，表示测量结果的________越高。
答案：准确性三、简答题1. 简述如何减少测量误差。
答案：减少测量误差的方法包括：使用高精度的测量仪器，改进测量方法，控制环境条件，以及采用适当的数据处理方法，如取平均值等。
2. 描述误差传播的基本原理。
答案：误差传播的基本原理是，当一个量是由多个变量通过某种函数关系计算得到时，这些变量的测量误差会通过该函数关系传播到最终结果上。
误差传播的计算可以通过误差传播公式来进行，该公式考虑了各变量误差与函数关系之间的影响。
四、计算题1. 已知测量长度的仪器误差为±0.05cm，测量时间的仪器误差为±0.02s，计算速度的测量误差。
答案：假设长度为L，时间为T，速度为V=L/T，速度的相对误差可以通过误差传播公式计算得到。
速度的误差ΔV可以通过以下公式计算：ΔV = V * sqrt((ΔL/L)^2 + (ΔT/T)^2)其中ΔL = 0.05cm，ΔT = 0.02s。
将数值代入公式计算，得到速度的测量误差。
2. 已知一组数据的平均值为50，标准差为5，求这组数据的相对误差。
答案：相对误差可以通过以下公式计算：相对误差 = (标准差 / 平均值) * 100%将数值代入公式计算，得到相对误差的百分比。
误差理论 作业及参考答案
第一章1、熟悉误差、精度、有效数字的基本概念和相关计算方法。
答案：略2、用两种方法分别测量L1=50mm，L2=80mm。
测得值各为50.004mm，80.006mm。
试评定两种方法测量精度的高低。
解：两种测量方法进行的测量绝对误差分别为：δ1＝50.004-50＝0.004（mm）；δ2＝80.006-80＝0.006（mm）；两种测量方法的相对误差分别为：δ1／L1＝0.004/50=0.008%；和δ2／L2＝0.006/80=0.0075 %；显然，测量L2尺寸的方法测量精度高些。
3、若某一量值Q用乘积ab表示，而a与b是各自具有相对误差f a和f b的被测量，试求量值Q的相对误差。
解：∵相对误差=绝对误差/真值=(测得值-真值)/真值∴ a = a0(1+f a)；b = b0(1+f b)；式中a0、b0分别为a、b的真值。
则Q =ab = a0(1+f a) b0(1+f b)≈a0 b0(1+f a+ f b)因此，Q的相对误差约为（f a+ f b)第二章1、在立式测长仪上测量某校对量具，重复测量5次，测得数据（单位为mm）为20.0015，20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。
若测量值服从正态分布，试以99%的置信概率确定测量结果。
解：①求算术平均值②求残余误差：各次测量的残余误差依次为 0，0.0001，0.0003，0，-0.0004。
③求测量列单次测量的标准差用贝塞尔公式计算：用别捷尔斯公式计算：④求算术平均值的标准差⑤求单次测量的极限误差和算术平均值的极限误差因假设测量值服从正态分布，并且置信概率P=2Φ(t)=99%，则Φ(t)=0.495，查附录表1 正态分布积分表，得置信系数t=2.6。
故：单次测量的极限误差：算术平均值的极限误差：⑥求得测量结果为：2、甲、乙两测试者用正弦尺对一锥体的锥角α个各重复测量 5 次，测得值如下：α甲：7°2’20”，7°3’0”，7°2’35”，7°2’20”，7°2’15”，α乙：7°2’25”，7°2’25”，7°2’20”，7°2’50”，7°2’45”；试求其测量结果。
误差分析练习题
误差分析练习题误差是科学实验和测量中常见的现象，其产生可以由各种因素引起。
准确地评估误差对于获得可靠的实验结果至关重要。
本文将通过几个练习题来帮助读者更好地理解误差分析的概念和计算方法。
练习一：长度测量误差小明使用一把长度为1米的尺子来测量一段杆的长度。
他进行了三次测量，结果如下：0.98m、1.02m、0.99m。
请计算小明的平均测量结果，并分别计算绝对误差和相对误差。
解答：平均测量结果 = (0.98m + 1.02m + 0.99m) / 3 = 0.9967m绝对误差 = 平均测量结果 - 真实长度 = 0.9967m - 1m = -0.0033m相对误差 = 绝对误差 / 真实长度 = -0.0033m / 1m = -0.0033练习二：重量测量误差小红使用一个电子秤来测量一袋面粉的重量。
她进行了五次测量，结果如下：2.1kg、1.9kg、2.0kg、1.8kg、2.2kg。
