2017年高考一轮复习之抛物线PPT课件
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高考理科数学一轮复习课件抛物线
XX
高考理科数学一轮复 习课件抛物线
汇报人：XX
20XX-01-24
REPORTING
• 抛物线基本概念与性质 • 抛物线图像及其变换 • 抛物线方程求解方法 • 抛物线与其他曲线关系 • 抛物线在几何中的应用 • 抛物线在生活中的实际应用
目录
XX
PART 01
抛物线基本概念与性质
REPORTING
已知抛物线 $y^2 = 2px$（$p > 0$ ）的焦点为 $F$，过点 $F$ 的直线与 抛物线交于 $A, B$ 两点，若 $|AF| + |BF| = 8$，求该抛物线的方程。
XX
PART 04
抛物线与其他曲线关系
REPORTING
与直线交点问题
求解交点坐标
联立抛物线与直线的方程，解出 交点坐标。
待定系数法求方程
设定含有待定系数的抛物线方程。根 据题目给出的条件，设定一个含有待 定系数的抛物线方程。
代入已知条件求解待定系数。将已知 条件代入设定的方程中，通过解方程 或方程组求出待定系数的值。
利用性质求方程
利用抛物线的焦点和准线性质求方程。根据抛物线的焦点和准线的性质，可以列 出关于焦点和准线的方程，进而求出抛物线的方程。
利用抛物线的对称性质求方程。根据抛物线的对称性质，可以列出关于对称轴的 方程，进而求出抛物线的方程。
典型例题分析
例题1
已知抛物线的顶点在原点，焦点在 $x$ 轴上，且过点 $(2,1)$，求该抛物 线的方程。
例题2
例题3
已知抛物线 $C: y^2 = 2px$（$p > 0$）的焦点为 $F$，直线 $l$ 与抛物 线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，若 $|AB| = 8$ 且 $AB$ 的中点到 $y$ 轴的距 离为 $3$，求该抛物线的方程。
高考理科数学一轮复 习课件抛物线
汇报人：XX
20XX-01-24
REPORTING
• 抛物线基本概念与性质 • 抛物线图像及其变换 • 抛物线方程求解方法 • 抛物线与其他曲线关系 • 抛物线在几何中的应用 • 抛物线在生活中的实际应用
目录
XX
PART 01
抛物线基本概念与性质
REPORTING
已知抛物线 $y^2 = 2px$（$p > 0$ ）的焦点为 $F$，过点 $F$ 的直线与 抛物线交于 $A, B$ 两点，若 $|AF| + |BF| = 8$，求该抛物线的方程。
XX
PART 04
抛物线与其他曲线关系
REPORTING
与直线交点问题
求解交点坐标
联立抛物线与直线的方程，解出 交点坐标。
待定系数法求方程
设定含有待定系数的抛物线方程。根 据题目给出的条件，设定一个含有待 定系数的抛物线方程。
代入已知条件求解待定系数。将已知 条件代入设定的方程中，通过解方程 或方程组求出待定系数的值。
利用性质求方程
利用抛物线的焦点和准线性质求方程。根据抛物线的焦点和准线的性质，可以列 出关于焦点和准线的方程，进而求出抛物线的方程。
利用抛物线的对称性质求方程。根据抛物线的对称性质，可以列出关于对称轴的 方程，进而求出抛物线的方程。
典型例题分析
例题1
已知抛物线的顶点在原点，焦点在 $x$ 轴上，且过点 $(2,1)$，求该抛物 线的方程。
例题2
例题3
已知抛物线 $C: y^2 = 2px$（$p > 0$）的焦点为 $F$，直线 $l$ 与抛物 线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，若 $|AB| = 8$ 且 $AB$ 的中点到 $y$ 轴的距 离为 $3$，求该抛物线的方程。
高三第一轮复习抛物线课件理
特点：对称性、 不变性、可逆性
应用：解决实际问 题，如求抛物线的 顶点、焦点等
注意事项：选择合 适的对称点或对称 直线，避免出现错 误
抛物线在实际生 活中的应用
物理中的抛物线运动
抛物线运动是物体在重力作用下，沿着抛物线轨迹运动的一种运动形式。 抛物线运动的特点是物体在运动过程中，速度、加速度和位移都是变化的。 抛物线运动的应用广泛，如炮弹、火箭、卫星等物体的运动都可以用抛物线运动来描述。 抛物线运动在物理学中具有重要的理论意义和实际应用价值。
抛物线与直线、圆的区别：抛物线是二次函数，其图像是一条曲线，而直线是直线方程，其 图像是一条直线；抛物线是二次函数，其图像是一条曲线，而圆是圆方程，其图像是一个圆。
与双曲线的联系与区别
