习题册重积分答案

第十章 总积分习题解答

第12次课 二重积分的概念及性质

1、 略

2、根据这三点可知区域：

2

120ln()10[ln()]ln()

x y x y x y x y ≤+≤⇒<+<⇒<+<+

由二重积分的性质即得到：2

0[ln()]ln()D

D

x y d x y d σσ<+<+⎰⎰⎰⎰ 2、 提示：对于二重积分

(,)D

f x y d σ⎰⎰，根据题设条件：

（1） 积分区域是对称的

（2） 被积函数(,)f x y 的奇偶性（注意一定要判定） 据（1）、（2）可得答案依次为：成立、不成立、成立

3、 与3题方法一样：答案依次为：0、0、0、0。

4、 按照二重积分的定义（几何意义），答案：6π

5、 22

221

0ln()02

x y x y <+≤⇒+<，再由积分中值定理，可得： 符号为负

提高题：当00,0x y ρ+

→⇒→→ 再由积分中值定理：

222

222

2(,)(,)

(,)x y x y f x y d f d f σσσεησπεησ+≤+≤==⎰⎰

⎰⎰

（1）

将（1）代入所求式子：

222

222

00

2

00

1

1

lim (,)lim (,)lim lim (,)lim x y x y x y I f x y d f d f σσσσσσσεησ

π

π

εησ+

++

+→→→+≤+≤→→→===⎰⎰

⎰⎰

由(,)f x y 的连续性，有：

00

lim (,)=(0,0)x y f f εη→→

故而：0I =

第13次课 二重积分的计算法

1、

（1）根据积分区域： 11,11x y -≤≤-≤≤

1

1

22221

1

8

()()3

D

x y d dy x y dy σ--+=+=⎰⎰⎰⎰ 或者：根据对称性质：

2222882()233D D D

y d x y d x d σσσ==+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （2）根据积分区域：

0000

cos()(sin 2sin )11(cos 2cos 2cos cos )

22()

232

x

xdx x y dy x x x dx

x x xdx x x xdx π

π

π

π

π

π

π

π

ππ+=-=---+=-+=⎰

⎰⎰⎰⎰

（3）根据积分区域

3

2

22

2

22

0235222

22

2

00

2(4)311264

(4)(4)(4)335

15

D

xy d xdx y dy x x dy

x d x x σ==-=-

--=--=

⎰⎰⎰

⎰⎰

（4）根据对称性： 1:0,0,1D x y x y ≥≥+≤

1

110

1

12200()4()4()14

4((1)(1))2(1)23

y

D

D x y dxdy x y dxdy dy x y dx

y y y dy y dy -+=+=+=-+-=-=

⎰⎰⎰⎰⎰⎰

⎰⎰

P45

（5）

sin 22220

230

320

30220

2200()()1

(sin sin ) (1)

3sin (1cos )cos 124

[cos cos ](2) (2)333cos [cos 2sin ]

2(sin cos )x

D

x y d dx x y dy

x x x dx xdx x d x

x x x d x x x xd x x x x ππ

ππ

π

ππ

πππ

σππ-=--=--=--=--+=-=--++=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰

⎰⎰⎰2 4 (3)

40

(2)(3)(1)9

π-

由、得

（6）

33120112

220

1

12222201sin sin sin [(cos1cos )(cos cos1)]

11

[cos1sin ][sin cos1]

22

1

(cos1sin1sin 4sin14cos1cos1)

2

2cos12sin1sin 42

y y y y D

x x x

d dy dx dy dx y y y y y dy y y dy y y y y σ=+=--+-=----=--+--++-=

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

2、计算下列二重积分 （1）

2

10

120

=2D

xydxdy ydy xdx

π

==⎰⎰⎰

⎰

⎰

（2）

2

2141244253

(cos )cos 4015

y D

y D

D

a b

a

b

y e x yx dxdy ye xdxdy y x dxdy x dx y dy a b ----+=+=+=

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