数值计算方法PPT模板
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第一章数值计算方法与误差分析PPT课件
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29
0 . 4 9 0 . 4 0 0 8 . 0 0 4 1 0 . 0 2 1 3 1 2 1 9 1 5 0 7 1 1 ( 2 1 ) 0
0 . 484
2 4 2 4
我们不能由此推出x*有两位有效数字，这是因为
x-x*=0.4900-0.484=0.0060>0.005
即可知近似值x*并不具有两位有效数字。
例４ 对于绝对值小的 x，可利用泰勒级数
ex–1= x+x2/2+x3/6+…
取前n项来计算。
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23
（二）要防止大数“吃掉“小数，注意保护重要数据
在数值运算中，参加运算的数有时数量级相差很大，而计算 机位数有限，如不注意运算次序就可能出现大数“吃掉”小数的
现 象，影响计算结果的可靠性。
5 .编制源程序并调试
6 .做出算法的误差分析
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2
从工程实际中抽象出来的数学问题往往很复杂，典型的有： 1、数据点的插值 2 、曲线拟和 3、复杂函数的微积分运算 4、非线性方程f(x)=0的根的求解
5、当n很大时线性方程组AX=B的求解 6、常微分方程的求解
minf (x) xX
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3
参考书籍的几种名称： 1、数值分析 2、数值计算原理 3、计算方法 4、算法设计 5、计算机数值计算方法与程序设计
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4
数值计算中的误差
1、误差的种类和来源
① 模型误差
② 观测误差
③ 截断误差
④ 舍入误差
真
2、误差的有关概念：
值
近似值
① 绝对误差： (x)xx
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计算方法第一章数值计算方法.ppt
x1
a22b1
a12b2 D
S4 输出计算的结果 x1, x2
x2
a11b2
a21b1 D
开始
输入
a11, a12 , a21, a22 ,b1,b2
D=a11a22-a12a21
Yes D=0
No
x1 (b1a22 b2a12 ) / D x2 (b2a11 b1a21) / D
输出无解信息
…
…
第一章计算方法与误差
本章内容
§1 引言 §2 误差的来源及分类 §3 误差的度量 §4 误差的传播 §5 减少运算误差的原则
小结
第一章计算方法与误差
要求掌握的内容
概念 包括有效数字、绝对误差、绝对误差限、 相对误差、相对误差限等
误差 截断误差、舍入误差的详细内容，误差种 类等
分析运算误差的方法和减少运算误差的若 干原则
常用的两种复杂性有：计算时间复杂性和空间复杂性。
二、算法的优劣
➢ 计算量小 例：用行列式解法求解线性方程组:
n阶方程组，要计算n + 1个n阶行列式的值，
总共需要做n! (n - 1) (n + 1) 次乘法运算。
n=20 需要运 算多少次？
n=100?
计算量大小是衡量算法优劣的一项重要标准。
在估计计算量时，我们将区分主次抓住计算过程中费时较多的 环节。比如，由于加减操作的机器时间比乘除少得多，对和式
例：求解二元一次联立方程组
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 b2
用行列式解法：首先判别
D a11a22 a21a12
是否为零，存在两种可能：
（1）如果 D 0，则令计算机计算
数值计算方法课件
E16
1 E17 17
0 .0 5 5 7 1 9 0
E14
1 E15 15
0 .0 6 2 7 3 2 2
E19
1 E 20 20
0 .0 5
E17
1 E18 18
0 .0 5 2 7 7 7 8
E15
1 E16 16
0 .0 5 9 0 1 7 6
E13
1 E14 14
0 .0 6 6 9 4 7 7
2021/3/6
12
3）有效数字 我们还可以用有效数字的概念来说明一个近似值的准
确程度。 我们先介绍“四舍五入”的概念，四舍五入是数值计
算时，取近似值的一种方法。若被舍去部分的头一位大 于等于5时，就在所取数的末位加1；小于5时，就舍去。
用四舍五入方法得到的近似值，称为有效数字。 有效数字的末位到第一位非零数字的个数，称为该有 效数字的位数。 有效数字可用来表示一个近似值的准确程度，一个近 似值的有效位数越多，这个近似值就越逼近真值。
数值计算方法
2021/3/6
1
模型：人们为了一定的目的，对客观事物的某一部分进 行简化、抽象和提炼出来的替代物，它集中反映了客观 事物中人们需要研究的那部分特征。