抛物线与双曲线都是二次曲线，具有共同的性质和特点
抛物线是开口向上的曲线，双曲线是开口向下的曲线
抛物线与双曲线的焦点位置不同，抛物线的焦点在x轴上，双曲线的焦点在y轴 上
抛物线在工程学中的应用： 如桥梁设计、建筑设计等
抛物线在生物学中的应用： 如种群增长、生态平衡等
抛物线与其他曲 线的联系与区别
与直线、圆的关系
抛物线与直线的关系：抛物线是二次函数，其图像是一条曲线，而直线是直线方程，其图像是 一条直线。
抛物线与圆的关系：抛物线是二次函数，其图像是一条曲线，而圆是圆方程，其图像是一个圆。
抛物线的几何变 换
平移变换
平移变换的定义：将抛物线沿x轴或y轴移动一定距离 平移变换的公式：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数 平移变换的图形：抛物线沿x轴或y轴移动后的图形 平移变换的应用：解决实际问题，如求抛物线的顶点、对称轴等
伸缩变换
定义：将抛物线沿x轴或y轴进行伸缩变换，得到新的抛物线 伸缩变换公式：x'=kx，y'=ky，其中k为伸缩系数 伸缩变换对抛物线形状的影响：k>1时，抛物线变长；k<1时，抛物线变短 伸缩变换对抛物线顶点的影响：k>1时，顶点向上移动；k<1时，顶点向下移动 伸缩变换对抛物线对称轴的影响：伸缩变换不改变抛物线的对称轴位置
抛物线高三一轮复习 ppt课件
从而 r＝|2
2＋2 8＋9
2|＝4
2 17.
又直线 GB 的方程为 2 2x＋3y＋2 2＝0.
所以点 F 到直线 GB 的距离
d＝|2
2＋2 8＋9
2|＝4
172＝r.
这表明以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆必与直线 GB 相切．
基础诊断
考点突破
【训练 1】 (1)(2017·徐州、宿迁、连云港三市模拟)已知点 F 为抛物 线 y2＝4x 的焦点，该抛物线上位于第一象限的点 A 到其准线的 距离为 5，则直线 AF 的斜率为________． (2)动圆过点(1,0)，且与直线 x＝－1 相切，则动圆的圆心的轨迹 方程为__________． 解析 (1)由于点 F 为抛物线 y2＝4x 的焦点，该抛物线上位于第 一象限的点 A 到其准线的距离为 5，则 xA＋p2＝xA＋1＝5，则 A(4,4)，又 F(1,0)，所以直线 AF 的斜率为44－ －01＝43.
抛物线 C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2， 则抛物线 C2 的方程为________． (2)(2016·全国Ⅰ卷改编)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A， B 两点，交 C 的准线于 D，E 两点．已知 AB＝4 2，DE＝2 5， 则 C 的焦点到准线的距离为________．
所以 m＝±2 2，由抛物线的对称性，不妨设 A(2,2 2)．
由 A(2,2 2)，F(1,0)可得直线 AF 的方程为 y＝2 2(x－1)．
由yy＝ 2＝24x2x－1， 得 2x2－5x＋2＝0，
解得 x＝2 或 x＝12，从而 B12，－
2.
基础诊断
考点突破
高考数学一轮总复习教学课件第八章 平面解析几何第7节 抛物线
|AM|+|MF|-1-2≥|AF|-1-2= ( + ) + -1-2=2.
当且仅当N,M为线段AF分别与圆A、抛物线C的交点时,两个等号成立,
因此,|MN|+d的最小值为2.故选D.
(1)两个距离的转化:“到焦点的距离”和“到准线的距离”可以
互相转化,解题时要做到“看到准线想到焦点,看到焦点想到准线”.
当x≥0时,因为动点M到y轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2,所
以动点M到定点(2,0)的距离与它到定直线x=-2的距离相等,所以动
点M的轨迹是以(2,0)为焦点,x=-2为准线的抛物线,且p=4,所以抛
物线的方程为y2=8x.
综上,得动点M的轨迹方程为y=0(x<0)或y2=8x(x≥0).
求抛物线的标准方程的方法
根据抛物线的定义可知,所求轨迹是一条抛物线.故选A.
2=-20y或
x
(2)焦点在直线x+3y+15=0上的抛物线的标准方程为
y2=-60x
.
解析:(2)令x=0得y=-5;令y=0得x=-15,
所以抛物线的焦点为(0,-5)或(-15,0),
所以所求抛物线的标准方程为x2=-20y或y2=-60x.
