集合的概念
第1节 集合的概念
必备新知
5．集合元素的三个特性
Hale Waihona Puke 特性意义确定性 元素与集合的关系是确定的，即给定元素 a 和集合 A，a∈A 与 a∉A 必居其一
互异性 集合中的元素一定是不同的，即 a∈A 且 b∈A 时，必有 a≠b
无序性 集合中的元素是没有顺序的
典例分析：
例 3：已知集合 A 含有两个元素 a－3 和 2a－1， (1)若－3∈A，试求实数 a 的值． 解：(1)因为－3∈A，
必备新知
必备新知
4. 元素与集合的关系 (1)如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A，记作 a∈A. (2)如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a 不属于集合 A，记作 a∉A.
典例分析：
例 2：已知：① 5∈R；②13∈Q；③0＝{0}；④0∉N；⑤π∈Q；⑥－3∈Z.其中，正确的个 数为________．
解析：③错误，0 是元素，{0}是一个集合；④0∈N； ⑤π∉Q，①②⑥正确． 答案：3
练习：下面有四个结论：
①集合 N 中最小数为 1；②若－a∉N，则 a∈N；③若 a∈N，b∈N，则 a＋b 的最小值
为 2；④所有的正数组成一个集合．其中，正确结论的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：选 B ①错，最小为 0；②错，若 a＝1.5，－a＝－1.5，则－1.5∉N,1.5∉N；③错，若 a＝0，b＝0，则 a＋b＝0；④正确．
练习：（1）若集合 M 中的三个元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
解析：选 D 集合中的任何两个元素是不能相同的，所以 a，b，c 不相等．
集合的概念
集 合:一般的，把一些能够确定 的不同的对象看成一个整体，就 说这个整体是由这些对象的全体 构成的集合（或集）。 构成集合的每个对象叫做B,C…表示，
它们的元素通常用英
文小写字母a,b,c…表示。
（1）小于10的自然数
（2）方程x2 =1的解的全体构成的集合
已知1，x,x2三个 实数构成一个集合， 求x应满足的条件
1.由x2,3x+1,2x2-x+5 三个式子构成的集合 2.平面上与一个定点O的 距离等于1的点的全体构 成的集合 3.方程x2=-1的全体实数 解构成的集合
含有有限个元素的集合叫做有限集 含有无限个元素的集合叫做无限集 把不含有任何元素的集合叫做空集
（3）高一（1）班全体同学
（4）平面上与一定点O的距离等于r的
点的全体构成的集合
如果a 是集合A的元素， 就说a属于A,记作a∈A, 读作“a属于A”。 如果a不是集合A的元素， 就说a不属于A，记作a∉A， 读作“a不属于A”。
集合的基本性质： 确定性：集合的元素 必须是确定的，不能 确定的对象不能构成集合 互异性：集合的元素 一定是互异的，相同的几 个对象归于同一个集合时 只能算作一个元素。 无序性
非负整数全体构成的集合，叫做自然数集。记作N 在自然数集内排除0的集合叫做正整数集。记作N+ 整数全体构成的集合叫做整数集，记作Z 有理数全体构成的集合叫做有理数集，记作Q 实数全体构成的集合叫做实数集，记作R
(1) π _ Q (2) √3 _ Z (3) √3 _ R (4) 0 _ N (5) 0 _ Z
1.集合的含义及基本关系
1. 集合的含义及基本关系（1）集合的概念：把某些特定的对象集在一起就叫做集合.（2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一.（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集.一、单选题1．给出下列四个关系式：(1)√3∈R ；（2）Z ∈Q ；（3）0∈ϕ；（4）ϕ⊆{0}，其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．下列给出的对象中，能表示集合的是（ ）．A ．一切很大的数B ．无限接近零的数C ．聪明的人D ．方程x 2=2的实数根3．集合{x ∈N|x −3<2}用列举法表示是A ．{1，2，3，4}B ．{1，2，3，4，5}C ．{0，1，2，3，4，5}D ．{0，1，2，3，4}4．设集合M ={x|x ≥4},a =√11，则下列关系中正确的是（ ）A ．a ∈MB ．a ∉MC ．{a}∈MD ．{a}∉M5．下列各式：①1∈{0,1,2}；②∅⊆{0,1,2}；③{1}∈{0,1,2}；④{0,1,2}＝{2,0,1}，其中错误的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．设集合A 只含有一个元素a ，则下列各式正确的是( )A ．0∈AB ．a ∉AC ．a∈AD ．a ＝A7．方程x 2–1=0的解集可表示为A ．{x =1或x =–1}B ．{x 2–1=0}C ．1，–1D ．{1，–1}8．下列元素与集合的关系表示正确的是( )①1-∈N *∉Z ；③32∈Q；④π∈Q A ．①② B ．②③C ．①③D ．③④ 9．已知集合{}1,2A =，则集合(){,|,}B x y x A y A =∈∈中元素的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．410．已知单元素集合A ={x|x 2−(a +2)x +1=0}，则a =A ．0B ．−4C．−4或1D．−4或011．下列所给关系正确的个数是（）①π∈R Q；③0∈*N；④|−4|∉*N．A．1B．2C．3D．4 12．设集合S={x|(x−2)(x−3)≥0},T={x|x>0}，则S∩T=A．[2,3] B．（−∞,2]∪[3,+∞）C．[3,+∞）D．（0,2]∪[3,+∞）13．设集合A={0,2,4,6,8,10},B={4,8}，则∁A B=A．{4,8}B．{0，2,6}C．{0，2，6,10}D．{0，2，4，6，8,10} 14．已知集合M={0,1}，则下列关系式中，正确的是（）A．{0}∈M B．{0}∉M C．