高中数学函数专题之函数三要素
高一数学函数的三要素知识点
高一数学函数的三要素知识点在高一数学学习中，函数是一个重要的概念和工具。
理解和掌握函数的三要素是学好数学的基础。
本文将介绍函数的三要素的知识点，包括定义域、值域和图像。
一、定义域定义域是指函数所能接受的自变量的取值范围。
对于一个函数来说，它并不是任意定义的，而是有一定的限制。
在确定定义域时，需要考虑函数中出现的各种运算，比如平方根、分母不能为零等。
例如，对于函数y = √x，由于不能对负数开平方根，因此定义域为x ≥ 0；对于函数y = 1/x，由于分母不能为零，因此定义域为x ≠ 0。
需要注意的是，对于一些复杂的函数，确定定义域可能需要借助一些技巧和方法。
二、值域值域是函数所有可能的输出值的集合。
它是定义域经过函数变换后得到的结果。
确定值域的方法通常有两种：代数方法和图像法。
在使用代数方法确定值域时，可以分析函数的性质和特点，并求出函数的最值。
例如，对于函数y = x^2，在定义域为实数集时，函数的最小值为0，因此值域为y ≥ 0；对于函数y = sinx，在定义域为实数集时，由于正弦函数的取值范围是[-1, 1]，因此值域为-1 ≤ y ≤ 1。
图像法是通过作出函数的图像来确定值域。
通过观察函数的图像，我们可以直观地判断函数的值域。
例如，对于函数y = 2x + 1，在作出其图像后，我们可以看到函数的图像是一条直线，它包含了所有的实数，因此值域为实数集。
三、图像函数的图像是函数在坐标系上的表示。
通过观察函数的图像，我们可以了解函数的性质和特点，进而更好地理解函数的三要素。
在绘制函数的图像时，需要根据定义域和值域的情况选择适当的坐标系和标尺。
对于简单的函数，可以通过画出一些特殊点和关键点，再通过描点连线的方法绘制函数的图像；对于复杂的函数，则可以借助计算机绘图工具进行绘制。
无论使用哪种方法，绘制的图像应该准确反映函数的性质，直观地展示函数的变化趋势。
综上所述，函数的三要素——定义域、值域和图像，是理解和掌握高一数学函数的关键知识点。
函数三要素及分段函数
函数的三要素函数的三要素是：定义域、值域和定义域到值域的对应法则；对应法则是函数的核心(它规定了x 和y 之间的某种关系)，定义域是函数的重要组成部分（对应法则相同而定义域不同的映射就是两个不同的函数）；定义域和对应法则一经确定，值域就随之确定一．定义域一．定义域1.具体函数：①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R ；②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；的实数集；③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；的实数集合； ④若f(x)是对数型函数，则函数的定义域是使真数大于0的实数集合；的实数集合；⑤若f(x)是零次幂函数，则函数的定义域是使零次幂的底数不为零的实数集合；是零次幂函数，则函数的定义域是使零次幂的底数不为零的实数集合； ⑥三角函数:（必修4） 2.抽象函数：抽象函数：①已知函数f(x)的定义域为D ，求函数f 【g （x ）】的定义域，只需g （x ）∈D; ②已知函数f 【g （x ）】的定义域为D, 求函数f(x)的定义域, 只需求出g （x ）的值域。
）的值域。
练习：1.求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x xx x f③=)(x f x11111++④x x x x f -+=)1()( ⑤373132+++-=x x y⑥()()1log 143++--=x x x x f ⑦⑦221()1(3234)f x n x x x x x =-++--+ ⑧221()log (1)x f x x --=-⑨若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)()1f x g x x =-的定义域是（ ） 2. 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-×x f 的定义域3．设)(x f 的定义域是[-3，2]，求函数)2(-x f 的定义域4. 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围 5. 设a ÎR ，函数)22lg(2a x ax y --=的定义为A ，不等式0342<+-x x的解集为B ，若¹ÇB A f ，求实数a 的取值范围．的取值范围．6.已知函数6)1(3)1()(22+-+-=x a x a x f ，(1)若)(x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围； （2）若)(x f 的定义域为[－2，1]，求实数a 的值.二．函数解析式二．函数解析式1.已知f(x)是一次函数, 且f[f(x)]=4x -1, 求f(x)的解析式 2．若x x x f 21(+=+）,求f(x)3. 已知：)(x f =x 2-x+3 求：求： f(x+1), f(x1) 4. 已知函数)(x f =4x+3，g(x)=x 2,求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)]. 5. 若xxx f -=1)1( 求f(x) 6. 已知f(x)满足x xf x f 3)1()(2=+，求)(x f7.设二次函数)(x f 满足)2()2(x f x f -=+且)(x f =0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求)(x f 的解析式. 8.8. 已知ｆ（ｘ＋x 1）＝ｘ３＋31xx ，求ｆ(ｘ)的解析式的解析式三．值域三．值域1．直接法：利用常见函数的值域来求利用常见函数的值域来求一次函数y=ax+b(a ¹0)的定义域为R ，值域为R ；反比例函数)0(¹=k xky 的定义域为{x|x ¹0}，值域为{y|y ¹0}；二次函数)0()(2¹++=a c bx ax x f 的定义域为R ，当a>0时，值域为{a b ac y y 4)4(|2-³}；当a<0时，值域为{a b ac y y 4)4(|2-£}. 2.分离常数法（反函数法）： 例：1+=x x y3．换元法：例：求函数x x y -+=142的值域的值域4. 判别式法（△法）：判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论例：求函数66522++-=x x x y 的值域的值域 5. 数形结合法：数形结合法：例1：求函数y=|x+1|+|x-2|的值域. 例2：求函数xx y 1+=的值域6. 