斐波那契数列的性质

斐波那契数列的性质

一、通项公式：a n = √5〔1+√52〕n - √5〔1−√52〕n

二、设p,q,u,v 为自然数且p = min{ p ,q , u , v} . 若p + q = u + v , 则对于斐波那契数列{ an} ,以下公式恒成立: a p a q - a u a v = (-1)p+1a u-p a q-u

三、a n+1a n−1 - a n 2 = (−1)n (n >= 1, n 属于 N)

四、a 2n+1 = a n+12 + a n 2 （n 属于N ）

五、a n+12 - a n−12 = a n 2 (n >= 1, n 属于N)

六、a n+m = a n−1a m + a n a m+1 (n >= 1, n 和m 属于N)

七、a 2n+2a 2n−1 - a 2n a 2n+1 = 1(n >= 1, n 属于N)

八、a m+n 2 - a m−n 2 = a 2m * a 2n (m > n >= 1)

九、a n−1∗a n+2 - a n ∗a n+1 = (−1)n (n >= 2)

十、{f 2n f 2n+1} 有极限且等于黄金分割率√5 −12

下面是一篇文章：

项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶，比如

第四项3是奇数，但它是偶数项，第五项5是奇数，它是奇数项，如果认为数字3和5都是奇数项，那就误解题意，怎么都说不通）

如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64

＝65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不

过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。

斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中

所有不包含相邻正整数的子集个数。

斐波那契数列（f(n)，f(0)=0，f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2……）的其他性质：

1.f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-1

2.f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n)

3.f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2n) =f(2n+1)-1

4.[f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n)·f(n+1)

5.f(0)-f(1)+f(2)-…

+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]+1

6. f(m+n)=f(m-1)·f(n-1)+f(m)·f(n)

利用这一点，可以用程序编出时间复杂度仅为O（log n）的程序。

7. [f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1)·f(n+1)

8. f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2

9. 3f(n)=f(n+2)+f(n-2)

10.f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n〉m≥-1,且n≥1]

斐波那契数列

在杨辉三角中隐藏着斐波那契数列

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

……

过第一行的“1”向左下方做45度斜线，之后做直线的平行线，将每条直线所过的数加起来，即得一数列1、1、2、3、5、8、……

斐波那契数列与黄金比

1/1=1，2/1=2，3/2=1.5，5/3=1.6…，8/5=1.6，…………89/55=1.61818…，…………233/144=1.618055…

相关的数学问题

1.排列组合

有一段楼梯有10级台阶,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法?

这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法……

1，2，3，5，8，13……所以，登上十级，有89种走法。

2.数列中相邻两项的前项比后项的极限

当n趋于无穷大时，F(n)/F(n+1)的极限是多少？

这个可由它的通项公式直接得到，极限是(-1+√5)/2，这个就是黄金分割的数值，也是代表大自然的和谐的一个数字。

3.求递推数列a(1)=1，a(n+1)=1+1/a(n)的通项公式

由数学归纳法可以得到：a(n)=F(n+1)/F(n)，将斐波那契数列的通项式代入，化简就得结果。

斐波那契数列别名

斐波那契数列又因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。

一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？

我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：

第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对；

两个月后，生下一对小兔民数共有两对；

三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对；

－－－－－－

依次类推可以列出下表：

经过月数：

---1---2---3---4---5---6---7---8---9---10---11---12 兔子对数：

---1---1---2---3---5---8--13--21--34--55--89--144

表中数字1，1，2，3，5，8－－－构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。

这个特点的证明：每月的大兔子数为上月的兔子数，每月的小兔子数为上月的大兔子数，即上上月的兔子数，相加。

这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在＜算盘全书

＞中提出的，这个级数的通项公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1)的性质外，还可以证明通项公式为：an=（1/√5）*[(1+√

5/2)^n-(1-√5/2)^n]（n=1,2,3.....）

斐波那契数列公式的推导

斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……

如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。那么这句话可以写成如下形式：

F(0) = 0，F(1)=F(2)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3) 显然这是一个线性递推数列。

通项公式的推导方法一：利用特征方程

线性递推数列的特征方程为：

X^2=X+1

解得

X1=(1+√5)/2,，X2=(1-√5)/2

则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n