三垂线定理及其逆定理例题
最新三垂线定理及其逆定理的练习
课堂教学设计说明
为了利用公式cosθ1·cosθ2＝cosθ来比较θ2与θ的大小，特选三 题供老师们选用． （1）二面角α-AB-β的平面角是锐角，C是α内一点（它不在棱 上），点D是C在β内的射影，点E是棱AB上任一点，∠CEB为锐角， 求证：∠BEC＞∠DEB． （提示：∠CED相当于θ1，∠DEB相当于θ2，∠CEB相当于θ， θ＞θ2） （2）在△ABC中，∠B，∠C是两个锐角，BC在平面α内，AA′⊥ 平面α于A′，A′ BC上，求证：∠BAC＜∠BA′C． （提示：∠ABA′相当于θ1，∠A′BC相当于θ2，∠ABC相当于θ，因为 ∠ABC为锐角，所以∠A′BC也为锐角，故 θ＞θ2） AC＝15，A1B＝5，A1C＝9．试比较这两个三角形的内角A和A1的大 小． （提示：由cos∠BAC＝cos∠BA1C，得∠BAC＝∠BA1C，又因为 ∠ABC是钝角，∠ABC＜∠A1BC，而∠ACB是锐角，∠ACB＞ ∠A1CB，所以才有可能得出∠BAC＝∠BA1C）
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9
课堂教学设计说明
在讲练习课时，要讲的例题很多，但一定要讲下述四个基本题： （1）△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，PA⊥平面ABC．求证： BC⊥平面PAC． （2）课本第122页第3题． （3）课本第33页第11题． （4）正方体的体对角线与其异面的面对角线互相垂直． 因为上述四个基本题和与之对应的基本图形常常包含于某些综合 题和与之对应的综合图形之中，并且往往起着决定性作用．因此，在我 们解一些综合题时，通过观察和分析，如果发现存在上述情况，就可以 将它们化归为上述基本题和与之对应的基本图形去解．这是在解立体几 何题时又一重要的化归思想——“综合图形基本化”．（请参看《数学 通报》1998年第2期《化归方法与立体几何教学》） 这四个基本题都是应用三垂线定理与其逆定理解题典型．对这四 个基本题和与之对应的基本图形，一定要让学生会证、理解、掌握、记 住．这样才有可能应用它们来解综合题，这四个基本题是四个台阶，是 向上攀登必不可缺的台阶．
三垂线定理及其典型例题知识讲解
P a
Ao α
用法：
∵PA⊥α， a α，
AO是斜线PO在平面 α内的射影， a⊥PO ∴ a⊥AO
说明：三垂线定理及其逆定理是证明线线垂
直的重要方法。
例题分析： 1、判定下列命题是否正确
三垂线定理
(1)若a是平面α的斜线、直线b垂直于a在平面
α内的射影，则a⊥b。
( ×)
(2)若a是平面α的斜线，b是平面α内的直线，
二、平面的斜线、垂线、射影
三垂线定理
PO是平面α的斜线, O为斜足; PA是平面α的垂线, A为垂足; P AO是PO在平面α内的射影.
oa
如果a α, a⊥AO，
α
A
思考a与PO的位置关
系如何？
结论：a⊥PO 为什么呢？
二、三垂线定理：
三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条
斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
D1
C1
又DD1⊥平面ABCD
A1
B1
∴BD是斜线D1B在平面ABCD上的
射影
∵AC在平面AC内，∴BD1⊥AC
D
请同学思考：如何证明D1B⊥AB1 A 而AB1， AC相交于点A且都在平面
AB1C内 ∴BD1⊥平面AB1C
C B
三垂线定理
关于三垂线定的应用，关键是找出平面(基准面)的垂线。 至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。
三垂线定理及其典型例题
一、射影的概念
定义：自一点P向平面α引垂线，垂足P1 叫做P
在平面α内的正射影（简称射影）。 如果图形F上的所有点在一平面内的射影构成图 形F1，则F1叫做图形F在这个平面内的射影。
.P
三垂线定理及逆定理
(07高考复习)
复习目标：
三垂线定理是反映三种垂直之间关系 定理，要求熟练掌握三垂线定理及逆 定理，并据此能够进行推理、论证和 解决有关问题。
一、引例：如图，已知PA⊥平面ABC， ∠ABC=90°，求证：BC⊥PB。
证明：∵PA⊥平面ABC，BC在平面ABC 内，∴ PA⊥BC，又∠ ABC=90°， ∴BC⊥AB，∴BC⊥平面 PAB ， PB 在 平面PAB内，∴BC⊥PB
PC⊥BD
P
(2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，
M是BC的中点， 求证：BC⊥AM 证明: ∵ PB=PC M是BC的中点
C A
M B
BC⊥AM
PM ⊥BC
∵PA⊥平面PBC
∴PM是AM在平面PBC上的射影
D1 (3) 在正方体AC1中，
C1
B1
求证：A1C⊥BC1 ， A1C⊥B1D1
D
C
A
B
（用
E
D C
B
cos
ABC
S ADE
）
小结：求二面角往往是作出二面角的平面角， 先确定二面角的棱，再设法过棱上一点在二 面角的二个半平面上做棱的两条垂线以找到 平面角，从而转化为平面问题来解决。作二 面角的平面角的方法有（1）定义法，（2） 三垂线定理法，（3）作垂面法。此外射影面 积定理也是求二面角大小的一种常用方法。 (学习空间向量之后,我们还有另外的方法来 求二面角,例如法向量法等.)
