高三数学极坐标与参数方程一轮复习讲义PPT课件
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高考专题复习--极坐标与参数方程(极品课件系列).ppt
3．极坐标方程研究两曲线的位置关系
例
5．（江苏省南通市
2008-2009）求直线
x y
1 1
2t,（t 2t
为参数）被圆
x
y
3cos 3 sin
,
（α为参数）截得的弦长．
分析：把参数方程转化为普通方程来判断位 置关系，利用圆心距与半径求出弦长。
4．两曲线的位置关系
例
6．（08
海南、宁夏理）已知曲线
3 S x y 的最大值．
5．极坐标方程与参数方程混合
例 10．（2008 南通四县市）已知曲线 C 的极坐标方程
是 4cos ．以极点为平面直角坐标系的原点，极
轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 l 的
参数方程是：x
2 t 1
2
，求直线 l 与曲线 C 相交
y
2t 2
所成的弦的弦长．
5(江苏省泰兴市2007—2008学年第一学期高三调研)
已知直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角 ，
6
（1）写出直线 l 的参数方程; （2）设 l 与圆 x 2 y 2 4 相交与两点 A, B ，求点 P
到 A, B 两点的距离之积.
6(盐城市 2007/2008 学年度高三第三次调研考试)
本课的重点：（1）参数方程与 普通方程的互化；一般要求是把参数 方程化为普通方程；较高要求是利用 设参求曲线的轨迹方程或研究某些最 值问题；（2）极坐标与直角坐标的 互化。
重点方法：<1>消参的种种方法； <2>极坐标方程化为直角坐标方程的 方法；<3>设参的方法。
坐标系与参数方程在高考中根据我省的情况是 选考内容，是10分的解答题之一，与不等式选讲和 几何证明等三个选修模块进行三选一解答，知识相 对比较独立，与其他章节联系不大，容易拿分。根 据不同的几何问题可以建立不同的坐标系，坐标系 选取的恰当与否关系着解决平面内的点的坐标和线 的方程的难易以及它们位置关系的数据确立。有些 问题用极坐标系解答比较简单，而有些问题如果我 们引入一个参数就可以使问题容易入手解答，计算 简便。高考出现的题目往往是求曲线的极坐标方程、 参数方程以及极坐标方程、参数方程与普通方程间 的相互转化，并用极坐标方程、参数方程研究有关 的距离问题，交点问题和位置关系的判定。
人教A版高考总复习一轮文科数学精品课件 选修4—4 坐标系与参数方程 第1节 极坐标方程与参数方程
π
θ=4代入 ρ2-2ρcos
+1=0,得 ρ2-3 2ρ+1=0,∴ρ1+ρ2=3 2,ρ1ρ2=1,∴|AB|=|ρ1-ρ2|
= (1 + 2 )2 -41 2 =
(3 2)2 -4 × 1 = 14.
θ-4ρsin θ
考向2参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程
例2(2022全国甲,文22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为
(1)极坐标系:如图所示,在平面内取一个 定点
叫做极点;自极点O引一条 射线
再选定一个 长度
(通常取 弧度
O,
Ox,叫做极轴;
单位、一个 角度
)及其正方向(通常取
单位
逆时针 方
向),这样就建立了一个极坐标系.
|OM|
(2)极坐标:设M是平面内一点,极点O与点M的距离
叫做点M
的极径,记为 ρ ;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角 xOM 叫做点
选修4—4 第1节 极坐标方程与参数方程
内
容
索
引
01
强基础 固本增分
02
研考点 精准突破
课标解读
1.了解在直角坐标系伸缩变换作用下平
面图形的变化情况.
2.能用极坐标表示点的位置,理解在两个
坐标系中表示点的位置的区别,能进行极
坐标和直角坐标的互化.
3.能在极坐标系中给出简单图形的方程,
通过比较这些图形在两个坐标系中的方
程,理解用方程表示平面图形时选择适当
坐标系的意义.
4.了解参数方程及参数的意义.
5.能选择适当的参数写出直线、圆和圆
锥曲线的参数方程.
衍生考点
核心素养
高三数学一轮复习课件坐标系与参数方程ppt.ppt
5．(2012·江西模拟)在极坐标系中，圆 ρ＝4cos θ 的圆心 C 到
直线 ρsinθ＋π4＝2 2的距离为________．
解析：注意到圆 ρ＝4cos θ 的直角坐标方程是 x2＋y2
＝4x，圆心 C 的坐标是(2,0)．直线 ρsinθ＋π4＝2 2的
直角坐标方程是 x＋y－4＝0，因此圆心(2,0)到该直线
(1)在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，
分别写出圆 C1，C2 的极坐标方程，并求出圆 C1，C2 的交点 坐标(用极坐标表示)；
(2)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程．
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
其普通方程为 x2＋y2＝2y，
ρcos θ＝－1 的普通方程为 x＝－1，
联立xx2＝＋－y21＝，2y， 解得xy＝＝1－，1，
故交点(－1,1)的极坐标为
2，34π.
答案：
2，34π
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
[自主解答] (1)圆 C1 的极坐标方程为 ρ＝2， 圆 C2 的极坐标方程 ρ＝4cos θ. 解ρρ＝ ＝24，cos θ 得 ρ＝2，θ＝±π3， 故圆 C1 与圆 C2 交点的坐标为2，π3，2，－π3. 注：极坐标系下点的表示不惟一．
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
的距离等于|2＋0－4|＝ 2
2.
人教版高三数学(理)一轮总复习PPT课件：11 坐标系与参数方程
θ，ρsin θ，ρ2 的形式，进行整体代换Fra bibliotek其中方程的两边同乘
(或同除以)ρ 及方程两边平方是常用的变形方法． 但对方程进行变 形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验，以免 出现不等价变形．
第14页
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数学
考点二 参数方程与普通方程的互化 命题点 参数方程 1．直线的参数方程 过定点 M(x0 ， y0) ，倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为
π cosθ－3＝1，M，N
分
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数学
π 解：(1)∵ρcosθ－3＝1，
π π 1 3 ∴ρcos θ·cos3＋ρsin θ·sin3＝1.∴2x＋ 2 y＝1. 即曲线 C 的直角坐标方程为 x＋ 3y－2＝0. 2 3 令 y＝0，则 x＝2；令 x＝0，则 y＝ 3 .
