自动控制理论第三章 (1)

性能进行分析。对控制系统性能的分析，主要是从 稳定性、稳态性能和动态性能三个方面着手，即通 常所说的“稳、准、快”。在经典控制理论中，常 用的分析方法有三种，即时域分析法、根轨迹法和 频域分析法。 所谓时域分析法，是根据描述系统的微分方程或传 递函数，直接解出控制系统的时间响应，然后依据 响应的表达式或描述曲线来分析系统的性能。（定 量分析方法）
dm d m1 b0 m1 r (t ) b1 m1 r (t ) dt dt
3. 线性微分方程的解的组成
c(t ) c1 (t ) c2 (t )
c1 (t ) 对应齐次微分方程的通解 式中，
c2 (t ) 为任一特解
即 线性常微分方程的解
=齐次微分方程的通解+非齐次微分方程的任一特解
注意：

线性系统的性能只由系统本身的结构及参量决定。
采用典型输入信号的目的，是为了在一个统一的
标准下，比较分析各种不同控制系统的性能！！！

如何确定选取哪种典型信号作为试验信号？
不论选择何种典型输入信号，对同一系统而言，
其响应过程所表征的系统特性是一致的。 最常用的典型输入是阶跃信号。

二、线性定常系统的时间响应
§3.1 时域分析法概述
§3.1.1 时域法的作用和特点
时域法是最基本的分析方法,学习复域法、频域法的基础
(1) 直接在时间域中对系统进行分析校正，直观，准确； (2) 可以提供系统时间响应的全部信息；
(3) 基于求解系统输出的解析解，比较烦琐。
一、典型输入函数 所谓典型输入信号，是指根据系统常遇到的输 入信号形式，在数学描述上加以理想化的一些基本 输入函数。 典型输入信号的选取既应大致反映系统的实际 工作情况，又应力求简单以便于分析，此外，还必 须选取使系统处于最不利情况下的输入信号。
r (t )
T T
有振荡时，可定义为从 0 到第一次达到终值所需的时间
峰值时间 t p — 阶跃响应越过终值达到第一个峰值所需的时间 调节时间 t s — 阶跃响应到达并保持在终值 5％误差带内所需的最短时间
超调量
— 峰值超出终值的百分比
%
c(t p ) c() c()
100%
h ( t)
A 超调量σ% = A 100% B
3. 一阶系统的单位斜坡响应
对于单位斜坡输入
r (t ) t
于是
1 R( s) 2 s
1 1 1 T T2 C ( s) 2 2 Ts 1 s s s Ts 1
由拉氏反变换可以得到一阶系统的单位斜坡响应为
c(t ) (t T ) Tet /T
c(t )
0 r (t ) t t0 t0
0
t
dr 因为 A ，所以又称等（匀）速度函数。 dt
1 R( s) 2 s
3. 抛物线函数
r (t )
0 t0 r (t ) 2 At t 0
0
t
式中A为常量。
因为
d 2r 2 A ，所以又称等（匀）加速度函数。 2 dt
0 t 0 r (t ) A t 0
式中A为常量。 单位阶跃函数及其拉氏变换
A
0
t
0 t 0 r (t ) 1 t 0
1 R( s) s
2.斜坡函数
r (t )
0 t0 r (t ) At t 0 式中A为常量。
单位斜坡函数及其拉氏变换
常由动态性能和稳态性能两部分组成。

析才有意义！！
1. 动态性能：一般由单位阶跃响应表征系统动态性能
稳：( 基本要求 ) 系统受脉冲扰动后能回到原来的平衡位置
准: ( 稳态要求 ）稳态输出与理想输出间的误差(稳态误差)要小 快: ( 动态要求 ) 过渡过程要平稳，迅速
延迟时间 t d — 阶跃响应第一次达到终值的50％所需的时间 上升时间 t r — 阶跃响应从终值的10％上升到终值的90％所需的时间

ts 3T ts 4T
5% 2%
2. 一阶系统的单位脉冲响应
对于单位脉冲输入
r (t ) (t )
于是
R( s) 1
1 C ( s) Ts 1
由拉氏反变换可以得到一阶系统的单位脉冲响应为
1 t /T g (t ) c(t ) e T
(t 0)
1. 一阶系统的单位阶跃响应
对于单位阶跃输入
r (t ) 1(t )
1 R( s) s
于是
1 1 T C ( s) s (Ts 1) s Ts 1
由拉氏反变换可以得到一阶系统的单位阶跃响应为
c(t ) cs (t ) ct (t ) 1 et /T (t 0)
g (t )
1/ T
0
T
2T
3T
4T
5T
t
讨论：