（A）垂直
（B）异面
（C）相交
（D）不能确定
2、在一个四面体中，如果它有一个面是直角三角形，那么它 的另外三个面（ C ） （A）至多只能有一个直角三角形 （B）至多只能有两个直角三角形
三垂线定理
一基础训练题 1）P是边长为a的正六边形ABCDEF所在平面外一点， PA⊥AB, PA⊥AF。为求P与CD的距离，作PQ⊥CD 于Q点，则 （ ） C A、Q为CD的中点 B、Q与D重合 C、 Q与C重合 D、以上都不对 2)在正方体AC1中，E、G分别是AA1和CC1的中点， F在 AB上，且C1E⊥EF， 则EF与GD所成的角的大小为( D ） (A) 30° (B) 45° (C) 60°(D) 90° D1 C1
A1
E D F
B1
G
A
B
3）如图在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，已知ABC是
正三角形AA1=2, ∠A1AB=∠A1AC=600， 求此三棱柱的高 A1 B1 C1
A B
C
二、应用举例 例题1，在空间四边形ABCD中，点A在平面BCD内
的射影O1是三角形BCD的垂心。
求证：B在平面ACD内的射影O2是三角形ACD
代写软文 软文代写 / 代写软文 软文代写
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要带俺们去好远好远的地方去，那里美得就好像‘天堂’里一样！俺爹说了，那里赚钱很容易的，俺们发大财了就回来！”看 着年少懵懂的耿直兴致勃勃的样子，大人们只能报以苦笑和无声的叹息了。郭氏的眼里再次溢满了泪水。她强忍着把两泡眼泪 倒灌入鼻腔内，再吸进嗓子眼里咽到肚子里以后，抬头望一望，说：“月儿爷爷升高了，咱们开始拜月哇，完了娃娃们还要去 热闹摇火团儿呢！”于是，郭氏、刘氏和裴氏站起身来，你一言我一语地恭请月儿爷爷享用八仙桌上的“供品”。尽管虔诚的 心情是一样的，但各人的说辞并不尽相同。然后，大家伙儿望着圆月双手合十许愿。至于各人许的什么愿是不能说出来的，因 为说出来就不灵了。如此，“供月”仪式就结束了。郭氏端起放着大月饼的青花大瓷盘说：“俺去把‘团月’切开了，大家伙 儿先吃瓜果啊！”少顷，她又把三斤重的“团月”月饼端了出来。这个大月饼仍然还装在原先的那个青花大瓷盘中，但郭氏已 经巧妙地以“米”字加“米”字的方式把它切成了十六快。她把青花大瓷盘放回到原来的位置上，笑着说：“大家伙儿快吃哇， 月儿爷爷品尝过的‘团月’，咱们正好一人一块儿！”然后，她又返身回屋端出来一盘普通月饼挤放在桌子边上，对几个大男 娃儿说：“多吃点儿哇，吃饱了好有劲儿摇火团儿！”几个小孩子快乐起来。正在吃西瓜的董妞儿把吃剩下的半条西瓜递给娘， 伸出小手就拿起一块儿“团月”吃起来。吃一口很香，马上又拿起一块儿要耿兰吃。然而，耿兰却舍不得放下正在吃的苹果。 她接过董妞儿递来的那块儿“团月”交给娘，高兴地说：“这个苹果不大，可特别甜，俺从来没有吃过这么好吃的苹果！”刘 氏说：“唉，天旱果子甜啊！历来就是这样的。别看果子小，甜着呢！”秀儿也拿起一块儿“团月”，但她掰一半递给了坐在 身旁的耿正，另一半自己吃。耿正接过来咬了一点儿，又给秀儿递过来，说：“唔，很好吃！”秀儿用另半块儿“团月”挡了， 说：“你吃了哇！”郭氏忙说：“这儿还有小月饼呢，‘团月’还是你自己吃啊！”秀儿小声儿说：“俺中午吃多饺子了，不 饿。”这里，大壮拿起一个最红的苹果，放在鼻子下闻了闻，说：“娘说得对，这苹果就是比往年的香！喏，耿英，吃一个！” 耿英羞答答地接了，低头咬一口慢慢嚼着。等到大家伙儿把那个大“团月”分着吃完，又各自吃了一会儿瓜果以后，耿正和秀 儿站了起来。耿正说：“俺教秀儿吹笛子去了！”耿英和大壮也站起来。大壮说：“俺们也吃好了，下午就说好了要去河边捉 蛐蛐儿去呢！”耿老爹瞪大眼睛不解地问：“怎么，你们不去摇火团儿啦？”耿正说：“俺和大壮已经把下午做好的火团儿给 了二狗子和大头了。让二壮和青山青海带小
三垂线定理
二、应用举例 例题1，在空间四边形ABCD中，点A在平面BCD内
的射影O1是三角形BCD的垂心。 求证：B在平面ACD内的射影O2是三角形ACD 的垂心 (练)如图所示，已知AB CD, AC BD.求证：AD BC
A
D B
C
例题2，在正方体AC1中，EF是异面直线AC与A1D的
公垂线，求证EF//BD1
D1 C1
A1 B1
设PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=3，PB=4， PC=6，求点P到平面ABC的距离。
P
A H B
C E
例3、道旁有一条河，彼岸有电塔AB，
高15m，只有测角器和皮尺作测量工具， A
能否求出电塔顶与道路的距离？
B
90°
C
45°
D
例题5，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=a。 BC=BB1=b。求点C到直线AB1的距离
三 垂 线 定 理2
P
oa
α
A
二、两个基本定理回顾
1，三垂线定理：在平面内的一条直线，和这个平面 的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
OA是PA在平面内的射影
P
a
a
a OA
OA α
a PA
2,三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一
条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。
；
的事。 ? 她不属于我们，因为她是天使。 是“国家”错了 ? 在民法的慈母般的眼里，每一个人就是整个国家。——孟德斯鸠 1 ? 一百年前的法兰西。正义的一天—— ? 1898年1月13日，著名作家左拉在《震旦报》上发表致共和国总统的公开信，题为《我控诉》，将一宗为当局所讳的 冤案公曝天下，愤然以公民的名义指控“国家犯罪”，