二次函数比区间上的值域(最值)：①142+-=x x y ； ②]4,3[,142Î+-=x x x y ；③]1,0[,142Î+-=x x x y ； ④]5,0[,142Î+-=x x x y ；练习：①x x y -+=2； ②242xx y --=③ 34252+-=x x y④④)0(9122¹++=x x x y ⑤若函数12)(22+--+=x x ax x x f 的值域为[－2，2]，则a 的值为的值为 （ ）⑥ 设函数41)(2-+=x x x f . （Ⅰ）若定义域限制为[0，3]，求)(x f 的值域；的值域； （Ⅱ）若定义域限制为]1,[+a a 时，)(x f 的值域为]161,21[-，求a 的值⑦的值域求2)2(|1|-++=x x y⑧的值域，试求函数的值域是已知)(21)()(]94,83[)(x f x f x g y x f -+== ⑨已知函数y=f(x)=x 2+ax+3在区间x ∈[-1,1]时的最小值为-3，求实数a 的值．的值．分段函数分段函数; ; ; 定义域定义域定义域; ; ; 值域或最值值域或最值值域或最值; ; ; 函数值函数值函数值; ; ; 解析式解析式解析式; ; ; 图像图像图像; ; ; 反函数反函数反函数; ; ; 奇偶性奇偶性奇偶性; ; ; 方程方程方程; ; 不等式不等式. .))12log (12x 1)1x +--）的值为）的值为。
高一数学：函数的三要素
函数的三要素：定义域、对应关系和值域 函数的定义域：函数的定义域是自变量x 的取值范围，它是构成函数的重要组成部分，如果没有标明定义域，则认为定义域是使函数解析式有意义的或使实际问题有意义的x 的取值范围 函数y=f(x)的定义域的求法：①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R ；②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合； ④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.如为半径r 与圆面积S 的函数关系为S=πr 2的定义域为{r ︱r>0} ⑥)(x f =x 0的定义域是{x ∈R ︱x ≠0}注意：列不等式（组）求函数的定义域时，考虑问题要全面，要把所有制约自变量取值的条件都找出来。
【例1】求下列函数的定义域： ① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)(.【练1】求下列函数的定义域：（1）()422--=x x x f （2）()2f x x =+ （3） y = （4）xx x y -+=||)1(0【2012高考四川文13】函数()f x =的定义域是____________。
（用区间表示）【2012高考广东文11】函数y x=的定义域为 .表达式中参数求法：根据定义域或其他的条件找到参数应满足的条件或表达式，从而求出相应参数的取值范围。
【例1】若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围【练1】已知函数()f x 的定义域为R ，求实数k 的范围复合函数1.复合函数定义定义：设函数)(u f y =，)(x g u =，则我们称))((x g f y =是由外函数)(u f y =和内函数)(x g u=复合而成的复合函数。
高一函数三要素的知识点
高一函数三要素的知识点函数是数学中的重要概念，是描述两个变量之间关系的工具。
在高一数学中，函数的学习是一个重要的内容，其中包含了函数的三个要素：定义域、值域和对应法则。
本文将深入探讨这些要素的含义和相关的知识点。
1. 定义域定义域是函数中自变量的取值范围。
在一个函数中，自变量的取值不能超出定义域的范围。
例如，对于一个以年龄为自变量，身高为因变量的函数，定义域可能是年龄范围在0至100岁之间的实数集合。
在某些情况下，定义域可能受到一些限制。
比如，对于一个以分母为自变量，分数值为因变量的函数，定义域就不能包含分母为零的情况，因为分母为零时函数无法定义。
因此，理解函数的定义域是非常重要的，它有助于我们确定函数的有效取值范围。
2. 值域值域是函数中因变量的取值范围。
它表示函数在定义域内所有可能的因变量取值。
例如，对于一个以时间为自变量，距离为因变量的函数，值域可能是非负实数集合，因为距离不可能为负数。
值域的分析有助于我们理解函数的变化趋势和范围。
通过确定值域，我们可以确定函数的最大值、最小值等特征。
同时，对于一些特殊函数，比如二次函数，我们还可以通过分析值域来确定函数的开口方向和是否有最值的情况。
3. 对应法则对应法则是函数中自变量与因变量之间的关系。
它描述了自变量和因变量之间的映射规律。
例如，对于一个以温度为自变量，压强为因变量的函数，对应法则可能是温度每上升1摄氏度，压强上升0.1帕斯卡。
对应法则是函数中最核心的部分，它决定了函数的性质和变化规律。
理解对应法则有助于我们分析函数的特点，如函数的增减性、奇偶性、周期性等。
在实际问题中，研究对应法则可以帮助我们建立数学模型，并通过函数来解决实际问题。
除了以上三个要素，高一数学中还涉及了函数的图像、反函数、复合函数等内容。
通过对这些内容的学习，我们可以更全面地了解函数的性质和应用。
总结起来，高一函数三要素的知识点包括定义域、值域和对应法则。
这些要素是函数研究的基础，对于解决实际问题和深入理解数学知识都起到了重要的作用。
2020高考100篇之003函数的三要素
2020高考100篇之003函数的三要素展开全文师说：函数的三要素分别为：定义域，值域和对应法则。
这三个要素在高考中鲜有单独的设问，偶尔在双空的填空题里面出现。
定义域的考察无处不在，不注意这个知识点，要么题目犯错，要么题目根本没法做。
对于学生我提到了这样几句话：集合注意空集，函数注意定义域，向量注意零向量，直线注意斜率，有参数找定点。
这些都是易错的点，也是看到相应类型问题必须要做的下意识动作。
此外，对于一些实力较弱的同学而言，最后导数大题，求导之前，工工整整写上一行字“定义域为R“抑或其他定义域，在某些时候还能捡到珍贵的分数。
值域其实不能说不考，而是处处都在考，恒成立问题里面有值域，向量问题的取值范围里面有值域，基本不等式更加有值域包含在里面。
纵观每一份试卷，其实和值域相关的题目总分占比很高。
同学们要练习好的很熟练的值域问题①含参二次式值域问题②二次分式的值域问题，方法有判别式法，基本不等式法，单调性法，导数法等，尤以基本不等式居多。
对应法则中解析式这一条，复习时会复习三种方法，分别为①知道类型的待定系数法②单f的换元法③双f的方程组法。
另外就是在分段函数里面根据自变量范围选择相应的对应法则进行正向或者逆向计算。
遍寻浙江近些年的高考题，很是失望，真的找不到太多直接考察三要素的题目。
拉出几个来凑个数，大家看看，有兴趣的动笔算算。
