积化和差与和差化积

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三角函数的积化和差与和差化积

sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ1
sinα-β=sinαcosβ-cosαsingβ2
cosα+β=cosαcosβ-sinαsinβ3
cosα-β=cosαcosβ+sinαsinβ4 请同学们注意观察这四个公式,考虑一下能否利用这些公式得出一些新关系来．把1式与2式相加可得 sinα+β+sinα-β=αsinαcosβ．把1式与2式相减可得 sinα+β-sinα-β=αcosαsinβ． 3、4两式作类似的加、减还可以得到：
三角函数的恒等变换,由于三角公式较多、用起来也较活,所以应当掌握变形的一般规律,而一般规律的获得主要靠自己的实践以及理性上的升华.通过一个阶段的学习与练习,应是有一定体会的．一般说三角变换问题,首先要关注问题中的角,特别是角的和、差、倍、半关系,当然这些关系也不是一成不变的,如适当时候,我们也可以把α看作是
进行到此,本题的化简能进行下去吗可试着使用正弦函数的倍角公式化简．
2cos36°sin18°
2
和差化积公式的左边全是同名函数的和或差,只有负数绝对值相同的同名函数的和与差才能直接运用公式化成积的形式,如果是一个正弦与一余弦的和或差必须先用诱导公式化成同名函数后,再运用积化和差公式化成积的形式．
练习 1．求sin20°·cos70°+sin10°·sin50°的值, 2．求cos37.5°·cos22.5°的值,
1．sin20·cos70°+sin10°·sin50° 2． cos37.5°·cos22.5°
而sin20°·sin40°·sin80°
三角函数的和差化积
我们知道,每个数学公式都有两方面的应用,即正用与逆用．积化和差公式也不例外,那么,积化和差公式的逆用应怎么称呼呢应称为三角函数的和差化积公式．由三角函数的积化和差公式的逆用,我们可得以下几个公式： sinα+β+sinα-β=2sinαcosβ； sinα+β-sinα-β=2cosαsinβ； cosα+β+cosα-β=2cosαcosβ； cosα+β-cosα-β=-2sinαsinβ．为了突出这组公式是三角函数的和差化积公式并能方便地记忆,可作如下的换元：

积化和差和差化积

积化和差与和差化积公式田云江[基本要求]能推导积化和差与和差化积公式，但不要求记忆，能熟练地综合运用两类公式解决有关问题。

[知识要点]1、积化和差公式：sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]积化和差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得。

其中后两个公式可合并为一个：sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]2、和差化积公式sinθ+sinφ=2sin cossinθ-sinφ=2cos sincosθ+cosφ=2cos coscosθ-cosφ=-2sin sin和差化积公式是积化和差公式的逆用形式，要注意的是：①其中前两个公式可合并为一个：sinθ+sinφ=2sin cos②积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想。

③只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积。

④合一变形也是一种和差化积。

⑤三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解，因此，因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式在三角中就起什么作用。

3、积化和差与积差化积是一种孪生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替使用。

如在一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑降幂公式，然后应用和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算。

