复合函数求导

导数的运算法则：
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的 导数的和(差),即: f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)


法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 , 即: f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) 法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 , 再除以第二个函数的平方.即: f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
2 x1 2( x2 2) x1 0 x1 2 或 . 因为两切线重合, 2 2 x1 x2 4 x2 2 x2 0
若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.
所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.
1.2.3复合函数求导
我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数 公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1 ; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a ( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x
u
0.05e 0.05e
u 0.05 x 1
(3) y sin( x )(其中，均为常数)
解： (1)函数y sin( x )可以看作函数y sin u和 u x 的复合函数。根据复合函数求导法则有
y x ' yu 'u x ' (sin u )'(x )' cos u cos(x )
练习1、求下列函数的导数。
(1) y= 5
y 0
4
-2
(2) y= x
(3) y= x
2 y 2 x 3 x
3
y 4 x
3
x (4) y= 2
y 2 ln 2
x
(5) y=log3x y
1 x ln 3
练习2、求下列函数的导数。
1、y=5 2、y=xn 3、y=sinx 4、y=cosx 5、y=ax 6、y=ex 7、y=logax 8、y=lnx 9、y=x5+sinx-7x 10、y=6x-cosx+log7x 11、y=ex+lnx+9x7 12、y=4ex-2cosx+7sinx
思考？如何求函数
y ln x 2
的导函数：
复合函数的概念
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x),
如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称
这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，
记作y=f(g(x)).
如下函数由多少个函数复合而成：
1. y sin 2 x 2 2. y 2 x 1 2 3. y (sin 2 x 1) 4. y ln x 2
1 4 t 4
1 练习:已知曲线 y x 3 在点P(1,1)处的切线与直线m平
行且距离等于 10 ,求直线m的方程.
1 1 3 4 解：y 3 , y ( 3 ) ( x ) 3 x ; x x 曲线在 P (1,1)处的切线的斜率为 k y | x 1 3,
从而切线方程为 y 1 3( x 1),即3 x y 4 0.
设直线m的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公 式得:
| b (4) | 32 1 10 | b 4 | 10, b 6或b 14;
故所求的直线m的方程为3x+y+6=0或3x+y-14=0.
例6.已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均 相切,求l的方程.
解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2).
对于S1 , y 2 x, 则与S1相切于P点的切线方程为y-x12 =2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.① 对于S2 , y 2( x 2), 与S2相切于Q点的切线方程为y+ (x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.②
复合函数y f ( g ( x))的导数和函数 y f (u ), u g ( x)的导数间的关系为 yx ' yu 'u x '
例4 求下列函数的导数
(1) y (2 x 3)
2
解： (1)函数y (2 x 3)2 可以看作函数y u 2和 u 2 x 3的复合函数。根据复合函数求导法则有
小结： 复合函数y=f(x)要先分解成基本 初等函数y=g(u), u=h(v), v=i(x) 等， 再求导：y’x=y’uu’vv’ x 根据函数式结构或变形灵活选择 基本初等函数求导公式或复合函数求 导方法
作业本：“基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则”
例5.某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s= -4t3+16t2. (1)此物体什么时刻在始点? (2)什么时刻它的速度为零? 解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得: t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在 始点. (2) s(t ) t 3 12t 2 32t , 令s(t ) 0, 即t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8, 故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.
y x ' yu 'u x ' (u )'(2 x 3)'
2
4u 8 x 12
(2) y e
解： (1)函数y e
0.05 x1
0.05 x 1
可以看作函数y e 和
u
u 0.05 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 1的复合函数。根据复合函数求导法则有
yx ' yu 'u x ' (e )'(0.05 x 1)'