END☆数学学科核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析.☆数学核心素养的基本特征可以归结为综合性、阶段性和持久性三方面.☆对于数学核心素养的具体理解，可以说是指在学习数学之后渐渐形成的一种综合性的运用知识解决问题的能力，它是数学教学过程中需要特别注意的一种素养，具体来说指的并非某些知识或者技巧。
更不是平常意义上的数学能力，而是一种反应了数学思想的、基于数学知识却高于知识的综合、持久和阶段的能力。
函数三要素
高中数学函数的三要素函数的三要素是指定义域、值域、对应法则。
每个要素里掌握的方向不一样。
定义域从具体函数和抽象函数两个方向去把握，值域掌握求值域的方法有哪些，对应法则也掌握的是方法有哪些，下面一一介绍。
一、定义域1、具体函数定义域，主要从以下几个方面去掌握：(1)整式函数的定义域是全体实数。
(2)分式函数的定义域是使得分母不为0的自变量的取值。
(3)含有偶次根式是被开放数大于等于0(4)对数函数是真数大于0(5)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义。
2、抽象函数的定义域，此部分只需记住2句话即可：（1）、凡是出现定义域三个字，统统是指的取值范围。
（2）、相同准则条件下，相同位置取值范围一样。
通俗一句话就是括号里的取值范围一样。
3、实际问题，既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求。
二、对应法则函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法（例如一次函数、二次函数）。
(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围。
(3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式。
(4)消去法（构造方程组法）：已知f(x)与fx(1)或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)。
三、求值域：求值域的方法：（1）分离常数法：适合分子分母都是一次函数。
（2）反解法。
（3）配方法。
（4）不等式法。
（5）单调性法。
（6）换元法。
（7）数形结合法。
（8）导数法。
专题05 函数 5.1函数的三要素 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习(解析版)
则 M∪∁RN＝[﹣2，1）．
故选：A．
考点 2.抽象函数定义域
3．若函数 f（3﹣2x）的定义域为[﹣1，2]，则函数 f（x）的定义域是
【解答】解：∵函数 f（3﹣2x）的定义域为[﹣1，2]，
即﹣1≤x≤2，
∴﹣2≤2x≤4
∴﹣1≤3﹣2x≤5
[﹣1，5] ．
高中数学一轮复习讲义
，
�
�
1−�2
�
得到�(�) =
所以�(�) =
1
�
1−(1�)2
=
�
，
�2−1
�
（x≠0，x≠±1）．
�2−1
1
1
1
（2）f（x+ ）＝x2+ 2 = (� + )2 − 2，
�
�
�
所以 f（x）＝x2﹣2（x≥2 或 x≤﹣2）．
6．已知 f（3x）＝4xlog23+10，则 f（2）+f（4）+f（8）+…+f（210）的值等于
，解得﹣1≤x≤1．
−1 ≤ 1 − � ≤ 2
∴函数 y＝f（1+x）+f（1﹣x）的定义域为[﹣1，1]．
故选：C．
考点 3.已知定义域求参
5．已知函数 f（x）＝lg（ax2+3x+2）的定义域为 R，则实数 a 的取值范围是
∞）
．
9
（ ，+
8
【解答】解：根据条件可知 ax2+3x+2＞0 恒成立，
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是
判断两函数相等的依据．
函数的概念及其三要素
函数的概念及其三要素
一、什么是函数
函数是指一种映射关系，它把一个或多个输入值映射成输出值，当用
相同的输入值时，可以产生相同的输出值，这种一一映射的关系就是函数。
数学上的函数可以分为普通函数和复合函数，普通函数主要用作表达其中
一种性质随变量而变化的定量关系，复合函数是通过一个函数定义另一个
函数，而满足其中一种定义域和值域的关系，是构成数学理论的基础。
二、函数的三要素
1、定义域
定义域也叫做函数的域，它表示函数的取值范围，即允许函数的输入
取值的范围，它可以是实数的整数、分数、有理数，也可以是复数。
一般
情况下，为了更好地研究函数的特性，会将定义域划分为有限多个区间，
即定义域可以表示为一个有限的集合。
2、值域
值域表示函数的输出取值可以取到的范围，也就是函数的输出值可以
取的范围。
值域可以是实数集、自然数集等，有时也会将值域分为有限多
个区间，以方便函数特性的研究。
3、解析式
解析式是一种表示函数关系的方式，它用数学符号把函数所表示的变
化关系表示出来，如一元函数的解析式一般可以写成y=f(x)，其中f(x)
就是函数的解析式，这里的x表示函数的自变量，y表示函数的因变量，
f(x)称为函数式。
函数三要素与四性质
函数三要素与四性质函数是数学中的一个重要概念，用于描述两个集合之间的对应关系。
在函数的定义中有三个重要要素，即定义域、值域和对应关系。
四个重要性质分别是单射、满射、有界性和连续性。
函数的三要素包括定义域、值域和对应关系。
首先，定义域是指函数中自变量可能取值的集合，它决定了函数定义的范围。
例如，在函数y=x²中，定义域可以是实数集，也可以是正实数集。
其次，值域是依赖于定义域而确定的函数取值的集合，它表示了函数的输出范围。
在上述函数中，值域可以是非负实数集。
最后，对应关系是指定义域中的每个元素与值域中的元素之间的对应关系。
对于函数y=x²，每个实数x都对应一个非负实数y，而且每个非负实数y也有一个实数x与之对应。
函数的四性质包括单射、满射、有界性和连续性。
首先，单射性是指函数中的每个值都对应不同的自变量值。
换句话说，不同的自变量不能有相同的函数值。
例如，在函数y=x²中，不同的自变量x可以对应不同的函数值y，因此该函数是单射的。
其次，满射性是指函数的值域与目标集合相同，即函数中的每个值都能被取到。
例如，在函数y=x²中，函数的值域可以包括0和所有非负实数，因此该函数是满射的。
接下来，有界性是指函数值在定义域内存在一个上界和下界，即函数在定义域内有限。
例如，在函数y=x²中，函数值没有上界，但下界为0。
最后，连续性是指函数在其定义域的每个点上都没有跳跃或断裂，即函数的图像是连续的。
例如，在函数y=x²中，其图像是一个连续的抛物线。
在实际应用中，函数的三要素和四性质起到了重要的作用。
定义域决定了函数的输入范围，在建立函数模型时需要明确自变量的取值范围。
值域反映了函数的输出范围，对于解决问题、做出判断以及优化函数具有指导作用。
对应关系则确定了函数的输入和输出之间的关联，从而能够进行具体计算和推导。
单射性和满射性可以帮助我们判断函数的特性及其在实际问题中的应用。
高三数学函数三要素知识点