0∈M D．0⊆M15．已知集合A={0,1},B={−1,0,a+3}，若A⊆B，则a的值为A．−2B．−1C．0D．116．集合A={1,2,3}，则集合A的子集个数是（）A．6B．7C．8D．917．已知集合A={0,1,2}，B={1,m}.若B⊆A，则实数m的值是（）A．0 B．2 C．0或2 D．0或1或2二、填空题18．用符号“∈”或“∉”填空：（1）若集合P由小于√11的实数构成，则2√3_____P;（2）若集合Q由可表示为n2+1(n∈N∗)的实数构成，则5____ Q.19．已知集合A={−1,3,m}，B={3,5}，若B⊆A，则实数m的值为__________.20．满足条件{2,3}⊆A ⊂≠{1,2,3,4}的集合A有__________个．21．集合A={0,1}，写出A的所有子集__________．本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
集合的基本概念
集合的基本概念集合是数学中基础而重要的概念之一。
它被广泛应用于各个数学分支和其他科学领域。
本文将介绍集合的基本概念、符号表示法以及一些常见的集合运算。
1. 集合的定义在数学中，集合可以被定义为由确定的对象所构成的整体。
这些对象可以是任何事物，如数、字母、图形等。
一个集合可以包含零个或多个对象，而且每个对象在集合中只能出现一次。
2. 集合的符号表示法数学中，集合通常用大写字母表示，例如A、B、C等。
对于属于集合的对象，可以用小写字母表示，例如a、b、c等。
表示一个对象属于某个集合，可以使用符号“∈”。
例如，如果a属于集合A，我们可以写作a ∈ A。
相反地，如果一个对象不属于某个集合，可以使用符号“∉”。
例如，如果b不属于集合A，我们可以写作b ∉ A。
3. 集合的描述方法有时，我们需要对集合中的对象进行描述。
有两种常见方法可以描述集合：a. 列举法：通过列举集合中的所有对象来描述集合。
例如，如果集合A包含元素1、2和3，我们可以写作A = {1, 2, 3}。
b. 描述法：通过给出满足某个条件的对象来描述集合。
例如，如果集合B包含所有大于0的整数，我们可以写作B = {x | x > 0}，其中“|”表示“满足条件”。
4. 集合的基本运算集合之间可以进行一些常见的运算，包括并集、交集、差集和补集。
a. 并集：两个集合A和B的并集，表示为A ∪ B，包含了A和B中所有的元素。
例如，如果A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}。
b. 交集：两个集合A和B的交集，表示为A ∩ B，包含了A和B共有的元素。
例如，如果A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A ∩ B = {3}。
c. 差集：两个集合A和B的差集，表示为A - B，包含了属于A但不属于B的元素。
例如，如果A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A - B= {1, 2}。
集合的含义及表示方法
确定性
集合中的元素具有确定性，即每个元素是否属于某个集合是明确的。对于任意一 个元素，如果它属于某个集合，则它只属于该集合；如果不属于该集合，则它与 该集合没有关系。
确定性的性质使得集合可以准确地描述事物的分类和归属问题，是数学和计算机 科学中基本的概念之一。
集合的含义及表示方法
• 集合的基本概念 • 集合的运算 • 集合的性质 • 集合的应用
01
集合的基本概念
集合的定义
01 集合是由确定的、不同的元素所组成的总体 。
02
集合中的元素具有确定性，即每一个对象是 否属于某个集合是确定的。
03
集合中的元素具有互异性，即集合中不会有 重复的元素。
04
集合中的元素具有无序性，即集合中元素的 排列顺序不影响集合本身。
数据库系统
数据库系统是计算机科学中用来存储和管理大量数据的重要工具。集合理论在数据库设计 中起着重要的作用，例如关系数据库中的表可以看作是集合的表示。
在日常生活中的应用
分类问题
在生活中，我们经常需要对事物进行分类。集合可以用来表示不同的类别，帮助我们更好地组织 和理解事物。
决策制定
在决策制定过程中，我们经常需要考虑多个因素或条件。集合可以帮助我们表示这些因素或条件 ，并分析它们之间的关系，从而做出更好的决策。
03
补集
补集是指全集中不属于某个集合的元素组成的集合。
补集的表示方法是在一个集合后面加上"′"，例如：A′。
补集运算满足反演律，即A′=(全集−A)∪(全集−B)。
03
集合的性质
无序性
集合中的元素没有固定的顺序，即元素的位置不影响集合的性质。例如，集合A={1,2,3}和集合B={3,2,1}是同一个集合，因为 元素的无序性，集合A和集合B具有相同的性质。
1.1集合的概念及表示
1.1集合的概念及表示【知识储备】1．集合的概念(1)含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．(2)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等．[知识点拨]集合中的元素必须满足如下性质：(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，比如集合{1,2,3}与{2,3,1}表示同一集合．2．元素与集合的关系关系概念记法读法属于如果a是集合A中的元素，就说a属于集合Aa∈A a属于集合A不属于如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合Aa∉A a不属于集合A[知识点拨]符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换．3．集合的表示法(1)自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的方法．例如：小于3的实数组成的集合．(2)字母表示法：用一个大写拉丁字母表示集合，如A，B，C等，用小写拉丁字母表示元素，如a，b，c等．