高等代数下期模拟题四

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湖北省2024届高三下学期四月模拟考试数学试题含答案

2024届高中毕业生四月模拟考试数学试卷（答案在最后）本试题卷共4页，19小题，全卷满分150分。

考试用时120分钟。

祝考试顺利注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设()1,2a =- ，()3,4b =- ，()3,2c = ，则()2a b c +⋅= （）A.()15,12- B.0C.3- D.11-2.已知集合{}12A y y x x ==-++∣，B x y ⎧⎫⎪==⎨⎪⎩，则A B = （）A.)+∞B.⎡⎣C.[)3,+∞D.(⎤⎦3.下面四个数中，最大的是（）A.ln3B.()ln ln3 C.1ln3D.()2ln34.数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，若n m n m S S S ++=，（m ，n +∈N ）则9a =（）A.9B.1C.8D.455.复数2i12im z -=+（m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.函数()12e e ln xxf x x =--的图象大致为（）A. B. C.D.7.能被3整除，且各位数字不重复的三位数的个数为（）A.228B.210C.240D.2388.抛物线2:2x y Γ=上有四点A ，B ，C ，D ，直线AC ，BD 交于点P ，且PC PA λ= ，()01PD PB λλ=<<.过A ，B 分别作Γ的切线交于点Q ，若23ABP ABQS S =△△，则λ=（）A.2B.23C.3D.13二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.平行六面体中，各个表面的直角个数之和可能为（）A.0B.4C.8D.1610.已知函数()()0,,22f x x t t ππωϕωϕ⎛⎫=++>-<<∈ ⎪⎝⎭Z 有最小正零点34，()01f =，若()f x 在94,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，则（）A.ωπ= B.53ωπ=C.()91f =D.()91f =-11.如图，三棱台111ABC A B C -的底面ABC 为锐角三角形，点D ，H ，E 分别为棱1AA ，BC ，11C A 的中点，且1122BC B C ==，4AC AB +=；侧面11BCC B 为垂直于底面的等腰梯形，若该三棱台的体积最大值为6，则下列说法可能但不一定正确的是（）A.该三棱台的体积最小值为74B.112DH =C.111128E ADH ABC A B C V --=D.,44EH ⎛∈⎝⎭三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.写出函数()ln 2ex x xf x x =--的一条斜率为正的切线方程：______.13.两个连续随机变量X ，Y 满足23X Y +=，且()23,X N σ~，若()100.14P X +≤=，则()20P Y +>=______.14.双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的左右焦点分别为1F ，2F ，以实轴为直径作圆O ，过圆O 上一点E 作圆O 的切线交双曲线的渐近线于A ，B 两点（B 在第一象限），若2BF c =，1AF 与一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤.15.（13分）数列{}n a 中，11a =，29a =，且2128n n n a a a +++=+，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足2n n b a =，10n n b b +<，求n S .16.（15分）已知椭圆2212:1x C y a +=和()2222:10x C y a b b+=>>的离心率相同，设1C 的右顶点为1A ，2C 的左顶点为2A ，()0,1B ，（1）证明：12BA BA ⊥；（2）设直线1BA 与2C 的另一个交点为P ，直线2BA 与1C 的另一个交点为Q ，连PQ ，求PQ 的最大值.参考公式：()()3322m n m n m mn n+=+-+17.（15分）空间中有一个平面α和两条直线m ，n ，其中m ，n 与α的交点分别为A ，B ，1AB =，设直线m 与n 之间的夹角为3π，图1图2（1）如图1，若直线m ，n 交于点C ，求点C 到平面α距离的最大值；（2）如图2，若直线m ，n 互为异面直线，直线m 上一点P 和直线n 上一点Q 满足PQ α∥，PQ n ⊥且PQ m ⊥，（i ）证明：直线m ，n 与平面α的夹角之和为定值；（ii ）设()01PQ d d =<<，求点P 到平面α距离的最大值关于d 的函数()f d .18.（17分）已知函数()()2ln 1f x ax x x =-++，a ∈R ，（1）若对定义域内任意非零实数1x ，2x ，均有()()12120f x f x x x >，求a ；（2）记1112n t n =++⋅⋅⋅+，证明：()5ln 16n n t n t -<+<.19.（17分）欧拉函数在密码学中有重要的应用.设n 为正整数，集合{}1,2,,1n X n =⋅⋅⋅-，欧拉函数()n ϕ的值等于集合n X 中与n 互质的正整数的个数；记(),M x y 表示x 除以y 的余数（x 和y 均为正整数），（1）求()6ϕ和()15ϕ；（2）现有三个素数p ，q ，()e p q e <<，n pq =，存在正整数d 满足()(),1M de n ϕ=；已知对素数a 和a x X ∈，均有()1,1a M xa -=，证明：若n x X ∈，则(),,dc x M M x n n ⎛⎫⎡⎤= ⎪⎣⎦⎝⎭；（3）设n 为两个未知素数的乘积，1e ，2e 为另两个更大的已知素数，且12231e e =+；又()11,ec M x n =，()22,e c M x n =，n x X ∈，试用1c ，2c 和n 求出x 的值.2024届高中毕业生四月模拟测试数学参考答案与评分标准选择题：题号1234567891011答案CBDBAAADACDBCBD填空题：12.2221ln2e ex y -=+--（合理即可）13.0.8614.2解答题：15.（13分）解：（1）因为2128n n n a a a +++=+，所以2118n n n n a a a a +++-=-+，所以数列{}1n n a a +-是公差为8的等差数列，其首项为218a a -=，于是18n n a a n +-=，则18n n a a n +=+，则()()()12818182n n n a a n a n n --=+-=+-+-()218121441a n n n =⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅+-=-+.……5分（2）由（1）问知，()221n a n =-，则()21n b n =±-，又10n n b b +<，则120n n b b ++<，两式相乘得2120n n n b b b ++>，即20n n b b +>，因此n b 与2n b +同号，因为120b b <，所以当11b =时，23b =-，此时21,12,n n n b n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，当n 为奇数时，()()()123421122n n n n n n S b b b b b b b b n ---=++++⋅⋅⋅+++=-⨯=，n 为偶数时，()()()1234122n n n nS b b b b b b n -=++++⋅⋅⋅++=-⨯=-：当11b =-时，23b =，此时12,21,n n n b n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，当n 为奇数时，()()()123421122n n n n n n S b b b b b b b b n ---=++++⋅⋅⋅+++=+⨯=-，n 为偶数时，()()()1234122n n n nS b b b b b b n -=++++⋅⋅⋅++=⨯=；综上，在11b =时，()11n n S n -=-⋅；11b =-时，()1nn S n =-⋅.……13分16.（15分）（1）证明：当1a >时，1C 的离心率1e =，1a <时，1C 的离心率1e =；因为a b ≠==，得221a b =，又0a b >>，所以1ab =，且10a b >>>；由题意知()1,0A a ，()2,0A b -，即21,0A a ⎛⎫-⎪⎝⎭，则2:1A B l y ax =+，1:1A B x l y a =-+，它们的斜率之积为11a a ⎛⎫⎪⎝⎭-=-，因此12BA BA ⊥；……4分（2）解：由（1）问知，2222:1C a x y +=，联立1A B I 与2C 的方程22211x y aa x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩，将y 消去得：222120xa x a a ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得10x =，2421a x a =+，又()0,1B 在曲线2C 上，则421P ax a =+，44111P P x a y a a -=-+=+，联立2A B l 与1C 的方程22211y ax x y a=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，将y 消去得：222120a x ax a ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得10x =，32421a x a =-+，又()0,1B 在曲线1C 上，则3421Q a x a =-+，44111Q Q a y ax a -=+=+，……9分因此PQ 的中点34,01a a C a ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，连BC ，因为12BA BA ⊥，即BP BQ ⊥，所以2PQ BC ==()()3411a af a a a -=>+，当()f a 最大时，PQ 也最大；可知()()()()()()()()()()24334262422224443114331141111a a a a aaa a aa a f a a a a-+--+-++-+-===++'+，令()0f a '>得42410a a -+->，解得222a <<+，又1a >，则(a ∈，令()0f a '<得)a ∈+∞，因此()f a在a =且最大值为14f=，……14分因此PQ 最大值为max 322PQ ==.……15分17.（15分）（1）解：设点C 到平面α的距离为h ，作CH AB ⊥于点H ，可知h CH ≤，设CA b =，CB a =，在ABC △中，由余弦定理可知：2222cos 1a b ab ACB AB +-∠==，由于直线m 与n 之间的夹角为3π，且它们交于点C ，则3ACB π∠=，从而221a b ab +-=，又22a b ab ab +-≥，则1ab ≤（a b =时取等）；因为11sin 22ABC S ab ACB AB CH =∠=⋅△，所以22CH ab =≤，所以点C 到平面α的距离32h ≤，其最值为32；……5分（2）（i ）证：如图，过点P 作直线l n ∥，由题知直线l 与平面α必相交于一点，设其为点D ，连接DA ，DB ，则P ，Q ，D ，B 共面，又PQ α∥且DB α⊂，于是PQ DB ∥，又l n ∥，则四边形PQBD 为平行四边形，则DB PQ d ==，因为PQ n ⊥且PQ m ⊥，所以BD n ⊥且BD m ⊥，所以BD l ⊥，又l m P = ，所以BD ⊥平面PAD ，作PH AD ⊥于H ，则PH BD ⊥，又AD BD D = ，则PH α⊥，设PH h =，则P 到平面α的距离也为h ，且直线m ，n 与平面α的夹角分别为PAH ∠和PDH ∠；由于直线m 与n 之间的夹角为3π，则直线m 与l 之间的夹角也为3π，则3APD π∠=，于是23PAH PDH APD ππ∠+∠=-∠=，即直线m ，n 与平面α的夹角之和为定值23π；……11分（2）（ii ）解：因为BD ⊥平面PAD ，所以BD AD ⊥，ABD △中，22221AD AB BD d =-=-，则AD =，又3APD π∠=，由（1）问同法算得332PH ≤=，即点P 到平面α距离h 的最大值为()()012f d d =<<，……15分18.（17分）（1）解：()f x 的定义域为()1,-+∞，且()00f =；()112122111x f x ax ax x a x x x ⎛⎫'=-+=-=- ⎪+++⎝⎭，因此() 00f '=；……1分i.0a ≤时，1201a x -<+，则此时令()0f x '>有()1,0x ∈-，令()0f x '<有()0,x ∈+∞，则()f x 在()1,0-上单调递增，()0,+∞上单调递减，又()00f =，于是()0f x ≤，此时令120x x <，有()()12120f x f x x x <，不符合题意；……3分ii.0a >时，()f x '有零点0和0112x a=-，若00x <，即12a >，此时令()0f x '<有()0,0x x ∈，()f x 在()0,0x 上单调递减，又()00f =，则()00f x >，令10x >，20x x =，有()()12120f x f x x x <，不符合题意；……5分若00x >，即102a <<，此时令()0f x '<有()00,x x ∈，()f x 在()00,x 上单调递减，又()00f =，则()00f x <，令12010,x x x -<<=，有()()12120f x f x x x <，不符合题意；……7分若00x =，即12a =，此时()201x f x x +'=>，()f x 在()1,-+∞上单调递增，又()00f =，则0x >时()0f x >，0x <时()0f x <；则0x ≠时()0f x x >，也即对120x x ≠，()()12120f x f x x x >，综上，12a =.……9分（2）证：由（1）问的结论可知，0a =时，()()ln 10f x x x =-++≤；且12a =时0x >，()()21ln 102f x x x x =-++>；……11分则0x >时，()21ln 12x x x x -<+<，令1x n =，有21111ln 12n n n n⎛⎫-<+< ⎪⎝⎭，即()2111ln 1ln 2n n n n n-<+-<，于是()()2111ln ln 11121n n n n n -<--<---……11ln212-<<将上述n 个式子相加，()221111ln 122n n t n t n ⎛⎫-++⋅⋅⋅+<+< ⎪⎝⎭；……14分欲证()5ln 16n n t n t -<+<，只需证2251111622n n t t n ⎛⎫-<-++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭，只需证22115123n ++⋅⋅⋅+<；因为2221441124412121n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪--+⎝⎭，所以22111111115251122355721213213n n n n ⎛⎫++⋅⋅⋅+<+-+-+⋅⋅⋅+=- -++⎝⎭，得证：于是得证()5ln 16n n t n t -<+<.……17分19.（17分）（1）解：6X 中，与6互质的数有1和5，则()62ϕ=；15X 中，与15互质的数有1、2、4、7、8、11、13和14，则()15ϕ=8；……2分（2）证明：因为n pq =，p 和q 为素数，则对n x X ∈，仅当x p +∈N 或xq+∈N 时，x 和n 不互质，又x n <，则x p =，2p ，…()1q p -，或x q =，2q ，…()1p q -时，x 与n 不互质，则()()()()()11111n n p q p q ϕ=-----=--，……4分设(),M x p s =，(),M x q t =，可知s ，t 不全为0，下证0st ≠时，()(),1n M x n ϕ=；由题知，()()11,,1p q M s p M t q --==，又()()()()1121122111100C C ,p p p p p p p p p p xkp s kp kp s kps s N p s k N ----------+=+=++⋅⋅⋅++=+∈N ，所以()()11,,1p p M xp M t p --==，同理有()1,1q M x q -=；于是记()11q x kq k -+=+∈N ，()()()11111p n x kq N q N ϕ-+=+=+∈N ，即()(),1n M xq ϕ=，同理()(),1n M xp ϕ=，记()21n xN p ϕ=+，于是2111N p N q +=+，则21q N N p =⋅，因为q p +∉N ，所以1N p +∈N ，所以()1111n N N x pq n p pϕ=⋅+=⋅+，即()(),1n M xn ϕ=；……8分i.0st ≠时，记(),cM x n c =，则()()()()1,,,k n ddcM c n M x n M xn ϕ+==，记10N k p=，又()()()(),,,1kk n n M x n M M x n n ϕρ⎛⎫⎡⎤== ⎪⎣⎦⎝⎭，而x n <，则()()1,k n M x n x ϕ+=，即(),dM c n x =，即(),,d e M M x n n x ⎛⎫⎡⎤= ⎪⎣⎦⎝⎭；ii.若0st =，不妨设0s =，于是()1q x k p k X =∈，所以()()()1,,,ddcdc dcM c n M x n M k p n ==，又()11,dcM k n k =，()1,1q M p q -=，所以()()()()()()()1111,,,,,1,k p k n d dcdeq M c n M p k n pk M pq xM M p q q xM q x ϕ--⎛⎫⎡⎤===== ⎪⎣⎦⎝⎭；综上，(),,dcM M x n n x ⎛⎫⎡⎤= ⎪⎣⎦⎝⎭，得证：……11分（3）因为12231e e =+，所以12231e e xx +=，则()()12231,,e e M x n M x n +=，则()()2312,,M c n M xc n =，假设存在0a ，1a +∈N ，使得30211a c a n ⋅=+；记312n c =，0n n =，令()11,k k k n M n n +-=，那么k n +∈N ，且1k k n n +>，于是0k +∃∈N ，使01k n =，则010k n +=，从而数列{}k n 有且仅有01k +项，考虑使()()1101,kk k k k a n a n k k k +++-=-∈≤N 成立，则对于相邻项有()()1111111kk k k kk k k k k a n a n a n a n ++---⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩，将两式相加并整理得：1111k k k k k kn n a a a n -+-+-=⋅+，令0k k =，得()00111k k a -+=-，又由于2n ，3n ，…，0k n 及0k 均由0n n =和312n c =确定，则数列{}k a 的各项也可根据n 和32c 确定，由上知()302,1M a c n =，()()2312,,M c n M xc n =，则()()()()()()233010202,,,,,1,M a c n M xa c n M M x n M a c n n M x n x ⎡⎤==⋅=⋅=⎣⎦，即()201,x M a c n =，其中0a 是根据n 和32c 唯一确定的.……17分。