第10页
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数学
2．在极坐标系中，已知直线 l 的极坐标方程为ρ 1，圆 C 的圆心的极坐标是
π C1，4，圆的半径为
π sinθ＋4＝
1.
(1)求圆 C 的极坐标方程； (2)求直线 l 被圆 C 所截得的弦长．
第11页
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数学
解：(1)设 O 为极点，OD 为圆 C 的直径，A(ρ，θ)为圆 C 上 π π 的一个动点，则∠AOD＝ －θ 或∠AOD＝θ－ ， 4 4
π Mb，2且平行于极轴：ρsin
θ＝b.
第6页
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数学
3．圆的极坐标方程 圆心为 M(ρ0，θ0)，半径为 r 的圆的方程为 ρ2－2ρ1ρ0cos(θ
2 －θ0)＋ρ2 0－r ＝0.
几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)圆心位于极点，半径为 r：ρ＝r； (2)圆心位于 M(r，0)，半径为 r：ρ＝2rcos θ； (3)圆心位于
高考一轮复习理科数学课件极坐标方程与参数方程的综合应用
03
利用参数方程可以方便地解决直线与圆、圆与圆之间的位置关
系、交点坐标等问题。
复杂曲线在参数方程下绘制技巧
极坐标与参数方程的转换
对于某些复杂曲线，如螺旋线、摆线等，使用极坐标或参数方程表示更为方便。
利用计算机软件绘制参数曲线
利用数学软件或绘图软件，可以方便地绘制出各种参数曲线，有助于直观理解曲线的形状 和性质。
通过图形分析，可以更容易地 找到解题的突破口和思路。
在画图时，应注意准确性和规 范性，避免因为图形不清晰或 不准确而导致解题错误。
善于归纳总结，形成自己解题思路
在解题过程中，应及时总结归纳 同类问题的解题方法和思路。
通过归纳总结，可以形成自己的 解题思路和解题技巧，提高解题
效率。
同时，也应注意将归纳总结的结 果应用到实际解题中，以检验其
极坐标与直角坐标互化公式
x=ρcosθ，y=ρsinθ；ρ²=x²+y²，tanθ=y/x。
3
极坐标方程性质
如对称性、周期性等，可用于简化计算和解题过 程。
直线、圆在极坐标系下表示方法
直线在极坐标系下表示
通过直角坐标方程转化为极坐标方程 ，或利用极坐标与直角坐标互化公式 直接得出。
圆在极坐标系下表示
对于难以直接求解的极坐标方程，可将其 转换为直角坐标方程后进行求解。
求出解后，需结合实际问题背景进行检验， 确保解的合理性和正确性。
03
参数方程及其应用
参数方程表示形式及性质
01
一般形式
参数方程通常由两个函数式组成，分别表示x和y与参数t的关系，即
$x=f(t), y=g(t)$。
02
几何意义
参数方程在几何上表示一个点随着参数t的变化而在平面上移动的轨迹
极坐标和参数方程ppt课件
解 由 公 式 1 0 - 1 ,可 得 :
x5cos352,
y5sin3523.
极坐标和参数方程
于 是 得 点 M 的 直 角 坐 标 为 5 2,523 .我 们 也 可 以 把 点 M 的
直 角 坐 标 化 为 极 坐 标 ,由 公 式 101变 化 可 得 :
2 x2 y2
tan y x 0
例6 作出下列极坐标方程的图像.
(1) aa0; (2) .
2
解 (1)对于方程 a a 0,
可以看出,当取任何值时, 的
取值都是a,因此方程的图像是 以 极 点 O为 圆 心 , a为 半 径 的 圆
图 10-8 ;
a
x
O
a
a,0
图 1 0 8 例 6 题 ( 1 ) a a 0 的 图 像
设M1,是极坐标系中任意一点图1010,M3,
是M1,关于极点的对称点;M4,是M1,关于极
轴的对称点;M2 ,是 M1,关于直线2的
M2,
2
M1,
对称点.
x
O
M3,
M4,
极坐标和参数图方程10-10 极坐标系中的对称关系
由 以 上 点 的 对 称 关 系 , 可 得 到 曲 线 f 的 对 称 关 系 见
开点,又当 增大时, 也随之
增大, 每转一圈增加2,
CB
也相应增加2a. 依照表103可
••
D•
•A
作出曲线如图1015所示,图中
O
x
虚线表示 为负值时的曲线.
极坐标和参数方程
图10-15 等速螺线
例10 如图10-16所示,一凸轮的轮廓线由CDE和ABC两段 曲线组成.C为启动时从动杆与凸轮的接触点,凸轮轴心O与C点 的距离为100mm.当凸轮按箭头方向做等角速转动时,要求: CDE段推动从动杆向右做等速直线运动,其最大推程为10mm; 当从动杆接触到轮廓线上点E时,由于弹簧的作用从动杆就向 左移动到A,开始与凸轮的ABC段相接触,从动杆接触ABC段时 不动,试求凸轮的轮廓线ABC段和CDE段的极坐标方程.
x5cos352,
y5sin3523.
极坐标和参数方程
于 是 得 点 M 的 直 角 坐 标 为 5 2,523 .我 们 也 可 以 把 点 M 的
直 角 坐 标 化 为 极 坐 标 ,由 公 式 101变 化 可 得 :
2 x2 y2
tan y x 0
例6 作出下列极坐标方程的图像.
(1) aa0; (2) .
