上海市崇明区2018届高三一模数学试卷及答案解析
崇明区第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
崇明区第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 已知曲线的焦点为，过点的直线与曲线交于两点，且，则2:4C y x =F F C ,P Q 20FP FQ +=u u u r u u u r rOPQ∆的面积等于（ ）A ．B ．CD2． 已知全集U=R ，集合M={x|﹣2≤x ﹣1≤2}和N={x|x=2k ﹣1，k=1，2，…}的关系的韦恩（Venn ）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（）A ．3个B ．2个C ．1个D ．无穷多个3． 全称命题：∀x ∈R ，x 2＞0的否定是（ ）A ．∀x ∈R ，x 2≤0B ．∃x ∈R ，x 2＞0C ．∃x ∈R ，x 2＜0D ．∃x ∈R ，x 2≤04． 若变量x ，y 满足：，且满足（t+1）x+（t+2）y+t=0，则参数t 的取值范围为（）A ．﹣2＜t ＜﹣B ．﹣2＜t ≤﹣C ．﹣2≤t ≤﹣D．﹣2≤t ＜﹣5． 下列哪组中的两个函数是相等函数（ ）A ．B ．()()4f x x =g ()()24=,22x f x g x x x -=-+C ．D ．()()1,01,1,0x f x g x x >⎧==⎨<⎩()()=f x x x =，g 6． 将函数f（x ）=sin2x 的图象向右平移个单位，得到函数y=g （x ）的图象，则它的一个对称中心是（）A ．B ．C ．D ．7． 已知双曲线kx 2﹣y 2=1（k ＞0）的一条渐近线与直线2x+y ﹣3=0垂直，则双曲线的离心率是（ ）A ．B ．C ．4D ．8． 由小到大排列的一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，其中每个数据都小于﹣1，则样本1，x 1，﹣x 2，x 3，﹣x 4，x 5的中位数为（ ）A ．B ．C ．D．9． 在ABC ∆中，若60A ∠=o，45B ∠=o，BC =，则AC =（ ）A．B ． C.D 班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________10．已知函数f （x ）的图象如图，则它的一个可能的解析式为（ ）A ．y=2B ．y=log 3（x+1）C ．y=4﹣D ．y=11．由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（ ）A B1C D12．已知||=||=1，与夹角是90°，=2+3， =k ﹣4，与垂直，k 的值为（ ）A ．﹣6B ．6C ．3D ．﹣3二、填空题13．不等式恒成立，则实数的值是__________.()2110ax a x +++≥14．已知数列的前项和是, 则数列的通项__________15．如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB=2，AD=1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角的余弦值是 ．16．函数的定义域是，则函数的定义域是__________.111]()y f x =[]0,2()1y f x =+17．用“＜”或“＞”号填空：30.8 30.7． 18．函数y=1﹣（x ∈R ）的最大值与最小值的和为 2 ．三、解答题19．已知命题p ：“存在实数a ，使直线x+ay ﹣2=0与圆x 2+y 2=1有公共点”，命题q ：“存在实数a ，使点（a ，1）在椭圆内部”，若命题“p 且¬q ”是真命题，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分12分）已知函数，数列满足：，（）.21()x f x x +={}n a 12a =11n n a f a +⎛⎫= ⎪⎝⎭N n *∈（1）求数列的通项公式；{}n a （2）设数列的前项和为，求数列的前项和.{}n a n n S 1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 【命题意图】本题主要考查等差数列的概念，通项公式的求法，裂项求和公式，以及运算求解能力.21．【南师附中2017届高三模拟一】已知是正实数，设函数.,a b ()()ln ,ln f x x x g x a x b ==-+（1）设 ，求 的单调区间；()()()h x f x g x =-()h x （2）若存在，使且成立，求的取值范围.0x 03,45a b a b x ++⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()00f x g x ≤b a22．已知函数g （x ）=f （x ）+﹣bx ，函数f （x ）=x+alnx 在x=1处的切线l 与直线x+2y=0垂直．（1）求实数a 的值；（2）若函数g （x ）存在单调递减区间，求实数b 的取值范围；（3）设x 1、x 2（x 1＜x 2）是函数g （x ）的两个极值点，若b ，求g （x 1）﹣g （x 2）的最小值．23．已知函数f （x ）=2sin （ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示；（1）求ω，φ；（2）将y=f （x ）的图象向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g （x ）的图象，若y=g （x ）图象的一个对称点为（，0），求θ的最小值．（3）对任意的x ∈[，]时，方程f （x ）=m 有两个不等根，求m 的取值范围．24．本小题满分10分选修：不等式选讲45-已知函数．2()log (12)f x x x m =++--Ⅰ当时，求函数的定义域；7=m )(x f Ⅱ若关于的不等式的解集是，求的取值范围．x 2)(≥x f R m崇明区第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题1． 【答案】C【解析】∴，1122(1,)2(1,)(0,0)x y x y -+-=∴③，1220y y +=联立①②③可得，218m =∴．12y y -==∴．1212S OF y y =-=（由，得）1212420y y y y =-⎧⎨+=⎩12y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩12y y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩考点：抛物线的性质．2． 【答案】B【解析】解：根据题意，分析可得阴影部分所示的集合为M ∩N ，又由M={x|﹣2≤x ﹣1≤2}得﹣1≤x ≤3，即M={x|﹣1≤x ≤3}，在此范围内的奇数有1和3．所以集合M ∩N={1，3}共有2个元素，故选B ． 3． 【答案】D【解析】解：命题：∀x ∈R ，x 2＞0的否定是：∃x ∈R ，x 2≤0．故选D ．【点评】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．4．【答案】C【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由（t+1）x+（t+2）y+t=0得t（x+y+1）+x+2y=0，由，得，即（t+1）x+（t+2）y+t=0过定点M（﹣2，1），则由图象知A，B两点在直线两侧和在直线上即可，即[2（t+2）+t][﹣2（t+1）+3（t+2）+t]≤0，即（3t+4）（2t+4）≤0，解得﹣2≤t≤﹣，即实数t的取值范围为是[﹣2，﹣]，故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，属于中档题．5．【答案】D111]【解析】考点：相等函数的概念.6．【答案】D【解析】解：函数y=sin2x的图象向右平移个单位，则函数变为y=sin[2（x﹣）]=sin（2x﹣）；考察选项不难发现：当x=时，sin（2×﹣）=0；∴（，0）就是函数的一个对称中心坐标．故选：D．【点评】本题是基础题，考查三角函数图象的平移变换，函数的对称中心坐标问题，考查计算能力，逻辑推理能力，常考题型．7．【答案】A【解析】解：由题意双曲线kx2﹣y2=1的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，可得渐近线的斜率为，又由于双曲线的渐近线方程为y=±x故=，∴k=，∴可得a=2，b=1，c=，由此得双曲线的离心率为，故选：A．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，解题的关键是理解一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，由此关系求k，熟练掌握双曲线的性质是求解本题的知识保证．8．【答案】C【解析】解：因为x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜﹣1，题目中数据共有六个，排序后为x1＜x3＜x5＜1＜﹣x4＜﹣x2，故中位数是按从小到大排列后第三，第四两个数的平均数作为中位数，故这组数据的中位数是（x5+1）．故选：C．【点评】注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．9．【答案】B【解析】考点：正弦定理的应用.10．【答案】C【解析】解：由图可得，y=4为函数图象的渐近线，函数y=2，y=log 3（x+1），y=的值域均含4，即y=4不是它们的渐近线，函数y=4﹣的值域为（﹣∞，4）∪（4，+∞），故y=4为函数图象的渐近线，故选：C【点评】本题考查的知识点是函数的图象，函数的值域，难度中档． 11．【答案】D【解析】由定积分知识可得，故选D 。
上海市崇明区2018届高三第一次模拟考试数学试题含答案
2018年上海市崇明县高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1．已知集合A={1，2，5}，B={2，a}，若A∪B={1，2，3，5}，则a= ．2．抛物线y2=4x的焦点坐标为．3．不等式＜0的解是．4．若复数z满足iz=1+i（i为虚数单位），则z= ．5．在代数式（x﹣）7的展开式中，一次项的系数是．（用数字作答）6．若函数y=2sin（ωx﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是π，则ω= ．7．（5分）若函数f（x）=x a的反函数的图象经过点（，），则a= ．8．（5分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为27πcm3，则该几何体的侧面积为cm2．9．（5分）已知函数y=f（x）是奇函数，当x＜0 时，f（x）=2x﹣ax，且f（2）=2，则a= ．10．（5分）若无穷等比数列{a n}的各项和为S n，首项 a1=1，公比为a﹣，且S n=a，则a= ．11．（5分）从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成 4人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有种不同的选法．（用数字作答）12．（5分）在ABC中，BC边上的中垂线分别交BC，AC于点D，E．若?=6，||=2，则AC= ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）13．（5分）展开式为ad﹣bc的行列式是（）A．B．C．D．14．（5分）设a，b∈R，若a＞b，则（）A．＜B．lga＞lgb C．sin a＞sin b D．2a＞2b15．（5分）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“Ｓ4+S6＞2S5”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件16．（5分）直线x=2与双曲线﹣y2=1的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线上任一点，若=a+b（a，b∈R，O为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≥1 B．|ab|≥1 C．|a+b|≥1 D．|a﹣b|≥2三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，A1C与底面ABCD所成的角为60°，（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1B与 B1D1所成角的大小．18．（14分）已知f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．（1）求f（x）的最大值及该函数取得最大值时x的值；（2）在△ABC 中，a，b，c分别是角 A，B，C所对的边，若a=，b=，且f（）=，求边c的值．19．（14分）2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50%．记 2016 年为第 1 年，f （n）为第 1 年至此后第 n （n∈N*）年的累计利润（注：含第 n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 f （n）为正值时，认为该项目赢利．（1）试求 f （n）的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．20．（16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：+y2=1 （a＞0，a≠1）的两个焦点分别是F1，F2，直线l：y=kx+m（k，m∈R）与椭圆交于A，B两点．。
上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题
【题干序号】1已知集合{}{}1,2,52,A B a ==，若{}1,2,3,5A B ⋃=，则a =_____．【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题 【答案】3【解析】因为集合{}{}1,2,52,A B a ==，，且{}1,2,3,5A B ⋃=，所以3a =，故答案为3.【题干序号】2抛物线24y x =的焦点坐标是______．【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题 【答案】(1,0)【解析】抛物线24y x =的焦点在x 轴上，且2,12pp =∴=，所以抛物线24y x =的焦点坐标为()1,0，故答案为()1,0.【题干序号】3 不等式01xx <+的解是_____．【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题 【答案】()1,0- 【解析】由01x x <+可得，()10x x +<解得10x -<< ，所以不等式01x x <+的解是()1,0-. 故答案为：()1,0-.【题干序号】4若复数z 满足1iz i =+（i 为虚数单位），则z =__________．【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题 【答案】1i -【解析】由1iz i =+，得()1111i ii z i i ++===--.故答案为：1i -.【题干序号】5在代数式721x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，一次项的系数是_____．（用数字作答）【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题 【答案】21【解析】721x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()773177211rr r r rr r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令731r -=，得2r =，()227121C -=，故答案为21.【题干序号】6 若函数()2103y sin x πωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭的最小正周期是π，则ω=_____．【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题 【答案】2【解析】因为函数()203y sin x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是π，所以2ππω=，解得2ω=，故答案为2.【题干序号】7若函数()af x x =的反函数的图象经过点11,24⎛⎫⎪⎝⎭，则a =_____．【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题 【答案】12【解析】函数()af x x =的反函数的图象经过点11,24⎛⎫⎪⎝⎭，所以，函数()a f x x =的图象经过点11,42⎛⎫⎪⎝⎭，1142a =（），12a =，故答案为12.【题干序号】8将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为327πcm ，则该圆柱的侧面积为______2cm ．【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题 【答案】18π【解析】将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为327cm π，设正方体的边长为cm a ，则227V a a ππ=⋅=，解得3cm,a =∴该圆柱的侧面积为223318cm S ππ=⨯⨯=，故答案为18π.【题干序号】9已知函数()y f x =是奇函数，当0x <时，()2xf x ax =-，且()22f =，则a =_____．【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题【答案】98-【解析】()y f x =Q 是奇函数，且当0x <时，()2xf x ax =-，()()()222222f f a -∴=--=-+=，解得98a =-，故答案为98-.【题干序号】10若无穷等比数列{}n a 的各项和为n S ，首项11a = ，公比为32a -，且lim n x S a →∞= ，则a =_____．【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题 【答案】2【解析】Q 无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为11a =，公比32a -，且()lim n n S a n N*→∞=∈，21,2520312a a a a ∴=∴-+=-+，2a ∴=或12a =，3122a ∴-=或312a -=-，31,22a a -<∴=Q ，故答案为2.【题干序号】11从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成 4人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有_____种不同的选法．（用数字作答）【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题 【答案】780【解析】第一类，先选1女3男，有315330C C =种，这4人选2人作为队长和副队有2412A =种，故有3012360⨯= 种；第二类，先选2女2男，有225330C C =种，这4人选2人作为队长和副队有2412A =种，故有3012360⨯=种；第三类，先选3女1男，有13535C C =种，这4人选2人作为队长和副队有2412A =种，故有51260⨯=种，根据分类计数原理共有360360+60780+=种，故答案为780.【题干序号】12在ABC ∆中,BC 边上的中垂线分别交,BC AC 于点,D E 若6,2AE BC AB ⋅==u u u v u u u v u u u v,则AC =_______【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题 【答案】4【解析】设,AB a AC b ==u u u r r u u u r r，则()()1,,02AD a b BC b a DE BC =+=-⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v v v v v ， ()AE BC AD DE BC ⋅=+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ()()12AD BC DE BC AD BC a b b a =⋅+⋅=⋅=+⋅-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v v v v v()222216,122b a b a =-=-=v v v v ，又2,||4a b =∴=v Q v，即4AC =，故答案为4.【题干序号】13展开式为ad bc -的行列式是（ ） A ．a b d cB ．a cb dC ．a db cD ．b a d c【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题 【答案】B 【解析】a b ac bd d c=-,错误；a c ad bcb d=-，正确;a d ac bdb c=-，错误；b a bc ad d c=-，错误， 故选B.【题干序号】14设,a b ∈R ，若a b >，则（ ） A ．11a b< B ．lg lg a b > C ．sin sin a b >D ．22a b >【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题 【答案】D【解析】,,a b R a b ∈>，当0,0a b ><时，A 不成立，根据对数函数的定义，可知真数必需大于零，故B 不成立，由于正弦函数具有周期性和再某个区间上为单调函数，故不能比较，故C 不成立， 根据指数函数的单调性可知，D 正确，故选D.【题干序号】15已知等差数列{}n a 的公差为d,前n 项和为n S ,则“d>0”是465"+2"S S S >的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题 【答案】C【解析】由46511210212(510)S S S a d a d d +-=+-+=，可知当0d >时，有46520S S S +->，即4652S S S +>，反之，若4652S S S +>，则0d >，所以“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的充要条件，选C ．【题干序号】16直线2x =与双曲线2214x y -=的渐近线交于,A B 两点，设P 为双曲线上任一点，若(,,0OP aOA bOB a b R =+∈u u u v u u u v u u u v为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ）A ．