第七章 材料科学基础
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半无限长物体指一个具有足够长度的扩散体。
设有一根足够长（厚）的低碳钢棒进行渗碳处理， 其原始碳浓度为C0，渗碳气氛的碳浓度为Cs，在t时 间内，试样表面扩散组元的浓度Cs被维持为常数，由 于试样足够长（厚），另一端（心部）不受影响。 假设一开始，其端面浓度即达到Cs并保持不变， 则初始条件和边界条件为：
c 浓度梯度， ，原子数.m-3或kg . m-3 x
第七章 固体材料中的原子扩散 §7.1 扩散定律
“-”号表示扩散方向为浓度梯 度的反方向，即扩散由高浓度 向低浓度区进行，在一定条件 下实现均匀化。
二、非稳态扩散与菲克第二定律 菲克第一定律适用于稳态扩散，即在扩散的过
程中各处的浓度不随时间的变化而改变，也就是 dc/dt = 0。
第七章 固体材料中的原子扩散 §7.1 扩散定律
由于试样“无限”长，扩散时试样两端（x=∞处） 浓度保持不变，只是对焊面附近浓度发生变化。 用菲克第二定律结局这类问题时，可以确定初始 条件和边界条件为：
初始条件： 边界条件：
由上述条件及菲克第二定律方程式可得出扩散第 二方程的解为: （ 1）
第七章 固体材料中的原子扩散 §7.1 扩散定律
通常有高斯解、误差函数解和正弦解等。
1 误差函数解及应用
适用于数学意义上无限长或半无限长物体的 非稳态扩散（扩散时两端成分不受影响） （1）无限长棒中的扩散模型
如图，将两个具有相同扩 散组元而其浓度不同的“无限” 长试样对焊，构成一扩散偶， 经加热到一定温度保温，其浓 度分布将随扩散时间及相对于 对焊界面的距离而变化。
第七章 固体材料中的原子扩散
第七章 固体材料中的原子扩散
扩散：由构成物质的微粒(离子、原子、分子)的 热运动而产生的物质迁移现象称为扩散。扩散
的宏观表现是物质的定向输送。 半导体掺杂 固溶体的形成 离子晶体的导电 固相反应 相变 烧结 材料表面处理
扩散
第七章 固体材料中的原子扩散 §7.1 扩散定律
（一） 稳态扩散中扩散第一方程的解
扩散第一方程可直接用于描述稳定扩散过程。 如测定扩散系数D。
第七章 固体材料中的原子扩散 §7.1 扩散定律
例题: 将一纯铁空心薄壁管在1000℃进行渗碳处理, 管长为L,半径为R，经过一定时间当管壁内任意一 点的碳浓度不再变化时，为稳态扩散。 此时通过管壁的碳量为一常量 管壁面积为
第七章 固体材料中的原子扩散 §7.1 扩散定律
则在△t时间内留在单元体内的扩散物质量为：
而且
由偏倒数定义得：
c J t x
结合扩散第一方程，则菲克第二定律表达式为
第七章 固体材料中的原子扩散 §7.1 扩散定律
扩展到三维空间，有
三、扩散方程的实际应用
扩散是固体材料中物质的唯一传输方式，表面处理、 扩散退火、相变等很多过程与之相关。
Fick的经典实验
浓度为0
饱和溶液
Solid NaCl
第七章 固体材料中的原子扩散 §7.1 扩散定律
一、稳态扩散与菲克第一定律
菲克第一定律描述了稳态扩散下情况下的物质扩散。
在稳态扩散的条件下，单位时间内通过垂直于扩
散方向的单位面积的扩散物质量（通称扩散通 量）与该截面处的浓度梯度成正比。 即
单位：扩散通量，J，原子数.m-2· s-1或kg . m-2· s-1 扩散系数，D，m2.s-1；源自文库
第七章 固体材料中的原子扩散 §7.1 扩散定律
实际生产中，大多数的扩散过程是非稳态扩散， 即扩散物质的浓度随时间而变化。浓度可表示 为时间与位置的函数： dc c f (t , x) 0 dt 在此基础上可推导出适用于非稳态扩散的菲克第二 定律。 如图所示，设取单位面积 为A长度为△x的单元体，体积 为A△x，在dt的时间内通过截 面流入、流出的物质量为：
第一节 扩散定律
将两根扩散组元相同， 而浓度分别为C1、C2 （ C1＜C2）的固溶体长 棒对焊，加热到一定温度 使之进行扩散，固溶体长 棒中组元浓度分布随时间 的变化如左图所示。 随时间的延长，对焊界面两侧的浓度差别越来越小， 这表明在扩散偶中当扩散组元获得足够能量时就发生 迁移,导致对焊界面附近扩散组元浓度分布的变化。