考点二
抛物线的标准方程
[例2] (1)如图,过抛物线y 2=2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物
线及准线于点A,B,C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的方程为
(
)
2
A.y =x
B.y2=9x
2
C.y =x
√
D.y2=3x
解析:(1)如图,设准线与x轴的交点为G,分别过点A,B作准线的垂线,
人教版高中数学高考一轮复习--抛物线(课件)
y=k(x+2),代入抛物线方程,整理得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,
由Δ=(4k2-8)2-4k2·
4k2=64(1-k2)≥0,
解得-1≤k≤1.
第二环节
关键能力形成
能力形成点1
抛物线的定义和标准方程
命题角度1 抛物线的定义及应用
例1 (1)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标
交于A,B两点,|AB|=12,P为抛物线C的准线上一点,则△ABP的面积为( C )
A.18
B.24
C.36
D.48
依题意,不妨设抛物线 C 的方程为 y2=2px(p>0),
则焦点坐标为
,0
2
,将
x=2代入 y2=2px,可得
y=±p,
所以|AB|=2p=12,所以 p=6.
因为点 P 在准线上,所以点 P 到直线 l 的距离为 p=6,
如图,过点 M 作 MB⊥x 轴于点 B,
1
∵∠AMF=120°,∴∠BMF=30°,|BF|=2 − 2,
1
1
∴2|BF|=|MF|,即 2 2 - 2 = 2 + 2,解得 p=3.
故抛物线方程为 y2=6x.
7
(2)已知点 P 是抛物线 y =2x 上的动点,点 P 在 y 轴上的射影是点 M,点 A 2 ,4 ,
7
A.2
5
B.2
C.3
∵ =4,∴||=4||.
∴
||
||
=
3
.
4
过点 Q 作 QQ'⊥l,垂足为 Q',
设 l 与 x 轴的交点为 A,
由Δ=(4k2-8)2-4k2·
4k2=64(1-k2)≥0,
解得-1≤k≤1.
第二环节
关键能力形成
能力形成点1
抛物线的定义和标准方程
命题角度1 抛物线的定义及应用
例1 (1)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标
交于A,B两点,|AB|=12,P为抛物线C的准线上一点,则△ABP的面积为( C )
A.18
B.24
C.36
D.48
依题意,不妨设抛物线 C 的方程为 y2=2px(p>0),
则焦点坐标为
,0
2
,将
x=2代入 y2=2px,可得
y=±p,
所以|AB|=2p=12,所以 p=6.
因为点 P 在准线上,所以点 P 到直线 l 的距离为 p=6,
如图,过点 M 作 MB⊥x 轴于点 B,
1
∵∠AMF=120°,∴∠BMF=30°,|BF|=2 − 2,
1
1
∴2|BF|=|MF|,即 2 2 - 2 = 2 + 2,解得 p=3.
故抛物线方程为 y2=6x.
7
(2)已知点 P 是抛物线 y =2x 上的动点,点 P 在 y 轴上的射影是点 M,点 A 2 ,4 ,
7
A.2
5
B.2
C.3
∵ =4,∴||=4||.
∴
||
||
=
3
.
4
过点 Q 作 QQ'⊥l,垂足为 Q',
设 l 与 x 轴的交点为 A,
高三第一轮复习--抛物线
角度一.动弦中点到坐标轴距离最短问题
例1.已知抛物线x 4 y上有一条长为6的动弦AB,
2
则AB的中点到x轴的最短距离为 3 A. 4 3 B. 2 C.1
D.2
AA1 BB1 由中位线定理得 MM 1 2 因为 AB AF BF AA1 BB1 AA1 BB1
p 0, 2
y
p 2
x 2 2 py p 0
p y 2
2 例： 1 y =4 x 2 4 x =8y
2 2 y 3x 2 5 y 4 x
2 3 x =8y 2 6 x = 9y
判断上述抛物线方程中哪些焦点是在x轴上，哪些 焦点在y轴？并判断焦点坐标及准线方程
p x 2
K
ห้องสมุดไป่ตู้
o
F
x
二、抛物线的标准方程
图形
标准方程 焦点坐标 准线方程
y 2 2 px
p 0
y 2 2 px p 0
p ,0 2
p ,0 2
x
p 2
p x 2
x2 2 py
p 0
p 0, 2
（2）因为 FA FB x1 , y1 1 x2 , y2 1 8 x1 x2 y1 1 y2 1 8 4k = 9 3 解得k 4 l的方程为4 x 3 y 3 0或4 x +3 y +3 0
点F：焦点 定义 定直线：准线 MF =1 MN
二、抛物线的标准方程
把方程 y2 = 2px (p＞0)叫做抛物线的标准方 程，其中 p 为正常数，表示焦点在 x 轴正半上。
高考数学一轮复习第七章第七讲抛物线课件
解析：如图 D81，分别过 P，Q 两点作准线 x＝－2p的垂线，
垂足分别为 P1，Q1.分别过 P，Q 两点ห้องสมุดไป่ตู้ x 轴
的垂线，垂足分别为 P2，Q2.准线 x＝－p2交
x 轴于点 D－p2，0.