常用数集的表示：名称非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R(3)列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．(4)描述法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．【题型精讲】【题型一集合概念的理解】必备技巧判断一组对象是否能构成集合的三个依据判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．例1下列对象中不能构成一个集合的是（）A．某校比较出名的教师B．方程−2=0的根C．不小于3的自然数D．所有锐角三角形例2（多选）下列各组对象能构成集合的是（）A．拥有手机的人B．2024年高考数学难题C．所有有理数D．小于π的正整数【题型精练】1.给出下列说法：①在一个集合中可以找到两个相同的元素；②好听的歌能组成一个集合；③高一（1）班所有姓氏能构成集合；④把1，2，3三个数排列，共有6种情况，因此由这三个数组成的集合有6个.其中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．32．下列各组对象中能构成集合的是（）A．充分接近的实数的全体B．数学成绩比较好的同学C．小于20的所有自然数D．未来世界的高科技产品【题型二用列举法表示集合】例3用列举法表示下列集合(1)11以内非负偶数的集合；(2)方程(+1)(2−4)=0的所有实数根组成的集合；(3)一次函数=2与=+1的图象的交点组成的集合．【题型精练】1.用列举法表示下列给定的集合：(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；(2)方程2−9=0的实数根组成的集合B；(3)一次函数=+2与=−2+5的图象的交点组成的集合C.2.用列举法表示下列集合．(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；(2)小于8的质数组成的集合B；(3)方程22−−3=0的实数根组成的集合C；(4)一次函数=+3与=−2+6的图象的交点组成的集合D．【题型三用描述法表示集合】必备技巧利用描述法表示集合的关注点(1)写清楚该集合代表元素的符号．(2)所有描述的内容都要写在花括号内．(3)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例4用适当的方法表示下列集合：（1）方程组2314,328x y x y -=⎧⎨+=⎩的解集；（2）方程2210x x -+=的实数根组成的集合；（3）平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合；（4）二次函数2210y x x =+-的图象上所有的点组成的集合；（5）二次函数2210y x x =+-的图象上所有点的纵坐标组成的集合.【题型精练】1．用描述法表示下列集合：(1)不等式3+2>5的解集；(2)平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合；(3)二次函数=2−2+3图象上的点组成的集合．(4)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合；(5)集合1,12,13,14(6)所有被3整除的整数组成的集合；(7)方程2++1=0的所有实数解组成的集合.2.试说明下列集合各表示什么？1|A y yx ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭；{|B x y ==；()1,|C x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭(),|13y D x y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭；{}0,1E x y ===；{}1,1F x y x y =+=-=-.【题型四元素与集合的关系】必备技巧判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：集合中的元素是直接给出的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．例5用符号“∈”或“∉”填空：（1）0______∅；（2）2-_______2{|5}x x <；（3）(2,3)_______{(,)|23}x y x y +=；（4）2017_______{|41,}x x n n =-∈Z .例6（吉林长春市期中）已知集合M=6*,5a N a ⎧∈⎨-⎩且}a Z ∈，则M 等于（）A ．{2，3}B ．{1，2，3，4}C ．{1，2，3，6}D ．{1-，2，3，4}【题型精练】1．（多选）（浙江高一期末）若集合{}22|,,A x x m n m n ==+∈Z ，则（）A ．1A∈B ．2A∈C ．3A∈D ．4A∈2.已知集合{},M m m a a b Q ==+∈,则下列四个元素中属于M 的元素的个数是（）①1+;;A ．4B ．3C ．2D ．1【题型五确定集合中的元素】必备技巧确定集合中的元素（1）充分理解集合的描述法，（2）注意检验元素互异性.例7（1）（山东济南高一期末）已知集合(){},2,,A x y x y x y N =+≤∈，则A 中元素的个数为（）A ．1B ．5C ．6D ．无数个（2）集合*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭中含有的元素个数为（）A ．4B ．6C ．8D ．12例8（1）（江苏苏州市期中）设集合{123}{45}}A C x B y x A y B ===+∈∈，，，，，，，则C 中元素的个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．6（2）（江苏南通市月考）已知集合(){},2,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则A 中元素的个数为（）A ．9B ．10C ．12D ．