人教版初三数学下册28.2.2解直角三角形的应用举例(1)导学案
九年级数学下册 28.2 解直角三角形应用教案(一) 新人教版
态 度
价值观
渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
教学重点
直角三角形的解法．
教学难点
三角函数在解直角三 角形中的灵活运用．
教学准备
教师
多媒体课件
学生
“五个一”
课堂教学程序设计
设计意图
(一)知识回顾
1．在三角形中共有几个元素？
2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？
2解决问题要结合图形。
作业
设计
必做
教科书P92：1、2
选做
练习册
教
学
反
思
(1)边角之间关系sinA= cosA= tanA
(2)三边之间关系
a2+b2=c2(勾股定理)
(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．
以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．
（二）探究活动
1．我们已掌握Rt△AB C的边角关系、三边关系 、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．
例2在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠ B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b= 20 =35 ，解这个三角形（精确到0.1）．
解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养 其分 析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好， 选一种板演．
2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元 素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直 角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)．
人教版九年级下册数学教案：28.2.2解直角三角形应用举例
《解直角三角形应用举例》教案教学目标：知识与技能：1、使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．2、逐步培养学生分析问题、提出问题、解决问题的能力．3、渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识。
过程与方法：1、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、提出问题、解决问题的能力．2、注意加强知识间的纵向联系．情感态度与价值观：1.渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．2.进行爱国主义教育，增强学生的爱国热情。
重难点、关键：重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．难点：实际问题转化成数学模型教学过程：一、复习旧知、引入新课【复习引入】1、直角三角形中除直角外五个元素之间具有什么关系？请学生口答．2、在中Rt△ABC中已知a=12,c=13 求角B应该用哪个关系？请计算出来。
师生活动：教师提问学生回答，并适时引导。
点评：复习巩固解直角三角形的知识，为所有学生能够积极主动地投入到探索活动创设情境，激发学生学习热情．二、探索新知、分类应用【活动一】例1：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角︒≤α≤︒，(如图).现有一个长6m的梯子，问:α一般要满足5070(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到m)(2)当梯子底端距离墙面m时，梯子与地面所成的角α等于多少(精确到1o) 这时人是否能够安全使用这个梯子。
师生活动：教师引导学生结合图形，考察已知的边和要求的角之间的关系，寻求解决问题的方法。
师问：你们在解答过程中有什么思维障碍？生答：角α没有确定怎么办？教师通过角度变化与高度变化进行分析解答。
教师反问：你能求出最低高度吗？点评：引导学生先把实际问题转化成数学模型，然后分析提出的问题是数学模型中的什么量，在这个数学模型中可用学到的什么知识来求未知量？从而激发学生提出问题，解决问题的欲望。
人教版九年级下册28.2.2 第1课时 解直角三角形的简单应用教案.doc
28.2.2 应用举例第1课时解直角三角形的简单应用1．通过生活中的实际问题体会锐角三角函数在解题过程中的作用；(重点) 2．能够把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并运用解直角三角形求解．(难点)一、情境导入为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具．图①所示的是一辆自行车的实物图，图②是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档AC与CD的长分别为45cm和60cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20cm.点A、C、E在同一条直线上，且∠CAB＝75°.你能求出车架档AD的长吗？二、合作探究探究点：解直角三角形的简单应用【类型一】求河的宽度根据网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于A、B两点，小张为了测量A、B之间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据：∠BDA＝76.1°，∠BCA＝68.2°，CD ＝82米．求AB的长(精确到0.1米)．参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0；sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5.解析：设AD＝x m，则AC＝(x＋82)m.在Rt△ABC中，根据三角函数得到AB＝2.5(x＋82)m，在Rt△ABD中，根据三角函数得到AB＝4x，依此得到关于x的方程，进一步即可求解．解：设AD＝x m，则AC＝(x＋82)m.在Rt△ABC中，tan∠BCA＝ABAC，∴AB＝AC·tan∠BCA＝2.5(x＋82)．在Rt△ABD中，tan∠BDA＝ABAD，∴AB＝AD·tan∠BDA＝4x，∴2.5(x＋82)＝4x，解得x＝4103.∴AB＝4x＝4×4103≈546.7m.答：AB的长约为546.7m.方法总结：解题的关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型二】求不可到达的两点的高度如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为30cm，灯罩BC长为20cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°.使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少(结果精确到0.1cm，参考数据：3≈1.732)?解析：首先过点B作BF⊥CD于点F，作BG⊥AD于点G，进而求出FC的长，再求出BG的长，即可得出答案．解：过点B作BF⊥CD于点F，作BG⊥AD于点G，∴四边形BFDG是矩形，∴BG＝FD.在Rt△BCF中，∠CBF＝30°，∴CF＝BC·sin30°＝20×12＝10cm.在Rt△ABG中，∵∠BAG＝60°，∴BG＝AB·sin60°＝30×32＝153cm，∴CE＝CF＋FD＋DE＝10＋153＋2＝12＋153≈38.0(cm)．答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE约是38.0cm.