和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值。

正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段。

[例题选讲]1、求下列各式的值①cos40°+cos60°+cos80°+cos160°②cos23°-cos67°+2sin4°+cos26°③csc40°+ctg80°④cos271°+cos71°cos49°+cos249°解：①cos40°+cos60°+cos80°+cos160°=+cos80°+2cos100°cos60°=+cos80°-cos80°=②cos23°-cos67°+2sin4°cos26°=2sin45°sin22°+(sin30°-sin22°)=sin22°+-sin22°=③csc40°+ctg80°=+=== ====2cos30°=④解法一：cos271°+cos71°cos49°+cos249°=(cos71°+cos49°)2-cos71°cos49°=(2cos60°cos11°)2-(cos120°+cos22°)=cos211°+-cos22°=cos211°+-(2cos211°-1)=cos211°+-cos211°+=解法二：cos271°+cos71°cos49°+cos249°=+(cos120°+cos22°)+=+cos142°-+cos22°++=+(cos142°+cos98°)++cos22°=+cos120°cos22°+cos22°=解法三设x=cos271°+cos71°cos49°+cos249°y=sin271°+sin71°sin49°+sin249°则x+y=2(cos71°cos49°+sin71°sin49°)=2+cos22°x-y=(cos271°-sin271°)+(cos71°cos49°-sin71°sin49°)+(cos249°-sin249°) =cos142°+cos120°+cos98°=-+(cos142°+cos98°)=-+2cos120°cos22°=--cos22°联立二式得x=2、已知sinα+sinβ=cosα+cosβ=求tgαtgβ的值解：①2+②2得2+2(si nαsinβ+cosαcosβ)=∴cos(α-β)=②2-①2得cos2α+cos2β+2(cosαcosβ-sinαsinβ)=-∴2cos(α+β)cos(α-β)+2cos(α+β)=-∴2·cos(α+β)+2cos(α+β)=-∴co s(α+β)=-又sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]=-(--)=cosαcosβ=[cosα+β)+cos(α-β)]=[-+]=-∴tgαtgβ==-=-3、设函数f(x)=asinωx+bcosωx+1(a、b≠0 ω＞0 )的周期是π，f(x)有最大值7且f()=+4(1)求a、b的值(2)若α≠kπ+β (k∈z) 且α、β是f(x)=0的两根求tg(α+β)的值。

和差化积公式和积化和差公式

和差化积公式和积化和差公式差化积公式和积化差公式是一对互为逆运算的公式，在代数中经常用于将复杂的表达式简化或者将一个式子转化为另一个式子。

下面我将详细介绍这两个公式的推导和应用。

一、差化积公式（Difference of Squares Formula）：差化积公式用于将一个两个平方数的差转化为乘积的形式。

假设有两个平方数a²和b²，那么它们之间的差可以通过差化积公式转化为乘积形式，即：a²-b²=(a+b)(a-b)证明：我们可以通过分解开括号来证明差化积公式。

在等式右边，我们可以使用分配律将(a+b)和(a-b)相乘:(a+b)(a-b)=a(a-b)+b(a-b)= a² - ab + ab - b²=a²-b²差化积公式的一个重要应用是因式分解。

通过将一个平方差式分解为两个因子的乘积形式，我们可以更容易地找到多项式的因子。

例如，我们可以将x²-4分解为(x+2)(x-2)。

二、积化和差公式（Sum and Difference of Products Formula）：积化和差公式用于将两个乘积的和（或差）转化为和的（或差）形式。

假设有两个乘积AB和CD，那么它们的和可以通过积化和差公式转化为和的形式，即：AB+CD=(A+C)(B+D)AB-CD=(A+C)(B-D)证明：通过使用分配律，我们可以展开等式右边来证明积化和差公式：(A+C)(B+D)=AB+AD+CB+CD=AB+CD+AD+CB=AB+CD+AC+BD（由于加法的交换律，可以将AD和CB互换位置）=AB+CD(A+C)(B-D)=AB-AD+CB-CD=AB-CD+CB-AD=AB-CD+AC-BD（同样利用交换律将CB和AD互换位置）=AB-CD积化和差公式也常用于因式分解。

它们使我们能够将部分提取出来，以更容易地找到多项式的因子。

三角函数的和差化积与积化和差公式

三角函数的和差化积与积化和差公式一、三角函数的和差化积公式：1.正弦函数的和差化积公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB该公式表示正弦函数的和与差的正弦值可以表示为两个角的正弦和与差的乘积。

这个公式常用于求解三角方程、证明三角恒等式等。

2.余弦函数的和差化积公式：cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB该公式表示余弦函数的和与差的余弦值可以表示为两个角的余弦积与差的乘积。

3.正切函数的和差化积公式：tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)该公式表示正切函数的和与差的正切值可以表示为两个角的正切和与差的商。

二、三角函数的积化和差公式：1.正弦函数的积化和差公式：sinAcosB = (sin(A + B) + sin(A - B)) / 2该公式表示正弦函数的两个角的积可以表示为这两个角的和与差的正弦和的一半。