课时作业2：1.2.2 第2课时 三垂线定理及其逆定理
第2课时三垂线定理及其逆定理课时对点练1．正方体的体对角线与各个面上与其不共端点的面对角线的位置关系是()A．异面垂直B．异面不垂直C．可能相交可能异面D．可能相交、平行或异面答案 A2．点P在平面ABC内的射影是O，且P A，PB，PC两两垂直，那么点O是△ABC的() A．内心B．外心C．垂心D．重心答案 C解析因为PC⊥P A，PC⊥PB，P A∩PB＝P，所以PC⊥平面P AB，所以PC⊥AB.又点P在平面ABC内的射影为O，连接CO，则CO是PC在平面ABC内的射影，由三垂线定理的逆定理可知，AB⊥CO，同理可证AO⊥BC，即O是△ABC的垂心．3．已知AB⊂平面α，AC⊥α，BD⊥AB，BD与平面α成30°角，AB＝m，AC＝BD＝n，则C 与D之间的距离是()A.m2＋n2B.m2＋3n2C.m2＋n2或m2＋2n2D.m2＋n2或m2＋3n2答案 D4．已知△ABC三边的长分别为3，4，5，平面ABC外一点P到△ABC三边的距离都等于2，则P点到平面ABC的距离等于()A．1 B. 2 C. 3 D．4答案 C解析如图，点P在底面上的垂足为O，PE，PF，PD分别是顶点P到三角形各边的距离，由三垂线定理的逆定理可知，OE，OF，OD分别是三角形各边的垂线，因为三条侧高相等，所以OE ＝OF ＝OD ， 所以O 为底面三角形的内心，设半径为r ，则由面积相等得12×3×4＝12(3＋4＋5)r ，所以r ＝1，所以点P 到平面ABC 的距离是 3.5．在四面体ABCD 中，AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，下列说法正确的是( ) A ．A 在平面BCD 内的投影是△BCD 的重心 B ．A 在平面BCD 内的投影一定在△BCD 的内部 C ．AD ⊥BC D ．AD ∥BC 答案 C解析 如图，作AO ⊥平面BCD ，连接OB ，OC ，OD ，则AO ⊥CD ，又因为AB ⊥CD ，由三垂线定理的逆定理可知BO ⊥CD ，同理CO ⊥BD ，则O 为△BCD 的垂心，故A 错；若△BCD 为钝角三角形，则其垂心在三角形的外部，故B 错；所以DO ⊥BC ，由三垂线定理可知AD ⊥BC ，故C 正确，D 错．6．(多选)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点，则下列结论正确的有( )A ．直线DD 1与直线AF 垂直B ．直线A 1G 与平面AEF 平行C ．点C 与点G 到平面AEF 的距离相等D ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为98答案BD解析对于A，取DD1中点M，则AM为AF在平面AA1D1D上的射影，∵AM与DD1不垂直，∴AF与DD1不垂直，故A错误；对于B，取B1C1中点N，连接A1N，GN，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1N∥AE，NG∥EF，A1N⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，所以A1N∥平面AEF，同理可证NG∥平面AEF，A1N∩NG＝N，所以平面A1GN∥平面AEF，A1G⊂平面A1GN，所以A1G∥平面AEF，故B正确；对于C，假设C与G到平面AEF的距离相等，即平面AEF将CG平分，则平面AEF必过CG的中点，连接CG交EF于H，而H不是CG的中点，则假设不成立，故C错误；对于D，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD1∥EF，把截面AEF补形为四边形AEFD1，由等腰梯形计算其面积S＝98，故D正确．7．正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AD1与对角面BB1D1D所成角的大小是______．答案30°解析取BD的中点H，连接AH，∵正方体ABCD－A1B1C1D1，∴BB1⊥平面AC，∴AH⊥BB1，∴AH⊥BD且BD∩BB1＝B，∴AH⊥平面BD1，∴AH⊥D1H，∴∠AD1H就是直线AD1与平面BD1所成角．设AB＝1，在Rt△AHD1中，则AH＝22，AD1＝2，∴sin∠AD1H＝AHAD1＝12，∴∠AD1H＝30°.8．已知P A垂直于△ABC所在的平面，AB＝AC＝13，BC＝10，P A＝5，则P点到BC的距离为________．答案13解析取BC的中点E，连接AE，PE，∵P A⊥平面ABC，∴AE为PE在平面ABC内的射影，又AB＝AC，∴AE⊥BC，由三垂线定理得，PE⊥BC，又AE＝12，P A＝5，∴PE＝13.9．已知H是锐角△ABC的垂心，PH⊥平面ABC，∠BPC＝90°.求证：∠BP A＝90°，∠APC ＝90°.证明利用三垂线定理可证BP⊥AC，又BP⊥PC，故PB⊥平面APC，得∠APB＝90°，同理可证∠APC＝90°.10．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，P为B1C1的中点，A1C1与PD1交于M，B1C与PB交于N.求证：MN⊥A1C1，MN⊥B1C，并求MN的长．证明连接BD1(图略)，利用PMMD1＝PNNB＝12，得MN∥BD1，MN＝13BD1，得MN＝33a.由三垂线定理知，BD1⊥A1C1，BD1⊥B1C，所以MN⊥A1C1，MN⊥B1C.11．PO⊥平面ABC，垂足为O，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝5，P A＝PB＝PC＝10，则PO的长等于()A．