∵|PP1|＝|PF|＝4，|FP2|＝12|PF|＝2，
图 D81
∴|DF|＝|DP2|－|FP2|＝4－2＝2. ∵|FQ2|＝21|QF|＝12|QQ1|， ∴|DF|＝|QQ1|＋|FQ2|＝23|QF|. ∴32|QF|＝2，|QF|＝43. 答案：34
A.直线 AB 的斜率为 2 6 B.|OB|＝|OF| C.|AB|＞4|OF| D.∠OAM＋∠OBM＜180°
解析：如图 7-7-5，
图 7-7-5 ∵Fp2，0，M(p，0)，且|AF|＝|AM|，
∴A34p， 26p， 由抛物线焦点弦的性质可得 xA·xB＝p42，则 xB＝p3，
则 Bp3，－ 36p，
F0，－p2 y≤0，x∈R
(续表) 准线方程 开口方向
焦半径 通径长
x＝－p2 向右 x0＋p2
x＝p2 向左 －x0＋2p
2p
y＝－p2 向上 y0＋p2
y＝p2 向下 －y0＋2p
【名师点睛】 如图 7-7-1，设 AB 是过抛物线 y2＝2px(p＞0)焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
由yy＝ 2＝k4(xx－，1)， 得 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
得 xA·xB＝1，① 因为|AF|＝2|BF|，由抛物线的定义得 xA＋1＝2(xB＋1)， 即 xA＝2xB＋1，② 由①②解得 xA＝2，xB＝21， 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝29. 答案：B
2017版高考数学课件：8.6 抛物线
即 (x 1)2 y2=|x|+1,
化简整理得y2=2(|x|+x).
故点M的轨迹C的方程为y2=
4x, x 0, x 0.
0,
②在点M的轨迹C中,记C1:y2=4x,C2:y=0(x<0),
依题意,可设直线l的方程为y-1=k(x+2).
第二十五页，编辑于星期六：二十点 二十五分 。
由方程组
答案 y2=2x
解析 由已知条件知|FQ|=2,|PR|=2 ,所3 以|PF|=2,且点P的横坐标为 + p
2
1,根据抛物线的定义知|PF|=xP+
= p+1p+
22
=p+p 1,则由p+1=2,得p=1,所以
2
抛物线的方程为y2=2x.
2-2 已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线交抛物线C于A,B两点. 若线段AB中点的横坐标为2,则|AB|= ( )
| MN | 5 | KM |
选C.
c
| O=A | =22,p=2,故
| OF | p
2
第十七页，编辑于星期六：二十点 二十五分。
抛物线的标准方程及几何性质
典例2 (2013课标全国Ⅱ,11,5分)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M 在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为 ( ) A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x
BCF与△ACF的面积之比是 ( )
A. | BF | 1 | AF | 1
B. | BF |2 1 | AF |2 1
C. | BF | 1 D. | AF | 1
化简整理得y2=2(|x|+x).
故点M的轨迹C的方程为y2=
4x, x 0, x 0.
0,
②在点M的轨迹C中,记C1:y2=4x,C2:y=0(x<0),
依题意,可设直线l的方程为y-1=k(x+2).
第二十五页，编辑于星期六：二十点 二十五分 。
由方程组
答案 y2=2x
解析 由已知条件知|FQ|=2,|PR|=2 ,所3 以|PF|=2,且点P的横坐标为 + p
2
1,根据抛物线的定义知|PF|=xP+
= p+1p+
22
=p+p 1,则由p+1=2,得p=1,所以
2
抛物线的方程为y2=2x.