221a b +≥B ．1ab ≥C ．1a b +≥D ．2a b -≥【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题 【答案】C【解析】由题意，双曲线渐近线方程为2xy =±，联立直线2x =，解得1,y =±∴不妨设()()()2,1,2,1,,A B P x y -，OP aOA bOB =+u u u v u u u v Q u u u v，22,x a b y a b ∴=+=-，P Q 为双曲线C 上的任意一点，()()222214a b a b +∴--=，141,4ab ab ∴==，()222241a b a b ab ab ∴+=++≥=a b （= 时等号成立），可得1a b +≥，故选C.【题干序号】17如图，长方体1111ABCD A B C D -中，12,AB BC AC ==与底面ABCD 所成的角为60o .（1）求四棱锥1A ABCD -的体积；（2）求异面直线1A B 与 11B D 所成角的大小．【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题【答案】(1)3；（2）cos14arc . 【解析】（1）∵长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，∴AA 1⊥平面ABCD ，AC==2， ∴∠A 1CA 是A 1C 与底面ABCD 所成的角，∵A 1C 与底面ABCD 所成的角为60°， ∴∠A 1CA=60°，∴AA 1=AC•tan60°=2√2⋅√3=2√6，∵S 正方形ABCD =AB×BC=2×2=4， ∴四棱锥A 1﹣ABCD 的体积：V =13×AA 1×S 正方形ABCD =13×2√6×4=8√63（2）∵BD ∥B 1D 1，∴∠A 1BD 是异面直线A 1B 与B 1D 1所成角（或所成角的补角）．∵BD =√4+4=2√2，A 1D =A 1B =√22+(2√6)2=2√7∴cos∠A 1BD =A 1B 2+BD 2−A 1D 22×A 1B ×BD =2×2√7×2√2=√1414 ∴∠A 1BD =arccos √1414∴异面直线A 1B 与B 1D 1所成角是arccos √1414．【题干序号】18已知()2cos 2cos 1f x x x x =+-．（1）求()f x 的最大值及该函数取得最大值时x 的值；（2）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角 ,,A B C 所对的边，若a b ==，且2A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求边c 的值．【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题 【答案】(1)6x k ππ=+，2；（2）2.【解析】2()cos 2cos 12cos 22sin(2)6f x x x x x x x π=+-=+=+（1）当2262x k πππ+=+时，即()6x k k Z ππ=+∈，()f x 取得最大值为2；（2）由()2Af =，即2sin()6A π+=可得sin()6A π+=∵0＜A ＜π7666A πππ∴<+<2633A πππ∴+=或62A ππ∴=或当A π=时，222cos 2c b a A bc +-==a b ==Q 解得：c=4 当A π=时，222cos 02c b a A bc +-==a b ==Q 解得：c=2．【题干序号】192016 年崇明区政府投资8千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从2017年起，在今后的若干年内，每年继续投资2千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为5百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长0050．记 2016 年为第1年，()f n 为第1年至此后第()n n N *∈年的累计利润（注：含第n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当()f n 为正值时，认为该项目赢利．（1）试求()f n 的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题【答案】(1)3272nn ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（2）2023.【解析】（1）由题意知，第1年至此后第n （n ∈N ∗）年的累计投入为8+2（n ﹣1）=2n +6（千万元），第1年至此后第n （n ∈N *）年的累计净收入为1211131313()()()2222222n -+⨯+⨯+⋯+⨯ 131()322()13212n n ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦==--（千万元）． 33()()1(26)()27()22n n f n n n ∴=--+=--千万元（2）方法一：13313(1)()()2(1)7()24 27()22 2n n n f n f n n n +⎥⎡⎤+-=-+--⎦⎡⎤--=⎢⎣⎡⎤-⎢⎥⎦⎥⎢⎣⎣⎦Q∴当3n ≤时，(1)()0f n f n +-<，故当4n ≤时，()f n 递减； 当4n ≥时，(1)()0f n f n +->，故当4n ≥时，()f n 递增． 又71532733(1)0,(7)()2152102288f f =-<=-≈⨯-=-< 83(8)()232523202f =-≈-=>∴该项目将从第8年开始并持续赢利． 答：该项目将从2023年开始并持续赢利；【题干序号】20在平面直角坐标系中，已知椭圆()222:10,1x C y a a a+=>≠的两个焦点分别是12,F F ，直线():,l y kx m k m R =+∈与椭圆交于,A B 两点．（1）若M 为椭圆短轴上的一个顶点，且12MF F ∆是直角三角形，求a 的值； （2）若1k =，且OAB ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，求a 与m 满足的关系； （3）若2a =，且14OA OB k k ⋅=-，求证：OAB ∆的面积为定值．【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题 【答案】或2；（2）()221m a +=22a ；（3）证明见解析. 【解析】（1）∵M 为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF 1F 2是直角三角形， ∴△MF 1F 2为等腰直角三角形， ∴OF 1=OM ，当a ＞11=，解得a =当0＜a ＜1a =，解得2a =， （2）当1k =时，y x m =+，设11(,)A x y 22(,)B x y ，由2221y k m x y a ⎧⎪=+⎪⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩，即222222(1)20a x a mx a m a +++-=， ∴2221212222,11a m a m a x x x x a a-+=-=++，222121212122()()()1m a y y x m x m x x m x x m a -∴=++=+++=+，∵△OAB 是以O 为直角顶点的直角三角形， 12120,0,OA OB x x y y ∴⋅=∴+=u u u r u u u r2222220,11a m a m a a a--∴+=++ 222222220(1)2a m a m a m a a ∴-+-=∴+=（3）证明：当a =2时，2244x y +=， 设11(,)A x y 22(,)B x y ，14koA kOB ⋅=-Q ，121214y y x x ∴⋅=-， 12124x x y y ∴=-，由2244x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得222(14)8440k x kmx m +++-= 2121222844,1414km m x x x x k k --∴+==++，22212212()()()yy kx m kx m k Xx km x x m ∴=++=+++ 222222222224484141414m k k k m m k m k k k ---=++=+++， 2222244441414m m k k k --∴=-⨯++， 22241m k ∴-=，∴||AB ====∵O 到直线y =kx +m的距离d ==222112|| 1.221414OABm S AB d k k ∆∴=====++【题干序号】21若存在常数()0k k >，使得对定义域D 内的任意()1212,x x x x ≠，都有()()1212f x f x k x x -≤-成立，则称函数()f x 在其定义域D 上是“k -利普希兹条件函数”． （1）若函数()()14f x x =≤≤是“k -利普希兹条件函数”，求常数k 的最小值；（2）判断函数()2log f x x =是否是“2-利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若()()y f x x R =∈是周期为2的“1-利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数12,x x ,都有()()121f x f x -≤．【答案序号】【来源】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题 【答案】(1)12；（2）不是，理由见解析；（3）证明见解析. 【解析】（1）若函数f(x)=√x （1≤x ≤4）是“k ﹣利普希兹条件函数”，则对于定义域[1，4]上任意两个x 1,x 2(x 1,≠)，均有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤k|x 1−x 2|成立， 不妨设x>x ，则12k=211114,,42x x <∴<<Q 剟∴k 的最小值为12．（2）2()log f x x =的定义域为（0，+∞），令1211,24x x ==，则221111()()log log 1(2)12424f f -=-=---=， 而12121212||,()()2||,2x x f x f x x x -=∴->- ∴函数2()log f x x =不是“2﹣利普希兹条件函数”．（3）设f(x)的最大值为M ，最小值为m ，在一个周期[0，2]内(),()f a M f b m ==，则|12()()()()||f x f x M m f a f b a b -≤-=-≤-．若||1a b -„，显然有12|()()||| 1.f x f x a b --剟．若||1a b ->，不妨设,021a b b a ><+-<，12|()()|()(2)|2| 1.f x f x M m f a f b a b ∴--=-+--<剟综上，12|()()|1f x f x -„．。
最新上海市2018届高三一模数学试卷(含答案)
高三一模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 方程lg(34)1x +=的解x =2. 若关于x 的不等式0x a x b->-（,a b R ∈）的解集为(,1)(4,)-∞+∞，则a b += 3. 已知数列{}n a 的前n 项和为21n n S =-，则此数列的通项公式为4. 函数()1f x x =+的反函数是5. 6(12)x +展开式中3x 项的系数为 （用数字作答）6. 如图，已知正方形1111ABCD A B C D -，12AA =，E 为棱1CC 的中点，则三棱锥1D ADE -的体积为7. 从单词“shadow ”中任意选取4个不同的字母排成一排，则其中含有“a ”的共有 种排法（用数字作答）8. 集合{|cos(cos )0,[0,]}x x x ππ=∈= （用列举法表示）9. 如图，已知半径为1的扇形AOB ，60AOB ∠=︒，P为弧AB 上的一个动点，则OP AB ⋅取值范围是10. 已知x 、y 满足曲线方程2212x y+=，则22x y +的 取值范围是11. 已知两个不相等的非零向量a 和b ，向量组1234(,,,)x x x x 和1234(,,,)y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成，记11223344S x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅，那么S 的所有可能取值中的最 小值是 （用向量a 、b 表示）12. 已知无穷数列{}n a ，11a =，22a =，对任意*n N ∈，有2n n a a +=，数列{}n b 满足1n n n b b a +-=（*n N ∈），若数列2{}n nb a 中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则满 足要求的1b 的值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 若a 、b 为实数，则“1a <”是“11a>”的（ ）条件 A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要14. 若a 为实数，(2)(2)4ai a i i +-=-（i 是虚数单位），则a =（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 215. 函数2()||f x x a =-在区间[1,1]-上的最大值是a ，那么实数a 的取值范围是（ ） A. [0,)+∞ B. 1[,1]2 C. 1[,)2+∞ D. [1,)+∞ 16. 曲线1:sin C y x =，曲线22221:()2C x y r r ++-=（0r >），它们交点的个数（ ） A. 恒为偶数 B. 恒为奇数 C. 不超过2017 D. 可超过2017三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，在Rt AOB ∆中，6OAB π∠=，斜边4AB =，D 是AB 中点，现将Rt AOB ∆以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥，点C 为圆锥底面圆周上一点，且90BOC ∠=︒，（1）求圆锥的侧面积；（2）求直线CD 与平面BOC 所成的角的大小；（用反三角函数表示）18. 已知(23,1)m =，2(cos ,sin )2A n A =，A 、B 、C 是ABC ∆的内角； （1）当2A π=时，求||n 的值；（2）若23C π=，||3AB =，当m n ⋅取最大值时，求A 的大小及边BC 的长；19. 如图所示，沿河有A 、B 两城镇，它们相距20千米，以前，两城镇的污水直接排入河 里，现为保护环境，污水需经处理才能排放，两城镇可以单独建污水处理厂，或者联合建污 水处理厂（在两城镇之间或其中一城镇建厂，用管道将污水从各城镇向污水处理厂输送）， 依据经验公式，建厂的费用为0.7()25f m m =⋅（万元），m 表示污水流量，铺设管道的费 用（包括管道费）() 3.2g x x =（万元），x 表示输送污水管道的长度（千米）；已知城镇A 和城镇B 的污水流量分别为13m =、25m =，A 、B 两城镇连接污水处理 厂的管道总长为20千米；假定：经管道运输的污水流量不发生改变，污水经处理后直接排 入河中；请解答下列问题（结果精确到0.1）（1）若在城镇A 和城镇B 单独建厂，共需多少总费用？（2）考虑联合建厂可能节约总投资，设城镇A 到拟建厂的距离为x 千米，求联合建厂的总费用y 与x 的函数关系式，并求y 的取值范围；20. 如图，椭圆2214yx+=的左、右顶点分别为A、B，双曲线Γ以A、B为顶点，焦距为25，点P是Γ上在第一象限内的动点，直线AP与椭圆相交于另一点Q，线段AQ的中点为M，记直线AP的斜率为k，O为坐标原点；（1）求双曲线Γ的方程；（2）求点M的纵坐标M y的取值范围；（3）是否存在定直线l，使得直线BP与直线OM关于直线l对称？若存在，求直线l方程，若不存在，请说明理由；21. 在平面直角坐标系上，有一点列01231,,,,,,n n P P P P P P -⋅⋅⋅，设点k P 的坐标(,)k k x y （k N ∈，k n ≤），其中k x 、k y Z ∈，记1k k k x x x -∆=-，1k k k y y y -∆=-，且满足 ||||2k k x y ∆⋅∆=（*k N ∈，k n ≤）；（1）已知点0(0,1)P ，点1P 满足110y x ∆>∆>，求1P 的坐标；（2）已知点0(0,1)P ，1k x ∆=（*k N ∈，k n ≤），且{}k y （k N ∈，k n ≤）是递增数列，点n P 在直线:38l y x =-上，求n ；（3）若点0P 的坐标为(0,0)，2016100y =，求0122016x x x x +++⋅⋅⋅+的最大值；。
崇明区高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案
崇明区高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 双曲线的渐近线方程是（ ）A ．B ．C ．D ．2． 设为虚数单位，则（ ）A ．B ．C ．D ．3． 已知x ，y 满足时，z=x ﹣y 的最大值为（ ）A ．4B ．﹣4C ．0D ．24． 已知向量，，其中．则“”是“”成立的（ ）A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件5． 设n S 是等比数列{}n a 的前项和，425S S =，则此数列的公比q =（ ）A ．-2或-1B ．1或2C.1±或2D ．2±或-16． 执行如图所示的程序，若输入的，则输出的所有的值的和为（ ）3x =x A ．243 B ．363 C ．729 D ．1092【命题意图】本题考查程序框图的识别和运算，意在考查识图能力、简单的计算能力．7．若函数f（x）=ax2+bx+1是定义在[﹣1﹣a，2a]上的偶函数，则该函数的最大值为（）A．5B．4C．3D．28．记集合T={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，M=，将M中的元素按从大到小排列，则第2013个数是（）A．B．C．D．9．点集{（x，y）|（|x|﹣1）2+y2=4}表示的图形是一条封闭的曲线，这条封闭曲线所围成的区域面积是（）A．B．C．D．10．已知点A（﹣2，0），点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则|AM|的最小值是（）A．5B．3C．2D．11．“”是“A=30°”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也必要条件12．若a=ln2，b=5，c=xdx，则a，b，c的大小关系（）A．a＜b＜cB B．b＜a＜cC C．b＜c＜a D．c＜b＜a二、填空题13．已知f（x）=，x≥0，若f1（x）=f（x），f n+1（x）=f（f n（x）），n∈N+，则f2015（x）的表达式为 ．14．一个棱长为2的正方体，被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．15．如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，对此图象，有如下结论：①在区间（﹣2，1）内f（x）是增函数；②在区间（1，3）内f（x）是减函数；③在x=2时，f（x）取得极大值；④在x=3时，f（x）取得极小值．其中正确的是 ．16．已知数列1，a1，a2，9是等差数列，数列1，b1，b2，b3，9是等比数列，则的值为 ．17．某慢性疾病患者，因病到医院就医，医生给他开了处方药（片剂),要求此患者每天早、晚间隔小时各服一次药，每次一片，每片毫克．假设该患者的肾脏每小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的，并且医生认为这种药在体内的残留量不超过毫克时无明显副作用．若该患者第一天上午点第一次服药，则第二天上午点服完药时，药在其体内的残留量是毫克，若该患者坚持长期服用此药明显副作用（此空填“有”或“无”）18．二面角α﹣l﹣β内一点P到平面α，β和棱l的距离之比为1：：2，则这个二面角的平面角是 度．三、解答题19．如图，四边形ABCD与A′ABB′都是边长为a的正方形，点E是A′A的中点，AA′⊥平面ABCD．（1）求证：A′C∥平面BDE；（2）求体积V A′﹣ABCD与V E﹣ABD的比值．20．我市某校某数学老师这学期分别用m，n两种不同的教学方式试验高一甲、乙两个班（人数均为60人，入学数学平均分和优秀率都相同，勤奋程度和自觉性都一样）．现随机抽取甲、乙两班各20名的数学期末考试成绩，并作出茎叶图如图所示．（Ⅰ）依茎叶图判断哪个班的平均分高？（Ⅱ）现从甲班所抽数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，用ξ表示抽到成绩为86分的人数，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）学校规定：成绩不低于85分的为优秀，作出分类变量成绩与教学方式的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩优秀与教学方式有关？”下面临界值表仅供参考：P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）21．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC中点．（Ⅰ）证明：A1O⊥平面ABC；（Ⅱ）求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值；（Ⅲ）在BC1上是否存在一点E，使得OE∥平面A1AB，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置．22．（本小题满分12分）一直线被两直线截得线段的中点是12:460,:3560l x y l x y ++=--=P 点, 当点为时, 求此直线方程.P ()0,023．等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1+3a 2=1，a 32=9a 2a 6，（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n ，求数列{}的前n 项和．24．（本题满分15分）正项数列满足，．}{n a 121223+++=+n n n n a a a a 11=a （1）证明：对任意的，；*N n ∈12+≤n n a a （2）记数列的前项和为，证明：对任意的，．}{n a n n S *N n ∈32121<≤--n n S 【命题意图】本题考查数列的递推公式与单调性，不等式性质等基础知识，意在考查推理论证能力，分析和解决问题的能力.崇明区高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案（参考答案）一、选择题1．【答案】B【解析】解：∵双曲线标准方程为，其渐近线方程是=0，整理得y=±x．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．属于基础题． 2．【答案】C【解析】【知识点】复数乘除和乘方【试题解析】故答案为：C3．【答案】A【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立，得A（6，2），化目标函数z=x﹣y为y=x﹣z，由图可知，当直线y=x﹣z过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为4．故选：A．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．4．【答案】A【解析】【知识点】平面向量坐标运算【试题解析】若，则成立；反过来，若，则或所以“”是“”成立的充分而不必要条件。