2
解 (1)对于方程 a a 0,
可以看出,当取任何值时, 的
取值都是a,因此方程的图像是 以 极 点 O为 圆 心 , a为 半 径 的 圆
图 10-8 ;
a
x
O
a
a,0
图 1 0 8 例 6 题 ( 1 ) a a 0 的 图 像
设M1,是极坐标系中任意一点图1010,M3,
是M1,关于极点的对称点;M4,是M1,关于极
轴的对称点;M2 ,是 M1,关于直线2的
M2,
2
M1,
对称点.
x
O
M3,
M4,
极坐标和参数图方程10-10 极坐标系中的对称关系
由 以 上 点 的 对 称 关 系 , 可 得 到 曲 线 f 的 对 称 关 系 见
开点,又当 增大时, 也随之
增大, 每转一圈增加2,
CB
也相应增加2a. 依照表103可
••
D•
•A
作出曲线如图1015所示,图中
O
x
虚线表示 为负值时的曲线.
极坐标和参数方程
图10-15 等速螺线
例10 如图10-16所示,一凸轮的轮廓线由CDE和ABC两段 曲线组成.C为启动时从动杆与凸轮的接触点,凸轮轴心O与C点 的距离为100mm.当凸轮按箭头方向做等角速转动时,要求: CDE段推动从动杆向右做等速直线运动,其最大推程为10mm; 当从动杆接触到轮廓线上点E时,由于弹簧的作用从动杆就向 左移动到A,开始与凸轮的ABC段相接触,从动杆接触ABC段时 不动,试求凸轮的轮廓线ABC段和CDE段的极坐标方程.
高考数学一轮复习 第十八章 第2讲 极坐标与参数方程课件 文
5．在极坐标系中，点(1,0)到直线ρ(cosθ＋sinθ)＝2的距离为 2 ___2___.
考点1 极坐标与直角坐标的相互转化
例 1：①(2011 年安徽)在极坐标系中，点2，π3到圆 ρ＝2cosθ
的圆心的距离为( )
A．2
B. 4＋π92
C. 1＋π92
D. 3
解析：极坐标2，3π化为直角坐标为2cosπ3，2sinπ3，即(1， 3)． 圆的极坐标方程 ρ＝2cosθ 可化为 ρ2＝2ρcosθ，化为直角坐标 方程为 x2＋y2＝2x， 即(x－1)2＋y2＝1.所以圆心坐标为(1,0)． 则由两点间距离公式 d＝ 1－12＋ 3－02＝ 3.故选 D.
答案：x2＋y2－4x－2y＝0
本题考查极坐标的知识及极坐标与直角坐 标的相互转化，一定要记住两点：①x＝ρ·cosθ，y＝ρ·sinθ；②ρ2 ＝x2＋y2，tanθ＝yx.即可．直角坐标化为极坐标方程比较容易，只 是将公式 x＝ρ·cosθ，y＝ρ·sinθ 直接代入并化简即可；而极坐标方 程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题，构造形如 ρcosθ，ρsinθ，ρ2 的形式，进行整体代换，其中方程两边同时乘以 ρ 及方程两边平方是常用的变形方法．
5
5 .
答案：1，2
Hale Waihona Puke 55常见的消参数法有：代入消元(抛物线的参数方 程)、加减消元(直线的参数方程)、平方后再加减消元(圆、椭圆的 参数方程)等．经常使用的公式有sin2α＋cos2α＝1.在将曲线的参数 方程化为普通方程的过程中一定要注意参数的范围，确保普通方 程与参数方程等价．
x＝ρcosθ， ρ2＝x2＋y2， 转化公式为：_y_＝__ρ_si_n_θ_，_____ta_n_θ_＝__yx_，__x≠0.
考点1 极坐标与直角坐标的相互转化
例 1：①(2011 年安徽)在极坐标系中，点2，π3到圆 ρ＝2cosθ
的圆心的距离为( )
A．2
B. 4＋π92
C. 1＋π92
D. 3
解析：极坐标2，3π化为直角坐标为2cosπ3，2sinπ3，即(1， 3)． 圆的极坐标方程 ρ＝2cosθ 可化为 ρ2＝2ρcosθ，化为直角坐标 方程为 x2＋y2＝2x， 即(x－1)2＋y2＝1.所以圆心坐标为(1,0)． 则由两点间距离公式 d＝ 1－12＋ 3－02＝ 3.故选 D.
答案：x2＋y2－4x－2y＝0
本题考查极坐标的知识及极坐标与直角坐 标的相互转化，一定要记住两点：①x＝ρ·cosθ，y＝ρ·sinθ；②ρ2 ＝x2＋y2，tanθ＝yx.即可．直角坐标化为极坐标方程比较容易，只 是将公式 x＝ρ·cosθ，y＝ρ·sinθ 直接代入并化简即可；而极坐标方 程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题，构造形如 ρcosθ，ρsinθ，ρ2 的形式，进行整体代换，其中方程两边同时乘以 ρ 及方程两边平方是常用的变形方法．
5
5 .
答案：1，2
Hale Waihona Puke 55常见的消参数法有：代入消元(抛物线的参数方 程)、加减消元(直线的参数方程)、平方后再加减消元(圆、椭圆的 参数方程)等．经常使用的公式有sin2α＋cos2α＝1.在将曲线的参数 方程化为普通方程的过程中一定要注意参数的范围，确保普通方 程与参数方程等价．
x＝ρcosθ， ρ2＝x2＋y2， 转化公式为：_y_＝__ρ_si_n_θ_，_____ta_n_θ_＝__yx_，__x≠0.
高考数学一轮复习 12.2极坐标与参数方程课件
x y
(θa为c o参s θ数, ),
b sin θ
双曲线 x
a
2 2
-y 2
b2
=1(a>0,b>0)的参数方程为
x y
(φa为s e参c φ数, ),
b tan φ
抛物线y2=2px的参数方程为
x
(t为2 p参t 2 ,数).
y 2 pt
完整版ppt
7
1.在平面直角坐标系xOy中,点P的直角坐标为(1,- 3).若以原点O为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点P的极坐标可以是 ( )
ρ2 cos
θ=1.