2-2 已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线交抛物线C于A,B两点. 若线段AB中点的横坐标为2,则|AB|= ( )
| MN | 5 | KM |
选C.
c
| O=A | =22,p=2,故
| OF | p
2
第十七页，编辑于星期六：二十点 二十五分。
抛物线的标准方程及几何性质
典例2 (2013课标全国Ⅱ,11,5分)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M 在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为 ( ) A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x
BCF与△ACF的面积之比是 ( )
A. | BF | 1 | AF | 1
B. | BF |2 1 | AF |2 1
C. | BF | 1 D. | AF | 1
高考第一轮复习——抛物线及其几何性质
x∈R y≥0
关于x轴对称 关于y轴对称
（0,0）
p 2
x0
（0,0）
p 2
y0
p x1 x2
p (x1 x2 )
p y1 y2
x2 = -2py （p＞0）
y
l
O F
x
x∈R y≤0
关于y轴对称
（0,0）
p 2
y0
p ( y1 y2 )
5、抛物线的焦点弦的性质（ 以 y2 2 px( p 0) 为例）
y
图形
F
o
x
. .
y F ox
焦点 准线
F( p ,0) 2
x p 2
F ( p ,0) 2
x p 2
y
F
x o
F(0, p) 2
y p 2
y
o
x
F
F (0, p) 2
y p 2
（ 以 y2 2 px( p 0)为例） y
P(x0 ,y0)
1、离心率 e=1 2、焦半径 |PF|=x0+p/2 3、焦点弦长
p
y
A
由此我们得到一种抛物线的简单画法:
O
F
x
B
抛物线 方程
图 形
范围
对称性 顶点 焦半径 公式 焦点弦 长
y2 = 2px （p＞0）
y
l OF x
x≥0 y∈R 关于x轴对称
（0,0）
p 2 x0
y2 = -2px （p＞0）
yl
x2 = 2py （p＞0）
y
F
FO x
O
x
一轮复习课件97抛物线1
2
设P(x0,y0),则由抛物线定义可得|PF|=x0+
p 2
.
由已知点C为PF的中点则C的坐标为(
x
0
p 2
,
,y半0 )径r=
22
的距离d=
x0
p
2,所以d=r,故圆C与y轴相切,故选B.
2
|PF,|故 Cx0点到p2 y轴
2
2
3.(选修2-1P61练习BT3改编)顶点在坐标原点,焦点为F(0,1)的抛物线上有一动
4
则 AM 11，AF 5，所以 AM 11.
4
4
AF 5
|PQ|=|PF|+|QF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=8.
2.(选修2-1P63例3改编)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,P为抛物线上任意 一点,则以PF为直径的圆C与y轴 ( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.以上都不对
【解析】选B.由抛物线方程得F ( p ,,0)
()
4
(6)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线
的通径,那么抛物线x2=-2ay(a>0)的通径长为2a. ( )
提示:(1)×.当定点在定直线上时,轨迹为过定点与定直线垂直的一条直线,不是
抛物线.
(2)×.方程y=ax2(a≠0)可化为x2= 1 y是焦点在y轴上的抛物线,且其焦点坐标
4
准线方程是x=- a .
()
4
(3)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形. ( )
(4)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切. ( )
(5)AB为抛物线y2=2px(p>0)的过焦点F ( p ,0)的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=
高考数学一轮总复习课件：抛物线(二)
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√ (6)√
2．(课本习题改编)过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x
仅有一个公共点，这样的直线有( C )
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
解析 两条切线，另一条平行于对称轴．
3．(2020·辽宁五校期末联考)已知AB是抛物线y2＝2x的一条
【解析】 设斜率为k，则切线为y＝k x＋p2 ，代入y2＝2px 中，得k2x2＋p(k2－2)x＋k24p2＝0.
Δ＝0，即p2(k2－2)2－4·k2·k24p2＝0.解得k2＝1，∴k＝±1.
(2)(2021·河南新乡市模拟)若抛物线x2＝ay(a≠0)的准线与抛
物线y＝－x2－2x＋1相切，则a＝( B )
＝2.故选C.
5．(2021·湖南长沙质检)设经过抛物线C的焦点的直线l与抛
物线C交于A，B两点，那么抛物线C的准线与以AB为直径的圆
的位置关系为( B )
A．相离
B．相切
C．相交但不经过圆心 D．相交且经过圆心
解析 设圆心为M，过点A，B，M分别作准线l的垂线，垂
足分别为A1，B1，M1(图略)，则|MM1|＝
【证明】 (1)∵y2＝2px(p>0)的焦点为Fp2，0， 当k不存在时，直线方程为x＝p2. 这时y1＝p，y2＝－p，则y1y2＝－p2，x1x2＝p42.
