专题11.4 空间向量的应用(专题训练卷)(原卷版)

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空间向量的应用与新定义(五种题型)(试题版)

空间向量的应用与新定义题型一:空间向量的位置关系的证明1如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E,F分别是BB1,DD1的中点，则下列结论正确的是()A.A1O⎳EFB.A1O⊥EFC.A1O⎳平面EFB1D.A1O⊥平面EFB12在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB,BC的中点，则()A.平面B1EF⊥平面BDD1B.平面B1EF⊥平面A1BDC.平面B1EF⎳平面A1ACD.平面B1EF⎳平面A1C1D3如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，Q为正方形BB1C1C内一动点(含边界)，则下列说法中不正确的是()A.若D1Q⎳平面A1PD，则动点Q的轨迹是一条线段B.存在Q点，使得D1Q⊥平面A1PDC.当且仅当Q点落在棱CC1上某点处时，三棱锥Q-A1PD的体积最大D.若D1Q=62，那么Q点的轨迹长度为24π4（多选）如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F、G分别为AD,AB,B1C1的中点，以下说法正确的是()博观而约取厚积而薄发A.三棱锥A -EFG 的体积为13B.A 1C ⊥平面EFGC.过点E 、F 、G 作正方体的截面，所得截面的面积是33D.异面直线EG 与AC 1所成的角的余弦值为335（多选）在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =1，点P 满足CP =λCD +μCC1，其中λ∈0,1 ,μ∈0,1 ，则下列结论正确的是()A.当B 1P ⎳平面A 1BD 时，B 1P 可能垂直CD 1B.若B 1P 与平面CC 1D 1D 所成角为π4，则点P 的轨迹长度为π2C.当λ=μ时，DP + A 1P 的最小值为2+52D.当λ=1时，正方体经过点A 1､P ､C 的截面面积的取值范围为62，26（多选）如图，多面体ABCDEF 中，面ABCD 为正方形，DE ⊥平面ABCD ，CF ∥DE ，且AB =DE =2，CF =1，G 为棱BC 的中点，H 为棱DE 上的动点，有下列结论：①当H 为DE 的中点时，GH ∥平面ABE ；②存在点H ，使得GH ⊥AE ；③三棱锥B -GHF 的体积为定值；④三棱锥E -BCF 的外接球的表面积为14π．其中正确的结论序号为．(填写所有正确结论的序号)7（多选）如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱A 1B 1，A 1D 1的中点，点P 在线段CM 上运动，给出下列四个结论：①平面CMN截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面图形是五边形；②直线B1D1到平面CMN的距离是2 2；③存在点P，使得∠B1PD1=90°；④△PDD1面积的最小值是55 6．其中所有正确结论的序号是．8在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为BD1，B1C1的中点，点P在正方体表面上运动，且满足MP⊥CN，点P轨迹的长度是.9如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，BC=2，M为BC的中点．(1)求证：PB⊥AM；(2)求平面PAM与平面PDC所成的角的余弦值．博观而约取厚积而薄发10如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC=AA1=1，M为线段A1C1上一点.(1)求证：BM⊥AB1；(2)若直线AB1与平面BCM所成角为π4，求点A1到平面BCM的距离.11如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．(1)求证：D1F⎳平面A1EC1；(2)求直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值．(3)求二面角A-A1C1-E的正弦值．12直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=AC=2,AA1⊥AB,AC⊥AB，D为A1B1的中点，E为AA1的中点，F为CD的中点．(1)求证：EF⎳平面ABC；(2)求直线BE与平面CC1D所成角的正弦值；(3)求平面A1CD与平面CC1D所成二面角的余弦值．13如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，E，F分别为PA,BD中点，PA=PD=AD=2．(1)求证：EF //平面PBC ；(2)求二面角E -DF -A 的余弦值；(3)在棱PC 上是否存在一点G ，使GF ⊥平面EDF ？若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由．题型二:空间角的向量求法1（多选）已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，CC 1=2AB =2，E 为CC 1的中点，P 为棱AA 1上的动点，平面α过B ，E ，P 三点，则()A.平面α⊥平面A 1B 1EB.平面α与正四棱柱表面的交线围成的图形一定是四边形C.当P 与A 重合时，α截此四棱柱的外接球所得的截面面积为118πD.存在点P ，使得AD 与平面α所成角的大小为π32（多选）已知梯形ABCD ，AB =AD =12BC =1，AD ⎳BC ，AD ⊥AB ，P 是线段BC 上的动点；将△ABD 沿着BD 所在的直线翻折成四面体A BCD ，翻折的过程中下列选项中正确的是()A.不论何时，BD 与A C 都不可能垂直B.存在某个位置，使得A D ⊥平面A BCC.直线A P 与平面BCD 所成角存在最大值D.四面体A BCD 的外接球的表面积的最小值为4π方法归纳【点睛】解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：(1)定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；(2)作截面：选准最佳角度做出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系)，达到空间问题平面化的目的；(3)求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.3如图，PO 是三棱锥P -ABC 的高，PA =PB ，AB ⊥AC ，E 是PB 的中点．博观而约取厚积而薄发(1)证明：OE⎳平面PAC；(2)若∠ABO=∠CBO=30°，PO=3，PA=5，求二面角C-AE-B的正弦值．4在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=3．(1)证明：BD⊥PA；(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．5如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M为BC的中点，且PB ⊥AM．(1)求BC；(2)求二面角A-PM-B的正弦值．【整体点评】(1)方法一利用空坐标系和空间向量的坐标运算求解；方法二利用线面垂直的判定定理，结合三角形相似进行计算求解，运算简洁，为最优解；方法三主要是在几何证明的基础上，利用三角形等面积方法求得.(2)方法一，利用空间坐标系和空间向量方法计算求解二面角问题是常用的方法，思路清晰，运算简洁，为最优解；方法二采用构造长方体方法+等体积转化法，技巧性较强，需注意进行严格的论证.6在四棱锥Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD=2,QD=QA=5,QC=3．(1)证明：平面QAD⊥平面ABCD；(2)求二面角B-QD-A的平面角的余弦值．7如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE=AD．△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO=66DO．(1)证明：PA⊥平面PBC；(2)求二面角B-PC-E的余弦值．8如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，AB=BC =2，M，N分别为A1B1，AC的中点．(1)求证：MN∥平面BCC1B1；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．博观而约取厚积而薄发条件①：AB⊥MN；条件②：BM=MN．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．9如图，ABCD为圆柱OO 的轴截面，EF是圆柱上异于AD，BC的母线.(1)证明：BE⊥平面DEF；(2)若AB=BC=2，当三棱锥B-DEF的体积最大时，求二面角B-DF-E的余弦值.10如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，AD=3，AB=BC=2，PA ⊥平面ABCD，且PA=3，点M在棱PD上，点N为BC中点.(1)证明：若DM=2MP，直线MN⎳平面PAB；(2)求二面角C-PD-N的正弦值；(3)是否存在点M，使NM与平面PCD所成角的正弦值为26若存在求出PMPD值；若不存在，说明理由.11如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=12AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点.(1)证明：直线CE ∥平面PAB ；(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°，求二面角M -AB -D 的余弦值.12如图，在四棱锥S -ABCD 中，四边形ABCD 是矩形，△SAD 是正三角形，且平面SAD ⊥平面ABCD ，AB =1，P 为棱AD 的中点，四棱锥S -ABCD 的体积为233．(1)若E 为棱SB 的中点，求证：PE ⎳平面SCD ；(2)在棱SA 上是否存在点M ，使得平面PMB 与平面SAD 所成锐二面角的余弦值为235若存在，指出点M 的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.13如图，在四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，∠ABC =π3，∠B 1BD =π6，∠B 1BA =∠B 1BC ,AB =2A 1B 1=2,B 1B =3(1)求证：直线AC ⊥平面BDB 1；(2)求直线A 1B 1与平面ACC 1所成角的正弦值.题型三:空间向量的距离求法1已知直线l 过定点A 2,3,1 ，且方向向量为s=0,1,1 ，则点P 4,3,2 到l 的距离为()A.322B.22C.102D.22在棱长为3的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为棱DC 的中点，E 为线段AO 上的点，且AE =2EO ，若点F ,P 分别是线段DC 1，BC 1上的动点，则△PEF 周长的最小值为()博观而约取厚积而薄发A.32B.922C.41D.423（多选）如图，四棱锥中，底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD,SA=AB，O，P分别是AC,SC的中点，M是棱SD上的动点，则下列选项正确的是()A.OM⊥PAB.存在点M，使OM⎳平面SBCC.存在点M，使直线OM与AB所成的角为30°D.点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为定值4（多选）已知正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上下底面边长分别为4，6，高为2，E是A1B1的中点，则()A.正四棱台ABCD-A1B1C1D1的体积为5223B.正四棱台ABCD-A1B1C1D1的外接球的表面积为104πC.AE∥平面BC1DD.A1到平面BC1D的距离为41055（多选）如图，若正方体的棱长为1，点M是正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面ADD1A1上的一个动点(含边界)，P是棱CC1的中点，则下列结论正确的是()A.沿正方体的表面从点A到点P的最短路程为132B.若保持PM=2，则点M在侧面内运动路径的长度为π3C.三棱锥B-C1MD的体积最大值为16D.若M在平面ADD1A1内运动，且∠MD1B=∠B1D1B，点M的轨迹为线段6（多选）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，Q为正方形BB1C1C内一动点(含边界)，则下列说法中正确的是()A.若D1Q∥平面A1PD，则动点Q的轨迹是一条线段B.存在Q点，使得D1Q⊥平面A1PDC.当且仅当Q点落在棱CC1上某点处时，三棱锥Q-A1PD的体积最大D.若D1Q=62，那么Q点的轨迹长度为24π7如图，正四棱锥P-ABCD的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点．若点M，N分别为直线AB，CE 上的动点，则MN的最小值为．8如图，某正方体的顶点A在平面α内，三条棱AB,AC,AD都在平面α的同侧.若顶点B，C，D到平面α的距离分别为2，3，2，则该正方体外接球的表面积为.博观而约取厚积而薄发9如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12AD=1.E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90° .(1)在平面PAB内是否存在一点M，使得直线CM∥平面PBE，如果存在，请确定点M的位置，如果不存在，请说明理由；(2)若二面角P-CD-A的大小为45°，求P到直线CE的距离.10如图多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，EA⊥平面ABCD，EA⎳BF，AB =AE=2BF=2(1)证明：平面EAC⊥平面EFC；(2)在棱EC上有一点M，使得平面MBD与平面ABCD的夹角为45°，求点M到平面BCF的距离.11如图，在四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD是菱形，AB=1，SC=233，三棱锥S-BCD是正三棱锥，E，F分别为SA，SC的中点.(1)求证：直线BD ⊥平面SAC ；(2)求二面角E -BF -D 的余弦值；(3)判断直线SA 与平面BDF 的位置关系.如果平行，求出直线SA 与平面BDF 的距离；如果不平行，说明理由.题型四:空间线段点的存在性问题1（多选）如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB =90°，AC =BC =CC 1=2，E 为B 1C 1的中点，过AE 的截面与棱BB 1、A 1C 1分别交于点F 、G ，则下列说法中正确的是()A.存在点F ，使得A 1F ⊥AEB.线段C 1G 长度的取值范围是0,1C.当点F 与点B 重合时，四棱锥C -AFEG 的体积为2D.设截面△FEG 、△AEG 、△AEF 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则S 21S 2S 3的最小值为23方法归纳【点睛】求空间几何体体积的方法如下：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．2（多选）如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点M 为CC 1的中点，点P 为正方形A 1B 1C 1D 1上的动点，则()博观而约取厚积而薄发A.满足MP⎳平面BDA1的点P的轨迹长度为2B.满足MP⊥AM的点P的轨迹长度为223C.存在点P，使得平面AMP经过点BD.存在点P满足PA+PM=53（多选）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=1，AC=2，BC=5．点P在线段B1C上(不含端点)，则()A.存在点P，使得AB1⊥BPB.PA+PB的最小值为有5C.△ABP面积的最小值为55D.三棱锥B1-PAB与三棱锥C1-PAC的体积之和为定值4如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C为长方形，AA1=1，AB=BC=2，∠ABC= 120°，AM=CM.(1)求证：平面AA1C1C⊥平面C1MB；(2)求直线A1B和平面C1MB所成角的正弦值；(3)在线段A1B上是否存在一点T，使得点T到直线MC1的距离是133，若存在求A1T的长，不存在说明理由.5如图，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥AD ，AD =12BC =3，PC =5，AD ⎳BC ，AB =AC ，∠BAD =150°，∠PDA =30°．(1)证明：平面PAB ⊥平面ABCD ；(2)在线段PD 上是否存在一点F ，使直线CF 与平面PBC 所成角的正弦值等于146已知矩形ABCD 中，AB =4，BC =2，E 是CD 的中点，如图所示，沿BE 将△BCE 翻折至△BFE ，使得平面BFE ⊥平面ABCD .(1)证明：BF ⊥AE ；(2)若DP =λDB(0<λ<1)是否存在λ，使得PF 与平面DEF 所成的角的正弦值是63若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.7如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，AB ⎳CD ，AB =AD =PA =2CD =4，G 为PD 的中点．(1)求证AG ⊥平面PCD ；(2)若点F 为PB 的中点，线段PC 上是否存在一点H ，使得平面GHF ⊥平面PCD ？若存在，请确定H 的位置；若不存在，请说明理由．8如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M 为棱AC 的中点，AB =BC ，AC =2，AA 1=2.博观而约取厚积而薄发(1)求证：B 1C ⎳平面A 1BM ；(2)求证：AC 1⊥平面A 1BM ；(3)在棱BB 1上是否存在点N ，使得平面AC 1N ⊥平面AA 1C 1C ？如果存在，求此时BNBB 1的值；如果不存在，请说明理由.题型五:立体几何的新定义1（多选）如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB =90°，AC =BC =CC 1=2，E 为B 1C 1的中点，过AE 的截面与棱BB 1、A 1C 1分别交于点F 、G ，则下列说法中正确的是()A.存在点F ，使得A 1F ⊥AEB.线段C 1G 长度的取值范围是0,1C.当点F 与点B 重合时，四棱锥C -AFEG 的体积为2D.设截面△FEG 、△AEG 、△AEF 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则S 21S 2S 3的最小值为232（多选）如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点M 为CC 1的中点，点P 为正方形A 1B 1C 1D 1上的动点，则()A.满足MP ⎳平面BDA 1的点P 的轨迹长度为2B.满足MP⊥AM的点P的轨迹长度为223C.存在点P，使得平面AMP经过点BD.存在点P满足PA+PM=53（多选）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=1，AC=2，BC=5．点P在线段B1C上(不含端点)，则()A.存在点P，使得AB1⊥BPB.PA+PB的最小值为有5C.△ABP面积的最小值为55D.三棱锥B1-PAB与三棱锥C1-PAC的体积之和为定值4如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C为长方形，AA1=1，AB=BC=2，∠ABC= 120°，AM=CM.(1)求证：平面AA1C1C⊥平面C1MB；(2)求直线A1B和平面C1MB所成角的正弦值；(3)在线段A1B上是否存在一点T，使得点T到直线MC1的距离是133，若存在求A1T的长，不存在说明理由.5如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥AD，AD=12BC=3，PC=5，AD⎳BC，AB=AC，∠BAD=150°，∠PDA=30°．(1)证明：平面PAB⊥平面ABCD；博观而约取厚积而薄发(2)在线段PD 上是否存在一点F ，使直线CF 与平面PBC 所成角的正弦值等于146已知矩形ABCD 中，AB =4，BC =2，E 是CD 的中点，如图所示，沿BE 将△BCE 翻折至△BFE ，使得平面BFE ⊥平面ABCD .(1)证明：BF ⊥AE ；(2)若DP =λDB(0<λ<1)是否存在λ，使得PF 与平面DEF 所成的角的正弦值是63若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.7如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，AB ⎳CD ，AB =AD =PA =2CD =4，G 为PD 的中点．(1)求证AG ⊥平面PCD ；(2)若点F 为PB 的中点，线段PC 上是否存在一点H ，使得平面GHF ⊥平面PCD ？若存在，请确定H 的位置；若不存在，请说明理由．8如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M 为棱AC 的中点，AB =BC ，AC =2，AA 1=2.(1)求证：B 1C ⎳平面A 1BM ；(2)求证：AC 1⊥平面A 1BM ；(3)在棱BB 1上是否存在点N ，使得平面AC 1N ⊥平面AA 1C 1C ？如果存在，求此时BNBB 1的值；如果不存在，请说明理由.。

专题11.4 空间向量的应用(专题训练卷)(解析版)