高等代数模拟试题

高等代数模拟试题一选择题（每小题2分，共16分）1 哪个向量组是线性相关的? (A) P[x]中, 1 , 2n, ,,x x x .(B) 2 2P ⨯中, 任意5个矩阵A ，B ，C ，D ，E(C) 在次数≤2的全体多项式以及零多项式所成线性空间3[]P x 中, 1 , 22 1 , 1 x x +-.(D) 3P 中, 123(1,0,0), (1,1,0), (1,1,1)ααα===2在数域P 上 ,下列集合关于通常的加法和数乘是线性空间的有（） (1) {}(, 0 , ,0 , ),V a b a b P =∈ . (2) {}1212(, , ,)0n V a a a a a =+= (3) {} ()0n nV A Ptr A ⨯=∈=(4) {}()[] (0)0V f x P x f =∈=(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个3下述结论错误的是(A) [,]a b V C = 是实数域上的无限维线性空间. (B) {} n nV A P A A ⨯'=∈=是P 上(1)2n n +维线性空间. (C) {} n nV A P A A ⨯'=∈=-是P 上(1)2n n -维线性空间.(D) ,a b V a b P b a ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭是P 上4维线性空间. 4．设V ＝3R ，123123(,,),(,,)x x x y y y αβ==，二元实函数是(,)'A αβαβ=，其中(A)101010100A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， (B) 101010102A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，(C)101000100A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， (D) 111110101A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭第1页选取上述那个矩阵A 能使V 成为欧氏空间。

5 设A , B ，C 都是n×n 矩阵，且0C ≠，那么(1) CAC ~ A 2C (2) 22~ CB B C (3) ~ CAB ABC (4) ~ CA AC (A) (1) , (2) , (3) , (4) 都正确 (B) (1) , (4) 正确 (C) (1) , (2) , (3) 正确 (D) 都不正确6 下列结论错误的是(A) 如果n 阶复数矩阵A 的最小多项式无重根，那么A 相似于一个对角矩阵 (B) 如果n 阶矩阵A 有n 个线性无关的特征向量，那么A 相似于对角矩阵 (C) 如果n 阶矩阵A 相似于一个对角矩阵，那么A 有n 个不同的特征值 (D) 相似矩阵有相同的特征值 7 能与对角矩阵相似的矩阵是(1) 实对称矩阵 (2) 满足220A A E --= (3) 幂等矩阵 (4) 102003a b c ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(A) (1) , (2) , (3) (B) (1) , (2) , (3) ,(4)(C) (1) , (3) , (4) (D) (1), (2) 8 如果四个线性变换1234A A A A ,,,在标准正交基下的矩阵分别是(A)100010001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ (B)011011100⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭(C)00100⎛⎫⎪⎪⎪-⎝⎭(D) 1000cos sin 0sin cos θθθθ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭那么（）不是正交变换。

2021年高三数学下学期第四次模拟考试理(含解析)

2021年高三数学下学期第四次模拟考试理（含解析）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．设全集，集合{}(){}222,log 3A y y x B x y x ==-==-，则（） A. B. C. D. 【答案】D【解析】集合，，所以。

2. 复数等于（）A ． B. C. D. 【答案】C【解析】。

3.的展开式中，常数项等于（）A. 15B. 10C.D. 【答案】A【解析】，由得r=4，所以常数项为。

4．已知，表示两个不同的平面，为平面内的一条直线，则“”是“”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若有“”，则不一定得到“”；反之，若有“”，则“”一定成立，所以“”是“”的必要不充分条件。

5．采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8．抽到的50人中，编号落入区间[1，400]的人做问卷A ，编号落入区间[401，750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ．则抽到的人中，做问卷C 的人数为（） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】A【解析】若采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，则需要分为50组，每组20人，若第一组抽到的号码为8．，则以后每组抽取的号码分别为28,48,68,88,108，……，所以编号落入区间[1，400]的有20人，编号落入区间[401，750]的有18人，所以做问卷C 的有12人．6．A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻)，那么不同的排法共有( )A．24种 B．60种C．90种D．120种【答案】B【解析】先让CDE排列，共有种排法，再让AB插空，若AB相邻，则有种排法；若AB不相邻，则有种排法，所以不同的排法有24+36=60种。

高代题库试题与答案

高等代数（下）试题(10）一填空题（每小题三分共15分)1 A ，B 为n 阶可逆矩阵, C=⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ，则C 1-＝________。

2 A 为n 阶矩阵， A =21，则*1)3(A A --=_______ 3 设f 是一个n 元负定的二次型，则二次型f 的秩等于______________。

4 设n ααα,...,21线性无关，W=L （n ααα,...,21），则W 的维数为______________ 。

5 数量矩阵A=aE 的特征根为 _______________。

二单项选择题(每小题三分共15分）1 设A 是m n ⨯矩阵， B 是n ⨯m 矩阵，则（ ) (A) 当m 〉n 时,必有行列式AB ≠0 （B ）当m 〉n 时，必有行列式AB =0 （C ）当n 〉m 时,必有行列式AB ≠0 (D)当n 〉m 时,必有行列式AB =02设A ，B ，C 均为n 阶矩阵,且秩A=秩B ，则（）(A) AB 的秩与AC 的秩不一定相等。

(B) AB 的秩与AC 的秩一定相等. （C) AB 的秩与AC 的秩一定不相等。

(D ） AB 的秩一定不超过C 的秩.3 设向量空间V 中含有r 个向量,则下列结论成立的是（）（ A) r=1；（B ）r=2 ；（C ） r=m (有限数)；（D ） r=1或∞4 数域F 上 n 维向量空间V 有( ）个基（ A ）１；（B ） n; (C) n!；（D ）无穷多.5 设向量空间W= {（a,2a,3a ） R a ∈}，则W 的基为： ( ）（A ）（ 1， 2, 3,）； (B) （a ， a ，a ）； (C ）（ a ， 2a 3a) ； (D) (1 ，0， 0），（0， 2 ,0），（0 ,0， 3）三（15分）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--121011322X=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-417 求X 四（15分）把二此型f （，x 2，x 3)= x 1x 2+ x 1,x 3+ x 2x 3通过非退化线性替换化成平方和。