2.余弦函数的积化和差公式：cosAcosB = (cos(A + B) + cos(A - B)) / 2该公式表示余弦函数的两个角的积可以表示为这两个角的和与差的余弦和的一半。

3.正切函数的积化和差公式：tanA + tanB = (sin(A + B))/(cosAcosB)该公式表示正切函数的两个角的和可以表示为这两个角的正弦和的商除以这两个角的余弦积。

以上就是三角函数的和差化积与积化和差公式的基本介绍。

这两个公式在解决三角函数的数值计算、化简三角表达式、证明三角恒等式等问题中起到重要的作用。

在初中阶段学习三角函数时，重点掌握这些公式的应用，对于进一步理解和应用三角函数具有重要意义。

附：示例题目和解答1. 化简sin(α + β)cos(α - β)= (sinαcosβ + cosαsinβ)(cosαcosβ + sinαsinβ)= sinαcosαcos²β + sin²αsinβcosβ + sinαcosαcos²β - sin²αsinβcosβ= 2sinαcosαcos²β - 2sin²αsinβcosβ= 2sinαcosα(cos²β - sin²β)= sin2αcos2β2. 化简cos²(θ + φ) - sin²(θ - φ)= (cos(θ + φ) + sin(θ + φ))(cos(θ - φ) - sin(θ - φ)) = (cosθcosφ - sinθsinφ)(cosθcosφ + sinθsinφ)= cos²θcos²φ - sin²θsin²φ= cos²θ(1 - sin²φ) - sin²θsin²φ= cos²θ - cos²θsin²φ - sin²θsin²φ= cos²θ - (cos²θ + sin²θ)sin²φ= cos²θ - sin²φ以上为两个公式的介绍以及示例题目的解答。

积化和差,和差化积

积化和差,和差化积
积化和差公式：sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]，cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]，
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]，cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]，和差化积公式：sinθ+sinφ=2sincos，
sinθ-sinφ=2cossin，cosθ+cosφ=2coscos，cosθ-cosφ=-2sinsin。

1.积化和差公式口诀：正弦·余弦（＝）正加正，余弦·正弦（＝）正减正，余弦·余弦（＝）余加余，系数二分之一要牢记，角角关系变和差，公式符号记忆法一减余弦想正弦，一加余弦想余弦，异名减，同名加，幂高一次角减半。

和差化积公式口诀：正弦＋正弦，正弦在前，正弦－正弦，正弦在后，余弦＋余弦，余弦并肩，余弦－余弦，余弦靠边。

2.在一个三角形中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解似的唯一的，已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及大边对大角，大角对大边定理和三角形内角和定理去考虑解决问题。

高中三角函数三角函数的和差化积与积化和差

高中三角函数三角函数的和差化积与积化和差高中三角函数：三角函数的和差化积与积化和差三角函数是数学中重要的概念，广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。

而三角函数的和差化积与积化和差是三角函数中常用的化简技巧，能够简化计算过程，提高解题效率。

一、三角函数的和差化积1. 正弦函数和余弦函数的和差化积对于两个角度x和y，我们有以下等式成立：sin(x ± y) = sinxcosy ± cosxsinycos(x ± y) = cosxcosy ∓ sinxsiny这里的正负号要根据具体的问题来确定，并注意正负号的保持一致。

利用以上两个等式，我们可以将三角函数的和差化为乘积，从而简化问题的求解过程。

2. 正切函数的和差化积对于两个角度x和y，我们有以下等式成立：tan(x + y) = (tanx + tany) / (1 - tanxtany)tan(x - y) = (tanx - tany) / (1 + tanxtany)同样地，利用以上两个等式，我们可以将正切函数的和差化为乘积，使计算更加简便。

二、三角函数的积化和差1. 正弦函数的积化和差对于两个角度x和y，我们有以下等式成立：2sinxcosy = sin(x + y) + sin(x - y)这个等式可以将正弦函数的积转化为和的形式。