实际应用时，若给定渗层厚度x处的浓度为定值C， 则上式可改写为：
上式左边为已知值，则
为定值，所以有
即规定浓度的渗层厚度正比于渗碳时间的平 方根。
第七章 固体材料中的原子扩散 §7.1 扩散定律
例1： 对一足够长的原始碳含量为wC=0.1%的低碳 钢棒在930℃下进行渗碳，设渗碳开始后棒材表面 碳含量即达到wC=1%且始终保持着一浓度,试求渗 碳进行4h后距表面为4X10-4m处的碳浓度C。（已 知D=1.61X10-12m2/s
第七章 固体材料中的原子扩散 §7.1 扩散定律
初始条件：t=0, x>0时，C=C0 边界条件： 由上述条件及菲克第二定律方程式可得出扩散第二 方程的解为: （ 2）
第七章 固体材料中的原子扩散 §7.1 扩散定律
★实际意义：低碳钢的渗碳处理，材料的原始含碳 量为C0，热处理时外界条件保证其表面的碳含量始终 维持在Cs (碳势)，经过一段时间t后，求材料的表面 附近x处碳含量的情况。
第七章 固体材料中的原子扩散 §7.1 扩散定律
1、稳定扩散和不稳定扩散
稳定扩散：在扩散 系统中，若任一点 的浓度不随时间而 变化，即dc/dt=0。 这种扩散称稳定扩 散。
不稳定扩散：在扩 散系统中，扩散物 质的浓度随时间而 变化，即dc/dt≠0。 这种扩散称为不稳 定扩散。
第七章 固体材料中的原子扩散 §7.1 扩散定律
q 扩散通量为： J 2RLt
dC 则： q D(2Lt ) d ln R 式中，q、L、t及碳含量沿管壁的径向分布均可 测量，因而可求出扩散系数D。
第七章 固体材料中的原子扩散 §7.1 扩散定律
第七章 固体材料中的原子扩散 §7.1 扩散定律
（二）非稳态扩散中扩散第二方程的解
式中，
称为误差函数，其表达式为
由上式可以求出经过一段时间t后，距离界面为x处 的扩散组元的浓度C；或者求出给定的扩散距离x处 组元浓度为C时所需的时间t。 在x=0处，C= 在扩散过程中保持不变。
第七章 固体材料中的原子扩散 §7.1 扩散定律
第七章 固体材料中的原子扩散 §7.1 扩散定律
（2）半无限长物体的扩散模型
设有一根足够长（厚）的低碳钢棒进行渗碳处理， 其原始碳浓度为C0，渗碳气氛的碳浓度为Cs，在t时 间内，试样表面扩散组元的浓度Cs被维持为常数，由 于试样足够长（厚），另一端（心部）不受影响。 假设一开始，其端面浓度即达到Cs并保持不变， 则初始条件和边界条件为：
c 浓度梯度， ，原子数.m-3或kg . m-3 x
第七章 固体材料中的原子扩散 §7.1 扩散定律
“-”号表示扩散方向为浓度梯 度的反方向，即扩散由高浓度 向低浓度区进行，在一定条件 下实现均匀化。
二、非稳态扩散与菲克第二定律 菲克第一定律适用于稳态扩散，即在扩散的过
程中各处的浓度不随时间的变化而改变，也就是 dc/dt = 0。
第七章 固体材料中的原子扩散 §7.1 扩散定律
由于试样“无限”长，扩散时试样两端（x=∞处） 浓度保持不变，只是对焊面附近浓度发生变化。 用菲克第二定律结局这类问题时，可以确定初始 条件和边界条件为：
初始条件： 边界条件：
由上述条件及菲克第二定律方程式可得出扩散第 二方程的解为: （ 1）
第七章 固体材料中的原子扩散 §7.1 扩散定律
通常有高斯解、误差函数解和正弦解等。
1 误差函数解及应用
适用于数学意义上无限长或半无限长物体的 非稳态扩散（扩散时两端成分不受影响） （1）无限长棒中的扩散模型
如图，将两个具有相同扩 散组元而其浓度不同的“无限” 长试样对焊，构成一扩散偶， 经加热到一定温度保温，其浓 度分布将随扩散时间及相对于 对焊界面的距离而变化。
第七章 固体材料中的原子扩散
第七章 固体材料中的原子扩散
扩散：由构成物质的微粒(离子、原子、分子)的 热运动而产生的物质迁移现象称为扩散。扩散
的宏观表现是物质的定向输送。 半导体掺杂 固溶体的形成 离子晶体的导电 固相反应 相变 烧结 材料表面处理
扩散
第七章 固体材料中的原子扩散 §7.1 扩散定律
（一） 稳态扩散中扩散第一方程的解
扩散第一方程可直接用于描述稳定扩散过程。 如测定扩散系数D。