请计算小红的平均测量结果，并分别计算绝对误差和相对误差。
解答：平均测量结果 = (2.1kg + 1.9kg + 2.0kg + 1.8kg + 2.2kg) / 5 = 2.0kg绝对误差 = 平均测量结果 - 真实重量 = 2.0kg - 真实重量相对误差 = 绝对误差 / 真实重量 = (2.0kg - 真实重量) / 真实重量练习三：时间测量误差小华使用一个计时器来测量从一个物体下落到地面所需的时间。
他进行了四次测量，结果如下：1.5秒、1.6秒、1.4秒、1.7秒。
请计算小华的平均测量结果，并分别计算绝对误差和相对误差。
解答：平均测量结果 = (1.5秒 + 1.6秒 + 1.4秒 + 1.7秒) / 4 = 1.55秒绝对误差 = 平均测量结果 - 真实时间相对误差 = 绝对误差 / 真实时间通过以上的练习题，我们可以看到如何计算测量结果的平均值以及绝对误差和相对误差。
在实际实验和测量中，我们需要注意以下几点：1. 多次测量并取平均值可以减小个别误差的影响，增加结果的可靠性。
大学物理实验误差理论习题答案(单面)
第一章 误差估算与数据处理方法课后习题答案1．指出下列各量有效数字的位数。
(1)000.1=U kV 有效位数：4 (2)000123.0=L mm 有效位数：3 (3)010.10=m kg 有效位数：5 (4)自然数4 有效位数：无限位2．判断下列写法是否正确，并加以改正。
(1)0350.0=I A 35=mA错，0.0350A 有效位数为3位，而35mA 有效位数为2位，二者物理意义不同，不可等同，应改为0350.0=I A 11050.3⨯=mA 。
(2)()3.0270.53+=m kg错，测量结果(即最佳估计值270.53=m )有效数字的最后一位应与不确定度的末位对齐。
测量结果有效数字取位时，应遵循“四舍六入五凑偶”的原则；而且，不确定度应记为“±”的形式。
故应将上式改成()3.03.53±=m kg 。
(3)()2000103.274±⨯=h km错，当采用科学计数法表示测量结果时，最佳估计值与不确定度应同时用科学计数法表示，并且10的指数应取一致，还要保证最佳估计值的最后一位与不确定度的末位对齐。
因此，上式应改为()km h 4102.03.27⨯±=。
(4)()004.0325.4±=x A 正确。
3．试按有效数字修约规则，将下列各数据保留三位有效数字。
3.8547，2.3429，1.5451，3.8750，5.4349，7.6850，3.6612，6.26383.85 2.34 1.54 3.88 5.43 7.68 3.66 6.264．按有效数字的确定规则，计算下列各式。
(1)?6386.08.7537.343=++解：原式8.41981.41964.08.7537.343==++= (2)?543.76180.845.88=--解：原式73.3727.3543.76180.845.88==--= (3)?5.20725.0=⨯解：原式18.05.20725.0=⨯= (4)()?001.247.0052.042.8=÷-+解：原式()00.4001.200.8001.247.0052.042.8=÷=÷-+=5．分别写出下列各式的不确定度传播公式。
误差理论与数据处理习题(上)
第一章基本概念例题例1 在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为50mm，已知其最大绝对误差为1μm，试问该被测件的真实长度为多少？解：L = 50mm δ= 0.001mm 故L0= L ±δ = 50.000 ± 0.001mm例2 用两种方法测量长度为50mm 的被测件，分别测得50.005mm；50.003mm。
试评定两种方法测量精度的高低。
解：因对相同的被测量，可用绝对误差的大小来评定其两种测量方法之精度高低。
绝对误差小者，其测量精度高。
第一种方法的绝对误差为：δ1 = (50.005 −50.000)mm = 0.005mm第二种方法的绝对误差为：δ2 = (50.003−50.000 )mm = 0.003mm∵δ2<δ1故第二种方法的测量精度高。
例3若某一量值Q 用乘积ab 表示，而a 与b 是各自具有相对误差f a和f b的被测量，试求量值Q 的相对误差。
解：式中a0、b0分别为a、b的真值。
则因此，Q 的相对误差约为f a+ f b。