4
(2)由ρsin
θ
=61,得
ρsin θ·cos -ρcos θ·sin =1,
6
6
∴直线的直角坐标方程为 1 x- 3 y+1=0,
22
又点
2
,
的6 直角坐标为(
,1),3
| 3 3 1|
∴点到直线的距离d= 2 =12.
完整版ppt
3
x
ρ
c
o
s
θ
,
ρ
2
x2
y2,
y
ρ
s
in
θ
,
t
an
θ
y x
(x
0).
(3)直线的极坐标方程:若直线过点M(ρ0,θ0),且极轴与此直线所成的角为α,
则它的方程为ρsin(θ-α)=⑥ ρ0sin(θ0-α) .
几个特殊位置的直线的极坐标方程:
(i)直线过极点:θ=θ0和θ=⑦ π-θ0 ;
完整版ppt
2
ρ;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为θ.有序 数对④ (ρ,θ) 叫做点M的极坐标,记为M(ρ,θ). 一般地,不作特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数. (2)直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系 中取⑤ 相同 的长度单位.设M是平面内任意一点,它的直角坐标、极 坐标分别为(x,y)和(ρ,θ),则
高三数学总复习优秀ppt课件(第51讲)极坐标与参数方程(48页)
基础知识
极坐标与直角坐标的互化
2 2 2 r x y ， x r cos q ， y y r sin q ． tan q ( x 0)． x r 0， 0 ≤q 2π． 通常，将直角坐标化为极坐标时，
经典例题
例 1 在极坐标系中，已知圆 C 的圆心坐标为 C (2，
思路分析
例 3 将下列参数方程化为普通方程，并指出 它表示的曲线： x t， （1） （t 为参数） ；思路 1：应用代入消元． y 2t 2
x 3cos q， p q [0， ]； 思路 2：应用加减消元． （2） 2 y 3sin q a 1 x ( t )， 2 t （3） （t 为参数，a 0，b 0） ． y b (t 1 ) 2 t
2
（1）求圆 C1、C2 圆心之间的距离；
（2）求过点 C1 且与直线 l 垂直的直线的极坐标方程.
思路分析
例 2 已知圆 C1 的极坐标方程为 ρ = 2cosθ，圆 C2
p 的极坐标方程为 ρ －4ρcos ( θ－ )－1 = 0，直线 l 3 的极坐标方程 ρcosθ－ρsinθ = 4．
心 C2 (1 ，3) .所以 C1C2 = 3 ，即圆 C1 与 C2 圆
心之间的距离为 3 . （2）直线 l 的直角坐标方程是 x y 4 0 . 所以过 C1 与 l 垂直的直线方程是 x y 1 0 . 化为极坐标方程为 r cosq r sinq 1 0 , 即 r cos(q π ) 2 .
过程解析
π 解 将圆心 C (2， ) 化成直角坐标为 . （， 1 3 ） 3 半径 R= 5 , 故圆 C 的直角坐标方程为
极坐标与参数方程ppt课件
当 θ1=θ2，|AB|＝/ρ1—-ρ2/
• 3．直线的极坐标方程：若直线过点M(ρ0，θ0)，且极 轴到此直线的角为α，则它的方程为：
• ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． • 几个特殊位置的直线的极坐标方程 • (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π+θ0； • (2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；
若 M1，M2 是 l 上的两点，其对应参数分别为 t1，t2，则 (1)M1，M2 两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0 ＋t2cos α，y0＋t2sin α)． (2)|M1M2|＝|t1－t2|. (3)若线段 M1M2 的中点 M 所对应的参数为 t，则 t＝t1＋2 t2， 中点 M 到定点 M0 的距离|MM0|＝|t|＝t1＋2 t2. (4)若 M0 为线段 M1M2 的中点，则 t1＋t2＝0.
[解] (1)直线 l 的普通方程为 xsin α－ycos α＋cos α＝0. 曲线 C 的极坐标方程为 ρcos2θ＝4sin θ， 即 ρ2cos2θ＝4ρsin θ，∵ρcos θ＝x，ρsin θ＝y， ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2＝4y.
x＝tcos α， (2)将 l: y＝1＋tsin α 代入曲线 C∶x2＝4y 中， 得 t2cos2α－4tsin α－4＝0.
意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以 便正确地求出角θ. • (2)注意“双坐标系”是直角坐标与极坐标互化的 前提．若要判断曲线的形状，通常是先将极坐标 方程化为直角坐标方程，再判断．
(3)极坐标系中两点间的距离公式：已知点 A(ρ1，θ1)，
B(ρ2，θ2)，那么|AB|＝ ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2cosθ1－θ2.
• 3．直线的极坐标方程：若直线过点M(ρ0，θ0)，且极 轴到此直线的角为α，则它的方程为：
• ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． • 几个特殊位置的直线的极坐标方程 • (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π+θ0； • (2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；
若 M1，M2 是 l 上的两点，其对应参数分别为 t1，t2，则 (1)M1，M2 两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0 ＋t2cos α，y0＋t2sin α)． (2)|M1M2|＝|t1－t2|. (3)若线段 M1M2 的中点 M 所对应的参数为 t，则 t＝t1＋2 t2， 中点 M 到定点 M0 的距离|MM0|＝|t|＝t1＋2 t2. (4)若 M0 为线段 M1M2 的中点，则 t1＋t2＝0.
[解] (1)直线 l 的普通方程为 xsin α－ycos α＋cos α＝0. 曲线 C 的极坐标方程为 ρcos2θ＝4sin θ， 即 ρ2cos2θ＝4ρsin θ，∵ρcos θ＝x，ρsin θ＝y， ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2＝4y.
x＝tcos α， (2)将 l: y＝1＋tsin α 代入曲线 C∶x2＝4y 中， 得 t2cos2α－4tsin α－4＝0.