高三数学下学期第四次模拟考试试题理含解析试题

内蒙古北方重工业集团第三中学2021届高三数学下学期第四次模拟考试试题理〔含解析〕本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的，请将正确的选项填涂在答题卡上.〕1.假设集合{}{11,|A x N x B x y =∈-≤==，那么A B 的真子集的个数为〔〕A. 3B. 4C. 7D. 8【答案】A 【解析】【分析】先求出AB 的交集，再根据求真子集个数公式求出，也可列举求出．【详解】{}{}11=0,1,2A x N x =∈-≤，{[]|=1,1B x y ==-，{}0,1A B =，所以A B 的真子集的个数为2213-=，应选A ．【点睛】有限集合{}12,,n a a a 的子集个数为2n 个，真子集个数为21n -．2.假设复数21iz =+，其中i 为虚数单位，那么以下结论正确的选项是〔〕 A. z 的虚部为﹣i B. |z |=2C. z 表示的点在第四象限D. z 的一共轭复数为﹣1﹣i【答案】C 【解析】【分析】把等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简,然后逐一核对四个选项得答案.【详解】∵()()()2121111i z i i i i -===-++-,∴z 的虚部为1-；|z |=z 表示的点的坐标为()1,1-,在第四象限；z 的一共轭复数为1i +.应选：C.【点睛】此题考察复数代数形式的乘除运算,考察复数的根本概念与复数模的求法,考察复数的代数表示法及其几何意义,是根底题. 3.为了得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，可以将函数cos 2y x =的图像〔〕 A. 向左平移512π个单位 B. 向右平移512π个单位 C. 向右平移6π个单位 D. 向左平移6π个单位【答案】B 【解析】因为sin26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且cos2y x ==sin 22x π⎛⎫+⎪⎝⎭=sin 24x π⎛⎫+⎪⎝⎭，所以由φ4x π++=6x π-，知5φ6412πππ=--=-，即只需将cos2y x =的图像向右平移512π个单位，应选B 4.(),0,0xlgx x f x a b x ->⎧=⎨+⎩且()03f =，()14f -=，那么()()3f f -=〔〕 A. ﹣1 B. lg3-C. 0D. 1【答案】A 【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式可得01134a b b a b -⎧+=+=⎨+=⎩，可解得a 、b 的值，即可得()3f -的值，进而可计算得答案．【详解】解：根据题意，()1,0,0xgx x f x a b x ->⎧=⎨+⎩且()03f =，()14f -=，那么01134a b b a b -⎧+=+=⎨+=⎩，解可得122a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，那么()3132102f -⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，那么()()()310lg101ff f -==-=-.应选：A【点睛】此题考察了分段函数求函数值的问题，分段函数是一个函数，分段不分家，一般需要分情况讨论.5.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现安岳县)人，他在所著的?数书九章?中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比拟先进的算法，如下图的程序框图，给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，假设输入x 的值是2，那么输出v 的值是〔〕A. 80B. 192C. 448D. 36【答案】B 【解析】由题意,该框图利用秦九韶算法计算变量v 的值,根据算法功能反复执行循环体计算即可. 【详解】初始：v =1， k =1；第一步：v =1×2+21=4，k =2；第二步：v =4×2+22=12，k =3；第三步：v =12×2+23=32，k =4；第四步：v =32×2+24=80，k =5；第五步：v =80×2+25=192，k =6；因为此时5k >,故停顿循环,输出v 的值是192. 应选：B.【点睛】此题主要是考察了程序框图的循环构造,注意此题中的k 与v 值计算式子中的k 值相差1,容易出错.同时此题考察了学生的逻辑推理才能以及计算才能,属于根底题.6.对于实数m ，“12m <<〞是“方程2212x y m m -=--1表示椭圆〞的〔〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据椭圆的HY 方程满足条件入手得出m 的取值范围,进而得出正确选项.【详解】由“方程2212x ym m -=--1表示椭圆“可得102012m m m m->⎧⎪-<⎨⎪-≠-⎩,解得12m <<且32m ≠,所以“12m <<〞是 “方程2212x y m m -=--1表示椭圆〞的必要不充分条件.【点睛】此题主要考察椭圆的HY 方程及充分必要条件的断定.7.设圆222210x y x y +-++=关于直线1x y -=对称的圆为C ，那么圆C 的圆面围绕直线y x =旋转一周所围成的几何体的体积为〔〕A. 4πB. 83πC.23π D.43π 【答案】D 【解析】【分析】可求出直线恒过圆心，推知旋转体为球，求出球的半径，可求球的体积. 【详解】解：圆222210x y x y +-++=的HY 方程为()()22111x y -++=，那么圆心为()1,1-，半径为1，设圆C 的圆心为(),a b ，那么111221111a b b a +-⎧-=⎪⎪⎨+⎪⨯=-⎪-⎩解得00a b =⎧⎨=⎩，那么圆C 为221x y +=，其关于y x =对称，圆C 的圆面围绕直线y x =旋转一周所围成的几何体为球，半径为1，所以该球的体积为34433R ππ=. 应选：D.【点睛】此题考察旋转体的知识，直线与圆的位置关系，考察计算才能，空间想象才能. 8.函数()21cos 4f x x x =+，()f x '是函数()f x 的导函数，那么()f x '的图象大致是〔〕A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】首先求得导函数解析式，根据导函数的奇偶性可排除,B D ，再根据02f π⎛⎫'< ⎪⎝⎭，可排除C ，从而得到结果.【详解】由题意得：()1sin 2f x x x '=- ()()1sin 2f x x x f x ''-=-+=- ()f x ∴为奇函数，图象关于原点对称可排除,B D又当2x π=时，1024f ππ⎛⎫'=-<⎪⎝⎭，可排除C 此题正确选项：A【点睛】此题考察函数图象的识别，考察对函数根底知识的把握程度以及数形结合的思维才能，关键是可以利用奇偶性和特殊位置的符号来排除错误选项，属于中档题．9.一个几何体的三视图如下图，假设这个几何体的体积为205〔〕A. 36πB. 64πC. 81πD. 100π【答案】C【解析】【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式求出四棱锥体的外接球的半径，最后求出球的外表积．【详解】解：根据几何体的三视图可以得到该几何体为四棱锥体，如下图：该四棱锥的底面是长方形，长为6，宽为5，四棱锥的高即为PD所以156205 3V h=⨯⨯⨯=解得25h=设四棱锥的外接球的半径为r，所以()(2222256r =++，解得92r =，所以294812S ππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭球，应选：C【点睛】此题考察了几何体的三视图问题，解题的关键是要能由三视图解析出原几何体，从而解决问题.10.,,A B P 为双曲线2214y x -=上不同三点，且满足2PA PB PO +=〔O 为坐标原点〕，直线,PA PB 的斜率记为,m n ，那么224nm +的最小值为〔〕A. 8B. 4C. 2D. 1【答案】B 【解析】由2PA PB PO += 有点O 为线段AB 的中点,设1122(,),(,)A x y P x y ,那么11(,)B x y -- ,所以21212121y y y y m n x x x x -+==-+， ,故2221212122212121()()()()y y y y y y mn x x x x x x +--==+-- ,由于点A,B,P 在双曲线上,所以222212121,144y y x x -=-= ,代入上式中,有2221222141()4y y mn y y -==- ,所以2244n m mn +≥== ,故最小值为4.选B. 点睛:此题主要考察了双曲线的有关计算,涉及到的知识点有平面向量中线定理,直线斜率的计算公式,根本不等式等,属于中档题. 首先得出原点为线段AB 的中点,再求出直线PA,PB 斜率的表达式, 算出mn 为定值,再由根本不等式求出最小值.11.在ABC ∆中，543AB BC BC CA CA AB⋅⋅⋅==，那么sin :sin :sin A B C =〔〕A. 9:7:8B.C. 6:8:7【答案】B 【解析】【分析】设()0543AB BC BC CA CA ABt t ⋅⋅⋅===<，用数量积的定义求出各数量积，结合余弦定理，求出,,a b c 〔用t 表示〕，然后由正弦定理求得结论．【详解】设()0543AB BC BC CA CA ABt t ⋅⋅⋅===<，所以5AB BC t ⋅=，4BC CA t ⋅=，3CA AB t ⋅=，即cos 5ac B t -=，cos 4ab C t -=，cos 3bc A t -=，所以22210c a b t +-=-，2228b a c t +-=-，2226c b a t +-=-，解得a =b =c =所以sin :sin :sin ::A B C a b c == 应选：B.【点睛】此题考察平面向量的数量积，考察余弦定理和正弦定理．解题关键是用余弦定理表示出各边长．12.设函数()2ln x e f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，那么实数t 的取值范围是〔〕 A. 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ C. 1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. 1,,23e ⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】()f x 恰有两个极值点，那么0fx 恰有两个不同的解，求出f x 可确定1x =是它的一个解，另一个解由方程e 02x t x -=+确定，令()()e 02xg x x x =>+通过导数判断函数值域求出方程有一个不是1的解时t 应满足的条件.【详解】由题意知函数()f x 的定义域为0,，()()221e 121x x f x t x xx -⎛⎫'=-+-⎪⎝⎭()()21e 2xx t x x ⎡⎤--+⎣⎦=()()2e 122x x x t x x⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭=.因为()f x 恰有两个极值点，所以0fx恰有两个不同的解，显然1x =是它的一个解，另一个解由方程e 02xt x -=+确定，且这个解不等于1.令()()e 02xg x x x =>+，那么()()()21e 02xx g x x +'=>+，所以函数()g x 在0,上单调递增，从而()()102g x g >=，且()13e g =.所以，当12t >且e3t ≠时，()e 2ln x f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，即实数t 的取值范围是1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 应选：C【点睛】此题考察利用导数研究函数的单调性与极值，函数与方程的应用，属于中档题. 二、填空题，此题一共4小题，每一小题5分，一共20分. 13.()1,0a =，1b =，a 与b 的夹角为60︒，那么3a b +=______．【解析】【分析】可以求出||1a =，进而求出12a b =，进展数量积的运算即可求出2|3|13a b +=，从而得出|3|a b +的值．【详解】解：||1,||1a b ==，a 与b 的夹角为60︒，∴12a b =，∴222|3|6913913a b a a b b +=++=++=， ∴|3|13a b +=．【点睛】此题主要考察向量数量积的定义的应用，考察坐标法求向量的模，属于根底题．14.假设22cos a xdx ππ-=⎰，那么二项式6⎛⎝的展开式中含2x 项的系数是_________. 【答案】192- 【解析】【分析】根据定积分计算出a 的值，然后根据二项式展开式的通项公式，计算出含2x 项的系数. 【详解】()2222cos sin |sinsin 222a xdx x ππππππ--⎛⎫===--= ⎪⎝⎭⎰，所以二项式66=⎛⎛ ⎝⎝，其展开式的通项公式为()611632266212rrrr r r r C x x C x ----⎛⎫⎛⎫⋅⋅-=-⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令32r -=，那么1r =，所以含2x 项的系数是()1611612192C --⋅⋅=-.故答案为：192-【点睛】本小题主要考察定积分的计算，考察二项式展开式中指定项系数的求法，属于根底题. 15.某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2，要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需要至少布置___________门高炮？〔用数字答题，lg 20.3010=，lg30.4771=〕【答案】11 【解析】【分析】设需要至少布置n 门高炮，那么1(10.2)0.9n -->，由此能求出结果．【详解】解：设需要至少布置n 门高炮，某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为，要使敌机一旦进入这个区域后有以上的概率被击中，1(10.2)0.9n ∴-->，解得10.3n >，n N ∈，∴需要至少布置11门高炮．故答案为：11．【点睛】此题考察概率的求法，考察n 次HY 重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式等根底知识，考察运算求解才能，考察函数与方程思想，属于中档题．16.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，假设2b =，(()cos 24sin 1A B C +++=，点P 是ABC 的重心，且AP =，那么a =___________.【答案】【解析】【分析】根据三角恒等变换可得3A π=或者23A π=，利用重心的性质、模的性质及数量积得运算，可建立关于c 的方程，求解后利用余弦定理求a 即可.【详解】(()cos 24sin 1A B C +++=，(212sin 4sin 1A A ∴-+=整理得(22sin 4sin 0A A -+=，解得sin A =或者sin 2A =〔舍去〕， 0A π<<3A π∴=或者23A π=.又∵点P 是ABC 的重心，1,3AP AB AC →→→⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭22212||||cos 9AP AB AC AB AC A →→→⎛⎫∴=++⋅ ⎪⎝⎭2||23AP b ==，整理得24cos 240c c A +-=. 当3A π=时，22240c c +-=，得4c =，此时214162242a =+-⨯⨯⨯，解得a = 当23A π=时，22240c c --=，得6c =，此时214362262a ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭，解得a =.故答案为：【点睛】此题主要考察了三角恒等变换，向量的数量积运算法那么、性质，余弦定理，属于难题. 三、解答题：一共70分.解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤，第17至21题为必考题，每个试题考生都必须答题.第22、23题为选考题，考生根据要求答题.17.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是BC ，PC 的中点，2,2AB AP ==，．〔1〕求证：BD ⊥平面PAC ；〔2〕求二面角E AF C --的大小．【答案】〔1〕见解析〔2〕6π【解析】【详解】〔1〕PA ABCD PA BD ABCD AC BD BD PAC⊥⇒⊥⇒⊥⇒⊥平面正方形平面〔2〕以A 为原点，如下图建立直角坐标系(0,0,0)(2,1,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,1)A E F AE AF ==，，设平面FAE 法向量为(,,)n x y z =，那么20{0x y x y z +=++= (1,2,1)n =-，(2,2,0)BD =-，·23cos 222?6||?,66n BD n BDE AF C θππθ===∴=--即二面角的大小为18.甲、乙两家销售公司拟各招聘一名产品推销员，日工资方案如下：甲公司规定底薪80元，每销售一件产品提成1元；乙公司规定底薪120元，日销售量不超过45件没有提成，超过45件的局部每件提成8元．〔I 〕请将两家公司各一名推销员的日工资y 〔单位：元〕分别表示为日销售件数n 的函数关系式；〔II 〕从两家公司各随机选取一名推销员，对他们过去100天的销售情况进展统计，得到如下条形图．假设记甲公司该推销员的日工资为X ，乙公司该推销员的日工资为Y 〔单位：元〕，将该频率视为概率，请答复下面问题：某大学毕业生拟到两家公司中的一家应聘推销员工作，假如仅从日均收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．【答案】(I)见解析； (Ⅱ)见解析. 【解析】分析：(I)依题意可得甲公司一名推销员的工资与销售件数的关系是一次函数的关系式，而乙公司是分段函数的关系式，由此解得；(Ⅱ)分别根据条形图求得甲、乙公司一名推销员的日工资的分布列，从而可分别求得数学期望，进而可得结论.详解：(I)由题意得,甲公司一名推销员的日工资y (单位:元) 与销售件数n 的关系式为:80,y n n N =+∈.乙公司一名推销员的日工资y (单位: 元) 与销售件数n 的关系式为:()()45,120,45,8240n n N y n n N n ≤∈⎧=⎨>∈-⎩(Ⅱ)记甲公司一名推销员的日工资为X (单位: 元),由条形图可得X 的分布列为X122 124 126 128 130记乙公司一名推销员的日工资为Y (单位: 元),由条形图可得Y 的分布列为∴125,136EX EY ==∴仅从日均收入的角度考虑，我会选择去乙公司. 点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值〞，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率〞，即利用排列组合，枚举法，概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列〞，即按标准形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或者某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值〞，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值 19.n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且25a =，511a =. 〔1〕求数列{}n a 的通项公式n a 和前n 项和n S ：〔2〕记n n n a b S n=-，求{}(1)nn b -的前n 项和n T . 【答案】〔1〕21n a n =+；22n S n n =+〔2〕(1)11nn T n -=-++【解析】【分析】〔1〕设等差数列{}n a 的公差为d ，根据通项公式列方程解得13,2a d ==，可得通项公式和前n 项和的公式；〔2〕求出111n b n n =++后，利用相邻两项抵消可得结果.【详解】〔1〕设等差数列{}n a 的公差为d ，由25511a a =⎧⎨=⎩，得115411a d a d +=⎧⎨+=⎩解得132a d =⎧⎨=⎩，所以21n a n =+.()12(24)222n n n a a n n S n n ++===+. 〔2〕221(1)11(1)1n n n a n n n b S n n n n n n n +++====+-+++. 1111111(1)1(1)12233411n nn T n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+++-+++-+=-+⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【点睛】此题考察了等差数列的通项公式根本量的运算，考察了等差数列的通项公式和求和公式，考察了数列的求和问题，属于中档题.20.椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为C 、D，且过点，P 是椭圆上异于C 、D的任意一点，直线PC ，PD 的斜率之积为12-．〔1〕求椭圆Γ的方程；〔2〕O 为坐标原点，设直线CP 交定直线x = m 于点M ，当m 为何值时，OP OM ⋅为定值．【答案】〔1〕22142x y +=〔2〕2m =【解析】【分析】(1)设(),P x y ,根据题意可求得2212b a =,再代入椭圆方程即可求解.(2)根据(1)中的结论, 设直线:(2)CM y k x =+,并联立与椭圆的方程,求得(,(2))+M m k m ,222244(,)1212k kP k k-++,再表达出OP OM ⋅,根据恒成立问题求得系数的关系即可.也可直接设00(,)P x y 表达出OP OM ⋅,利用00(,)P x y 满足椭圆的方程进展化简,同理可得m 的值. 【详解】解：〔1〕椭圆Γ过点,∴22211a b +=,① 又因为直线,PC PD 的斜率之积为12-,故2221122y y y x a x a x a ⋅=-⇒=-+--. 又222222222222221x y a y y b x a a b b x a a +=⇒⇒=--=--.即2212b a =,②联立①②得2,a b ==∴所求的椭圆方程为22142x y +=．〔2〕方法1：由〔1〕知,(2,0)为-C ．由题意可设:(2)CM y k x =+, 令x=m ,得(,(2))+M m k m ．又设11(,)P x y由22142(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得：2222(12)8840k x k x k +++-=． ∵21284212k x k --=+,∴2122412k x k -=+,1124(2)12k y k x k =+=+, 所以222244(,)1212k kP k k-++, ∴22222224(2)244282(2)12121212+-+⋅=⋅++⋅==++++mk k k m kOP OM m k m k k kk , 要使OP OM ⋅与k 无关,只需12m=,此时OP OM ⋅恒等于4.∴2m =方法2：:设00(,)P x y ,那么00:(2)2=++y CM y x x ,令x=m ,得00(2)(,)2++y m M m x , ∴20000000(2)(2)(,)(,)22++⋅=⋅=+++y m y m OP OM x y m mx x x由2200142x y +=有220000(2)(2)2(1)42+-=-=x x x y , 所以000(2)(2)(2)2422+--++⋅=+=m x m x m OP OM mx ,要使OP OM ⋅与0x 无关,只须12m=,此时4OP OM ⋅=.∴2m =【点睛】此题主要考察了根据椭圆中的定值问题求解根本量的方法,同时也考察了联立直线与椭圆方程,根据椭圆上的点满足椭圆的方程,求解定值的有关问题.属于难题. 21.函数()(0)xf x ae a =≠，21()2g x x =. 〔1〕当2a =-时，求曲线()f x 与()g x 的公切线方程：〔2〕假设()()y f x g x =-有两个极值点1x ，2x ，且213x x ≥，务实数a 的取值范围.【答案】〔1〕22y x =--；〔2〕3] 【解析】【分析】〔1〕利用求导，分别求出两条曲线的切线方程.由题知两条切线重合，那么可列出方程组，解得两个切点的横坐标，从而求出切线方程；〔2〕求()()y f x g x =-的导函数，其零点即为极值点1x ，2x ，那么1212x x x x a e e ==.根据213x x ≥，可设21(3)x kx k =≥，解得1ln 1k x k =-，由此构造函数ln ()(3)1xh x x x =≥-，利用导函数求出()h x 的值域ln 3(0,]2，也即是1x 的范围.由11x x a e =构造函数ln 3()((0,])2x x x x e ϕ=∈，求出其值域，也即是实数a 的取值范围.【详解】解：〔1〕2a =-时，()2xf x e =-，设曲线()f x 上的切点为11(,2)x x e -，那么切线方程为11122()x xy e e x x +=--，设曲线()g x 上的切点为2221(,)2x x ，那么切线方程为22221()2y x x x x -=-由两条切线重合得112212212(1)2x x e x e x x ⎧-=⎪⎨-=-⎪⎩，那么1202x x =⎧⎨=-⎩ ，所以，公切线方程为22y x =--；〔2〕21()()2xy f x g x ae x =-=-， x y ae x '=-，设其零点为1x ，2x ，1212x x ae x ae x -=-，1212x x x x a e e ∴==，令21(3)x kx k =≥，可得1111x kx x kx e e =，那么1ln 1k x k =- 令ln ()(3)1xh x x x =≥-，211ln ()(1)x x h x x --'=-，又令1()1ln (3)t x x x x =--≥，21()0xt x x -'=<，那么()t x 单调递减， 2()(3)ln 303t x t ≤=-<，()0h x '∴<，()h x 单调递减，ln 3()2h x ≤ ，易知()0h x >，1ln 3(0,]2x ∴∈ ，令()x x x e ϕ=，1()x xx eϕ-'=，那么()x ϕ在(,1]-∞上递增，11(0,ln 3]6x x a e ∴=∈ 【点睛】此题考察了利用导数的几何意义求切线，利用导函数求函数的最值问题.其中屡次构造函数，利用导函数分析单调性，进而求最值是较大的难点，此题难度较大.〔选考题：一共10分.请考生在第22、23题中任选一题答题.假如多做，那么按所做的第一题计分.答题时,需要用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑〕22.在直角坐标系xOy 中，直线1C的参数方程为222x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩〔其中t 为参数〕．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为=2sin ρθ．〔1〕写出直线1C 的极坐标方程；〔2〕设动直线:(0)l y kx k =>与1C ，2C 分别交于点M 、N ，求ON OM的最大值．【答案】〔1〕sin()4πρθ+=2【解析】【分析】(1)消去参数t 求1C 的直角坐标方程,再根据cos x ρθ=,sin y ρθ=代入方程化简即可.(2) 设直线l 的极坐标方程为=0<<)2πθαα(,再根据极坐标的几何意义求解即可.【详解】解：〔1〕直线1C 的直角坐标方程为20x y +-=,将cos x ρθ=,sin y ρθ=代入方程得sin cos 2ρθρθ+=,即sin()4πρθ+=〔2〕设直线l 的极坐标方程为=0<<)2πθαα(,设12(,),(,)M N ραρα,那么212sin sin()1=sin(2)242ON OM πααρπαρ+=-+, 由02πα<<,有32444πππα-<-<, 当sin(2)=14πα-时,ON OM．【点睛】此题主要考察了参数方程与直角坐标的互化以及直角坐标化极坐标的方法.同时也考察了极坐标的几何意义,属于中等题型.23.()|2||2|(0)f x x m x m m =--+>的最小值为52-．〔Ⅰ〕求m 的值；〔Ⅱ〕0a >，0b >，且22a b m +=，求证：331b a a b +≥．【答案】〔Ⅰ〕1m =；〔Ⅱ〕见解析【解析】【分析】〔Ⅰ〕去绝对值变成分段函数，根据分段函数的单调性可求出()f x 的最小值，与最小值相等列式可求出；〔Ⅱ〕利用分析法，结合根本不等式，即可证明．【详解】〔Ⅰ〕由题意，函数32()223,223,2x m x m m f x x m x m x m m x m x m x ⎧⎪-+≤-⎪⎪=--+=---<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，可得()f x 在区间,2m ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，在区间,2m ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，所以函数()f x 的最小值为min 5()3222m m m f x f m ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，又因为函数()f x 的最小值为52-，可得5522m -=-，解得1m =．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕0a >，0b >，且221a b +=，要证331b a a b+≥，只要证44b a ab +≥，即证()222222a b a b ab +-≥，即证22210a b ab +-≤，即证(21)(1)0ab ab -+≤，即证21ab ≤，即证222ab a b ≤+，显然2212a b ab +≥=，当且仅当2a b ==时取等号．所以331 b aa b+≥．【点睛】此题主要考察了含有绝对值函数的最值的求解，以及不等式的证明，其中解答中合理去掉绝对值号，转化为分段函数，以及合理利用分析法，结合根本不等式进展证明是解答的关键，着重考察了推理与运算才能．本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