方法总结：将实际问题抽象为数学问题，画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题【类型三】方案设计类问题小锋家有一块四边形形状的空地(如图③，四边形ABCD)，其中AD∥BC，BC＝1.6m，AD＝5.5m，CD＝5.2m，∠C＝90°，∠A＝53°.小锋的爸爸想买一辆长4.9m，宽1.9m 的汽车停放在这块空地上，让小锋算算是否可行．小锋设计了两种方案，如图①和图②所示．(1)请你通过计算说明小锋的两种设计方案是否合理；(2)请你利用图③再设计一种有别于小锋的可行性方案，并说明理由(参考数据：sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，tan53°＝43)．解析：(1)方案1，如图①所示，在Rt△AGE中，依据正切函数求得AG的长，进而求得DG的长，然后与汽车的宽度比较即可；方案2，如图②所示，在Rt△ALH中，依据正切函数求得AL的长，进而求得DL的长，然后与汽车的长度比较即可；(2)让汽车平行于AB停放，如图③，在Rt△AMN中，依据正弦函数求得AM的长，进而求得DM的长．在Rt △PDM中，依据余弦函数求得PM的长，然后与汽车的长度比较即可．解：(1)如图①，在Rt△AGE中，∵∠A＝53°，∴AG＝EGtan∠A＝4.943m≈3.68m，∴DG ＝AD－AG＝5.5－3.68＝1.82m＜1.9m，故此方案不合理；如图②，在Rt△ALH中，∵∠A ＝53°，LH＝1.9m，∴AL＝LHtan53°＝1.943≈1.43m，∴DL＝AD－AL＝5.5－1.43＝4.07m＜4.9m，故此方案不合理；(2)如图③，过DA上一点M作MN⊥AB于点N，过CD上一点P作PQ⊥AB于点Q，连PM，在Rt△AMN中，∵∠A＝53°，MN＝1.9m，∴AM＝MNsin53°＝1.90.8≈2.4，∴DM＝5.5－2.4＝3.1m.在Rt△PDM中，∵∠PMD＝∠A＝53°，DM＝3.1m，∴PM＝DMcos53°＝3.10.6≈5.1m＞4.9m，故此方案合理．方法总结：本题主要是利用三角函数解决实际问题，关键是把实际问题转化为解直角三角形的问题，利用三角函数解决问题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题三、板书设计1．求河宽和物体的高度；2．其他应用类问题．本节课为了充分发挥学生的主观能动性，可引导学生通过小组讨论，大胆地发表意见，提高学生学习数学的兴趣．能够使学生自己构造实际问题中的直角三角形模型，并通过解直角三角形解决实际问题.。
数学人教版九年级下册28.2.2解直角三角形的应用举例(1)导学案
28.2.2 解直角三角形的应用举例（1）【学习目标】1.了解仰角、俯角概念，提高计算能力，能应用解直角三角形解决观测中的实际问题.2.学会把实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）.3.经历用解直角三角形解决实际问题的过程，体会数学与生活的密切联系. 【重点难点】重点：应用解直角三角形的有关知识解决观测中的实际问题.难点：能够准确分析问题并将实际问题转化为数学模型．预习案(一)温故知新1.如图1，在直角三角形中，除直角外的五个元素之间有哪些关系？（1）锐角之间的关系：边之间的关系：角与边之间的关系(以∠A为例)：(2)至少知道五个元素中的几个，就可以求其余元素？图12.请写出30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值：（二）问题导学1.如图2，当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为________.当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称_________.图22.如图3，2016年10月19日，“神舟”十一号载人航天飞船与“天宫”二号目标飞行器成功实现交会对接. “神舟”十一号与“天宫”二号的组合体在离地球表面393km的圆形轨道上运行.如图,当组合体运行到地球表面上P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置?最远点与P点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km，π取3.142，结果取整数,参考数据：cos18.16°≈0.9502,cos19.59°≈0.9421，cos21.35°≈0.9314)？图3探究案探究：利用视角解直角三角形例: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为100m ，这栋高楼有多高（结果取整数）？变式：直升飞机在高为63米的郑州二七纪念塔AB 斜上方P 点处，从塔的顶部和底部测得飞机的仰角为31°和42°，求飞机的高度PO (参考数据sin31°≈0.52，cos31°≈0.86,tan31°≈0.60, sin42°≈0.67，cos42°≈0.74,tan42°≈0.90)训练案（C 级做1～4题，B 级、A 级全做）1.如图1所示，已知楼房AB 高为50m ，铁塔塔基距楼房地基间的水平距离BD •O B为100m,塔高CD为(50)3m，则下面结论中正确的是（）．A．由楼顶望塔顶仰角为60° B．由楼顶望塔基俯角为60°C．由楼顶望塔顶仰角为30° D．由楼顶望塔基俯角为30°图1 图2 图32．如图2所示，从地面上的C，D两点测得树顶的仰角分别是45°和30°，已知CD=200m，点C在BD上，则树高AB等于（根号保留）.3.如图3所示，在离铁塔BE120m的A处，用测角仪测量塔顶的仰角为30°，•已知测角仪高AD=1.5m，则塔高BE=_________（根号保留）．4．如图4所示,要在宽为28m的海堤公路的路边安装路灯.路灯的灯臂长为3m，且与灯柱成120°，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线与灯臂垂直.当灯罩的轴线通过公路路面的中线时，照明效果最理想.问：应设计多高的灯柱，才能取得最理想的照明效果？5．如图5所示，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）.图4tan310.6,sin310.52,cos310.86︒≈︒≈︒≈图56．如图6所示，某校九年级3班的一个学习小组进行测量小山高度的实践活动.部分同学在山脚点A 测得山腰上一点D 的仰角为30°，并测得AD 的长度为180米；另一部分同学在山顶点B 测得山脚点A 的俯角为45°，山腰点D 的俯角为60°.请你帮助他们计算出小山的高度BC （计算过程和结果都不取近似值）.图67.(2012河南中考）某宾馆为庆祝开业，在楼前悬挂了许多宣传条幅，如图所示，一条幅从楼顶A 处放下，在楼前点C 处拉直固定，小明为了测量此条幅的长度，他先在楼前D 处测得楼顶A 点的仰角为31°，再沿DB 方向前进16米到达E 处，测得点A 的仰角为45°，已知点C 到大厦的距离BC =7米，,请根据以上数据求条幅的长度（结果保留整数.参考数据 ）.图7。
人教版九年级数学下册28.2.2 第1课时 解直角三角形的简单应用 导学案
28.2.2 应用举例
第1课时 解直角三角形的简单应用
【学习目标】
1.使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．
2. 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
3.渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识
【学习重点】
将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
【学习难点】
实际问题转化成数学模型
【导学过程】
一、课前热身：
1.解直角三角形的类型：
已知____________；已知___________________．
2.如图解直角三角形的公式：
（1）三边关系：__________________．
（2）角关系：∠A+∠B＝_____，
（3）边角关系：sinA=___，sinB=____，cosA=_______．
cosB=____，tanA=_____ ，tanB=_____．
3.已知，如图，在△ABC 中，∠B = 45°，∠C = 60°，AB = 6．求BC 的长. (结果保留根号).