专题11.4 空间向量的应用（专题训练卷）一、单选题 A ．6 B ．10 C ．15 D ．10 【答案】D 【解析】以D 点为坐标原点，以1,,DA DC DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则1(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),A B C C (0,2,1),1(2,0,1),(2,2,0),BC AC AC ∴=-=-为平面11BB D D 的一个法向量． 110cos ,558BC AC ∴<>==⋅． ∴直线1BC 与平面11BB DD 10. 故选：D ． A ．16B ．14C ．16-D ．14-【答案】A 【解析】如图，以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则()()()()1100,012,121,002M N O D ，，，，，，，，， ∴()()11,1,2,1,2,1MN OD =-=--．则1111cos,666MN OD MN OD MN OD ⋅===⋅． ∴异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为16,故选A ．A 6B 26C 15D 10 【答案】D 【解析】以D 点为坐标原点，以DA 、DC 、1DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系则A （2，0，0），B （2，2，0），C （0，2，0），1C （0，2，1）∴1BC =（-2，0，1），AC =（-2，2，0），AC 且为平面BB 1D 1D 的一个法向量． ∴110cos ,58BC AC 〈〉==⋅．∴BC 1与平面BB 1D 1D 10A ．3B ．23C ．5 D ．25【答案】D 【解析】以B 为原点，BC ，BD ，BA 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：设BAt ，0t >，()0,0,0B ，)2,0,0C ，()2,0D ，0,0,A t .0,0,AB t ，2,0,CAt ，2,2,0CD.设平面ACD 的法向量(),,n x y z =，则20220n CA tz n CD x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1x =，得1y =，2z t =，故21,1,n t ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭. 因为直线AB 与平面ACD 所成角的正切值为12，所以直线AB 与平面ACD 5. 即2255211AB nAB nt t ⋅==⋅⋅++，解得2t =.所以平面ACD 的法向量21,1,2n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，故B到平面ACD的距离为22551112AB ndn⋅===++.故选：DA．215B ．25C．35D．45【答案】B【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则1111(1,0,1),(0,0,1),(0,1,),(1,1,1)2A D M B11(1,0,0)=-A D，11(0,1,)2=-D M，11(1,0,)2=MB设平面11A D M的法向量为(,,)m x y z=则111=012xA D my zD M m-=⎧⎧⋅⎪⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎪⎩⎪⎩令1y=可得2z=，所以(0,1,2)=m设直线1B M与平面11A D M所成角为θ，112sin 5552θ⋅===⋅⨯m MB m MB故选：BA ．cos cos αβ=B ．sin sin αβ=C ．coscos t αβ> D ．sin sin αβ<【答案】B 【解析】连接111,AB B D ,如图，在长方体内知12//AB D C ,所以11B AD ∠为异面直线2D C 与1AD 所成的角为α，易知11AB D 为等边三角形，所以60α︒=，因为22A D ⊥平面22ABB A ,2AB ⊂平面22ABB A ，所以22A D ⊥2AB 又22AB A B ⊥，2222A D A B A =所以2AB ⊥平面22A BCD ，同理可得1B C ⊥平面11ABC D ，则2AB →，1B C →可分别视为平面22A BCD ，平面11ABC D 的一个法向量，又因为在长方体内易知21//AD B C ，而2260D AB ∠=︒ 故2AB →与1B C →的夹角为60︒，所以60β︒=或120β︒=，即sin sin αβ=，故选：BA ．123θθθ<<B ．213θθθ<<C ．321θθθ<<D ．231θθθ<<【答案】D 【解析】设三棱柱111ABC A B C -是棱长为2的正三棱柱，D 是棱BC 的中点，以A 为原点，在平面ABC 中，过A 作AC 的垂线为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()10,0,2A ，)13,1,2B ，()0,2,0C ，33,02D ⎫⎪⎪⎝⎭，()0,0,0A ，()0,2,0AC =，131,222B D ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，()113,1,0=A B ，直线1B D 与直线AC 所成的角为1θ，111cos 25B D AC BD ACθ⋅∴==⋅直线1B D 与平面111A B C 所成的角为2θ，平面111A B C 的法向量()0,0,1n =，121sin 5BD n BD nθ⋅∴==⋅ 222cos 155θ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭设平面11A B D 的法向量(),,m a b c =，则1113031202m A B a b m B D b c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，取3a =33,3,2m ⎛⎫=-- ⎪⎭，二面角111C A B D --的平面角为3θ，332cos 575749m n m nθ⋅∴===⋅，231cos cos cos θθθ>>， ∴231θθθ<<故选：DA ．2123,θθθθ<<B ．2123,θθθθ><C ．2123,θθθθ<>D ．2123,θθθθ>>【答案】A 【解析】由题可知，直三棱柱111ABC A B C -的底面为锐角三角形，D 是棱BC 的中点，设三棱柱111ABC A B C -是棱长为2的正三棱柱，以A 为原点，在平面ABC 中，过A 作AC 的垂线为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()10,0,2A ，)13,1,2B ，()0,2,0C ，33,,022D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,0A ，()0,2,0AC →=，11,22B D →⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，)11A B →=，直线1B D 与直线AC 所成的角为1θ，10,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，111cos B D ACB D ACθ→→→→⋅∴==⋅直线1B D 与平面111A B C 所成的角为2θ，20,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，平面111A B C 的法向量()0,0,1n →=，121sin B D nB D nθ→→→→⋅∴==⋅，2cos θ∴== 设平面11A B D 的法向量(),,m a b c →=，则11130312022m A B ab m B D a bc ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，取a =33,2m →⎫=--⎪⎭，二面角111C A B D --的平面角为3θ，由图可知，3θ为锐角，即30,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 33cos m nm nθ→→→→⋅∴===⋅231cos cos cos θθθ>>，由于cos y θ=在区间()0,π上单调递减，∴231θθθ<<，则2123,θθθθ<<.故选：A.A ．2γβα≤≤B ．2γβα≤≤ C ．2γαβ≤≤D ．2γαβ≤≤【答案】A 【解析】因为空间线段AC AB ⊥，BD AB ⊥，所以可将其放在矩形中进行研究，如图，绘出一个矩形，并以A 点为原点构建空间直角坐标系：因为::1:3:1AC AB BD =，所以可设AC x =，3AB x =，BD x =，则()0,0,0A ，0,3,0B x ，0,0,C x ，,3,0D x x ，,3,CD x x x ，0,3,0AB x ，0,3,CB x x ，故CD 与AB 所成的角α的余弦值22311cos α113CD AB CD ABx x，因为根据矩形的性质易知平面ABD ⊥平面ABC ，BD ⊥平面ABC ，所以二面角C AB D --的平面角为γ90，γ452，γ2cos22，所以BCD ∠即CD 与面ABC 所成的角β，故110 cosβ11CD CBCDCB，因为110311211112，所以2γβα≤≤，故选：A.A．16+8πB．32+16πC．32+8πD．16+16π【答案】A【解析】设D在底面半圆上的射影为1D，连接1AD交BC于O，设1111A DBC O⋂=.依题意半圆柱体底面直径4,,90BC AB AC BAC==∠=︒，D为半圆弧的中点，所以1111,AD BC A D B C⊥⊥且1,O O分别是下底面、上底面半圆的圆心.连接1OO，则1OO与上下底面垂直，所以11,,OO OB OO OA OA OB⊥⊥⊥，以1,,OB OA OO为,,x y z轴建立空间直角坐标系，设几何体的高为()0h h>，则()()()()12,0,0,0,2,,0,2,0,2,0,B D h A B h-，所以()()12,2,,2,2,BD h AB h=--=-，由于异面直线BD和1AB所成的角的余弦值为23，所以212212388BD AB hBD AB h h⋅==⋅+⋅+，即2222,16,483h h h h ===+. 所以几何体的体积为2112442416822ππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+. 故选：A二、多选题A ．,,,AB M N 是空间中的四点，若,,BA BM BN 不能构成空间基底，则,,,A B M N 共面 B ．已知{},,a b c 为空间的一个基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的基底 C ．若直线l 的方向向量为(1,0,3)e =，平面α的法向量为2(2,0,)3n =-，则直线//l αD ．若直线l 的方向向量为(1,0,3)e =，平面α的法向量为(2,0,2)n =-，则直线l 与平面α所成角的正弦5【答案】ABD 【解析】对于A ，,,,A B M N 是空间中的四点，若,,BA BM BN 不能构成空间基底，则,,BA BM BN 共面，则,,,A B M N 共面，故A 对；对于B ，已知{},,a b c 为空间的一个基底，则,,a b c 不共面，若m a c =+，则,,a b m 也不共面，则{},,a b m 也是空间的基底，故B 对；对于C ，因为21(2)+00+3=03e n ⋅=⨯-⨯⨯，则e n ⊥，若l α⊄，则//l α，但选项中没有条件l α⊄，有可能会出现l α⊂，故C 错；对于D ，∵cos ,e n e n e n =51022==⨯，则则直线l 与平面α所成角的正弦值为5，故D 对；故选：ABD ．A ．()()2212AA AB ADAC ++=B ．()10AC AB AD ⋅-= C ．向量1B C 与1AA 的夹角是60° D ．1BD 与AC 6【答案】AB 【解析】以顶点A 为端点的三条棱长都相等, 它们彼此的夹角都是60°，可设棱长为1,则11111cos602AA AB AA AD AD AB ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=()22221111=+2+2+2AA AB AD AA AB AD AA AB AB AD AA AD ++++⋅⋅⋅11113262=+++⨯⨯=而()()()22222222ACAB ADAB AD AB AD =+=++⋅121122362⎛⎫=++⨯=⨯= ⎪⎝⎭，所以A 正确.()()()11AC AB AD AA AB AD AB AD ⋅-⋅=++-2211AA AB AA AD AB AB AD AD AB AD =⋅-⋅+-⋅+⋅- =0,所以B 正确.向量11B C A D=, 显然1AA D △ 为等边三角形，则160AA D ∠=︒.所以向量1A D 与1AA 的夹角是120︒ ,向量1B C 与1AA 的夹角是120︒,则C 不正确又11=AD AA BD AB +-，AC AB AD =+ 则()211||=2AD AA A B B D =+-，()2||=3AC AB AD =+()()111AD AA AB BD AC AB AD ⋅=+-=+⋅所以1116cos ===6||||23BD AC BD AC BD AC ⋅⋅⨯，，所以D 不正确.故选：ABA ．1B G BC ⊥ B ．平面AEF 平面111AAD D AD =C ．1//A H 面AEFD ．二面角E AF C --的大小为4π【答案】BC 【解析】由题可知，1B G 在底面上的射影为BG ，而BC 不垂直BG ，则1B G 不垂直于BC ，则选项A 不正确；连接1AD 和1BC ，E 、F 、G 、H 分别为1CC 、BC 、CD 、BB 、1BB 的中点，可知11////EF BC AD ，所以AEF ∆⊂平面1AD EF ，则平面AEF平面111AA D D AD =，所以选项B 正确；由题知，可设正方体的棱长为2，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，则各点坐标如下：()()()()()()12,0,0,0,2,0,0,2,1,2,0,2,2,2,1,1,2,0A C E A H F ()()()()110,2,1,1,2,0,1,0,1,0,0,2A H AF EF AA =-=-=-=，设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =，则00n AF n EF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即200x y x z -+=⎧⎨-=⎩，令1y =，得2,2x z ==，得平面AEF 的法向量为()2,1,2n =，所以10A H n ⋅=，所以1//A H 平面AEF ，则C 选项正确；由图可知，1AA ⊥平面AFC ，所以1AA 是平面AFC 的法向量，则1112cos ,3AA n AA n AA n⋅<>===⋅. 得知二面角E AF C --的大小不是4π，所以D 不正确. 故选：BC.14．正三棱柱111ABC A B C -中，13AA =，则（） A ．1AC 与底面ABC 的成角的正弦值为12 B ．1AC 与底面ABC 3C ．1AC 与侧面11AA B B 的成角的正弦值为34D ．1AC 与侧面11AA B B【答案】BC 【解析】如图，取11A C 中点E ，AC 中点F ，并连接EF ，则1EB ，1EC ，EF 三条直线两两垂直，则分别以这三条直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系；设2AB =；则1AA = 1(0A ∴，1-，0)，1(0C ，1，0)，(0A ，1-，，(0C ，1，；1B 0，0)，∴(10,2,AC =-．底面ABC的其中一个法向量为：(m =，1AC ∴与底面ABC的成角的正弦值为11112cos ,4m AC m AC m AC -<>===⨯⨯，； A ∴错B 对．11A B 的中点K 的坐标为12-，0)；∴侧面11AA B B 的其中一个法向量为：13,02KC ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭； 1AC ∴与侧面11AA B B 的成角的正弦值为：111111cos 4,4AC KC AC KC AC KC <>===⨯⨯，；故C 对D 错；故选：BC ．三、单空题【答案】π3【解析】设直线PA与平面α所成的角为θ，则s102342 131022444in cos n PA n PAθθ===--⋅=⋅++++，∴直线PA与平面α所成的角为π3．故答案为：π3．【答案】1 6【解析】设AB=2,作CO⊥面ABDEOH ⊥AB ，则CH ⊥AB ，∠CHO 为二面角C −AB −D 的平面角，3CH =OH =CH cos ∠CHO =1，结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，3,11(),2212AN EM CH AN AC AB EM AC AE AN EM ====+=-∴⋅=故EM ,AN 112633=⋅。

空间向量的应用(附答案)

空间向量的应用一．选择题（共20小题）1．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若+，则x 、y 的值分别为（）A ． x =1，y=1B ．x=1，y=C ．x=，y=D ．x=，y=12．如图：在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（）A ．B ．C ．D ．3．如图，空间四边形OABC 中，=a ，=b ，=c ，点M 在OA 上，且OM=MA ，N 为BC 中点，则等于（）A ．﹣a+b+ c B ．a ﹣b+ cC ．a+b ﹣ cD ．a+b ﹣ c4．设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG=3GG 1，若=x+y+z，则（x ，y ，z ）为（） A ．（，，） B ．（，，）C ．（，，）D ．（，，）5．在平行六面体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，向量、、、是（）A ．有相同起点的向量B ．等长的向量C ．共面向量D ．不共面向量6．有以下命题：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；②O，A，B，C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底．其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③7．（2011•重庆）高为的四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，点S，A，B，C，D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为（）A．B．C．D．8．（2004•黑龙江）已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心O到平面ABC的距离为（）A．B．C．D．9．（2007•湖北）设，在上的投影为，在x轴上的投影为2，且，则为（）A．（2，14）B．C．D．（2，8）10．（2004•贵州）已知球的表面积为20π，球面上有A、B、C三点，如果AB=AC=2，BC=2，则球心到平面ABC 的距离为（）A．1B．C．D．211．如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，，AB=AC=AA1=2，点G与E分别为线段A1B1和C1C的中点，点D与F分别为线段AC和AB上的动点．若GD⊥EF，则线段DF长度的最小值是（）A．B．1C．D．12．在四面体P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，M是面ABC内一点，M到三个面PAB，PBC，PCA的距离分别是2，3，6，则M到P的距离是（）A．7B．8C．9D．1013．一个n棱锥的所有侧面与底面所成二面角都为30°，若此棱锥的底面积为S，则它的侧面积为（）A．B．C．D．14．正四棱锥的底面边长等于2，侧面与底面成60°的二面角，此四棱锥体积为（）A．9B．12 C．15 D．1815．将面积为2的长方形ABCD沿对角线AC折起，使二面角D﹣AC﹣B的大小为α（0°＜α＜180°），则三棱锥D ﹣ABC的外接球的体积的最小值是（）A．B．C．D．与α的值有关的数16．下列四个图是正方体或正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图的个数为（）A．1B．2C．3D．417．在矩形ABCD中，AB=1，BC=，PA⊥面ABCD，PA=1，则PC与面ABCD所成的角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°18．如图，直线l是平面α的斜线，AB⊥α，B为垂足，如果θ=45°，∠AOC=60°，则∠BOC=（）A．45°B．30°C．60°D．15°19．PA，PB，PC是从点P引出的三条射线，每两条的夹角均为60°，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值为（）A．B．C．D．20．如图，∠C=90°，AC=BC，M，N分别为BC和AB的中点，沿直线MN将△BMN折起，使二面角B′﹣MN﹣B 为60°，则斜线B'A与平面ABC所成角的正切值为（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题）21．（2007•安徽）在四面体O﹣ABC中，，，，D为BC的中点，E为AD的中点，则=_________（用a，b，c表示）22．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M、N分别是A1B、B1C1上的点，且BM=2A1M，C1N=2B1N，设，，，则向量=_________（用表示）23．已知G是△ABC的重心，O是平面ABC外的一点，若λ，则λ=_________．24．已知点M在平面ABC内，对空间任意一点O，有2A=X M﹣B+4C，则x=_________．25．A、B是直线l上的两点，AB=4，AC⊥l于A，BD⊥l于B，AC=BD=3，又AC与BD成60°的角，则C、D两点间的距离是_________26．已知向量=（2，﹣1，2），=（1，0，3），则cos∠OAB=_________．三．解答题（共4小题）27．（2012•浙江）如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=．AD=2，BC=4，AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．（1）证明：（i）EF∥A1D1；（ii）BA1⊥平面B1C1EF；（2）求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．28．（2012•西山区）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，PA=PB=2，E、F分别为CD、PB的中点，AE=．（Ⅰ）求证：平面AEF⊥平面PAB．（Ⅱ）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值．29．（2012•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1．（1）证明：PC⊥AD；（2）求二面角A﹣PC﹣D的正弦值；（3）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．30．（2012•四川）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，平面PAB⊥平面ABC．（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成角的大小；（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣C的大小．2012年10月胡金朋的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若+，则x 、y 的值分别为（）A ． x =1，y=1B ．x=1，y=C ．x=，y=D ．x=，y=1考点：棱柱的结构特征；空间向量的加减法。

第03练空间向量的应用(8种题型过关练+能力提升练+拓展练)(原卷版)

