传热学(第四版)第二章：稳态热传导

t t t t ( ) ( ) ( ) Φ x x y y z z
1 单层平壁、第一类边界条件的导热
a 几何条件：单层平板； b 物理条件：、c、 已知；无内热源 c 时间条件： 稳态导热 : t 0 d 边界条件：第一类
2、微元体中内热源的发热量 d 时间内微元体中内热源的发热量：
[2] dxdydz
3、微元体热力学能的增量 内微元体中内能的增量：
t [3] c dxdydz
导热微分方程式、导热过程的能量方程 由 [1]+ [2]= [3]：
t t t t c ( ) ( ) ( ) x x y y z z
§2-2 导热问题的数学描述
根据傅里叶定律： - grad t q [ W m2 ]
要想确定热流密度，应知道物体内的温度场； 因此，确定导热体内的温度分布是导热理论的首要任务
根据热力学第一定律，对于任一微元体：
建立关于t的方程，求解温度分布
假设：(1) 所研究的物体是各向同性的连续介质； (2) 热导率、比热容和密度均为已知； (3) 物体内具有内热源；内热源均匀分布。
1、导入与导出微元体的净热量 沿 x 轴方向、经 x 表面导入的热量：
x qx dydz
沿 x 轴方向、经 x+dx 表面导出的热量：
() x dx qx dx dydz
qx dx qx qx dx x
qx dxdydz x
沿 x 轴方向导入与导出微元体净热量：
20
20
Temperature (C)
15
15
10
10
5
5
0
0
5
10
15
20 25 30 Distance (cm)
35
40
45
50
0
0
5
10
15
20 25 30 Distance (cm)
35
40
45
50
思考：我们已经掌握了哪些热力学参数？ 密度 比热容 导热系数 粘度 分子扩散系数 热扩散系数 。。。
一、几个基本概念
温度场：不同时刻物体内各点温度分布的总称； 温度场是时间和空间的函数，即：t = f ( x, y, z,
)
等温面与等温线
某个瞬时，温度场中相同温度各点连成的面称为等温面； 对于二维温度场，为等温线。
例：金属部件内的等温线
温度不同的等温面或等温线彼 此不能相交； 等温面上没有温差，不会有热 传递； 不同的等温面之间，有温差， 有导热。
t t c1 2 1 c2 t1
一维直角坐标系
c
t t V x x
热扩散系数物理意义 热扩散率 a 反映了导热过程中材料的导热能力（ ） 与沿途物质储热能力（ c ）之间的关系 一旦获得热量，该热量能在整个物体中很快扩散
a 值大，即 值大或 c 值小，说明物体的某一部分
已知任一瞬间导热体边界上温度
t
s
tw
（2）第二类边界条件
已知物体边界上热流密度的分 布及变化规律
（3）第三类边界条件
已知边界面周围流体的温度和表 面传热系数
§2-3 典型一维稳态导热问题的分析解
本节将针对一维、稳态、常物性、无内热源情况，考察平
板、圆柱、球体（自学）内的导热。
直角坐标系： c
t ， A x
引入比例常数可得：
t q x , x
t q y , y
t q z x
或 q - grad t
[ W m2 ]
: 热导率（导热系数） W (m K )
注：负号表示热量传递的方向和温度梯度的方向相反； 一般情况下，只有在导热定义式中才体现负号。 在工程应用中，不需要带入负号计算，因为热量传递 朝着温度降低的方向，这一点非常明确。
qx q y qz [1] ( ) dxdydz x y z
t t t 根据傅里叶定律： qx x ; q y y ; qz z
t t t [1] ( ) ( ) ( ) dxdydz x x y y z z
HT1D_SOV1: Bar Temperature Profile at Various Times 25 t= 0s t= 25s t=100s t=250s t=500s
Temperature (C)
HT1D_SOV1: Bar Temperature Profile at Various Times 25 t= 0s t= 25s t=100s t=250s t=500s
金属 12~418 W (m K)
纯金属的导热：依靠自由电子的迁移和晶格的振动 主要依靠前者 金属导热与导电机理一致；良导电体为良导热体：
银 铜 金 铝
T
— 晶格振动的加强干扰自由电子运动
10K:Cu 12000 W (m K) 15K : Cu 7000 W (m K)
在同样加热条件下，物体的热扩散率越大，物体内部各处 的温度差别越小。
a木材 1.5 107 m2 s ，a铝 9.45 105 m 2 s
a木材 a铝 1 600
a反应导热过程动态特性，研究不稳态导热重要物理量
热扩散系数物理意义
a铝 9.45 105 m 2 s ，a木材 1.5 107 m 2 s
若物性参数为常数且无内热源：
t 2t 2t 2t a ( 2 2 2 ); x y z or t a 2t
若物性参数为常数、无内热源稳态导热：
2t 2t 2t 2t 2 0 2 2 x y z
导热微分方程式的一维形式
了解
球坐标系 （r, ，）
t r 1 t q r 1 t q r sin qr
x r sin cos y sin ; z cos ; r sin r