当k存在时，设直线方程为y＝kx－p2(k≠0)． 由y＝kx－p2，消去x，得ky2－2py－kp2＝0.①
y2＝2px ∴y1y2＝－p2，x1x2＝（y41py22）2＝p42. 因此，总有y1y2＝－p2，x1x2＝p42成立．
斜角为
π 6
的直线交C于A，B两点．若线段AB中点的纵坐标为
2．(课本习题改编)过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x
仅有一个公共点，这样的直线有( C )
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
解析 两条切线，另一条平行于对称轴．
3．(2020·辽宁五校期末联考)已知AB是抛物线y2＝2x的一条
【解析】 设斜率为k，则切线为y＝k x＋p2 ，代入y2＝2px 中，得k2x2＋p(k2－2)x＋k24p2＝0.
Δ＝0，即p2(k2－2)2－4·k2·k24p2＝0.解得k2＝1，∴k＝±1.
(2)(2021·河南新乡市模拟)若抛物线x2＝ay(a≠0)的准线与抛
物线y＝－x2－2x＋1相切，则a＝( B )
＝2.故选C.
5．(2021·湖南长沙质检)设经过抛物线C的焦点的直线l与抛
物线C交于A，B两点，那么抛物线C的准线与以AB为直径的圆
的位置关系为( B )
A．相离
B．相切
C．相交但不经过圆心 D．相交且经过圆心
解析 设圆心为M，过点A，B，M分别作准线l的垂线，垂
足分别为A1，B1，M1(图略)，则|MM1|＝
【证明】 (1)∵y2＝2px(p>0)的焦点为Fp2，0， 当k不存在时，直线方程为x＝p2. 这时y1＝p，y2＝－p，则y1y2＝－p2，x1x2＝p42.
当k存在时，设直线方程为y＝kx－p2(k≠0)． 由y＝kx－p2，消去x，得ky2－2py－kp2＝0.①
y2＝2px ∴y1y2＝－p2，x1x2＝（y41py22）2＝p42. 因此，总有y1y2＝－p2，x1x2＝p42成立．
斜角为
π 6
的直线交C于A，B两点．若线段AB中点的纵坐标为
高考数学一轮专项复习ppt课件-抛物线(北师大版)
抛物线准线的垂线，垂足为D，
则|PF|＝|PD|，|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.
当点M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小.
由最小值为 41，得 20＋p2＝41，解得 p＝42；
①
当点M(20,40)位于抛物线外时，如图②，当点P， M，F三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小.
2 则该抛物线C的方程为__x_2_＝__2_y或__x_2_＝__8_y__.
由题意设抛物线方程为 x2＝2py(p>0)，P(x0，y0)，F0，p2，圆的半径为45， 由焦半径公式可知 y0＋p2＝52，得 y0＝5－2 p， 并且线段 PF 中点的纵坐标是y0＋2 p2＝54，
所以以线段PF为直径的圆与x轴相切，切点坐标为(－1,0)或(1,0)，
即 p2＝p2×6，解得 p＝3 或 p＝0(舍去)， 所以 C 的准线方程为 x＝－32.
(2)已知 F 是抛物线 y2＝16x 的焦点，M 是抛物线上一点，FM 的延长线 交 y 轴于点 N，若 3F→M＝2M→N，则|NF|＝__1_6___.
易知焦点F的坐标为(4,0)，准线l的方程为x＝－4， 如图，抛物线准线与x轴的交点为A，作MB⊥l 于点B，NC⊥l于点C，AF∥MB∥NC， 则||MNFN||＝|BM|O|－F||CN|， 由 3F→M＝2M→N，得||MNFN||＝35，
A.0
B.1
√C.2
D.3
由抛物线的定义可知， 抛物线y2＝2px(p>0)上的点到焦点的距离等于其到准线的距离， 则最短距离为p2＝1，所以 p＝2.
返回
第二部分
探究核心题型
题型一 抛物线的定义及应用
例1 (1)(2024·南昌模拟)设圆O：x2＋y2＝4与y轴交于A，B两点(A在B的
抛物线课件高三数学一轮复习
2
＝0，解得 p ＝－42（舍去）或 p ＝6.故选C.
法二
根据抛物线的定义及题意得，点 A 到 C 的准线 x ＝－ 的距离为
2
12，因为点 A 到 y 轴的距离为9，所以 ＝12－9，解得 p ＝6.故选C.
2
目录
高中总复习·数学（提升版）
2. （2024·全国乙卷13题）已知点 A （1， 5 ）在抛物线 C ： y 2＝2 px
1｜≥3，故点 M 到 x 轴的距离 d ≥2，故最短距离为2.
目录
高中总复习·数学（提升版）
抛物线的标准方程与几何性质
【例3】 （1）已知 F 为抛物线 C ： y 2＝2 px （ p ＞0）的焦点，过 F
作垂直于 x 轴的直线交抛物线于 M ， N 两点，以 MN 为直径的圆交 y 轴
于 C ， D 两点，且｜ CD ｜＝3，则抛物线方程为（
上，则 A 到 C 的准线的距离为
9
4
.
