第13届小机灵杯五年级决赛解析

第十三届“小机灵杯”数学竞赛决赛卷（五年级组）

时间：60分钟

总分：120分

第一部分（每题6分，共30分）

【第1题】

从11111124681012

+++++中删去两个加数后使余下的四个加数之和恰好等于1.那么，删去的两个加数分别是________和________。

【分析与解】 111111111111111111112468101224810612248104810

⎛⎫+++++=+++++=++++=++ ⎪⎝⎭； 而11981040

+=； 34025=⨯，分母含因数5的只有110，故另一个数为18； 删去剩下的两个加数分别是18和110

。 【第2题】

用四则运算符号及括号，对10、10、4、2这四个数进行四则运算，使所得结果是24。那么，这个四则运算的算式是________________________。

【分析与解】

算24点：()24101024+÷⨯=

【第3题】

把一个正方体切成27个相同的小正方体。这些小正方体的表面积之和比大正方体的表面积大432平方厘米。那么，大正方体的体积是________立方厘米。

【分析与解】

设原来大正方体的棱长为3a 厘米，则每个小正方体的棱长为a 厘米；

每个小正方体的表面积为26a 平方厘米；

大正方体的表面积为()2

26354a a ⨯=平方厘米； 2262754432a a ⨯-=；

24a =；

2a =；

大正方体的棱长为236⨯=厘米；

大正方体的体积为36216=立方厘米。

若a ，b ，c ，d 是互不相等的正整数，357a b c d ⨯⨯⨯=，则________a b c d +++=。

【分析与解】

把357分解质因数：3573717=⨯⨯；

所以把357拆成四个互不相同的正整数的乘积只能是35713717=⨯⨯⨯；

即{}{},,,1,3,7,17a b c d =；

则这四个数的和是1371728+++=。

【第5题】

从一只装有1升酒精的大瓶中倒出13升酒精，往瓶中加入等量的水并搅匀，然后再倒出13升混合液，再加入等量的水并搅匀，最后再倒出13

升混合液，并加入等量的水。这时，瓶内液体中海油酒精________升。 【分析与解】

每倒出一次，剩下的酒精是倒出之前的121-

33=； 最后瓶内液体中还有酒精3281327⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭升。 第二部分（每题8分，共40分）

【第6题】

某学校招收艺术特长生，根据学生入学考试成绩确定了录取分数线，并录取了25

的考生，所有被录取者的平均成绩比录取分数线高15分，没有被录取的考生的平均分比录取分数低20分。若所有考生的平均分是90分，那么录取分数线是________分。

【分析与解】

设分数线是x 分；

()()22152019055x x ⎛⎫+⨯+-⨯-= ⎪⎝⎭

； 解得96x =；

录取分数线是96分。

【第7题】

两个七进制整数454与5的商的七进制表示为________。

【分析与解】

()()()21071010454475747235=⨯+⨯+⨯=；

()()71055=；

()()()()()()()10771010107104545235547675765÷=÷==⨯+⨯=。

某文艺团队为庆祝元旦排练体操。若让1000名队员排成若干排，总排数大于16，且从第二排起每排比前一排多1人。该队形应排成________排才能满足要求，此时第一排应排________名队员。

【分析与解】

若正整数n 可以表示为从m 开始的连续k 个正整数的和；

即()()()()2111122

k m k n m m m k m m k k +-=+++++-=++-⨯÷=⎡⎤⎣⎦ ； 若k 为奇数，则21m k +-是偶数，212m k +-是整数；212

m k n k +-=⨯，即n =奇数⨯整数； 一个等差数列有奇数项，那么这个等差数列的和=中间项（整数）⨯项数（奇数）；

若k 为偶数，则21m k +-是奇数，2k 是整数；()212

k n m k =+-⨯，即n =奇数⨯整数； 一个等差数列有偶数项，那么这个等差数列的和=中间两个数的和（奇数）⨯项数的一半（整数）； 故一个正整数可以表示为连续正整数的和，那么这个数一定可以表示为“奇数⨯整数”的形式； 但是当1k =时，这个整数只能表示为“1个连续的正整数”，这种情况舍去；

一个正整数数表示为连续正整数的和的情况个数等于这个正整数的奇约数的个数1-。

33100025=⨯，有314+=个奇约数；

故把1000拆成若干连续的正整数的和，有413-=种拆法；

10005200=⨯，把1000拆成5个数，中心数是200，1000198199200201202=++++；

10002540=⨯，把1000拆成25个数，中心数是40，1000282952=++ ；

10001258=⨯，把1000拆成16个数，中间两个数是62和63，1000555670=+++ ；

因为总排数大于16；

所以该队形应排成25排才能满足要求，此时第一排应排28名队员。

【第9题】

n 只小球外观相同，其中有一只小球的重量比其他小球轻（其他小球重量相等）。若用一架没有砝码的天平秤作为工具，至少称量5次就可以把那个重量较轻的小球找出来，那么，n 的最大值是________。

【分析与解】

每次称重量时，可以把所有小球分成三堆，用天平秤比较其中的两堆；

若天平不平衡，则较轻的那堆中有重量较轻的小球；

若天平平衡，则剩下的那堆中有重量较轻的小球；

n 最大是53243=。