5 B．5 3 C．10 D．10 3答案 B解析在△ABC中，∠ABC＝90°，满足P A＝PB＝PC＝10，PO⊥平面ABC，O为垂足，所以O是AC的中点，∠BAC＝30°，BC＝5，解得AC＝10，所以OA＝CO＝OB，利用勾股定理得PO＝PC2－OC2＝5 3.12．如图，P A⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD的值为()A．1∶2 B．1∶1C．3∶1 D．2∶1答案 B解析方法一连接AE(图略)，∵P A⊥平面ABCD，且BF⊥PE，由三垂线定理的逆定理可知，BF⊥AE，∴∠EAD＝∠ABF，∴△ABF≌△DAE，∴AF＝DE，即F为中点，∴AF∶FD＝1∶1.方法二建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，P A＝a，则B (1，0，0)，E ⎝⎛⎭⎫12，1，0，P (0，0，a )． 设点F 的坐标为(0，y ，0)，则BF →＝(－1，y ，0)，PE →＝⎝⎛⎭⎫12，1，－a . ∵BF ⊥PE ，∴BF →·PE →＝0，解得y ＝12，即点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，12，0. ∴F 为AD 的中点，∴AF ∶FD ＝1∶1.13．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点．则AM 与PM 的位置关系为( )A ．平行B ．异面C ．垂直D ．以上都不对 答案 C解析 取CD 的中点P ′，连接PP ′，AP ′，MP ′(图略)， 易知PP ′⊥平面ABCD ，所以MP ′为PM 在平面ABCD 内的射影． 由题意得，AM ＝6，MP ′＝3，AP ′＝3， 所以AP ′2＝AM 2＋MP ′2，所以AM ⊥MP ′， 由三垂线定理知AM ⊥PM .14．空间四边形ABCD 的四条边及两条对角线的长均为1，则点A 到平面BCD 的距离为________． 答案63解析 设点A ′是点A 在平面BCD 上的投影，分别连接A ′B ，A ′C ，A ′D ，因为AB ＝AC ＝AD ，所以它们在平面BCD 上的射影A ′B ，A ′C ，A ′D 也都相等， 所以点A ′是△BCD 的中心．因为BC＝1，所以△BCD的高为3 2，所以A′D＝3 3，在Rt△AA′D中，|AA′|＝AD2－A′D2＝6 3，即点A到平面BCD的距离为6 3.15．如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ABC＝60°，P A＝AB＝2，P A⊥平面ABCD.若PC⊥BD，则AD＝________，该四棱锥的体积为________．答案243 3解析∵P A⊥平面ABCD，且BD⊥PC，由三垂线定理的逆定理知，BD⊥AC.又四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD为菱形，∴AD＝AB＝2，∴S四边形ABCD＝2S△ABC＝23，∴V P－ABCD＝13×23×2＝433.16．如图，四面体ABCD中，O，E分别是BD，BC的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝ 2.(1)求证：AO⊥平面BCD；(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值；(3)求点E到平面ACD的距离．(1)证明连接OC，∵BO ＝DO ，AB ＝AD ， ∴AO ⊥BD .∵BO ＝DO ，BC ＝CD ， ∴CO ⊥BD .在△AOC 中，由题设知AO ＝1，CO ＝3，AC ＝2， ∴AO 2＋CO 2＝AC 2， ∴∠AOC ＝90°，即AO ⊥OC . ∵AO ⊥BD ，BD ∩OC ＝O ， ∴AO ⊥平面BCD .(2)解 取AC 的中点M ，连接OM ，ME ，OE ， 由E 为BC 的中点，知ME ∥AB ，OE ∥DC ，∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角， 在△OME 中，EM ＝12AB ＝22，OE ＝12DC ＝1，∵OM 是直角△AOC 斜边AC 上的中线， ∴OM ＝12AC ＝1，∴cos ∠OEM ＝1＋12－12×1×22＝24，∴异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为24. (3)解 设点E 到平面ACD 的距离为h . ∵V E －ACD ＝V A －CDE ， ∴13h ·S △ACD ＝13·AO ·S △CDE . 在△ACD 中，CA ＝CD ＝2，AD ＝2， ∴S △ACD ＝12×2×4－⎝⎛⎭⎫222＝72， ∵AO ＝1，S △CDE ＝12×34×22＝32，∴h ＝AO ·S △CDE S △ACD ＝1×3272＝217，∴点E 到平面ACD 的距离为217.。
三垂线定理及三垂线逆定理
BC ⊥ PC
A O BPB=PC, M是BC的中点, 求证：BC⊥AM P
C A M
证明: PB=PC
B M= M C
BC ⊥ PM
B BC⊥AM
PA⊥平面PBC
我们要学会从纷繁的已知条件和各式各样的位置 图形中找出或者创造出符合三垂线定理的条件
P
解 题 回 顾
证明: 连结AC, CC1⊥平面ABCD BD⊥AC AC1⊥BD 同理AC1⊥A1B
D
D1 C A A1
B1
B
AC1⊥平面BA1D.
本节课到此结束，请同学们课后再 做好复习与作业。谢谢！
作业：见题单
再见!
