数学中的类比法浅析

数学中的类比法浅析

孚梅

[论文摘要] 类比法是在两个或两类事物间进行对比，找出一些相同或相似点后,猜测在其他方面也可能存在相同或相似之处，并做出某种判断的推理方法。随着课程改革的深入,培养学生的综合解题能力越来越重要,数学学习更应重视数学思想方法的渗透和培养。类比思想是一种重要的数学思想方法。类比可以使学生经历探究的学习过程,改变学生的学习方式;类比能培养学生直觉思维能力,是一种很重要的思维方法;类比可以增强学生的数学应用意识,提高解决问题的能力。在教学中，对学生进行类比法的训练，是培养学生创造性思维的一种方法。不过，对类比法得到的结论，要提醒学生学会用实例进行检验，以提高学生判断问题的能力。

[关键词] 推理解题法类比法思维创造性检验

类比法也叫“比较类推法”，作为一种推理的方法,指的是根据两种事物在某些特征上的“相似”,作出它们在其他特征上也可能“相似”的判断。类比法在初中数学围应用极其广泛, 是发现概念、方法、公式和定理的重要手段。类比法是重要的教学方法,数学中的许多定理、公式是通过类比得到的,在解题中寻找问题的线索,往往也借助于类比方法,从而达到启发思路的目的。

下面就数学教学中的类比法谈点粗浅的看法。

一、类比分类

数学中的类比，主要有以下几种：

（一）结构形式的类比

结构关系相同或相似的两类事物，可以并列或平行的类比。例如：加法运算律与乘法运算律，向量与复数，圆与椭圆等，因它们的性质结构相近，可以从结构方面类比。类比时，要抓住两者平行的结构特点，并要注意两者的不同对类比

（二）概念类比

理解本质辨异同。概念类比, 数学概念是数学思维的细胞, 是形成数学知识体系的要素, 是基础知识的核心容。在初中数学教学中,数学概念的教学是重要的一环,对于概念本质的理解是学生学习数学的一个难点,如何有效的进行突破呢?进行概念的类比教学不失为一种有效的途径与方法。在初中数学学习中有大量的概念,如果孤立地去理解与记忆这些概念,会成为学生学习的一个负担,但从概念的定义形式上看,有一部分概念的定义形式是相似的,通过这些概念之间的类比,进一步理解概念的本质.例如: 三角形,四边形,多边形概念分别为: 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形。由在同一平面且不在同一条直线上的四条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做四边形. 由在同一平面且不在同一直线上的多条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做多边形. 从概念的定义形式上来看,是对一类图形条件的限制,形式上是一致的,不同之处,一是三角形定义中没有"在同一平面",二是组成线段条数,其他都是相一致的.通

过这样的类比,学生能从一个新的角度与高度对这三个概念进行认识与理解, 进一步理解概念的本质。

在回顾与拓展中设置了一个学生"跳一跳"能解决的问题:4 a 的含义,a 的取值, 读法分别是什么呢? 生1:四次方根,生2:算术四次方根…… 学生对 4 a 的读法,写法,含义,a 的取值都能进行明确的回答与分析,这样的知识拓展,显然是教师采用概念形成类比的结果,开启了学生思维的大门,找到了学习新知的有效方法与途径. 数学概念是数学知识的基础.学生对数学概念的形成过程,同化过程,就决定了对数学概念掌握的程度.只有理解数学概念,剖析概念,抓住概念的本质,才能举一反三,触类旁通。

在几何教学中，在讲解相似三角形判定定理可类比全等三角形得到，全等形与相似形的关系：全等三角形是相似三角形，当相似比值K＝l时的特例，全等与相似条件的比较：

(1)两角相等——两三角形相似

两角相等，夹边相等——两三角形全等；

(2)两边成比例、夹角相等——两三角形相似

两边相等，夹角相等——两三角形全等；

(3)三边对应成比例——两三角形相似

三边对应相等——两三角形全等。

此外，在多项式除法与多位数除法，因式分解与质因数分解：开立方与开平方，中心对称与轴对称；分比定理与合并定理；扇形面积公式与三角形面积公式等等，都可以通过类比和对比进行教学，这种数学方法的教学，学生在学习过程中能较轻松地接受新知识，在实践中也证明，这种类比和对比的数学方法，学生

掌握的知识扎实，理解也较好。当然，类比和对比只能用来帮助我们建立猜想，作为研究问题的线索。

（三）方法类比

在教学《中心对称和中心对称图形》时,可以将它和《轴对称和轴对称图形》放在一起进行类比教学。为了弄清“中心对称与中心对称图形的区别和联系”也可以先提问题“轴对称与轴对称图形的区别和联系”让学生在横向上有一个类比。甚至在教学“中心对称作图”时也可类比“轴对称作图”,只要将“垂直、延长、相等”改成“连接、延长、相等”。这样,通过对两个类比对象各个方面的比较,学生就很容易接受新知识,真正是“温故而知新”,起到了一箭双雕的效果。

再例如:初一数学合并同类项的教学，计算:1+2=3；-1+(-2)=-3；1+(-2)=-1；a+2a=3a；-a+(-2a)=-3a；a+(-2a)=-a；a2b+2a2b=3a2b；-a2b+(-2a2b)=-3a2b ；a2b+(-2a2b)=-a2b这样可以通过简单的计算方法类比出合并同类项的方法(只把同类项的系数相加,字母部分不变)。

（四）升、降维类比

将二维平面中的对象升级到三维空间中的对象，这种类比方法是升维类比。从平面到立体是典型的升维类比,立体几何中不少定理结论可以溯源于平面几何的某些定理结论。将三维空间的对象降到二维（或一维）空间中的对象，则是降维类比。

（六）特殊与一般的类比

所谓类比推理,是指通过两个(或两类)对象的一些相同(或相似)属性的比较,从而推出它们的某些其他属性也相同(或相似)的一种逻辑方法。

类比对象类比属性

甲ABCD

乙ABC

所以,乙对象可能具有属性D。

这是从特殊到特殊的一种推理形式,以两个对象之间的类似为基础的,但所推出的结论未必可靠,仅是一种“似真”的结果,带有猜测的性质。

例如学生在学习不等式的加减移项法则时,应用等式的加减移项法则作为类比就比较容易理解这些问题。但这种类比却又容易造成以后乘除移项的失误,有些学生根据“同向不等式可以相加”、“正数的同向不等式可以相乘”,根据类比推理得出“同向不等式可以相减”、“正数的同向不等式可以相除”这样的错误结论来。

尽管类比的结果不一定正确,还必须经过严格的证明,但是通过类比联想可以发现新的数学知识,可以找到解决问题的方法和途径,可以培养学生的发散思维,创造性思维及合情推理能力。所以,类比推理是一种重要的数学发现法,是提出假设进行猜想的基础。

二、类比的运用

类比是一种从个别到个别，或从一般到一般的推理，运用类比法的关键是找合适的类比对象，并确定它们之间的相似属性。相似或相同的属性越多，运用类比法就越可靠。在数学教学过程中，经常在数与形之间，平面与立体之间，低次与高次之间，相等与不相等之间进行种种类比，将复杂问题简单化，并从简单问题的解决中得到解决复杂问题的方法。