一阶系统单位脉冲响应的调节时间为
ts 3T 或 ts 4T

单位脉冲响应中只包含瞬态分量。

单位脉冲响应也可以通过对单位阶跃响应求导获
得。单位阶跃响应是单位脉冲响应的积分。

系统的单位脉冲响应对应系统传递函数的拉普拉
斯反变换，这一结论对于所有系统都是成立的。
t 0 (t ) 0 t 0
R( s) 1
且



(t )dt 1
5. 正弦函数
r (t )
r (t ) A sin t
式中A为振幅，ω为角频率。 其拉氏变换为
R( s) 2 s 2
0

2
t
用于频域分析，见第五章。
§3.1.2 时域法常用的典型输入信号
本章重点
通过本章学习，应重点掌握典型输入信号的定义 与特征、控制系统暂态和稳态性能指标的定义及计算 方法、一阶及二阶系统暂态响应的分析方法、控制系 统稳定性的基本概念及稳定判据的应用、控制系统的 稳态误差概念和误差系数的求取等内容。
自动控制原理课程的任务与体系结构
在建立了控制系统的数学模型后，就可以对系统的
为什么要研究典型输入信号？
控制系统的输入信号是随机和无法事先确定的。
为了测试比较控制系统的性能，需要有一个共同的
基础。
可以采用很接近实际控制系统经常遇到的输入信号
，并在数学描述上加以理想化后能用较为典型且简 单的函数形式表达出来的信号。
常用的典型输入信号有五种。
1.阶跃函数
r (t )
第3章 线性系统的时域分析法
典型响应的性能指标 一阶系统的时域分析 二阶系统的时域分析 控制系统的稳定性和代数判据 稳态误差的分析和计算 王承国 wangcg@
本章主要内容
本章介绍了控制系统时域性能分析法的相关概念 和原理。包括各种典型输入信号的特征、控制系统常 用性能指标、一阶、二阶系统的暂态响应、脉冲响应 函数及其应用、控制系统稳定性及稳定判据、系统稳 态误差等。
i 1 k 1
n
l
式中，Ai、Bk 为待定常量，其值与系统的结构、参
量及输入有关。

如果 r (t ) 1(t ) ，系统的输出即为单位阶跃响应
h(t ) Ai e si t B
i 1 n
三、动态过程和稳态过程

在典型输入信号的作用下，任何一个控制系统的
时间响应都由动态过程和稳态过程两部分组成。
＝零输入响应＋零状态响应
=自然响应＋受迫响应
4. 线性系统响应的分解
分析电网络时：
网络的响应
=动态响应（暂态分量）+稳态响应（稳态分量）
这两种分解有没有联系呢？
5. 拉氏反变换求解微分方程（零初始条件）
C ( s) N ( s) G( s) R( s ) D( s ) C ( s) G ( s ) R( s ) P( s) R( s) Q( s ) N ( s ) P( s ) D( s ) Q( s )
1 e1 0.632

一阶系统单位阶跃响应的典型数值
c(0) 1 e0 0 1 c(T ) 1 e 0.632 2 c(2T ) 1 e 0.865 3 c(3T ) 1 e 0.95 4 c(4T ) 1 e 0.982 c(5T ) 1 e 5 0.993 c ( ) 1
动态过程：系统在输入信号作用下，系统输出
量从开始状态到最终状态的响应过程。
稳态过程：时间趋近于无穷大时，系统输出状
态的表现形式。它表征系统输出量最终复现输 入量的程度，提供有关稳态误差的信息。
四、动态性能和稳态性能

控制系统在典型输入信号作用下的性能指标，通Байду номын сангаас值得注意的是，只有对稳定控制系统进行时域分

稳态误差是系统控制精度和抗扰动能力的一种 度量。
3.2 一阶系统的时域分析

一阶系统的数学模型
E (s)
R( s) +
-
1 Ts
C (s)
R( s)
1 Ts 1
C (s)
RC电路、恒温箱、液位调节系统、室温调节系统是常见的一阶系统
dc(t ) T c(t ) r (t ) dt
C ( s) 1 G( s) R( s ) Ts 1
用部分分式展开
l Ai Bk C ( s) i 1 s si k 1 s sk n
式中，si 传递函数的极点
sk
输入象函数 R( s)的极点
如果
si 和 sk 都是互异极点，则系统的零状态响应
2 j c j 1