二、合作交流：
要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角一般要满足
，(如图).现有一个长6m的梯子，问:
(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0. 1 m)
(2)当梯子底端距离墙面2.4 m时，梯子与地面所成的角等于多少(精确到1o) 这时人是否能够安全使用这个梯子？（可用计算器）。
九年级数学下册 28.2 解直角三角形及其应用教案 (新版)新人教版
28．2 解直角三角形及其应用28．2.1 解直角三角形知识与技能在理解解直角三角形的含义、直角三角形五个元素之间关系的基础上，会运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．过程与方法通过综合运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．情感、态度与价值观在探究学习的过程中，培养学生合作交流的意识，使学生认识到数与形相结合的意义与作用，体会到学好数学知识的作用，并提高学生将数学知识应用于实际的意识，从而体验“从实践中来，到实践中去”的辩证唯物主义思想，激发学生学习数学的兴趣．让学生在学习过程中感受到成功的喜悦，产生后继学习的激情，增强学好数学的信心．重点直角三角形的解法． 难点灵活运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．一、复习回顾师：你还记得勾股定理的内容吗？ 学生叙述勾股定理的内容．师：直角三角形的两个锐角之间有什么关系呢？ 生：两锐角互余．师：直角三角形中，30°的角所对的直角边与斜边有什么关系？ 生：30°的角所对的直角边等于斜边的一半． 二、共同探究，获取新知 1．概念．师：由sin A ＝ac，你能得到哪些公式？生甲：a ＝c ·sin A.生乙：c ＝asin A.师：我们还学习了余弦函数和正切函数，也能得到这些式子的变形．我们知道，在直角三角形中有三个角、三条边共六个元素，能否从已知的元素求出未知的元素呢？教师板书：在直角三角形中，由已知的边角关系，求出未知的边与角，叫做解直角三角形． 2．练习．教师多媒体课件出示：(1)如图(1)和(2)，根据图中的数据解直角三角形．(1) (2)师：图(1)中是已知一角和一条直角边解直角三角形的类型，你怎样解决这个问题呢？生1：根据cos 60°＝AC AB ，得到AB ＝ACcos 60°，然后把AC 边的长和60°角的余弦值代入，求出AB 边的长，再用勾股定理求出BC 边的长，∠B 的度数根据直角三角形两锐角互余即可得到．生2：先用直角三角形两锐角互余得到∠B 为30°，然后根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半，求出AB 的值，再由sin 60°＝BCAB得到BC ＝AB ·sin 60°，从而得到BC 边的长．师：同学们说出的这几种做法都是对的．下面请同学们看图(2)，并解这个直角三角形． 学生思考，计算． 三、例题讲解例1 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝6，解这个直角三角形．解：∵tan A ＝BC AC ＝62＝3，∴∠A ＝60°，∠B ＝90°－∠A ＝90°－60°＝30°， AB ＝2AC ＝2 2.例2 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝35°，b ＝20，解这个直角三角形．(结果保留小数点后一位)解：∠A ＝90°－∠B ＝90°－35°＝55°.∵tan B ＝ba ，∴a ＝b tan B ＝20tan 35°≈28.6.∵sin B ＝bc ，∴c ＝b sin B ＝20sin 35°≈34.9.四、巩固练习1．在△ABC 中，∠C ＝90°，下列各式中不正确的是( ) A ．b ＝a ·tan B B ．a ＝b ·cos AC ．c ＝b sin BD ．c ＝acos B答案 B2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c ＝10，b ＝53，则∠A ＝________，S △ABC ＝________．答案 30° 2523五、课堂小结师：本节课，我们学习了什么内容？学生回答．师：你还有什么不懂的地方吗？学生提问，老师解答．本节课在教学过程中，能灵活处理教材，敢于放手让学生通过自主学习、合作探究达到理解并掌握知识的目的，并能运用知识解决问题．在本章开头，我带领学生复习了与解直角三角形有关的知识点，使学生在解决问题时能想到并能熟练运用．在解有特殊角的三角形时有不止一种解法，我鼓励学生勇于发言，给了他们展示自我的机会，锻炼他们表达自己想法的能力，并且增强了他们的自信心．28．2.2应用举例知识与技能使学生掌握仰角、俯角的概念，并会正确运用这些概念和解直角三角形的知识解决一些实际问题．过程与方法让学生体验方程思想和数形结合思想在解直角三角形中的用途．情感、态度与价值观使学生感知本节课与现实生活的密切联系，进一步认识到将数学知识运用于实践的意义．重点将实际问题转化为解直角三角形问题．难点将实际问题中的数量关系如何转化为直角三角形中元素间的关系求解．一、新知讲授1．讲解．师：在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形．教师在黑板上作图．师：当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角；在水平线下方的角叫做俯角．注意：(1)仰角和俯角必须是视线与水平线所夹的角，而不是与铅垂线所夹的角；(2)仰角和俯角都是锐角．