第03练空间向量的应用（8种题型过关练+能力提升练+拓展练）1.空间向量平行、垂直、模长、夹角的坐标表示（1）121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===，（2）121212=0++0a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅⇔=，（3）a == ，（4）cos ,a ba b a b⋅==.2.空间两点间的距离公式设()()11112222,,,,,P x y z P x yz ，则12PP =.3.平面的法向量：直线l α⊥，取直线l 的方向向量a ，称a 为平面的法向量.4.空间中直线、平面的平行（1）线线平行:若12,u u 分别为直线12,l l 的方向向量,则1212////,l l u u R λ⇔⇔∃∈使得12u u λ= .（2）线面平行:设u 直线l 的方向向量,n是平面α的法向量,l α⊄，则//0l u n u n α⇔⊥⇔⋅=.法2:在平面α内取一个非零向量a ,若存在实数x ,使得u xa =,且l α⊄，则//l α.法3:在平面α内取两个不共线向量,a b ,若存在实数,x y ，使得u xa yb =+,且l α⊄,则//l α（3）面面平行:设12,n n 分别是平面,αβ的法向量，则12////n n R αβλ⇔⇔∃∈，使得12n n λ= .5.空间中直线、平面的垂直（1）线线垂直:若12,u u 分别为直线12,l l 的方向向量,则1212120l l u u u u ⊥⇔⊥⇔⋅=.（2）线面垂直:设u 直线l 的方向向量,n是平面α的法向量,则//l u n R αλ⊥⇔⇔∃∈ ，使得u n λ=.法2:在平面α内取两个不共线向量,a b,若0a u b u ⋅=⋅= .则l α⊥.（3）面面垂直:设12,n n 分别是平面,αβ的法向量，则12120n n n n αβ⊥⇔⊥⇔⋅=.6.用空间向量研究距离、夹角问题（1）点到直线的距离：已知,A B 是直线l 上任意两点,P 是l 外一点，PQ l ⊥，则点P 到直线l 的距离为PQ =(2)求点到平面的距离已知平面α的法向量为n,A 是平面α内的任一点，P 是平面α外一点,过点P 作则平面α的垂线l ，交平面α于点Q ,则点P 到平面α的距离为AP nPQ n⋅= .（3）直线与直线的夹角若12,n n分别为直线12,l l 的方向向量，θ为直线12,l l 的夹角，则121212cos cos ,n n n n n n θ⋅=<>=.(4)直线与平面的夹角设1n 是直线l 的方向向量,2n是平面α的法向量,直线与平面的夹角为θ.则121212sin cos ,n n n n n n θ⋅=<>=.（5）平面与平面的夹角平面与平面的夹角：两个平面相交形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90 的二面角称为这两个平面的夹角.若12,n n分别为平面,αβ的法向量，θ为平面,αβ的夹角，则1.求点到平面的距离的四步骤2.用坐标法求异面直线所成角的一般步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)分别求出两条异面直线的方向向量的坐标；(3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角；(4)结合异面直线所成角的范围求出异面直线所成的角．3.利用向量法求两平面夹角的步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；(3)求两个法向量的夹角；(4)法向量夹角或其补角就是两平面的夹角(不大于90°的角)一．空间向量的夹角与距离求解公式（共3小题）1．（2022春•江苏月考）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，动点P、Q分别在线段C1D、AC上，则线段PQ长度的最小值是（）A．B．C．D．2．（2022春•江宁区校级期中）在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型P ﹣ABCD ，并要求同学们将该四棱锥切割成三个小四棱锥．某小组经讨论后给出如下方案：第一步，过点A 作一个平面分别交PB ，PC ，PD 于点E ，F ，G ，得到四棱锥P ﹣AEFG ；第二步，将剩下的几何体沿平面ACF 切开，得到另外两个小四棱锥．在实施第一步的过程中，为方便切割，需先在模型表面画出截面四边形AEFG ，若，，则的值为．3．（2023春•徐州期中）已知：＝（x ，4，1），＝（﹣2，y ，﹣1），＝（3，﹣2，z ），∥，⊥，求：（1），，；（2）+与+所成角的余弦值．二．向量的数量积判断向量的共线与垂直（共2小题）4．（2023春•金坛区校级月考）已知空间向量，，若，则m ＝（）A ．B ．C ．D ．5．（2022春•海陵区校级期中）已知空间向量＝（1，2，3），，若，则＝（）A ．4B ．5C ．D ．三．直线的方向向量、空间直线的向量参数方程（共2小题）（多选）6．（2022春•清江浦区校级期中）关于空间向量，下列说法正确的是（）A．直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l∥αB．直线l的方向向量为，直线m的方向向量，则l⊥mC．若对空间内任意一点O，都有，则P，A，B，C四点共面D．平面α，β的法向量分别为，则α⊥β（多选）7．（2023春•洪泽区校级月考）已知直线l1、l2的方向向量分别是，若，且l1⊥l2，则x﹣y的值可以是（）A．﹣3B．7C．1D．﹣5四．平面的法向量（共3小题）8．（2023春•天宁区校级期中）设向量是直线l的方向向量，是平面α的法向量，则（）A．l⊥αB．l∥α或l⊂αC．l∥αD．l⊂α9．（2023春•盱眙县校级期中）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是（）A．（1，﹣2，4）B．（﹣4，1，﹣2）C．（2，﹣2，1）D．（1，2，﹣2）10．（2023春•常州月考）已知A（1，2，0），B（0，4，0），C（2，3，3）．（1）求与y轴正方向的夹角的余弦值；（2）已知点P（﹣3，m，n）在直线AC上，求m+n的值；（3）若与分别是平面α与平面β的法向量且α⊥β，求λ的值．五．直线与平面所成的角（共4小题）11．（2023春•宿城区校级月考）如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段B1D1上动点（包括端点）．①三棱锥P﹣A1BD中，点P到面A1BD的距离为定值②过点P且平行于面A1BD的平面被正方体ABCD﹣A1B1C1D1截得的多边形的面积为③直线PA1与面A1BD所成角的正弦值的范围为④当点P为B1D1中点时，三棱锥P﹣A1BD的外接球表面积为11π以上命题为真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4（多选）12．（2023春•新北区校级期中）如图所示的几何体是由正方形ABCD沿直线AB 旋转90°得到的，设G是圆弧的中点，H是圆弧上的动点（含端点），则（）A．存在点H，使得EH⊥BGB．存在点H，使得EH∥BDC．存在点H，使得EH∥平面BDGD．存在点H，使得直线EH与平面BDG的所成角为30°13．（2023春•溧阳市月考）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，PA⊥底面ABCD，PA ＝AB＝3，点E在棱PD上，且2PE＝ED，点F是棱PC上的动点（不含端点）．（1）若F是棱PC的中点，求∠EAF的余弦值；（2）求PA与平面AEF所成角的正弦值的最大值．14．（2023春•金坛区期中）如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABP所在的平面互相垂直，且AB∥CD，AB⊥BC，AP⊥PB，AB＝2，BC＝CD＝1．（1）求证：AB⊥PD；（2）求直线PC与平面ABP所成角的余弦值；（3）线段PA上是否存在点E，使得PC∥平面EBD？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．六．二面角的平面角及求法（共6小题）15．（2023春•金坛区期中）将边长为a的正三角形ABC沿BC边上的高线AD折成120°的二面角，则点A到BC边的距离是（）A．B．C．D．16．（2023春•金坛区期中）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，P 为线段A1C上的动点，则以下结论中不正确的是（）A．当时，直线BP与平面ABCD所成角的正弦值为B．当时，若平面BDC1的法向量记为，则C．当时，二面角A1﹣AD1﹣P的余弦值为D．若，则17．（2023春•连云区校级月考）如图，已知△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，AB＝BC ＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120°，则二面角A﹣BD﹣C的正切值等于．18．（2023春•海州区期中）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都是2，AA1⊥平面ABC，D，E分别是AC，CC1的中点．（1）求证：AE⊥平面A1BD；（2）求点B1到平面A1BD的距离；（3）求二面角D﹣BA1﹣A的余弦值．19．（2023春•徐州期中）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF．（1）求证：A1F⊥C1E；（2）当三棱锥B1﹣BEF的体积取得最大值时，求二面角B1﹣EF﹣B的正弦值．20．（2023春•金坛区期中）如图，三角形ABC是圆柱底面圆的内接三角形，PA为圆柱的母线，M，N分别是AC和PA的中点，平面PBC⊥平面PAB，PA＝AB＝BC＝2．（1）求证：BC⊥AB；（2）求三棱锥N﹣ABM和圆柱的体积之比；（3）求平面PBC与平面MBN所成的锐二面角的大小．七．向量语言表述线面的垂直、平行关系（共2小题）21．若直线l⊥a，且l的方向向量为（，m，l），平面a的法向量为（1，，2），则m为（）A．2B．1C．D．（多选）22．已知为直线l的方向向量，，分别为平面α，β的法向量，那么下列说法中正确的有（）A ．∥⇔α∥βB ．⊥⇔α⊥βC ．⊥⇔l ∥αD ．∥⇔l ⊥α八．向量语言表述面面的垂直、平行关系（共1小题）23．（2023春•广陵区校级月考）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝AA 1，D 为BC 的中点．（1）证明：A 1B ∥平面ADC 1；（2）证明：平面ADC 1⊥平面BB 1C 1C ．A ．23二、多选题2．（2020春·江苏南通·高二统考期末）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 、F 、G 分别为BC 、1CC 、1BB 的中点，则（）A ．平面1C AE ⊥平面1C BEB ．异面直线1C A 与BE 所成角的余弦值为66C ．点B 到平面1C AD 的距离为33D ．二两角1D C A E --的正弦值为3311三、填空题4．（2023春·江苏南京·高二南京师大附中校考期中）在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 的中点，P 是侧面11BCC B 上的动点，满足1PC //平面1AED ，若该正方体的棱长为1，则点P 到直线AE 的距离的最小值为__________.四、解答题5．（2023秋·江苏苏州·高二统考期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，平面ABCD ⊥平面PBC ，2PC BC ==，点,E F 分别为,AB PD 的中点.(1)求证：2EF BP AD =+ ；(2)若0PC DE ⋅= ，求平面FAB 与平面6．（2023春·江苏常州·高二校联考期中）AB AD AE ==22BC ==，BE 3AF FD =.(1)求证：FN //平面MBD ；(2)求点F 到平面MBD 的距离；(3)求平面MBD 与平面ABD 所成角（锐角）的余弦值7．（2023春·江苏南京·高二南京师大附中校考期中）面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，(1)证明：AD ⊥平面PCD ；(2)若3PD =，求直线PA 与平面8．（2023春·江苏南京·高二南京师大附中校考期中）如图，已知在三棱柱11A B =，15AA =，AB =(1)求1AA 与BC 所成角的余弦值；(2)在棱1AA 上是否存在一点E ，使得二而角1AE AA 的值，若不存在，说明理由．9．（2022秋·江苏南京·高二校考期末）三棱柱120BAC ∠= ，线段11A B 的中点为(1)若PO=6，判断PA和平面(2)点P在高SO上的动点，当体积.-11．（2023春·江苏扬州·高二扬州市广陵区红桥高级中学校考期中）如图，在四棱锥P ABCD⊥．中，底面ABCD是边长为2的菱形，△PAD为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，PB BC(1)求点A到平面PBC的距离；(1)求证：BC PB⊥；(2)求平面PCD与平面ABCD夹角的余弦值；(3)若点E在棱PA上，且BE∥13．（2022秋·江苏苏州·高二苏州中学校考期末）如图，在四棱锥为平行四边形，PA⊥平面ABCD(1)若1PA=，求直线MN与平面(2)若直线AC与平面PBC所成角的正弦值的取值范围为ABCD的夹角的余弦值的取值范围(1)棱AB可能垂直于平面理由；(2)求EF与PC夹角正弦值的最大值。