13（3）（黑龙江大庆市期中）由实数2,,|,x x x -所组成的集合，最多可含有（）个元素A ．2B ．3C ．4D ．51．若集合()(){}326A x N x x =∈--<，则A 中的元素个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．62.若集合{}0123A =，，，，()}{,,B x y x A y A x y A =∈∈-∈，，则B 中所含元素的个数为（）A ．4B ．6C ．7D ．103.（青海高一月考）已知集合{1,2,3,4,5}A ={},(,),,B x y x A y A x y A =∈∈-∈,则B 中所含元素的个数为（）A ．3B ．6C ．8D ．10【题型六元素特性中的求参问题】必备技巧利用集合中元素的确定性、互异性求参数的策略及注意点(1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对求得的参数值进行检验．(2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用．例9（上海市进才中学高一期末）已知集合22{2,(1),33}Aa a a =+++，且1A∈，则实数a 的值为________．例10（山东济南月考）已知集合{}2210,A x ax x a R =++=∈．（1）若A 中只有一个元素，求a 的值；（2）若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围.1．（吴起高级中学高一月考）若{}22111a a ∈++，，，则a =（）A ．2B ．1或－1C ．1D ．－12.已知{}222,(1),33A a a a a =++++，若1A∈，则实数a 构成的集合B 的元素个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．33.（云南丽江市期末）若集合2{|210}A x kx x =++=中有且仅有一个元素，则k 的值为___________.。
集合的基本概念
集合的基本概念（1） 集合：把某些特定的对象集在一起就叫做集合.集合的特征：互异性，确定性，无序性（2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N 或N 表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一.（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{x|x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集∅.例题：集合间的基本关系例题：集合的基本运算1. 并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集（Union ）。
记作：A ∪B ，读作：“A 并B ”。
即： {|}A B x x A x B =∈∈或2. 交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集（intersection ）。
记作：A ∩B ，读作：“A 交B ”。
即： {|,}A B x x A x B =∈∈且3. 补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe ），通常记作U 。
补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集（complementary set ）,简称为集合A 的补集，记作：U A ð即：{|,}U A x x U x B =∈∉且ð4. 集合基本运算的一些结论：A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆B ，A ∩A=A ，A ∩∅=∅,A ∩B=B ∩AA ⊆A ∪B ，B ⊆A ∪B ，A ∪A=A ，A ∪∅=A,A ∪B=B ∪A()()AB C A B C A B C ==，()()()A B C A C B C = ()()A B C A B C A B C ==，()()()A B C A C B C = （U A ð）∪A=U ，（U A ð）∩A=∅若A ∩B=A ，则A ⊆B ，反之也成立若A ∪B=B ，则A ⊆B ，反之也成立若x ∈（A ∩B ），则x ∈A 且x ∈B若x ∈（A ∪B ），则x ∈A ，或x ∈B例题：【例1】 设集合,{|15},{|39},,()U U R A x x B x x A B A B ==-≤≤=<<求ð. 总结：利用数轴来找到集合的关系。
集合的概念
1.集合的概念
1. 集合的概念
我们看到的、听到的、闻到 的、触摸到的、想到的各种各样的 事物或一些抽象的符号，都被称作 对象
例如,把自然数0,1,2,3,4,…,10,….中的 各个数都看作一个对象,把所有这些对象 汇集在一起构成一个整体,称作自然数集.
1.集合的概念
一般地,把一些能确定的对 象看成一个整体,我们就说,这个 整体是由这些对象的全体构成的 集合(或集).
练一练
判断下列各组对象能否描述为集合，若 不能，请说明理由。 （1）大于-6而小于6的偶数； （2）很小的有理数； （3）实验中学的所有学生； （4）常青林场的所有大树； （5）全体自然数； （6）所有单项式。
元素与集合的从属关系
属于
不属于 例3 如果a是集合Ａ中的元素，说a属于Ａ， 记作a∈Ａ 如果a不是集合Ａ中的元素，说a不属于 Ａ，记作a∈Ａ
2
(5) 0 N (6) 1 N (i),(ii),(iii),(iv) 其中正确的是_____。
小结
1、集合——某些指定的对象集在一起 元素——集合中的每一个对象 2、常用数集及记法 （1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的 集合。记作N （2）正整数集：非负整数集内排除0的集。记作 N*或N+ （3）整数集：全体整数的集合。记作Z （4）有理数集：全体有理数的集合。记作Q （5）实数集：全体实数的集合。记作R