师：测量仰角、俯角有专门的工具，是测角仪．2．练习新知．教师多媒体课件出示：如图，∠C ＝∠DEB ＝90°，FB ∥AC ，从A 看D 的仰角是________；从B 看D 的俯角是________；从A 看B 的________角是________；从D 看B 的________角是________；从B 看A 的________角是________．答案：从A 看D 的仰角是∠2，从B 看D 的俯角是∠FBD ，从A 看B 的仰角是∠BAC ，从D 看B 的仰角是∠3，从B 看A 的俯角是∠1.二、例题讲解例1 2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接．“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343 km 的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面P 点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P 点的距离是多少？(地球半径约为6 400 km ，π取3.142，结果取整数)分析：从组合体中能直接看到的地球表面最远点，是视线与地球相切时的切点．如图，本例可以抽象为以地球中心为圆心、地球半径为半径的⊙O 的有关问题：其中点F是组合体的位置，FQ 是⊙O 的切线，切点Q 是从组合体中观测地球时的最远点，PQ ︵的长就是地球表面上P ，Q 两点间的距离．为计算PQ ︵的长需先求出∠POQ(即α)的度数．解：设∠POQ ＝α，在图中，FQ 是⊙O 的切线，△FOQ 是直角三角形．∵cos α＝OQ OF ＝ 6 4006 400＋343≈0.9491.∴α≈18.36°， ∴PQ ︵的长为18.36π180×6 400≈18.36×3.142180×6 400≈2 051(km )．由此可知，当组合体在P 点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离P 点约2051 km . 例2 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m ，这栋楼有多高？(结果取整数)解：如图，α＝30°，β＝60°，AD ＝120.∵tan α＝BD AD ，tan β＝CDAD，∴BD ＝AD ·tan α＝120×tan 30°＝120×33＝403， CD ＝AD ·tan β＝120×tan 60°＝120×3＝120 3. ∴BC ＝BD ＋CD ＝403＋1203＝1603≈277(m )． 因此，这栋楼高约为277 m .例3 如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile 的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东34°方向上的B 处．这时，B 处距离灯塔P 有多远？(结果取整数)解：如图，在Rt △APC 中， PC ＝PA ·cos (90°－65°) ＝80×cos 25° ≈72.505.在Rt △BPC 中，∠B ＝34°，∵sin B ＝PCPB ，∴PB ＝PC sin B ＝72.505sin 34°≈130(n mile )．因此，当海轮到达位于灯塔P 的南偏东34°方向时，它距离灯塔P 大约130 n mile . 三、巩固提高1．如图，小雅家(图中点O 处)门前有一条东西走向的公路，现测得有一水塔(图中点A 处)在她家北偏东60°方向500 m 处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB 长是( )A ．250 mB ．250 3 mC .500 33 m D ．250 2 m 答案 A2．王师傅在楼顶上的点A 处测得楼前一棵树CD 的顶端C 的俯角为60°，已知水平距离BD ＝10 m ，楼高AB ＝24 m ，则树CD 的高度为( )A ．(24－1033)m B ．(24－103) mC ．(24－53) mD ．9 m答案B四、课堂小结师：本节课，我们学习了什么内容？学生回答．师：你还有什么不懂的地方吗？学生提问，教师解答．解直角三角形的内容是初中阶段数学教学中的重点之一，使学生对所学知识有了更好的巩固，同时让学生体会到数学与实际生活的联系，例题设置具有一定坡度，由浅入深，步步深入．。
人教版九年级数学下册导学案28.2解直角三角形的应用 (
No.25 课题：28.2解直角三角形的应用（3）
主编：许爱农审核：李霞验收负责人：课型：新授课
学习目标：掌握解直角三角形中的各种边、角关系，能恰当地选择锐角三角函数解直角三角形解决实际问题．
学习重、难点：能利用解直角三角形解决实际问题。
一、学习研讨：简记
1.学校操场上有一根旗杆，上面有一根开旗用的绳子（绳子足够长），
王明拿了一把卷尺，并且向数学老师借了一把含300的三角板去度量
旗杆的高度。
（1）若王明将旗杆上绳子拉成仰角为600，如图用卷尺量得BC
=4米，则旗杆AB的高多少？
（2）若王明分别在点C、点D处将旗杆上绳子分别拉成仰角为600、
300，如图量出CD=8米，你能求出旗杆AB的长吗？
（3）若王明分别在点C、点D处将旗杆上绳子分别拉成仰角为450、
300，如图量出CD=8米，你能求出旗杆AB的长吗？
A A
C B
D C B
二、巩固练习：
1.建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC 40m的D处观察旗杆顶部A的仰角
为60°，观察底部的仰角为45°，求旗杆的高度。
2.如图，两建筑物的水平距离为33米，从A点测得D点的俯角为30°测得点C的俯角为45°，求这两个建筑物的高度.