2024年全国高考仿真模拟卷四数学

2024年全国高考仿真模拟卷四数学选择题：1. 下列哪个函数在整个实数范围内都是增函数？A) f(x) = x²B) g(x) = |x|C) h(x) = 1/xD) k(x) = x³2. 若a + b = 7，a - b = 3，那么a² - b²的值是：A) 16B) 20C) 24D) 253. 三角函数tanθ的定义范围是：A) (-∞, +∞)B) [0, 2π)C) (-π/2, π/2)D) (0, π)4. 若f(x) = 2x² - 3x - 2，则f(3)的值是：A) 4B) 9C) 10D) 115. 已知一个数列的通项公式为an = 2n² - 3n + 4，求该数列的首项是：A) 1B) 2C) 3D) 4填空题：1. 若f(x) = 4x - 1，求f(3)的值是（）。

2. 一个等差数列的公差为4，第5项是21，求第1项的值是（）。

3. 若sinα = 3/5，那么cosα的值是（）。

4. 求方程2x² - 5x + 2 = 0的两个根的和为（）。

5. 如果一条直线过点A(1, 2)和点B(3, 4)，求直线的斜率是（）。

应用题：1. 有一条铁路隧道，火车通过时，两端分别要响着两个灯。

第一个灯每128秒亮一次，第二个灯每150秒亮一次，求下一次两个灯同时亮的时间间隔。

2. 一个数比它的1/4大4，求这个数。

3. 甲、乙两地相距360km，两车同时从这两地相向而行，相遇后甲车行驶了3小时，乙车行驶了4小时，如果甲车的速度是60km/h，乙车的速度是40km/h，则求两车的相遇点距离甲地有多少公里？4. 一面积为30平方米的长方形花坛，宽是2米，求其长度。

5. 若sin(x+30°) = cosx，求x的值。

大学_高等代数模拟试题及答案

高等代数模拟试题及答案高等代数模拟试题及答案(一)26.如果矩阵rankAr,则 ( )A. 至多有一个r阶子式不为零;B.所有r阶子式都不为零C. 所有r1阶子式全为零，而至少有一个r阶子式不为零;D.所有低于r阶子式都不为零27. 设A为方阵，满足AA1A1AI，则A的行列式|A|应该有 ( )。

A. |A|0B. |A|0C. |A|k,k1D. |A|k,k128. A是n阶矩阵，k是非零常数，则kA ( )。

A. kA;B. kA;C. knAD. |k|nA29. 设A、B为n阶方阵，则有( ).A.A，B可逆，则AB可逆B.A，B不可逆，则AB不可逆C.A可逆，B不可逆，则AB不可逆D.A可逆，B不可逆，则AB不可逆30. 设A为数域F上的n阶方阵，满足A2A0，则下列矩阵哪个可逆( )。

2A.AB.AIC.AI DA2I31. A,B为n阶方阵，AO，且R(AB)0，则( )。

A.BO;B.R(B)0;C.BAO;D.R(A)R(B)n32. A，B，C是同阶方阵，且ABCI，则必有( )。

A. ACBI;B. BACI;C.CABID. CBAI33. 设A为3阶方阵，且R(A)1，则( )。

A.R(A__)3;B.R(A__)2;C.R(A__)1;D.R(A__)034. 设A,B为n阶方阵，AO，且ABO，则( ).A.BOB.B0或A0C.BAOD.ABA2B2 20040000035. 设矩阵A1000，则秩A=( )。