第七章 固体材料中的原子扩散 §7.1 扩散定律
例题: 将一纯铁空心薄壁管在1000℃进行渗碳处理, 管长为L,半径为R，经过一定时间当管壁内任意一 点的碳浓度不再变化时，为稳态扩散。 此时通过管壁的碳量为一常量 管壁面积为
第七章 固体材料中的原子扩散 §7.1 扩散定律
则在△t时间内留在单元体内的扩散物质量为：
而且
由偏倒数定义得：
c J t x
结合扩散第一方程，则菲克第二定律表达式为
第七章 固体材料中的原子扩散 §7.1 扩散定律
扩展到三维空间，有
三、扩散方程的实际应用
扩散是固体材料中物质的唯一传输方式，表面处理、 扩散退火、相变等很多过程与之相关。
Fick的经典实验
浓度为0
饱和溶液
Solid NaCl
第七章 固体材料中的原子扩散 §7.1 扩散定律
一、稳态扩散与菲克第一定律
菲克第一定律描述了稳态扩散下情况下的物质扩散。
在稳态扩散的条件下，单位时间内通过垂直于扩
散方向的单位面积的扩散物质量（通称扩散通 量）与该截面处的浓度梯度成正比。 即
单位：扩散通量，J，原子数.m-2· s-1或kg . m-2· s-1 扩散系数，D，m2.s-1；源自文库
第七章 固体材料中的原子扩散 §7.1 扩散定律
实际生产中，大多数的扩散过程是非稳态扩散， 即扩散物质的浓度随时间而变化。浓度可表示 为时间与位置的函数： dc c f (t , x) 0 dt 在此基础上可推导出适用于非稳态扩散的菲克第二 定律。 如图所示，设取单位面积 为A长度为△x的单元体，体积 为A△x，在dt的时间内通过截 面流入、流出的物质量为：
第一节 扩散定律
将两根扩散组元相同， 而浓度分别为C1、C2 （ C1＜C2）的固溶体长 棒对焊，加热到一定温度 使之进行扩散，固溶体长 棒中组元浓度分布随时间 的变化如左图所示。 随时间的延长，对焊界面两侧的浓度差别越来越小， 这表明在扩散偶中当扩散组元获得足够能量时就发生 迁移,导致对焊界面附近扩散组元浓度分布的变化。
实际应用时，若给定渗层厚度x处的浓度为定值C， 则上式可改写为：
上式左边为已知值，则
为定值，所以有
即规定浓度的渗层厚度正比于渗碳时间的平 方根。
第七章 固体材料中的原子扩散 §7.1 扩散定律
例1： 对一足够长的原始碳含量为wC=0.1%的低碳 钢棒在930℃下进行渗碳，设渗碳开始后棒材表面 碳含量即达到wC=1%且始终保持着一浓度,试求渗 碳进行4h后距表面为4X10-4m处的碳浓度C。（已 知D=1.61X10-12m2/s
第七章 固体材料中的原子扩散 §7.1 扩散定律
初始条件：t=0, x>0时，C=C0 边界条件： 由上述条件及菲克第二定律方程式可得出扩散第二 方程的解为: （ 2）
第七章 固体材料中的原子扩散 §7.1 扩散定律
★实际意义：低碳钢的渗碳处理，材料的原始含碳 量为C0，热处理时外界条件保证其表面的碳含量始终 维持在Cs (碳势)，经过一段时间t后，求材料的表面 附近x处碳含量的情况。
第七章 固体材料中的原子扩散 §7.1 扩散定律
1、稳定扩散和不稳定扩散
稳定扩散：在扩散 系统中，若任一点 的浓度不随时间而 变化，即dc/dt=0。 这种扩散称稳定扩 散。
不稳定扩散：在扩 散系统中，扩散物 质的浓度随时间而 变化，即dc/dt≠0。 这种扩散称为不稳 定扩散。
第七章 固体材料中的原子扩散 §7.1 扩散定律
q 扩散通量为： J 2RLt
dC 则： q D(2Lt ) d ln R 式中，q、L、t及碳含量沿管壁的径向分布均可 测量，因而可求出扩散系数D。
第七章 固体材料中的原子扩散 §7.1 扩散定律
第七章 固体材料中的原子扩散 §7.1 扩散定律
（二）非稳态扩散中扩散第二方程的解
式中，
称为误差函数，其表达式为
由上式可以求出经过一段时间t后，距离界面为x处 的扩散组元的浓度C；或者求出给定的扩散距离x处 组元浓度为C时所需的时间t。 在x=0处，C= 在扩散过程中保持不变。
第七章 固体材料中的原子扩散 §7.1 扩散定律
第七章 固体材料中的原子扩散 §7.1 扩散定律
（2）半无限长物体的扩散模型