2024届高考数学立体几何专项练(7)-空间向量的应用

2024届高考数学立体几何专项练——（7）空间向量的应用1.设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，l α⊄，则使//l α成立的是().A.(1,1,2)=-a ，(1,1,2)=--n B.(2,1,3)=-a ，(1,1,1)=-n C.(1,1,0)=a ，(2,1,0)=-n D.(1,2,1)=-a ，(1,1,2)=n 2.若平面α，β的法向量分别为(sin ,cos ,2)θθ=-a ，1sin ,cos ,2θθ⎛⎫= ⎪⎝⎭b ，[0,2)θ∈π，αβ⊥，则θ的值为().A.4πB.2πC.34π D.32π3.已知平面α的法向量为(1,2,2)a =- ，平面β的法向量为(2,4,)b k =--，若αβ⊥，则k 等于()A.4B.4- C.5D.5-4.设平面α与平面β的夹角为θ，若平面,αβ的法向量分别为1n ，2n ，则cos θ=()A.1212⋅n n n nB.1212⋅n n n n C.1212⋅n n n n D.1212⋅n n n n 5.已知向量(2,4,)AB x =，平面α的一个法向量(1,,3)y =n ，若AB α⊥，则()A.6x =，2y = B.2x =，6y = C.3420x y ++= D.4320x y ++=6.在三棱锥P ABC -中，CP ,CA ,CB 两两互相垂直，1AC CB ==，2PC =,建立如图所示的空间直角坐标系，则下列向量是平面PAB 的一个法向量的是()A.11,1,2⎛⎫⎪⎝⎭B.(1,2,1)C.(1,1,1)D.(2,2,1)-7.已知点(0,1,0)A ，(1,0,1)B --，(2,1,1)C ，(,0,)P x z ，,x z ∈R ，若PA ⊥平面ABC ，则点P 的坐标为()A.(1,0,2)-B.(1,0,2)C.(1,0,2)-D.(2,0,1)-8.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AC AA ===，2BC =，点D 为BC 的中点，则异面直线AD 与1A C 所成的角为()A.π2B.π3C.π4D.π69.如图所示，在正方体1111A B C D ABCD -，棱长为a ，M ，N 分别为1A B ，AC 上的点，123aA M AN ==，则MN 与平面11BB C C 的位置关系是()A.斜交B.平行C.垂直D.MN 在平面11BB C C 内10.（多选）已知v 为直线l 的方向向量，12,n n 分别为平面αβ，的法向量（αβ，不重合），则()A.12n n αβ⇔P P B.12n n αβ⊥⇔⊥C.1v n l α⇔P P D.1v n l α⊥⇔⊥11.（多选）己知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果(2,1,4)AB =--，(4,2,0)AD = ，(1,2,1)AP =--，则下列结论正确的是()A.AP AB ⊥B.AP AD ⊥C.AP是平面ABCD 的一个法向量 D.AP BD∥12.（多选）如图,在正方体1111 ABCD A B C D -中,以D 为原点建立空间直角坐标系,E 为1BB 的中点,F 为11A D 的中点,则下列向量中,不能作为平面AEF 的法向量的是()A.()1,2,4-B.()4,1,2--C.()2,2,1-D.()1,2,2-13.已知直线l 的方向向量为(1,2,4)=-a ，平面α的一个法向量(2,,1)x =n ，若//l α，则x 的值为__________.14.在我国古代数学名著《九章算术》中，四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2PA AB BC ===.M 为PC 的中点，则点P 到平面MAB 的距离为______.15.如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形，四边形ABEF 是矩形，12AF AD a ==，G 是EF 的中点，则GB 与平面AGC 所成角的正弦值为___________.16.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA ，1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且1(02)A G λλ=<<，则点G 到平面1D EF 的距离为______________.17.如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的菱形，4ABC π∠=，OA ⊥底面ABCD ，2OA =，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点.（1）求证：直线//MN 平面OCD ；（2）求异面直线AB 与MD 所成角的大小.18.如图，P ，O 分别是正四棱柱1111ABCD A B C D -上、下底面的中心，E 是AB 的中点，1AB kAA =.(1)求证：1//A E 平面PBC ；(2)当k 取何值时，点O 在平面PBC 内的投影恰好为PBC △的重心?19.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1CC 的中点，F 是AC ，BD 的交点.(1)求证：1A F⊥平面EBD；AA C C；(2)求证：平面EBD⊥平面11(3)若在平面EBD上有一点H，使得CH⊥平面EBD，求证：点H在EF上.答案以及解析1.答案：B解析：在选项B 中，因为(2,1,3)(1,1,1)2130⋅=-⋅-=--+=a n ，所以⊥a n .2.答案：B解析：因为cos 210θ⋅=+=a b ，[0,2)θ∈π，所以2θπ=-.3.答案：D解析：平面α的法向量为()1,2,2a =- ，平面β的法向量为()2,4,b k =--，且αβ⊥，a b ∴⊥，()()122420a b k ∴⋅=⨯-+⨯--- ，解得5k =-.4.答案：B解析：由两个平面的夹角概念知，12121212cos θ⋅⋅==n n n n n n n n ，故选B.5.答案：A解析：因为AB α⊥，所以//AB n，由2413xy ==，得6x =，2y =，34228x y ++=，43232x y ++=.故选A.6.答案：A解析：由题意可得(0,0,2)P ,(1,0,0)A ,(0,1,0)B ,则(1,0,2)PA =-uu r ，(1,1,0)AB =-uu u r，设平面PAB 的一个法向量为(,,)x y z =n ，由0,0,PA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu ruu u r n n 得20,0,x z x y -=⎧⎨-+=⎩令1z =，则2x =，2y =，(2,2,1)n ∴=.又111,1,22⎛⎫= ⎪⎝⎭n ，∴平面PAB 的一个法向量为11,1,2⎛⎫⎪⎝⎭.故选A.7.答案：C解析：(1,1,1)AB =---uu u r ，(2,0,1)AC =uuu r ，(,1,)PA x z =--uu r .PA ⊥Q 平面ABC ，PA AB ∴⊥uu r uu u r，PA AC ⊥uu r uuu r ，0PA AB PA AC ∴⋅=⋅=uu r uu u r uu r uuu r ，10,20,x z x z -+=⎧∴⎨--=⎩解得1,2,x z =-⎧⎨=⎩∴点P 的坐标为(1,0,2)-.故选C.8.答案：B解析：解法一取11B C 的中点1D ，连接11A D ，1D C .易证11//A D AD ，故11A D ，1A C 所成的角就是AD ，1A C 所成的角.2AB AC == ，2BC =，D 为BC 的中点，AD BC ∴⊥，2222(2)11AD AB BD ∴=-=-=，111A D AD ∴==，又222211(2)(2)2A C AA AC =+=+=，222211111(2)3D C D C C C =+=+=，2221111A D D C AC ∴+=，11A D C ∴△为直角三角形，111cos 2D A C ∠=，即异面直线AD 与1A C 所成的角为π3，故选B.解法二易知AB ，AC ，1AA 两两垂直，以A 为坐标原点，AB ，AC ，1AA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，1(0,0,2)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C ，22,,022D ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭，22,,022AD ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭，1(0,2,2)A C =-，1111cos ,2||AD A C AD A C AD A C ⋅∴==，即异面直线AD 与1A C 所成的角为π3.故选B.9.答案：B解析：建立如图所示的空间直角坐标系，由于123aA M AN ==，所以2,,33a a M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,,33a a N a ⎛⎫⎪⎝⎭，所以2,0,33a a MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭uuu r .又11C D ⊥平面11BB C C ，所以11(0,,0)C D a =uuuu r为平面11BB C C 的一个法向量.因为110MN C D ⋅=uuu r uuuu r ，所以11MN C D ⊥uuu r uuuu r ，又MN ⊂/平面11BB C C ，所以//MN 平面11BB C C .故选B.10.答案：AB解析：Q 平面,αβ不重合，∴平面,αβ的法向量平行等价于平面,αβ平行，故A 正确；易知B 正确；当1v n P 时，l α⊥，故C 错误；当1v n ⊥时，l αP 或l α⊂，故D 错误.11.答案：ABC 解析：2240AP AB ⋅=--+= ，AP AB ∴⊥，AP AB ∴⊥，A 对；4400AP AD ⋅=-++= ，AP AD ∴⊥，AP AD ∴⊥，B 对；AP AB ⊥ ，AP AD ⊥，AB AD A = ，AP ∴⊥平面ABCD ，AP ∴是平面ABCD 的一个法向量，C 对；(2,3,4)BD AD AB =-= ，设BD AP λ= ，即2,32 ,4,λλλ=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩方程组无解，D 错.故选ABC.12.答案：ACD解析：设正方体的棱长为2,则(2,0,0),(2,2,1),(1,0,2)A E F .所以(0,2,1),(1,0,2)AE AF ==-uu u ruuu r.设向量(,,)x y z =n 是平面AEF 的法向量,则20,20,AE y z AF x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩n n uu u r uuu r 取1y =,得2,4z x =-=-,则(4,1,2)=--n 是平面AEF 的一个法向量.结合其他选项,检验可知只有B 选项是平面AEF的法向量.13.答案：3解析：若//l α，则⊥a n ，所以2240x ⋅=-+=a n ，解得3x =.14.答案：2解析：易知PA AB ⊥,PA BC ⊥,AB BC ⊥，故以B 为坐标原点，BA ,BC 所在直线分别为x 轴，y 轴，过点B 且与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)B ，(2,0,0)A ，(2,0,2)P ，(0,2,0)C ，由M 为PC 的中点可得(1,1,1)M ，则(1,1,1)BM = ，(2,0,0)BA =，设(,,)x y z =n 为平面MBA 的一个法向量，则0,0,BA BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 即20,0,x x y z =⎧⎨++=⎩令1z =-，则1y =，所以(0,1,1)=-n ，所以点P 到平面MAB 的距离||2||BP d ⋅==n n .15.答案：63解析：由于平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形，四边形ABEF 是矩形，故AF ，AB ，AD 两两互相垂直，以A 为原点，AF ，AB ，AD的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则(0,0,0)A ，(,,0)G a a ，(0,2,0)B a ，(0,2,2)C a a ，所以(,,0)GB a a =-，(0,2,2)AC a a = ，(,,0)AG a a =，设平面AGC 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则220,0,AC ay az AG ax ay ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩n n 令1x =，得(1,1,1)=-n ，因此GB 与平面AGC 所成角的正弦值为||26|cos ,|3||||32GB a GB GB a⋅〈〉===⨯ n n n .16.答案：255解析：由题意得11//A B EF ，11A B ⊂/平面1D EF ，EF ⊂平面1D EF ，所以11//A B 平面1D EF ，则点G 到平面1D EF 的距离等于点1A 到平面1D EF 的距离.以D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Dxyz ，则1(0,0,2)D ，(2,0,1)E ，(2,2,1)F ，1(2,0,2)A ，所以1(2,0,1)D E =-uuu r ，1(2,2,1)D F =-uuur ，1(0,0,1)A E =-uuu r.设平面1D EF 的法向量为(,,)x y z =n ，则20,220,x z x y z -=⎧⎨+-=⎩令1x =，则0y =，2z =，所以平面1D EF 的一个法向量(1,0,2)=n .点1A 到平面1D EF 的距离为11225||55A E ⋅-⨯==n n uuu r ，即点G 到平面1D EF 的距离为255.17.（1）解析：如图，作AP CD ⊥于点P ，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，20,,02P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，22,,022D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，(0,0,2)O ，(0,0,1)M ，221,,044N ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.221,,144MN ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，20,,22OP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，22,,222OD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面OCD 的法向量为(,,)x y z =n ，则0OP ⋅= n ，0OD ⋅= n ，即220,22220,22y z x y z ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩取1z =，解得(0,22,1)=n .因为22(0,22,1)1,,1044MN ⎛⎫⋅=⋅--= ⎪ ⎪⎝⎭n ，所以MN ⊥ n ，又MN ⊂/平面OCD ，从而//MN 平面OCD .（2）答案：3π解析：设AB 与MD 所成的角为θ，因为(1,0,0)AB = ，22,,122MD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以||1cos 2||||AB MD AB MD θ⋅== ，解得3θπ=，从而AB 与MD 所成角的大小为3π.18.答案：(1)证明见解析(2)2k =解析：(1)如图，以O 为原点，OA ，OB ，OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，不妨设22AB =，则可得1222,0,A k ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，(1,1,0)E ，220,0,P k ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，(0,2,0)B ，(2,0,0)C -.(1)1221,1,A E k ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，(2,2,0)BC =-- ，220,2,PB k ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.设1A E xBC yPB =+ ，则22221,1,(2,2,0)0,2,x y k k ⎛⎫⎛⎫--=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得12x =，1y =，所以112A E BC PB =+ .因为BC PB B = ，1A E ⊄平面PBC ，所以1//A E 平面PBC .(2)由(1)知PBC △的重心2222,,333G k ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则2222,,333OG k ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.若点O 在平面PBC 内的投影恰好为PBC △的重心，则有0,0,OG BC OG PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 解得2k =.所以当2k =吋，点O 在平面PBC 内的投影恰好为PBC △的重心.19.解析：(1)如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系.设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则(0,0,0)D ，(2,2,0)B ，(0,2,1)E ，1(2,0,2)A ，(1,1,0)F ，(2,2,0)DB =，(0,2,1)DE = .证法1：1(1,1,2)A F =--，1(1,1,2)(2,2,0)0A F DB ⋅=--⋅= ，1(1,1,2)(0,2,1)0A F DE ⋅=--⋅=，所以1A F DB ⊥ ，1A F DE ⊥，故有1A F DB ⊥，1A F DE ⊥，又DB DE D = ，所以1A F ⊥平面EBD .证法2：设平面EBD 的法向量(,,)x y z =n ，则220,20,x y y z +=⎧⎨+=⎩令2z =，则1,1,x y =⎧⎨=-⎩所以(1,1,2)=-n ，因为1(1,1,2)A F =-- ，1A F =-n ，所以1//A Fn ，所以1A F ⊥平面EBD .(2)证法1：因为1A F ⊂平面11AA C C ，1A F ⊥平面EBD ，所以平面EBD ⊥平面11AA C C .证法2：平面11AA C C 的一个法向量1(2,2,0)DB ==n ，因为(1,1,2)=-n ，所以1(1,1,2)(2,2,0)0⋅=-⋅=n n ，所以平面EBD ⊥平面11AA C C .(3)因为(2,2,0)DB = ，(0,2,1)DE = ，设(2,2,0)(0,2,1)(2,22,)DH xDB yDE x y x x y y =+=+=+ ，又(0,2,0)C ，则(2,222,)CH x x y y =+- ，因为CH ⊥平面EBD ，所以//CH n ，而(1,1,2)=-n ，则2222112xx y y +-==-，解得16x =，23y =，152(2,22,),,333DH x x y y ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ，所以152,,333H ⎛⎫ ⎪⎝⎭.因为(1,1,0)F ，(0,2,1)E ，(1,1,1)FE =- ，222,,333FH ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以23FH FE = ，即点H 在线段EF 上，且满足:2:1FH HE =.。

空间向量的应用专题训练卷(含解析)