t 1 t 1 t q gradt t i j k r r r sin t 1 1 t 1 t 2 t c 2 ( r ) 2 ( sin ) 2 2 ( ) qv r r r r sin r sin
(2) 非金属的热导率：
非金属的导热：依靠晶格的振动传递热量；比较小
建筑隔热保温材料： 0.025~3 W (m K )
T
大多数建筑材料和绝热材料具有多孔或纤维结构 多孔材料的热导率与密度和湿度有关
、湿度
保温材料：国家标准规定，温度低于350度时热导率小于 0.12W/(m· 的材料（绝热材料） K)
() x () x dx
沿 y 轴方向导入与导出微元体净热量：
( ) y ( ) y dy q y y dxdydz
沿 z 轴方向导入与导出微元体净热量：
() z () z dz qz dxdydz z
[导入与导出净热量]:
[1] [Qx Qx dx ] [Qy Qy dy ] [Qz Qz dz ]
热流密度
单位时间内，通过单位面积的热流量称为热流 密度，用q表示，单位J/(m2s) 或 W/m2。
二、导热基本定律
1822年，法国数学家傅里叶（Fourier）在实验研究基础上（而不 是理论推导），发现导热基本规律 —— 傅里叶定律; 大量实践经验表明，单位时间内通过单位横截面所传导的热量，正 比于当地垂直于截面方向上的温度变化率，即
x r cos ; y r sin ; z z
t 1 t t q gradt t i j k r z r
c
t 1 t 1 t t ( r ) 2 ( ) ( ) qv r r r r z z
cp (k ) D a
kg/m3 J/(kg.K) W/(m.K) kg/(m.s) m2/s m2/s 。。。
导热过程的定解条件
对特定的导热过程：给定定解条件，获得唯一解。
完整数学描述：导热微分方程 + 定解条件（初始条件、
边界条件）
边界条件 反映过程与周围环境相互作用的条件
（Boundary conditions） 边界条件一般可分为三类： 第一类、第二类、第三类边界条件 （1）第一类边界条件
o

x
根据上面的条件可得：
t t c ( ) Φ x x
控制 方程
d 2t dx
2
0
边界 条件
边界条件： 一次积分得：
x 0, t t1 x , t t2
dt c1 dx 二次积分得： t c1 x c2
带入边界条件得
导热微分方程式的不适应范围: 非傅里叶导热过程 极短时间(如10-12s)产生极大的热流密度的热量传递现象， 如激光加工过程。 极低温度(接近于0 K)时的导热问题。 过程发生的尺度极小。
了解
圆柱坐标系 （r, , z）
t r 1 t q r t q z z qr
三、热导率

q grad t
— 物质的重要热物性参数
x = y = z 各向同性
热导率的数值表征物质导热能力大小。实验测定
影响热率的因素：物质状态、材料成分、温度、湿度、 压力、密度等
金属 非金属; 固相 液相 气相
不同物质的导热系数概图
不同物质热导率的差异：构造差别、导热机理不同 1、气体的热导率
温度梯度
温度沿等温面（或等温线）法线方向的变化率与法向矢量乘 积，记为 grad t, 或 ▽ t。