第13届小机灵杯五年级决赛解析

第十三届“小机灵杯”数学竞赛决赛卷（五年级组）时间：60分钟总分：120分第一部分（每题6分，共30分）【第1题】从11111124681012+++++中删去两个加数后使余下的四个加数之和恰好等于1.那么，删去的两个加数分别是________和________。

【分析与解】 111111111111111111112468101224810612248104810⎛⎫+++++=+++++=++++=++ ⎪⎝⎭； 而11981040+=； 34025=⨯，分母含因数5的只有110，故另一个数为18； 删去剩下的两个加数分别是18和110。

【第2题】用四则运算符号及括号，对10、10、4、2这四个数进行四则运算，使所得结果是24。

那么，这个四则运算的算式是________________________。

【分析与解】算24点：()24101024+÷⨯=【第3题】把一个正方体切成27个相同的小正方体。

这些小正方体的表面积之和比大正方体的表面积大432平方厘米。

那么，大正方体的体积是________立方厘米。

【分析与解】设原来大正方体的棱长为3a 厘米，则每个小正方体的棱长为a 厘米；每个小正方体的表面积为26a 平方厘米；大正方体的表面积为()226354a a ⨯=平方厘米； 2262754432a a ⨯-=；24a =；2a =；大正方体的棱长为236⨯=厘米；大正方体的体积为36216=立方厘米。

若a ，b ，c ，d 是互不相等的正整数，357a b c d ⨯⨯⨯=，则________a b c d +++=。

【分析与解】把357分解质因数：3573717=⨯⨯；所以把357拆成四个互不相同的正整数的乘积只能是35713717=⨯⨯⨯；即{}{},,,1,3,7,17a b c d =；则这四个数的和是1371728+++=。

【第5题】从一只装有1升酒精的大瓶中倒出13升酒精，往瓶中加入等量的水并搅匀，然后再倒出13升混合液，再加入等量的水并搅匀，最后再倒出13升混合液，并加入等量的水。

这时，瓶内液体中海油酒精________升。

【分析与解】每倒出一次，剩下的酒精是倒出之前的121-33=； 最后瓶内液体中还有酒精3281327⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭升。

第二部分（每题8分，共40分）【第6题】某学校招收艺术特长生，根据学生入学考试成绩确定了录取分数线，并录取了25的考生，所有被录取者的平均成绩比录取分数线高15分，没有被录取的考生的平均分比录取分数低20分。

若所有考生的平均分是90分，那么录取分数线是________分。

【分析与解】设分数线是x 分；()()22152019055x x ⎛⎫+⨯+-⨯-= ⎪⎝⎭； 解得96x =；录取分数线是96分。

【第7题】两个七进制整数454与5的商的七进制表示为________。

【分析与解】()()()21071010454475747235=⨯+⨯+⨯=；()()71055=；()()()()()()()10771010107104545235547675765÷=÷==⨯+⨯=。

某文艺团队为庆祝元旦排练体操。

若让1000名队员排成若干排，总排数大于16，且从第二排起每排比前一排多1人。

该队形应排成________排才能满足要求，此时第一排应排________名队员。

【分析与解】若正整数n 可以表示为从m 开始的连续k 个正整数的和；即()()()()2111122k m k n m m m k m m k k +-=+++++-=++-⨯÷=⎡⎤⎣⎦ ； 若k 为奇数，则21m k +-是偶数，212m k +-是整数；212m k n k +-=⨯，即n =奇数⨯整数； 一个等差数列有奇数项，那么这个等差数列的和=中间项（整数）⨯项数（奇数）；若k 为偶数，则21m k +-是奇数，2k 是整数；()212k n m k =+-⨯，即n =奇数⨯整数； 一个等差数列有偶数项，那么这个等差数列的和=中间两个数的和（奇数）⨯项数的一半（整数）； 故一个正整数可以表示为连续正整数的和，那么这个数一定可以表示为“奇数⨯整数”的形式； 但是当1k =时，这个整数只能表示为“1个连续的正整数”，这种情况舍去；一个正整数数表示为连续正整数的和的情况个数等于这个正整数的奇约数的个数1-。

33100025=⨯，有314+=个奇约数；故把1000拆成若干连续的正整数的和，有413-=种拆法；10005200=⨯，把1000拆成5个数，中心数是200，1000198199200201202=++++；10002540=⨯，把1000拆成25个数，中心数是40，1000282952=++ ；10001258=⨯，把1000拆成16个数，中间两个数是62和63，1000555670=+++ ；因为总排数大于16；所以该队形应排成25排才能满足要求，此时第一排应排28名队员。