例 在空间四边形ABCD中,已知 CD ⊥ AB , BD ⊥ AC. 求证：BC ⊥ AD . 证明:
A
作AO⊥平面BCD于点O CD ⊥ AB
CD ⊥ BO
同理 BD ⊥ CO O是△BCD的垂心 BC ⊥ DO AO⊥平面BCD BC ⊥ AD.
B O D
C
例 在正方体ABCD—A1B1C1D1中, C1 求证：AC1⊥平面BA1D.
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线 的射影垂直,那么它就和这条斜线垂直.
线射垂直
定 理
逆 定 理
P
a
线斜垂直
A
O
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.
α
A
O
a
P
α
P
A O
a
A
C
高中数学选修2-1三垂线定理及逆定理(一)
[思考2]:
在四面体A-BCD中
A
若AB CD, BC AD, 求证：AC BD.
D
B
O
C
[思考3]:
D1 A1
P
C1 B1
O M N
若O为 B1 BCC1中心, P为 D1 D 上一点, 求证：PO⊥AM
C
D A
B
[思考4]:
D1 A1 G D A B1 F B C1 E C
设正方体 ABCD A1B1C1D1 的 棱长为2, 若E为 C1C 的中点,
A
o
a
理解和深化
⒈为什么称为“三垂线”定理？
P α A o
a
三种垂直关系: ①线面垂直②线射垂直③线斜垂直 ⒉这个定理的作用是什么？ 三垂线定理实质是平面内的直线和平面的斜线垂直 的判定定理.
3.如果将定理中“在平面内”的条件去掉，结 论成立吗？
P
α A
o
a
直线a必须要在平面内,如果a 不在平面内,定理就不一定成 立.
三垂线定理及逆定理
P
α
A
o
a
[思考]
如图， l 是平面α的一条斜线，如何在α内画一 l垂直？ 条直线与
l
α
a
涉及到三对垂直关系
l P
A a
： PO , OA a , PA a
其中 : PO PA a OA a A - - - - - - - -三垂线定理 . PO OA a PA a - - - - - - - -三垂线逆定理 .
D1 A1 B1 D A B
C1 练习: (1)求证: D1 B B1C (2)求证: D1 B 平面AB1C C
三垂线定理及其逆定理测试题(含答案)
三垂线定理及其逆定理测试题(含答案)
三垂线定理是平面几何中的基本定理之一，它指出：在一个三角形中，三条垂线的交点是三角形的垂心。
同时，如果在一个三角形中，垂心落在三角形内部，那么这个三角形是锐角三角形；如果垂心落在三角形外部，那么这个三角形是钝角三角形。
在解题时，需要掌握三垂线定理的基本概念和性质。
例如，在一个直角三角形中，垂线的长度恰好等于斜边的一半；在一个等边三角形中，垂线的长度恰好等于高的三分之一。
此外，还需要掌握一些相关的定理和公式，例如勾股定理、正弦定理、余弦定理等。
通过掌握三垂线定理及其相关知识，可以解决各种三角形的问题，例如求三角形的周长、面积、角度等。
同时，三垂线定理也是其他几何定理的基础，例如欧拉线定理、费马点定理等。
总之，掌握三垂线定理及其相关知识，对于解决平面几何问题具有重要的意义。
三垂线定理及其逆定理
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直
三垂线定理的逆定理
线射垂直 P
？ P 线斜垂直
A Oa α
平面内的一条直线和 平面的一条斜线在平 面内的射影垂直
A Oa α
平面内的一条直 线和平面的一条 斜线垂直
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线 垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。
2.已知 PA、PB、PC两两垂直， 求证：P在平面ABC内的射影是 △ABC的垂心。
3.经过一个角的顶点引这个角
B
所在平面的斜线，如果斜线和
这个角两边的夹角相等，那么
C1
斜线在平面上的射影是这个角
的平分线所在的直线。
D1
4.在ABCD—A1B1C1D1中，
C
求证：AC1⊥平面A1BD
D
P
A H C
例4 在四面体ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD 求证：AD⊥BC
证明：作AO⊥平面BCD于点O， 连接BO，CO，DO，则BO， CO，DO分别为AB，AC， AD在平面BCD上的射影。
∵AB⊥CD，CD 平面BCD ∴BO⊥CD，同理CO⊥BD，
B 于是O是△BCD的垂心，
∴DO⊥BC，于是AD⊥BC.