3, B为所有花组成的集合,下列哪些是属于 B的? a为白菜,b为牡丹花,c为杜鹃花,d为草 莓,e为君子兰, f为冬瓜,g为茶花,h为栀 子花,i为豆腐
aB
b B
cB d B
b,c,e,g,h
e B iB
f B gB
1、集合的概念
集合的概念一、知识目标1、集合的概念：把具有共同特征的个体放在一起，我们把这个整体称为集合。
其中每个个体称为集合的一个元素。
2、集合的表示（1）列举法：在{ }中依次列出集合所包含的所有元素。
（2）描述法：在{ }中，用文字或公式描述集合的元素所具有的性质。
*分为文字描述和数学语言描述★（3）文氏图：利用图象来表示集合。
（4）特殊符号表示集合3、元素和集合的关系（1）在日常使用时，通常用大写字母A ，B ，C 来表示集合；用小写字母a ，b ，c 来表示元素。
（2）对于集合A ，若a 是A 的一个元素，则我们称a 属于A ，记作A a ∈；若a 不是A 的元素，则我们称a 不属于A ，记作A a ∉。
（3）数学意义上的集合的要求：对于任何一个个体，必须能判断它是否属于给定的这个集合。
4、元素的三个特性：确定性、无序性、互异性。
（1）确定性：任给一个元素，必须能判断它是否属于这个集合。
*课外知识：理发师悖论和集合论悖论；模糊集合和模糊数学。
（2）无序性：集合中的元素不分顺序，如}2,1,3{},3,2,1{应视为同一个集合。
*点或数对则要求顺序，如)2,5(),5,2(代表不同的点。
（3）互异性：同一个集合中的元素必须是不同的，同样的元素在一个集合中只能表示一个元素。
如}5,1,3,2,1{这样的集合是错的；},,1{2a a 中1,1,0-≠a ，否则就有两个元素是相同的了。
*互异性常用来出含参的讨论题。
例1、}1,,{2+=a a a A ，若A ∈1，求A a ,。
5、集合间的关系：包含、子集。
（1）包含：对于集合B A ,，若A 的每个元素都属于B ，则称A 包含于B 或B 包含A ，记做B A ⊆或A B ⊇。
（你的都是我的，则我包含你！）（2）真包含：对于集合B A ,，若A 的每个元素都属于B ，且存在B x ∈，使得A x ∉，则称A 真包含于B 或B 真包含A ，记做B A ⊂或A B ⊃。
集合的概念
第一节集合的概念及其表示1、集合的概念（1）集合：把一些具有共同特征的对象集在一起构成集合.（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素.集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……2、元素与集合的关系（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a AÏ要注意“∈”的方向，不能把a∈A颠倒过来写.3、集合分类根据集合所含元素个数不同，可把集合分为如下几类：（1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф（2）含有有限个元素的集合叫做有限集（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集注：应区分F，{}F，}0{，0等符号的含义根据集合的不同类型，可以把集合分为：数集、点集、集合集等4、常用数集及其表示方法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N*或N+（3）整数集：全体整数的集合.记作Z（4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q（5）实数集：全体实数的集合.记作R注：（1）自然数集包括数0.，（2）非负整数集内排除0的集.记作N*或N+应用示例：用符号∈或Ï填空:(1)1______N,0______N,-3______N,0.5______N,2______N;(2)1______Z,0______Z,-3______Z,0.5______Z,2______Z;(3)1______Q,0______Q,-3______Q,0.5______Q,2______Q;(4)1______R,0______R,-3______R,0.5______R,2______R.3、集合中元素的特性（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了. （2）互异性：集合中的元素一定是不同的.（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序.例1.下列各组对象不能组成集合的是( )A.大于6的所有整数B.高中数学的所有难题C.被3除余2的所有整数D.函数y=x1图象上所有的点 变式训练：1.下列条件能形成集合的是( )A.充分小的负数全体B.爱好足球的人C.中国的富翁D.某公司的全体员工例2.在数集{2x,x 2-x}中,实数x 的取值范围是__________________。
集合的概念
空集：不含任何元素的集合，记作
为了形象，常常用一条封闭曲线 的内部表示一个集合 。 A
练习：
1.用符号∈或填空：
（1）若A={x|x2=x}，则-1____A ；
（2）若B={x|x2+x-6=0}，则3____B ；
； （3）若C={x∈N|1≤x≤10}，则8____C （4）若D={x∈Z|-2<x<3}，则1.5____D.
2 全集与补集
补集（或余集）：一般地，设S 是一个集合，A是S的一个子集， 由S中所有不属于A的元素组成的 集合，叫做S中子集A的补集（或 余集），记作 ð ，即 S A
S
ðS A {x | x S , 且x A}
由图中的阴影部分表示A 在S中的补集 ðS A
ðS A
A
全集：如果集合含有所要研究的各个集合的全部元 素，这个集合就可以看作一个全集，全集用U表示
练习：
1.填空：
ð U Q 痧 ( U
U
Q)
如果S={x|x是小于9的正整数}，A={1，2，3}，B={3， 4，5，6}，那么 =______ ðS A ， =______. ðS B
2.填空： （1）如果全集U=Z，那么N的补集ð =______； UN （2）如果全集U=R，那么ð 的补集 痧 U UQ =______.