【第9题】n 只小球外观相同，其中有一只小球的重量比其他小球轻（其他小球重量相等）。

若用一架没有砝码的天平秤作为工具，至少称量5次就可以把那个重量较轻的小球找出来，那么，n 的最大值是________。

【分析与解】每次称重量时，可以把所有小球分成三堆，用天平秤比较其中的两堆；若天平不平衡，则较轻的那堆中有重量较轻的小球；若天平平衡，则剩下的那堆中有重量较轻的小球；n 最大是53243=。

如图，在ABC △中，已知AB AC =，AE BC ⊥，CD CA =，AD BD =，则________DAE ∠=度。

E D CBA【分析与解】 设B x ∠= ；因为AB AC =；所以B C x ∠=∠= ；因为AD BD =；所以B BAD x ∠=∠= ；所以2ADC B BAD x ∠=∠+∠= ；因为CD CA =；所以2ADC DAC x ∠=∠= ；所以3BAC BAD DAC x ∠=∠+∠= ；三角形内角和180 ，得5180BAC B C x ∠+∠+∠== ；解得36x =；272ADC x ∠== ；因为AE BC ⊥；所以90ADC DAE ∠+∠= ；所以90907218DAE ADC ∠=-∠=-= 。

第三部分（每题10分，共50分）【第11题】将1~5排成一排组成一个五位数，使得每个数位上的数均不大于它相邻两侧的两个数的平均数（万位与个位上的数除外）。

满足要求的五位数分别是________________________。

【分析与解】显然，5必须在两头（即5必须在万位或个位上）；而4必须在两头或者3和5之间；⑴若4在两头（即4在万位或个位上）；考虑45□□□的形式，3不能在中间（即3不能在百位），43215、41235、42135符合要求；根据对称性，51234、53214、53124也符合要求；⑵若4在3和5之间；考虑543□□的形式，只能是54321；根据对称性，12345也符合要求；综上所述，满足要求的五位数分别是43215、41235、42135、51234、53214、53124、54321、12345。

一只自行车轮胎，如果把它安装在前轮，则自行车骑行5000千米后报废；如果把它安装在后轮，则自行车骑行3000千米后报废。

若骑行一定路程后再交换前、后轮胎，并且使前、后轮胎同时报废，那么，这辆自行车能骑行________千米。

【分析与解】每行驶[]5000,300015000=千米，前轮报废1500050003÷=个，后轮报废1500030005÷=个，一共报废358+=个；所以一对轮胎（2个）最多可以行驶()150********÷÷=千米。

即当行驶了375021875÷=千米时，将前后轮调换；则恰好在3750千米时，这对轮胎同时报废。

【第13题】在一次元旦晚会上，9位学生共演唱n 首“三重唱”歌曲。

在演唱中任何两人都曾合作过一次，并且仅合作一次。

那么________n =。

【分析与解】每个人都要和其余8人都合作一次，即每人都要唱824÷=次；那么一共有4936⨯=次；而每首歌又是三人演唱；一共演唱36312÷=首；即12n =。

在平行四边形ABCD 中，//EF AB ，//HG AD 。

如果平行四边形AHPE 的面积是5平方厘米，平行四边形PECG 的面积是16平方厘米，那么三角形PBD 的面积是________平方厘米。

P H G FED CB A 【分析与解】根据一半模型，PDG PBF S S =△△，PDE PBH S S =△△，BCD BAD S S =△△；()()PDG PBF PDE PBH PECG AHPE PECG AHPE S S S S S S S S -=++-++△△△△平行四边形平行四边形平行四边形平行四边形()()2BCD PBD BAD PBD PBD PBCD PBAD S S S S S S S =-=+-+=⨯△△△△△四边形四边形；()()21652 5.5PBD PECG AHPE S S S =-÷=-÷=△平行四边形平行四边形平方厘米。

【第15题】平面上有50条直线，其中20条互相平行，这50条直线最多能将平面分成________个部分。

【分析与解】30条直线最多将平面分成22330466++++= 个部分；之后每增加1条直线，与前面的30条直线最多有30个交点，这30个交点最多将这新增加的直线分成30131+=段；每段又会原来的平面增加1个部分，那么31段会增加31个部分；最多能将平面分成46631201086+⨯=个部分。