例4若某一测量值Q用a与b的商a / b表示，而a与b 是各自具有相对误差f a和f b 的被测量，试求量值Q 的相对误差。
解：则因此，Q 的相对误差约为f a +f b。
例5通过电阻R 的电流I 产生热量（单位J）Q = I2Rt 式中的t 为通过电流的持续时间，已知I 与R 测量的相对误差为1%，t 测量的相对误差为5%，试求Q 的相对误差。
解：例6某一正态分布的随机误差δ的标准差为σ＝0.002mm，求误差值落在±0.O05mm以外的概率。
解:误差落入[—0.O05，O.O05]范围内的概率为而δ落在±0.O05mm以外的概率则为例7某一随机误差δ服从正态分布，其标准差为σ＝0.06N，给定∣δ∣≤a 的概率为0.9，试确定a的值。
解: 由对称区间概率计算公式可得由概率积分表可查得则习题1-1研究误差的意义是什么？误差理论研究的主要内容是什么？1-2什么叫测量误差？什么叫修正值？含有误差的某一测得值经过修正后，能否得到被测量的真值？为什么？1-3误差的绝对值与绝对误差是否相同？为什么？1-4测得某三角块的三个角度之和为180°00′02″，试求测量的绝对误差和相对误差。
大学误差分析考试题及答案
大学误差分析考试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 误差按来源可以分为哪几类？A. 绝对误差和相对误差B. 系统误差和随机误差C. 测量误差和估计误差D. 人为误差和仪器误差答案：B2. 误差的绝对值与测量值的比值称为：A. 绝对误差B. 相对误差C. 标准误差D. 误差系数答案：B3. 以下哪种误差是可以通过改进测量方法来减小的？A. 系统误差B. 随机误差C. 人为误差D. 仪器误差答案：A4. 测量误差的平方和最小准则是指：A. 最小二乘法B. 最大似然估计C. 贝叶斯估计D. 泰勒级数展开答案：A5. 测量误差的分布通常假定为：A. 均匀分布B. 正态分布C. 泊松分布D. 二项分布答案：B二、填空题（每空1分，共10分）1. 误差可以分为________误差和________误差。
答案：系统；随机2. 测量误差的相对值称为________误差。
答案：相对3. 测量误差的绝对值与测量值的比值称为________误差。
答案：相对4. 误差的平方和最小准则是指________。
答案：最小二乘法5. 测量误差的分布通常假定为________分布。
答案：正态三、简答题（每题10分，共20分）1. 请简述误差与偏差的区别。
答案：误差是指测量值与真实值之间的差异，它可以是正的也可以是负的，而偏差是指测量值相对于真实值的系统偏离，通常具有固定的方向性。
2. 什么是系统误差？请举例说明。
答案：系统误差是由于测量过程中的某些固定因素引起的误差，它在多次测量中具有相同的偏差。
例如，使用一个校准不准确的温度计测量温度时，每次测量结果都会比真实温度高或低一个固定的数值，这就是系统误差。
四、计算题（每题15分，共30分）1. 假设某测量值的真实值为100，测量值为102，求该测量值的绝对误差和相对误差。
答案：绝对误差为2，相对误差为2%。
2. 如果一组测量数据的平均值为50，标准差为5，求该组数据的相对标准误差。
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四、解答题 1. 设 x>0,x*的相对误差为 δ，求 f(x)=ln x 的误差限。
解：求 lnx 的误差极限就是求 f(x)=lnx 的误差限，由公式有
已知 x*的相对误差 满足
，而
，故
即
2. 下列各数
都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几
位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。 解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得
第一章 误差分析与误差的传播
一、判断题： 1.舍入误差是模型准确值与用数值方法求得的准确值产生的误差。 ( )
x2 2. 用 1- 2 近似表示 cosx 产生舍入误差。
( )
3. 任给实数 a 及向量 x ，则 || ax || a || x ||。
()
二、填空题：
1.设
x*
2.40315 是真值
5. 计算下列矩阵的范数：
1）
，求
2）
，求
3)
，求
解：1）
2）
3）
1 0 1
6.
求矩阵
A
0
1
0
的谱半径.