空间向量的应用专题训练卷一、单选题1．（2020·江苏如东�高一期末）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则直线1BC 与平面11BB DD 所成角的正弦值为（）A ．63B ．102C ．155D ．1052．（2020·河北新华�石家庄二中高一期末）在正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别为AD ，11C D 的中点，O 为侧面11BCC B 的中心，则异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为( ) A ．16B ．14C ．16-D ．14-3．（2020·辽宁高三其他（文））如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，AA 1=1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为（）A 6B 26C 15D 10 4．（2020·黑龙江道里�哈尔滨三中高三二模（理））已知四面体ABCD 中，AB ，BC ，BD 两两垂直，2BC BD ==AB 与平面ACD 所成角的正切值为12，则点B 到平面ACD 的距离为（） A 3B 23C 5D 255．（2020·山东省济南市莱芜第一中学高二月考）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为棱1CC 的中点，则直线1B M 与平面11A D M 所成角的正弦值是（）A ．215B ．25C ．35D ．456．（2018·浙江高三其他）如图，在长方体11112222A B C D A B C D -中，12111122A A A B B C ==，A ，B ，C 分别是12A A ，12B B ，12C C 的中点，记直线2D C 与1AD 所成的角为α，平面22A BCD 与平面11ABC D 所成二面角为β，则（）A ．cos cos αβ=B ．sin sin αβ=C ．cos cos t αβ>D ．sin sin αβ<7．（2020·浙江镇海中学高三三模）在三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱BC 上的点（不包括端点），记直线1B D 与直线AC 所成的角为1θ，直线1B D 与平面111A B C 所成的角为2θ，二面角111C A B D --的平面角为3θ，则（） A ．123θθθ<<B ．213θθθ<<C ．321θθθ<<D ．231θθθ<<8．（2020·浙江衢州�高二期末）在底面为锐角三角形的直三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱BC 的中点，记直线1B D与直线AC 所成角为1θ，直线1B D 与平面111A B C 所成角为2θ，二面角111C A B D --的平面角为3θ，则（）A ．2123,θθθθ<<B ．2123,θθθθ><C ．2123,θθθθ<>D ．2123,θθθθ>>9．（2020·浙江省杭州第二中学高三其他）空间线段AC AB ⊥，BD AB ⊥，且::1:3:1AC AB BD =，设CD 与AB 所成的角为α，CD 与面ABC 所成的角为β，二面角C AB D --的平面角为γ，则（） A ．2γβα≤≤B ．2γβα≤≤ C ．2γαβ≤≤D ．2γαβ≤≤10．（2020·四川高三三模（理））如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC ＝4，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为半圆弧的中点，若异面直线BD 和AB 1所成角的余弦值为23，则该几何体的体积为（）A ．16+8πB ．32+16πC ．32+8πD ．16+16π二、多选题11．（2019·江苏徐州�高二期末）下列命题中正确的是（）A ．,,,AB M N 是空间中的四点，若,,BA BM BN 不能构成空间基底，则,,,A B M N 共面 B ．已知{},,a b c 为空间的一个基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的基底 C ．若直线l 的方向向量为(1,0,3)e =，平面α的法向量为2(2,0,)3n =-，则直线//l αD ．若直线l 的方向向量为(1,0,3)e =，平面α的法向量为(2,0,2)n =-，则直线l 与平面α所成角的正弦512．（2020·山东平邑�高二期末）如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（）A ．()()2212AA AB ADAC ++=B ．()10AC AB AD ⋅-= C ．向量1B C 与1AA 的夹角是60°D ．1BD 与AC 所成角的余弦值为6313．（2020·福建厦门�高二期末）正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 、H 分别为1CC 、BC 、CD 、BB 、1BB 的中点，则下列结论正确的是（）A ．1B G BC ⊥ B ．平面AEF 平面111AAD D AD =C ．1//A H 面AEFD ．二面角E AF C --的大小为4π14．正三棱柱111ABC A B C -中，13AA =，则（） A ．1AC 与底面ABC 的成角的正弦值为12 B ．1AC 与底面ABC 的成角的正弦值为32 C ．1AC 与侧面11AA B B 3D ．1AC 与侧面11AA B B 的成角的正弦值为134三、单空题15．（2020·四川省南充市白塔中学高二月考（理））已知平面α的一个法向量10,,22n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，A α∈，P α∉，且31,,222PA ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭，则直线PA 与平面α所成的角为______． 16．（2019·河南高二竞赛）等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为33，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于． 17．（2019·安徽埇桥�北大附宿州实验学校高二期末（理））若平面α，β的法向量分别为(4,0,3)u =，(1,1,0)v =-，则这两个平面所成的锐角的二面角的余弦值为________.四、双空题18．（2020·浙江宁波�高二期末）在正四面体ABCD 中，M ，N 分别为棱BC 、AB 的中点，设AB a =，AC b =，AD c =，用a ，b ，c 表示向量DM =______，异面直线DM 与CN 所成角的余弦值为______.19．（2018·北京海淀�高二期末（理））已知棱长为1的正四面体ABCD ，O 为A 在底面BCD 上的正射影，如图建立空间直角坐标系，M 为线段AB 的中点，则M 点坐标是__________，直线DM 与平面BCD 所成角的正弦值是__________．20．（2020·山东德州�高二期末）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，11AA AC BC ===，则异面直线1BC 与11A B 所成角为______；二面角1A BC C --的余弦值是______.21. 如图，在三棱锥S ABC -中，SA SB SC ==，且2ASB BSC CSA π∠=∠=∠=，M 、N 分别是AB 和SC 的中点，则异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值为________，二面角A SC M --大小为________.五、解答题22．（2020·上海高三专题练习）如图，在棱长为1的立方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱11A D 的中点，H 为平面11AA D D 内的点.（1）若1C H ⊥平面BDE ，确定点H 的位置；（2）求点1C 到平面BDE 的距离.23．（2020·全国高二课时练习）在直三棱柱中，13AA AB BC ===，2AC =，D 是AC 的中点.（1）求证：1//B C 平面1A BD ；（2）求直线1B C 到平面1A BD 的距离.24．（2019·天津南开�崇化中学高二期中）如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形，侧面PCD ⊥底面ABCD ，且2PC PD ==，M ，N 分别为棱PC ，AD 的中点.（1）求证：BC PD ⊥；（2）求异面直线BM 与PN 所成角的余弦值；（3）求点N 到平面MBD 的距离.25．（2020·河南高三其他（理））《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早1000多年,在《九章算术》中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qian du );阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,鳖膈(bie nao )指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵111ABC A B C -中,AB AC ⊥.(1)求证:四棱锥11B A ACC -为阳马;(2)若12C C BC ==,当鳖膈1C ABC -体积最大时,求锐二面角11C A B C --的余弦值.26．（2019·浙江衢州�高二期中）四棱锥P ABCD -中，AP AC =，底面ABCD 为等腰梯形，//CD AB ，222AB CD BC ===，E 为线段PC 的中点，PC CB ⊥.（1）证明：AE ⊥平面PCB ；（2）若2PB =，求直线DP 与平面APC 所成角正弦值.27. （2020·武威第六中学高三其他（理））如图，四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//BC AD ，90BAD ∠=︒，222AD PD AB BC ====，M 为PA 的中点．（Ⅰ）求证：//BM 平面PCD（Ⅱ）若平面ABCD ⊥平面PAD ，异面直线BC 与PD 所成角为60°，且PAD △是钝角三角形，求二面角B PC D --的正弦值1．（2020·江苏如东高一期末）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则直线1BC 与平面11BB DD 所成角的正弦值为（）A ．63B ．102C ．155D ．105【答案】D 【解析】以D 点为坐标原点，以1,,DA DC DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则1(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),A B C C (0,2,1),1(2,0,1),(2,2,0),BC AC AC ∴=-=-为平面11BB D D 的一个法向量． 110cos ,58BC AC ∴<>==⋅． ∴直线1BC 与平面11BB DD 所成角的正弦值为105. 故选：D ．2．（2020·河北新华石家庄二中高一期末）在正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别为AD ，11C D 的中点，O 为侧面11BCC B 的中心，则异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为( ) A ．16B ．14C ．16-D ．14-【答案】A如图，以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则()()()()1100,012,121,002M N O D ，，，，，，，，， ∴()()11,1,2,1,2,1MN OD =-=--．则11111cos ,666MN OD MN OD MN OD ⋅===⋅． ∴异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为16,故选A ．3．（2020·辽宁高三其他（文））如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，AA 1=1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为（）A ．63B ．65C ．155D ．105【答案】D 【解析】以D 点为坐标原点，以DA 、DC 、1DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系则A （2，0，0），B （2，2，0），C （0，2，0），1C （0，2，1）∴1BC =（-2，0，1），AC =（-2，2，0），AC 且为平面BB 1D 1D 的一个法向量．∴1410cos ,558BC AC 〈〉==⋅．∴BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为105 4．（2020·黑龙江道里哈尔滨三中高三二模（理））已知四面体ABCD 中，AB ，BC ，BD 两两垂直，2BC BD ==，AB 与平面ACD 所成角的正切值为12，则点B 到平面ACD 的距离为（） A ．32B ．233C ．55D ．255【答案】D 【解析】以B 为原点，BC ，BD ，BA 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：设BAt ，0t >，()0,0,0B ，)2,0,0C ，()2,0D ，0,0,A t .0,0,AB t ，2,0,CAt ，2,2,0CD.设平面ACD 的法向量(),,n x y z =，则20220n CA x tz n CD x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1x =，得1y =，2z t =，故21,1,n t ⎛= ⎝⎭.因为直线AB 与平面ACD 所成角的正切值为12，所以直线AB 与平面ACD 5. 即2255211AB nAB nt t ⋅==⋅⋅++，解得2t =.所以平面ACD 的法向量21,1,2n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，故B 到平面ACD的距离为22551112AB n d n⋅===++.故选：D5．（2020·山东省济南市莱芜第一中学高二月考）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为棱1CC 的中点，则直线1B M 与平面11A D M 所成角的正弦值是（）A ．215B ．25C ．35D ．45【答案】B 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则1111(1,0,1),(0,0,1),(0,1,),(1,1,1)2A D M B11(1,0,0)=-A D ，11(0,1,)2=-D M ，11(1,0,)2=MB设平面11A D M 的法向量为(,,)m x y z =则1110=01002x A D m y z D M m -=⎧⎧⋅⎪⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎪⎩⎪⎩令1y =可得2z =，所以(0,1,2)=m 设直线1B M 与平面11A D M 所成角为θ，1112sin 5552θ⋅===⋅⨯m MB m MB故选：B6．（2018·浙江高三其他）如图，在长方体11112222A B C D A B C D -中，12111122A A A B B C ==，A ，B ，C 分别是12A A ，12B B ，12C C 的中点，记直线2D C 与1AD 所成的角为α，平面22A BCD 与平面11ABC D 所成二面角为β，则（）A ．cos cos αβ=B ．sin sin αβ=C ．cos cos t αβ>D ．sin sin αβ<【答案】B 【解析】连接111,AB B D ,如图，在长方体内知12//AB D C ,所以11B AD ∠为异面直线2D C 与1AD 所成的角为α，易知11AB D 为等边三角形，所以60α︒=，因为22A D ⊥平面22ABB A ,2AB ⊂平面22ABB A ，所以22A D ⊥2AB 又22AB A B ⊥，2222A D A B A =所以2AB ⊥平面22A BCD ，同理可得1B C ⊥平面11ABC D ，则2AB →，1B C →可分别视为平面22A BCD ，平面11ABC D 的一个法向量，又因为在长方体内易知21//AD B C ，而2260D AB ∠=︒ 故2AB →与1B C →的夹角为60︒，所以60β︒=或120β︒=，即sin sin αβ=，故选：B7．（2020·浙江镇海中学高三三模）在三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱BC 上的点（不包括端点），记直线1B D 与直线AC 所成的角为1θ，直线1B D 与平面111A B C 所成的角为2θ，二面角111C A B D --的平面角为3θ，则（）A ．123θθθ<<B ．213θθθ<<C ．321θθθ<<D ．231θθθ<<【答案】D 【解析】设三棱柱111ABC A B C -是棱长为2的正三棱柱，D 是棱BC 的中点，以A 为原点，在平面ABC 中，过A 作AC 的垂线为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()10,0,2A ，()13,1,2B ，()0,2,0C ，33,022D ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,0A ，()0,2,0AC =，131,22B D ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()113,1,0=A B ，直线1B D 与直线AC 所成的角为1θ，1111cos 25B D AC BD ACθ⋅∴==⋅直线1B D 与平面111A B C 所成的角为2θ，平面111A B C 的法向量()0,0,1n =，1212sin 5BD n BD nθ⋅∴==⋅2cos θ∴== 设平面11A B D 的法向量(),,m a b c =，则11130312022m AB a b m B D a b c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，取a =33,3,2m ⎛⎫=-- ⎪⎭，二面角111C A B D --的平面角为3θ，332cos 57m n m nθ⋅∴===⋅231cos cos cos θθθ>>， ∴231θθθ<<故选：D8．（2020·浙江衢州高二期末）在底面为锐角三角形的直三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱BC 的中点，记直线1B D 与直线AC 所成角为1θ，直线1B D 与平面111A B C 所成角为2θ，二面角111C A B D --的平面角为3θ，则（）A ．2123,θθθθ<<B ．2123,θθθθ><C ．2123,θθθθ<>D ．2123,θθθθ>>【答案】A 【解析】由题可知，直三棱柱111ABC A B C -的底面为锐角三角形，D 是棱BC 的中点，设三棱柱111ABC A B C -是棱长为2的正三棱柱，以A 为原点，在平面ABC 中，过A 作AC 的垂线为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()10,0,2A ，()13,1,2B ，()0,2,0C ，33,02D ⎫⎪⎪⎝⎭，()0,0,0A ，()0,2,0AC →=，131,222B D →⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，)113,1,0A B →=，直线1B D 与直线AC 所成的角为1θ，10,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，111cos 25B D ACB D ACθ→→→→⋅∴==⋅直线1B D 与平面111A B C 所成的角为2θ，20,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，平面111A B C 的法向量()0,0,1n →=，121sin 5B D nB D nθ→→→→⋅∴==⋅， 222cos 155θ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭设平面11A B D 的法向量(),,m a b c →=，则11130312022m A B ab m B D a bc ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，取a =33,2m →⎫=--⎪⎭，二面角111C A B D --的平面角为3θ，由图可知，3θ为锐角，即30,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 33cos m nm nθ→→→→⋅∴===⋅ 231cos cos cos θθθ>>，由于cos y θ=在区间()0,π上单调递减，∴231θθθ<<，则2123,θθθθ<<.故选：A.9．（2020·浙江省杭州第二中学高三其他）空间线段AC AB ⊥，BD AB ⊥，且::1:3:1AC AB BD =，设CD 与AB 所成的角为α，CD 与面ABC 所成的角为β，二面角C AB D --的平面角为γ，则（） A ．2γβα≤≤B ．2γβα≤≤ C ．2γαβ≤≤D ．2γαβ≤≤【答案】A 【解析】因为空间线段AC AB ⊥，BD AB ⊥，所以可将其放在矩形中进行研究，如图，绘出一个矩形，并以A 点为原点构建空间直角坐标系：因为::1:3:1AC AB BD =，所以可设AC x =，3AB x =，BD x =，则()0,0,0A ，0,3,0B x ，0,0,C x ，,3,0D x x ，,3,CD x x x ，0,3,0AB x ，0,3,CB x x ，故CD 与AB 所成的角α的余弦值229311cos α11113CD AB x CD ABx x，因为根据矩形的性质易知平面ABD ⊥平面ABC ，BD ⊥平面ABC ，所以二面角C AB D --的平面角为γ90，γ452，γ2cos22，所以BCD ∠即CD 与面ABC 所成的角β，故110cos β11CD CB CD CB ， 1103112112，所以2γβα≤≤，故选：A.10．（2020·四川高三三模（理））如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC ＝4，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为半圆弧的中点，若异面直线BD 和AB 1所成角的余弦值为23，则该几何体的体积为（）A ．16+8πB ．32+16πC ．32+8πD ．16+16π【答案】A 【解析】设D 在底面半圆上的射影为1D ，连接1AD 交BC 于O ，设1111A D B C O ⋂=. 依题意半圆柱体底面直径4,,90BC AB AC BAC ==∠=︒，D 为半圆弧的中点，所以1111,AD BC A D B C ⊥⊥且1,O O 分别是下底面、上底面半圆的圆心.连接1OO ，则1OO 与上下底面垂直，所以11,,OO OB OO OA OA OB ⊥⊥⊥，以1,,OB OA OO 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设几何体的高为()0h h >，则()()()()12,0,0,0,2,,0,2,0,2,0,B D h A B h -，所以()()12,2,,2,2,BD h AB h =--=-，由于异面直线BD 和1AB 所成的角的余弦值为23，所以212212388BD AB h BD AB h h ⋅==⋅+⋅+，即2222,16,483h h h h ===+. 所以几何体的体积为2112442416822ππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+. 故选：A二、多选题11．（2019·江苏徐州高二期末）下列命题中正确的是（）A ．,,,AB M N 是空间中的四点，若,,BA BM BN 不能构成空间基底，则,,,A B M N 共面 B ．已知{},,a b c 为空间的一个基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的基底 C ．若直线l 的方向向量为(1,0,3)e =，平面α的法向量为2(2,0,)3n =-，则直线//l αD ．若直线l 的方向向量为(1,0,3)e =，平面α的法向量为(2,0,2)n =-，则直线l 与平面α所成角的正弦5【答案】ABD 【解析】对于A ，,,,A B M N 是空间中的四点，若,,BA BM BN 不能构成空间基底，则,,BA BM BN 共面，则,,,A B M N 共面，故A 对；对于B ，已知{},,a b c 为空间的一个基底，则,,a b c 不共面，若m a c =+，则,,a b m 也不共面，则{},,a b m 也是空间的基底，故B 对；对于C ，因为21(2)+00+3=03e n ⋅=⨯-⨯⨯，则e n ⊥，若l α⊄，则//l α，但选项中没有条件l α⊄，有可能会出现l α⊂，故C 错；对于D ，∵cos ,e n e n e n =51022==⨯l 与平面α5，故D 对；故选：ABD ．12．（2020·山东平邑高二期末）如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（）A ．()()2212AA AB ADAC ++=B ．()10AC AB AD ⋅-= C ．向量1B C 与1AA 的夹角是60° D ．1BD 与AC 6【答案】AB 【解析】以顶点A 为端点的三条棱长都相等, 它们彼此的夹角都是60°，可设棱长为1,则11111cos602AA AB AA AD AD AB ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=()22221111=+2+2+2AA AB AD AA AB AD AA AB AB AD AA AD ++++⋅⋅⋅11113262=+++⨯⨯=而()()()22222222ACAB AD AB AD AB AD =+=++⋅121122362⎛⎫=++⨯=⨯= ⎪⎝⎭，所以A 正确.()()()11AC AB AD AA AB AD AB AD ⋅-⋅=++-2211AA AB AA AD AB AB AD AD AB AD =⋅-⋅+-⋅+⋅- =0,所以B 正确.向量11B C A D=, 显然1AA D △ 为等边三角形，则160AA D ∠=︒.所以向量1A D 与1AA 的夹角是120︒ ,向量1B C 与1AA 的夹角是120︒,则C 不正确又11=AD AA BD AB +-，AC AB AD =+ 则()211||=2AD AA A B B D =+-，()2||=3AC AB AD =+()()111AD AA AB BD AC AB AD ⋅=+-=+⋅所以11116cos ===6||||23BD AC BD AC BD AC ⋅⋅⨯，，所以D 不正确.故选：AB13．（2020·福建厦门高二期末）正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 、H 分别为1CC 、BC 、CD 、BB 、1BB 的中点，则下列结论正确的是（）A ．1B G BC ⊥ B ．平面AEF 平面111AAD D AD =C ．1//A H 面AEFD ．二面角E AF C --的大小为4π【答案】BC 【解析】由题可知，1B G 在底面上的射影为BG ，而BC 不垂直BG ，则1B G 不垂直于BC ，则选项A 不正确；连接1AD 和1BC ，E 、F 、G 、H 分别为1CC 、BC 、CD 、BB 、1BB 的中点，可知11////EF BC AD ，所以AEF ∆⊂平面1AD EF ，则平面AEF平面111AA D D AD =，所以选项B 正确；由题知，可设正方体的棱长为2，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，则各点坐标如下：()()()()()()12,0,0,0,2,0,0,2,1,2,0,2,2,2,1,1,2,0A C E A H F ()()()()110,2,1,1,2,0,1,0,1,0,0,2A H AF EF AA =-=-=-=，设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =，则00n AF n EF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即20x y x z -+=⎧⎨-=⎩，令1y =，得2,2x z ==，得平面AEF 的法向量为()2,1,2n =，所以10A H n ⋅=，所以1//A H 平面AEF ，则C 选项正确；由图可知，1AA ⊥平面AFC ，所以1AA 是平面AFC 的法向量，则1112cos ,3AA n AA n AA n⋅<>===⋅. 得知二面角E AF C --的大小不是4π，所以D 不正确. 故选：BC.14．正三棱柱111ABC A B C -中，13AA =，则（） A ．1AC 与底面ABC 的成角的正弦值为12 B ．1AC 与底面ABC 的成角的正弦值为32 C ．1AC 与侧面11AA B B 3D ．1AC 与侧面11AA B B 的成角的正弦值为134【答案】BC 【解析】如图，取11A C 中点E ，AC 中点F ，并连接EF ，则1EB ，1EC ，EF 三条直线两两垂直，则分别以这三条直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系；设2AB =；则123AA =； 1(0A ∴，1-，0)，1(0C ，1，0)，(0A ，1-，23)，(0C ，1，23)；1(3B ，0，0)， ∴()10,2,23AC =-．底面ABC 的其中一个法向量为：()0,0,23m =，1AC ∴与底面ABC 的成角的正弦值为111123cos ,2423m AC m AC m AC -<>===⨯⨯，； A ∴错B 对．11A B 的中点K 的坐标为3(2，12-，0)；∴侧面11AA B B 的其中一个法向量为：133,,022KC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭；1AC ∴与侧面11AA B B 的成角的正弦值为：11111133cos 4,43AC KC AC KC AC KC <>===⨯⨯，；故C 对D 错；故选：BC ．三、单空题15．（2020·四川省南充市白塔中学高二月考（理））已知平面α的一个法向量10,,22n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，A α∈，P α∉，且31,,222PA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，则直线PA 与平面α所成的角为______．【答案】π3【解析】设直线PA 与平面α所成的角为θ，则s 102342131022444in cos n PA n PAθθ===--⋅=⋅++++， ∴直线PA 与平面α所成的角为π3．故答案为：π3． 16．（2019·河南高二竞赛）等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为33，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于．【答案】16【解析】设AB =2,作CO ⊥面ABDEOH ⊥AB ，则CH ⊥AB ，∠CHO 为二面角C −AB −D 的平面角，CH =OH =CH cos ∠CHO =1，结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，3,11(),2212AN EM CH AN AC AB EM AC AE AN EM====+=-∴⋅=故EM ,AN 116=。

数学高考复习空间向量及其运算专题训练(含答案)

数学2021届高考复习空间向量及其运算专题训练（含答案）空间中具有大小和方向的量叫做空间向量，下面是空间向量及其运算专题训练，请考生及时练习。

一、选择题1.以下四个命题中正确的是().A.空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B.若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则{a+b，b+c，c+a}构成空间向量的另一组基底C.ABC为直角三角形的充要条件是=0D.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底解析若a+b、b+c、c+a为共面向量，则a+b=(b+c)+(c+a)，(1)a=(1)b+(+)c，，不可能同时为1，设1，则a=b+c，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量基底矛盾.答案 B2.若向量a=(1,1，x)，b=(1,2,1)，c=(1,1,1)，满足条件(ca)(2b)=2，则x= ().A.4B.2C.4D.2解析 a=(1,1，x)，b=(1,2,1)，c=(1,1,1)，ca=(0,0,1x)，2b=(2,4,2).(ca)(2b)=2(1x)=2，x=2.答案 D3.若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是().A.{a，a+b，ab}B.{b，a+b，ab}C.{c，a+b，ab}D.{a+b，ab，a+2b}解析若c、a+b、ab共面，则c=(a+b)+m(ab)=(+m)a+(m)b，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a+b，ab可构成空间向量的一组基底.答案 C4.如图所示，已知空间四边形OABC，OB=OC，且AOB=AOC=，则cos〈，〉的值为().A.0B.C. D.解析设=a，=b，=c，由已知条件〈a，b〉=〈a，c〉=，且|b|=|c|，=a(cb)=acab=|a||c||a||b|=0，cos〈，〉=0.答案 A5.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若=a，=b，=c，则下列向量中与相等的向量是().A.a+b+cB.a+b+cC.ab+cD.ab+c解析 =+=+()=c+(ba)=a+b+c.答案 A.如图，在大小为45的二面角AEFD中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是()A.B.C.1D.解析 =++，||2=||2+||2+||2+2+2+2=1+1+1=3，故||=.答案 D 二、填空题R，向量，且，则解析 .答案8. 在空间四边形ABCD中，++=________.解析如图，设=a，=b，=c，++=a(cb)+b(ac)+c(ba)=0.答案 0.已知ABCDA1B1C1D1为正方体，(++)2=32;()=0;向量与向量的夹角是60正方体ABCDA1B1C1D1的体积为||.其中正确命题的序号是________.解析由，，，得(++)2=3()2，故正确;中=，由于AB1A1C，故正确;中A1B与AD1两异面直线所成角为60，但与的夹角为120，故不正确;中||=0.故也不正确.答案10.如图，空间四边形OABC中，OA=8，AB=6，AC=4，BC=5，OAC=45，OAB=60，则OA与BC所成角的余弦值等于________. 解析设=a，=b，=c.OA与BC所成的角为，=a(cb)=acab=a(a+)a(a+)=a2+aa2a=2416.cos ===.答案三、解答题.已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足=(++).(1)判断、、三个向量是否共面;(2)判断点M是否在平面ABC内.解 (1)由已知++=3 ，即=+=，，，共面.(2)由(1)知，，，共面且基线过同一点M，四点M，A，B，C共面，从而点M在平面ABC内..把边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，点O是原正方形的中心，求：(1)EF的长;(2)折起后EOF的大小.如图，以O点为原点建立空间直角坐标系Oxyz，则A(0，a,0)，B(a,0,0)，C0，a,0)，D0,0，a)，E0，a，a)，F(a，a,0).(1)||2=2+2+2=a2，|EF|=a.(2)=，=，=0a++a0=，||=，||=，cos〈，〉==，EOF=120..如图，已知M、N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，且G为AM上一点，且GMGA=13.求证：B、G、N三点共线.证明设=a，=b，=c，则=a+(a+b+c)=a+b+c，=a+b+c=.∥，即B、G、N三点共线..如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB、AD、CD的中点，计算：(1)(2)(3)EG的长;(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值.解设=a，=b，=c.则|a|=|b|=|c|=1，〈a，b〉=〈b，c〉=〈c，a〉=60，(1)==ca，=a，=bc，=(a)=a2ac=，(2)=(ca)(bc)=(bcabc2+ac)=;(3)=++=a+ba+cb=a+b+c，||2=a2+b2+c2ab+bcca=，则||=.(4)=b+c，=+=b+a，cos〈，〉==，由于异面直线所成角的范围是(0，90]，所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.空间向量及其运算专题训练及答案的全部内容就是这些，查字典数学网预祝考生可以取得优异的成绩。