解析：∵点 A （1， 5 ）在抛物线 y 2＝2 px 上，∴5＝2 p ，得 p ＝
5
5
9
，∴点 A 到准线的距离为 xA ＋ ＝1＋ ＝ .
2
2
4
4
目录
高中总复习·数学（提升版）
直线与抛物线的位置关系
【例4】 （多选）（2024·新高考Ⅱ卷10题）设 O 为坐标原点，直线 y
2. 抛物线性质的应用技巧
（1）利用抛物线方程确定其焦点、准线时，关键是将抛物线方程
化成标准方程；
（2）要结合图形分析，灵活运用平面图形的性Байду номын сангаас简化运算.
目录
高中总复习·数学（提升版）
＝0，解得 p ＝－42（舍去）或 p ＝6.故选C.
法二
根据抛物线的定义及题意得，点 A 到 C 的准线 x ＝－ 的距离为
2
12，因为点 A 到 y 轴的距离为9，所以 ＝12－9，解得 p ＝6.故选C.
2
目录
高中总复习·数学（提升版）
2. （2024·全国乙卷13题）已知点 A （1， 5 ）在抛物线 C ： y 2＝2 px
1｜≥3，故点 M 到 x 轴的距离 d ≥2，故最短距离为2.
目录
高中总复习·数学（提升版）
抛物线的标准方程与几何性质
【例3】 （1）已知 F 为抛物线 C ： y 2＝2 px （ p ＞0）的焦点，过 F
作垂直于 x 轴的直线交抛物线于 M ， N 两点，以 MN 为直径的圆交 y 轴
于 C ， D 两点，且｜ CD ｜＝3，则抛物线方程为（
上，则 A 到 C 的准线的距离为
9
4
.
解析：∵点 A （1， 5 ）在抛物线 y 2＝2 px 上，∴5＝2 p ，得 p ＝
5
5
9
，∴点 A 到准线的距离为 xA ＋ ＝1＋ ＝ .
2
2
4
4
目录
高中总复习·数学（提升版）
直线与抛物线的位置关系
【例4】 （多选）（2024·新高考Ⅱ卷10题）设 O 为坐标原点，直线 y
2. 抛物线性质的应用技巧
（1）利用抛物线方程确定其焦点、准线时，关键是将抛物线方程
化成标准方程；
（2）要结合图形分析，灵活运用平面图形的性Байду номын сангаас简化运算.
目录
高中总复习·数学（提升版）
抛物线(高三一轮复习)
可知当A，P，H三点共线时周长最小，为6＋2 2，故选C.
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 21 —
命题点2 抛物线的标准方程
例2 (1)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其
准线于点C，准线与对称轴交于点M，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程
A．y2＝4x或y2＝16x B．y2＝x或y2＝8x C．y2＝2x或y2＝4x D．y2＝x或y2＝4x
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 23 —
解析 (1)由抛物线定义，知|BF|等于B到准线的距离，因为|BC|＝2|BF|，所以∠
BCM＝30°，又|AF|＝3，从而A
p2＋32，3
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
思维点睛► 求抛物线的标准方程的方法
(1)定义法； (2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论．
— 26 —
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 27 —
针对训练
1．(2023·张家界质检)若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点
2
3
，A在抛物线上，代入抛物线方程y2＝
2px，得247＝p2＋3p，解得p＝32. 故抛物线方程为y2＝3x.
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
(2)设P为(x0，y0)，则M→P ＝(x0，y0－2)， 又Fp2，0，∴M→F ＝p2，－2. ∵MF⊥PM，∴M→F ·M→P ＝0，
第八章 平面解析几何
第7讲 抛物线
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 课标解读
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答案
5 (1)2
(2) 9＋a2－1
基础诊断
考点突破
课堂总结
规律方法 与抛物线有关的最值问题，一般 情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线 的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类 问题也有一定的难度.“看到准线想焦点， 看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦 有关问题的重要途径.
基础诊断
考点突破
课堂总结
满足题意；当 k≠0 时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－
k2)≥0，解得－1≤k＜0 或 0＜k≤1，因此 k 的取值范围是 [－1，1]. 答案 [－1，1]
基础诊断
考点突破
课堂总结
5.动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的 轨迹方程为__________.