三、教（学）后反思：。
人教版九年级数学下册28.2《解直角三角形及其应用》优秀教学案例
作为一名特级教师，我注重在教学过程中，将知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三者有机结合，努力提高学生的综合素质，使他们在学习过程中获得全面的成长。
三、教学策略
（一）情景创设
1.结合生活实际，创设与直角三角形相关的情境，激发学生的学习兴趣。例如，通过展示房屋测量、道路设计等实际场景，引导学生认识到直角三角形在生活中的应用。
人教版九年级数学下册28.2《解直角三角形及其应用》优秀教学案例
一、案例背景
本节课为人教版九年级数学下册第28章第2节《解直角三角形及其应用》，是在学生已经掌握了锐角三角函数的基础上进行学习的。通过本节课的学习，使学生能运用锐角三角函数解决一些简单的实际问题，从而培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。同时，也为以后学习三角函数的知识打下基础。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解直角三角形的定义和性质，掌握解直角三角形的方法。
2.学会运用锐角三角函数解决实际问题，提高运用数学知识解决实际问题的能力。
3.了解解直角三角形的应用领域，感受数学在生活中的重要性。
（二）过程与方法
1.通过情境导入、自主探究、合作交流等环节，培养学生独立思考、合作学习的能力。
2.要求学生在作业中运用所学知识解决实际问题，培养学生的应用能力。
3.鼓励学生进行自我评价，让学生认识到自己的优点和不足，激发学生的学习动力。
五、案例亮点
1.情境导入的真实性：本节课通过展示直角三角形在实际生活中的应用场景，如房屋测量、道路设计等，让学生感受到数学与生活的紧密联系，提高了学生的学习兴趣和积极性。
3.在学生解答问题过程中，给予适当的提示和指导，帮学生进行小组讨论，鼓励学生发表自己的观点和见解。
人教版九年级数学下册28.2解直角三角形利用解直角三角形解决实际问题优秀教学案例
1.生活情境的创设：本节课通过现实生活中的实例导入，让学生感受到直角三角形在实际生活中的应用，激发了学生的学习兴趣，增强了学生的学习解决问题的能力。
3.教师巡回指导，及时给予反馈和解答学生的问题，提高学生的解题能力。
（四）总结归纳
1.让学生回顾本节课所学知识，总结解直角三角形的原理、方法和实际应用。
2.强调解直角三角形在现实生活中的重要性，激发学生学习的兴趣和责任感。
3.布置课后作业，要求学生运用所学知识解决实际问题，巩固所学内容。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体课件展示现实生活中的直角三角形实例，如建筑工人测量高度、运动员判断跳远距离等，引导学生关注直角三角形在实际生活中的应用。
2.提出问题：“这些实例中，为什么直角三角形能够解决问题？”让学生思考并回答，激发学生对直角三角形的兴趣。
3.总结：直角三角形在实际生活中具有广泛的应用，本节课我们将学习如何解直角三角形，并运用所学知识解决实际问题。
三、教学策略
（一）情景创设
1.生活情境：以实际生活中的场景为背景，创设具有挑战性的问题，激发学生的学习兴趣，引导学生运用解直角三角形解决实际问题。
2.探究情境：设计一系列问题，引导学生观察、思考、探究，激发学生的思维，培养学生独立解决问题的能力。
3.合作情境：组织学生进行小组讨论和实践，让学生在合作中交流、分享，培养学生的团队合作能力和解题策略。
人教版九年级数学下册28.2解直角三角形利用解直角三角形解决实际问题优秀教学案例
一、案例背景
本节内容以“人教版九年级数学下册28.2解直角三角形利用解直角三角形解决实际问题”为主题，旨在让学生掌握解直角三角形的知识和方法，并能够运用到实际问题中。在教学过程中，我以学生的生活经验为切入点，设计了丰富多样的教学活动，引导学生通过观察、思考、探究、合作等方式，深入理解解直角三角形的原理和应用，提高他们的数学素养和实际问题解决能力。
数学人教版九年级下册28.2解直角三角形的应用举例教案
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“解直角三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-解决具体问题时，对于角度和边长单位的转换和实际意义的理解。
举例解释：
-难点一：通过图形和实例，解释正弦、余弦、正切函数在不同象限的符号变化，如正弦函数在第二象限为正，在第三象限为负。
-难点二：指导学生如何从复杂的实际问题中提取关键信息，建立直角三角形的数学模型，例如在测量角度时，如何确定观察点与目标点之间的直角关系。
在小组讨论环节，我鼓励学生提出自己的观点和想法，并进行交流。这种开放性的讨论有助于培养学生的创新思维和团队协作能力。但同时，我也意识到在讨论过程中，需要更好地发挥引导作用，引导学生聚焦主题，避免讨论偏离方向。
1.对于基础概念的教学，应更加注重学生的理解程度，及时了解他们的困惑，并进行针对性的解答。
2.在实践活动和小组讨论中，要关注学生的参与度，鼓励他们积极思考、提问和分享，同时也要注意引导他们遵循正确的思考路径。