00000200A.1B.2C.3D.436. 设A是mn矩阵，若( )，则AXO有非零解。

A.mn;B.R(A)n;C.mnD.R(A)m37. A，B是n阶方阵，则下列结论成立得是( )。

A.ABOAO且BO;B. A0AO;C.AB0AO或BO;D. AI|A|1高等代数模拟试题及答案(二)38. 设A为n阶方阵，且RAr<n，则a中( p="">A.必有r个行向量线性无关B.任意r个行向量线性无关C.任意r个行向量构成一个极大无关组D.任意一个行向量都能被其他r个行向量线性表示39. 设A为34矩阵，B为23矩阵，C为43矩阵，则下列乘法运算不能进行的是( )。

z104高等代数模拟试卷

高等代数试卷三一、单项选择题（每小题3分，共30分）【】1、A 为n 阶反对称矩阵，对任意的n 维向量X 都有 A ． 0;.0T T X AX B X AX ><C ．TX AX =0； D.不确定【】2、一个实二次型可以分解成两个成比例的实系数一次齐次式之积,则它必有A.秩为2;B. 秩为0;C. 秩为2符号差为0;D. 秩为1 【】3、S={},n n T A P A A ⨯∈=则S 的维数为22(1)(1).;.;..22n n n n A B C n n D n +-- 【】4、实数域R 按通常加法,乘法构成有理数域Q 上向量空间,则由Q 上向量空间中的. .,;.,,,a b a b A a b Q B a b c d Q b a c d ⎧⎧⎛⎫⎫⎛⎫⎫∈∈⎨⎬⎨⎬ ⎪⎪-⎝⎭⎭⎝⎭⎭⎩⎩ C.0,,;.000a c a a b c Q D a Q b ⎧⎧⎛⎫⎫⎛⎫⎫∈∈⎨⎬⎨⎬ ⎪⎪⎝⎭⎭⎝⎭⎭⎩⎩ 【】5、若把同构的子空间称作一类,则n 维向量空间的子空间共分成.A.1类B. 2类C. n 类 D (n+1)类【】6、已知方阵A 满足220A A E +-=，则A 的特征根只能是A. 2B.1C.2-D. –2和1 【】7、设A~B,A,B 均可逆,下列推断中不正确的是 **.~;.~;.~;.~m mA AB B A BC kA lBD A B ''(m 为正整数)【】8、线性变换33:,(,,)(,,0)R R x y z x y σσ→=的特征根为 A.0; B.1; C.-1和0 D.0和1【】9、一个(2)n ≥级方阵A 经过若干次初等变换之后变为B , 则一定有 A.A 与B 相似 B. A 与B 合同 C. 秩()A =秩()B D. **A B = 【】10、设123123(,,),(,,)a a a b b b αβ==为3R 中的任意向量,M 为3阶实矩阵,对3R 定义(,)M αβαβ'=.那么,使3R 作成欧氏空间的3阶矩阵M 是702011.041;.103213130A M B M -⎛⎫⎛⎫⎪⎪==-⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭301100.110,.020312003C M D M -⎛⎫⎛⎫⎪⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、填空题（每小题4分，共24分）1、若把实n 级对称矩阵按合同分类，共有类.2、如果(),(),()f x g x h x 是向量空间[]P x 中三个互素的多项式,但其中任意两个都不互素,则它们线性关.3、设3级方阵A 的特征值为1，-1，2，则*32A A E +-=4、齐次线性方程组1230x x x ++=的解空间的一组标准正交基为5、在22P⨯中定义线性变换12()34X X σ⎛⎫=⎪⎝⎭,则σ在基11122122,,,E E E E 下的矩阵为6.110010002A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的最小多项式为 ,进而知A 对角化.(能或不能)三、判断题（每小题2分，共10分）【】1、实矩阵A,若存在方阵Q,使得A Q Q '=,则A 半正定.【】2、若dimV=n,W 与U 是V 的两个子空间,且dimW+dimU=n, 则V=W ⊕U 。

高等代数下期模拟题四

一、填空（每小题2分，共10分）1.设向量空间1212{(,,)|0,}n n i V x x x x x x x R =+++=∈ ，则V 是维空间。

2．A ，B 均为3阶方阵，A 的特征值为1，2，3，1B =-，则*A B B +=3．设二次型2221231231223(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++正定，则t 满足______。

4．设矩阵A 满足条件2560A A E -+=，则矩阵A 的特征值是 5．三维线性空间V 的秩为2，则零度为。

二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。

每小题2分，共20分）1．设α是n 阶可逆矩阵A 的属于特征值λ的特征向量，在下列矩阵中，α不是（）的特征向量（A ）2()A E + （B ）-3A （C ）*A （D ）TA 2．已知A ，B 为同阶正交矩阵，则下列（）是正交阵。

（A ）A B + （B ）A-B （C ）AB （D ）kA3，设A 为n 阶方阵，则下列结论不成立的是（）（A ）若A 可逆，则矩阵A 的属于特征值λ的特征向量也是矩阵1A -的属于特征值1λ的特征向量（B ）若矩阵A 存在属于特征值λ的n 个线性无关的特征向量，则A E λ=（C ）矩阵A 的属于特征值λ的全部特征向量为齐次线性方程组()0E A X λ-=的全部解（D ）A 与TA 有相同的特征值4．若A 为n 阶实对称矩阵，P 为n 阶正交阵，则1P A P -为（）。

（A ）实对称阵（B ）正交阵（C ）非奇异阵（D ）奇异阵 5．设A ，B 都是正定阵，则（）（A ）AB ，A+B 一定都是正定阵（B ）AB 是正定阵，A+B 不一定是正定矩阵（C ）AB 不一定是正定阵，A+B 是正定阵（D ）AB ，A+B 都不是正定阵 6．当（）时，0a A b c ⎛⎫=⎪⎝⎭是正交阵。

高三数学下学期第四次模拟试题文含解析试题

HY 中学2021届高三数学下学期第四次模拟试题文〔含解析〕本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

一．选择题：〔此题一共12小题，每一小题5分，一共60分〕{|1}A x x =<，{|31}x B x =<，那么( )A. {}1A B x x ⋃=> B. A B =R C. {|0}AB x x =<D. A B ⋂=∅【答案】C 【解析】【分析】化简集合B ，然后计算A B ⋃和A B ⋂，得到答案.【详解】集合{|31}xB x =<，即{}0B x x =<,而{|1}A x x =<，所以{}1A B x x ⋃=<，{}0A B x x ⋂=< 应选C 项.【点睛】此题考察集合的交集、并集运算，属于简单题.2(1)41i z i -+=+的虚部为( ) A. 1- B. 3-C. 1D. 2【答案】B 【解析】【分析】对复数z 进展化简计算，得到答案.【详解】()()2421(1)44213112i i i i z i i i ---+-====-++ 所以z 的虚部为3- 应选B 项.【点睛】此题考察复数的计算，虚部的概念，属于简单题.3.p ：12x +> ，q ：x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，那么a 的取值范围是〔〕 A. 1a ≤ B. 3a -≤ C. 1a ≥- D. 1a ≥【答案】D 【解析】【分析】首先根据绝对值不等式的解法，求得不等式的解集，之后根据原命题和逆否命题等价，求得q 是p 的充分不必要条件，再利用集合的思想，求得参数所满足的条件，得到结果. 【详解】由12x +>，解得1x >或者3x <-，因为p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，所以q 是p 的充分不必要条件，从而可得(,)a +∞是-∞-+∞(,3)(1,)的真子集，所以1a ≥，应选D.【点睛】该题考察的是有关充分条件的问题，涉及到的知识点有绝对值不等式的解法，原命题与逆否命题等价，用集合的思想解决充分条件，最后求得参数的范围，得到结果.4.等比数列{a n }中，11,28a q ==，那么4a 与8a 的等比中项是〔〕 A. ±4 B. 4 C. 14±D.14【答案】A 【解析】【分析】利用等比数列{a n }的性质可得2648a a a ＝，即可得出．【详解】设4a 与8a 的等比中项是x ．由等比数列{}n a 的性质可得2648a a a ＝，6x a ∴=± ．∴a 4与a 8的等比中项561248x a ．=±=±⨯=±应选：A ．【点睛】此题考察了等比中项的求法，属于根底题．5. 假设a ＞b ＞0，0＜c ＜1，那么 A. log a c ＜log b c B. log c a ＜log c bC. a c ＜b cD. c a ＞c b【答案】B 【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gclog c ,log c lg a lg b==，01c <<，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用cy x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用xy c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以此题选B. 【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比拟幂或者对数值的大小,假设幂的底数一样或者对数的底数一样,通常利用指数函数或者对数函数的单调性进展比拟；假设底数不同,可考虑利用中间量进展比拟.2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是A. (,2)-∞-B. (,1)-∞C. (1,)+∞D. (4,)+∞【答案】D 【解析】由228x x -->0得：x ∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，令t =228x x --，那么y =ln t ，∵x ∈(−∞,−2)时,t =228x x --为减函数；x ∈(4,+∞)时,t =228x x --为增函数； y =ln t 为增函数，故函数f (x )=ln(228x x --)的单调递增区间是(4,+∞)，应选：D.点睛：形如()()y f g x =的函数为()y g x =,()y f x =的复合函数，() y g x =为内层函数,() y f x =为外层函数.当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单增；当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减；当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减；当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增. 简称为“同增异减〞.22:14x C y +=的左焦点为F ，直线():0l y kx k =≠与椭圆C 交于,A B 两点，那么AF BF +的值是〔〕 A. 2 B. 23C. 4D. 43【答案】C 【解析】分析：设椭圆的右焦点为2,F 连接22,,AF BF 那么四边形2AFBF 是平行四边形，根据椭圆的定义得到AF BF +=2a 得解.详解：设椭圆的右焦点为2,F 连接22,,AF BF因为OA=OB,OF=O 2F ,所以四边形2AFBF 是平行四边形. 所以2BF AF =,所以AF BF +=|AF|+2AF =2a=4, 故答案为:C点睛：〔1〕此题主要考察椭圆的几何性质，意在考察学生对椭圆根底知识的掌握才能. (2)解答此题的关键是能观察到对称性，得到四边形2AFBF 是平行四边形，这一点观察到了，后面就迎刃而解了.8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，那么该几何体最长的棱长为〔〕A. 3B. 42C. 6D. 25【答案】C 【解析】由题可得立体图形：那么4,16425,42AB AC PC BC ===+==,161646,AP BP ==++=所以最长棱为6点睛：三视图复原为立体图形最好将其放在长方体中考虑，这样计算和检验都会比拟方便，首先根据题目大致估计图形形状，然后将其准确的画出求解即可2000x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，表示的平面区域为Ω，在区域Ω内任取一点(),P x y ，那么P 点的坐标满足不等式222x y +≤的概率为( )A.π8B.π4C.12π+ 2π+【答案】A 【解析】【分析】画出不等式组表示的区域Ω，求出其面积，再得到222x y +≤在区域Ω内的面积，根据几何概型的公式，得到答案.【详解】画出2000x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩所表示的区域Ω，易知()()2,2,2,2A B -，所以AOB △的面积为4，满足不等式222x y +≤的点，在区域Ω2为半径的14圆面，其面积为2π，由几何概型的公式可得其概率为2==48P ππ，应选A 项.【点睛】此题考察由约束条件画可行域，求几何概型，属于简单题.(22cos 3m x =，()1,sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，那么以下关于函数()y f x =的性质的描绘正确的选项是( )A. 关于直线12x π=对称B. 关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C. 周期为2πD. ()y f x =在,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数【答案】D 【解析】()22cos 32cos 23212sin(2)16f x x x x x x π==++=++，当12x π=时,sin(2)sin163x ππ+=≠±,∴f (x )不关于直线12x π=对称；当512x π=时,2sin(2)116x π++= ,∴f (x )关于点5(,1)12π对称； f (x )得周期22T ππ==，当(,0)3x π∈-时,2(,)626x πππ+∈-,∴f (x )在在(,0)3π-上是增函数。

高等代数(下)_习题集(含答案)

《高等代数（下）》课程习题集一、填空题1 1. 若31x -整除()f x ，则(1)f =( )。

2. 如果24211()|x A x B x -++，则A =（），B =（）。

3. 多项式)(),(x g x f 互素的充要条件是 .4. 多项式)(x f 没有重因式的充要条件是5. )(x p 为不可约多项式，)(x f 为任意多项式，若1))(),((≠x f x p ，则。

6. 如果方阵A 的行列式0=A ，则A 的行向量组线性（）关。

7. 设m ααα,,,21 是一组n 维向量，如果nm >.，则这组向量线性（）关8. 如果齐次线性方程组0=AX有非零解，则A 的列向量组线性（）关9. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=403212221A ，11k α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若αA 与α线性相关，则=α（）10. 向量α线性无关的充要条件是（）11. 每一列元素之和为零的n 阶行列式D 的值等于（）。

12. 设行列式014900716=--k ，则=k （）13. 行列式2235007425120403---的元素43a 的代数余子式的值为（）14. 设A 为3阶矩阵，51=A ，则12--A=（）15. 设A 为4级方阵，3-=A ，则=A 2（）16. 已知：s ααα,,,21 是n 元齐次线性方程组0=Ax的基础解系，则系数矩阵A 的秩=)(A R （）17. 设00A XC ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，已知11,A C --存在，求1X-等于（）18. 已知1211A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1121B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，且3A B C A B +=+，则矩阵C =（）。

