土木工程线性代数山东大学网络教育考试模拟题及答案
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09年11月期末本科《线性代数》参考解答
线性代数模拟题1
一．单选题.
1.下列（ ）是4级偶排列．
（A ） 4321； (B) 4123； (C) 1324； (D) 2341． 答：A
2. 如果133
32
31
232221
131211
==a a a a a a a a a D ，33
32
3131
23222121
13
1211111324324324a a a a a a a a a a a a D ---=，那么=1D （ ）． （A ） 8； (B) 12-； (C) 24； (D) 24-． 答：D
3. 设A 与B 均为n n ⨯矩阵，满足O AB =，则必有（ ）． 答：C
（A ）O A =或O B =； （B ）O B A =+； （C ）0=A 或0=B ； （D ）
0=+B A ．
4. 设A 为n 阶方阵)3(≥n ，而*A 是A 的伴随矩阵，又k 为常数，且1,0±≠k ，则
必
有
()*
kA 等于
（ ）． 答：B （A ）*kA ； （B ）*1A k n -； （C ）*A k n ； （D ）*1A k -．
5.向量组s ααα,....,,21线性相关的充要条件是（ ） 答：C
（A ）s ααα,....,,21中有一零向量 (B) s ααα,....,,21中任意两个向量的分量成比例
(C) s ααα,....,,21中有一个向量是其余向量的线性组合 (D) s ααα,....,,21中任意一个向量都是其余向量的线性组合
6. 已知21,ββ是非齐次方程组b Ax =的两个不同解，21,αα是0=Ax 的基础
解系，21,k k 为任意常数，则b Ax =的通解为（ ） 答：B
(A) 2
)(2
121211ββααα-+
++k k ; (B) 2
)(2
121211ββααα++
-+k k
(C) 2
)(2
121211ββββα-+
++k k ; (D) 2
)(2
121211ββββα++
++k k
7. λ＝2是A 的特征值，则（A 2/3）－1的一个特征值是（ ） 答：B
(A)4/3 (B)3/4 (C)1/2 (D)1/4
8. 若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为1/2,1/3,1/4,1/5，则行列式|B -1-I|=( )
(A)0 (B)24 (C)60 (D)120 答：B
9. 若A 是（ ），则A 必有A A ='． 答：A
（A ）对角矩阵； (B) 三角矩阵； (C) 可逆矩阵； (D) 正交矩阵． 10. 若A 为可逆矩阵，下列（ ）恒正确． 答：A
（A ）()A A '='22； (B)()11
22--=A A ； (C)[]
[]111)()(---''='A A ；
(D)[][]
'=''---111
)()(A A ． 二．计算题或证明题
1. 设矩阵 ⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝
⎛----=324122
3k k
A (1)当k 为何值时，存在可逆矩阵P ，使得P －1AP 为对角矩阵？
(2)求出P 及相应的对角矩阵。
解：（1）013
2
4
12
23
≠=----=k k
A ，k 为任何值时，都存在可逆矩阵P ，使得P －1AP 为对角矩阵；
（2）令0=k ，则()()0113
2
4
1
0223
2
=-+=+--+--=
-λλλλλλA I ，
1,1321=-==λλλ
当121-==λλ时，方程组()0=-X A I λ为⎪⎩
⎪
⎨⎧=+--=+==+--0
22400000224321321321x x x x x x x x x ，其基础解系
为：
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=201,02121v v ；当13=λ时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--==+--0
424020
2223212321x x x x x x x ，其基础解系
为：⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=1003v ，
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=120002011P ，对角矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=Λ100010001
2. 设n 阶可逆矩阵A 的一个特征值为λ，A *是A 的伴随矩阵，设|A|=d ，证明：
d/λ是A *的一个特征值。
证明：设0λ为*A 的一个特征值，有010
10*0=-=-=---A A
A
A A I A I λλλ，
即
λ
λ1
=
A
，则λ
λ
λd
A
=
=
0。
3. 当a 取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，
求其解． ⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++2
321
3213211
a ax x x a x ax x x x ax 。 解：增广矩阵
()()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛++-+++-⇒⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21212100101010011111111222a a a a a a a a a a a (1)当2-=a 时，方程组无解；
(2)当2,1-≠≠a a 时，有唯一解：211++-=a a x ，2
12+=a x ，()212
3++=
a a x ； (3)当1=a 时，有无穷多解，()T
x 0,0,10=，基础解系()T
0,1,11-=α，