上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试卷及解析
上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.展开式为的行列式是（ ） A. |a bd cB. |a cb dC. |a db cD. |b ad c2.设,a b R ∈，若a b >，则（ ） A.11a b< B. lg lg a b > C. sin sin a b > D. 22a b > 3.已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“4652S S S +>”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件4.直线2x =与双曲线2214x y -=的渐近线交于,A B 两点，设P 为双曲线上任一点，若(,,0OP aOA bOB a b R =+∈为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ）A. 221a b +≥B. 1ab ≥C. 1a b +≥D. 2a b -≥第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）5.已知集合{}{}1,2,52,A B a ==，若{}1,2,3,5A B ⋃=，则a =_____．6.抛物线24y x =的焦点坐标为________． 7.不等式01xx <+的解是_____． 8.已知复数z 满足z ⋅i=1+i （i 是虚数单位），则z = ．9.在代数式721x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，一次项的系数是_____．（用数字作答）10.若函数()2103y sin x πωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭的最小正周期是π，则ω=_____．答案第2页，总12页…装…………○………不※※要※※在※※装※※订※※线※…装…………○………11.若函数()af x x =的反函数的图象经过点11,24⎛⎫⎪⎝⎭，则a =_____． 12.将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为327cm π，则该几何体的侧面积为_____2cm ．13.已知函数()y f x =是奇函数，当0x <时， ()2xf x ax =-，且()22f =，则a =_____．14.若无穷等比数列{}n a 的各项和为n S ，首项11a = ，公比为32a -，且lim n x S a →∞= ，则a =_____．15.从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成 4人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有_____种不同的选法．（用数字作答）16.在ABC 中， BC 边上的中垂线分别交,BC AC 于点,D E ．若6,2AE BC AB ⋅==，则AC =_____．三、解答题（题型注释）17.如图，长方体1111ABCD A B C D -中， 12,AB BC AC ==与底面ABCD 所成的角为60.（1）求四棱锥1A ABCD -的体积；（2）求异面直线1A B 与 11B D 所成角的大小． 18.已知()2cos 2cos 1f x x x x =+-．（1）求()f x 的最大值及该函数取得最大值时x 的值； （2）在ABC ∆中， ,,a b c 分别是角 ,,A B C 所对的边，若a b ==，且2A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭c 的值．19.2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长0500．记 2016 年为第 1 年， ()f n 为第 1 年至此后第 ()*n n N ∈年的累计利润（注：含第 n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 ()f n 为正值时，认为该项目赢利． （1）试求 ()f n 的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．20.在平面直角坐标系中，已知椭圆()222:10,1x C y a a a+=>≠的两个焦点分别是12,F F ，直线():,l y kx m k m R =+∈与椭圆交于,A B 两点．（1）若M 为椭圆短轴上的一个顶点，且12MF F ∆是直角三角形，求a 的值； （2）若1k =，且OAB ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，求a 与m 满足的关系； （3）若2a =，且14OA OB k k ⋅=-，求证： OAB ∆的面积为定值． 21.若存在常数()0k k >，使得对定义域D 内的任意()1212,x x x x ≠，都有()()1212f x f x k x x -≤-成立，则称函数()f x 在其定义域 D 上是“k -利普希兹条件函数”． （1）若函数()()14f x x =≤≤是“k -利普希兹条件函数”，求常数k 的最小值；（2）判断函数()2log f x x =是否是“2-利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由； （3）若()()y f x x R =∈是周期为2的“1-利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数12,x x ,都有()()121f x f x -≤．答案第4页，总12页参数答案1.B【解析】1.|a bac bd d c =-,错误； | a c ad bc b d =-，正确; | a d ac bd b c =-，错误； | b abc ad d c=-，错误， 故选B.2.D【解析】2.,,a b R a b ∈>，当0,0a b ><时， A 不成立，根据对数函数的定义，可知真数必需大于零，故B 不成立，由于正弦函数具有周期性和再某个区间上为单调函数，故不能比较，故C 不成立， 根据指数函数的单调性可知， D 正确，故选D. 3.C【解析】3.()4651112,466152510S S S a d a d a d +>∴+++>+， 2120,0d d d ∴>∴>，充分性成立，若“0d >”则4654620,2S S S d S S S +-=>+>，必要性成立，所以“0d >”是“4652S S S +>”的充分必要条件，故选C. 4.C【解析】4.由题意，双曲线渐近线方程为2xy =±，联立直线2x =，解得1,y =±∴不妨设()()()2,1,2,1,,A B P x y -， OP aOA bOB =+， 22,x a b y a b ∴=+=-， P 为双曲线C 上的任意一点， ()()222214a b a b +∴--=， 141,4ab ab ∴==， ()222241a b a b ab ab ∴+=++≥= a b =（ 时等号成立），可得1a b +≥，故选C. 【 方法点睛】本题主要考查双曲线的的渐近线、向量相等的应用以及平面向量的坐标运算、不等式的性质，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答，解答本题的关键是根据坐标运算． 5.3【解析】5.因为集合{}{}1,2,52,A B a ==，，且{}1,2,3,5A B ⋃=，所以3a =，故答案为3. 6.()1,0【解析】6.抛物线24y x =的焦点在x 轴上，且2,12p p =∴=，所以抛物线24y x =的焦点坐标为()1,0，故答案为()1,0. 7.()1,0-【解析】7.由01x x <+可得， 10x -<< ，所以不等式01x x <+的解是()1,0-，故答案为()1,0-. 8.1−i【解析】8.试题分析：因为z ⋅i =1+i ，所以z =1+i i=−i +1.本题也可设z =a +bi(a,b ∈R)，因为ai −b =1+i,由复数相等得：a =1,b =−1,z =1−i.9.21【解析】9.721x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()773177211rr r r rr r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令731r -=，得2r =，()227121C -=，故答案为21.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1r n r r r n T C a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用. 10.2【解析】10.因为函数()203y sin x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是π，所以2ππω=，解得2ω=，故答案为2. 11.12【解析】11.函数()af x x =的反函数的图象经过点11,24⎛⎫⎪⎝⎭，所以，函数()af x x =的图象经过点11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭， 1142a =（）， 12a =，故答案为12. 12.18π【解析】12.将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为327cm π，设正方体的边长为cm a ，则227V a a ππ=⋅=，解得3cm,a =∴该圆柱的侧面积为223318cm S ππ=⨯⨯=，故答案第6页，总12页※※…○…答案为18π. 13.98-【解析】13.()y f x =是奇函数，且当0x<时，()2x f x ax =-，()()()222222f f a -∴=--=-+=，解得98a =-，故答案为98-.14.2【解析】14.无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为11a =，公比32a -，且()*lim n n S a n N →∞=∈，21,2520312a a a a ∴=∴-+=-+， 2a ∴=或12a =， 3122a ∴-=或312a -=-， 31,22a a -<∴=，故答案为2. 15.780【解析】15.第一类，先选1女3男，有315330C C =种，这4人选2人作为队长和副队有2412A =种，故有3012360⨯= 种；第二类，先选2女2男，有225330C C =种，这4人选2人作为队长和副队有2412A =种，故有3012360⨯=种；第三类，先选3女1男，有13535C C =种，这4人选2人作为队长和副队有2412A =种，故有51260⨯=种，根据分类计数原理共有360360+60780+=种，故答案为780.16.4 【解析】16.设,AB a AC b==，则()()1,,02AD a b BC b a DE BC =+=-⋅=， ()AE BC AD DE BC ⋅=+⋅()()12AD BC DE BC AD BC a b b a =⋅+⋅=⋅=+-()222216,122b a b a =-=-=，又2,4a b =∴=，即4AC =，故答案为4.17.(1) 863；（2）14cos 14arc .【解析】17.试题分析：（1）先证明1A CA ∠是1A C 与底面ABCD 所成的角，可得1tan6022AA AC =⋅==利用棱锥的体积公式可得结果；（2）由11//BD B D ，可得1A BD ∠………○…………装………○…………订…………○………线………学校:___________姓名：_______班级：___________考号：___________………○…………装………○…………订…………○………线………是异面直线1A B 与11B D 所成角（或所成角的补角），利用余弦定理可得结果． 试题解析：（1）∵长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2， ∵AA 1∵平面ABCD ，AC==2，∵∵A 1CA 是A 1C 与底面ABCD 所成的角， ∵A 1C 与底面ABCD 所成的角为60°， ∵∵A 1CA=60°，∵AA 1=AC•tan60°=2•=2，∵S 正方形ABCD =AB×BC=2×2=4， ∵四棱锥A 1﹣ABCD 的体积：V===．（2）∵BD∵B 1D 1，∵∵A 1BD 是异面直线A 1B 与B 1D 1所成角（或所成角的补角）． ∵BD=，A 1D=A 1B==2，∵cos∵A 1BD===．∵∵A 1BD=arccos ．∵异面直线A 1B 与 B 1D 1所成角是arccos ．【方法点晴】本题主要考查异面直线所成的角立及棱锥的体积公式，属于中档题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解. 18.(1) 6x k ππ=+， 2；（2）2.【解析】18.试题分析：（1）跟据二倍角的正弦、余弦公式以及两角和的正弦公式可得答案第8页，总12页…○…………装…………○…………订…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…○…………装…………○…………订…………○…………()226f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据正弦函数的图象与性质可得结果；（2）由2A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得26sin A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭6A π=或2π，讨论两种情况分别利用余弦定理可求出边的值.试题解析：f （x ）=2sinxcosx+2cos 2x ﹣1=sin2x+cos2x=2sin （2x+）（1）当2x+=时，即x=（k∵Z ），f （x ）取得最大值为2； （2）由f （）=，即2sin （A+）=可得sin （A+）=∵0＜A ＜π ∵＜A ＜ ∵A =或∵A=或当A=时，cosA==∵a=，b=，解得：c=4当A=时，cosA==0∵a=，b=，解得：c=2．19.(1) 3272nn ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（2）2023.【解析】19.试题分析：（1）由题意知，第一年至此后第()*n n N ∈年的累计投入为()821n +-（千万元），第1年至此后第()*n n N ∈年的累计净收入为1211131313...2222222n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，利用等比数…装………○………订………○…………线…____姓名_________班级：_______考号__________…装………○………订………○…………线…列数列的求和公式可得()f n；（2）由()()131422nf n f n⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，利用指数函数的单调性即可得出.试题解析：（1）由题意知，第1年至此后第n（n∵N*）年的累计投入为8+2（n﹣1）=2n+6（千万元），第1年至此后第n（n∵N*）年的累计净收入为+×+×+…+×=（千万元）．∵f（n）=﹣（2n+6）=﹣2n﹣7（千万元）．（2）方法一：∵f（n+1）﹣f（n）=[﹣2（n+1）﹣7]﹣[﹣2n﹣7]=[﹣4]，∵当n≤3时，f（n+1）﹣f（n）＜0，故当n≤4时，f（n）递减；当n≥4时，f（n+1）﹣f（n）＞0，故当n≥4时，f（n）递增．又f（1）=﹣＜0，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．∵该项目将从第8年开始并持续赢利．答：该项目将从2023年开始并持续赢利；方法二：设f（x）=﹣2x﹣7（x≥1），则f′（x）=，令f'（x）=0，得=≈=5，∵x≈4．从而当x∵[1，4）时，f'（x）＜0，f（x）递减；当x∵（4，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增．又f（1）=﹣＜0，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．∵该项目将从第8年开始并持续赢利．答：该项目将从2023年开始并持续赢利．20.(1)或2；（2）()221m a+=22a；（3）证明见解析.【解析】20.试题分析：（1）根据12MF F∆为等腰直角三角形，可得1OF OM=，两种情况讨论，可得a（2）当1k=时，y x m=+，设()()1122,,,A x yB x y，由222{1y k mxya=++=，即()222222120a x a mx a m a+++-=，由韦达定理及平面向量数量积公式可得结果；答案第10页，总12页…○…………外…………○…装…………○…………订…………○…………线※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…○…………内…………○…装…………○…………订…………○…………线（3）由14OA OB k k ⋅=-可得12124x x y y =-，结合韦达定理可得22241m k -=，根据以上结论，利用三角形面积公式化简即可得结论. 试题解析：（1）∵M 为椭圆短轴上的一个顶点，且∵MF 1F 2是直角三角形， ∵∵MF 1F 2为等腰直角三角形， ∵OF 1=OM ， 当a ＞1时，=1，解得a=，当0＜a ＜1时，=a ，解得a=，（2）当k=1时，y=x+m ，设A （x 1，y 1），（x 2，y 2），由，即（1+a 2）x 2+2a 2mx+a 2m 2﹣a 2=0，∵x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，∵y 1y 2=（x 1+m ）（x 2+m ）=x 1x 2+m （x 1+x 2）+m 2=，∵∵OAB 是以O 为直角顶点的直角三角形， ∵•=0，∵x 1x 2+y 1y 2=0，∵+=0，∵a 2m 2﹣a 2+m 2﹣a 2=0 ∵m 2（a 2+1）=2a 2，（3）证明：当a=2时，x 2+4y 2=4， 设A （x 1，y 1），（x 2，y 2）， ∵k OA •k OB =﹣，∵•=﹣，∵x 1x 2=﹣4y 1y 2，由，整理得，（1+4k 2）x 2+8kmx+4m 2﹣4=0．∵x 1+x 2=，x 1x 2=，第11页，总12页○…………外……………订…………○…………线…………○________考号：___________○…………内……………订…………○…………线…………○∵y 1y 2=（kx 1+m ）（kx 2+m ）=k 2x 1x 2+km （x 1+x 2）+m 2=++m 2=，∵=﹣4×，∵2m 2﹣4k 2=1，∵|AB|=•=•=2•=∵O 到直线y=kx+m 的距离d==，∵S △OAB =|AB|d==•==1.21.(1) 12；（2）不是，理由见解析；（3）证明见解析.【解析】21.试题分析：（1）不妨设12x x >，则12k ≥=恒成立．211114,42x x ≤≤≤∴<<，从而可得结果；（2）令1211,24x x ==，则()221111log log 1212424f f ⎛⎫⎛⎫-=-=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而可得函数()2log f x x =不是“2-利普希兹条件函数”； （3）设()f x 的最大值为M ，最小值为m ，在一个周期[]0,2，内()(),f a M f b m ==，利用基本不等式的性质可证明()()()()12221f x f x M m f a f b a b -≤-=-+≤--<. 试题解析：（1）若函数f （x ）=，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，则对于定义域[1，4]上任意两个x 1，x 2（x 1≠x 2），均有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤k|x 1﹣x 2|成立，不妨设x 1＞x 2，则k≥=恒成立．∵1≤x 2＜x 1≤4，∵＜＜，答案第12页，总12页…线…………○…线…………○∵k 的最小值为 ．（2）f （x ）=log 2x 的定义域为（0，+∞），令x 1=，x 2=，则f （）﹣f （）=log 2﹣log 2=﹣1﹣（﹣2）=1，而2|x 1﹣x 2|=，∵f （x 1）﹣f （x 2）＞2|x 1﹣x 2|，∵函数f （x ）=log 2x 不是“2﹣利普希兹条件函数”．（3）设f （x ）的最大值为M ，最小值为m ，在一个周期[0，2]内f （a ）=M ，f （b ）=m ， 则|f （x 1）﹣f （x 2）|≤M ﹣m=f （a ）﹣f （b ）≤|a ﹣b|． 若|a ﹣b|≤1，显然有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤|a ﹣b|≤1． 若|a ﹣b|＞1，不妨设a ＞b ，则0＜b+2﹣a ＜1，∵|f （x 1）﹣f （x 2）|≤M ﹣m=f （a ）﹣f （b+2）≤|a ﹣b ﹣2|＜1． 综上，|f （x 1）﹣f （x 2）|≤1．。
2018年上海市15区高考高三一模数学试卷合集 带答案
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第 2 卷 2018 年崇明区一模
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，其中 1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分）
1、已知集合 A {1, 2, 5}, B {2, a} ，若 A B {1, 2, 3, 5} ，则 a
；
2、抛物线 y2 4x 的焦点坐标是
Sn ，首项 a1
1，公比为
a
3 2
，且
lim
n
S
n
a
，则
a ________.