解析 设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的 距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知 动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x. 答案 y2＝4x
基础诊断
考点突破
课堂总结
3.(2014·新课标全国Ⅰ卷)已知抛物线 C：y2＝x 的焦点为 F，A(x0，
y0)是 C 上一点，|AF|＝54x0，则 x0＝(
)
A.4
B.2
C.1
D.8
解析 由 y2＝x，得 2p＝1，即 p＝12，因此焦点 F14，0，准
线方程为 l：x＝－14.设 A 点到准线的距离为 d，由抛物线的
【训练 1】 (2014·新课标全国Ⅰ卷)已知抛物线 C：y2＝8x 的焦
点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个
交点.若F→P＝4F→Q，则|QF|等于( C )
7
5
A.2
B.2
C.3 D.2
解析 ∵F→P＝4F→Q，∴|F→P|＝4|F→Q|，
∴||PPQF||＝34.如图，过 Q 作 QQ′⊥l，
定义可知 d＝|AF|，从而 x0＋14＝54x0，解得 x0＝1，故选 C. 答案 C
基础诊断
考点突破
课堂总结
4.已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2，0)的直线l与 抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是 ________. 解析 设直线 l 的方程为 y＝k(x＋2)，代入抛物线方程， 消去 y 整理得 k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当 k＝0 时，显然
基础诊断
考点突破
课堂总结
2.(2015·陕西卷)已知抛物线 y2＝2px(p＞0)的准线经过点
(－1，1)，则该抛物线焦点坐标为( )
A.(－1，0)
B.(1，0)
C.(0，－1)
D.(0，1)
解析 由于抛物线 y2＝2px(p＞0)的准线方程为 x＝－p2，
由题意得－p2＝－1，p＝2，焦点坐标为1，0，故选 B. 答案 B
垂足为 Q′，设 l 与 x 轴的交点为 A，
则|AF|＝4，∴||PPQF||＝|Q|AQF′| |＝34，
∴|QQ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ′|＝|QF|＝3，故选 C.
基础诊断
考点突破
课堂总结
考点二 抛物线的标准方程和几何性质
【例 2】 (1)已知双曲线 C1：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的离心率为 2.
点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫 做抛物线的 准线 ． (2)其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)．
基础诊断
考点突破
课堂总结
2.抛物线的标准方程与几何性质
图形
标准 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0)
x2＝py
x2＝－2py
(p>0)
(p>0)
方程
p 的几何意总结
考点一 抛物线的定义及应用 【例 1】(1)(2016·郑州质量预测)F 是抛物线 y2＝2x 的焦点，A，
B 是抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝6，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为________. (2)已知点 P 是抛物线 y2＝4x 上的动点，点 P 在 y 轴上的射 影是 M，点 A 的坐标是(4，a)，则当|a|＞4 时，|PA|＋|PM| 的最小值是________.
基础诊断
考点突破
课堂总结
顶点
O(0，0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
Fp2，0 F－p2，0
F0，p2
性 离心率
e＝1
F0，－p2
质 准线方程 范围
x＝－p2 x≥0， y∈R
x＝p2 x≤0， y∈R
y＝－p2
y＝p2
y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向 向右
向左
向上
向下
基础诊断
考点突破
课堂总结
诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
基础诊断
考点突破
课堂总结
解析 (1)如图，过 A，B 分别作准线的垂线，垂足分别为 D， E，由|AF|＋|BF|＝6 及抛物线的定义知|AD|＋|BE|＝6，所以线 段 AB 的中点到准线的距离为12(|AD|＋|BE|)＝3.又抛物线的准 线为 x＝－12，所以线段 AB 的中点到 y 轴的距离为52.
第7讲 抛物线
基础诊断
考点突破
课堂总结
最新考纲 1.了解抛物线的实际背景，了解抛 物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； 2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及 简单几何性质.
基础诊断
考点突破
课堂总结
知识梳理
1．抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离 相等 的
(1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨 迹一定是抛物线.( × ) (2)方程 y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线， 且其焦点坐标是a4，0，准线方程是 x＝－a4.( × ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( × ) (4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截 得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线 x2＝－2ay(a＞0) 的通径长为 2a.( √ )
基础诊断
考点突破
课堂总结
(2)将 x＝4 代入抛物线方程 y2＝4x，得 y＝±4，|a|＞4，所以 A 在抛物线的外部，如图.由题意知 F(1，0)，抛物线上点 P 到准线 l：x＝－1 的距离为|PN|，由定义知，|PA|＋|PM|＝|PA| ＋|PN|－1＝|PA|＋|PF|－1.当 A，P，F 三点共线时，|PA|＋|PF| 取最小值，此时|PA|＋|PM|也最小， 最小值为|AF|－1＝ 9＋a2－1.