-难点三：在实际应用中，如何将测量得到的角度值或边长值转换为实际意义，例如将角度转换为方向，或将边长转换为距离。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《解直角三角形的应用举例》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要测量高度或距离的情况？”（如测量教学楼的高度）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索解直角三角形的奥秘。
人教版九年级数学下册28.2解直角三角形优秀教学案例
3.强调解直角三角形在现实生活中的应用，激发学生对数学学科的兴趣和认同感。
（五）作业小结
1.布置相关的作业，让学生巩固所学知识，提高他们的解题技能。
2.要求学生在作业中运用所学的解直角三角形的方法，解决实际问题。
3.对学生的作业进行及时批改和反馈，指导他们改进学习方法，提高学习效果。
在教学过程中，我将注重关注每一个学生的学习情况，关注他们的情感需求，尊重他们的个性差异。通过耐心引导、激励评价，让学生感受到数学学习的乐趣，增强他们的学习动力。同时，我还将在教学中融入社会主义核心价值观的教育，培养学生的道德品质和社会责任感。
五、案例亮点
1.生活情境的引入：通过展示房屋平面图并询问学生如何计算墙角的斜边长度，将生活实际问题引入课堂，激发学生的学习兴趣，增强学生对知识的渴望，让学生认识到数学在生活中的重要性。
在教学过程中，我将注重关注每一个学生的学习情况，关注他们的情感需求，尊重他们的个性差异。通过耐心引导、激励评价，让学生感受到数学学习的乐趣，增强他们的学习动力。同时，我还将在教学中融入社会主义核心价值观的教育，培养学生的道德品质和社会责任感。
三、教学策略Байду номын сангаас
（一）情景创设
1.利用生活情境引入新课，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探索直角三角形的性质和解法。
1.组织学生进行小组合作、讨论交流，分配任务，让每个学生在小组合作中发挥自己的特长，提高他们的参与度和积极性。
2.引导学生通过观察、思考、讨论等方式，自主发现解直角三角形的方法，提高他们的动手操作能力和思维能力。
3.鼓励学生相互倾听、尊重他人的意见，培养他们的沟通能力和团队协作能力。
人教版九年级数学下28.2解直角三角形优秀教学案例
3.课后反馈：收集学生对课堂学习的反馈意见，了解学生的学习需求和困惑。
六、教学反思
本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学效果。同时，关注学生的个体差异，给予每个学生更多的关心和指导，确保他们在课堂上都能得到有效的锻炼和提高。
三、教学策略
（一）情景创设
1.生活情境：以实际生活中的问题为背景，创设情景，引发学生对解直角三角形的兴趣。如建筑设计中的直角三角形应用，测量工作中的直角三角形应用等。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解解直角三角形的概念，掌握解直角三角形的方法和步骤。
2.能够运用锐角三角函数解决实际问题，提高运用数学知识解决实际问题的能力。
3.掌握解直角三角形的应用，能够在实际情境中灵活运用解直角三角形解决问题。
（二）过程与方法
1.通过观察、操作、交流等活动，引导学生自主探究解直角三角形的方法和步骤。
4.案例分析：分析实际问题，引导学生运用锐角三角函数解决问题。
5.课堂练习：设计具有针对性的练习题，巩固所学知识。
6.总结与拓展：总结本节课的主要内容，提出拓展性问题，激发学生进一步学习欲望。
五、教学评价
1.课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2.练习完成情况：检查学生完成练习题的情况，评估学生对知识的掌握程度。
人教版九年级数学下册：28.2解直角三角形的应用优秀教学案例
在导入新课后，我开始讲授解直角三角形的相关知识。首先，我讲解直角三角形的定义和性质，让学生理解直角三角形的特殊地位。接着，我引入勾股定理，并通过几何图形和实例讲解勾股定理的应用。最后，我讲解如何利用三角函数解决直角三角形的问题。在讲授过程中，我注重与学生的互动，提问和引导学生思考，确保学生能够理解和掌握解直角三角形的知识。
问题导向是本节课的重要教学策略。在教学过程中，教师应提出一系列与解直角三角形相关的问题，引导学生思考和探索。例如，可以提出“如何利用勾股定理计算直角三角形的边长？”“在实际问题中，如何确定直角三角形的各个角度？”等问题。通过问题导向，激发学生的思维，培养学生解决问题的能力。
（三）小组合作
小组合作是本节课的重要教学组织形式。教师可以将学生分成若干小组，让学生在小组内进行讨论、交流和合作。例如，可以设计一个小组活动，让学生共同解决一个关于直角三角形的实际问题。通过小组合作，培养学生的合作意识和团队精神，提高学生的实践能力。
五、案例亮点
1.贴近生活实际：本案例以实际问题为背景，让学生在解决问题的过程中自然引入解直角三角形的知识和方法。这种贴近生活实际的教学方式能够激发学生的学习兴趣，使学生感受到数学与生活的紧密联系，从而提高学习的积极性和主动性。
2.问题导向：本案例通过提出一系列与解直角三角形相关的问题，引导学生思考和探索。问题导向的教学策略能够激发学生的思维，培养学生解决问题的能力。在解决问题的过程中，学生能够深入理解和掌握解直角三角形的知识和方法。
在教学过程中，我发现许多学生在学习这一章节时，往往对直角三角形的理解不够深入，无法将理论知识与实际问题相结合。因此，我设计了本节教学案例，以帮助学生更好地理解和应用解直角三角形的知识。