C B A
集合相等:对于两个集合A和B，如果集合A的任何 一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一 个元素都是集合A的元素，我们就说集合等于集合， 记作A=B
（1）对于任何一个集合A，因为它的任何一个 元素都属于集合A本身，所以 A A ，也就是 说，任何一个集合是它本身的子集。 （2）对于集合A,B，如果A B，同时BA ， 那么 A=B 例：写出集合{a,b}的所有子集，并指出其中哪 些是它的真子集。 解: 集合{a,b}的所有的子集是 ，{a}，{b}， {a,b}，其中，{a}，{b}是{a,b}的真子集
集合的含义和表示
集合的含义和表示知识点一：集合的含义集合的概念：一般地，我们将研究对象称为元素，把一些元素组成的总体叫为集合（简称集）。
元素用小写字母a,b,c表示，集合用大写字母A,B,C表示。
集合中元素的性质：确定性：即那些元素是属于这个集合的，那些元素不属于这个集合是明确的。
比如高山就不构成集合，胖人也不构成集合。
互异性：集合中的元素互不相同。
无序性：元素之间是没有顺序的，如：{0,1}={1,0}元素与集合的关系：“属于”和“不属于”（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a A（“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写）集合的分类：1、有限集：含有有限个元素的集合。
2、无限集：含有无限个元素的集合。
3、空集：不含任何元素的集合。
记作Φ，如：例：1，①接近于0的数的全体；②比较小的正整数全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤2的近似值的全体．其中能构成集合的组数有( )A．2组B．3组C．4组D．5组2对于集合A＝{2，4，6}，若a∈A，则6－a∈A，那么a的值是______．3集合{3，x，x2－2x}中，x应满足的条件是______知识点二：常用数集的记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N*或N+{} ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数=Q （5）实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0（2）非负整数集内排除0的集记作N*或N+。
例： ①1______N ，0______N ．－3______Q ，0.5______Z ，2______R ．②21______R ，5______Q ，｜－3|______N ＋，｜－3｜______Z ．知识点三：集合的表示方法（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。
集合的概念详细讲解
集合的概念详细讲解集合是数学中的一个基本概念，它指的是由多个元素组成的一个整体。
集合中的元素可以是任何类型，例如整数、实数、字符串、对象等等。
集合的概念在数学中有着广泛的应用，例如在集合论、函数论、代数、拓扑学等学科中都有重要的应用。
一、集合的定义集合的定义通常是指在一个特定的范围内，由一个或多个元素组成的整体。
集合中的元素可以是任何类型，例如整数、实数、字符串、对象等等。
在数学中，我们通常用大写字母来表示集合，例如A、B、C等等。
二、集合的表示集合的表示通常有两种方式：列举法和描述法。
列举法是将集合中的所有元素一一列举出来，例如{1, 2, 3}表示一个包含三个整数的集合。
描述法是用一个数学表达式来描述集合中的元素，例如{x|x^2+1=0}表示一个包含所有满足方程x^2+1=0的实数的集合。
三、集合的性质集合具有以下性质：1.确定性：一个元素要么属于某个集合，要么不属于某个集合，不存在第三种情况。
2.互异性：集合中的元素互不相同，即集合中没有重复的元素。
3.无序性：集合中的元素没有固定的顺序，即任意两个元素可以交换位置而不改变集合本身。
4.封闭性：如果一个新元素与集合中的某个元素相等，则该新元素也属于该集合。
5.空集存在性：没有任何元素的集合称为空集，空集是任何非空集合的真子集。
6.反身性：任何非空集合是其本身的子集。
7.幂等律：若一集合有n个元素，则其幂集（所有子集的集合）的元素个数为2^n个。
8.互补律：若一集合有n个元素，则其补集（不属于该集合的元素组成的子集）的元素个数为(n-1)个。
9.子集基数量定律：任何一个集合都必须包含它自身作为子集，并且至多包含两个其他不同的子集（空集和全集）。
10.子集完全互补定律：任何一个集合都必须包含它的所有子集作为元素的并集，并且至多包含两个其他不同的子集（空集和全集）。
11.互补完全性定律：任何一个集合都必须包含它的所有补集作为元素的并集，并且至多包含两个其他不同的子集（空集和全集）。
集合的基本概念
集合的基本概念在数学中，集合是一个基本的概念，它是由确定的对象所组成的整体。
集合的概念是数学中非常重要的基础，它被广泛应用于各个数学分支中，如代数、几何、概率论等等。
本文将详细介绍集合的基本概念，帮助读者更好地理解和运用集合论。
1. 集合的定义集合可以看作是一个确定的对象的组成整体。
例如，我们可以定义一个集合A，其中包含元素a、b、c，记作A={a，b，c}。
集合中的元素可以是数字、字母、符号或其他集合，每个元素在集合中是唯一的，即不同的元素不能重复出现在同一个集合中。
2. 集合的表示方法除了用花括号{}表示集合外，还可以用其他符号表示集合。
常用的表示方法有列表法、描述法和区间表示法。
例如，集合B={1,2,3,4,5}可以用列表法表示；集合C={x|x是整数，0<x<10}可以用描述法表示；集合D=[1,5]可以用区间表示法表示。
3. 子集和真子集如果一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，那么这个集合是另一个集合的子集。
如果一个集合是另一个集合的子集且两个集合不相等，那么这个集合是另一个集合的真子集。
例如，集合E={1,2}是集合B的子集，但不是真子集。
4. 并集、交集和差集两个集合的并集是包含两个集合所有元素的集合，交集是两个集合共有元素的集合，差集是一个集合减去另一个集合后的结果。
例如，集合F={1,2,3}，集合G={3,4,5}，则F∪G={1,2,3,4,5}，F∩G={3}，F-G={1,2}。