高三数学函数三要素知识点函数是数学中的一种重要概念，广泛应用于各个领域，尤其在高三数学中扮演着重要的角色。
理解和掌握函数的三要素是高中数学学习的基础，也是考试中常见的考点。
本文将详细介绍函数的三要素，包括定义域与值域、图像与性质以及解析式与关系式。
一、定义域与值域函数的定义域是指函数中自变量取值范围的集合，可以是实数集、整数集或其他特定集合，记作D(f)。
而值域则是函数通过自变量变化所能取得的函数值的集合，记作R(f)。
在探究函数的定义域和值域时，可以借助图像来进行分析和判断。
例如，对于一元函数y=f(x)，如果函数的解析式为y=x^2+1，我们可以通过观察解析式中的幂函数性质得知，这个函数的定义域是实数集R，因为幂函数的定义域是整个实数集。
而对于函数的值域，我们可以通过画出函数的图像来观察。
通过分析得知，y=f(x)的图像为抛物线，开口向上，顶点在(0,1)处，因此值域为{y∈R | y≥1}。
二、图像与性质函数的图像可以直观地展示函数的性质，包括函数的单调性、奇偶性、最值等。
我们可以通过图像的形状和关键点来确定函数的性质。
以一元函数y=f(x)为例，通过观察函数的图像，我们可以判断函数的单调性。
如果函数在定义域内任意两点的连线均不与函数图像相交，那么这个函数是严格单调递增或递减的。
如果函数在某一区间内是单调递增或递减的，并且在该区间内等号成立，那么这个函数是递增或递减的。
此外，通过观察图像的对称性，我们可以判断函数的奇偶性。
如果函数满足f(-x)=f(x)，那么这个函数是偶函数；如果函数满足f(-x)=-f(x)，那么这个函数是奇函数。
另外，通过直观观察函数图像的开口方向和顶点位置，还可以判断函数的最值。
对于抛物线函数来说，开口向上的抛物线的最小值在顶点处，最大值不存在；开口向下的抛物线的最大值在顶点处，最小值不存在。
对于其他类型的函数，可以通过函数图像的分析来得到相应的最值性质。
三、解析式与关系式函数的解析式是函数的一种表示形式，通常使用代数式来表示。
函数的概念-三要素的求法(整理版)
函数的概念,三要素的求法一、函数的概念：1． 函数的概念：函数概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数 记作：y = f (x )，x ∈A .其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x ) | x ∈A }叫做函数的值域. 显然，值域是集合B 的子集.（2）函数的表示方法1．解析式：把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来，得到的式子叫做解析式. 2．列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.3．图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.（3）典型例题：1. 函数y = f (x )表示（ ） A ．y 等于f 与x 的乘积 B ．f (x )一定是解析式 C ．y 是x 的函数 D ．对于不同的x ，y 值也不同2.下列各图中，可表示函数y =f (x )的图象的只可能是A B C D3. 下列四种说法中，不正确的是（ ）A ．函数值域中每一个数都有定义域中的一个数与之对应B ．函数的定义域和值域一定是无限集合C ．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D ．若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素4. 已知f (x ) = x 2 + 4x + 5，则f (2) = __ ，f (–1) = __ .5. 已知f (x ) = x 2 (x ∈R )，表明的“对应关系”是______，它是____→_____的函数.2.映射x y o x y o x y o xy o映射的定义：设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有惟一确定的元素y与之对应，那么这样的对应(包括集合A，B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作f:A→B.其中与A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.看下面的例子：设A，B分别是两个集合，为简明起见，设A，B分别是两个有限集说明：（2）（3）（4）这三个对应的共同特点是：对于左边集合A中的任何一个元素，在右边集合B中都有唯一的元素和它对应①“A到B”：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射,A到B是求平方，B到A则是开平方，因此映射是有序的；②“任一”：就是说对集合A中任何一个元素，集合B中都有元素和它对应，这是映射的存在性；③“唯一”：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都是唯一的元素和它对应，这是映射的唯一性；④“在集合B中”：也就是说A中元素的象必在集合B中，这是映射的封闭性.指出：根据定义，（2）（3）（4）这三个对应都是集合A到集合B的映射；注意到其中（2）（4）是一对一，（3）是多对一一对一，多对一是映射但一对多显然不是映射辨析：①任意性：映射中的两个集合A,B可以是数集、点集或由图形组成的集合等；②有序性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；③存在性：映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象；④唯一性：映射中集合A的任一元素在集合B中的象是唯一的；⑤封闭性：映射中集合A的任一元素的象都必须是B中的元素，不要求B中的每一个元素都有原象，即A中元素的象集是B的子集.映射三要素：集合A、B以及对应法则f，缺一不可；映射观点下的函数概念如果A，B都是非空的数集，那么A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y ∈B.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合C（C B）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”，有时简记作函数f(x).例以下给出的对应是不是从集合A到B的映射？