本案例以一个实际问题为切入点，让学生在解决问题的过程中，自然而然地引入解直角三角形的概念和方法。通过案例的引导和学生的积极参与，使学生能够掌握解直角三角形的技巧，提高解决问题的能力。同时，本案例还注重培养学生的合作意识和创新精神，使他们在解决实际问题的过程中，能够灵活运用所学知识，提高自己的综合素质。
九年级数学下册 28.2.1 解直角三角形导学案 (新版)新人教版
解直角三角形及其应用28.2.1 解直角三角形1.了解什么叫解直角三角形.2.掌握解直角三角形的根据.3.能由已知条件解直角三角形.阅读教材P72-73，自学“探究”、“例1”与“例2”，弄清楚直角三角形的元素，掌握解直角三角形的方法.自学反馈学生独立完成后集体订正①在直角三角形中，由求的过程叫做解直角三角形.②直角三角形中的边角关系:三边之间的关系；两锐角之间的关系；边与角之间的关系:sinA= ，cosA= ，tanA= ，sinB= ，cosB= ，tan B= .③在Rt△ABC中，∠C=90°，已知∠A与斜边c，用关系式，求出∠B，用关系式求出a.弄清楚直角三角形五元素之间的数量关系是解直角三角形的关键.活动1 小组讨论例1 Rt△ABC中，∠C=90°,c=0.832 8,b=0.295 4，解这个直角三角形.解:∵sinB=bc=0.29540.8328≈0.354 7，∴∠B≈20°46′，∠A=90°-∠B=90°-20°46′=69°14′，∵tanA=ab，∴a=b·tanA≈0.779.直角三角形除直角外的其它五个元素中，已知其中任何两个元素(必有一边)，即可求出其它三个元素.活动2 跟踪训练(独立完成后小组内交流并展示)1.如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AB=10，∠A=30°，则BC的长为 .2.如图，在△ABC中,∠B=45°,cosC=35,AC=5a,则△ABC的面积用含a式子表示是 .3.根据下列所给条件解直角三角形，结果不能确定的是( )①已知一直角边及其对角；②已知两锐角；③已知两直角边；④已知斜边和一锐角；⑤已知一直角边和斜边.A.②③B.②④C.只有②D.②④⑤第2小题要过点A作BC的垂线，构造两个直角三角形，再解直角三角形；第3小题要注意解直角三角形中已知的两元素不包括直角.4.已知，如图:△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°,AB=10,D为△ABC外一点，连结AD、BD，过D作DH⊥AB，垂足为H，交AC于E.①若△ABD是等边三角形，求DE的长；②若BD=AB，且tan∠HDB=34，求DE的长.求出AB的长，根据等腰三角形“三线合一”可求出AH和BH等于AB的二分之一，然后在直角三角形AHD和AHE，可利用tan∠DAH和tan∠EAH求出DH和EH的长，从而求出DE的长；第②小题思路和方法同上. 活动3 课堂小结1.本节学习的数学知识:解直角三角形.2.本节学习的数学方法:转化的数学思想.教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.【预习导学】自学反馈①略②略③略【合作探究1】活动2 跟踪训练1.52.14a23.C4.①3-5 ②4。
九年级数学下册(人教版)28.2解直角三角形及其应用优秀教学案例
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学生学习数学的内在动力。
2.培养学生勇于探究、积极向上的精神风貌，增强学生的自信心。
3.使学生认识到数学在生活中的重要性，培养学生的社会责任感。
在教学过程中，我会注重激发学生的学习兴趣，鼓励学生积极参与课堂讨论。对于学习有困难的学生，我会耐心引导，关爱鼓励，帮助他们建立自信。同时，我会通过联系生活实际，让学生认识到数学在生活中的重要作用，从而培养学生的社会责任感。
导入新课时，我会利用多媒体展示生活实际的图片，如房屋设计、工程测量等，让学生认识到直角三角形在生活中的重要性。然后，我会提出具有挑战性的问题，如“如何在未知直角边的情况下求斜边长度？”激发学生的求知欲。在学生思考问题时，我会适时回顾勾股定理及其在直角三角形中的应用，为新课的学习做好铺垫。
（二）过程与方法
1.培养学生独立思考、自主学习的能力，养成良好的学习习惯。
2.培养学生团队协作、交流分享的良好品质，提高学生的沟通能力。
3.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的数学素养。
在教学过程中，我会组织多样化的教学活动，如小组讨论、合作探究等，让学生在实践中学习、交流、分享。例如，在讲解直角三角形的应用时，我会让学生分组讨论，共同探讨如何运用所学知识解决实际问题。通过这样的教学方法，学生不仅能掌握知识，还能提高自己的学习能力和综合素质。
3.使学生了解解直角三角形在实际中的应用，提高学生的数学应用意识。
在教学过程中，我注重引导学生通过观察、操作、思考、讨论等方式，深入了解直角三角形的性质和解法。例如，在讲解勾股定理时，我会让学生亲自动手测量直角三角形的边长，通过实际操作发现勾股定理的规律。同时，我会设计一些生活化的例题，让学生在解决实际问题的过程中，运用所学知识，提高学生的数学应用能力。
人教版数学九年级下导学案2822第1课时解直角三角形的简单应用.doc
28.2.2应用举例
第1课时解直角三角形的简单应用
【学习目标】
1•使学生根据直角三角形的知识解决实际问题.