19. 若A 为方阵，则A 可逆的充要条件是——（）。

20. 设A 为3级方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且31=A ，则=--1*A A （）。

21. 线性空间 V 的变换A 如果满足条件，则称A 为线性变换。

(完整word版)高等代数第二学期试题

第二学期期末考试《高等代数》试题一、填空：（每空2分，共30分）1、n 元二次型正定的充分必要条件是它的正惯性指数______________。

2、A 为正定矩阵，则A _______。

3、),(21s L αααΛ的维数__________向量组s αααΛ21,的秩。

4、1V ，2V 都是线性空间V 的子空间，则维1V +维2V =______________。

5、和1V +2V 是直和的充要条件为=⋂21V V ___________。

6、数域P 上两个有限维线性空间同构的充要条件是______________。

7、A ，B 是两个线性变换，它们在基n εεεΛ,,21下的矩阵分别为A ，B ，则A+B 在基n εεεΛ,,21下的矩阵为______________。

8、A 是n 维线性空间V 的线性变换，则A 的秩+A 的零度=______________。

9、在欧几里德空间中，α=_______。

><βα,=_______。

10、欧几里德空间的一组标准正交基的度量矩阵为_______。

11、A 为正交矩阵，则A =_______，1-A =_______。

二、判断（每题2分，共10分）1、A 的值域是A 的不变子空间，但A 的核不是A 的不变子空间（）。

２、两个子空间的交还是线性空间V 的子空间（）。

3、线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的（）。

4、线性变换把线性无关的向量变为线性无关的向量（）。

5、度量矩阵是正定矩阵（）。

三、t 取什么值时，二次型3231212322214225x x x x x tx x x x +-+++正定？（10分）四、在4P 中，求向量ξ在基4321,,,εεεε下的坐标，其中=1ε（1，1，1，1），=2ε(1，1，-1，-1)，=3ε（1，-1，1，-1）=4ε（1，-1，-1，1），ξ=（1，2，1，1）（10分）五、3P 中，令),4,2(),,(213131321a a a a a a a a a -+-=σ，求σ在基},,{321εεε下的矩阵。

2024全国高考仿真模拟卷四数学

2024全国高考仿真模拟卷四数学一、选择题（每题3分，共36分）下列运算正确的是 ( )A. √9 = ±3B. 2^3 = 6C. 3a - 2a = 1D. a^2 + a^2 = 2a^2下列分式中，最简分式是 ( )A. 2x/4B. x^2 + 1/x - 1C. x^2 - 1/x^2D. x + y/x^2y下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是 ( )A. 平行四边形B. 等边三角形C. 正方形D. 圆下列函数中，y是x的正比例函数的是 ( )A. y = 2x^2B. y = x/2C. y = 2/xD. y = x + 2若关于x的方程 (x - 1)/(x - 2) = k 有增根，则k的值为 ( )A. 0B. 1C. 2D. -1下列调查方式适合用普查的是 ( )A. 了解一批电视机的使用寿命B. 了解某班学生的视力情况C. 了解某市中学生课外阅读的情况D. 了解全国中学生的节水意识下列命题是真命题的是 ( )A. 对角线相等的四边形是矩形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形若关于x的方程 x^2 - 2x + m = 0 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ( ) A. m < 1 B. m > 1 C. m ≥ 1 D. m ≤ 1下列关于平行线的性质叙述错误的是 ( )A. 两直线平行，同位角相等B. 两直线平行，内错角相等C. 两直线平行，同旁内角互补D. 两直线平行，对顶角相等已知a, b为实数，且√(a - 2) + |b + 3| = 0，则a + b的值为 ( )A. 1B. -1C. 5D. -5已知扇形的圆心角为60°，半径为3，则该扇形的弧长为 ( )A. πB. π/2C. π/3D. 2π/3下列说法正确的是 ( )A. 无理数都是无限小数B. 无限小数都是无理数C. 带根号的数都是无理数D. 正数的立方根有两个二、填空题（每题3分，共36分）1.计算：√16 - (-1)^3 = _______。

免费--中国地质大学（武汉）高等代数模拟试题四及答案

免费--中国地质大学（武汉）高等代数模拟试题四及答案考试名称：高等代数模拟试题（4）答案（高起专/专升本）考试方式：闭卷学时：60考试时间：120 分钟总分：100试卷共页，请将所有答案写在答题纸相应位置上，答在试卷上不得分（1）如果1|)1(242++-Bx Ax x ，则A ，B 各为 1，-2 。

（2）设四阶方阵??????? ??-=1100210000120025A ，则A 的逆阵---=-3/13/1003/23/100005200211A 。

（3）设四阶行列式1 100210000120025-=A ，则A 的值为 3 。

（4）设n 阶实对称矩阵A 的特征值中有r 个为正值，有r n -为负值，则A 的正惯性指数和负惯性指数是 r n r -, 。

（5）设行矩阵),,(c b a A =，则='AA 222c b a ++ 。

=A A ' 222c bc ac bc b ab ac ab a （1）下列运算中正确的是（ D ）(A) T T T B A AB =)( ； (B) 111)(---=B A AB ； (C) 111)(---+=+A B B A ； (D) 111)(---=A B AB 。

（2）设A 是n m ?矩阵，O AX =是非齐次线性方程组b =AX 所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（ D ）(A) 若O AX =仅有零解，则b =AX 有唯一解；(B) 若O AX =有非零解，则b =AX 有无穷多个解；(C) 若b =AX 有无穷多个解，则O AX =仅有零解；(D) 若b =AX 有无穷多个解，则O AX =有非零解；（3）设n 阶矩阵A 的行列式0||≠A ，*A 是A 的伴随矩阵，则（ A ）(A) 1*||||-=n A A ； (B) 1*||||+=n A A ； (C) 2*||||-=n A A ； (D) 2*||||+=n A A 。