11.从 5 男 3 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人志愿者服
务，要求服务队中至少有 1 名女生，共有
种不同的选法.（用数字作答）
12.在 ABC 中， BC 边上的中垂线分别交 BC, AC 于点 D, E .若 AE BC 6 ， AB 2 ，
f (C) 1 ，求 ABC 面积的最大值，并指出此时 ABC 为何种类型的三角形. 2
19. 设数列{an} ，{bn} 及函数 f (x) （ x R ）， bn f (an ) （ n N * ）. （1）若等比数列{an} 满足 a1 1， a2 3 ， f (x) 2x ，求数列{bnbn1} 的前 n （ n N * ） 项和； （2）已知等差数列{an} 满足 a1 2 ， a2 4 ， f (x) (q x 1) （ 、 q 均为常数， q 0 且 q 1）， cn 3 n (b1 b2 bn ) （ n N * ），试求实数对 (, q) ，使得{cn} 成等比 数列.
x 1 5. 若 z 2 3i （其中 i 为虚数单位），则 Im z
i 6. 若从五个数 1 ，0，1，2，3 中任选一个数 m ，则使得函数 f (x) (m2 1)x 1 在 R 上
最新-上海市崇明县2018届高三数学高考模拟考试试卷 文
崇明县2018年高考模拟考试试卷高三数学（文科）（考试时间120分钟，满分150分）考生注意：1． 每位考生应同时领到试卷与答题纸两份材料，所有解答必须写在答题纸上规定位置，写在试卷上或答题纸上非规定位置一律无效；2． 答卷前，考生务必将姓名、准考证号码等相关信息在答题纸上填写清楚； 3． 本试卷共23道试题，满分150分，考试时间120分钟。
一、填空题（本大题共14小题，每小题4分，满分56分，只需将结果写在答题纸上） 1、方程2log (34)1x -=的解x = ．2、函数44cos sin y x x ππ=-的最小正周期T = ．3、已知z 是方程2(1)z i z -=+的复数解，则z = ．4、若直线l 过点(0,1)P ，且方向向量为(2,1)-，则直线l 的方程为 ．（用直线方程的一般式表示） 5、二项式6(x -的展开式中常数项是第 项．6、执行右图所示的程序框图，若输入10x =，则输出y 的值等于 ．7、函数11()(1)2f x x xx=≥的值域为 ． 8、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若318156,18S S S =--=，则18S = ．9、已知实数,x y 满足以下关系：0,0,230x y x x y ≥-≥+-≤，设2z x y =-，则z 的最大值等于 ． 10、若一个无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1lim 2n n S →∞=， 则首项1a 取值范围是________．11、圆柱形容器内部盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的实心铁球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好 淹没最上面的球，则球的半径等于 cm ．（第6题图）ABCD12、已知双曲线22118x y m m -=+(0)m >的一条渐近线方程为y ，它的一个焦点恰好在抛物线22y px =(0)p >的准线上，则p = ． 13、如图：在三角形ABC 中，0BA AD ⋅=，1,2AB BC BD ==，则AC AB ⋅= ．14、设函数2()1f x x =+，若关于x 的不等式2()4()4()(1)xf f m m f x f x m+≤+-对任意3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，则实数m 的取值范围是 ．二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题给出四个选项，其中有且只有一个结论是正确的，选对并将答题纸对应题号上的字母涂黑得5分，否则一律得零分） 15、从总体中抽取的一个样本中共有五个个体，其值分别为,0,1,2,3a ，若该样本的平均值为1，则总体方差的点估计值等于………………………………………………………………（ ） A 、52BCD 、216、命题P ：“12x -<”，命题Q ：“213x x -<-”．则P 是Q 的……………………………（ ） A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件 C 、充要条件D 、既非充分又非必要条件17、函数()23x f x x =+的一个零点所在的一个区间是………………………………………（ ） A 、(1,2)B 、(0,1)C 、(1,0)-D 、(2,1)--18、将2本不同语文书、2本不同外语书、2本不同数学书排成一排放到书架上，则2本数学书不排在相邻位置的概率等于………………………………………………………………（ ） A 、424566P C PB 、424566P P PC 、424466P C PD 、424466P P P三、解答题（本大题共5小题，满分74分。
精品解析：【全国市级联考】上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学试题
A. 月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数A. 5603C.5803D. 2403．若函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，且()2,()0,f f αβαβ==-的最小值是2π，则()f x 的单调递增区间是（ ） A. 5[2,2]()66k k k z ππππ-+∈ B. 2[2,2]()33k k k z ππππ-+∈ C. [,]()k k k z ππππ-+∈D. 5[,]()k k k z ππππ-+∈8．sin30cos15cos150sin15︒︒-︒︒=__________．9．已知直线l ：x+y-6=0，过直线上一点P 作圆x 2+y 2=4的切线，切点分别为A，B，则四边形PAOB面积的最小值为______，此时四边形PAOB外接圆的方程为______．10．对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为800，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质11．已知直线l:y=k(x-2)与抛物线物线C的焦点，若|AF|=3|BF|，则直线12．方程组26x yx y+=⎧⎨-=⎩的解集用列举法表示为＿＿＿＿＿＿3②若2b ac=，则ABC∆为等边三角形③若2a c=，则ABC∆锐角三角形④若2•••AB AB AC BA BC CA CB=++，则3a c=⑤若tan tan 0A C ++>，则ABC ∆为锐角三角形三、解答题.（1）求椭圆C 的方程；（2）若原点O 在以线段AB 为直径的圆内，求直线l 的斜率k 的取值范围.18．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为322x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t为参数)。
在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以，(,1)b x =（的夹角为锐角，求32(4,)a b y -=时，求x y +的值本小题满分12x x f cos 2)(+=某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习惯的了解程度。
2018年上海市高三一模数学试题完整解析
2018年高三一模数学试题解析目录2018年杨浦区高三一模试题分析 (1)2018年松江区高三一模试题分析 (10)2018年青浦区高三一模试题分析 (20)2018年虹口区高三一模试题分析 (31)2018年普陀区高三一模试题分析 (42)2018年徐汇区高三一模试题分析 (56)2018年长宁、嘉定区高三一模试题分析 (67)2018年浦东新区高三一模试题分析 (77)2018年崇明区高三一模试题分析 (87)2018年静安区高三一模试题分析 (96)2018年闵行区高三一模试题分析 (105)2018年黄浦区高三一模试题分析 (117)2018年三区高三一模填选难题试题分析 (127)2018年杨浦区高三一模试题分析一、填空题的结果是 1 ．1.计算∞【考点】极限及其运算.=1．【分析】由n→+∞，→0，即可求得∞=1，故答案为：1．【解答】解：当n→+∞，→0，∴∞【点评】本题考查极限的运算，考查计算能力，属于基础题．2.已知集合A={1，2，m}，B={3，4}，若A∩B={3}，则实数m= 3 ．【考点】交集及其运算.【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2，m}，B={3，4}，A∩B={3}，∴实数m=3．故答案为：3．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．3.已知，则= ﹣．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值.【分析】由已知利用诱导公式即可化简求值得解．【解答】解：∵θ，∴θπ=θ．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．4.若行列式，则x= 2 ．【考点】二阶矩阵.【分析】先根据行列式的计算公式进行化简，然后解指数方程即可求出x的值．【解答】解：∵，∴2×2x﹣1﹣4=0即x﹣1=1，∴x=2，故答案为：2【点评】本题主要考查了行列式的基本运算，同时考查了指数方程，属于基础题．5.已知一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，则x+y= 6 ．【考点】增广矩阵的概念.【分析】由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式，由此能求出x+y．【解答】解：∵一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，∴由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式，解得 x=4，y=2，∴x+y=6．故答案为：6．【点评】本题考查两数和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意增广矩阵的合理运用．6.在的二项展开式中，常数项等于﹣160 ．【考点】二项式定理．【分析】研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得x的指数为0，得到相应r，从而可求出常数项．【解答】解：展开式的通项为T r+1=x6﹣r（﹣）r=（﹣2）r x6﹣2r ，令6﹣2r=0可得r=3常数项为（﹣2）3=﹣160，故答案为：﹣160【点评】本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项，同时考查了计算能力，属于基础题．7.若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】分别求出基本事件数，“点数和为4”的种数，再根据概率公式解答即可．【解答】解：基本事件共6×6个，点数和为4的有（1，3）、（2，2）、（3，1）共3个，故P==．故答案为：．【点评】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，难度不大，属于基础题．8.数列{a n}的前n项和为S n，若点(n，S n)(n∈N*)在函数y=log2(x+1)的反函数的图象上，则a n= 2n﹣1．【考点】反函数．【分析】先利用点（n，S n）都在f（x）的反函数图象上即点（S n，n）都在f（x）的原函数图象上，得到关于S n的表达式；再利用已知前n项和为S n求数列{a n}的通项公式的方法即可求数列{a n}的通项公式；【解答】解：由题意得n=log2（S n+1）⇒s n=2n﹣1．n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，当n=1时，a1=s1=21﹣1=1也适合上式，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1；故答案为：2n﹣1【点评】本小题主要考查反函数、利用已知前n项和为S n求数列{a n}的通项公式的方法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．9.在△ABC中，若sinA、sinB、sinC成等比数列，则角B的最大值为．【考点】余弦定理.【分析】由sinA、sinB、sinC依次成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出cosB，把得出关系式代入并利用基本不等式求出cosB的范围，利用余弦函数的性质可求B的最大值．【解答】解：∵在△ABC 中，sinA 、sinB 、sinC 依次成等比数列，∴sin 2B=sinAsinC ， 利用正弦定理化简得：b 2=ac ，由余弦定理得：cosB==≥=（当且仅当a=c 时取等号），则B 的范围为（0，π]，即角B 的最大值为π．故答案为：π．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基础题．10.抛物线y 2=﹣8x 的焦点与双曲线﹣y 2=1的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为．【考点】双曲线的性质.【分析】由已知条件推导出a 2+1=4，从而得到双曲线的渐近线方程为y=，由此能求出这条双曲线的两条渐近线的夹角．【解答】解：∵抛物线y 2=﹣8x 的焦点F （﹣2，0）与双曲线﹣y 2=1的左焦点重合，∴a 2+1=4，解得a= ，∴双曲线的渐近线方程为y=，∴这条双曲线的两条渐近线的夹角为π ，故答案为：π． 【点评】本题考查双曲线的两条渐近线的夹角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意抛物线性质的合理运用．11.已知函数，x ∈R ，设a ＞0，若函数g （x ）=f （x+α）为奇函数，则α的值为2k πα=【考点】三角函数中的恒等变换应用.【分析】首先通过三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质求出结果．【解答】()cos (sin )sin(2)3f x x x x x π=+，()sin(22)3g x x πα=++为奇函数，且0α>，∴23k παπ+=，26k ππα=-，k ∈*N .【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用．12.已知点C 、D 是椭圆上的两个动点，且点M （0，2），若，则实数λ的取值范围为1[,3]3λ∈.【考点】椭圆的性质.【分析】数形结合，取极端情况，考查椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系. 【解答】数形结合，取极端情况. 作CE ⊥y 轴，DF ⊥y 轴，3MD MF MB MC ME MA λ==≤=，同理13λ≥ 当D 点位于(0,1)-，C 点位于(0,1)时，λ等于3； 当D 点位于(0,1)，C 点位于(0,1)-时，λ等于13，∴1[,3]3λ∈.【点评】本题考查椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题． 二、选择题13.在复平面内，复数对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义. 【分析】直接由复数的除法运算化简，求出复数对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：∵=，∴复数对应的点的坐标为(﹣1,﹣2），位于第三象限．故选：C ．【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 14.给出下列函数:①y=log 2x;②y=x 2；③y=2|x|；④y=arcsinx ．其中图象关于y 轴对称的函数的序号是( ) A.①②B.②③C.①③D.②④【考点】函数奇偶性的性质与判断.【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可．【解答】解：①y=log 2x 的定义域为（0，+∞），定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数； ②y=x 2；是偶函数，图象关于y 轴对称，满足条件．③y=2|x|是偶函数，图象关于y 轴对称，满足条件． ④y=arcsinx 是奇函数，图象关于y 轴不对称，不满足条件，故选：B ．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，利用函数奇偶性的定义和性质是解决本题的关键 15.“t ≥0”是“函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在(﹣∞，+∞)内存在零点”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 【考点】充分条件、必要条件、充要条件.【分析】t ≥0⇒△=t 2+4t ≥0⇒函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点，函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点⇒△=t 2+4t ≥0⇒t ≥0或t ≤﹣4．由此能求出结果． 【解答】解：t ≥0⇒△=t 2+4t ≥0⇒函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点， 函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点⇒△=t 2+4t ≥0⇒t ≥0或t ≤﹣4．∴“t ≥0”是“函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点”的充分非必要条件．故选：A ． 【点评】本题考查充分条件、充要条件、必要条件的判断，考查函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．16.