2022-2023学年高三年级新高考数学一轮复习专题-空间向量的应用(含答案)

空间向量的应用学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（本大题共3小题，共15.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若平面,的法向量分别取为=(2,3,5),=(-3,1,-4),则,的位置关系是（）A. 平行B. 垂直C. 相交但不垂直D. 重合2.已知两个不重合的平面与平面，若平面的法向量为，向量，，则（）A. 平面平面B. 平面平面C. 平面、平面相交但不垂直D. 以上均有可能3.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是（）A. 平行B. 相交C. 异面垂直D. 异面不垂直二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）4.如图，正三角形ABC与正三角形BCD所在的平面互相垂直，则直线CD与平面ABD所成角的正弦值为．5.已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，＝，＝，＝.则VA与平面PMN的位置关系是．6.如图,在直四棱柱ABCD-中,底面四边形ABCD为菱形,E,F分别为,的三等分点(==),若AB==6,BAD=,则点E到平面BDF的距离为 .7.如图，正方体的棱长为4，M为底面ABCD两条对角线的交点，P为平面内的动点，设直线PM与平面所成的角为，直线PD与平面所成的角为若，则动点P的轨迹长度为．8.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4，E为AB的中点，点F满足，动点M在侧面AA1D1D内运动，且MB∥平面D1EF，则|MD|的取值范围是 .9.如图，在正方体中，E为棱的中点，动点沿着棱DC从点D向点C移动，对于下列三个结论：①存在点P，使得；②的面积越来越小；③四面体的体积不变.所有正确的结论的序号是 .10.如图，在棱长为的正方体中，点为棱的中点，点为底面内一点，给出下列三个论断：①；②；③.以其中的一个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个正确的命题： .11.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，E，F，G分别为AB，AA1，A1C1的中点，则B1F与平面GEF所成角的正弦值为．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分。

高中数学空间向量的应用专题练习

所以是平面的一个法向量，
设二面角的平面角为，
则
．
平行于的直线为轴，建立空间直角坐标．
易知，得，
．
．
设平面的一个法向量为．
则即
令，得是平面的一个法向量．
又平面的一个法向量为，
．
二面角的大小为．
（3）轴，，．
点到平面的距离．
15．如图4，正方形中，分别是，的中点，是的中点，现沿及把这个正方形折成一个四面体，使三点重合，重合后的点记为．
则的坐标为，
，
从而．
设与的夹角为，
则，
与所成角的余弦值为；
（2）由于点在侧面内，故可设点坐标为，
则，
由面，可得
即
化简，得
即点的坐标为，从而点到的距离分别为．
15．如图2，底面是直角梯形的四棱锥，，底面，，，求面与面所成的二面角的余弦值．
解：如图所示建立空间直角坐标系，
答案：B
2．长方体中，，为与的交点，为与的交点，又，则长方体的高等于（）
A． B． C． D．
答案：C
3．已知点是平行四边形所在平面外一点，如果，，
．对于结论：
① ；② ；
③ 是平面的法向量；
④ ．
其中正确的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
答案：C
4．如图1，直三棱柱中，，，侧棱，侧面的两条对角线交点为，则面与面所成二面角的余弦值等于（）
解：，，
，
，，，
，，，
又，，
，，
．

2022-2023学年人教版高二数学阶段复习精练专题1-4 空间向量的应用(解析版)

专题1.4 空间向量的应用要点一法向量及其应用1.直线的方向向量：若A 、B 是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量。

2. 平面的法向量定义：已知平面，直线，取的方向向量，有，则称为为平面的法向量。

3.平面的法向量确定通常有两种方法：（1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量；（2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：（i ）设出平面的法向量为n=（x ，y ，z ）；（ii ）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标a=（a 1，b 1，c 1），b=（a 2，b 2，c 2）；（iii ）根据法向量的定义建立关于x 、y 、z 的方程；（iv ）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．要点二、用向量方法判定空间中的平行关系空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行。

（1）线线平行设直线，的方向向量分别是，，则要证明，只需证明，即。

（2）线面平行AB l AB l αl α⊥l a α⊥a a α00n a n b ⋅=⎧⎨⋅=⎩1l 2l a b 12//l l //a b ()k k =∈R a b线面平行的判定方法一般有三种：①设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明，即。

①根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量。

①根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可。

（3）面面平行①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可。

①若能求出平面，的法向量，，则要证明，只需证明。

2020高考精品系列之数学(理)专题11 空间向量与立体几何解答题(原卷版)

专题11空间向量与立体几何解答题考纲解读三年高考分析1.空间向量及其运算(1)了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.(3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.2.空间向量的应用(1)理解直线的方向向量与平面的法向量.(2)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.(3)能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).(4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.空间向量的计算和角度的求解是考查的重点，解题时常用到空间直角坐标系的建立、点和向量坐标的计算与应用，考查学生的数学抽象能力、数学建模能力、数学运算能力、直观想象能力，题型以选择填空题和解答题为主，中等难度.1、主要考查与点、线、面位置关系有关的命题真假判断和求解异面直线所成的角，题型主要以选择题和填空题的形式出现，解题要求有较强的空间想象能力和逻辑推理能力.2、空间向量是高考中的必考内容，涉及用向量法计算空间异面直线所成角、直线和平面所成角、二面角及空间距离等内容，考查热点是空间角的求解．题型以解答题为主，要求有较强的运算能力，广泛应用函数与方程的思想、转化与化归思想.1．【2019年天津理科17】如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE ＝BC＝2．（Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；（Ⅱ）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角E﹣BD﹣F的余弦值为，求线段CF的长．2．【2019年新课标3理科19】图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°．将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2．（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求图2中的二面角B﹣CG﹣A的大小．3．【2019年全国新课标2理科17】如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE＝A1E，求二面角B﹣EC﹣C1的正弦值．4．【2019年新课标1理科18】如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A﹣MA1﹣N的正弦值．5．【2019年北京理科16】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，P A＝AD＝CD＝2，BC＝3．E为PD的中点，点F在PC上，且．（Ⅰ）求证：CD⊥平面P AD；（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣P的余弦值；（Ⅲ）设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．6．【2019年江苏16】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．7．【2019年浙江19】如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点．（Ⅰ）证明：EF⊥BC；（Ⅱ）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．8．【2018年江苏15】在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1．求证：（1）AB∥平面A1B1C；（2）平面ABB1A1⊥平面A1BC．9．【2018年江苏25】如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC 的中点．（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．10．【2018年新课标1理科18】如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF．（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．11．【2018年新课标2理科20】如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝2，P A＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角M﹣P A﹣C为30°，求PC与平面P AM所成角的正弦值．12．【2018年新课标3理科19】如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）当三棱锥M﹣ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．13．【2018年浙江19】如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC ＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2．（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．14．【2018年上海17】已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO＝4，OA、OB是底面半径，且∠AOB＝90°，M为线段AB的中点，如图．求异面直线PM与OB所成的角的大小．15．【2018年北京理科16】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB＝BC，AC＝AA1＝2．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF；（Ⅱ）求二面角B﹣CD﹣C1的余弦值；（Ⅲ）证明：直线FG与平面BCD相交．16．【2018年天津理科17】如图，AD∥BC且AD＝2BC，AD⊥CD，EG∥AD且EG＝AD，CD∥FG 且CD＝2FG，DG⊥平面ABCD，DA＝DC＝DG＝2．（Ⅰ）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN∥平面CDE；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣F的正弦值；（Ⅲ）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长．17．【2017年江苏15】如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．18．【2017年江苏18】如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．19．【2017年江苏25】如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA1，∠BAD＝120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．20．【2017年新课标1理科18】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°．（1）证明：平面P AB⊥平面P AD；（2）若P A＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．21．【2017年新课标2理科19】如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面P AD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点．（1）证明：直线CE∥平面P AB；（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．22．【2017年新课标3理科19】如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D ﹣AE﹣C的余弦值．23．【2017年浙江19】如图，已知四棱锥P﹣ABCD，△P AD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC ∥AD，CD⊥AD，PC＝AD＝2DC＝2CB，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：CE∥平面P AB；（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．24．【2017年上海17】如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小．25．【2017年北京理科16】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面P AD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，P A＝PD，AB＝4．（1）求证：M为PB的中点；（2）求二面角B﹣PD﹣A的大小；（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．26．【2017年天津理科17】如图，在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥底面ABC，∠BAC＝90°．点D，E，N分别为棱P A，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，P A＝AC＝4，AB＝2．（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；（Ⅲ）已知点H在棱P A上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长．1．【陕西省西北工业大学附属中学2019届高三考前模拟】如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD 是菱形，3ABC π∠=，四边形ABEF 是直角梯形，2FAB π∠=，AF BE P ，22AF AB BE ===.（Ⅰ）证明：CE P 平面ADF .（Ⅱ）若平面ABCD ⊥平面ABEF ，H 为DF 的中点，求平面ACH 与平面ABEF 所成锐二面角的余弦值.2．【山东省淄博市部分学校2019届高三5月阶段性检测】已知正方形的边长为4,,E F 分别为,AD BC 的中点，以EF 为棱将正方形ABCD 折成如图所示的60o 的二面角，点M 在线段AB 上．（1）若M 为AB 的中点，且直线MF ，由,,A D E 三点所确定平面的交点为O ，试确定点O 的位置，并证明直线//OD 平面EMC ；（2）是否存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60o ；若存在，求此时二面角M EC F --的余弦值，若不存在，说明理由．3．【陕西省汉中市2019届高三全真模拟】如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，//EF AB ，90BAF ∠=︒，2AD =，1AB AF ==，点P 在线段DF 上.（1）求证：AF ⊥平面ABCD ；（2）若二面角D AP C --的余弦值为63，求PF 的长度. 4．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】如图，三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，12AA AC CB ==，90ACB ∠=︒.（1）求证：平面11AB C ⊥平面11A B C ；（2）若1A A 与平面ABC 所成的线面角为60︒，求二面角11C AB C --的余弦值.5．【辽宁省葫芦岛市普通高中2019届高三第二次模拟】如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD .四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，且//AD BC ，ABD ∆是边长为1的等边三角形，M 为线段BD 中点，3BC =.(1)求证：AF BD ⊥；(2)求直线MF 与平面CDE 所成角的正弦值；(3)线段BD 上是否存在点N ，使得直线//CE 平面AFN ？若存在，求BNBD的值；若不存在，请说明理由.6．【山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校级联合】如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面AEFG 所截后得到的，其中45BAE GAD ∠=∠=︒，22AB AD ==，60BAD ∠=︒.（1）求证：平面BDG ⊥平面ADG ；（2）求直线GB 与平面AEFG 所成角的正弦值.7．【内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试（一)】如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 、F 、G 分别是BC 、11B C 、1AA 、1CC 中点.且22AB AC ==，14BC AA ==.（1）求证：BC ⊥平面ADE ；（2）求二面角1G EF B --的余弦值.8．【广东省肇庆市2019届高中毕业班第三次统一检测】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是菱形，160BAA ∠=︒，E 是棱1BB 的中点，CA CB =，F 在线段AC 上，且2AF FC =.（1）证明：1//CB 面1A EF ；（2）若CA CB ⊥，面CAB ⊥面11ABB A ，求二面角1F A E A --的余弦值． 9．【山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷】如图，在三棱锥V ABC -中，,90,2VC AB ABC AB BC ︒<∠===，侧面ACV ⊥底面ABC ，45ACV ︒∠=，D 为线段AB 上一点，且满足AD CV =.（1）若E 为AC 的中点，求证：BE CV ⊥；（2）当DV 最小时，求二面角A BC V --的余弦值.10．【河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷】如图，在几何体1111ACD A B C D -中，四边形1111ADD A CDD C ，为矩形，平面11ADD A ⊥平面11CDD C ，11B A ⊥平面11ADD A ，1111,2AD CD AA A B ====，E 为棱1AA 的中点.（Ⅰ）证明：11B C ⊥平面1CC E ；（Ⅱ）求直线11B C 与平面1B CE 所成角的正弦值.11．【安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测】已知：在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，12AB BC CD AD ===，G 是PB 的中点，PAD ∆是等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD .（Ⅰ）求证：CD ⊥平面GAC ；（Ⅱ）求二面角P AG C --的余弦值.12．【湖北部分重点中学2020届高三年级新起点考试】如图四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，,PB BC PD CD ⊥⊥，且PA AB =，E 为PD 中点.（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；（2）求二面角A BE C --的正弦值.13．【江西省鹰潭市2019届高三第一次模拟】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，AC CD ⊥，60ABC ∠=︒，PA AB BC ==，E 是PC 的中点．（1）求PB 和平面PAD 所成的角的大小．（2）求二面角A PD C --的正弦值．14．【山东省实验中学等四校2019届高三联合考试】如图在直角ABC ∆中，B 为直角，2AB BC =，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，将AEF ∆沿EF 折起，使点A 到达点D 的位置，连接BD ，CD ，M 为CD 的中点．（Ⅰ）证明：MF ⊥面BCD ；（Ⅱ）若DE BE ⊥，求二面角E MF C --的余弦值．15．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试】已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PD PB =,H 为PC 上的点，过AH 的平面分别交PB ，PD 于点M ，N ，且//BD 平面AMHN ．（1）证明：MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点，3PA PC AB ==，PA 与平面ABCD 所成的角为60︒，求AD 与平面AMHN 所成角的正弦值．1．已知三棱锥P ﹣ABC 中，△ABC 为等腰直角三角形，AB ＝AC ＝1，，设点E 为P A中点，点D 为AC 中点，点F 为PB 上一点，且PF ＝2FB ．（1）证明：BD ∥平面CEF ；（2）若P A ⊥AC ，求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值．2．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，点E 是边AD 上的一点，且AE ＝2ED ，点H 是BE 的中点，将△ABE 沿着BE 折起，使点A 运动到点S 处，且有SC ＝SD ．（1）证明：SH ⊥平面BCDE ．（2）求二面角C ﹣SB ﹣E 的余弦值．3．如图，在斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面A 1ABB 1⊥底面ABC ，侧棱A 1A 与底面ABC 所成角为60°，AA 1＝AB ＝2，底面△ABC 是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，点G 为△ABC 的重心，点E在BC1上，且．（Ⅰ）求证：GE∥平面A1ABB1；（Ⅱ）求平面B1GE与平面ABC所成锐二面角的余弦值．4．已知：在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，，G是PB的中点，△P AD是等边三角形，平面P AD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面GAC；（Ⅱ）求二面角P﹣AG﹣C的余弦值．5．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC是边长为4的等边三角形，平面P AB⊥平面ABC，，点M为棱BC的中点，点N在棱PC上且满足，已知使得异面直线MN与AC所成角的余弦值为的λ有两个不同的值λ1，λ2（λ1＜λ2）．（1）求λ1，λ2的值；（2）当λ＝λ1时，求二面角N﹣AM﹣C的余弦值．。

1 空间向量及其线性运算(原卷版)