（1）集合A = {P | P是数轴上的点}，集合B = R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）集合A = {P | P是平面直角坐标系中的点，集合B = {(x | y) | x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（3）集合A = {x | x是三角形}，集合B = {x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）集合A = {x | x是新华中学的班级}，集合B = {x | x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生.（1）按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有惟一的实数与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（2）按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有惟一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（3）由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（4）新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f：A→B 不是从集合A到B的一上映射.1.图1-2-2-21(1),(2),(3),(4)用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则,是不是映射？图1-2-2-21“一对一”或“多对一”的对应,即集合A中的任意一个元素,在集合B中都有唯一确定的元素与之对应.例1，已知下列集合A到B的对应，请判断哪些是A到B的映射？并说明理由：⑴ A=N，B=Z，对应法则：“取相反数”；⑵A={-1，0，2}，B={-1，0，1/2}，对应法则：“取倒数”；⑶A={1，2，3，4，5}，B=R ，对应法则：“求平方根”； ⑷A={α|00≤α≤900}，B={x|0≤x ≤1}，对应法则：“取正弦”.二、函数的三要素——定义域、值域、对应法则（a ）函数定义的理解.由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域. 由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.(b) 区间的概念（1）不等式a ≤x ≤b ，用闭区间[a ，b ]表示； （2）不等式a ＜x ＜b ，用开区间(a , b )表示；（3）不等式a ≤x ＜b (或a ＜x ≤b )用半开半闭区间[a ，b ](或(a ，b ])表示；（4）x ≥a ，x ＞a ，x ≤b ，x ＜b 分别表示为[a ，+∞)，(a , +∞)，(–∞, b ]，(–∞, b ).1.定义域的求法：例1：列函数中哪个与函数y = x 相等？（1）1()2f x x =-；（2）()32f x x =+；（3）1()12f x x x =++-.（4）3212+=x y（5）1||142-+-=x x y（6）||13x x x y +-=求函数的定义域的类型： 一、 含分式的函数在求含分式的函数的定义域时，要注意两点：（1）分式的分母一定不能为0；（2）绝对不能先化简后求函数定义域。
04函数三要素与函数图像
函数三要素与函数图像函数三要素：定义域、法则、值域。
通常定义域和法则确定了，值域也确定了，也可以称为函数两要素。
只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。
例1：判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？(1).弘=S t )(x~~— y 2=X-5(2).y 1=Vx+1Vx-1 y 2=J(x+l)(x-1) x+3(3)/(χ)=%g(χ)=√？ (4)./(χ)=%F(x)=V?(5)./(X)=(J2x-5)2f 2(x)=2x-5(1)解：不是同一函数，定义域不同(2)解：不是同一函数，定义域不同(3)解：不是同一函数，值域不同(4)解：是同一函数(5)解：不是同一函数，定义域、值域都不同1.判断下列各组中的两个函数是同一函数的为(C)(D 必=(A +3)(A —52,y 2=X_5；⑵M=JR+1J--I,y 2=J(x+l)(x-l)；x+3 ⑶/(x)=x,g(x)=G^;(4)∕(χ)=χ,g(x)=底'；(5)∕1(χ)=(√2x -5)2,f 2(x)=2x-5O A 、⑴、(2) B 、(2)、(3) C 、(4) D 、⑶、(5)2.下列四组函数中，表示同一函数的是(D)a -y=χ-1与y=√(x -ι)2b ∙y=√7τT⅛3.下列各组表示同一函数的是(C)A.与y=(√^)2B.y=lgx 2⅛y=21gxC.y=l+l⅛y=l+1D.y=x 2-1(x ∈R)与y=x2-1(χ∈N)VXXt 4.下列各组函数f (X )与g (X )的图象相同的是(D)_ A.f(x)=(x-1)°与g(x)=1B.f(x)=X 与g(x)2-4fχ(χ≥0) C.f(x)=- .................. , g(x)=x÷2D.f(x)=∣x ∣,g (x)=1X-2mI-X(x <0) 例2根据所给定义域，画出函数y=χ2-2χ+2的图象。
函数的三要素
函数一、定义域求函数()y f x =的定义域时通常有以下几种情况：①如果()f x 是整式，那么函数的定义域是实数集R ；②如果()f x 是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；③如果()f x 为二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合； ④如果()f x 是由几部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合。
例1：求下列函数的定义域：（1）；24)(++=x x x f（2）()f x =131-+--x x ；（3）1()2f x x =-，求()y f x =，(1)y f x =+的定义域例2．简单的抽象函数的定义域的求法解题思想：①求定义域就是求x 的范围 ②放在括号里的范围相同1．已知函数f （x ）的定义域为(0，1)，求f （x -2）的定义域.2．若函数(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为________3．已知函数f （2x ＋1）的定义域为(0，1)，求f （x ）的定义域.二、函数的解析式例3．（1）已知ƒ (x+1)= x 2+x 求ƒ (x)（2）已知ƒ (x -x 1) = (x +x 1)2 求ƒ (x)( 3 ) 已知2ƒ (x) + ƒ (x 1)= x 求函数ƒ (x)（4）已知ƒ[ ƒ (x) ]= 2x – 1, 求一次函数ƒ (x)练习：1. 已知2()43f x x x =-+，求(1)f x +；2. 已知2(1)2f x x x +=-，求()f x ．3．已知()2()32f x f x x +-=-，求()f x 的解析式 ；4. 已知3311()f x x x x +=+，求()f x例4．若函数27()43kx f x kx kx +=++的定义域为R ，求实数k 的取值范围．三、函数的值域例5: 求函数541x y x +=-的值域。