设A 、B 、C 、D 是半径为1的球面上的四个不同点，且满足•=0，•=0，•=0，用S 1、S 2、S 3分别表示△ABC 、△ACD 、△ABD 的面积，则S 1+S 2+S 3的最大值是( )A.B.2C.4D.8【考点】平面向量数量积的性质及其运算；棱柱、棱锥的体积.【分析】由题意可知，三棱锥的顶点的三条直线AB ，AC ，AD 两两垂直，可以扩展为长方体，对角线为球的直径，设出三边，表示出面积关系式，然后利用基本不等式，求出最大值．【解答】解：设AB=a ，AC=b ，AD=c ，因为AB ，AC ，AD 两两互相垂直，扩展为长方体，它的对角线为球的直径，所以a 2+b 2+c 2=4R 2=4 所以S △ABC +S △ACD +S △ADB =（ab+ac+bc ）≤（a 2+b 2+c 2）=2即最大值为：2故选：B ．【点评】本题是基础题，考查球的内接多面体，基本不等式求最值问题，能够把几何体扩展为长方体，推知多面体的外接球是同一个球，是解题的关键． 三、解答题17.如图所示，用总长为定值l 的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开． （1）设场地面积为y ，垂直于墙的边长为x ，试用解析式将y 表示成x 的函数，并确定这个函数的定义域； （2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？【考点】基本不等式及其应用.【分析】（1）由题意设长方形场地的宽为x ，则长为l ﹣3x ，表示出面积y ；由x ＞0，且l ﹣3x ＞0，可得函数的定义域；（2）对其运用基本不等式求出函数的最值即场地的面积最大值，从而求解． 【解答】解：（1）设平行于墙的边长为a ，则篱笆总长3l x a =+，即3a l x =-，所以场地面积(3)y x l x =-，(0,)3lx ∈（2）222(3)33()612ll y x l x x lx x =-=-+=--+，(0,)3l x ∈,所以当且仅当6l x =时，2max 12l y = 综上，当场地垂直于墙的边长x 为6l 时，最大面积为212l【点评】此题是一道实际应用题，考查函数的最值问题，解决此类问题要运用基本不等式，这也是高考常考的方法．18.如图，已知圆锥的侧面积为15π，底面半径OA和OB互相垂直，且OA=3，P是母线BS的中点．（1）求圆锥的体积；（2）求异面直线SO与PA所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【考点】旋转体（圆柱、圆锥）；异面直线及其所成的角.【分析】（1）推导出BS=5，从而SO=4，由此能求出圆锥的体积．（2）取OB中点H，连结PH、AH．由P是SB的中点知PH∥SO，则∠APH（或其补角）就是异面直线SO与PA所成角，由此能求出异面直线SO与PA所成角．解：（1）由题意，π•OA•SB=15π，解得BS=5，故从而体积πππ．（2）如图，取OB中点H，连结PH、AH．由P是SB的中点知PH∥SO，则∠APH（或其补角）就是异面直线SO与PA所成角．∵SO⊥平面OAB，∴PH⊥平面OAB，∴PH⊥AH．在△OAH中，由OA⊥OB，得，在Rt△APH中，∠AHP=90 O，，…则∠，∴异面直线SO与PA所成角的大小．【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．19.已知函数的定义域为集合A，集合B=(a,a+1),且B⊆A.（1）求实数a的取值范围；（2）求证:函数f(x)是奇函数但不是偶函数．【考点】集合的包含关系判断及应用；函数奇偶性的性质与判断.【分析】（1）由对数的真数大于0，可得集合A，再由集合的包含关系，可得a的不等式组，解不等式即可得到所求范围；（2）求得f（x）的定义域，计算f（﹣x）与f（x）比较，即可得到所求结论．【解答】解：（1）令＞，解得﹣1＜x＜1，所以A=（﹣1，1），因为B⊆A，所以，解得﹣1≤a≤0，即实数a的取值范围是[﹣1，0]；（2）证明:函数f(x)的定义域A=(﹣1,1)，定义域关于原点对称，f(﹣x)=ln=ln（）﹣1=﹣ln=﹣f(x)，而，，所以，所以函数f（x）是奇函数但不是偶函数．【点评】本题考查函数的定义域和集合的包含关系，考查函数的奇偶性的判断，注意运用定义法，考查运算能力，属于基础题．20.设直线l与抛物线Ω：y2=4x相交于不同两点A、B，O为坐标原点．（1）求抛物线Ω的焦点到准线的距离；（2）若直线l又与圆C：（x﹣5）2+y2=16相切于点M，且M为线段AB的中点，求直线l的方程；（3）若，点Q在线段AB上，满足OQ⊥AB，求点Q的轨迹方程．【考点】直线与抛物线的综合.【分析】（1）根据题意，由抛物线的方程分析可得p的值，即可得答案；（2）根据题意，设直线的方程为x=my+b，分m=0与m≠0两种情况讨论，分析m的取值，综合可得m可取的值，将m的值代入直线的方程即可得答案；（3）设直线AB：x=my+b，将直线的方程与抛物线方程联立，结合OQ⊥AB，由根与系数的关系分析可得答案．【解答】解：（1）根据题意，抛物线Ω的方程为y2=4x，则p=2，故抛物线Ω的焦点到准线的距离为2；（2）设直线l：x=my+b,当m=0时，x=1和x=9符合题意；当m≠0时，A（x1，y1）、B（x2，y2）的坐标满足方程组，所以y2﹣4my﹣4b=0的两根为y1、y2．△=16（m2+b）＞0，y1+y2=4m，所以，所以线段AB的中点M（2m2+b，2m），因为k AB•k CM=﹣1，，所以，得b=3﹣2m2 ，所以△=16（m2+b）=16（3﹣m2）＞0，得0＜m2＜3因为，所以m2=3（舍去）综上所述，直线l的方程为：x=1，x=9（3）设直线AB：x=my+b，A（x1，y1）、B（x2，y2）的坐标满足方程组，所以y2﹣4my﹣4b=0的两根为y1、y2，△=16（m2+b）＞0，y1+y2=4m，y1y2=﹣4b所以，得b=0或b=4b=0时，直线AB过原点，所以Q（0，0）；b=4时，直线AB过定点P（4，0）设Q（x，y），因为OQ⊥AB，所以，，（x≠0），综上，点Q的轨迹方程为x2﹣4x+y2=0【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，（2）中注意设出直线的方程，并讨论m的值．21.若数列A：a1，a2，…，a n（n≥3）中（1≤i≤n）且对任意的2≤k≤n﹣1，a k+1+a k﹣1＞2a k恒成立，则称数列A为“U﹣数列”．（1）若数列1，x，y，7为“U﹣数列”，写出所有可能的x、y；（2）若“U﹣数列”A：a1，a2，…，a n中，a1=1，a n=2017，求n的最大值；（3）设n0为给定的偶数，对所有可能的“U﹣数列”A：a1，a2，…，，记，，，，其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数，求M的最小值．【考点】数列与不等式的综合.【分析】（1）根据“U﹣数列”的定义可得：x=1时，＞＞；x=2时，＞＞；x≥3时，＞＞，解出即可得出．（2）n的最大值为65，理由如下：一方面，注意到：a k+1+a k﹣1＞2a k⇔a k+1﹣a k＞a k﹣a k﹣1．对任意的1≤i≤n ﹣1，令b i=a i+1﹣a i，可得b i∈Z且b k＞b k﹣1（2≤k≤n﹣1），故b k≥b k﹣1+1对任意的2≤k≤n﹣1恒成立．当a1=1，a n=2017时，注意到b1=a2﹣a1≥1﹣1=0，利用裂项求和方法可得b i≥i﹣1．（2≤i≤n﹣1）．即b i≥i ﹣1，此时a n﹣a1=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）=b n﹣1+b n﹣2+…+b1≥，即，解得n≤65．另一方面，取b i=i﹣1（1≤i≤64），可得对任意的2≤k≤64，b k＞b k﹣1，故数列{a n}为“U﹣数列”，进而得出．（3）M的最小值为，分析如下：当n0=2m（m≥2，m∈N*）时，一方面：由（*）式，b k+1﹣b k≥1，b m+k﹣b k=（b m+k﹣b m+k﹣1）+（b m+k﹣1﹣b m+k﹣2）+…+（b k+1﹣b k）≥m．此时有：a1+a2m﹣（a m+a m+1）≥m（m﹣1），即（a1+a2m）≥（a m+a m+1）+m（m﹣1）可得M≥．又，可得，另一方面，当b1=1﹣m，b2=2﹣m，…，b m﹣1=﹣1，b m=0，b m+1=1，b2m﹣1=m﹣1时，a k+1+a k﹣1﹣2a k=（a k+1﹣a k）﹣（a k﹣a k﹣1）=b k﹣b k﹣1=1＞0，取a m=1，则a m+1=1，a1＞a2＞a3＞…＞a m，a m+1＜a m+2＜…＜a2m，且a1=a m﹣（b1+b2+…+b m﹣1）=m（m﹣1）+1．此时．即可得出．【解答】解：（1）x=1时，＞＞，所以y=2或3；x=2时，＞＞，所以y=4；x≥3时，＞＞，无整数解；所以所有可能的x，y为，或．（2）n的最大值为65，理由如下：一方面，注意到：a k+1+a k﹣1＞2a k⇔a k+1﹣a k＞a k﹣a k﹣1．对任意的1≤i≤n﹣1，令b i=a i+1﹣a i，则b i∈Z且b k＞b k﹣1（2≤k≤n﹣1），故b k≥b k﹣1+1对任意的2≤k≤n﹣1恒成立．（*）当a1=1，a n=2017时，注意到b1=a2﹣a1≥1﹣1=0，得︸个（2≤i≤n﹣1）即b i≥i﹣1，此时a n﹣a1=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）=b n﹣1+b n﹣2+…+b1≥0+1+2+…+（n﹣2）=，（**）即，解得：﹣62≤n≤65，故n≤65．另一方面，为使（**）取到等号，所以取b i=i﹣1（1≤i≤64），则对任意的2≤k≤64，b k＞b k﹣1，故数列{a n}为“U﹣数列”，此时由（**）式得，所以a65=2017，即n=65符合题意．综上，n的最大值为65．（3）M的最小值为，证明如下：当n0=2m（m≥2，m∈N*）时，一方面：由（*）式，b k+1﹣b k≥1，b m+k﹣b k=（b m+k﹣b m+k﹣1）+（b m+k﹣1﹣b m+k﹣2）+…+（b k+1﹣b k）≥m．此时有：（a1+a2m）﹣（a m+a m+1）=（a2m﹣a m+1）﹣（a m﹣a1）=（b m+1+b m+2+…+b2m﹣1）﹣（b1+b2+…+b m﹣1）=（b m+1﹣b1）+（b m+2﹣b2）+…+（b2m+1﹣b m﹣1）≥m+m+…+m=m（m﹣1）．即（a1+a2m）≥（a m+a m+1）+m（m﹣1）故，因为，所以，另一方面，当b1=1﹣m，b2=2﹣m，…，b m﹣1=﹣1，b m=0，b m+1=1，b2m﹣1=m﹣1时，a k+1+a k﹣1﹣2a k=（a k+1﹣a k）﹣（a k﹣a k﹣1）=b k﹣b k﹣1=1＞0，取a m=1，则a m+1=1，a1＞a2＞a3＞…＞a m，a m+1＜a m+2＜…＜a2m，，此时．综上，M的最小值为．【点评】本题考查了新定义、等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题2018年松江区高三一模试题分析一、填空题1.计算：∞= ．【考点】极限及其运算．【分析】∞=∞，当n→∞，→0，即可求得∞=．【解答】解：∞=∞=，故答案为：【点评】本题考查极限的运算，考查计算转化思想，属于基础题．2.已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|x2≥4}，则A∩B= {x|2≤x＜3} ．【考点】交集及其运算.【分析】根据题意，B为一元二次不等式的解集，解不等式可得集合B；又由交集的性质，计算可得答案．【解答】解：由已知得：B={x|x≤﹣2或x≥2}，∵A={ x|0＜x＜3}，∴A∩B={x|0＜x＜3}∩{ x|x≤﹣2或x≥2}={x|2≤x＜3}为所求．故答案为：{x|2≤x＜3}．【点评】本题考查交集的运算，解题的关键在于认清集合的意义，正确求解不等式．3.已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1+a9=18，a4=7，则S10= 100 ．【考点】等差数列的前n项和.【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a9=18，a4=7，∴，解得d=2，a1=1．则S10=10+=100．故答案为：100．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.已知函数f（x）=log2（x+a）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（2）=1，则实数a= 3 ．【考点】反函数.【分析】直接利用反函数值域和定义域的关系求出结果．【解答】解：函数f（x）=log2（x+a）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（2）=1，解得：a=3．故答案为：3．【点评】本题考查的知识要点：反函数的应用．5.已知角α的终边与单位圆x2+y2=1交于，，则cos2α等于﹣．【考点】二倍角的三角函数.【分析】由角α的终边与单位圆x2+y2=1交于，，可得：r=1，cosα=，从而可求cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣．【解答】解：∵角α的终边与单位圆x2+y2=1交于，，∴可得：r=1，cosα=，∴cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考察了三角函数的定义，二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查．6.如图是一个算法的程序框图，当输入的值x为8时，则其输出的结果是 2 ．【考点】循环结构.【分析】x=8＞0，不满足条件x≤0，则执行循环体，依此类推，当x=﹣1＜0，满足条件，退出循环体，从而求出最后的y值即可．【解答】解：x=8＞0，执行循环体，x=x﹣3=5﹣3=2＞0，继续执行循环体，x=x﹣3=2﹣3=﹣1＜0，满足条件，退出循环体，故输出y=0.5﹣1=2．故答案为：2【点评】本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．7.函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象在区间[0，2π]上交点的个数是 4 ．【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象.【分析】直接利用三角方程求出结果．【解答】解：由于函数y=sin2x与y=cosx有交点，则：sin2x=cosx，整理得：sinx=或cosx=0所以：在[0，2π]范围内，x=π，π，π，π，故答案为：4．【点评】本题考查的知识要点：正弦函数的图象和余弦图象的应用．8.设直线ax﹣y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a= 0 ．【考点】直线与圆的位置关系.【分析】由弦长公式可得圆心到直线的距离为，再由点到直线的距离公式可得=1，由此求得a的值．【解答】解：由于圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的圆心C（1，2），半径等于2，且圆截直线所得的弦AB的长为2ax﹣y+3=0的距离为，即=1，解得a=0，故答案为 0．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，弦长公式、点到直线的距离公式的应用，属于中档题． 9.在△ABC 中，∠A=90°，△ABC 的面积为1，若=，=4，则的最小值为．【考点】平面向量数量积的性质及其运算.【分析】通过建系设出B ，C 坐标，化简的表达式，利用三角形面积求解表达式的最小值． 【解答】解：如图，建立直角坐标系，设B （10x ，0），C （0，10y ），若 = ， =4， 则M （5x ，5y ），N （2x ，8y ），由题意△ABC 的面积为1，可得50xy=1，=10x 2+40y 2≥2 xy=，当且仅当x=2y=时取等号．故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查转化思想以及计算能力．10.已知函数f （x ）=x|2x ﹣a|﹣1有三个零点，则实数a 的取值范围为 （2 ，+∞） ． 【考点】函数的零点与方程根的关系；研究曲线上某点切线方程. 【分析】转化方程的根为两个函数的图象的交点，利用数形结合． 【解答】分类讨论，设()|2|g x x x a =-，可以看作()g x 与1y =有三个交点，当0a <，()g x 图像如图所示，易知与1y =只有1个交点，不符；当0a>，()g x 图像如图所示，要与1y =有3个交点，需满足()14af >，即a >解法二：根据题意，可以看作()|2|g x x a =-与1()h x x=有三个交点，结合图像可知，当2ax >时，()g x 与()h x恒有一个交点，∴当2ax <时，()g x 与()h x 有两个不同交点，即12a xx-=在(0,)x∈+∞有两个解，2210x ax-+=，280a∆=->，且0a>，∴a>【点评】本题考查函数的零点的判断，考查数形结合的应用，是中档题．11.定义，＞，已知函数f（x）、g（x）的定义域都是R，则下列四个命题中为真命题的是②③④（写出所有真命题的序号）①若f（x）、g（x）都是奇函数，则函数F（f（x），g（x））为奇函数；②若f（x）、g（x）都是偶函数，则函数F（f（x），g（x））为偶函数；③若f（x）、g（x）都是增函数，则函数F（f（x），g（x））为增函数；④若f（x）、g（x）都是减函数，则函数F（f（x），g（x））为减函数．【考点】函数单调性的性质与判断；函数奇偶性的性质与判断.【分析】由已知中：，＞，结合具有奇偶性及单调性的图象特征，可得答案．【解答】解：，＞，若f（x）、g（x）都是奇函数，则函数F（f（x），g（x））不一定是奇函数，如y=x与y=x3，故①是假命题；若f（x）、g（x）都是偶函数，则函数F（f（x），g（x））为偶函数，故②是真命题；若f（x）、g（x）都是增函数，则函数F（f（x），g（x））为增函数，故③是真命题；若f（x）、g（x）都是减函数，则函数F（f（x），g（x））为减函数，故④是真命题．故答案为：②③④．【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数单调性的判断与证明，难度中档．12.已知数列{a n}的通项公式为a n=2q n+q（q＜0，n∈N*），若对任意m，n∈N*都有，，则实数q的取值范围为（﹣，0）.【考点】数列递推式.【分析】由a n=2q n+q，a1=3q＜0，由，，则a n＜0，由指数函数的单调性知，{a n}的最大值为a2=2q2+q，最小值为a1=3q，由题意，的最大值及最小值分别为和，即可求q的取值范围．