2023-2024学年天津市高三高考数学押题模拟试题(四模)含答案

2023-2024学年天津市高三高考数学押题模拟试题（四模）一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}260,{|23}A xx x B x x =-->=∈-<Z ∣，则()U A B ⋂=ð（）A ．(]1,3-B ．[]1,3-C ．{}1,0,1,2,3-D ．{}0,1,2,3【正确答案】D【分析】分别求出集合A 、U A ð、B ，再求交集可得答案.【详解】因为{}()()260,23,A x x x ∞∞=--=--⋃+，所以[]2,3U A =-ð，又因为{}{}{}|323|150,1,2,3,4B x x x x =∈-<-<=∈-<<=Z Z ，所以(){}0,1,2,3U A B ⋂=ð.故选：D.2．“1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“1a b <+”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据充分必要条件的定义，结合指数函数性质，不等式的性质，即可判断．【详解】不等式1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等价于a b <，由a b <可推出1a b <+，由1a b <+不一定能推出a b <，例如3,3a b ==时，1a b <+，但a b =，所以“1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎝⎭⎝⎭”是“1a b <+”的充分不必要条件.故选：A.3．函数()31()31x xe f x x x e -=-⋅+的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】A【分析】先根据奇偶性的定义可判断出函数为偶函数，再利用(2)0f >即可得出.【详解】由题知()31()31x x e f x x x e -=-⋅+的定义域为(),-∞+∞．因为()()()333111()333()111x x x x xx e e e f x x x x x x x f x e e e ------=-+⋅=--⋅=-⋅=+++，所以()f x 是偶函数，函数图象关于y 轴对称，排除选项B ；又221(2)201e f e -=⨯>+，故排除选项C ，D.故选：A ．思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.4．在一次科普知识竞赛中共有200名同学参赛，经过评判，这200名参赛者的得分都在[]40,90之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（）A ．可求得0.005a =B ．这200名参赛者得分的中位数为64C ．得分在()60,80之间的频率为0.5D ．得分在()40,60之间的共有80人【正确答案】B【分析】利用直方图的面积之和为1求出a 的值，可判断A 选项的正误；利用频率分布直方图计算中位数，可判断B 选项的正误；利用频率分布直方图可判断CD 选项的正误.【详解】对于A 选项，由于直方图的面积之和为1，则100.350.30.20.11a ++++=，解得0.005a =，A 选项正确；对于B 选项，前两个矩形的面积之和为0.050.350.40.5+=<，前三个矩形的面积之和为0.050.350.30.70.5++=>，设中位数为x ，则()60,70x ∈，则()0.4600.030.5x +-⨯=，解得63.33x ≈，B 选项错误；对于C 选项，得分在()60,80之间的频率为0.30.20.5+=，C 选项正确；对于D 选项，得分在()40,60之间的人数为()0.050.3520080+⨯=，D 选项正确.故选：B.方法点睛：从频率分布直方图中得出相关数据的方法（1）频率：频率分布直方图中横轴表示样本数据，纵轴表示频率组距，=⨯频率频率组距组距，即每个小长方形的面积表示相应各组的频率．（2）众数：频率分布直方图中最高的小长方形底边中点对应的横坐标．（3）中位数：平分频率分布直方图中小长方形的面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标．（4）平均数：频率分布直方图中每个小长方形的面积与对应小长方形底边中点的横坐标的乘积之和．5．已知3log 0.9a =，0.40.3b =，0.30.4c =，则a 、b 、c 的大小关系为（）.A ．b<c<aB ．a b c<<C ．a c b<<D ．b a c<<【正确答案】B【分析】利用对数函数，指数函数，幂函数的单调性比较大小.【详解】根据3log y x =在()0,∞+上单调递增，33log 0.9log 10a =<=0.3x y =在()0,∞+上单调递减，0.40.300.30.3b <<=0.3y x =在()0,∞+上单调递增，0.30.30.40.3c =>故a b c <<故选：B.6．距今5000年以上的仰韶遗址表明，我们的先人们居住的是一种茅屋，如图1所示，该茅屋主体是一个正四棱锥，侧面是正三角形，且在茅屋的一侧建有一个入户甬道，甬道形似从一个直三棱柱上由茅屋一个侧面截取而得的几何体，一端与茅屋的这个侧面连在一起，另一端是一个等腰直角三角形．图2是该茅屋主体的直观图，其中正四棱锥的侧棱长为6m ，BC EF ∥，AB AC ==，AB AC ⊥，点D 在正四棱锥的斜高PH 上，AD ⊥平面ABC 且AD =．不考虑建筑材料的厚度，则这个茅屋（含甬道）的室内容积为（）A ．3m3B ．3m 3C ．3m 3D ．3【正确答案】B【分析】根据题意问题转化为求四棱锥体积与三棱柱体积再加一个小三棱锥体积之和，运用体积公式求解即可.【详解】设O 为正四棱锥底面中心，连接PO OH ，，则33,3PH OH ==，∴2232PO H OH P =-=tan 2PHO OPOH∴==∠，取BC 的中点M ，连接AM ，过D 作DG OH ⊥于G ，则2DG AM ==．在直角DGH 中2tan P DGG OH H ∠==过E 作//EN AB 交AD 于，N 连接NF ．则22AN AD DN =-=，所求体积ABC NEF D NEFV V V V --=++四棱锥22311111366632(22)22(22)22(m )32323=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=故选：B7．双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于A 、B 两点，若四边形OAFB （O 为坐标原点）存在外接圆，则双曲线的离心率为（）A 2B 3C ．2D ．3【正确答案】A【分析】分析出90OAF OBF ∠=∠=，可得出221OA AFb k k a=-=-，再利用双曲线的离心率公式21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可求得结果.【详解】由题意得(),0F c ，不妨设直线OA 的方程为b y x a=，直线OB 的方程为b y x a =-，由题意可知，//FB OA ，//FA OB ，则四边形OAFB 为平行四边形，则OAF OBF ∠=∠，由于平行四边形OAFB 存在外接圆，则180OAF OBF ∠+∠= ，则90OAF OBF ∠=∠= ，所以，221OA AF OA OBb k k k k a ==-=-，则221b a=，因此，该双曲线的离心率为ce a==.故选：A.方法点睛：求双曲线离心率的方法：（1）若可求得a 、c ，直接利用ce a=求解；（2）若已知a 、b ，可直接利用e =得解；（3）若得到的是关于a 、c 的齐次方程220pc qac ra ++=（p 、q 、r 为常数，且0p ≠），则转化为关于e 的方程20pe qe r ++=求解.8．关于函数()()3sin 213f x x x R π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭有下述四个结论：①若()()121f x f x ==，则()12x x k k Z π-=∈②()y f x =的图象关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称；③函数()y f x =在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；④()y f x =的图象向右平移12π个单位长度后所得图象关于y 轴对称．其中所有正确结论的编号是（）A ．①②③B ．①③④C ．③④D ．②④【正确答案】C【分析】①根据对称中心可得知()1,1x ，()2,1x 为其图象的两个对称中心，则12x x -是22T π=的整数倍可判断；②根据对称中心对应的函数值特征进行分析；③根据sin y x =的单调性进行分析；④利用函数图象的平移后得到3cos 21y x =-+再判断其奇偶性，从而可判断【详解】①由()()121f x f x ==知()1,1x ，()2,1x 是()3sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭图象的两个对称中心，则12x x -是22T π=的整数倍（T 是函数()f x 的最小正周期），即()122k x x k Z π-=∈，所以结论①错误；②因为23sin 113f ππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，所以2,13π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的对称中心，所以结论②不正确；③由()222232k x k k πππππ--+∈Z 解得()51212k x k k ππππ-+∈Z ，当0k =时，()f x 在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()f x 在50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.所以在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以结论③正确；④()y f x =的图象向右平移12π个单位长度后所得图象对应的函数为3sin 213cos 21123y x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，是偶函数，所以图象关于y 轴对称，所以结论④正确.故选：C.关键点睛：本题考查三角函数图象与性质的综合应用，.解答本题的关键是()()sin f x A x =+ωϕ的对称中心对应的函数值为0，对称轴对应的函数值为A ±；分析()()sin f x A x =+ωϕ的单调性，可令x ωϕ+满足sin y x =的单调区间，从而可求()f x 的单调区间，属于中档题.9．在ABC 中，60A ∠=︒，2AC =，BA BC ⋅= ，设AE EC λ= ，CF FB λ= ，，则AE BF⋅的最大值为（）A ．14B．34C ．12D【正确答案】B【分析】利用余弦定理及向量的数量积的定义，结合基本不等式即可求解.【详解】在ABC 中，60A ∠=︒，2AC =，由余弦定理，得222cos 602AB AC BC AB AC +-=⋅，即22221222AB BC AB +-=⨯，于是有2242AB BC AB +-=①.由BA BC ⋅=，得cos BA BC B =，即2222A B BA BC C B A A BC BC ⋅+-=⋅,于是有224B A A BC +-= ②.联立①②，得(222AB AB =+，由0AB ≠，得1AB =将1AB = ①中，得BC = .由AE EC λ= ，CF FB λ= ，()0λ>，知,111AE AC BF BC λλλ==++,()()221co 1s A CE BF AC BC AC BC λλλλ⋅=⋅⋅⋅=++()(22222246122112AC BC AB AC BCAC BC λλλλλ+-++-=⋅⋅=⋅⋅+++(1331122λλλλ=⨯-=++++,因为0λ>，所以1224λλ++≥=,当且仅当1λλ=即1λ=时，等号成立，所以33142AE BF λλ⋅=≤++ .故当1λ=时，AE BF ⋅故选：B.二、填空题10．已知i 是虚数单位，复数312iz i-=+，则||z =__．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】解： (3)(12)17(31212)(12)55i i z i i i i i --===-+--+，1755z i ∴=-本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题．11．4()(2)x y x y -+的展开式中，32x y 的系数为____________.【正确答案】16要得到32x y 的系数，只要求出二项式4(2)x y +中22x y 的系数减去3x y 的系数的2倍即可【详解】32x y 的系数为22144C 2C 216⨯-⨯=.此题考查二项式的系数，属于基础题.12．直线3y kx =+与圆22(3)(2)4x y -+-=相交于,M N 两点,若MN ≥则k 的取值范围是_________.【正确答案】3[,0]4-【详解】圆心(3,2)到直线3y kx =+的距离为d =所以MN =≥，即21d ≤则22(31)11k k +≤+解得，34k -≤≤三、双空题13．甲､乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲､乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为34，乙每轮猜对的概率为23．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则甲两轮活动中恰好猜对一个成语的概率为_________；“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为___________．【正确答案】38/0.375512【分析】由相互独立事件的概率公式可得空1；分甲对2个乙对一个和甲对1个乙对2个两种情况，根据相互独立事件概率乘法公式分别计算，然后可得.【详解】解：设12,A A 分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，12,B B 分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件．根据独立事件的性质，可得()()212313392,448416P A P A ⎛⎫=⨯⨯===⎪⎝⎭()()212214242,33939P B P B ⎛⎫=⨯⨯=== ⎪⎝⎭设A =“两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则1221A A B A B = ，且12A B 与21A B 互斥，1A 与2B ，2A 与1B 分别相互独立，所以()()()1221P A P A B P A B =+()()()()1221P A P B P A P B =+349458916912=⨯+=因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是512．故38,51214．已知正实数,a b 满足43a b +=，则1b a-的最大值为_________；1131a a b +++的最小值为_________.【正确答案】1-1【分析】由已知可得1134b a a a ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，利用基本不等式可得解，第二空变形代数式结合运用“1”妙用的代换，再利用基本不等式求最值，即可得答案；【详解】43a b += ，34b a ∴=-111343432341b a a a aa ⎛⎫∴-=--=-+≤--=- ⎪⎝⎭，当且仅当14a a =，即1,12a b ==时等号成立，∴1b a-的最大值为1-，43(31)()4a b a a b +=⇒+++= ，11111[(31)()]31314a ab a a b a a b ⎛⎫∴+=+⋅+++ ⎪++++⎝⎭131122214314a b a a a b ⎡++⎡⎤=++≥+=⎢⎢⎥++⎣⎦⎣，等号成立当且仅当3131a b a a a b++=++，即15,33a b ==时等号成立，∴1131a a b+++的最小值为1.故1-；1.15．已知函数()32ln ,1231,1x x f x x x x ≥⎧=⎨-+<⎩，则[]1,e x ∈-时，()f x 的最小值为______，设()()()2g x f x f x a =-+⎡⎤⎣⎦，若函数()g x 有6个零点，则实数a 的取值范围是______.【正确答案】4-10,4⎛⎫⎪⎝⎭【分析】根据各段函数的单调性分别求出各段的最小值，即可求出[]1,e x ∈-时，()f x 的最小值，令()t f x =，则2001t t a t -+=<<，有两个解，则140a ∆=->，且()1f x t =或()2f x t =有3个零点，即可求出实数a 的取值范围.【详解】当[]1,e x ∈时，()ln f x x =，此时函数在[]1,e 上单调递增，所以此时函数的最小值为()1ln10f ==，当[1,1)x Î-时，()32231f x x x =-+，则()2666(1)f x x x x x '=-=-，当10x -≤<时，()0f x ¢>，当01x <<时，()0f x '<，所以()f x 在[1,0)-上递增，在(0,1)上递减，因为()()12314,12310f f -=--+=-=-+=，所以函数的最小值为4-，综上，当[]1,e x ∈-时，()f x 的最小值为4-，函数()32ln ,1231,1x x f x x x x ≥⎧=⎨-+<⎩的图象如图所示令()t f x =，则由()()()20g x f x f x a =-+=⎡⎤⎣⎦，得20t t a -+=，因为函数()g x 有6个零点，所以2001t t a t -+=<<，有两个解，所以140a ∆=->，且满足221012000110a a ⎧<<⎪⎪-+>⎨⎪-+>⎪⎩，解得10a 4<<，即实数a 的取值范围是10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，故4-，10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭关键点点睛：此题考查分段函数的最值的求法，以及根据函灵敏的零点个数求参数的范围，解题的关键是画出函数的图象，结合图形求解，考查学生的转化能力和数形结合的思想，属于较难题.四、解答题16．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2sin tan tan cos C A B A +=，且ABC 1a c -=.(1)求角B 的大小及b ；(2)求()sin 2A B +的值.【正确答案】(1)3B π=；b =；(2)【分析】（1）切化弦之后，结合两角和差正弦公式和诱导公式可化简求得cos B ，由此可得B ；结合三角形面积公式可得ac ，由余弦定理可求得b ；（2）由（1）可求得,a c ，利用余弦定理可得cos ,cos A C ，根据同角三角函数关系可得sin sin A C ,，利用两角和差正弦公式可求得结果.【详解】（1）()()sin sin sin sin sin cos cos sin tan tan cos cos cos cos cos cos cos cos A B C A B A B A B A B A B A B A B A Bπ+-++=+=== sin 2sin cos cos cos C C A B A==，又cos 0A ≠，()0,C π∈，sin 0C ∴≠，1cos 2B ∴=，又()0,B π∈，3B π∴=；1sin 2ABC S ac B ac = △6ac ∴=，又1a c -=，()22222cos 167b a c ac B a c ac ∴=+-=-+=+=，解得.b（2）由（1）知：61ac a c =⎧⎨-=⎩，32a c =⎧∴⎨=⎩，222cos 27a b c C ab +-∴==，222cos 214b c a A bc +-=，又(),0,A C π∈，sin 7C ∴=，sin A =()()()()()sin 2sin sin cos cos sin A B A A B A A B A A B ∴+=++=+++()()sin cos cos sin sin cos cos sin A C A C A C A C ππ=-+-=-+14714714=-+=-.17．如图，PD ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，//AB CD ，//PQ CD ，222AD CD DP PQ AB =====，点E ，F ，M 分别为AP ，CD ，BQ 的中点.(1)求证：//EF 平面CPM ；(2)求平面QPM 与平面CPM 夹角的大小；(3)若N 为线段CQ 上的点，且直线DN 与平面QPM 所成的角为π6，求N 到平面CPM 的距离.【正确答案】(1)证明见解析(3)3【分析】（1）连接EM ，证得//EF MC ，利用线面平行判定定理即可证明//EF 平面MPC ；（2）根据条件建立空间直角坐标系，求得平面PMQ 和平面MPC 法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.（3）设QN QC λ= ，则(0,1,22)N λλ+-，从而(0,1,22)DN λλ=+- ，由（2）知平面PMQ 的法向量为()1,0,1n = ，利用向量的夹角公式，得到关于λ的方程，求出λ，进而得到440,,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用点到平面距离公式求出答案.【详解】（1）证明：连接EM ，因为//AB CD ，//PQ CD ，所以//AB PQ ，又因为AB PQ =，所以四边形PABQ 为平行四边形，因为点E 和M 分别为AP 和BQ 的中点，所以//EM AB 且EM AB =，因为//AB CD ，2CD AB =，F 为CD 的中点，所以//CF AB 且CF AB =，可得//EM CF 且EM CF =，即四边形EFCM 为平行四边形，所以//EF MC ，又EF ⊄平面MPC ，CM ⊂平面MPC ，所以//EF 平面MPC .（2）因为PD ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，故以D 为原点，分别以DA ，DC ，DP 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，依题意可得()0,0,0D ，()2,0,0A ，()2,1,0B ，()0,2,0C ，()002P ,,，()0,1,2Q ，()1,1,1M ，()1,1,1PM =- ，()0,1,0PQ = ，()1,1,1CM =- ，()0,2,2PC =- ，设(),,n x y z = 为平面PQM 的法向量，则00n PM x y z n PQ y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅==⎪⎩，不妨设1z =，可得()1,0,1n = ，设(),,m a b c = 为平面PMC 的法向量，则2200m PC b c m CM a b c ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，不妨设1c =，可得()0,1,1m = .所以1cos ,2m n m n m n ⋅==⋅ ，设平面PQM 与平面PMC 夹角为θ，所以sin θ=即平面PQM 与平面PMC夹角的正弦值为2.（3）设(01)QN QC λλ=≤≤ ，即(0,,2)QN QC λλλ==- ，则()0,1,22N λλ+-.从而()0,1,22DN λλ=+- .由（2）知平面PMQ 的法向量为()1,0,1n = ，而直线DN 与平面PMQ 所成的角为π6，所以πsin cos ,6DN n DN n DN n ⋅==⋅ ，即12=，整理得231030λλ-+=，解得13λ=或3λ=，因为01λ≤≤，所以13λ=，所以440,,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()00,2,044240,,,,3333C N ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝=⎝⎭-⎭，由（2）知：()0,1,1m = 为平面CPM 的法向量，故点N 到平面CPM 的距离为NC m d m==⋅= 18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>A 、B ，点P 、Q 为椭圆上异于A 、B 的两点，PAB 面积的最大值为2．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线AP 、BQ 的斜率分别为1k 、2k ，且1235k k =．①求证：直线PQ 经过定点．②设PQB △和PQA △的面积分别为1S 、2S ，求12S S -的最大值．【正确答案】(1)2214x y +=(2)①证明见解析；②4【分析】（1）根据题意可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆C 的方程；（2）①分析可知直线PQ 不与y 轴垂直，设直线PQ 的方程为x ty n =+，可知2n ≠±，设点()11,P x y 、()22,Q x y 将直线PQ 的方程的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，利用1253k k =求出n 的值，即可得出直线PQ 所过定点的坐标；②写出12S S -关于t 的函数关系式，利用对勾函数的单调性可求得12S S -的最大值.【详解】（1）解：当点P 为椭圆C 短轴顶点时，PAB 的面积取最大值，且最大值为112222AB b ab ab ⋅=⨯==，由题意可得2222c a ab c a b ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以，椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）解：①设点()11,P x y 、()22,Q x y 若直线PQ 的斜率为零，则点P 、Q 关于y 轴对称，则12k k =-，不合乎题意.设直线PQ 的方程为x ty n =+，由于直线PQ 不过椭圆C 的左、右焦点，则2n ≠±，联立2244x ty n x y =+⎧⎨+=⎩可得()2224240t y tny n +++-=，()()()22222244441640t n t n t n ∆=-+-=+->，可得224n t <+，由韦达定理可得12224tn y y t +=-+，212244n y y t -=+，则()2121242n ty y y y n -=+，所以，()()()()()()()()212121121112221212122122422222422222n y y n y ty n y ty y n y k y x n n k x y ty n y ty y n y y y n y n-++-+-+--=⋅===-++++++++()()()()1211222222522223n y y ny n n n n y y ny n ++---=⋅==+-+++，解得12n =-，即直线PQ 的方程为12x ty =-，故直线PQ 过定点1,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭.②由韦达定理可得1224t y y t +=+，()1221541y y t =-+，所以，12121·2S S AM BM y y -=--=()2244144151t t ==+++，20t≥因为函数()1f x x x=+在)+∞≥=，所以，124S S -，当且仅当0=t 时，等号成立，因此，12SS -的最大值为4.方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.19．已知数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，且47a =，()()123112a b b ++=+，2132a b a +=，()23324N a b a b n +=+∈.(1)求{}n a ，{}n b 的通项公式.(2)已知2,(34),n n n n n n n a b n c a b n a a +⎧⎪=-⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和2n T .(3)求证.11212log 3n i i i a b =+<∑【正确答案】(1)21n a n =-,2n n b =.(2)2112(1213)2144943n n n n T n ++-⋅+=++；(3)证明见解析.【分析】（1）由等差等比的通项公式即可求解；（2）分n 是奇数和n 是偶数，分别利用错位相减法和裂项相消法求和即可；（3）根据22112(21)(21)(21)2121i i i i i i <=-+-+-+，裂项求和即可证明.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ,由2132a b a +=得2321b a a =-①，将①代入23324a b a b =+，得222123()4a a a a b -=+，即322221()4b a a a a -=-②将①代入()()123112a b b ++=+，得()()21221112a b a a ++=-+③，将②代入③，得()()2212213211412a a a a a a a ⎡⎤+--+=-+⎣⎦，又47a =，所以()()222211111311111(2)412237a a d a d a d a a a d a d a a d ⎧⎡⎤++++--+=++-+⎪⎣⎦⎨+=⎪⎩解得：112a d =⎧⎨=⎩，所以21n a n =-，所以38b =，24b =，故122b q =⎧⎨=⎩，所以2n n b =.（2）当n 是奇数时，(21)2n n c n ⋅=-，当n 是偶数时，2(67)222(21)(23)2321n n nn n c n n n n +-==--++-，则21135212111(43)2125292(43)2n nk n k k k c k n ---==⎡⎤=-⋅=⨯+⨯+⨯++-⋅⎣⎦∑∑ ①357212114125292(43)2nn k k c n +-==⨯+⨯+⨯++-⋅∑ ②①-②得：35212121132424242(43)2n n n k k c n -+-=-=+⨯+⨯++⨯--⋅∑ 即352121211324(222)(43)2n n n k k c n -+-=-=++++--⋅∑ =31212(14)24(43)214n n n -+-+⨯--⋅-化简得.211n k k c -==∑21(1213)2269n n +-⋅+222426422221122222222()()()()4341731174341k k n n n n k k k c k k n n ++===-=-+-++-+-+-∑∑ 22212244433433n n n n ++=-=-++所以21122212111(1213)2144943n n n n n n k k k k k k n T c c c n ++-===-⋅+==+=++∑∑∑.（3）212)21111log log (1)2(2i i i b i i a i +==⋅⋅++22112(21)(21)(21)2121i i i i i i =<=-+-+-+，当2n ≥时，11111111121(21)1335572121321n i i i n n n =<+-+-++-=-+⨯-++∑，因为1021n >+，所以2123213n -<+；当1n =时，1233<也成立.故12112log 3n i i i a b =+<⋅∑.方法点睛：本题的核心是考查错位相减求和.一般地，如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b 的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解．20．已知函数()ln f x x a x =-，()1(0)a g x a x+=->．(1)若1a =，求函数()f x 的极值；(2)设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；(3)若存在[]01x e ∈，，使得()()00f x g x <成立，求a 的取值范围．【正确答案】(1)极小值为1，无极大值(2)单调递增区间为()1,a ++∞，单调递减区间为()0,1a +.(3)21,1e e ⎛⎫++∞ ⎪-⎝⎭【分析】（1）研究()ln f x x x =-的单调区间，进而求出()f x 的极值；（2）先求()h x '，再解不等式()0h x '>与()0h x '<，求出单调区间，注意题干中的0a >的条件；（3）先把题干中的问题转化为在[]1x e ∈，上有()min 0h x <，再结合第二问研究的()h x 的单调区间，对a 进行分类讨论，求出不同范围下的()min h x ，求出最后结果【详解】（1）当1a =时，()ln f x x x =-，定义域为()0,∞+，()111x f x x x-'=-=令()0f x '=得：1x =，当1x >时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，故1x =是函数()f x 的极小值点，()f x 的极小值为()11f =，无极大值（2）()()()()1ln 0a h x f x g x x a x a x+=-=-+>，定义域为()0,∞+()()()222211111x x a a a x ax a h x x x x x +--+---'=--==因为0a >，所以10a +>，令()0h x '>得：1x a >+，令()0h x '<得：01x a <<+，所以()h x 在()1,a ++∞单调递增，在()0,1a +单调递减.综上：()h x 单调递增区间为()1,a ++∞，单调递减区间为()0,1a +.（3）存在[]01x e ∈，，使得()()00f x g x <成立，等价于存在[]01x e ∈，，使得()00h x <，即在[]1x e ∈，上有()min 0h x <由（2）知，()h x 单调递增区间为()1,a ++∞，单调递减区间为()0,1a +，所以当1a e +≥，即1a e ≥-时，()h x 在[]1x e ∈，上单调递减，故()h x 在x e =处取得最小值，由()()min 10a h x h e e a e +==-+<得：211e a >e +-，因为2111e e e +>--，故211e a >e +-.当11a e <+<，即01a e <<-时，由（2）知：()h x 在()1,1x a ∈+上单调递减，在()1,x a e ∈+上单调递增，()h x 在[]1x e ∈，上的最小值为令()()12ln 1h a a a a +=+-+因为()0ln 11a <+<，所以()0ln 1a a a <+<，则()2ln 12a a a +-+>，即()12h a +>，不满足题意，舍去综上所述：a 的取值范围为21,1e e ⎛⎫++∞ ⎪-⎝⎭导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。