高一函数三大要素知识点
高一函数三大要素知识点函数是数学中非常重要的概念，也是高中数学的重要内容之一。
在高中数学的学习过程中，学生会接触到许多与函数有关的知识点。
其中，函数的三大要素是一个非常基础且重要的内容。
本文将对高一函数的三大要素进行详细讨论。
函数的三大要素指的是定义域、值域和对应法则。
下面我将分别对这三个要素进行阐述。
一、定义域在进行函数的研究和运算时，定义域是必不可少的概念。
定义域就是函数中自变量可以取值的范围。
简单来说，就是函数能够接受的输入值。
对于一个给定的函数，定义域可以是实数集、有理数集或者其他特定的集合。
在确定一个函数的定义域时，我们需要注意可能存在的限制条件。
例如，对于一个含有分式的函数，我们需要考虑分母不能为零的情况，因此需要排除分母为零的那些自变量。
此外，对于开方函数，也要考虑被开方的数不能为负数的情况。
二、值域值域是函数中的另一个重要概念，它是函数在定义域内所有可能的函数值的集合。
简单来说，就是函数能够输出的结果。
在研究一个函数的性质时，了解它的值域是非常有帮助的。
对于连续函数，我们可以通过分析其图像和性质来确定其值域。
但对于一些复杂的函数，我们可能需要使用一些数学方法来确定其值域。
例如，我们可以使用一些函数的性质和定理，如中值定理、最大值最小值定理等，来确定值域的范围。
三、对应法则对应法则是函数的第三个要素，它是函数中自变量和因变量之间的关系规律。
在数学中，我们通常用一个表达式、方程或者图像来表示对应法则。
函数的对应法则可以是简单的代数式或者复杂的方程组。
例如，我们可以用线性函数 y=2x+3 来表示一个自变量 x 和因变量 y 之间的关系。
在函数的研究过程中，我们可以通过对对应法则的分析，来探究函数的性质和变化规律。
除了了解这三大要素之外，我们还需要对其进行综合应用。
在解决实际问题时，我们可以通过分析问题的背景和条件，确定合适的定义域和值域，并找到合适的对应法则，从而解决问题。
总之，函数的三大要素是高一数学中非常重要的知识点。
函数的三个基本要素
函数的三个基本要素
首先，函数的定义是确定函数的输入和输出的规则和关系。
一个函数包含两个集合，即自变量的集合（通常用X表示）和函数值的集合（通常用Y表示），以及一个确定的规则，用于将每个自变量映射到唯一的函数值。
简单来说，函数的定义就是规定了函数的输入和输出之间的关系。
其次，函数的值域是函数的所有可能的输出值构成的集合。
值域是函数的一个重要属性，它描述了函数可能的输出情况。
对于不同的函数，其值域的情况也不同。
例如，对于一个函数f(x)=x^2，它的自变量可以是任意实数，但值域只能是非负实数。
最后，函数的性质是函数在数学上的一些重要特征和性质。
函数的性质可以是连续性、可导性、奇偶性、周期性等。
这些性质描述了函数在整个定义域上的特点和表现。
例如，一个连续函数是指在其定义域上，函数的每个点的函数值都可以通过逼近得到。
而可导函数则表示在其定义域上存在导数，即函数在各个点的切线斜率存在。
总结来说，函数的三个基本要素是函数的定义、函数的值域和函数的性质。
函数的定义规定了函数的输入和输出之间的关系，值域是函数可能的输出值构成的集合，而函数的性质描述了函数在整个定义域上的特点和表现。
这些要素不仅是数学中函数的基础概念，也是函数研究和应用的重要基础。
高中数学函数入门——三要素：定义域、值域、对应关系的求法
高中数学函数入门——函数的三要素及其求法函数的定义：设B A 、是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数)(function记作 A x x f y ∈=),(其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合}|)({A x x f ∈叫做函数的值域，显然值域是集合B 的子集.一、定义域求法（1）具体函数（函数给定解析式）１、)(x f 是整式：R ；２、)(x f 是分式：使分母不为0的数集；３、)(x f 是二次（偶次）根式：根号内式子≥0；４、幂式0x ：0≠x ；5、对数：真数大于0；6、以上几部分组合：各式都有意义的数集。
【总结反思】求具体函数定义域——看“x ”在哪里【例1】 求下列函数的定义域。
).4(log 123)()3(;23||2)()2(;213)()1(220x x x x f x xx x f x x x f -+-=-+-=+++=).2,21()(,221,04012),4(log 123)()3(]3,()(3,03||02023||2)()2(),2()2,3[)(,23,0203213)()1(2220的定义域为即解得的定义域为，即解得的定义域为即且解得，【解析】x f x x x x x xx f x f x x x x x x x x f x f x x x x x x x f <<⎩⎨⎧>->-∴-+-=--∞-≤⎪⎩⎪⎨⎧≥->-≠∴-+-=+∞-⋃---≠-≥⎩⎨⎧≠+≥+∴+++=（2）抽象函数（没有给定解析式）【例2】 (1)若函数y=f(x)的定义域是[0,2020],则函数g(x)=f(x+1)x−1的定义域是()A.[0,1)∪(1,2020]B.[-1,1)∪(1,2020]C.[0,1)∪(1,2019]D.[-1,1)∪(1,2019](2)已知函数f(x+1)的定义域为(-4,-2),则f(2x -1)的定义域为( )A.(-1,0)B.-12,12C.(0,1)D.-12,0【解析】(1)由函数y=f(x)的定义域是[0,2020]可知要使f(x+1)有意义,需满足0≤x+1≤2020,解得-1≤x ≤2019,所以要使g(x)=f(x+1)x−1有意义,需满足{-1≤x ≤2019,x −1≠0,解得-1≤x<1或1<x ≤2019.故选D.(2)∵函数f(x+1)的定义域为(-4,-2),∴-4<x<-2,∴-3<x+1<-1,则f(x)的定义域为(-3,-1),由-3<2x -1<-1,得-1<x<0,∴f(2x -1)的定义域为(-1,0).故选A【总结反思】求抽象函数定义域——抓住定义域的定义：x 的取值范围二、求解析式的方法①换元法：已知复合函数f[g(x)]的解析式，注意新元范围.②配凑法：已知f[g(x)]=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，再以x 代替g(x)得到f(x)的解析式.