a⊥平面PAO
PO平面PAO
a⊥PO
注意：
P
三垂线定理是平面
的一条斜线与平面内的
e dc ob a
直线垂直的判定定理，
这两条直线可以是：
α
A
①相交直线
②异面直线
例1 已知P 是平面ABC 外一点， PA⊥平面 ABC ，AC ⊥ BC， 求证： PC ⊥ BC
三垂线定理及其逆定理测试题(含答案).docx
三垂线定理及其逆定理一、单选题（共8道，每道12分）1.如图，BC 是Rt8sc 的斜边，过点A 作AABC 所在平面a 的垂线AP,连接PB, PC,过 点A 作AD 丄BC 于点D,连接PD,那么图中的直角三角形共有（）A.4个B.6个C.7个D.8个答案：D 解题思路:丄平面a,・•・"在平面a 內的射影为血，W4D1BC,由三垂线定理可得，PD 丄BC,:.AABC, A ABD, AACD, APBD, APCD, \PAB 、'PAD 、△刃C 均为直角三角形，共8个，故选D.2.如图，在正方体中，已为时G 的中点，则下列与直线CE 垂直的是（）难度：三颗星知识点：三垂线定理A.直线ACB.直线直°】c.直线AD ID.直线A"答案:B解题思路：如图，连接B\D\,则点E在久耳上，•・•点C在平面内的射影是C】,・•・CE在平面箱8匸4］内的射影是C、E ,•・• C0丄胪］,由三垂线定理可得，CE1B.D,；在四边形4%C］C中，qcjuc, 易得」£C不可能和CE垂直；■/ .\DjlBC, ^All QC,而BC, C］C明显与CE不垂直,・•・4刀］,A.A不可能和C£垂直.综上，选B.试题难度：三颗星知识点：三垂线定理3.如图，在AABC屮，ZACB=90°,直线I过点A且垂直于平面ABC,动点尸厂，当点P逐渐远离点A 时，ZPCB 的度数（）A.逐渐变大B.逐渐变小C.不变D.先变大再变小答案：C解题思路：由题意可得,AC1BC,丁刃丄平面ABC,由三垂线定理的逆定理可得，5C1PC,/.ZPC5=90°,即乙PCB 的度数保持不变，故选C.试题难度：三颗星知识点：三垂线定理4.己知三棱锥P-ABC 的高为PH,若P 到厶ABC 的三边的距离相等，且点H 在厶ABC 内，则点 H 为厶ABC 的（ ）A.垂心B.重心C.外心D.内心答案：D解题思路：由题意，作岀符合题意的图形，过点P 分别作PE 丄曲于点E PF 丄彳C 于点F,连接PE PF, HE, HF,B•・• PH丄平面ABC,・•・PE在平面ABC內的射影为HE,\'PElAB f由三垂线定理的逆定理可得，HE1AB,同理可得：HFlAC f'：PE=PF,:.HE=HF,即点H到AB, AC的距离相等，同理可证，点H到三边的距离都相等, ・•・点刃是△ ABC的内心，故选D.试题难度：三颗星知识点：三垂线定理5.四面体ABCD中，棱AB, AC, AD两两垂直，则顶点A在底血BCD上的正投影H为△ BCD 的（）A.重心B.垂心C.外心D.内心答案：B解题思路：由题意，作岀符合题意的图形，连接 阳，DH 、W451JC, AS1AD,•「IB 丄平面ACD,:.AB1CD,•・•刃是"在底面BCD 的正投影，・•・BH 是AB 在平面BCD 內的射影，由三垂线定理的逆定理可得，BH1CD, 同理可得，DH1BC, ・•・点刃是的垂心，故选B.6.已知二面角a-AB-P 的平面角是锐角，C 是平面a 内一点（点C 不在棱AB 上），D 是点C 在平面卩上的射影，E 是棱AB 上满足ZCEB 为锐角的任一点，那么（）答案:A 解题思路:难度：三颗星知识点：三垂线定理A. ZCEB>ZDEBB. ZCEB 二 ZDEBC.ZCEBvZDEBD.ZCEB 和ZDEB 的大小关系不能确定如图，过点C作CF丄■毎于点F,连接DF,9：CD1AB9 CF1AB,丄平面CDF,.\DF1AB,在RxACDF中，CF>DF,CF DFJ tanZC£5 = — , tanZDEB =—,EF EF由CFADF可知，/CEE>/DEB, 故选A.试题难度：三颗星知识点：三垂线定理7.如图，A0丄平而a,垂足为点0,方Cu平面G, BC丄0B,若ZABO=45°,ZCOB=30°,则ZBAC的余弦值为（）苗屁A~ B.〒答案：B 解题思路:'：AO 丄平面 a, PCu 平面a, BC\_OB, 由三垂线定理可得，ABLBC f 设 03=2,TZ 总BO=45。
2.3.1-3三垂线定理
O
O为BD的中点
∴ AO⊥BD 又AO是PO在ABCD上的射影
C
PO⊥BD
同理，AC⊥BD
AO是PO在ABCD上的射影
PC⊥BD
例3:在四面体ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD 求证：AD⊥BC
证明：作AO⊥平面BCD于点O， 连接BO，CO，DO，则BO， CO，DO分别为AB，AC， AD在平面BCD上的射影。
证明：∵ P 是平面ABC 外一点 P
PA⊥平面ABC
∴PC是平面ABC的斜线 ∴AC是PC在平面ABC上的射影 ∵BC平面ABC 且AC ⊥ BC ∴由三垂线定理得 A B
C
PC ⊥ BC
例2 PA⊥正方形ABCD所在平
P A B D
面，O为对角线BD的中点，
求证：PO⊥BD，PC⊥BD 证明: ∵ABCD为正方形
a
6、两定理可用符号语言表示 如下：
设 l 是平面 的斜线，l ' 是直线 l 在平面 内的射 影，a 则
P
l
A
l
'
O
a
al al
'
7、定理的作用
（1）作图中是作二面角的平面角的主要依据。 （2）在证题时是证线线垂直的好方法。 （3）在计算时用归面法归拢已知条件，便于计算。
8、三垂线定理解题的关键： 定面、找线！怎么找？
P
α
A
Oa
三垂线定理总结
（1）定理涉及到的五个元素是 “一面四线” （2）三垂线定理（或逆定理），实质上是平面的一条斜线 （或其射影）和平面内的一条直线垂直的判定定理，这两条 直线可以是相交直线，也可以是异面直线 （3）定理的证明思路是：
三垂线定理及其逆定理的应用
P
o
α A
a
复习：
三垂线定理：
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线 的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：