意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以 便正确地求出角θ. • (2)注意“双坐标系”是直角坐标与极坐标互化的 前提．若要判断曲线的形状，通常是先将极坐标 方程化为直角坐标方程，再判断．
(3)极坐标系中两点间的距离公式：已知点 A(ρ1，θ1)，
B(ρ2，θ2)，那么|AB|＝ ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2cosθ1－θ2.
高考理科数学一轮复习第十八章第讲极坐标与参数方程配套课件
∴|2－2b|<1，解得 2－ 2<b<2＋ 2；
方法二：如图 18－1－1，利用数形结合进行分析得|AC|＝2 －b＝ 2，∴b＝2－ 2.同理分析 b＝2＋ 2.要使直线与曲线有两 个不同的公共点，可知 2－ 2<b<2＋ 2.
图 18－1－1
1．当极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合，极轴 与 x 轴的正半轴重合，两种坐标系中取相同的长度单位时，点 的极坐标与直角坐标的相互转化公式为：
(y－2)2＝4，∴|AB|＝2
22－ |11－＋21| 2＝ 14.
角坐标为___(－__1_，__－__1_，____2_) __．
错源：参数转化时没注意参数的范围 例 4：将参数方程xy＝ ＝2si＋n2sθin2θ (θ 为参数)化为普通方程为 () A．y＝x－2 B．B．y＝x＋2 C．y＝x－2(2≤x≤3) D．y＝x＋2(0≤y≤1)
误解分析：忽略参数方程中 0≤sin2θ≤1 的限制． 正解：转化为普通方程：y＝x－2，且 x∈[2,3]，故选 C. 纠错反思：注意转化过程中的等价性．
2．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并 在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为 θ
＝π4(ρ∈R，它与曲线xy＝ ＝12＋ ＋22csionsαα (α 为参数)相交于两点 A 和 B， 则|AB|＝___1_4__.
解析：直线的普通方程为 y＝x，曲线的普通方程(x－1)2＋
∴圆心(0,0)到直线的距离为 d0＝ |01＋2＋0－36| 2＝3， ∵又圆的半径为 2，
∴圆上的点到直线的距离的最小值为 d＝d0－2＝3－2＝1. 【互动探究】 1．极坐标方程分别为 ρ＝cosθ 与 ρ＝sinθ 的两个圆的圆心
方法二：如图 18－1－1，利用数形结合进行分析得|AC|＝2 －b＝ 2，∴b＝2－ 2.同理分析 b＝2＋ 2.要使直线与曲线有两 个不同的公共点，可知 2－ 2<b<2＋ 2.
图 18－1－1
1．当极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合，极轴 与 x 轴的正半轴重合，两种坐标系中取相同的长度单位时，点 的极坐标与直角坐标的相互转化公式为：
(y－2)2＝4，∴|AB|＝2
22－ |11－＋21| 2＝ 14.
角坐标为___(－__1_，__－__1_，____2_) __．
错源：参数转化时没注意参数的范围 例 4：将参数方程xy＝ ＝2si＋n2sθin2θ (θ 为参数)化为普通方程为 () A．y＝x－2 B．B．y＝x＋2 C．y＝x－2(2≤x≤3) D．y＝x＋2(0≤y≤1)
误解分析：忽略参数方程中 0≤sin2θ≤1 的限制． 正解：转化为普通方程：y＝x－2，且 x∈[2,3]，故选 C. 纠错反思：注意转化过程中的等价性．
2．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并 在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为 θ
＝π4(ρ∈R，它与曲线xy＝ ＝12＋ ＋22csionsαα (α 为参数)相交于两点 A 和 B， 则|AB|＝___1_4__.
解析：直线的普通方程为 y＝x，曲线的普通方程(x－1)2＋
∴圆心(0,0)到直线的距离为 d0＝ |01＋2＋0－36| 2＝3， ∵又圆的半径为 2，
∴圆上的点到直线的距离的最小值为 d＝d0－2＝3－2＝1. 【互动探究】 1．极坐标方程分别为 ρ＝cosθ 与 ρ＝sinθ 的两个圆的圆心
公开课一轮复习：极坐标与参数方程
即sin������34π =
1 sin π4-������
,所以 ρsin
π 4
-������
= 22,
即
ρ
sin
π 4
cos������-cos
π 4
sin������
= 22,
化简,得ρ(cos θ-sin θ)=1,经检验点
A(1,0)的坐标适合上述方程,所以
满足条件的直线的极坐标方程为
ρ(cos θ-sin θ)=1.
(2)由题意知,圆经过极点O,设OA为其一条直径,设点
M(ρ,θ)为圆上除点O,A以外的任意一点,如图,则|OA|=2r,连
接AM,则OM⊥MA.
在即Rρt=△2rOcoAsM32中π -���,���O,M即=ρO=-A2rcsoins∠θ,AOM,
经验证,点
O(0,0),A
2������,
3π 2
圆锥曲线统一的极坐标方程是
,
当0<e<1时,它表示椭圆;
当e=1时,它表示抛物线;
当e>1时,它表示双曲线.
曲线的直角坐标方程与极坐标方程互化 【例1】 将下列式子进行直角坐标方程与极 坐标方程之间的互化. (1)x2+y2=4;(2)ρ=3cos θ;(3)ρ=cos 分析：利用公式x=ρcos θ,y=ρsin θ,ρ2=x2+y2 进行直角坐标方程与极坐标方程的互化.
3 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的 直线、过极点或圆心在极点的圆）表示的极 坐标方程.