③待定系数法：已知函数类型，如一次函数、二次函数等基本初等函数.④解方程组法：已知f(x)与f(-x)、f(x 1)的等量关系，再以-x 代替x 、x1代替x 构造一个等式.⑤“求谁设谁”（对称法）：已知f(x)的奇偶性及某一区间上解析式，求对称区间上的解析式.【例3】 (1)已知函数f(√x +1)=x-4,则f(x)= .(2)已知f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2,则f(x)= .(3)已知函数f(x)对一切不为0的实数x 均满足f(x)+2f 2020x =2020x +2,则f(x)= . (4)已知函数f(x)为R 上的奇函数，当x>0,f(x)=-2x 2+3x+1,求f(x)的解析式.【解析】(1)方法一(换元法):令t=√x +1≥1,则x=(t-1)2,故f(t)=(t-1)2-4=t 2-2t-3(t ≥1),故f(x)=x 2-2x-3(x ≥1).方法二(配凑法):由题可知√x +1≥1,f(√x +1)=x-4=(√x +1)2-2(√x +1)-3,故f(x)=x 2-2x-3(x ≥1).(2)(待定系数法)∵f(x)为二次函数,∴设f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0),∵f(0)=3,∴c=3.由f(x+2)-f(x)=4x+2,得a(x+2)2+b(x+2)+3-ax 2-bx-3=4x+2,解得a=1,b=-1,∴f(x)=x 2-x+3.(3)(解方程组法)f(x)+2f2020x =2020x +2,① 将①中的x 换成2020x ,得f2020x +2f(x)=x+2, ② 将①②联立并消去f 2020x ,得f(x)=23x-20203x +23(x ≠0).(4) (求谁设谁)设x<0,则-x>0,f(-x)=-2x 2-3x+1,∵f(x)为R 上的奇函数，∴f(x)=-f(-x)=2x 2+3x-1∴x<0时f(x)=2x 2+3x-1，f(0)=0⎪⎩⎪⎨⎧<-+=>++-=∴0,1320,00,132)(22x x x x x x x x f三、求值域的方法(1)原则:依据函数的定义域求值域,即先确定定义域再求值域.(2)常用方法.①观察法:对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到;②配方法:此法是求“二次函数类”值域的基本方法,即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法;③分离常数法:此方法主要是针对有理分式,即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式,便于求值域;④换元法:即运用新元代换,将所给函数化成值域易确定的函数,从而求得原函数的值域.注意新元的范围.【例4】 求下列函数的值域12)4(3)3(]5,1[,64)2(1)1(2-+=-=∈+-=+=x x y x x y x x x y x y),21[210,00,)1(212121,0,12)4(}1|{1,03333133)3(3)3(]11,2[115,222]5,1[,2)2()2().,1[111,0,0)1(2222+∞∴==≥∴≥+=++=∴+=≥-=≠∴≠∴≠--+=-+-=-=∴====∴=∈+-=+∞+=∴≥+∴≥∴≥函数的值域为处取得最小值即在上单调递增函数在设函数值域为函数值域为取最大值在取最小值在，在给定区间对称轴为配方得的值域为解：x u u u u u u y u x u x u y y y x x x x x x y y x y x x x x y x y x x x 【总结反思】定义域、值域是集合，要用集合或区间表示．。
函数三要素
一、 函数的三要素：定义域、值域、对应法则。
判断两个函数是否相同需要判断哪两个要素：例1：下列四组函数中，是同一组函数的是（ ） A ．()f x x =，()g x =()f x =()2gx =C.()211x f x x -=-，()1g x x =+ D. ()f x =()g x =二、求函数定义域1.具体函数的定义域：1）分式函数：()()f x yg x =，定义域要求()0g x ≠。
2）偶次根式)*2,y n k k N ==∈的定义域要求()0f x ≥。
3）()0y f x =⎡⎤⎣⎦的定义域要求()0f x ≠。
4）对数函数的复合函数()()log 0,1a y f x a a =>≠的定义域要求()0f x >。
例2：求下列函数的定义域1)())1f x x =- 2)()1111f x x=++3) ()()22log 32f x x x =--- 4）()f x =2.抽象函数的定义域：如果一个函数没有给出具体的解析式，那么这个函数就叫做抽象函数。
1）已知()f x 的定义域为[],a b ，则求()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域时，我们令()a g x b ≤≤，解出来的x 的范围就是()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域。
2）已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域为[],a b ，则求()f x 的定义域时，我们求出()g x 在[],a b 上的值域就是()f x 的定义域。
3）已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域为[],a b ，则求()f h x ⎡⎤⎣⎦的定义域时，先根据()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域按照2）中的方法求出()f x 的定义域，再根据()f x 的定义域按照1）中的方法求出()f h x ⎡⎤⎣⎦的定义域。
例3： 1） 已知()f x 的定义域为()1,2，求()12f x -的定义域。
2） 已知()12f x -的定义域为()1,2，求()f x 的定义域。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
函数的三要素
【函数定义域求法】
一、常规型
即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。
分式中的分母不为零；
偶次方根下的数（或式）大于或等于零； 指数式的底数大于零且不等于1； 0的0次幂没有意义；
对数式的底数大于0且不等于1，真数大于0。
正切函数x y tan = ⎪⎭
⎫ ⎝
⎛∈+≠∈Z ππk k x R x ,2
,且
余切函数x y cot = ()Z π∈≠∈k k x R x ,,且
例1 求函数8
|3x |15x 2x y 2-+--=
的定义域。
例2 求函数x x y