数学模型：将模型的特征、内存规律用数学的语言和符 号来描述的数学表述或数学结构。例如：人口增长模型
求解问题的方法和步骤： • 形成问题－明确待研究问题的特征、背景、用途 • 提出假设－抓住主要矛盾、忽略次要因素 • 建立模型－量化关键因素、建立数学结构和模型 • 算法求解－选择合适的算法对模型问题进行求解 • 算法分析－对算法的误差和灵敏度、稳定性进行分析 • 修正模型－对模型进行检验和修正 • 算法应用－应用成果解决实际问题
复习-数值计算方法共101页PPT
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
复习-数值计算方法
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
复习-数值计算方法
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
数值计算方法25_ppt [兼容模式]
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16
10
L x=y
T
1 . 解 Ly = b b1 y1 = l11
i −1 bi − ∑ lik ⋅ yk k =1 yi =
lii
------(14) i = 2 ,3 , L , n
l11 M O L = li 1 L lii M M O l l l L L n ni nn 1
-------------(7) -------------(8) i = r , r + 1,L , n
8
air = ∑ lik ⋅ lrk = ∑ lik ⋅ lrk + lir ⋅ lrr
k =1 k =1
r −1
由( 6 ) ~ ( 8)式可得 L的元素的计算公式
l11 = a11
ai 1 li 1 = l11
7
aij = a ji
a11 M ar 1 M an 1
L a1 r O M L arr M L anr
L a1 n l11 l11 L lr 1 L ln 1 M M O O M M L arn = lr 1 L lrr lrr L lnr ⋅ O M M O O M M lnn L ann ln 1 L lnr L lnn
29 6 13 174
=L 25 29
12
其次解 Ly = b
y1 =
b1 l11
i −1
( L , b) =
6
7 6 5 6
29 6 13 174
25 29
9 10 9
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L x=y
T
1 . 解 Ly = b b1 y1 = l11
i −1 bi − ∑ lik ⋅ yk k =1 yi =
lii
------(14) i = 2 ,3 , L , n
l11 M O L = li 1 L lii M M O l l l L L n ni nn 1
-------------(7) -------------(8) i = r , r + 1,L , n
8
air = ∑ lik ⋅ lrk = ∑ lik ⋅ lrk + lir ⋅ lrr
k =1 k =1
r −1
由( 6 ) ~ ( 8)式可得 L的元素的计算公式
l11 = a11
ai 1 li 1 = l11
7
aij = a ji
a11 M ar 1 M an 1
L a1 r O M L arr M L anr
L a1 n l11 l11 L lr 1 L ln 1 M M O O M M L arn = lr 1 L lrr lrr L lnr ⋅ O M M O O M M lnn L ann ln 1 L lnr L lnn
29 6 13 174
=L 25 29
12
其次解 Ly = b
y1 =
b1 l11
i −1
( L , b) =
6
7 6 5 6
29 6 13 174
25 29
9 10 9
数值计算方法课程PPT(运用Matlab)
数与数组的点幂
例：x=[1 2 3]; y=[4 5 6];
x.^y =[1^4,2^5,3^6]=[1,32,729]
x.^2 =[1^2,2^ห้องสมุดไป่ตู้,3^2]=[1,4,9] 2.^x = ?
矩阵的“除法”
矩阵的除法：/、\ 右除和左除
若 A 可逆方阵，则
B/A <==> A 的逆右乘 B <==> B*inv(A) A\B <==> A 的逆左乘 B <==> inv(A)*B 通常，矩阵除法可以理解为
X=A\B <==> A*X=B X=B/A <==> X*A=B
当 A 和 B 行数相等时即可进行左除 当 A 和 B 列数相等时即可进行右除
例：设A、B满足关系式：AB＝2B+A,求B。
其中A=[3 0 1; 1 1 0; 0 1 4]。
向量特殊运算介绍
min max mean 最小值 最大值 平均值 sum prod std 总和 总乘积 标准差
format 只改变变量的输出格式，但不会影响变量的值！
几个小技巧
Matlab 的命令记忆功能：上下箭头键
可以先输入命令的前几个字符，再按上下键缩小搜索范围
, then f (2) ?