高三数学下学期第四模拟考试试题理含解析试题

圆心坐标为 ,∴ ，
又双曲线的一条渐近线恰好是曲线在原点处的切线，
∴ ，
∵双曲线的顶点到渐近线的间隔为，
∴ ，即，又
∴
∴曲线的方程为
应选：D
点睛：此题主要考察双曲线方程的求法，直线与圆相切，点到直线的间隔，属于中档题.
11.集合，从集合中各取一个数，能组成〔〕个没有重复数字的两位数？
当时，成立，但不成立，故B错误；
命题：“∀x∈R，sinx≤1〞的否认是“∃x0∈R，sinx0＞1〞；满足命题的否认形式，C正确；
假设p∧q为假命题，那么p，q中至少有一个假命题，一假即假，故D错误；
应选：C
点睛：此题考察命题的真假的判断与应用，涉及复合命题，四种命题的逆否关系，充要条件等，属于根底题．
∴2cosCsin〔A+B〕=sinC，
2cosCsinC=sinC，
∵sinC≠0，
∴cosC= ，
又∵C∈〔0，π〕，
∴C=
点睛：〔1〕在三角形中根据条件求未知的边或者角时，要灵敏选择正弦、余弦定理进展边角之间的转化，以到达求解的目的．
〔2〕求角的大小时，在得到角的某一个三角函数值后，还要根据角的范围才能确定角的大小，这点容易被无视，解题时要注意．
故答案为：．
点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界限是实线还是虚线，其次确定目的函数的几何意义，是求直线的截距、两点间间隔的平方、直线的斜率、还是点到直线的间隔等等，最后结合图形确定目的函数最值取法、值域范围.
15.二项式的展开式中奇数项的二项式系数之和为32，那么展开式中的第4项为__________．
应选：C
点睛：此题主要考察程序框图的循环构造流程图，属于中档题.解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支构造还是循环构造；(3)注意区分当型循环构造和直到型循环构造；(4)处理循环构造的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序,〔6〕在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到到达输出条件即可.

答案高等代数单元自测题4

高等代数单元自测题(第四章)答案一、选择题(20分)1. B2. A3. C4. C5. B6. B二、判断题(20分)1. ×2. ×3. ×4. √5. ×6. ×7. ×8. √三、计算题(30分)1．222111222333122112133113233223()()()a x a x a x a a x x a a x x a a x x ++++++++2．1-A =111221212311424⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦ 3． 2111012333514333X ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 四、证明题(30分)1. 证明: 用反证法. 若A 不是退化阵, 则A 为可逆矩阵, 在A A =2两边同时乘1A -得A E =, 与A 不是单位矩阵矛盾.2. 证明: 由于22()()A B A B A BA AB B +-=+--, 等式右边等于22A B -的充要条件是BA AB =, 所以等式))((22B A B A B A -+=-成立的充要条件是BA AB =.3. 证明: (1) ()()()'2'2'''22()A AA A A A A A ====-=, 所以2A 是对称矩阵.(2) '''''''()()()()()AB BA AB BA B A A B B A A B -=-=-=---BA AB =-+ AB BA =-, 所以BA AB -是对称矩阵.(3) 如果AB 是反对称矩阵, 则'(),AB AB =- 所以有'()AB AB =-''()B A B A BA =-=--=. 反过来, 如果BA AB =, 那么'''()AB B A == ()B A BA AB -=-=-, 所以AB 是反对称矩阵.4. 证明一: 由于A 是n s ⨯矩阵，秩n A =)(，A 标准形应为0n E ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 就是说, 存在可逆矩阵1,P A 使得10n E A P A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 等式两边同时左乘1P -得11100n E A P A A -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.又对于可逆矩阵1P -, 存在初等矩阵l P P P ,,,21 使112l P PP P -=, 从而有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0111A A P P P l l , 其中1A 为可逆矩阵. 证明二: 对A 进行初等行变换化为阶梯形矩阵10A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 其中1A 是这个阶梯形矩阵的非零行,它也是一个阶梯形矩阵. 用初等变换与初等矩阵的关系来说, 就是有初等矩阵l P P P ,,,21 使⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0111A A P P P l l . 由于A 是n s ⨯矩阵，秩n A =)(，因此1A 是n n ⨯矩阵, 同时又是非零行数为n 的阶梯形矩阵, 所以必为可逆的上三角形矩阵.。

东北三省三校2020届高三数学下学期第四次模拟考试试题理含解析

（1）求证:平面平面；
（2）求二面角的余弦值
【答案】（1)证明见解析;(2）。
【解析】
【分析】
（1）先结合线面平行的判定定理，证得平面和平面，再利用面面平行的判定定理，即可证得平面平面；
（2）以为坐标原点，向量， , 方向分别为 , ，轴，建立如图所示空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量和，利用向量的夹角公式，即可求解。
又，得 ,
所以，有 ,得，
则 , ，
此时， , ,由，，的面积为。
故选:C
【点睛】
本题考查球的内接几何体问题,考查补形方法的应用，考查球的体积公式的应用，三棱锥三个侧面的面积之和最大时, , ，两两垂直以及此时将之补成长方体得出球的直径是解题的关键，属于中档题。
12。若不等式恒成立，则实数的取值范围为（）
令，可得，
又由函数单调递增，所以只需，即在恒成立，
令，有，，
由，即，解得，
由 ,即，解得，
所以函数的增区间为，减区间为，
所以当时,函数取得最大值 ,
综上可得，实数的取值范围为 .
故选：B。
【点睛】本题主要考查利用导数研究不等式的恒成立问题，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力,对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值,进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
有 ,解得，
又，
所以 .
故选：D
【点睛】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据直角三角形的边角关系以及双曲线的定义建立方程是解决本题的关键.

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