专题1.1 空间向量及其线性运算【玩前必备】知识点一空间向量的概念1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． 2．长度或模：向量的大小． 3．表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a ，b ，c ，…表示；若向量a 的起点是A ，终点是B ，也可记作AB →，其模记为|a |或|AB →|.4．几类特殊的空间向量知识点二空间向量的线性运算知识点三 1．空间两个向量共线的充要条件对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . 2．直线的方向向量在直线l 上取非零向量a ，我们把与向量a 平行的非零向量称为直线 l 的方向向量．知识点四共面向量 1．共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA →所在的直线OA 与直线l 平行或重合，那么称向量a 平行于直线l .如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．2．向量共面的充要条件如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .【玩转题型】【题型1 空间向量概念的理解】【例1】（2020秋•仙桃期末）给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量a →，b →满足|a →|＝|b →|，则a →=b →；④若空间向量m →，n →，p →满足m →=n →，n →=p →，则m →=p →；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为（） A ．4B ．3C ．2D ．1【变式1-1】（2020秋•红岗区校级期中）下列说法中正确的是（） A ．若|a →|＝|b →|，则a →、b →的长度相同，方向相同或相反B ．若向量a →是向量b →的相反向量，则|a →|＝|b →|C ．空间向量的减法满足结合律D ．在四边形ABCD 中，一定有AB →+AD →=AC →【变式1-2】[多选题]（2020秋•江阴市校级月考）下面的命题正确的有（） A ．方向相反的两个非零向量一定共线B ．单位向量都相等C ．若a →，b →满足|a →|＞|b →|且a →与b →同向，则a →＞b →D ．若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则“AB →=DC →”⇔“四边形ABCD 是平行四边形” 【变式1-3】[多选题]下列命题中为真命题的是（） A ．向量AB →与BA →的长度相等B ．将空间中所有单位向量的起点移到同一点，则它们的终点构成一个圆C ．空间向量就是空间中的一条有向线段D ．方向相同且模相等的两个向量是相等向量【题型2 空间向量的加减运算】【例2】（2020秋•南开区校级月考）若A ，B ，C ，D 为空间任意四个点，则AB →+DA →−DC →=（） A ．CB →B ．BC →C ．BD →D ．AC →【变式2-1】[多选题]（2020秋•龙岩期末）在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为AC 1→的是（） A ．AA 1→−B 1C 1→+D 1C 1→B ．AB →+BC →+CC 1→C ．AB →−C 1C →+B 1C 1→D ．AA 1→+DC →+B 1C 1→【变式2-2】在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，化简：DA →−DB →+B 1C →−B 1B →+A 1B 1→−A 1B →= ．【变式2-3】在四棱柱ABCD ﹣A 'B 'C 'D '中，底面ABCD 为矩形，化简下列各式．（1）AB →+BB′→−D′A′→+D′D →−BC →．（2）AC′→−AC →+AD →−AA′→．【题型3 空间向量的线性运算】【例3】（2020秋•仓山区校级期末）已知三棱锥O ﹣ABC ，点M ，N 分别为AB ，OC 的中点，且OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →用a →，b →，c →表示MN →，则MN →等于（）A ．12（b →+c →−a →） B ．12（a →+b →+c →）C ．12（a →−b →+c →） D ．12（c →−a →−b →）【变式3-1】（2021春•成都期中）如图，在三棱锥S ﹣ABC 中，点E ，F 分别是SA ，BC 的中点，点G 在棱EF 上，且满足EG GF=12，若SA →=a →，SB →=b →，SC →=c →，则SG →=（）A ．13a →−12b →+16c → B ．13a →+16b →+16c → C ．16a →−13b →+12c → D ．13a →−16b →+12c →【变式3-2】（2020秋•长安区校级期末）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点M 是棱CC 1的中点，连结B 1M ，BC 1交于点P ，则（）A ．AP →=23AB →+23AD →+AA 1→B ．AP →=AB →+23AD →+23AA 1→C ．AP →=23AB →+AD →+23AA 1→D ．AP →=AB →+12AD →+12AA 1→【变式3-3】（2020秋•西夏区校级月考）如图，在空间四边形OABC 中，OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 的中点，则用向量a →，b →，c →表示向量MN →= ．【题型4 空间向量的线性运算（求参数）】【例4】（2020秋•栖霞区校级月考）如图所示，平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D上，且BE =13BB 1，DF =23DD 1．若EF →=x AB →+y AD →+z AA 1→，则x +y +z 等于（）A ．﹣1B ．0C ．13D ．1【变式4-1】（2020秋•新市区校级期末）在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若AC 1→=aAB →+2bAD →+3cA 1A →，则abc 的值等于（） A ．16B ．56C ．76D ．−16【变式4-2】（2020秋•唐山期末）在三棱锥P ﹣ABC 中，点M 为线段BC 的中点，AM →=xPA →+yPB →+zPC →，则x +y +z ＝（） A ．0B ．12C ．1D ．﹣1【变式4-4】（2020秋•和平区校级期中）如图，在空间四边形ABCD 中，AB →=a →−2c →，CD →=5a →+6b →−8c →，棱AC ，BD ，BC 的中点分别为E ，F ，G ，若FE →=−3a →−3b →+λc →，则λ＝．【题型5 向量共线的判定及应用】【例5】满足下列条件，能说明空间不重合的A ，B ，C 三点共线的是（） A ．AB →+BC →=AC →B ．AB →−BC →=AC →C ．AB →=BC →D ．|AB →|＝|BC →|【变式5-1】（2020秋•南昌期末）已知非零向量a →、b →，且AB →=a →+2b →，BC →=−5a →+6b →，CD →=7a →−2b →，则一定共线的三点是（） A ．A 、B 、DB ．A 、B 、CC ．B 、C 、DD ．A 、C 、D【变式5-2】（2020秋•镜湖区校级期末）在四面体O ﹣ABC 中，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 的中点，若OG →=13OA →+x4OB →+x4OC →，则使G 与M ，N 共线的x 的值为（） A ．1B ．2C ．23D ．43【变式5-3】（2020秋•河西区校级月考）设e 1→，e 2→是空间两个不共线的向量，已知AB→=e 1→+k e 2→，BC→=5e 1→+4e 2→，DC →=−e 1→−2e 2→，且A ，B ，D 三点共线，则实数k ＝．【题型6 向量共面的判定及应用】【例6】（2020秋•运城期末）O 为空间任意一点，A ，B ，C 三点不共线，若OP →=13OA →+12OB →+16OC →，则A ，B ，C ，P 四点（） A ．一定不共面B ．不一定共面C ．一定共面D ．无法判断【变式6-1】（2020秋•渭滨区期末）已知P 为空间中任意一点，A 、B 、C 、D 四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且PA →=23PB →−xPC →+16BD →，则实数x 的值为（） A ．13B ．−13C ．16D ．−16【变式6-2】（2020秋•隆德县期末）已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由向量OP →=15OA →+23OB →+λOC →确定的点P 与A ，B ，C 共面，那么λ＝．【变式6-3】如图所示，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE =13BB 1，DF =23DD 1．（1）证明：A ，E ，C 1，F 四点共面；（2）试用AB →，AD →，AA 1→表示EF →．【课后检测】一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2021春•秦淮区校级期中）如图，空间四边形OABC 中，OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，点M 为OA 的中点，点N 在线段BC 上，且CN ＝2NB ，则MN →=（）A ．12a →−23b →−13c → B ．−13a →+12b →+23c → C ．23a →−12b →+13c →D ．−12a →+23b →+13c →2．（3分）（2021春•青铜峡市校级月考）在三棱锥O ﹣ABC 中，OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，AM →=2MO →，N 为BC 中点，则MN →=（） A ．12a →−23b →+12c →B ．−13a →+12b →+12c →C ．12a →+12b →−12c →D ．13a →+23b →−12c →3．（3分）（2020秋•沈阳期末）在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，BC →+DD 1→−AB →=（） A ．BD 1→B ．D 1B →C ．DB 1→D ．B 1D →4．（3分）如图所示空间四边形ABCD ，连接AC 、BD ，设M 、G 分别是BC 、CD 的中点，则MG →−AB →+AD →等于（）A ．32DB →B ．3 MG →C ．3 GM →D ．2 MG →5．（3分）（2020秋•肥城市期中）如图，已知平行六面体ABCD ﹣A 'B 'C 'D '，点E 是CC '的中点，下列结论中错误的是（）A ．AB →+AD →=AC →B ．AB →−AA′→=BA′→C ．AB →+AD →+AA′→=AC′→D ．AB →+BC →+12CC′→=AE →6．（3分）（2020秋•淄博期末）如图所示，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点F 是侧面CDD 1C 1的中心，若AF →=x AD →+y AB →+z AA 1→，求x +y +z ＝（）A ．1B ．32C ．2D ．527．（3分）（2020秋•宁波期末）已知O ﹣ABC 为空间四面体，P 为底面ABC 上一点，且满足2AP →=xOA →+yOB →+zOC →，则以下等式一定成立的是（） A ．x +y +z ＝1B ．x +y +z ＝0C ．x +y +z ＝﹣1D ．x +y +z =128．（3分）（2020秋•聊城期中）在四面体OABC 中，空间的一点M 满足OM →=12OA →+16OB →+λOC →，若MA →，MB →，MC →共面，则λ＝（） A ．12B ．13C ．512D ．712二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2020秋•菏泽期中）在平行六面体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，与向量AB →相等的向量有（） A ．CD →B ．A′B′→C ．D′C′→D ．BC →10．（4分）已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AC 1的中点为O ，则下列互为相反向量的是（）A ．OA →+OD →与OB 1→+OC 1→B ．OB →−OC →与OA 1→−OD 1→C ．OA 1→−OA →与OC →−OC 1→D ．OA →+OB →+OC →+OD →与OA 1→+OB 1→+OC 1→+OD 1→11．（4分）在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为AC 1→的是（） A ．AB →+BC →+CC 1→B ．AA 1→+B 1C 1→+D 1C 1→C ．AB →−C 1C →+B 1C 1→D ．AA 1→+DC →+B 1C 1→12．（4分）（2020秋•天宁区校级期中）下列条件中，使点P 与A ，B ，C 三点一定共面的是（） A ．PC →=13PA →+23PB →B ．OP →=13OA →+13OB →+13OC →C ．OP →=OA →+OB →+OC →D ．OP →+OA →+OB →+OC →=0→三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2020秋•西夏区校级月考）如图，在空间四边形OABC 中，OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 的中点，则用向量a →，b →，c →表示向量MN →= ．14．（4分）（2020春•上饶校级期中）已知点P 和不共线三点A ，B ，C 四点共面且对于空间任一点O ，都有OP →=−2OA →+OB →+λOC →，则λ＝．15．（4分）（2020秋•泰安期末）在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若 AC 1→=a AB →+2b AD →+3c A 1A →，则abc ＝． 16．（4分）（2020秋•都匀市校级期中）设e 1→，e 2→是两个不共线的空间向量，若AB→=2e 1→−e 2→，BC→=3e 1→+3e 2→，CD →=e 1→+ke 2→，且A ，C ，D 三点共线，则实数k 的值为．四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）如图，在空间四边形ABCD 中，连接AC ，BD ，E ，F 分别是边AC ．BD 的中点，设AB →=a →−2c →，CD →=5a →+6b →−8c →，试用a →，b →，c →表示EF →．18．（6分）如图，已知空间四边形ABCD ，E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，F ，G 分别是边CB ，CD 上的点，且CF →=23CB →，CG →=23CD →．用向量法求证：四边形EFGH 是梯形．19．（8分）已知A ，B ，C 三点不共线，点O 是平面ABC 外的任意一点，若点P 分别满足下列关系：（1）OA →+2OB →=6OP →−3OC →；（2）OP →+OC →=4OA →−OB →．试判断点P 是否与点A ，B ，C 共面．20．（8分）如图所示，在底面为平行四边形的四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，设M 是上底面A 1B 1C 1D 1的中心．（1）化简AA 1→+12（AD →+AB →）；（2）若BM →=x AB →+y AD →+z AA 1→，求实数x ，y ，z 的值．21．（8分）（2020秋•沈河区校级月考）如图，在空间四边形SABC 中，AC 、BS 为其对角线，O 为△ABC的重心，试证：（1）OA →+OB →+OC →=0→；（2）SO →=13(SA →+SB →+SC →)．22．（8分）（2020秋•德州期中）如图所示，已知几何体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是平行六面体．（1）化简12AA 1→+BC →+23AB →结果用EF →表示并在图上标出该结果（点明E ，F 的具体位置）；（2）设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC 1B 1对角线BC 1上的点，且C 1N =14C 1B ，设MN →=αAB →+βAD →+γAA 1→，试求α，β，γ的值．。

空间向量在立体几何中的应用和习题(含答案)

空间向量在立体几何中的应用：(1)直线的方向向量与平面的法向量：①如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使得a t OA OP +=，其中向量a 叫做直线的方向向量．由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定．②如果直线l ⊥平面α ，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α 的法向量．由此可知，给定一点A 及一个向量a ，那么经过点A 以向量a 为法向量的平面惟一确定． (2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系：设直线l ，m 的方向向量分别是a ，b ，平面α ，β 的法向量分别是u ，v ，则 ①l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝k b ，k ∈R ； ②l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0； ③l ∥α ⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0；④l ⊥α ⇔a ∥u ⇔a ＝k u ，k ∈R ； ⑤α ∥⇔u ∥v ⇔u ＝k v ，k ∈R ； ⑥α ⊥β ⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0．(3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题：①异面直线所成的角：设a ，b 是两条异面直线，过空间任意一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′与b ′所夹的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角．设异面直线a 与b 的方向向量分别是v 1，v 2，a 与b 的夹角为θ ，显然],2π,0(∈θ则⋅=><⋅|||||||,cos |212121v v v v v v②直线和平面所成的角：直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面的射影所成的角．设直线a 的方向向量是u ，平面α 的法向量是v ，直线a 与平面α 的夹角为θ ，显然]2π,0[∈θ，则⋅=><⋅|||||||,cos |v u v u v u③二面角及其度量：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．记作α －l －β 在二面角的棱上任取一点O ，在两个半平面分别作射线OA ⊥l ，OB ⊥l ，则∠AOB 叫做二面角α －l －β 的平面角．利用向量求二面角的平面角有两种方法：方法一：如图，若AB ，CD 分别是二面角α －l －β 的两个面与棱l 垂直的异面直线，则二面角α －l －β 的大小就是向量CD AB 与的夹角的大小．方法二：如图，m 1，m 2分别是二面角的两个半平面α ，β 的法向量，则〈m 1，m 2〉与该二面角的大小相等或互补．(4)根据题目特点，同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题．【例题分析】例1 如图，在长方体OAEB －O 1A 1E 1B 1中，OA ＝3，OB ＝4，OO 1＝2，点P 在棱AA 1上，且AP ＝2P A 1，点S 在棱BB 1上，且B 1S ＝2SB ，点Q ，R 分别是O 1B 1，AE 的中点，求证：PQ ∥RS ．【分析】建立空间直角坐标系，设法证明存在实数k ，使得.RS k PQ =解：如图建立空间直角坐标系，则O (0，0，0)，A (3，0，0)，B (0，4，0)，O 1(0，0，2)，A 1(3，0，2)，B 1(0，4，2)，E (3，4，0)．∵AP ＝2P A 1， ∴),34,0,0()2,0,0(32321===AA AP ∴⋅)34,0,3(P同理可得：Q (0，2，2)，R (3，2，0)，⋅)32,4,0(S,)32,2,3(RS PQ =-=∴RS PQ //，又R ∉PQ ，∴PQ ∥RS ．【评述】1、证明线线平行的步骤： (1)证明两向量共线；(2)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上即可．2、本体还可采用综合法证明，连接PR ，QS ，证明PQRS 是平行四边形即可，请完成这个证明．例2 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，E ，F 分别是棱A 1D 1，A 1B 1，D 1C 1，B 1C 1的中点，求证：平面AMN ∥平面EFBD ．【分析】要证明面面平行，可以通过线线平行来证明，也可以证明这两个平面的法向量平行．解法一：设正方体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (4，0，0)，M (2，0，4)，N (4，2，4)，B (4，4，0)，E (0，2，4)，F (2，4，4)．取MN 的中点K ，EF 的中点G ，BD 的中点O ，则O (2，2，0)，K (3，1，4)，G (1，3，4)．MN ＝(2，2，0)，EF ＝(2，2，0)，AK ＝(－1，1，4)，OG ＝(－1，1，4)，∴MN ∥EF ，OG AK =，∴MN//EF ，AK//OG ，∴MN ∥平面EFBD ，AK ∥平面EFBD ， ∴平面AMN ∥平面EFBD ．解法二：设平面AMN 的法向量是a ＝(a 1，a 2，a 3)，平面EFBD 的法向量是 b ＝(b 1，b 2，b 3)．由,0,0==⋅⋅AN AM a a得⎩⎨⎧=+=+-,042,0423231a a a a 取a 3＝1，得a ＝(2，－2，1)．由,0,0==⋅⋅BF DE b b 得⎩⎨⎧=+-=+,042,0423132b b b b 取b 3＝1，得b ＝(2，－2，1)．∵a ∥b ，∴平面AMN ∥平面EFBD ．注：本题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以证明，请试一试．例3 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 是棱A 1B 1，B 1B 的中点，求异面直线AM 和CN 所成角的余弦值．解法一：设正方体的棱长为2，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (2，0，0)，M (2，1，2)，C (0，2，0)，N (2，2，1)．∴),1,0,2(),2,1,0(==CN AM设AM 和CN 所成的角为θ ，则,52||||cos ==⋅CN AM CNAM θ∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是⋅52 解法二：取AB 的中点P ，CC 1的中点Q ，连接B 1P ，B 1Q ，PQ ，PC ．易证明：B 1P ∥MA ，B 1Q ∥NC ，∴∠PB 1Q 是异面直线AM 和CN 所成的角．设正方体的棱长为2，易知,6,52211=+===QC PC PQ Q B P B∴,522cos 11221211=-+=⋅Q B P B PQ Q B P B Q PB∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是⋅52【评述】空间两条直线所成的角是不超过90°的角，因此按向量的夹角公式计算时，分子的数量积如果是负数，则应取其绝对值，使之成为正数，这样才能得到异面直线所成的角(锐角)．例4 如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为a 2，求直线AC 1与平面ABB 1A 1所成角的大小．【分析】利用正三棱柱的性质，适当建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标．求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，再用向量方法计算；二是利用平面ABB 1A 1的法向量求解．解法一：如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (0，a ，0)，),2,0,0(1a A⋅-)2,2,23(1a a a C 取A 1B 1的中点D ，则)2,2,0(a aD ，连接AD ，C 1D ．则),2,0,0(),0,,0(),0,0,23(1a AA a AB aDC ==-= ,0,0111==⋅⋅AA DC AB DC∴DC 1⊥平面ABB 1A 1，∴∠C 1AD 是直线AC 1与平面ABB 1A 1所或的角．),2,2,0(),2,2,23(1a aAD a a a AC =-= 23||||cos 111==∴AD AC AD C ， ∴直线AC 1与平面ABB 1A 1所成角的大小是30°．解法二：如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (0，a ，0)，A 1(0，0，a 2)，)2,2,23(1a aa C -，从而⋅-===)2,2,23(),2,0,0(),0,,0(11a aa AC a AA a AB 设平面ABB 1A 1的法向量是a ＝(p ，q ，r )，由,0,01==⋅⋅AA AB a a得⎩⎨⎧==,02,0ar aq 取p ＝1，得a ＝(1，0，0)．设直线AC 1与平面ABB 1A 1所成的角为],2π,0[,∈θθ.30,21|||||||,cos |sin 111 ===〉〈=⋅θθa a a AC AC AC【评述】充分利用几何体的特征建立适当的坐标系，再利用向量的知识求解线面角；解法二给出了一般的方法，即先求平面的法向量与斜线的夹角，再利用两角互余转换．例5 如图，三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，P A ＝AC ＝1，2=BC ，求二面角A－PB －C 的平面角的余弦值．解法二图解法一：取PB 的中点D ，连接CD ，作AE ⊥PB 于E ． ∵P A ＝AC ＝1，P A ⊥AC ， ∴PC ＝BC ＝2，∴CD ⊥PB ． ∵EA ⊥PB ，∴向量EA 和DC 夹角的大小就是二面角A －PB －C 的大小．如图建立空间直角坐标系，则C (0，0，0)，A (1，0，0)，B (0，2，0)，P (1，0，1)，由D 是PB的中点，得D ⋅)21,22,21( 由,3122==AB AP EB PE 得E 是PD 的中点，从而⋅)43,42,43(E ∴)21,22,21(),43,42,41(---=--=DC EA ∴⋅=>=<33||||,cos DC EA DC EA 即二面角A －PB －C 的平面角的余弦值是⋅33 解法二：如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，)0,1,2(B ，C (0，1，0)，P (0，0，1)，).1,1,0(),0,0,2(),0,1,2(),1,0,0(-====CP CB AB AP设平面P AB 的法向量是a ＝(a 1，a 2，a 3)，平面PBC 的法向量是b ＝(b 1，b 2，b 3)．由,0,0==⋅⋅AB AP a a得⎪⎩⎪⎨⎧=+=,02,0213a a a 取a 1＝1，得).0,2,1(-=a 由0,0==⋅⋅CP CB b b 得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,0,02321b b b 取b 3＝1，得b ＝(0，1，1)．∴⋅-=>=<⋅33||||,cos b a b a b a∵二面角A －PB －C 为锐二面角， ∴二面角A －PB －C 的平面角的余弦值是⋅=-33|33| 【评述】1、求二面角的大小，可以在两个半平面作出垂直于棱的两个向量，转化为这两个向量的夹角；应注意两个向量的始点应在二面角的棱上．2、当用法向量的方法求二面角时，有时不易判断两个平面法向量的夹角是二面角的平面角还是其补角，但我们可以借助观察图形而得到结论，这是因为二面角是锐二面角还是钝二面角一般是明显的．练习一、选择题：1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是BB 1的中点，则二面角E －A 1D 1－D 的平面角的正切值是( ) (A)2(B)2(C)5(D)222．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线AD 1与平面A 1ACC 1所成角的大小是( ) (A)30° (B)45° (C)60° (D)90° 3．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 的射影为△ABC 的中心，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于( ) (A)31 (B)32 (C)33 (D)32 4．如图，α ⊥β ，α ∩β ＝l ，A ∈α ，B ∈β ，A ，B 到l 的距离分别是a 和b ，AB 与α ，β 所成的角分别是θ 和ϕ，AB 在α ，β 的射影分别是m 和n ，若a ＞b ，则下列结论正确的是( )(A)θ ＞ϕ，m ＞n (B)θ ＞ϕ，m ＜n (C)θ ＜ϕ，m ＜n(D)θ ＜ϕ，m ＞n二、填空题：5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为AA 1，AB ，BB 1，B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成角的大小是______． 6．已知正四棱柱的对角线的长为6，且对角线与底面所成角的余弦值为33，则该正四棱柱的体积等于______． 7．如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为______．4题图 7题图 9题图 8．四棱锥P －ABCD 的底面是直角梯形，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，==BC AB AD 21，P A ⊥底面ABCD ，PD 与底面ABCD 所成的角是30°．设AE 与CD 所成的角为θ ，则cos θ ＝______．三、解答题：9．如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝4，点E 在CC 1上，且C 1E ＝3EC ．(Ⅰ)证明：A 1C ⊥平面BED ；(Ⅱ)求二面角A 1－DE －B 平面角的余弦值． 10．如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，4π=∠ABC ，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点．(Ⅰ)证明：直线MN ∥平面OCD ；(Ⅱ)求异面直线AB 与MD 所成角的大小．11．如图，已知直二面角α －PQ －β ，A ∈PQ ，B ∈α ，C ∈β ，CA ＝CB ，∠BAP ＝45°，直线CA 和平面α 所成的角为30°．(Ⅰ)证明：BC ⊥PQ ；(Ⅱ)求二面角B －AC －P 平面角的余弦值．练习答案一、选择题：1．B 2．A 3．B 4．D 二、填空题：5．60° 6．2 7．54 8．42三、解答题：9题图 10题图 11题图9．以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D －xyz ．依题设，B (2，2，0)，C (0，2，0)，E (0，2，1)，A 1(2，0，4)．),0,2,2(),1,2,0(==DB DE ).4,0,2(),4,2,2(11=--=DA C A(Ⅰ)∵,0,011==⋅⋅DE C A DB C A ∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DE ．又DB ∩DE ＝D ，∴A 1C ⊥平面DBE ．(Ⅱ)设向量n ＝(x ，y ，z )是平面DA 1E 的法向量，则.,1DA DE ⊥⊥n n ∴⎩⎨⎧=+=+.042,02z x z y 令y ＝1，得n ＝(4，1，－2)．⋅==4214||||),cos(111C A C A C A n n ∴二面角A 1－DE －B 平面角的余弦值为⋅4214 10．作AP ⊥CD 于点P ．如图，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为x ，y ，z 轴建立坐标系．则A (0，0，0)，B (1，0，0)，)0,22,22(),0,22,0(-D P ，O (0，0，2)，M (0，0，1)，⋅-)0,42,421(N (Ⅰ)⋅--=-=--=)2,22,22(),2,22,0(),1,42,421(OD OP MN 设平面OCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则,0,0==⋅⋅OD OP n n即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=-.022222,0222z y x z y 取,2=z ，得).2,4,0(=n ∵,0=⋅n MN ∴MN ∥平面OCD ． (Ⅱ)设AB 与MD 所成的角为θ ，,3π,21||||cos ),1,22,22(),0,0,1(=∴==∴--==⋅θθMD AB MD AB MD AB 即直线AB 与MD 所成角的大小为⋅3π11．(Ⅰ)证明：在平面β 过点C 作CO ⊥PQ 于点O ，连结OB ．∵α ⊥β ，α ∩β ＝PQ ，∴CO ⊥α ．又∵CA ＝CB ，∴OA ＝OB ．∵∠BAO ＝45°，∴∠ABO ＝45°，∠AOB ＝90°，∴BO ⊥PQ ，又CO ⊥PQ ， ∴PQ ⊥平面OBC ，∴PQ ⊥BC ．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，OC ⊥OA ，OC ⊥OB ，OA ⊥OB ，故以O 为原点，分别以直线OB ，OA ，OC 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(如图)．∵CO ⊥α ，∴∠CAO 是CA 和平面α 所成的角，则∠CAO ＝30°．不妨设AC ＝2，则3=AO ，CO ＝1．在Rt △OAB 中，∠ABO ＝∠BAO ＝45°，∴.3==AO BO∴).1,0,0(),0,3,0(),0,0,3(),0,0,0(C A B O).1,3,0(),0,3,3(-=-=AC AB设n 1＝(x ，y ，z )是平面ABC 的一个法向量，由⎪⎩⎪⎨⎧==⋅⋅,0,0AC AB n n 得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-,03,033z y y x 取x ＝1，得)3,1,1(1=n ．易知n 2＝(1，0，0)是平面β 的一个法向量．设二面角B －AC －P 的平面角为θ ，∴,55||||cos 2121==⋅⋅n n n n θ即二面角B －AC －P 平面角的余弦值是⋅55。