在平面内的一条直线，如果和这个 平面的一条斜线垂直，那么它也和 这条斜线的射影垂直。
P o a
α 三垂线定理及其逆定理可表述为：
A
设l 为平面α的斜线， l ′是l 在平面α内的射影， 直线a α ，则 a ⊥ l ′ a⊥l。
例3、把一个直角∠AOC按它的角平线OB折 叠，使OC在平面AOB上的射影为OB，则折后 ∠AOC等于多少？
P
θ1 θ2
C
O
θ
D
B
α
E A
600
例 4 ABCD 是矩形， 过 CD 的平面交 （ 1）求证：
PA 面 ABCD ，
PA ， PB 于 E 、 F ，
CDEF 是直角梯形；
例⒈ 已知PD⊥平面ABCD，下列条件中 ⑴ 四边形ABCD是菱形； ⑵ 四边形ABCD是矩形； ⑷若四边形ABCD是矩形， 且PD = a ，AB = b,BC = c， 求P到AB及AC的距离。 ⑵⑶ ⑴⑶
2 2
⑶ 四边形ABCD是正方形。
能使BC ⊥PC一定成立的序号有 能使AC ⊥PB一定成立的序号有 P
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个
1°定理中四条线均针对同一平面而言
2°应用定理关键是找“基准面”这个参照系 3°操程序分三个步骤——“一垂二射三证”
两定理特征：四线一面三垂直
（ 2）当 PA AB a ， BC b ， E 、 F 分别是 PA 、 PB 的中点，且梯形的面积 是矩形面积的 5 4 时，求 a ： b 的值。
三垂线定理的逆定理
1、垂线定理：
在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射 影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
2、三垂线定理的逆定理：
在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直， 那么它和这条斜线的射影垂直。
3．练习：
已知：在正方体AC1中，求证：（1）BD1⊥A1C1； （2）BD1⊥B1C．
例2．已知：四面体S-ABC中，SA⊥平面ABC， △ABC是锐角三角形，H是点A在面SBC上的 射影。 求证：H不可能是△SBC的垂心．
S
H
A
C
B
例3．已知：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E是CC1的中点，F是AC、BD的交点。 求证：A1F⊥平面BED．
D1
C1
B1 A1
E
D
求证：P在平面PBC内的射影H
H
是△ABC的垂心。
P
C
B
；淘宝 https:/// 淘宝优惠券 ；
她の手艺嫁到国外会很可怜,那种因为伙食不对胃口而引起の思乡滋味她在梦里领教过.两人边吃边聊,一个问得似是无心,一个答得仿佛随意,孰真孰假,难以琢磨.“...等配送点建好,你家要安装一个信箱.”信件老插在门口不像话.“什么时候能建好？”如果她还没搬走の话,装一个也无 妨.“大概一两个月吧...”夜里清凉,哪怕没电照样能睡得舒爽安稳.云岭村の桥头今早就杵着一块牌子,上边写着今天餐厅只营业到下午三点,很多客人被挡了回去.也有人不以为然,像云非雪她们那样坚持进村看个究竟.结果发现除了路灯,周围の房屋一片漆黑.村里停电了,天气热爆表, 必须错峰用电而产生の后果,等到了明天就能恢复用电,这对于家有发电机の人来说不足为虑.养生馆の活动搞到十一点才散,而休闲居里の两人十点半就散了.柏少华说话算话,陆羽最后还吃了一杯水果冰淇淋,
三垂线定理及其逆定理(含答案)
三垂线定理及其逆定理一、单选题(共8道，每道12分)1.如图，BC是的斜边，过点A作△ABC所在平面α的垂线AP，连接PB，PC，过点A作AD⊥BC于点D，连接PD，那么图中的直角三角形共有( )A.4个B.6个C.7个D.8个答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：三垂线定理2.如图，在正方体中，E为的中点，则下列与直线CE垂直的是( )A.直线ACB.直线C.直线D.直线答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三垂线定理3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点，当点P逐渐远离点A时，∠PCB的度数( )A.逐渐变大B.逐渐变小C.不变D.先变大再变小答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：三垂线定理4.已知三棱锥P-ABC的高为PH，若P到△ABC的三边的距离相等，且点H在△ABC内，则点H为△ABC的( )A.垂心B.重心C.外心D.内心答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：三垂线定理5.四面体ABCD中，棱AB，AC，AD两两垂直，则顶点A在底面BCD上的正投影H为△BCD 的( )A.重心B.垂心C.外心D.内心答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三垂线定理6.已知二面角α-AB-β的平面角是锐角，C是平面α内一点（点C不在棱AB上），D是点C 在平面β上的射影，E是棱AB上满足∠CEB为锐角的任一点，那么( )A.∠CEB＞∠DEBB.∠CEB=∠DEBC.∠CEB<∠DEBD.∠CEB和∠DEB的大小关系不能确定答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：三垂线定理7.如图，AO⊥平面α，垂足为点O，，BC⊥OB，若∠ABO=45°，∠COB=30°，则∠BAC的余弦值为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三垂线定理8.如图，三棱柱的侧棱在下底面的射影BD与AC平行，若与底面的夹角为30°，且，则∠ACB的余弦值为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：三垂线定理。