矩阵
Matlab 的操作对象是 矩阵 矩阵的直接输入
例：>> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
矩阵用方括号“[ ]”括起 矩阵同一行中的元素之间用空格或逗号分隔 矩阵行与行之间用 分号分开 直接输入法中，分号可以用回车代替
清除当前工作空间中的变量
clear
数值计算方法第二章讲义ppt
一、二分法 ——算法的收敛性
二分法产生一个含根区间序列： [a, b] [a1 , b1 ] ... [ak , bk ] ...
f ( x)
其中区间[ak , bk ]的长度为：
a1
b1
1 1 x0 b bk ak (bk 1 ak 1 ) ... k (b a). a 2 2 ak bk 因此，当 k 足够大时，我们可以用 xk 作为函数 2 常用来估计k的值 f ( x)的一个根 的近似值。
if fx = = 0|(b-a)/2<Tol x break end i=i+1; if fa * fx>0 a=x; fa=fx; else b=x; end end
例2.1 用二分法求方程 f ( x) x3 x 1 0
在[1,1.5]内的实根， 要求 0.005.
解 由于 f (a) f (1) 1 0, f (b) f (1.5) 0.875 0,
因而
f ( x) 0
在区间[1,1.5]上至少存在一个根。 由误差估计式
| xk | b a 1.511 0.005 2k 1 2k
即可推出所需的迭代次数满足 k 6.
其具体过程如下：
k
0 1 2
ak
1.0000 1.2500 1.2500
bk
1.5000 1.5000 1.375
此时有误差估计：
bk ak b a xk k 1 . 2 2
bk ak b a xk k 1 . 2 2
2
k 1
ba
,
ln(b a ) ln 2 k . ln 2
数值计算方法课件CH4数值积分4.2复合求积法
f
(b)
f (a)]
1 4
(I
Tn
)
20
因此有
I T2n 1 I Tn 4
4I 4T2n I Tn
即
I
T2n
1 3
(T2
n
Tn )
这说明， T2n作为I的近似值时的截断误差 绝对值约为
1 3 T2n Tn
若预先给定的误差限为，只要 ，就认为此时的数
值积分T2n已经达到精度要求，可以停止计算了.
3 4
)]
14
k
1
f
(xk ) 7
f
(1)]
0.94608307
10
比较三个 公式的结果
精度最低 精度次高
T8 0.94569086 S4 0.94608331
精度最高 C2 0.94608307
原积分的精确值为 I 1sin x dx 0.946083070367183 0x
这三种方法都是求积区间上9个节点上的函数值的线性组合 进行计算，只是组合方法不同，但工作量基本相同.T8的精 度很低，但S4和C2的精度很高，相比较而言，复合Simpson 公式的复杂性居中，精度又可达到要求，故使用更普遍.
在数值积分中，精度是一个很重要的问题，复合求积法 对提高精度是很有效的.由复合求积公式的余项表达式看到， 精度与步长有关. 步长取得太大，精度难以保证，步长太小， 则求积会公导式致之计前算最量好的先增给加出，步并长且.积I累 T误n 差 11也2 h2会[ f 增(b) 大f (，a)]因此使用
从理论上讲，可以根据复合I求 S积n 公 118式0 的2h 4余[ f 项(b) 公f 式(a)或] 其近 似于被表积达函式数，的预高先阶确导定数出很恰难当估的计步I，长 C或hn 来者 9.24但被5 在积h4 6实函[ f (际数5)(b使)没 f用有(5)(中解a)]，析表由 达式，因此这个预估h的方法是不宜使用的.