cos lg 252+-=的定义域。
二、抽象函数型
抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。
➢
类型一：已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。
其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。
例1 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x
(f 2
-的定义域。
➢
类型二：已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。
例1 已知)1x 2(f +的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。
三、实际问题型
这里函数的定义域除考虑解析式有意义外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制
例1 用长为L 的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为2x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式，并求定义域。
四、逆向型
即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。
特别是对于已知定义域为R ，求参数范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。
例1 已知函数8m m x 6m x y
2++-=的定义域为R 求实数m 的取值范围。
针对练习： 已知函数3
kx 4kx 7
kx )
x (f 2+++=
的定义域是R ，求实数k 的取值范围。
【函数值域求法】
一、直接法（从自变量x 的范围出发，推出
()y f x =的取值范围）
例1 求函数
x
y -=213
的值域。
二 对称轴法（是求二次函数值域的基本方法，如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用对称轴法）
例1 求函数
242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。
三、判别式法（把函数转化成关于x 的二次方程0),(=y x F ，通过方程有实根，判别式0≥∆，从而求得原函数的值域，形如
2
2221121c x b x a c x b x a y ----=
） 例1求函数22
31
x x y x x -+=
-+ 的值域
四、分离常数法（分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法） 例1求函数125x y x -=+的值域。
例2求函数1212x
x y -=+的值域。
五、换元法（运用代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，如
y ax b =+±a 、
b 、
c 、
d 均为常数，且0a ≠）的函数常用此法求解。
例1求函数2
cos 4
cos 3sin 2--+=x x x y 的值域。
例2求函数2y x =+
例3函数
2
1x x y -+=的值域 针对练习：x
x
y 2
2
cos 4sin 1+
=
★小结： （1）若题目中含有
1≤a ，则可设)
0,cos (2
2
,sin πθθπ
θπ
θ≤≤=≤
≤-
=a a 或设
（2）若题目中含有1
22
=+b a
则可设θθsin ,cos ==b a ，其中πθ
20<≤
（3）若题目中含有21x -，则可设θcos =x ，其中πθ≤≤0 （4）若题目中含有
2
1x +，则可设θtan =x
，其中2
2
π
θπ<<-
（5）若题目中含有)0,0,0(>>>=+
r y x r y x ，则可设θθ22sin ,cos r y r x ==其中⎪⎭
⎫
⎝
⎛∈2,0πθ
六、函数的单调性法（确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域，形如求函数()0>+
=k x
k
x y 的值域（k
x <<
0时为减函数；
k
x >时为增函数））
例1求函数
y x =
例2 求函数y =5
32
log x -+（2≤x ≤10）的值域 针对练习：求函数y=
1+x -1-x 的值域。
七、数型结合法（函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法） 例1求函数11-++=x x y 的值域。
例2
求函数的值域 例3 求函数
sin 2
cos 1
x y x -=
-的值域
针对训练：.已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2－4x +1=0.求（1）x
y 的最大值和最小值；（2）y －x 的最小值；（3）x 2+y 2
的最大值和最小值
【函数解析式求法】
★ 知识点拨： 求解析式常见的方法有：待定系数法、换元法、配凑法、奇偶法、消元法（也叫方程组法）等。
一、待定系数法：
特征：已知函数类型；
对策：设出表达式，由已知列方程，从而解出待定系数。
例1设二次函数)(x f 满足)2()2(x f x f -=+且)(x f =0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求)(x f 的解析式
二、 换元法：
特征：当自变量很复杂的时候，换成新元t ，并能解出()x f t = 对策：解出()x f t =代入原来的表达式
例2若
x
x
x f -=
1)1(,求)(x f . 三、 配凑法：
特征：当f 或1x x ⎛⎫-
⎪⎝
⎭
充当函数自变量的时候 对策：通常用用一些等价变形公式构造相同的形式，以便换元求出表达式 例3已知
3311
()f x x x x +=+，求()f x 针对练习：已知221)1(x
x x x f +=-, 求)(x f 的解析式.
四、 函数性质法：
例4若(2)()f x f x +=，当[1,1]x ∈-时，2
()1f x x =-+，求当[1,3]x ∈时，()f x 的解析式。
例5已知函数()f x 是定义在[6,6]-上的奇函数，它在[0,3]上是一次函数，在[3,6]上是二次函数，且当[3,6]x ∈时，()(5)3f x f ≤=，(6)2f =，求()f x 的解析式。
五、 消元法（也叫方程组法）：
特征：已知一个方程两个未知量的时候
对策：再构造出来一个方程包含原来方程的两个变量，解方程组就能求出表达式 例7、已知f(x)满足x x
f x f 3)1
()(2=+
，求)(x f。