高考中只考一道题 选做题23题（10分）
基础知识
1．直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x 轴
正半轴作为极轴，且在两坐标系中取
2023届高三数学一轮复习——极坐标与参数方程+课件
x＝x0＋tcos α， y＝y0＋tsin α
(t 为参数)．
y
M(x,y)
注意：直线参数方程中
参数t的绝对值等于直 线上动点M到定点M0的
距离 |t|=|M0M|
M0(x0,y0)
O
M0M te
x
13
· 知识点y 回顾： B
· A
M（x，y）
·· M0（x0，y0）
O
x
设A,B为直线上任意两点，它们所对应的参 数值分别为t1,t2.
知识与内容 <1>一、聚焦重点：曲线的极坐标方程．
二、破解难点：参数方程与普通方程的互化 ． 三、廓清疑点：参数方程的应用．
<2>（1）曲线的参数方程与普通方程的互化、极坐 标方程与直角坐标方程互化需注意等价性．
（2）参数思想、转化思想 ． （3）类比已有知识，注重新旧知识的整合与循
环上升．
当堂检测：
y
再将 C 化成极坐标方程，
C
O
x
得( ρcosθ－1)2 + ( ρsinθ－ 3 )2=5.
化简，得 ρ2－4ρcos(θ－ π )－1=0， 3
此即为所求的圆 C 的方程.
题型一 极坐标、参数方程、直角坐标互化
例 1 在极坐标系中，已知圆 C 的圆心坐标为 C (2，
π )，半径 R= 5 ，求圆 C 的极坐标方程. P
(θ 为参数)和曲线 C2：ρ＝1 上，则 AB 的最
3 小值为________．
解析 ∵C1：(x－3)2＋(y－4)2＝1，C2：x2＋y2＝1， ∴两圆心之间的距离为 d＝ 32＋42＝5. ∵A∈曲线 C1，B∈曲线 C2， ∴ABmin＝5－2＝3.
极坐标与参数方程(优质课ppt课件
2．A、B 两点的中点所对应的参数为 t A tB ， 2
若点 M0 是线段 AB 的中点，则 tA+tB=0，反之亦然。
2.圆x2+y2=r2(r>0)的参数方程:
x
y
r r
cos sin
( 为参数)
3.圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程:
x
y
a b
r r
cos sin
(为 sin
，(t
为参数)
说明： 一、 参数 t 的有关性质 对于上述直线 l 的参数方程，设 l 上两点 A、B 所对应的参数分别为 tA、tB，则
1．A、B 两点之间的距离为 | AB || t A tB | ，
特别地，A、B 两点到点 M0 的距离分别为|tA|、|tB|。
4
N,求△C2MN 的面积
你都掌握 了吗？
本节课你都学习的什么？
1. 极坐标、参数方程的解 题思路
2.极坐标、参数方程的规 范书写步骤
作业
请打开资料
好好学习 天天向上
再见！
极坐标是 (ρ,θ)
x=ρcosθ, y=ρsinθ
y
ρ2 = x2 + y2，tanθ= x(x≠0)
高考真题演练
例 1：(2013 全国 1 文科)23.选修 4—4：坐标系与参数
方程
已
知
曲
线
C1
的参数方程为
x y
4 5
5 5
cos t, sin t
（
t
为参数
），以坐标
原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为 2sin 。
4.椭圆 x2 y2 1(a b 0) 的参数方程为: a2 b2
若点 M0 是线段 AB 的中点，则 tA+tB=0，反之亦然。
2.圆x2+y2=r2(r>0)的参数方程:
x
y
r r
cos sin
( 为参数)
3.圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程:
x
y
a b
r r
cos sin
(为 sin
，(t
为参数)
说明： 一、 参数 t 的有关性质 对于上述直线 l 的参数方程，设 l 上两点 A、B 所对应的参数分别为 tA、tB，则
1．A、B 两点之间的距离为 | AB || t A tB | ，
特别地，A、B 两点到点 M0 的距离分别为|tA|、|tB|。
4
N,求△C2MN 的面积
你都掌握 了吗？
本节课你都学习的什么？
1. 极坐标、参数方程的解 题思路
2.极坐标、参数方程的规 范书写步骤
作业
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再见！
极坐标是 (ρ,θ)
x=ρcosθ, y=ρsinθ
y
ρ2 = x2 + y2，tanθ= x(x≠0)
高考真题演练
例 1：(2013 全国 1 文科)23.选修 4—4：坐标系与参数
方程
已
知
曲
线
C1
的参数方程为
x y
4 5
5 5
cos t, sin t
（
t
为参数
），以坐标
原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为 2sin 。
4.椭圆 x2 y2 1(a b 0) 的参数方程为: a2 b2
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8
【变式训练】(2011g5月名校创新试卷)如图，在极坐标系中，
已知曲线C1：
2cos (0
2
)，O1
1, 0，
C2：
4cos (0
2
)，O2
2, 0，
射线
a(
0, 0
2
)与C1，C2分别交于A、B(不同的极点)．
1
若a
6
，求直线BO2的极坐标方程；
2 试用a表示图中阴影部分的面积．
9
1 在 直 线 BO2上 任 取 点 P (， )，sin2
1，
所 以 k 2 7 ， y 7 x 1，
2
2
与
椭
圆
方
程
联
立
得
x
1
5 4
，
x
2
1 2
，
y1
14 8
y2
14 4
所 以 SVABF
4 所 得 的 弦 长 ．
将直线的参数方程代入椭圆方程，根据参数的几何 意义，再利用韦达定理即可求得弦长．
由条件可知直线的参数方程是
x 1
2t 2 (t为参数)，
y
1
2t 2
1 2 t 2 代入椭圆方程可得 2 (1
2 t)2 1，
4
2
11
即5 t2 3 2t 1 0. 2
M
的
0
上
方
时
，
t
0； 当 点 M
在M
的
0
下
方
时
，
t
0.
3
椭
圆
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 的 一 个 参 数 方 程 为 ：
x y
a b
cos sin
(
为参
数
)．
4抛物线y2 2pxp0的参数方程为：
x
2pt2
(t为参数)．
y2pt
由于y 1，因此参数t的几何意义是抛物线上的点与抛物 xt
4
2
4
这就是点Q的轨迹方程．
化为直角坐标方程为(x 2 )2 ( y 2 )2 1 .