【解答】解：由a n=2q n+q（q＜0，n∈N*），因为a1=3q＜0，且对任意n∈N*，∈（，6）故a n＜0，特别地2q2+q＜0，于是q∈（﹣，0），此时对任意n∈N*，a n≠0．当﹣＜q＜0时，a2n=2|q|2n+q＞q，a2n﹣1=﹣2|q|2n﹣1+q＜q，由指数函数的单调性知，{a n}的最大值为a2=2q2+q，最小值为a1=3q，由题意，的最小值及最大值分别为=和=．由＞及＜6，解得﹣＜q＜0．综上所述，q的取值范围为（﹣，0），故答案为：（﹣，0）．【点评】本题考查等差数列以及等比数列的综合应用，数列与函数关系，考查计算能力、转化思想，属于中档题．二、选择题13.若2﹣i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根（其中i为虚数单位，p，q∈R），则q的值为( )A.﹣5B.5C.﹣3D.3【考点】复数的运算.【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数的关系求解．【解答】解：∵2﹣i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的一个根，∴2+i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的另一个根，则q=（2﹣i）（2+i）=|2﹣i|2=5．故选：B．【点评】本题考查实系数一元二次方程的虚根成对原理，考查复数模的求法，是基础题．14.已知f（x）是R上的偶函数，则“x1+x2=0”是“f（x1）﹣f（x2）=0”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【考点】充分条件、必要条件、充要条件.【分析】“x1+x2=0”⇒“f(x1)﹣f(x2)=0”，“f(x1)﹣f(x2)=0”⇒“x1+x2=0”或“x1=x2”，由此能求出结果．【解答】解：∵f(x)是R上的偶函数，∴“x1+x2=0”⇒“f(x1)﹣f(x2)=0”，“f(x1)﹣f(x2)=0”⇒“x1+x2=0”或“x1=x2”或者其他情况，∴“x1+x2=0”是“f(x1)﹣f(x2)=0”的充分而不必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分条件、充要条件、必要条件的判断，考查函数的奇偶性等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．15.若存在x∈[0，+∞）使＜成立，则实数m的取值范围是( )A.(﹣∞，1）B.(﹣1，+∞）C.(﹣∞，﹣1]D.[1，+∞）【考点】存在量词和特称命题.【分析】推导出2x•m＞2x•x﹣1，从而m＞x﹣，再由x∈[0，+∞），能求出实数m的取值范围．【解答】解：存在x∈[0，+∞）使＜成立，∴2x•x﹣2x•m＜1，∴2x•m＞2x•x﹣1，∴m＞x﹣，∵x∈[0，+∞），∴2x≥1，∴m＞x﹣≥﹣1．∴实数m的取值范围是（﹣1，+∞）．故选：B．【点评】本题考查实数值的取值范围的求法，考查二阶行列式、不等式、指数性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．16.已知曲线C1：|y|﹣x=2与曲线C2：λx2+y2=4恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是( )A ．（﹣∞，﹣1]∪[0，1）B ．（﹣1，1]C ．[﹣1，1）D ．[﹣1，0]∪（1，+∞） 【考点】双曲线的性质.【分析】利用绝对值的几何意义，由x=|y|﹣2可得，y ≥0时，x=y ﹣2；y ＜0时，x=﹣y ﹣2，函数x=|y|﹣2的图象与方程y 2+λx 2=4的曲线必相交于（0，±2），为了使曲线C 1：|y|﹣x=2与曲线C 2：λx 2+y 2=4恰好有两个不同的公共点，则两曲线无其它交点．x=y ﹣2代入方程y 2+λx 2=4，整理可得（1+λ）y 2﹣4λy+4λ﹣4=0，分类讨论，可得结论，根据对称性，同理可得y ＜0时的情形． 【解答】解：由x=|y|﹣2可得，y ≥0时，x=y ﹣2；y ＜0时，x=﹣y ﹣2， ∴函数x=|y|﹣2的图象与方程y 2+λx 2=4的曲线必相交于（0，±2）， 所以为了使曲线C 1：|y|﹣x=2与曲线C 2：λx 2+y 2=4恰好有两个不同的公共点， 则将x=y ﹣2代入方程y 2+λx 2=4，整理可得（1+λ）y 2﹣4λy+4λ﹣4=0，当λ=﹣1时，y=2满足题意，∵曲线C 1：|y|﹣x=2与曲线C 2：λx 2+y 2=4恰好有两个不同的公共点， ∴△＞0，2是方程的根，∴λ λ＜0，即﹣1＜λ＜1时，方程两根异号，满足题意；综上知，实数λ的取值范围是[﹣1，1）．故选：C ．【点评】本题考查曲线的交点，考查学生分析解决问题的能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题． 三、解答题17.在△ABC 中，AB=6，AC=3 ，=﹣18． （1）求BC 边的长；（2）求△ABC 的面积． 【考点】三角形中的几何计算.【分析】（1）直接利用向量的数量积和余弦定理求出BC 的长． （2）进一步利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果．【解答】解：（1）=﹣18，由于：AB=6，AC=3 ， 所以：BC 2=AB 2+AC 2﹣2AB •ACcosA ，解得：BC=3 （2）在△ABC 中，BA=6，AC=3 ，BC=3 ，则：cosA==﹣，所以：sinA=，则：11sin 6922ABCSAB AC A ∆=⋅⋅=⋅⋅【点评】本题考查的知识要点:向量的数量积的应用，余弦定理的应用，三角形面积公式的应用． 18.已知函数（x ≠0，常数a ∈R ）．（1）讨论函数f （x ）的奇偶性，并说明理由；（2）当a ＞0时，研究函数f （x ）在x ∈（0，+∞）内的单调性． 【考点】函数单调性的性质与判断；函数奇偶性的性质与判断.【分析】（1）根据函数奇偶性定义，可得当a=0时，函数f （x ）为偶函数；当a ≠0时，函数f （x ）为非奇非偶函数；（2）当a ＞0时，f （x ）在（0，a ）上为减函数，在（a ，+∞）上为增函数； 【解答】解：（1）当a=0时，函数f （x ）=1（x ≠0）,满足f （﹣x ）=f （x ）， 此时f （x ）为偶函数；当a ≠0时，函数f （a ）=0，f （﹣a ）=2，不满足f （﹣x ）=f （x ），也不满足f （﹣x ）=﹣f （x ），此时f （x ）为非奇非偶函数；（2）当a ＞0时，若x ∈（0，a ），则＞ ，为减函数；若x ∈[a ，+∞]，则＜ ，为增函数；故f （x ）在（0，a ）上为减函数，在[a ，+∞）上为增函数；【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档． 19.松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t （单位：分钟）满足2≤t ≤20，经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t 相关，当10≤t ≤20时电车为满载状态，载客量为400人，当2≤t ＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10﹣t ）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记电车载客量为p （t ）． （1）求p （t ）的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量； （2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？【考点】根据实际问题选择函数类型.【分析】（1）由题意知，p （t ）= ， ＜ ， （k 为常数），结合p （2）=272求得k=2，则p （t ）的表达式可求，进一步求得p （6）；（2）写出分段函数Q=， ＜，，利用基本不等式及函数的单调性分段求出最大值，取两者中的最大者得答案．【解答】解：（1）由题意知，p （t ）= ， ＜ ， （k 为常数），∵p(2)=400﹣k(10﹣2)2=272，∴k=2．∴24002(10)210()4001020t t p t t ⎧--≤<=⎨≤≤⎩． ∴p(6)=400﹣2(10﹣6)2=368(人)；（2）由，可得Q=， ＜，，当2≤t ＜10时，Q=180﹣（12t+），当且仅当t=5时等号成立；当10≤t ≤20时，Q=﹣60+≤﹣60+90=30，当t=10时等号成立．∴当发车时间间隔为5分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为60元．【点评】本题考查函数模型的性质及应用，考查简单的数学建模思想方法，是中档题．20.已知椭圆E：=1（a＞b＞0）经过点，，其左焦点为，，过F点的直线l交椭圆于A、B两点，交y轴的正半轴于点M．（1）求椭圆E的方程；（2）过点F且与l垂直的直线交椭圆于C、D两点，若四边形ACBD的面积为，求直线l的方程；（3）设，，求证：λ1+λ2为定值．【考点】椭圆的性质.【分析】（1）由c=，由a2=b2+c2=b2+3，将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得|AB|及|CD|，则四边形ACBD的面积S=×|AB||CD|=，即可求得k的值，求得直线l的方程；（3）由向量的坐标运算，表示出λ1和λ2，有（2）即可求得λ1+λ2为定值．【解答】解：（1）由题意可得：c=，则a2=b2+c2=b2+3，将，代入椭圆方程：，解得：b2=1，a2=4，∴椭圆的E的方程：；（2）设直线l：y=k（x+），A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0），则D（x1，﹣y1），联立，整理得：（1+4k2）x2+8k2x+12k2﹣4=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，|AB|==，由直线CD的斜率为﹣，将k转化成﹣，同理|CD|=，∴四边形ACBD的面积S=×|AB||CD|==，∴2k4﹣5k2+2=0，解得：k2=2，k2=，∴k=±或k=±，由k＞0，∴k=或k=，∴直线AB的方程为x﹣y+=0或x﹣y+=0；（3）λ，λ，得x1=λ1（﹣﹣x1），x2=λ2（﹣﹣x2），∴λ1=，λ2=，λ1+λ2=﹣（+）=﹣=﹣8，λ1+λ2为定值，定值为﹣8．。
2018届崇明区高考数学一模(附答案)
崇明县2018届第一次高考模拟考试试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分） 1. 已知集合{1,2,5},{2,}A B a ==，若{1,2,3,5}AB =，则a =____________.2. 抛物线24y x =的焦点坐标是____________.3. 不等式01xx <+的解是____________. 4. 若复数z 满足1iz i =+（i 为虚数单位），则z =____________.5. 在代数式721x x ⎛⎫⎪⎝⎭的展开式中，一次项的系数是____________.（用数字作答）6. 若函数2sin 1(0)3y x πωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭的最小正周期是π，则ω=____________. 7. 若函数()af x x =的反函数的图像经过点11,24⎛⎫⎪⎝⎭，则a =____________. 8. 将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为27πcm 3，则该几何体的侧面积为____________cm 39. 已知函数()y f x =是奇函数，当0x <时，()2xf x ax =-，且(2)2f =，则a =____________. 10. 若无穷等比数列{}n a 的各项和为n S ，首项11a =，公比为32a -，且lim n n S a →∞=，则a =____________.11. 从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人志愿者服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有种不同的选法____________.（用数字作答）12. 在ABC 中，BC 边上的中垂线分别交,BC AC 于点,D E ．若6,2AE BC AB ⋅==，则AC =____________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 13. 展开式为ad bc -的行列式是（ ）A.a b dcB.a cb dC.a d bcD.b a dc14. 设,R a b ∈，若a b >，则（ ）A.11a b< B. lg lg a b >C. sin sin a b >D. 22a b>15. 已知等差数列{}a 的公差为d ，前n 项和为S ，则“0d >”是“2S S S +>”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件16. 直线2x =与双曲线22:14x C y -=的渐近线交于,A B 两点，设P 为双曲线上任一点，若OP aOA bOB =+（,R a b ∈，O 为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ）A. 221a b +≥B. 1ab ≥C. 1a b +≥D. 2a b -≥三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17. （本题满分14分，第1题满分7分，第2题满分7分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==,1AC 与底面ABCD 所成的角为60，（1）求四棱锥1A ABCD -的体积； （2）求异面直线1A B 与11B D 所成角的大小.18.（本题满分14分，第1题满分6分，第2题满分8分）已知()2cos 2cos 1f x x x x =+-.（1）求()f x 的最大值及该函数取得最大值时x 的值；（2）在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，若a b ==，且2A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求边c 的值.19.（本题满分14分，第1题满分6分，第2题满分8分）2016年崇明区政府投资8千万元启动休闲体育新乡村旅游项目.规划从2017年起，在今后的若干年内，每年继续投资2千万元用于此项目.2016年该项目的净收入为5百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的的基础上增长50%．记2016年为第1年，()f n 为第1年至此后第()n n N *∈年的累计利润（注：含第n 年，累计利润=累计净收入-累计投入，单位：千万元），且当()f n 为正值时，认为该项目赢利．（1）试求()f n 的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．20.（本题满分16分，第1题满分4分，第2题满分5分, 第3题满分7分）在平面直角坐标系中，已知椭圆()222:10,1x C y a a a+=>≠的两个焦点分别是12,F F ，直线():,l y kx m k m R =+∈与椭圆交于,A B 两点.（1）若M 为椭圆短轴上的一个顶点，且12MF F 是直角三角形，求a 的值； （2）若1k =，且OAB 是以O 为直角顶点的直角三角形，求a 与m 满足的关系；（3）若2a =，且14OA OB k k ⋅=-,求证：OAB 的面积为定值.21.（本题满分18分，第1题满分5分，第2题满分5分, 第3题满分8分）若存在常数()0k k >，使得对定义域D 内的任意()1212,x x x x ≠，都有()()1212f x f x k x x -≤-成立，则称函数()f x 在其定义域D 上是“k -利普希兹条件函数”.（1）若函数()()14f x x =≤≤是“k -利普希兹条件函数”，求常数k 的最小值；（2）判断函数()2log f x x =是否是“2-利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由； （3）若()()y f x x R =∈是周期为2的“1-利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数12,x x ，都有()()121f x f x -≤.参考答案一. 填空题1.32.()1,03.()1,0-4. 1i -5. 216.27.128. 18π 9.98- 10.2 11. 780 12. 4 二. 选择题 13-16.BDCC 三. 解答题17.（1；（2）18.（1）最大值为2，此时()6x k k Z ππ=+∈;（2）2c =或419.（1）()3272nf n n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭千万元；（2）从2023年开始持续赢利20．（1或2；（2）()22212m a a +=；（3）定值为1，证明略. 21.（1）12；（2）不是；（3）证明略。
2018年度上海崇明区高三二模数学卷(含内容答案)
崇明区2018届第二次高考模拟考试试卷数学考生注意：1.本试卷共4页，21道试题，满分150分.考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1―6题每题4分，7—12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得满分，否则一律得零分.】1.已知集合^/={ —1, 0, 1, 2, 3}, A = {-1, 0, 2},则（：% =.,1 -1 12.已知一个关于的二元一次方程组的增广矩阵是> 则x+y =.1.i是虚数单位，若复数（l-2i）（a + i）是纯虚数，则实数〃的值为.5.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为石（精确到小数点后一位数字）.6.己知圆锥的母线长为5,侧而积为15乃，则此圆锥的体积为（结果保留；r）.7.若二项式（2天+色|的展开式中一次项的系数是一70,则lim（" + "+"+…+ /）= _____________\ X）"F28.已知椭圆二+y2=l（a>0）的焦点巴、F、,抛物线=2x的焦点为尸，若"=3房\则a二.9.设是定义在R上以2为周期的偶函数，当工近0,1］时，./•a）=iog2a+i）,则函数f（x）在［1,2］上的解析式是.10.某办公楼前有7个连成一排的车位，现有三辆不同型号的车辆停放,恰有两辆车停放在相邻车位的概率是.+ y W 4y/311.已知且满足〈亦（_,，2（）.若存在使得xcosd + ysin夕+ 1 = 0成立，则点），20P（x9y）构成的区域面积为.12 .在平面四边形A5c 。