2. 余弦函数的积化和差对于两个角度x和y，我们有以下等式成立：2cosxcosy = cos(x + y) + cos(x - y)这个等式可以将余弦函数的积转化为和的形式。

3. 正切函数的积化和差对于两个角度x和y，我们有以下等式成立：tanx + tany = sin(x + y) / (cosxcosy)tanx - tany = sin(x - y) / (cosxcosy)通过以上等式，我们可以将正切函数的积化为和的形式，使得计算更加简单。

三、应用举例下面我们通过一些例子来说明三角函数的和差化积与积化和差的应用。

积化和差和差化积公式记忆口诀

积化和差和差化积公式记忆口诀
积化和差口诀：积化和差得和差，余弦在后要相加；异名函数取正弦，正弦相乘取负号。

积化和差最后的结果是和或者差；若两项相乘，后者为cos项，则积化和差的结果为两项相加。

积化和差跟和差化积是逆向的不需再记口诀了，口诀记多了容易混。

和差化积公式口诀：
正弦＋正弦，正弦在前。

正弦－正弦，正弦在后。

余弦＋余弦，余弦并肩。

余弦－余弦，余弦靠边。

1、积化和差
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
2、和差化积
sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)。

积化和差和差化积专题(精选)

积化和差、和差化积专题三角函数的积化和差公式:积化和差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得个公式•其中前两可合并为一个：三角函数的和差化积公式：和差化积公式是积化和差公式的逆用形式，要注意的是：①其中前两个公式可合并为一个：sin+sin=2 sincos②积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想•③只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积④合一变形也是一种和差化积•⑤三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解，因此，因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式在三角中就起什么作用•积化和差与积差化积是一种孪生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替使用•如在一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑降幕公式，然后应用和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算•和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值•正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段•典型例题：例1 .把下列各式化为和或差的形式:(]J2cos(oe - 45* )sin(oe + 45^ ") (2)sin6! cos3a例 2 .求值：sin6 ° sin42 ° sin66° sin78例 4 .求值：cos24°- sin6°- cos72例 5 .求tan20 ° + 4sin20 ° 的值.例6 .求值:例7 .已知sin(A+B)= , sin(A-B)=―,求值:2 2例8.求sin 20° +cos 80° +sin20 ° cos80 ° 的值.例9 .试证：cos2(A-)+cos 2(B - )-2cos(A-B)cos(A-)cos(B-) 的值与无关专题训练、基础过关n1. 函数y= cos x+ cos x + 3的最大值是B. .3C. 22. 化简1+ sin 4 a COS 4 a1+ sin 4 a cos 4a的结果是( )仝.3( )A . cot 2 a C. cot aB. tan 2 aD. tan a 13. 若cos( a+ ®cos( a—® = 3，贝卩cos2a—sin2^ 等于C.i4. sin 20 cos 70 + cos 40 cos 80 的值为4求sin( a+ 3的值.、探究与拓展5.A ・4 sin 35 — sin 25 cos 35 — cos的值是6.给出下列关系式：① sin 5 0+ sin 3 0= 2sin 8 0cos 2 0;②cos 3 0— cos 5 0= — 2sin 4 Osin1③ sin 3 0— sin 5 =— ^cos 4 O os 0； ④ sin 5 0+ cos 3 0= 2sin 4 0cos 0 1⑤ sin xsin y = ^[cos(x — y) — cos(x + y)]. 其中正确的序号是 _________ . 7.sin 40 1 + 2cos 40 ° 2cos 240 °+ cos 40 — 1.& 在厶 ABC 中，求证：sin A + sin B + sin C, ABC=4cos ^cos ^cos ^.D.二、能力提升9. cos 2a — cos acos(60 + a )+ sin 2(30 °- a 的值为()1331CaDa10.已知 cos 2 a — cos 2 3= m , 那么 sin( a+ 3) sin( a — 3)=.11.化简:tan 20 + 4sin 20 . °12.已知 1cos a — cos 3= 2，sin a — sin 3=— 13, 13.已知△ ABC 的三个角 A , B , C 满足：A + C = 2B ,+ g~C2cos B，求 cos4的值.专题训练二n n6. 函数 y = sin (x + 3) — si n x(x € [0 , ^])的值域是( )A . [— 2,2]B. — 1, -2C.[1, 1] D. 1手7. cog75 ° + cos ?15 ° + cos75 °cos15 的值等于 ___ .2 n 18 .已知 a —片丁，且 cos a + cos 3= ?,_则 COS ( a + ◎等于 _____ . 才)的最大值是10•化简下列各式： cosA + cos 120。