5. 幂集一个集合的幂集是由这个集合所有子集所构成的集合。
例如，集合H={a,b}，那么它的幂集是{∅，{a}，{b}，{a,b}}。
6. 无限集合除了有限集合外，还有无限集合。
无限集合可以分为可数无限集合和不可数无限集合。
可数无限集合的元素可以一一对应自然数集，如整数集合；不可数无限集合的元素不能一一对应自然数集，如实数集。
通过以上对集合的基本概念的介绍，相信读者对集合的概念有了更深入的了解。
集合的定义和表示法
集合的定义和表示法集合是数学中一个基本的概念。
它可以看作是将一组对象放在一起形成的整体。
在集合中，每个对象都是独特的，没有重复的成员。
1. 集合的定义集合由一些称为元素的对象组成。
集合的定义可以用以下形式表示：由一些称为元素的对象组成。
集合的定义可以用以下形式表示：集合 = {元素1, 元素2, 元素3, ...}在集合的定义中，用大括号 `{}` 来表示集合。
括号内的元素由逗号 `,` 分隔。
元素可以是任何事物，如数字、字母、符号等。
2. 集合的表示法表示集合的方法有几种常见形式：a. 列举法列举法是最直接的一种表示集合元素的方法，即将集合中的元素逐个列举出来。
例如，表示自然数集合的列举法如下：是最直接的一种表示集合元素的方法，即将集合中的元素逐个列举出来。
例如，表示自然数集合的列举法如下：自然数集合 = {1, 2, 3, 4, ...}b. 描述法描述法是通过对集合中元素的性质进行描述来定义集合。
例如，表示正偶数集合的描述法如下：是通过对集合中元素的性质进行描述来定义集合。
例如，表示正偶数集合的描述法如下：正偶数集合 = {x | x 是正整数且 x 是偶数}其中，符号 `|` 表示 "满足条件"，即属于该集合。
c. 空集和全集空集是不包含任何元素的集合，用符号 `{}` 或 `∅` 表示。
是不包含任何元素的集合，用符号 `{}` 或 `∅` 表示。
全集是包含所有可能元素的集合，通常用`U` 或其他符号表示。
是包含所有可能元素的集合，通常用 `U` 或其他符号表示。
3. 集合运算在数学中，常见的集合运算有并集、交集和补集。
a. 并集并集是指将两个或多个集合中的所有元素合并成一个新的集合。
并集的运算符号是 `∪`。
例如，设集合 A 和集合 B 如下：是指将两个或多个集合中的所有元素合并成一个新的集合。
并集的运算符号是 `∪`。
例如，设集合 A 和集合 B 如下：A = {1, 2, 3}B = {3, 4, 5}则 A 和 B 的并集为：A ∪B = {1, 2, 3, 4, 5}b. 交集交集是指两个或多个集合中共有的元素构成的新的集合。
高中数学集合定义
1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。
⑵相等：如何集合A是集合B 的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。
即A A②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。
③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。
集合的基本运算⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。
记作A∪B。
（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。
集合的概念(高中数学必修一)
集合的概念知识要点：（1）把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。
集合元素三要素：确定性、互异性、无序性。
（2）只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。
（3）常见集合：正整数集合：N +或N +，整数集合：Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R.（4）元素与集合的关系：元素与集合的关系是从属关系，元素x 在集合A 内，记作A x ∈；元素x 不在集合A 内，记作A x ∉（5）集合的表示方法：列举法、描述法和图示法.题例方法：例1．若集合M={a ，b ，c}中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 例2．下列四个集合中，是空集的是（ ）A ．}33|{=+x xB ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=C ．}0|{2≤x xD ．},01|{2R x x x x ∈=+-例3.（1）已知A={a+2，（a+1）2，a 2+3a+3}且1∈A ，求实数a 的值;（2）已知M={2，a ，b}，N={2a ，2，b 2}且M=N ，求a ，b 的值.巩固练习：1．下列各项中，不可以组成集合的是（ ）A ．所有的正数B ．等于2的数C ．接近于0的数D ．不等于0的偶数2．下列命题正确的有（ ）（1）很小的实数可以构成集合；（2）集合{}1|2-=x y y 与集合(){}1|,2-=x y y x 是同一个集合；（3）5.0|,21|,46,23,1-这些数组成的集合有5个元素；（4）集合(){}R y x xy y x ∈≤,,0|,是指第二和第四象限内的点集。
A ．1个B ．1个C ．2个D ．3个3．用符号“∈”或“∉”填空（1）0______N, 5______N, 16______N （2）Q Q _____,_____21π-。
集合概念、表示方法、分类以及集合之间的关系
集合概念、表示方法、分类以及集合之间的关系一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。
通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。
元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉两种)⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。