2. 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.
3. 渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识
【学习重点】
将某些实际问题中的数量关系，
归结为直角三角形元素之间的关系, 际问题解决.
【学习难点】
实际问题转化成数学模型
【导学过程】 一、课前热身： 1 •解直角三角形的类型：
已知 _____________ ;已知 _______________________ . 2.如图解直角三角形的公式 ：
(1) ___________________________ 三边关系： .
(2) 角关系：Z A+ZB- ________ ,
(3) 边角关系： sinA= ___ , sinB 二 _____ , cosA= _______
cosB= __ , tanA 二 _____ , tanB= _____ ・
根号).
从而利用所学知识把实
3•已知，如图，在 Z\ABC 中，ZB = 45 ZC = 60 0 , AB = 6 •求BC 的长.(结果保留
A
a C B
二、合作交流:
要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端•梯子与地面所成的角a—般要满足
50°<^<75°, （如图）•现有一个长6m的梯子，问：
（1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0.1m）
a °）这时人是否
（2）当梯子底端距离墙面 2.4 m时，梯子与地面所成的角等于多少（精确到1能够安全使用这个梯子？（可用计算器）。
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28.2.2 解直角三角形的应用举例（1）
【学习目标】
1.了解仰角、俯角概念，提高计算能力，能应用解直角三角形解决观测中的
实际问题.
2.学会把实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形
的问题）.
3.经历用解直角三角形解决实际问题的过程，体会数学与生活的密切联系. 【重点难点】
重点：应用解直角三角形的有关知识解决观测中的实际问题.
难点：能够准确分析问题并将实际问题转化为数学模型．
预习案
(一)温故知新
1.如图1，在直角三角形中，除直角外的五个元素之间有哪些关系？
（1）锐角之间的关系：
边之间的关系：
角与边之间的关系(以∠A为例)：
(2)至少知道五个元素中的几个，就可以求其余元素？图1
2.请写出30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值：
（二）问题导学
1.如图2，当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为________.
当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称_________.
图2
2.如图3，2016年10月19日，“神舟”十一号载人航天飞船与“天宫”二号目标飞行器成功实现交会对接. “神舟”十一号与“天宫”二号的组合体在离地
球表面393km的圆形轨道上运行.如图,当组合体运行到地球表面上P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置?最远点与P点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km，π取3.142，结果取整数,参考数据：cos18.16°≈0.9502,cos19.59°≈0.9421，cos21.35°≈0.9314)？
图3
探究案
探究：利用视角解直角三角形
例: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为100m ，这栋高楼有多高（结果取整数）？
变式：直升飞机在高为63米的郑州二七纪念塔AB 斜上方P 点处，从塔的顶部和底部测得飞机的仰角为31°和42°，求飞机的高度PO (参考数据sin31°≈0.52，cos31°≈0.86,tan31°≈0.60, sin42°≈0.67，cos42°≈0.74,tan42°≈0.90)
训练案
（C 级做1～4题，B 级、A 级全做）
1.如图1所示，已知楼房AB 高为50m ，铁塔塔基距楼房地基间的水平距离BD •
O B
为100m,塔高CD
为50)
m，则下面结论中正确的是（）．
A．由楼顶望塔顶仰角为60° B．由楼顶望塔基俯角为60°C．由楼顶望塔顶仰角为30° D．由楼顶望塔基俯角为30°
图1 图2 图3
2．如图2所示，从地面上的C，D两点测得树顶的仰角分别是45°和30°，已知CD=200m，点C在BD上，则树高AB等于（根号保留）.
3.如图3所示，在离铁塔BE120m的A处，用测角仪测量塔顶的仰角为30°，•已知测角仪高AD=1.5m，则塔高BE=_________（根号保留）．
4．如图4所示,要在宽为28m的海堤公路的路边安装路灯.路灯的灯臂长为3m，且与灯柱成120°，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线与灯臂垂直.当灯罩的轴线通过公路路面的中线时，照明效果最理想.问：应设计多高的灯柱，才能取得最理想的照明效果？
5．如图5所示，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）
.
图4
tan310.6,sin310.52,cos310.86︒≈︒≈︒≈
图5
6．如图6所示，某校九年级3班的一个学习小组进行测量小山高度的实践活动.部分同学在山脚点A 测得山腰上一点D 的仰角为30°，并测得AD 的长度为180米；另一部分同学在山顶点B 测得山脚点A 的俯角为45°，山腰点D 的俯角为60°.请你帮助他们计算出小山的高度BC （计算过程和结果都不取近似值）
.
图6
7.(2012河南中考）某宾馆为庆祝开业，在楼前悬挂了许多宣传条幅，如图所示，一条幅从楼顶A 处放下，在楼前点C 处拉直固定，小明为了测量此条幅的长度，他先在楼前D 处测得楼顶A 点的仰角为31°，再沿DB 方向前进16米到达E 处，测得点A 的仰角为45°，已知点C 到大厦的距离BC =7米，,请根据以上数据求条幅的长度（结果保留整数.参考数据 ）.
图
7。