高考数学球的切接问题

八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球

当讲到付雨楼老师于2018年1月14日总第539期微文章，我如获至宝.为有了教学的实施，我以付老师的文章主基石、框架，增加了我个人的理解及例题，形成此文，仍用文原名，与各位同行分享.不当之处，敬请大家批评指正.

一、有关定义

1．球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球.

2．外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球.

3．内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.

二、外接球的有关知识与方法

1．性质：

性质1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；

性质2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆；

性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）；

性质4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；

性质5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）.

初图1

初图2

2．结论：

结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心；

结论2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同；结论3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；

结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处；

结论5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径；

结论6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；

结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；

结论8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径；

结论9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球.

3．终极利器：勾股定理、正定理及余弦定理（解三角形求线段长度）；

三、内切球的有关知识与方法

1．若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直.（与直线切圆的结论有一致性）.

2．内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.（类比：与多边形的内切圆）.

3．正多面体的内切球和外接球的球心重合.

4．正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合.

5．基本方法：

（1）构造三角形利用相似比和勾股定理；

（2）体积分割是求内切球半径的通用做法（等体积法）. 四、与台体相关的，此略. 五、八大模型

第一讲 柱体背景的模型

类型一、墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）

图1-1

图1-2

图1-3

图1-4

方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2

2

2

2

)2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ C ） A ．π16 B ．π20 C ．π24 D ．π32 解： 162

==h a V ，2=a ，24164442

2

2

2

=++=++=h a a R ，π24=S ，选C ；

（2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 π9 解：93

3342

=++=R ，ππ942

==R S ；

（3）在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且MN AM ⊥,若侧棱SA =,则

正三棱锥ABC S -外接球的表面积是 .π36 解：引理：正三棱锥的对棱互相垂直.证明如下：如图（3）-1， 取BC AB ,的中点E D ,，连接CD AE ,，CD AE ,交于H ，连接SH ， 则H 是底面正三角形ABC 的中心，

∴⊥SH 平面ABC ，∴AB SH ⊥，

BC AC =，BD AD =，∴AB CD ⊥，∴⊥AB 平面SCD ， ∴SC AB ⊥，同理：SA BC ⊥，SB AC ⊥，即正三棱锥的对棱互垂直，

本题图如图（3）-2， MN AM ⊥，MN SB //，

∴SB AM ⊥， SB AC ⊥，∴⊥SB 平面SAC ， ∴SA SB ⊥，SC SB ⊥， SA SB ⊥，SA BC ⊥

， ∴⊥SA 平面SBC ，∴SC SA ⊥，

故三棱锥ABC S -的三棱条侧棱两两互相垂直，

(3)题-1(引理）

A

C

(3)题-2（解答图）

A

C

∴36)32()32()32()2(2222=++=R ，即3642

=R ，

∴正三棱锥ABC S -外接球的表面积是π36. （4）在四面体S ABC -中，ABC SA 平面⊥，,1,2,120====∠︒

AB AC SA BAC 则该四面体的外接球的表面积为（ D ）

π11.A π7.B π310.

C π3

40

.D 解：在ABC ∆中，7120cos 2222=⋅⋅-+=

BC AB AB AC BC ，7=

BC ，ABC ∆的外接球直径为

3722

37sin 2==∠=

BAC BC r ，∴340

4)3

72()2()2(2222=

+=+=SA r R ，340π=S ，选D （5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是 解：由已知得三条侧棱两两垂直，设三条侧棱长分别为c b a ,,（+

∈R c b a ,,），则

⎪⎩

⎪⎨⎧===6812ac bc ab ，∴24=abc ，∴3=a ，4=b ，2=c ，29)2(2222=++=c b a R ，ππ2942

==R S ， （6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几

何体外接球的体积为

解：3)2(2

2

2

2

=++=c b a R ，4

3

2

=

R ，23=R

πππ2

3

83334343=⋅==R V 球，

类型二、对棱相等模型（补形为长方体） 题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（CD AB =，BC AD =，BD AC =） 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱； 第二步：设出长方体的长宽高分别为c b a ,,，x BC AD ==，

y CD AB ==，z BD AC ==，列方程组，

⎪⎩

⎪⎨⎧=+=+=+2

222

222

22z a c y c b x b a ⇒2)2(2222222z y x c b a R ++=

++=， (6)

题图

（6）题直观图

P

图2-1