2 0 2
1 0 1
解 I A 0 1 0 1 3
4分
2 0 2
矩阵 A 的特征值为 1 0, 2 1, 3 3
8分
所以谱半径 A max0,1,3 3
7. 证明向量 X 的范数满足不等式
和
。（ 2.7183 和 8.0000）
12. 、
，则 A 的谱半径
＝
，A 的
＝
（ 11.计算
）
取
，利用（ ）式计算误差最小。
四个选项：
解：
三、选择题
1. 用 1+ x 近似表示 3 1 x 所产生的误差是( D )误差。 3
A. 舍入
B. 观测
C. 模型
D. 截断
2、-324.7500 是舍入得到的近似值，它有( C )位有效数字。
B. x1 x2 x1 x2
C． x1x2 x2 x1 x1 x2 D. x2 2 x x
答：A 8. x = 1.234, 有 3 位有效数字，则相对误差限 r （ ）．
(A).0.5×10 -1； (B). 0.5×10 -2； (C). 0.5×10 -3； (D). 0.1×10 -2． 答：B
五、简述题 1. 叙述在数值运算中，误差分析的方法与原则是什么？ 解：数值运算中常用的误差分析的方法有：概率分析法、向后误差分析法、区间分析法等。
误差分析的原则有：1）要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法；2）要避免两近数相减；3）要 防止大数吃掉小数：4）注意简化计算步骤，减少运算次数。
有 5 位有效数字，其误差限
，相对误差限
有 2 位有效数字，
有 5 位有效数字， 3. 下列公式如何才比较准确？ （1）
（2） 解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。 （1） （2）
4.设
，假定 是准确的，而对 的测量有
而相对误差却减少。
解：
秒的误差，证明当 增加时 的绝对误差增加，
x
2.40194 的近似值，则
x* 有(3)位有效数字。
2. x*的相对误差约是 x*的相对误差的 1 倍。
2
3. 为了使计算
y 10 3 4 6 x 1 (x 1)2 (x 1)3
的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写
为
，为了减少舍入误差，应将表达式 2001 1999 改写为
。
（ y 10 (3 (4 6t)t)t, t 1 ， x 1
7. 近似值 x* 0.231关于真值 x 0.229有( 2 )位有效数字；
8. 3 x* 的相对误差为 x* 的相对误差的(
9. 计算方法主要研究(
)误差和(
1
)倍；
3
)误差；（截断，舍入）
10.近似数 x*=0.0310,有（ ）位有数数字。解：3 位
11. 按 四 舍 五 入 原 则 数 2.7182818 与 8.000033 具 有 五 位 有 效 数 字 的 近 似 值 分 别 为
（1） X X n x
2
1
(2)
X
X
X
n1
1
证明（1）设 x j 是向量 X 的分量，则X2 Fra bibliotekmai x
xi
2
n i 1
xi 2 n
X
2，
所以由向量范数的概念可知，结论成立。
5分
（2）由
X
mai x
xi
1 n
n i 1
xi
1 n
X
1
n
X
mai x
xi
i 1
xi
X 1
所以结论成立。
8、为了使 20 的近似值的相对误差限小于 0.1%，要取几位有效数字？
解：设 20 有 n 位有效数字，由 20 4.4 ，知 a1 4
令
* r
(
20 ) 1 10 (n1) 1 10 (n1) 0.1%
2a1
8
,
取
n 4,
* r
(
20 ) 0.125 10 3 0.1%
故
20 4.472
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
1 3. 用 s*= 2 gt2 表示自由落体运动距离与时间的关系式 ( g 为重力加速度 )，
st 是在时间 t 内的实际距离，则 st- s*是（C ）误差。
A. 舍入
B. 观测
C. 模型
D. 截断
4、舍入误差是( )产生的误差。
A. 只取有限位数
B.模型准确值与用数值方法求得的准确值
C. 观察与测量
D.数学模型准确值与实际值
（A）
5、3.141580 是 π 的有( )位有效数字的近似值。
A. 6
B. 5
C. 4
D. 7
（B ）
6、用 1+x 近似表示 ex 所产生的误差是(
)误差。
A. 模型
B. 观测
C. 截断
D. 舍入
（C）
7. 以下误差限公式不正确的是（ ）
A． x1 x2 x1 x2
2 2001
；）
1999
22 4. 3.142,3.141, 7 分别作为 的近似值有 , , 位有效数字。（4 ,3 ,3；）
5. 的近似值 3.1428 是准确到
近似值。答： 102
6. 取 x 3.142 作为 x 3.141 592 654 ┅的近似值，则 x 有
位有效数字.答：4