三垂线定理
庄逍遥对此并不懊恼，只是劝她“你刚洗完澡，光脚踩在地面上容易着凉的”，然后不知从什么时候开始他便将所有的地面铺上了一层厚厚的 地毯。
白荌苒便笑着对他吐舌“才不要”
庄逍遥便不再多说什么，只是等她闹够了之后待她安静下来之后替她吹干头发，而白荌苒往往在庄逍遥替她吹头发的时候便睡到在他的怀里了。
也许没有人会相信，她白荌苒虽然经常留宿在庄逍遥的家中，但是他们之间闹归闹却一直是过的相敬如宾，并没有逾越雷池半分。所有就这一 点，白荌苒偶尔会在心里叹息，果然，她在庄逍遥的心中是一个没有性别差异的存在。
P
A
C H B E
例3、道旁有一条河，彼岸有电塔AB，
高15m，只有测角器和皮尺作测量工具， A
能否求出电塔顶与道路的距离？
B
90°
C
45°
D
例题5，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=a。
BC=BB1=b。求点C到直线AB1的距离
D1 C1 A1B1Βιβλιοθήκη D CAB
例 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等， 那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。 已知：∠BAC在平面内，点P，PE⊥AB， P PF⊥AC，PO⊥ ，垂足分别是 E、F、O，PE=PF B E 求证：∠BAO=∠CAO A O C F 思考：1）若∠PAE=∠PAF,则点P的射影在那里 2）若点P到 BAF的三个顶点距离相等点P的射影是 3）若点P到 BAF的三条边的距离相等点P的射影是
白安然想起她刚认识庄逍遥的时候，还是高中年代、她刚刚认识庄逍遥那会儿、也是很痴迷庄逍遥的。
庄逍遥是以插班生的身份来到她们班的，那还是高中一年级的时候，到那个学期中期的时候庄逍遥来到了她们班。那个时候的庄逍遥也总是沉 默寡言的，几乎不曾看到他笑过，他似乎总是有太多的心事，每天总是恬静的要命。白荌苒跟他同桌的那段时间总是忍不住默默地担忧着那样 一个面相看起来很忧郁的男生，她总是乐呵呵的跟他讲起学校里、家里、身边发生的一切有趣的事情，可惜庄逍遥一直都是不太搭理她的，也 鲜少回应她。很多时候，白荌苒都觉着自己不过是在自言自语罢了，不免觉得好笑，可即使如此，她还是忍不住想要同那个沉默寡言的男孩子 分享自己的快乐。
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三垂线定理及其逆定理例题
知识点：
1.三垂线定理；；
2.三垂线定理的逆定理；
3.综合应用； 教学过程：
1．三垂线定理：平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么这条直线就和这条斜线垂直；
已知：,PA PO 分别是平面α的垂线和斜线，AO 是PO 在平面α的射影,,a α⊂a AO ⊥。
求证：a PO ⊥； 证明： 说明：
（1）线射垂直（平面问题）⇒线斜垂直（空间问题）；
（2）证明线线垂直的方法：定义法；线线垂直判定定理；三垂线定理；
（3）三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间的垂直关系。
（4）直线a 与PO 可以相交，也可以异面。
（5）三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。
例1.已知P 是平面ABC 外一点，,PA ABC AC BC ⊥⊥。
求证：PC BC ⊥。
例2.已知PA ⊥正方形ABCD 所在平面，O 为对角线BD 的中点。
求证：,PO BD PC BD ⊥⊥。
P
B
B
例4.在正方体1AC 中，求证：1111
1,AC B D AC BC ⊥⊥；
2．写出三垂线定理的逆命题，并证明它的正确性； 命题： 已知： 求证： 证明： 说明：
例2．在空间四边形ABCD 中，设,AB CD AC BD ⊥⊥。
求证：（1）AD BC ⊥；
（2）点A 在底面BCD 上的射影是BCD ∆的垂心；
P
D
A
B C
1
A C
例 3.求证:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上 已知： 求证：
说明：可以作为定理来用。
例5．已知：Rt ABC ∆中，,3,42A AB AC π∠===，PA 是面ABC 的斜线，3
PAB PAc π
∠=∠=。
(1)求PA 与面ABC 所成的角的大小;
(2)当PA 的长度等于多少的时候，点P 在平面ABC 内的射影恰好落在边BC 上；
B
作业：
1.正方体1111D C B A ABCD -,,E F 分别是1,A A AB 上的点,1EC EF ⊥. 求证: 1EF EB ⊥。
2.已知：PA ⊥平面PBC ，,PB PC M =是BC 的中点。
求证：BC AM ⊥；
3.填空并证明： （1）在四面体ABCD 中，对棱互相垂直，则A 在底面BCD 上的射影是底面BCD 的 心。
（2）在四面体ABCD 中，AB 、ＡＣ、ＡＤ互相垂直，则A 在底面BCD 上的射影是底面BCD 的 心
（3）在四面体ABCD 中，AB=AC=AD ，则A 在底面BCD 上的射影是底面BCD 的 心。
（4）在四面体ABCD 中，顶点A 到BC 、CD 、DB 的距离相等，则A 在底面BCD 上的射影是底面BCD 的 心。
4.正方体1111D C B A ABCD -中棱长a ，点P 在AC 上，Q 在BC 1上，AP ＝BQ ＝a ， （1）求直线PQ 与平面ABCD 所成角的正切值； （2）求证：PQ⊥AD ．
5.在正方体1111D C B A ABCD -中，设E 是棱1AA 上的点，且1:1:2AE EA =，F 是棱AB 上的点，
12
C EF π
∠=。
求AF ：FB 。
6.点P 是ABC ∆所在平面外一点，且PA ⊥平面ABC 。
若O 和Q 分别是ΔABC 和ΔPBC 的垂心，试证：OQ ⊥平面PBC 。
7.已知EAF ∠在平面α内，,,AT P PAE PAF αα⊂∉∠=∠，,,EAT FAT PD D αα∠=∠⊥∈。
求证：D AT ∈；
A
B。