2018-2019学年上海市崇明区高三一模数学试卷(带参考答案)
崇明区2018学年度第一次高考模拟考试试卷数 学考生注意：1. 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.2. 本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。
3. 答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中第1-6题每题4分，第7-12每每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写加过】 1. 20lim31n n n →∞+=+ .2. 已知集合{}{}|12,1,0,1,2,3A x x B =-<<=-,则=A B ⋂ .3. 若复数z 满足i z z 232-=+，其中i 为虚数单位，则=z .4. 821⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中含7x 项的系数为 （用数字作答）.5. 角θ的终边经过点()y P ，4，且53sin -=θ，则=θtan . 6. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线x y 42=上一点P 到焦点的距离为5，则点P 的横坐标是 .7. 圆04222=+-+y x y x 的圆心到直线0543=++y x 的距离等于 . 8. 设一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥的体积等于 .9. 若函数()1log 2+-=x ax x f 的反函数的图像过点()73，-，则=a . 10. 2018年上海春季高考有23所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么不同的录取方法有 种.11. 设()x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]10，上单调递减，且满足()()22,1==ππf f ，则不等式组()⎩⎨⎧≤≤≤≤2121x f x 的解集为 .12. 已知数列{}n a 满足：①01=a ，②对任意的*∈N n 都有n n a a >+1成立.函数()n n a x nf -=1sin，[]1,+∈n n a a x 满足：对于任意的实数[)1,0∈m ，()m x f n =总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式是 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.】 13. 若b a <<0，则下列不等式恒成立的是（ ）.A ba 11> .B b a >- .C 22b a > .D 33b a < 14. “2<p ”是“关于x 的实系数方程012=++px x 有虚数根”的（ ）.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件 15. 已知a b c ，，满足++=0a b c ，且222a b c <<，则a b b c a c ⋅⋅⋅，，中最小的值是（ ） .A a b ⋅ .B b c ⋅ .C a c ⋅ .D 不能确定16. 函数()()，，22+-==x x x g x x f 若存在，，，，，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⋯29021n x x x 使得 ()()()()()()()()，n n n n x f x g x g x g x g x f x f x f +⋯++=++⋯++--121121则n 的最大值为（ ） .A 11 .B 13 .C 14 .D 18三、解答题（本大题共有5题，满分56分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤】17. （本题满分14分，本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分） 如图，设长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==,直线1A C 与平面ABCD 所成角为4π. （1）求三棱锥1A A BD -的体积； （2）求异面直线1A B 与1B C 所成角的大小.ABCD 1A 1B 1C 1D已知函数()2cos sin f x x x x =⋅+-. （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()1,3,42f A a b ===.求ABC ∆的面积.19. （本题满分14分，本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分9分） 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能活得25万元1600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （单位：万元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20％.（即：设奖励方案函数模型为()y f x =时，则公司对函数模型的基本要求是：当[]25,1600x ∈时，①()f x 是增函数；②()75f x ≤恒成立；（3）()5xf x ≤恒成立.） （1） 判断函数()1030xf x =+是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；（2）已知函数()()51g x a =-≥符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a 的取值范围.第（3）小题满分7分） 已知椭圆()2222:10y x a b a bΓ+=>>，12,B B 分别是椭圆短轴的上下两个端点，1F 是椭圆的左焦点，P 是椭圆上异于点12,B B 的点，若112B F B ∆的边长为4的等边三角形. （1）写出椭圆的标准方程；（2）当直线1PB 的一个方向向量是()1,1时，求以1PB 为直径的圆的标准方程； （3）设点R 满足：1122,RB PB RB PB ⊥⊥,求证：12PB B ∆与12RB B ∆的面积之比为定值.21. （本题满分18分，本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分） 已知数列{}{},n n a b 均为各项都不相等的数列，n S 为{}n a 的前n 项和，()11n n n a b S n N *+=+∈.（1）若11,2n na b ==，求4a 的值； （2）若{}n a 是公比为()1q q ≠的等比数列，求证：数列11n b q ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭为等比数列；（3）若{}n a 的各项都不为零，{}n b 是公差为d 的等差数列，求证：23,,,,n a a a 成等差数列的充要条件是12d =.。
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上海市崇明县2018-2018学年第一学期期末考试高三数学试卷2018.1（考试时间120分钟，满分150分）注意：符号),(21a a a = 、αtan 分别与},{21a a a =、αtg 表示意义相同.{}*|,0N x x Z x =∈>,{}0,|≥∈=x Z x x N一. 填空题（本大题每题4分，满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果.92-x 的定义域为 ．2、方程6cos(36sin(ππ+=+x x 的解集为 ．3、=++++++++∞→)12131211(lim 2222n nn n n n ．4、设a 、b R ∈，集合{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+b a b a b a ,,0,,1，则=-a b ． 5、不等式)1()2()2(2--+x x x ＜0的解集是 ．6、设3=→a ，2=→b ，且向量→a 与→b 的夹角为060，→→→+=b a c ，→→→-=b k a d ，若→→⊥d c ，则=k ．7、如果直线2+=ax y 上的每一点关于直线x y =的对称点均在直线b x y -=3上，那么=ab ．8、已知数列{}n a ，对于任意p 、*N q ∈，有q p q p a a a +=+，若911=a ，则=2008a ．9、给出下列曲线： ①;522=+y x ②x y 52=; ③1422=+y x ; ④1422=-y x , 其中与直线 052=+-y x 有且只有一个公共点的曲线的序号是 ．（写出所有你认为正确的命题的序号）10、函数1)3(log -+=x y a ，)1,0(≠>a a 的图象恒过定点A ，若点A 在直线01=++ny mx 上，当0,>n m 时，nm 21+的最小值等于 ． 11、在直角坐标系xoy 中，⊙O 与直线43=-y x 相切，与x 轴相交于A 、B 两点，圆内的动点P 使PA ，PO ，PB 成等比数列，则→→⋅PB PA 的取值范围是 ．12、设集合{}6,5,4,3,2,1=M ，K S S S ,,,21 都是M 的含两个元素的子集，从中任选两个j i S S ,，{}{}{}k j i j i b a S b a S j j j i i i ,,3,2,1,),(,,,, ∈≠==，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧i i i i a b b a mi n ≠}{y x a b b a j j j j ,(mi n ,,mi n ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧表示两个数y x ,中的较小者）的概率等于 ．二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，把正确结论的代号写在题后的圆括号内得 4分，否则一律得零分.13、已知函数21x y --= )01(≤≤-x 的反函数是…………………………………………（ ）A ．)10(12≤≤-=x x yB ．)01(12≤≤--=x x yC ．)01(12≤≤---=x x yD ．)10(12≤≤--=x x y14、函数][0,(cos 3sin )(π-∈-=x x x x f ）的单调递增区间是……………………………（ ）A ．⎢⎣⎡⎥⎦⎤--ππ65,B ．⎢⎣⎡⎥⎦⎤--6,65ππC ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,3πD ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,6π15、如果椭圆19222=+k y x 与双曲线1322=-y k x 的焦点相同，则k 的取值范围为………（ ） A ．2B ．3>kC ．2=k 或4=kD ．20<<k16、定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期，若方程0)(=x f 在闭区间][T T ,-上的根的个数为n ，则n 可能是………………………………………（ ） A ．0B ．1C ．3D ．5三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17、（12分）已知复数z 满足i z z 31+=+，求iz-1的值。
2019届高三数学一模试题(带答案上海市崇明区)
2019届高三数学一模试题（带答案上海市崇明区）上海市崇明区2018届高三第一次模拟考试数学试卷2018.12 一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 计算： 2. 已知集合，，则 3. 若复数满足，其中为虚数单位，则 4. 的展开式中含项的系数为（用数字作答） 5. 角的终边经过点，且，则 6. 在平面直角坐标系中，已知抛物线上一点到焦点的距离为5，则点的横坐标是 7. 圆的圆心到直线的距离等于 8. 设一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥的体积等于 9. 若函数的反函数的图像经过点，则 10. 2018年上海春季高考有23所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么不同的录取方法有种 11. 设是定义在上的以2为周期的偶函数，在区间上单调递减，且满足，，则不等式组的解集为 12. 已知数列满足：① ；②对任意的，都有成立. 函数，满足：对于任意的实数，总有两个不同的根，则的通项公式是二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 若，则下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D. 14. “ ”是“关于的实系数方程有虚根”的（）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 15. 已知向量、、满足，且，则、、中最小的值是（） A. B. C. D. 不能确定的 16. 函数，，若存在，使得，则的最大值是（） A. 11 B. 13 C. 14 D. 18三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 如图，设长方体中，，直线与平面所成的角为 . （1）求三棱锥的体积；（2）求异面直线与所成角的大小.18. 已知函数 . （1）求函数的单调递增区间；（2）在锐角△ 中，角、、的对边分别为、、，若，，，求△ 的面积.19. 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元~1600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%.（即：设奖励方案函数模型为时，则公司对函数模型的基本要求是：当时，① 是增函数；② 恒成立；③ 恒成立.）（1）判断函数是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；（2）已知函数（）符合公司奖励方案函数模型要求，求实数的取值范围.20. 已知椭圆（），、分别是椭圆短轴的上下两个端点，是椭圆左焦点，是椭圆上异于点、的点，△ 是边长为4的等边三角形. （1）写出椭圆的标准方程；（2）当直线的一个方向向量是时，求以为直径的圆的标准方程；（3）设点满足：，，求证：△ 与△ 面积之比为定值.21. 已知数列、均为各项都不相等的数列，为的前项和，（）. （1）若，，求的值；（2）若是公比为（）的等比数列，求证：数列为等比数列；（3）若的各项都不为零，是公差为的等差数列，求证：、、、、成等差数列的充要条件是 .崇明区2018学年第一次高考模拟考试数学学科参考答案与评分标准一、填空题 1. ； 2. ； 3. ； 4. ； 5. ； 6. ； 7.2； 8. ； 9. ；10. ； 11. ； 12. . 二、选择题 13. ； 14. ； 15. ； 16.三、解答题 17. 解：（1）联结，因为，所以就是直线与平面所成的角，……………………………………2分所以，所以……………………………………4分所以……………………………………7分（2）联结，因为，所以所以就是异面直线与所成的角或其补角………………………3分在中，所以……………………………………6分所以异面直线与所成角的大小是……………………………………7分 18. 解：（1）……………………………………3分由，得：所以函数的单调递增区间是…………………………6分（2）因为，所以所以，……………………………………2分由，得：……………………………………5分因为是锐角三角形，所以……………………………………6分所以的面积是……………………………………8分19. 解：（1）因为，即函数不符合条件③ 所以函数不符合公司奖励方案函数模型的要求……………………………………5分（2）因为，所以函数满足条件①，……………………………………2分结合函数满足条件①，由函数满足条件②，得：，所以………………………………………………………………4分由函数满足条件③，得：对恒成立即对恒成立因为，当且仅当时等号成立……………………………………7分所以………………………………………………………………8分综上所述，实数的取值范围是……………………………………9分20. 解：（1）………………………………………4分（2）由题意，得：直线的方程为…………………………………1分由，得：…………………………………3分故所求圆的圆心为，半径为………………………………………4分所以所求圆的方程为：………………………………………5分（3）设直线的斜率分别为，则直线的方程为．由直线的方程为．将代入，得，因为是椭圆上异于点的点，所以．……………3分所以…………………………………4分由，所以直线的方程为．由，得．…………………………………6分所以．…………………………………7分21.解：（1）由，知............................4分（2）因为①，所以当时，②，①-②得，当时，③，所以， (3)分所以，………………………5分又因为（否则为常数数列与题意不符），所以为等比数列。