非负整数集（或自然数集），记作N；；N内排除0的集.正整数集，记作N*或N+整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；⑴确定性：⑵互异性：⑶无序性：1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：⑴某班个子较高的同学⑵长寿的人⑷倒数等于它本身的数⑸某校2011级新生；⑹血压很高的人；⑺著名的数学家；⑻平面直角坐标系内所有第三象限的点7.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉”)⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。
例如，我们A 表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A ，4∉A ，等等。
练：A={2，4，8，16}，则4A ，8 A ，32 A.巩固练习分析：练1．已知集合P 的元素为21,,3m m m --, 若2∈P 且-1∉P ，求实数m 的值。
练2下面有四个命题:①若-a ∉Ν,则a ∈Ν ②若a ∈Ν,b ∈Ν,则a +b 的最小值是2③集合N 中最小元素是1 ④ x 2+4=4x 的解集可表示为{2,2}其中正确命题的个数是( )3求集合{2a ,a 2+a }中元素应满足的条件?4若t 1t 1+-∈{t},求t 的值.⒈列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“{}”括起来表示2．用列举法表示下列集合：(1) 小于5的正奇数组成的集合；(2) 能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合；⒉描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法。
数学的集合概念
数学的集合概念集合是数学中一个基本且重要的概念。
它是一种将一组元素汇集在一起的方式，可以用来表示一个整体的概念。
本文将从集合本身的概念和性质、集合的分类、集合之间的关系、集合的基本运算、集合的函数和映射、集合的逻辑和推理以及集合的应用等方面来介绍数学的集合概念。
1. 集合本身的概念和性质集合是由一组特定元素组成的整体。
这些元素可以是任何东西，例如数字、点、图形等。
集合中的元素可以是任意的，既可以是有限的，也可以是无限的。
集合本身具有一些性质，例如封闭性、结合性、交换性等。
2. 集合的分类根据集合中元素的特点，可以将其分为不同的类型。
例如，空集是不包含任何元素的集合；单元集只包含一个元素的集合；自然数集是包含所有自然数的集合；实数集是包含所有实数的集合等。
此外，还可以根据集合的其他性质对其进行分类，例如基数、序数、域、单调性、完备性等。
3. 集合之间的关系集合之间存在一定的关系，这些关系可以通过集合的基本运算得到。
例如，两个集合的交集是由两个集合中共有的元素组成的集合；两个集合的并集是由两个集合中所有元素组成的集合；补集是一个集合中不属于另一个集合的元素组成的集合；差集是一个集合中不属于另一个集合的元素组成的集合等。
4. 集合的基本运算集合的基本运算是数学集合中重要的概念之一。
常见的集合基本运算包括交集、并集、补集、差集等。
这些运算可以用于获取两个或多个集合之间的关系，或者用于对集合进行操作和变换。
在集合的基本运算中，需要注意一些特殊的规则和约定，例如空集和任意集合的交集都是空集，空集和任意集合的并集都是该任意集合等。
5. 集合的函数和映射函数和映射是数学中重要的概念之一，它们可以用于描述两个集合之间的关系。
在数学集合中，函数是一种将一个集合的元素映射到另一个集合中的元素的工具。
而映射则是一种将一个集合的元素与另一个集合的元素建立对应关系的方式。
通过函数和映射，我们可以对集合进行各种操作和变换，例如映射可以将一个集合中的每个元素映射为一个平方数，从而得到一个新的集合。
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三种方法
列举法
图示法 描述法
列举法
01
描述法
02 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法
图示法
03 • 将集合中的元素一一写到椭圆中的办法
4
举例分析（列举法）
例1
“地球上的四大洋”组成的集合用列举法表示
例2
大于3小于11的整数组成的集合用列举法表示
例3
不大于100的自然数组成的集合用列举法表示
1
只能用描述法了。注意即使在有限个的情况，元素个数太多，最
好也是用描述法表示，这样可以节省解题时间。
2
文恩图与列举法类似，但这在这3种方法之 中，运用文恩图，更加形象直观。
3
这类题目一般用于填空题前面几题或大题目第
一题，要注意灵活运用。
13
Thanks And Your Listen
列举法
5
例题解答
6
描述法
描述法
在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号 及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出 这个集合中元素所具有的共同特征。
写法
X属于R，P(x):任何X都具有的性质
7
举例分析（描述法）
例1
大于3小于10的实数组成的集合用描述法表示
大于3小于10的整数
10
举例分析（图示法）
例1
中国的直辖市
例2
单词BOOK中的所有字母
图示法
11
例题解答
例1：
例2:
A
上海，北京，重庆，天津
A B,O,K
12
区别
用法
当遇到不同集合应该选用什么表示方法？
当集合的元素为有限个时，这3种方法都适用。但当元素为无限个
例2
不等式4X-5<3的解集用描述法表示
例3
大于等于4的整数用描述法表示
描述法
8
例题解答
9
图示法 A
4，5，6，7，8，9
图示法
又称“venn图法”，用一条封闭的曲线的内部 来表示一个集合的方法
写法
• 在椭圆内部列出所有元素
集合的表示方法
知识回顾
1
集合的概念
（1）集合：某些指定对象集在一起就成为 一个集合 （2）元素：组成集的每个对象
3
表示方法特征
一般采用大写字母A，B，C。。。来表示集合； 一般用小写字母a，b，c来表示元素；确定性、 互异性、无序性
2
集合的符号
4
常用数集
集合的表示方法
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