8
8 16
因此点Q的轨迹是以(1 ，3 )为圆心，1 为半径的圆．
44
4
7
直角坐标与极坐标互化要注意互化的前 提．若要判断曲线的形状，可先将极坐标方程 化为直角坐标方程，再判断．在直角坐标系中， 求曲线的轨迹方程的方法有直译法，定义法， 动点转移法．在极坐标系中，求曲线的极坐标 方程，这几种方法仍然是适用的．
1与直线l：xy
1 t cos
t sin
(t为参数)
交于点A(x1，y1 )，B(x2，y2 )，得(1 sin 2 a)t 2 2t cos a 1 0，
因此t1
t2
2 cos 1 sin2
，t1t2
1
1 sin2
，
15
因
为
t1
2t2，
所
以
8 cos2 1 sin 2
5
1以 极 点 为 原 点 ， 极 轴 为 x轴 的 正 半 轴 ， 建 立 直 角
坐 标 系 ， 则 点 A的 直 角 坐 标 为 ( 2，0 )， 直 线 l的 直 角 坐 标 方
程 为 x y 2 m 0 .因 为 A到 直 线 l的 距 离 d |
1 m 3， 所 以 m 2.
2
sin(
)
，
3
3
所
以
直
线
B
O
的
2
极
坐
标
方
程
为
s
i
n
(
3
)
3.
2 依 题 有 ：AB OB OA 2cosa，
S 1 g2cosag2gsina ( 1 g2ag12 1 g1g1gsin2a)
2
2
2
3 sin2a a. 2
10
2.参数方程
【 例 2 】 求 经 过 点 1 ,1 ， 倾 斜 角 为 1 3 5 的 直 线 截 椭 圆 x2y21
专题八 自选模块
1． 极 坐 标 与 直 角 坐 标 的 互 化
1 互 化 的 前 提 ：
①极点与直角坐标系的原点重合；
② 极 轴 与 x轴 的 正 方 向 重 合 ； ③两种坐标系中取相同的长度单位．
2互
化
公
式
x
y
cos sin
2 ， t a n
x2 y2 y ,x
x
. 0
2 ．1 圆 心 在 ( x 0， y 0 )， 半 径 为 r的 圆 的 参 数 方 程 为 ：
x
y
x0 y0
r cos r sin
( 为
参
数
)．
2
过
定
点
M
0
(
x
，
0
y
0
)，倾斜来自角为的
直
线
l的
参
数
方
程
为
：
x y
x0 y0
t cos t sin
(
为
参
数
)．
其
中
t表
示
直
线
l上 以 定 uuuuuur
点
M
为
0
起
点
，
任
意
一
点
M
(
x，
y)为
终
点
的
有
向
线
段
M
0
M
的
数
量
M
0
M
，
当
点
M
在
设方程的两实根分别为t1，t2，则t1
t1t2
t2
2 5
6
2 5
，
则直线截椭圆的弦长是 t1 t2
t1
t2 2
4t1t2
4 2. 5
12
利用直线参数方程的几何意义是求弦长的常用 方法，但需注意直线的参数方程必须是标准形式，
即xy
x0 y0
at bt
(t为参数)，当a2
b2
1，且b
0时才
是标准形式，若不满足a2 b2 1，且b 0两个条件，
则弦长为d
1 b 2 a
t1 t2
.
13
【变式训练】(2011g浙江选考)已知直线l： xy
1 t cos t sin
(t为参数，a为l的倾斜角，且0 a )与曲线
C： x y
2 cos sin
( 为参数)相交于A、B两点，点F的坐标
线的顶点连线的斜率的倒数．
1.极坐标问题 【例1】在极坐标系中，已知点A( 2， 0)到直线l：sin()m
4
m0的距离为3. 1求实数m的值；
uuur uuur
2设P是直线l上的动点，Q在线段OP上，且满足OPgOQ 1，
求点Q的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形．
将 极 坐 标 方 程 转 化 为 直 角 坐 标 方 程 ， 再 利 用 点 到 直 线 的 距 离 公 式 求 得 m 的 值 ； 极 坐 标 系 下 的 轨 迹 方 程 的 求 解 与 直 角 坐 标 系 下 的 轨 迹 方 程 的 求 解 方 法 类 似 ， 此 处 可 用 动 点 转 移 法 解 决 ．
为1, 0．
1 求ABF的周长；
2若点E 1, 0 恰为线段AB的三等分点，求VABF的面积．
14
1因为C：x 2 cos (为参数)，则 x2 y2 1，直线
y sin
2
为y k x 1，因此直线过椭圆左焦点F1 1, 0，因此
VABF的周长为4a 4 2.
2 对于
x2 2
y2
2 由 1 得 直 线 l的 方 程 为 sin ( ) 2.
4 设 P ( 0 , 0 ), Q ( , )，
则
0
0
1
0
0
1
.①
2 2m | 2
6
因为点P(0，0
)在直线l上，所以r0sin(0
4
)
2.②
将①代入②，得 1 sin( ) 2，即 1 sin( )．
【变式训练】(2011g5月名校创新试卷)如图，在极坐标系中，
已知曲线C1：
2cos (0
2
)，O1
1, 0，
C2：
4cos (0
2
)，O2
2, 0，
射线
a(
0, 0
2
)与C1，C2分别交于A、B(不同的极点)．
1
若a
6
，求直线BO2的极坐标方程；
2 试用a表示图中阴影部分的面积．
9
1 在 直 线 BO2上 任 取 点 P (， )，sin2
1，
所 以 k 2 7 ， y 7 x 1，
2
2
与
椭
圆
方
程
联
立
得
x
1
5 4
，
x
2
1 2
，
y1
14 8
y2
14 4
所 以 SVABF
4 所 得 的 弦 长 ．
将直线的参数方程代入椭圆方程，根据参数的几何 意义，再利用韦达定理即可求得弦长．
由条件可知直线的参数方程是
x 1
2t 2 (t为参数)，
y
1
2t 2
1 2 t 2 代入椭圆方程可得 2 (1
2 t)2 1，
4
2
11
即5 t2 3 2t 1 0. 2
M
的
0
上
方
时
，
t
0； 当 点 M
在M
的
0
下
方
时
，
t
0.