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积分法
第五章数 值积分
§7直交多项式 §8Gauss型数值求积公式 §9重积分计算 习题
第五章数值 积分
§1Newton-Cotes型数值积 分公式
1.2梯形公式 和Simpson 公式
1.1Newton -Cotes型求 积公式
1.3误差、收 敛性和数值 稳定性
第五章数值积分
§2复合求积公式
程第 组三 的章 直解 接线 方性 法方
01 § 1 解 线 性 方程组的
Gauss消去法
03 § 3 行 列 式 和逆矩阵
的计算
05 § 5 G a us s 消去法的
浮点舍入误差分析
02 § 2 直 接 三 角分解法
04 § 4 向 量 和 矩阵的范
数
06 习题
第三章解线性方 程组的直接方法
§1解线性方程组的Gauss消去 法
§2直接三角分解法
2.1矩阵三角 分解
2.2Crout方 法
2.3Cholesky 分解
2.4LDL<sup >T</sup> 分解
2.5对称正定 带状矩阵的对 称分解
2.6解三对角 线性方程组的 三对角算法 （追赶法）
第三章解线性方程组的直接方法
§3行列式和逆矩阵的计算
3.1行列式 的计算
1
3.2逆矩阵 的计算
01 1 . 1 G au ss 消去法
03 1 . 3 G au ss 按比例
列主元消去法
05 1 . 5 矩 阵方 程的解
法
02 1 . 2 G au ss 列主元
消去法
04 1 . 4 G au ss -
Jordan消去法
06 1 . 6 G au ss 消去法
的矩阵表示形式
第三章解线性方程组的直接方法
3.1逐次线 性插值法
1
3.2Neville 算法
2
第四章插 值法
§4均差与Newton插值 公式
01 4.1均差
02
4.2Newt on均差插 值多项式
第四章插值 法
§5有限差与等距点的插值公 式
01
5.1有 限差
02
5.2New ton前差 和后差插 值公式
第四章插值法
§7样条插值方法
01
7.1分段 多项式
插值
02
7.2三次 样条插
值
03
7.3基样 条
06
Part One
第五章数值积分
第五章数值积分
01
§1NewtonCotes型数 值积分公式
04
§4EulerMaclaurin
公式
02
§2复合求积 公式
05
§5Romber g积分法
03
§3区间逐次 分半法
06
§6自适应 Simpson
公式
04 § 4 均 差 与 Ne wto n
插值公式
06 § 6 H e r m i te 插 值公
式
第四章插值法
§7样条插值方法 习题
第四章插值 法
§2Lagrange插值公式
2.1Lagran ge插值多项 式
2.3二次（抛 物线）插值
2.2线性插 值
2.4插值公 式的余项
第四章插值法
§3逐次线性插值法
2
第三章解线性方 程组的直接方法
§4向量和矩阵的范数
4.1向量范 数
4.3向量和 矩阵的极限
4.2矩阵范 数
4.4条件数和 摄动理论初 步
05
Part One
第四章插值法
第四章插 值法
01 §1 引言
03 § 3 逐 次 线 性插值法
05 § 5 有 限 差 与等距点
的插值公式
02 § 2 L a gr ang e 插值
2.1复合梯 形公式
1
2.2复合 Simpson公式
2
第五章数 值积分
§8Gauss型数值求积公 式
8.1Gauss型求积 公式
8.2几种Gauss型 求积公式
2020
感谢聆听
数值计算方法
演讲人
202X-11-11
目录
01. 目录
02. 第一章算术运算中的误差 分析初步
03. 第二章解非线性方程的数 值方法
04. 第三章解线性方程组的直 接方法
05. 第四章插值法
06. 第五章数值积分
01
Part One
目录
目录
02
Part One
第一章算术运算中的误差分析初步
第一章算术运算中 的误差分析初步
第二章解非线性方程的数值方法
第二章解非线 性方程的数值
方法
06
§6多项式求 根
01
§1迭代法的 一般概念
05
§5割线法
02
§2区间分半 法
04
§4NewtonRaphson方
法
03
§3不动点迭 代
第二章解非线性方 程的数值方法
习题
04
Part One
第三章解线性方程组的直接方法
§1数值方法
§6机器误
01
§2误差来
差
06
源
02
§5数据误
05
差在算术
运算中的
传播
04
§4舍入误差
03 § 3 绝 对 误 差和相对 误差
与有效数字
第一章算术
运算中的误
差分析初步
习题
第一章算术运算中的误差分析初步
§6机器误差
6.1计算机 中数的表 示
6.2浮点运 算和舍入 误差
03
Part One
第五章数 值积分