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2018年上海市崇明区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，5}，B={2，a}，若A∪B={1，2，3，5}，则a=．2．（4分）抛物线y2=4x的焦点坐标为．3．（4分）不等式＜0的解是．4．（4分）若复数z满足iz=1+i（i为虚数单位），则z=．5．（4分）在代数式（x﹣）7的展开式中，一次项的系数是．（用数字作答）6．（4分）若函数y=2sin（ωx﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=．7．（5分）若函数f（x）=x a的反函数的图象经过点（，），则a=．8．（5分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为27πcm3，则该几何体的侧面积为cm2．9．（5分）已知函数y=f（x）是奇函数，当x＜0 时，f（x）=2x﹣ax，且f（2）=2，则a=．10．（5分）若无穷等比数列{a n}的各项和为S n，首项a1=1，公比为a﹣，且S n=a，则a=．11．（5分）从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有种不同的选法．（用数字作答）12．（5分）在ABC中，BC边上的中垂线分别交BC，AC于点D，E．若•=6，||=2，则AC=．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）13．（5分）展开式为ad﹣bc的行列式是（）A．B．C．D．14．（5分）设a，b∈R，若a＞b，则（）A．＜B．lga＞lgb C．sin a＞sin b D．2a＞2b15．（5分）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）直线x=2与双曲线﹣y2=1的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线上任一点，若=a+b（a，b∈R，O为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≥1 B．|ab|≥1 C．|a+b|≥1 D．|a﹣b|≥2三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，A1C与底面ABCD所成的角为60°，（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1B与B1D1所成角的大小．18．（14分）已知f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．（1）求f（x）的最大值及该函数取得最大值时x的值；（2）在△ABC 中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若a=，b=，且f（）=，求边c的值．19．（14分）2016 年崇明区政府投资8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50%．记2016 年为第 1 年，f （n）为第 1 年至此后第n （n∈N*）年的累计利润（注：含第n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 f （n）为正值时，认为该项目赢利．（1）试求 f （n）的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．20．（16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：+y2=1 （a＞0，a≠1）的两个焦点分别是F1，F2，直线l：y=kx+m（k，m∈R）与椭圆交于A，B两点．（1）若M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，求a的值；（2）若k=1，且△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，求a与m满足的关系；（3）若a=2，且k OA•k OB=﹣，求证：△OAB的面积为定值．21．（18分）若存在常数k（k＞0），使得对定义域D内的任意x1，x2（x1≠x2），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，则称函数f（x）在其定义域D上是“k﹣利普希兹条件函数”．（1）若函数f（x）=，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；（2）判断函数f（x）=log2x 是否是“2﹣利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若y=f（x）（x∈R ）是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤1．2018年上海市崇明区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，5}，B={2，a}，若A∪B={1，2，3，5}，则a=3．【解答】解：∵集合A={1，2，5}，B={2，a}，A∪B={1，2，3，5}，∴a=3．故答案为：3．2．（4分）抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0）．【解答】解：∵抛物线y2=4x是焦点在x轴正半轴的标准方程，p=2∴焦点坐标为：（1，0）故答案为：（1，0）3．（4分）不等式＜0的解是（﹣1，0）．【解答】解：不等式＜0，即x（x+1）＜0，求得﹣1＜x＜0，故答案为：（﹣1，0）．4．（4分）若复数z满足iz=1+i（i为虚数单位），则z=1﹣i．【解答】解：由iz=1+i，得z==1﹣i故答案为：1﹣i．5．（4分）在代数式（x﹣）7的展开式中，一次项的系数是21．（用数字作答）【解答】解：（x﹣）7的展开式的通项为=，由7﹣3r=1，得r=2，∴一次项的系数是．故答案为：21．6．（4分）若函数y=2sin（ωx﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=2．【解答】解：根据正弦函数的图象与性质，知函数y=2sin（ωx﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是T==π，解得ω=2．故答案为：2．7．（5分）若函数f（x）=x a的反函数的图象经过点（，），则a=．【解答】解：若函数f（x）=x a的反函数的图象经过点（，），则：（，）满足f（x）=xα，所以：，解得：，故答案为：．8．（5分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为27πcm3，则该几何体的侧面积为18πcm2．【解答】解：将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体是圆柱体，设正方形的边长为acm，则圆柱体的体积为V=πa2•a=27π，解得a=3cm；∴该圆柱的侧面积为S=2π×3×3=18πcm2．故答案为：18π．9．（5分）已知函数y=f（x）是奇函数，当x＜0 时，f（x）=2x﹣ax，且f（2）=2，则a=﹣．【解答】解：∵函数y=f（x）是奇函数，当x＜0 时，f（x）=2x﹣ax，∴x＞0时，﹣f（x）=2﹣x﹣a（﹣x），∴f（x）=﹣2﹣x﹣ax，∵f（2）=2，∴f（2）=﹣2﹣2﹣2a=2，解得a=﹣．故答案为：﹣．10．（5分）若无穷等比数列{a n}的各项和为S n，首项a1=1，公比为a﹣，且S n=a，则a=2．【解答】解：无穷等比数列{a n}的各项和为S n，首项a1=1，公比为a﹣，且S n=a，可得=a，即有=a，即为2a2﹣5a+2=0，解得a=2或，由题意可得0＜|q|＜1，即有0＜|a﹣|＜1，检验a=2成立；a=不成立．故答案为：2．11．（5分）从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有780种不同的选法．（用数字作答）【解答】解：根据题意，要求服务队中至少有 1 名女生，则分3种情况讨论：①、选出志愿者服务队的4人中有1名女生，有C53C31=30种选法，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，此时有30×12=360种不同的选法，②、选出志愿者服务队的4人中有2名女生，有C52C32=30种选法，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，此时有30×12=360种不同的选法，③、选出志愿者服务队的4人中有3名女生，有C51C33=5种选法，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，此时有5×12=60种不同的选法，则一共有360+360+60=780；故答案为：780．12．（5分）在ABC中，BC边上的中垂线分别交BC，AC于点D，E．若•=6，||=2，则AC=4．【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示，设B（﹣a，0），C（a，0），E（0，b），∠ABC=α，由||=2，知A（﹣a+2cosα，2sinα），∴=（a﹣2cosα，b﹣2sinα），=（2a，0），∴•=2a（a﹣2cosα）+0=2a2﹣4acosα=6，∴a2﹣2acosα=3；又=（2a﹣2cosα，﹣2sinα），∴=（2a﹣2cosα）2+（﹣2sinα）2=4a2﹣8acosα+4=4（a2﹣2acosα）+4=4×3+4=16，∴||=4，即AC=4．故答案为：4．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）13．（5分）展开式为ad﹣bc的行列式是（）A．B．C．D．【解答】解：根据叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，由题意得，=ad﹣bc．故选B．14．（5分）设a，b∈R，若a＞b，则（）A．＜B．lga＞lgb C．sin a＞sin b D．2a＞2b【解答】解：由a＞b，利用指数函数的单调性可得：2a＞2b．再利用不等式的性质、对数函数的定义域与单调性、三角函数的单调性即可判断出A，B，C不正确．故选：D．15．（5分）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵S4+S6＞2S5，∴4a1+6d+6a1+15d＞2（5a1+10d），∴21d＞20d，∴d＞0，故“d＞0”是“S4+S6＞2S5”充分必要条件，故选：C16．（5分）直线x=2与双曲线﹣y2=1的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线上任一点，若=a+b（a，b∈R，O为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≥1 B．|ab|≥1 C．|a+b|≥1 D．|a﹣b|≥2【解答】解：双曲线﹣y2=1的渐近线为：y=±x．把x=2代入上述方程可得：y=±1．不妨取A（2，1），B（2，﹣1）．=a+b=（2a+2b，a﹣b）．代入双曲线方程可得：﹣（a﹣b）2=1，化为ab=．∴=ab，化为：|a+b|≥1．故选：C．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，A1C与底面ABCD所成的角为60°，（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1B与B1D1所成角的大小．【解答】解：（1）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，∴AA1⊥平面ABCD，AC==2，∴∠A1CA是A1C与底面ABCD所成的角，∵A1C与底面ABCD所成的角为60°，∴∠A1CA=60°，∴AA1=AC•tan60°=2•=2，=AB×BC=2×2=4，∵S正方形ABCD∴四棱锥A1﹣ABCD的体积：V===．（2）∵BD∥B1D1，∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成角（或所成角的补角）．∵BD=，A1D=A1B==2，∴cos∠A1BD===．∴∠A1BD=arccos．∴异面直线A1B与B1D1所成角是arccos．18．（14分）已知f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．（1）求f（x）的最大值及该函数取得最大值时x的值；（2）在△ABC 中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若a=，b=，且f（）=，求边c的值．【解答】解：f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）（1）当2x+=时，即x=（k∈Z），f（x）取得最大值为2；（2）由f（）=，即2sin（A+）=可得sin（A+）=∵0＜A＜π∴＜A＜∴A=或∴A=或当A=时，cosA==∵a=，b=，解得：c=4当A=时，cosA==0∵a=，b=，解得：c=2．19．（14分）2016 年崇明区政府投资8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50%．记2016 年为第 1 年，f （n）为第 1 年至此后第n （n∈N*）年的累计利润（注：含第n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 f （n）为正值时，认为该项目赢利．（1）试求 f （n）的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．【解答】解：（1）由题意知，第1年至此后第n（n∈N*）年的累计投入为8+2（n ﹣1）=2n+6（千万元），第1年至此后第n（n∈N*）年的累计净收入为+×+×+…+×=（千万元）．∴f（n）=﹣（2n+6）=﹣2n﹣7（千万元）．（2）方法一：∵f（n+1）﹣f（n）=[﹣2（n+1）﹣7]﹣[﹣2n﹣7]=[﹣4]，∴当n≤3时，f（n+1）﹣f（n）＜0，故当n≤4时，f（n）递减；当n≥4时，f（n+1）﹣f（n）＞0，故当n≥4时，f（n）递增．又f（1）=﹣＜0，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．∴该项目将从第8年开始并持续赢利．答：该项目将从2023年开始并持续赢利；方法二：设f（x）=﹣2x﹣7（x≥1），则f′（x）=，令f'（x）=0，得=≈=5，∴x≈4．从而当x∈[1，4）时，f'（x）＜0，f（x）递减；当x∈（4，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增．又f（1）=﹣＜0，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．∴该项目将从第8年开始并持续赢利．答：该项目将从2023年开始并持续赢利．20．（16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：+y2=1 （a＞0，a≠1）的两个焦点分别是F1，F2，直线l：y=kx+m（k，m∈R）与椭圆交于A，B两点．（1）若M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，求a的值；（2）若k=1，且△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，求a与m满足的关系；（3）若a=2，且k OA•k OB=﹣，求证：△OAB的面积为定值．【解答】解：（1）∵M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，∴△MF1F2为等腰直角三角形，∴OF1=OM，当a＞1时，=1，解得a=，当0＜a＜1时，=a，解得a=，（2）当k=1时，y=x+m，设A（x1，y1），（x2，y2），由，即（1+a2）x2+2a2mx+a2m2﹣a2=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2=，∵△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，∴•=0，∴x1x2+y1y2=0，∴+=0，∴a2m2﹣a2+m2﹣a2=0∴m2（a2+1）=2a2，（3）证明：当a=2时，x2+4y2=4，设A（x1，y1），（x2，y2），∵k OA•k OB=﹣，∴•=﹣，∴x1x2=﹣4y1y2，由，整理得，（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．∴x1+x2=，x1x2=，∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=++m2=，∴=﹣4×，∴2m2﹣4k2=1，∴|AB|=•=•=2•=∵O到直线y=kx+m的距离d==，=|AB|d==•==1∴S△OAB21．（18分）若存在常数k（k＞0），使得对定义域D内的任意x1，x2（x1≠x2），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，则称函数f（x）在其定义域D上是“k﹣利普希兹条件函数”．（1）若函数f（x）=，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；（2）判断函数f（x）=log2x 是否是“2﹣利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若y=f（x）（x∈R ）是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤1．【解答】解：（1）若函数f（x）=，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，则对于定义域[1，4]上任意两个x1，x2（x1≠x2），均有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，不妨设x1＞x2，则k≥=恒成立．∵1≤x2＜x1≤4，∴＜＜，∴k的最小值为．（2）f（x）=log2x的定义域为（0，+∞），令x1=，x2=，则f（）﹣f（）=log2﹣log2=﹣1﹣（﹣2）=1，而2|x1﹣x2|=，∴f（x1）﹣f（x2）＞2|x1﹣x2|，∴函数f（x）=log2x 不是“2﹣利普希兹条件函数”．证明：（3）设f（x）的最大值为M，最小值为m，在一个周期[0，2]内f（a）=M，f（b）=m，则|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m=f（a）﹣f（b）≤|a﹣b|．若|a﹣b|≤1，显然有|f（x1）﹣f（x2）|≤|a﹣b|≤1．若|a﹣b|＞1，不妨设a＞b，则0＜b+2﹣a＜1，∴|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m=f（a）﹣f（b+2）≤|a﹣b﹣2|＜1．综上，|f（x1）﹣f（x2）|≤1．。