3
椭
圆
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 的 一 个 参 数 方 程 为 ：
x y
a b
cos sin
(
为参
数
)．
4抛物线y2 2pxp0的参数方程为：
x
2pt2
(t为参数)．
y2pt
由于y 1，因此参数t的几何意义是抛物线上的点与抛物 xt
4
2
4
这就是点Q的轨迹方程．
化为直角坐标方程为(x 2 )2 ( y 2 )2 1 .
8
8 16
因此点Q的轨迹是以(1 ，3 )为圆心，1 为半径的圆．
44
4
7
直角坐标与极坐标互化要注意互化的前 提．若要判断曲线的形状，可先将极坐标方程 化为直角坐标方程，再判断．在直角坐标系中， 求曲线的轨迹方程的方法有直译法，定义法， 动点转移法．在极坐标系中，求曲线的极坐标 方程，这几种方法仍然是适用的．
1与直线l：xy
1 t cos
t sin
(t为参数)
交于点A(x1，y1 )，B(x2，y2 )，得(1 sin 2 a)t 2 2t cos a 1 0，
因此t1
t2
2 cos 1 sin2
，t1t2
1
1 sin2
，
15
因
为
t1
2t2，
所
以
8 cos2 1 sin 2
5
1以 极 点 为 原 点 ， 极 轴 为 x轴 的 正 半 轴 ， 建 立 直 角
坐 标 系 ， 则 点 A的 直 角 坐 标 为 ( 2，0 )， 直 线 l的 直 角 坐 标 方
程 为 x y 2 m 0 .因 为 A到 直 线 l的 距 离 d |
1 m 3， 所 以 m 2.
2
sin(
)
，
3
3
所
以
直
线
B
O
的
2
极
坐
标
方
程
为
s
i
n
(
3
)
3.
2 依 题 有 ：AB OB OA 2cosa，
S 1 g2cosag2gsina ( 1 g2ag12 1 g1g1gsin2a)
2
2
2
3 sin2a a. 2
10
2.参数方程
【 例 2 】 求 经 过 点 1 ,1 ， 倾 斜 角 为 1 3 5 的 直 线 截 椭 圆 x2y21
专题八 自选模块
1． 极 坐 标 与 直 角 坐 标 的 互 化
1 互 化 的 前 提 ：
①极点与直角坐标系的原点重合；
② 极 轴 与 x轴 的 正 方 向 重 合 ； ③两种坐标系中取相同的长度单位．
2互
化
公
式
x
y
cos sin
2 ， t a n
x2 y2 y ,x
x
. 0
2 ．1 圆 心 在 ( x 0， y 0 )， 半 径 为 r的 圆 的 参 数 方 程 为 ：
x
y
x0 y0
r cos r sin
( 为
参
数
)．
2
过
定
点
M
0
(
x
，
0
y
0
)，倾斜来自角为的
直
线
l的
参
数
方
程
为
：
x y
x0 y0
t cos t sin
(
为
参
数
)．
其
中
t表
示
直
线
l上 以 定 uuuuuur
点
M
为
0
起
点
，
任
意
一
点
M
(
x，
y)为
终
点
的
有
向
线
段
M
0
M
的
数
量
M
0
M
，
当
点
M
在
设方程的两实根分别为t1，t2，则t1
t1t2
t2
2 5
6
2 5
，
则直线截椭圆的弦长是 t1 t2
t1
t2 2
4t1t2
4 2. 5
12
利用直线参数方程的几何意义是求弦长的常用 方法，但需注意直线的参数方程必须是标准形式，
即xy
x0 y0
at bt
(t为参数)，当a2
b2
1，且b
0时才
是标准形式，若不满足a2 b2 1，且b 0两个条件，
则弦长为d
1 b 2 a
t1 t2
.
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【变式训练】(2011g浙江选考)已知直线l： xy
1 t cos t sin
(t为参数，a为l的倾斜角，且0 a )与曲线
C： x y
2 cos sin
( 为参数)相交于A、B两点，点F的坐标
线的顶点连线的斜率的倒数．
1.极坐标问题 【例1】在极坐标系中，已知点A( 2， 0)到直线l：sin()m
4
m0的距离为3. 1求实数m的值；
uuur uuur
2设P是直线l上的动点，Q在线段OP上，且满足OPgOQ 1，
求点Q的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形．
将 极 坐 标 方 程 转 化 为 直 角 坐 标 方 程 ， 再 利 用 点 到 直 线 的 距 离 公 式 求 得 m 的 值 ； 极 坐 标 系 下 的 轨 迹 方 程 的 求 解 与 直 角 坐 标 系 下 的 轨 迹 方 程 的 求 解 方 法 类 似 ， 此 处 可 用 动 点 转 移 法 解 决 ．
为1, 0．
1 求ABF的周长；
2若点E 1, 0 恰为线段AB的三等分点，求VABF的面积．
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1因为C：x 2 cos (为参数)，则 x2 y2 1，直线
y sin
2
为y k x 1，因此直线过椭圆左焦点F1 1, 0，因此
VABF的周长为4a 4 2.
2 对于
x2 2
y2
2 由 1 得 直 线 l的 方 程 为 sin ( ) 2.
4 设 P ( 0 , 0 ), Q ( , )，
则
0
0
1
0
0
1
.①
2 2m | 2
6
因为点P(0，0
)在直线l上，所以r0sin(0
4
)
2.②
将①代入②，得 1 sin( ) 2，即 1 sin( )．