§7直交多项式 §8Gauss型数值求积公式 §9重积分计算 习题
第五章数值 积分
§1Newton-Cotes型数值积 分公式
1.2梯形公式 和Simpson 公式
1.1Newton -Cotes型求 积公式
1.3误差、收 敛性和数值 稳定性
第五章数值积分
§2复合求积公式
程第 组三 的章 直解 接线 方性 法方
01 § 1 解 线 性 方程组的
Gauss消去法
03 § 3 行 列 式 和逆矩阵
的计算
05 § 5 G a us s 消去法的
浮点舍入误差分析
02 § 2 直 接 三 角分解法
04 § 4 向 量 和 矩阵的范
数
06 习题
第三章解线性方 程组的直接方法
§1解线性方程组的Gauss消去 法
§2直接三角分解法
2.1矩阵三角 分解
2.2Crout方 法
2.3Cholesky 分解
2.4LDL<sup >T</sup> 分解
2.5对称正定 带状矩阵的对 称分解
2.6解三对角 线性方程组的 三对角算法 （追赶法）
第三章解线性方程组的直接方法
§3行列式和逆矩阵的计算
3.1行列式 的计算
1
3.2逆矩阵 的计算
01 1 . 1 G au ss 消去法
03 1 . 3 G au ss 按比例
列主元消去法
05 1 . 5 矩 阵方 程的解
法
02 1 . 2 G au ss 列主元
消去法
04 1 . 4 G au ss -
Jordan消去法
06 1 . 6 G au ss 消去法
的矩阵表示形式
第三章解线性方程组的直接方法
3.1逐次线 性插值法
1
3.2Neville 算法
2
第四章插 值法
§4均差与Newton插值 公式
01 4.1均差
02
4.2Newt on均差插 值多项式
第四章插值 法
§5有限差与等距点的插值公 式
01
5.1有 限差
02
5.2New ton前差 和后差插 值公式
第四章插值法
§7样条插值方法
01
7.1分段 多项式
插值
02
7.2三次 样条插
值
03
7.3基样 条
06
Part One
第五章数值积分
第五章数值积分
01
§1NewtonCotes型数 值积分公式
04
§4EulerMaclaurin
公式
02
§2复合求积 公式
05
§5Romber g积分法
03
§3区间逐次 分半法
06
§6自适应 Simpson
公式
04 § 4 均 差 与 Ne wto n
插值公式
06 § 6 H e r m i te 插 值公
式
第四章插值法
§7样条插值方法 习题
第四章插值 法
§2Lagrange插值公式
2.1Lagran ge插值多项 式
2.3二次（抛 物线）插值
2.2线性插 值
2.4插值公 式的余项
第四章插值法
§3逐次线性插值法
2
第三章解线性方 程组的直接方法
§4向量和矩阵的范数
4.1向量范 数
4.3向量和 矩阵的极限
4.2矩阵范 数
4.4条件数和 摄动理论初 步
05
Part One
第四章插值法
第四章插 值法
01 §1 引言
03 § 3 逐 次 线 性插值法
05 § 5 有 限 差 与等距点
的插值公式
02 § 2 L a gr ang e 插值
2.1复合梯 形公式
1
2.2复合 Simpson公式
2
第五章数 值积分
§8Gauss型数值求积公 式
8.1Gauss型求积 公式
8.2几种Gauss型 求积公式
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数值计算方法
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01. 目录
02. 第一章算术运算中的误差 分析初步
03. 第二章解非线性方程的数 值方法
04. 第三章解线性方程组的直 接方法
05. 第四章插值法
06. 第五章数值积分
01
Part One
目录
目录
02
Part One
第一章算术运算中的误差分析初步
第一章算术运算中 的误差分析初步
第二章解非线性方程的数值方法
第二章解非线 性方程的数值
方法
06
§6多项式求 根
01
§1迭代法的 一般概念
05
§5割线法
02
§2区间分半 法
04
§4NewtonRaphson方
法
03
§3不动点迭 代
第二章解非线性方 程的数值方法
习题
04
Part One
第三章解线性方程组的直接方法
§1数值方法
§6机器误
01
§2误差来
差
06
源
02
§5数据误
05
差在算术
运算中的
传播
04
§4舍入误差
03 § 3 绝 对 误 差和相对 误差
与有效数字
第一章算术
运算中的误
差分析初步
习题
第一章算术运算中的误差分析初步
§6机器误差
6.1计算机 中数的表 示
6.2浮点运 算和舍入 误差
03
Part One