高中数学函数专题之函数三要素

函数的三要素

【函数定义域求法】

一、常规型

即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。

分式中的分母不为零；

偶次方根下的数（或式）大于或等于零； 指数式的底数大于零且不等于1； 0的0次幂没有意义；

对数式的底数大于0且不等于1，真数大于0。

正切函数x y tan = ⎪⎭

⎫ ⎝

⎛∈+≠∈Z ππk k x R x ,2

,且

余切函数x y cot = ()Z π∈≠∈k k x R x ,,且

例1 求函数8

|3x |15x 2x y 2-+--=

的定义域。 例2 求函数x x y

cos lg 252+-=的定义域。

二、抽象函数型

抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 ➢

类型一：已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。

其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。

例1 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x

(f 2

-的定义域。

➢

类型二：已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。

其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。

例1 已知)1x 2(f +的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。

三、实际问题型

这里函数的定义域除考虑解析式有意义外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制

例1 用长为L 的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为2x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式，并求定义域。

四、逆向型

即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R ，求参数范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。

例1 已知函数8m m x 6m x y

2++-=的定义域为R 求实数m 的取值范围。

针对练习： 已知函数3

kx 4kx 7

kx )

x (f 2+++=

的定义域是R ，求实数k 的取值范围。

【函数值域求法】

一、直接法（从自变量x 的范围出发，推出

()y f x =的取值范围）

例1 求函数

x

y -=213

的值域。

二 对称轴法（是求二次函数值域的基本方法，如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用对称轴法）

例1 求函数

242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。

三、判别式法（把函数转化成关于x 的二次方程0),(=y x F ，通过方程有实根，判别式0≥∆，从而求得原函数的值域，形如

2

2221121c x b x a c x b x a y ----=

） 例1求函数22

31

x x y x x -+=

-+ 的值域

四、分离常数法（分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法） 例1求函数125x y x -=+的值域。 例2求函数1212x

x y -=+的值域。

五、换元法（运用代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，如

y ax b =+±a 、

b 、

c 、

d 均为常数，且0a ≠）的函数常用此法求解。

例1求函数2

cos 4

cos 3sin 2--+=x x x y 的值域。 例2求函数2y x =+

例3函数

2

1x x y -+=的值域 针对练习：x

x

y 2

2

cos 4sin 1+

=

★小结： （1）若题目中含有

1≤a ，则可设)

0,cos (2

2

,sin πθθπ

θπ

θ≤≤=≤

≤-

=a a 或设

（2）若题目中含有1

22

=+b a

则可设θθsin ,cos ==b a ，其中πθ

20<≤

（3）若题目中含有21x -，则可设θcos =x ，其中πθ≤≤0 （4）若题目中含有

2

1x +，则可设θtan =x

，其中2

2

π

θπ<<-

（5）若题目中含有)0,0,0(>>>=+

r y x r y x ，则可设θθ22sin ,cos r y r x ==其中⎪⎭

⎫

⎝

⎛∈2,0πθ

六、函数的单调性法（确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域，形如求函数()0>+

=k x

k

x y 的值域（k

x <<

0时为减函数；

k

x >时为增函数））

例1求函数

y x =

例2 求函数y =5

32

log x -+（2≤x ≤10）的值域 针对练习：求函数y=

1+x -1-x 的值域。

七、数型结合法（函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法） 例1求函数11-++=x x y 的值域。

例2

求函数的值域 例3 求函数

sin 2

cos 1

x y x -=

-的值域

针对训练：.已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2－4x +1=0.求（1）x

y 的最大值和最小值；（2）y －x 的最小值；（3）x 2+y 2

的最大值和最小值

【函数解析式求法】

★ 知识点拨： 求解析式常见的方法有：待定系数法、换元法、配凑法、奇偶法、消元法（也叫方程组法）等。 一、待定系数法：

特征：已知函数类型；

对策：设出表达式，由已知列方程，从而解出待定系数。 例1设二次函数)(x f 满足)2()2(x f x f -=+且)(x f =0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求)(x f 的解析式

二、 换元法：

特征：当自变量很复杂的时候，换成新元t ，并能解出()x f t = 对策：解出()x f t =代入原来的表达式

例2若

x

x

x f -=

1)1(,求)(x f . 三、 配凑法：

特征：当f 或1x x ⎛⎫-

⎪⎝

⎭

充当函数自变量的时候 对策：通常用用一些等价变形公式构造相同的形式，以便换元求出表达式 例3已知

3311

()f x x x x +=+，求()f x 针对练习：已知221)1(x

x x x f +=-, 求)(x f 的解析式.

四、 函数性质法：

例4若(2)()f x f x +=，当[1,1]x ∈-时，2

()1f x x =-+，求当[1,3]x ∈时，()f x 的解析式。

例5已知函数()f x 是定义在[6,6]-上的奇函数，它在[0,3]上是一次函数，在[3,6]上是二次函数，且当[3,6]x ∈时，()(5)3f x f ≤=，(6)2f =，求()f x 的解析式。 五、 消元法（也叫方程组法）：

特征：已知一个方程两个未知量的时候

对策：再构造出来一个方程包含原来方程的两个变量，解方程组就能求出表达式 例7、已知f(x)满足x x

f x f 3)1

()(2=+

，求)(x f