高考数学总复习命题点专练(十一) 空间向量及其应用

板块命题点专练（十一）空间向量及其应用命题点向量法求空间角及应用1．(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P -ABC 中，AB ＝BC ＝22，PA ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且二面角M -PA -C 为30°，求PC 与平面PAM所成角的正弦值．解：(1)证明：因为PA ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点，所以PO ⊥AC ，且PO ＝2 3.连接OB ，因为AB ＝BC ＝22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2.所以PO 2＋OB 2＝PB 2，所以PO ⊥OB .又因为OB ∩AC ＝O ，所以PO ⊥平面ABC .(2)以O 为坐标原点，OB ―→的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz .由已知得O (0,0,0)，B (2,0,0)，A (0，－2,0)，C (0，2,0)，P (0,0,23)，AP ―→＝(0,2,23)．取平面PAC 的一个法向量OB ―→＝(2,0,0)．设M (a,2－a,0)(0＜a ≤2)，则AM ―→＝(a,4－a,0)．设平面PAM 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧AP ―→·n ＝0， AM ―→·n ＝0，得⎩⎨⎧ 2y ＋23z ＝0，ax ＋(4－a )y ＝0，令y ＝3a ，得z ＝－a ，x ＝3(a －4)，所以平面PAM 的一个法向量为n ＝(3(a －4)，3a ，－a )，所以cos 〈OB ―→，n 〉＝23(a －4)23(a －4)2＋3a 2＋a 2.由已知可得|cos 〈OB ―→，n 〉|＝cos 30°＝32，所以23|a －4|23(a －4)2＋3a 2＋a 2＝32，解得a ＝43或a ＝－4(舍去)．所以n ＝⎝⎛⎭⎫－833，433，－43. 又PC ―→＝(0,2，－23)，所以cos 〈PC ―→，n 〉＝833＋8334＋12·643＋163＋169＝34. 所以PC 与平面PAM 所成角的正弦值为34. 2.(2018·全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把△DFC 折起，使点C 到达点P 的位置，且PF ⊥BF .(1)证明：平面PEF ⊥平面ABFD ；(2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值．解：(1)证明：由已知可得BF ⊥PF ，BF ⊥EF ，又PF ∩EF ＝F ，所以BF ⊥平面PEF .又BF ⊂平面ABFD ，所以平面PEF ⊥平面ABFD .(2)如图，作PH ⊥EF ，垂足为H .由(1)得，PH ⊥平面ABFD .以H 为坐标原点，HF ―→，HP 的方向分别为y 轴，z 轴正方向，|BF ―→|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H -xyz .由(1)可得，DE ⊥PE .又DP ＝2，DE ＝1，所以PE ＝ 3.又PF ＝1，EF ＝2，所以PE ⊥PF .所以PH ＝32，EH ＝32. 则H (0,0,0)，P ⎝⎛⎭⎫0，0，32，D ⎝⎛⎭⎫－1，－32，0，DP ―→＝⎝⎛⎭⎫1，32，32，HP ―→＝⎝⎛⎭⎫0，0，32. 又HP ―→为平面ABFD 的法向量，设DP 与平面ABFD 所成角为θ，则sin θ＝|HP ―→·DP ―→||HP ―→||DP ―→|＝343＝34. 所以DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为34. 3.(2018·浙江高考)如图，已知多面体ABCA 1B 1C 1，A 1A ，B 1B ，C 1C 均垂直于平面ABC ，∠ABC ＝120°，A 1A ＝4，C 1C ＝1，AB ＝BC＝B 1B ＝2.(1)证明：AB 1⊥平面A 1B 1C 1；(2)求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值．解：法一：(1)证明：由AB ＝2，AA 1＝4，BB 1＝2，AA 1⊥AB ，BB 1⊥AB ，得AB 1＝A 1B 1＝22，所以A 1B 21＋AB 21＝AA 21，故AB 1⊥A 1B 1.由BC ＝2，BB 1＝2，CC 1＝1，BB 1⊥BC ，CC 1⊥BC ，得B 1C 1＝ 5.由AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°，得AC ＝2 3.由CC 1⊥AC ，得AC 1＝13，所以AB 21＋B 1C 21＝AC 21，故AB 1⊥B 1C 1.又因为A 1B 1∩B 1C 1＝B 1，所以AB 1⊥平面A 1B 1C 1.(2)如图，过点C 1作C 1D ⊥A 1B 1，交直线A 1B 1于点D ，连接AD .因为AB 1⊥平面A 1B 1C 1，AB 1⊂平面ABB 1，所以平面A 1B 1C 1⊥平面ABB 1.因为平面A 1B 1C 1∩平面ABB 1＝A 1B 1，C 1D ⊥A 1B 1，C 1D ⊂平面A 1B 1C 1，所以C 1D ⊥平面ABB 1.所以∠C 1AD 是直线AC 1与平面ABB 1所成的角．由B 1C 1＝5，A 1B 1＝22，A 1C 1＝21，得cos ∠C 1A 1B 1＝67，sin ∠C 1A 1B 1＝17，所以C 1D ＝3，故sin ∠C 1AD ＝C 1D AC 1＝3913. 所以直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值是3913. 法二：(1)证明：以AC 的中点O 为坐标原点，分别以射线OB ，OC 为x 轴，y 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz .由题意知各点坐标如下：A (0，－3，0)，B (1,0,0)，A 1(0，－3，4)，B 1(1,0,2)，C 1(0，3，1)．因此AB 1―→＝(1，3，2)，A 1B 1―→＝(1，3，－2)，A 1C 1―→＝(0,23，－3)．由AB 1―→·A 1B 1―→＝0，得AB 1⊥A 1B 1.由AB 1―→·A 1C 1―→＝0，得AB 1⊥A 1C 1.又因为A 1B 1∩A 1C 1＝A 1，所以AB 1⊥平面A 1B 1C 1.(2)设直线AC 1与平面ABB 1所成的角为θ.由(1)可知AC 1―→＝(0,23，1)，AB ―→＝(1，3，0)，BB 1―→＝(0,0,2)．设平面ABB 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB ―→＝0，n ·BB 1―→＝0，得⎩⎨⎧x ＋3y ＝0，2z ＝0，可取n ＝(－3，1,0)．所以sin θ＝|cos 〈AC 1―→，n 〉|＝|AC 1―→·n ||AC 1―→||n |＝3913. 所以直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值是3913. 4．(2018·北京高考)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，D ，E ，F ，G 分别为AA 1，AC ，A 1C 1，BB 1的中点，AB ＝BC ＝5，AC ＝AA 1＝2.(1)求证：AC ⊥平面BEF ；(2)求二面角B -CD -C 1的余弦值；(3)证明：直线FG 与平面BCD 相交．解：(1)证明：在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，因为CC 1⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥AC ，所以四边形A 1ACC 1为矩形．又E ，F 分别为AC ，A 1C 1的中点，所以AC ⊥EF .因为AB ＝BC ，所以AC ⊥BE .因为EF ∩BE ＝E ，所以AC ⊥平面BEF .(2)由(1)知AC ⊥EF ，AC ⊥BE ，EF ∥CC 1.又CC 1⊥平面ABC ，所以EF ⊥平面ABC .因为BE ⊂平面ABC ，所以EF ⊥BE .以E 为坐标原点，EA ，EB ，EF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系E -xyz .由题意得B (0,2,0)，C (－1,0,0)，D (1，0,1)，E (0,0,0)，F (0,0,2)，G (0，2,1)．所以BC ―→＝(－1，－2,0)，BD ―→＝(1，－2,1)．设平面BCD 的一个法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC ―→＝0，n ·BD ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＋2y 0＝0，x 0－2y 0＋z 0＝0.令y 0＝－1，则x 0＝2，z 0＝－4.于是n ＝(2，－1，－4)．又平面CC 1D 的一个法向量为EB ―→＝(0,2,0)，所以cos 〈n ，EB ―→〉＝n ·EB ―→|n ||EB ―→|＝－2121.由图知二面角B -CD -C 1为钝角，所以其余弦值为－2121.(3)证明：由(2)知平面BCD 的法向量为n ＝(2，－1，－4)，FG ―→＝(0,2，－1)．因为n ·FG ―→＝2×0＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝2≠0，所以直线FG 与平面BCD 相交．5．(2018·天津高考)如图，AD ∥BC 且AD ＝2BC ，AD ⊥CD ，EG ∥AD 且EG ＝AD ，CD ∥FG 且CD ＝2FG ，DG ⊥平面ABCD ，DA ＝DC＝DG ＝2.(1)若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN ∥平面CDE ；(2)求二面角E -BC -F 的正弦值；(3)若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60°，求线段DP 的长．解：依题意，可以建立以D 为坐标原点，分别以DA ―→，DC ―→，DG―→的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向的空间直角坐标系(如图)，则D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (1,2,0)，C (0,2,0)，E (2,0,2)，F (0，1,2)，G (0,0,2)，M ⎝⎛⎭⎫0，32，1，N (1,0,2)． (1)证明：依题意得DC ―→＝(0,2,0)，DE ―→＝(2,0,2)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为平面CDE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·DC ―→＝0，n 1·DE ―→＝0，即⎩⎨⎧2y 1＝0，2x 1＋2z 1＝0. 不妨令z 1＝－1，可得n 1＝(1,0，－1)．又MN ―→＝⎝⎛⎭⎫1，－32，1，可得MN ―→·n 1＝0. 因为直线MN ⊄平面CDE ，所以MN ∥平面CDE .(2)依题意，可得BC ―→＝(－1,0,0)，BE ―→＝(1，－2,2)，CF ―→＝(0，－1,2)．设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为平面BCE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·BC ―→＝0，n 2·BE ―→＝0，即⎩⎨⎧－x 2＝0，x 2－2y 2＋2z 2＝0. 不妨令z 2＝1，可得n 2＝(0,1,1)．设n 3＝(x 3，y 3，z 3)为平面BCF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 3·BC ―→＝0，n 3·CF ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＝0，－y 3＋2z 3＝0. 不妨令z 3＝1，可得n 3＝(0,2,1)．因此有cos 〈n 2，n 3〉＝n 2·n 3|n 2||n 3|＝2＋12×5＝31010，于是sin 〈n 2，n 3〉＝1010. 所以二面角E -BC -F 的正弦值为1010.(3)设线段DP 的长为h (h ∈[0,2])，则点P 的坐标为(0,0，h )，可得BP ―→＝(－1，－2，h )．易知DC ―→＝(0,2,0)为平面ADGE 的一个法向量，故|cos 〈BP ―→，DC ―→〉|＝|BP ―→·DC ―→||BP ―→||DC ―→|＝2h 2＋5 .由题意，可得2h 2＋5＝sin 60°＝32，解得h ＝33∈[0,2]．所以线段DP 的长为33.。