两角和与差的三角函数练习题及答案

两角和与差的三角函数练习题及答案

一、选择题

1． sin 45°·cos 15°＋cos 225°·sin 15°的值为

( C )

A ．－

32

B ．－12

2．已知sin(45°＋α)＝5

5

，则sin 2α等于 ( B )

A ．－4

5

B ．－35

3．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α的值是 ( A )

B ．－2＋3

3

4．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a⊥b ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3等于 ( B ) A ．－

3

4

B ．－14

5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2π3＋2α的值是 ( A )

A ．－7

9

B ．－13

6．在△ABC 中，角C ＝120°，tan A ＋tan B ＝2

33，则tan A tan B 的值为( B )

二、填空题

7．若sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝

8． 3－sin 70°2－cos 2

10°＝________. 2 9．已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝1213，则cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫α＋π4＝

________. －56

65

三、解答题

(1)2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＋6cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π4－x ； (2)2cos 2

α－1

2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭

⎪

⎫π

4＋α.

解 (1)原式＝22⎣⎢⎡⎦⎥⎤1

2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4

－x ＋32·co s ⎝

⎛⎭⎪⎫π4－x ＝22⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin π6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＋cos π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－π4＋x ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.

(2)原式＝cos 2α1－tan α1＋tan α⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α ＝cos 2α

cos 2α1＋sin 2α

(1＋sin 2α)＝1.

11．已知函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭

⎪⎫π

4＋x －3cos 2x .

(1)求f (x )的周期和单调递增区间；

(2)若关于x 的方程f (x )－m ＝2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上有解，求实数m 的取值范围．

解 (1)f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π

4＋x －3cos 2x ＝1－cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2＋2x －3cos 2x

＝1＋sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，

周期T ＝π；令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π

2，

解得单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．

(2)x ∈⎣⎢

⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤12，1，

所以f (x )的值域为[2,3]．

而f (x )＝m ＋2，所以m ＋2∈[2,3]，即m ∈[0,1]．

12．已知向量a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈⎝ ⎛⎭

⎪

⎫3π2，2π，

且a⊥b .

(1)求tan α的值； (2)求cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫α2＋π3的值．

解 (1)∵a⊥b ，∴a·b ＝0. 而a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos

α)，

故a·b ＝6sin 2

α＋5sin αcos α－4cos 2

α＝0. 由于cos α≠0，∴6tan 2

α＋5tan

解之，得tan α＝－43，或tan α＝12. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，tan α<0， 故tan α＝12(舍去)． ∴tan α＝－4

3.

(2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，∴α2∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫3π4，π. 由tan α＝－43，求得tan α2＝－12或tan α2＝2(舍去)．

∴sin α2＝55，cos α2＝－25

5

，

cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫α2＋π3＝cos α2cos π3－sin α2sin π3 ＝－255×12－55×32＝－

25＋1510

.