和差化积公式和积化和差公式

和差化积公式和积化和差公式
和差化积公式和积化和差公式是初中数学中比较重要的内容，也是高中数学及以上学习的基础。

这两个公式的作用是将一个式子转化成另一种形式，从而更便于进行计算和推导。

首先来看和差化积公式。

它的形式为：
(a+b)(a-b) = a - b
其中，a和b是任意实数。

这个公式的意义是将一个二次式的差分解成两个一次式的积。

例如，将x-4分解成(x+2)(x-2)。

接下来是积化和差公式。

它的形式为：
ab = (a+b) - (a-b) / 4
同样，a和b是任意实数。

这个公式的意义是将一个二次式的积合并成一个二次式的和与差的形式。

例如，将x-4x+3分解成(x-1)-2。

这两个公式在求解方程、化简式子、证明等方面都有很重要的应用。

因此，掌握它们是数学学习的必备基础。

- 1 -。

积化和差与和差化积公式

积化和差与和差化积公式一、积化和差公式积化和差公式是将两个数的积转化为它们的和与差的公式。

其表达式为：1.(a+b)(a-b)=a^2-b^2其中，a和b为任意的实数。

这个公式的推导方法可以通过将公式两边进行展开来证明。

具体证明过程如下：左边的式子展开为(a + b)(a - b) = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2右边的式子为a^2-b^2由于左右两边表达式相等，所以(a+b)(a-b)=a^2-b^2成立。

积化和差公式的一个直接应用就是对差的平方进行因式分解。

通过这个公式，我们可以将差的平方分解为积的形式，从而简化计算和解题。

例如，对于2^2-1^2，可以使用积化和差公式进行因式分解：2^2-1^2=(2+1)(2-1)=3所以，2^2-1^2等于3和差化积公式是将两个数的和与差转化为它们的积的公式。

其表达式为：1.a^2-b^2=(a+b)(a-b)与积化和差公式相对应，这个公式也可以通过将公式两边进行展开来证明。

具体证明过程如下：左边的式子展开为a^2-b^2右边的式子为(a + b)(a - b) = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2由于左右两边表达式相等，所以a^2-b^2=(a+b)(a-b)成立。

和差化积公式的一个重要应用是对完全平方进行因式分解。

通过这个公式，我们可以将完全平方分解为积的形式，进而进行求解和计算。

例如，对于9-4，可以使用和差化积公式进行因式分解：9-4=(3+2)(3-2)=5所以，9-4等于5三、应用举例使用积化和差与和差化积公式，我们可以简化计算和解题过程。

下面通过几个例子来加深理解：例1：计算16^2-9^2我们可以使用和差化积公式，将16^2和9^2视为完全平方进行因式分解：16^2-9^2=(16+9)(16-9)=25×7=175所以，16^2-9^2等于175例2：解方程x^2-25=0我们可以使用和差化积公式，将x^2和25视为完全平方进行因式分解：x^2-25=(x+5)(x-5)=0根据零乘法，要使得等式成立，必有x+5=0或x-5=0解这个方程得到x=-5或x=5所以，方程x^2-25=0的解为x=-5或x=5例3：求解2a^2 + 5ab - 3b^2的因式分解我们可以使用积化和差公式，对中间的5ab进行分解：2a^2 + 5ab - 3b^2 = 2a^2 + 2ab + 3ab - 3b^2=2a(a+b)+3b(a+b)=(2a+3b)(a+b)所以，2a^2 + 5ab - 3b^2的因式分解为(2a + 3b)(a + b)。