【精品】八年级上册数学 全等三角形(角度转化问题_二次全等问题)

三角形三边关系问题（注意分类讨论）

例题1：(1)已知等腰三角形的一边等于8cm，一边等于6cm，求它的周长．

(2)一个等腰三角形的周长为30cm，一边长为6cm，求其它两边的长．

(3)有两边相等的三角形的周长为12cm，一边与另一边的差是3cm，求三边的长．例题2：(1)若三角形三条边的长分别是7，10，x，求x的范围．

(2)若三边分别为2，x－1，3，求x的范围．

(3)若三角形两边长为7和10，求最长边x的范围．

(4)等腰三角形腰长为2，求周长l的范围．

三角形内角和定理与外角定理（计算角度问题时，有些情况可以用方程思想去解答）

例题1：(1)△ABC中，若∠A＋∠C＝2∠B，则∠B＝______．

(2)△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则∠A＝______，∠B＝______，∠C＝______．

(3)△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则它们的相应邻补角的比为______．

例题2：如图，直线a∥b，则∠A＝______度．

例题3：已知：如图，DE⊥AB，∠A＝25°，∠D＝45°，则∠ACB＝______．

拓展题：已知：如图，O是△ABC内一点，且OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB．

(1)若∠A＝46°，求∠BOC；

(2)若∠A＝n°，求∠BOC；

(3)若∠BOC＝148°，利用第(2)题的结论求∠A．

角度转化问题

1．已知：如图，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B，DE＝CB．

求证：AD＝AC．

2．已知：如图，AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC．

求证：BD＝CE．

3．已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．

求证：HN＝PM.

4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，

E、F为垂足．当直线l不与底边AB相交时，求证：EF＝AE＋BF．

5．已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC．

求证：ED⊥AC．

二次全等问题

1.已知：如图，线段AC、BD交于O，∠AOB为钝角，AB＝CD，BF⊥AC于F，DE⊥AC于E，AE＝CF．

求证：BO＝DO．

2．已知：如图，AC与BD交于O点，AB∥DC，AB＝

DC．若过O 点作直线l，分别交AB、DC于E、F两点，求证：OE＝OF.

3．如图，E在AB上，∠1＝∠2，∠3＝∠4，那么AC等于AD吗？为什么？

4．已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，DE＝BF.

求证：AB∥DC.

角平分线的性质：

角平分线上的点到角的两边的距离相等．

∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上

∴ QD＝QE

例题1、如图：在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；求证：CF=EB。

例题2、已知：如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD、BE交于O，∠1＝∠2．

求证：OB＝OC.

练习：已知：如图，在ΔABC中，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，且BD、CE交于点O，过O作OP⊥BC于P，OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，则OP、OM、ON的大小关系为_____．

思考题：已知：如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：

（1）可选择的地点有几处？

（2）你能画出塔台的位置吗？

角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

用数学语言表示为：

∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．

∴点Q在∠AOB的平分线上．

例题：已知：如图，ΔABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线BF、CF交于点F.

求证：一点F必在∠DAE的平分线上．

综合提升：1．已知：如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）求证：AM平分∠DAB；

（2）猜想AM与DM的位置关系如何？并证明你的结论．

2．已知：如图，在ΔABC中，AD是△ABC的角平分线，E、F分别是AB、AC上一点，并且有∠EDF＋∠EAF＝180°．试判断DE和DF的大小关系并说明理由．

垂直平分线的性质

例题1：如图，ΔABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于P点．（1）若∠A＝35°，则∠BPC＝_____；

（2）若AB＝5 cm，BC＝3 cm，则ΔPBC的周长＝_____．

等腰三角形的性质

例题1：如图，根据已知条件，填写由此得出的结论和理由．（1）∵ΔABC中，AB＝AC，

∴∠B＝______．（）

（2）∵ΔABC中，AB＝AC，∠1＝∠2，

∴AD垂直平分______．（）

（3）∵ΔABC中，AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝______．（）

（4）∵ΔABC中，AB＝AC，BD＝DC，

∴AD⊥______．（）