复合函数求导
复合函数求导举例
复合函数求导举例复合函数的求导是微积分中的一个重要概念，它描述了两个或多个函数相互作用的过程。
在此，我们将举例说明如何求解复合函数的导数，并提供相关的参考内容。
首先，我们来看一个简单的例子：求解复合函数 f(g(x)) 的导数，其中 f(x) 和 g(x) 分别是两个可导函数。
假设 f(x) = 2x，g(x) = x^2，我们需要求解的导数为 f(g(x)) = 2(g(x))。
根据链式法则，导数可以通过求解 g(x) 的导数再将结果乘以f(g(x)) 的导数，即d(f(g(x)))/dx = f'(g(x)) * g'(x)。
首先求解 g(x) 的导数：g'(x) = d(x^2)/dx = 2x。
然后求解 f(g(x)) 的导数：f'(g(x)) = d(2(g(x)))/d(g(x)) = 2。
最后，将 f'(g(x)) 与 g'(x) 相乘得到 f(g(x)) 的导数：d(f(g(x)))/dx = f'(g(x)) * g'(x) = 2 * 2x = 4x。
所以，复合函数 f(g(x)) 的导数为 4x。
接下来，我们提供一些相关的参考内容，以加深对复合函数求导的理解。
1. 链式法则的证明：- 《微积分导论》（Thomas）第9.2节- 《微积分学导引》（Simmons）第3.6节2. 复合函数求导公式的应用：- 《解析几何与线性代数》（Hoffman/Kunze）第6章- 《数学分析基础》（Abbot）第8.3节3. 更复杂的复合函数求导：- 多元复合函数的求导公式- 高阶导数的计算方法4. 复合函数求导的应用：- 函数的极值及拐点分析- 函数图像的绘制和变换通过深入研究复合函数求导，我们可以进一步理解微积分的基本概念和应用，并应用于更复杂的数学问题中。
复合函数的求导法则
复合函数的求导法则复合函数是由两个或多个函数的组合构成的函数。
在数学中，复合函数的求导法则是一种用于计算复合函数导数的规则。
对于一对函数u(x)和v(x)，其中u(x)是v(x)的内函数，即v(x)=u(f(x))，我们可以使用链式法则来求解复合函数的导数。
链式法则的表述如下：若y=u(v(x))，其中u(t)和v(x)均可导，则y对x的导数等于u对v的导数乘以v对x的导数，即：dy/dx = du/dv * dv/dx下面我们通过具体的例子来解释复合函数的求导法则，并应用链式法则来计算复合函数的导数。
假设我们想要求解函数y=(2x+1)^3的导数。
我们可以将该函数看作是一个复合函数，其中u(t)=t^3，v(x)=2x+1，即y=u(v(x))。
首先，我们求解 u(t) 对 t 的导数 du/dt。
根据幂函数的导数公式，我们有 du/dt = 3t^2然后，我们求解 v(x) 对 x 的导数 dv/dx。
由于 v(x) = 2x + 1，我们可以直接应用导数的线性性质得到 dv/dx = 2最后，我们将 du/dt 和 dv/dx 相乘，得到 dy/dx = du/dv * dv/dx = 3(2x + 1)^2 * 2 = 6(2x + 1)^2所以，函数 y = (2x + 1)^3 对 x 的导数为 dy/dx = 6(2x + 1)^2以下是一些其他常见的复合函数的导数求解例子：1.y=e^x^2首先，设置u(t)=e^t，v(x)=x^2求导得到 du/dt = e^t，dv/dx = 2x。
最后，dy/dx = du/dv * dv/dx = e^(x^2) * 2x。
2. y = ln(2x + 1)首先，设置 u(t) = ln(t)，v(x) = 2x + 1求导得到 du/dt = 1/t，dv/dx = 2最后，dy/dx = du/dv * dv/dx = (1/(2x + 1)) * 2 = 2/(2x + 1)。
复合函数求导公式推导
复合函数求导公式推导复合函数指的是两个或多个函数的组合。
设有函数$y=f(u)$ 和$u=g(x)$，我们要求复合函数$y=f(u(x))$ 的导数。
根据链式法则，复合函数的导数可以表示为：$$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{du}} \cdot\frac{{du}}{{dx}}$$在这个公式中，$\frac{{dy}}{{du}}$ 是 $y$ 对 $u$ 的导数，$\frac{{du}}{{dx}}$ 是 $u$ 对 $x$ 的导数。
证明如下：设 $y=f(u)$ 和 $u=g(x)$，我们要求 $\frac{{dy}}{{dx}}$。
根据定义，我们有：$$\frac{{dy}}{{du}} = \lim_{{\Delta u \to 0}} \frac{{\Deltay}}{{\Delta u}}$$其中，$\Delta y = f(u+\Delta u) - f(u)$，$\Delta u = g(x+\Delta x) - g(x)$。
我们可以把 $\Delta y$ 和 $\Delta u$ 都展开成一阶无穷小量：$$\Delta y \approx f'(u)\Delta u$$$$\Delta u \approx g'(x)\Delta x$$其中，$f'(u)$ 表示 $f(u)$ 对 $u$ 的导数，$g'(x)$ 表示$g(x)$ 对 $x$ 的导数。
代入上面的公式，我们有：$$\frac{{\Delta y}}{{\Delta u}} \approx \frac{{f'(u)\Delta u}}{{g'(x)\Delta x}} = \frac{{f'(u)}}{{g'(x)}}$$$\frac{{\Delta y}}{{\Delta u}}$ 在 $\Delta u \to 0$ 的极限下将等于 $\frac{{dy}}{{du}}$，$\frac{{\Delta x}}{{\Delta u}}$ 在$\Delta u \to 0$ 的极限下将等于 $\frac{{du}}{{dx}}$。
3.3 复合函数求导法则
解: y [ f ( e x ) ] e
x
f (x)
f ( e )[ e
xfBiblioteka (x) xf (x)]
f ( x )
f ( e ) e e
x
f ( e )e
f (x)
y f (sin
2
x ) f (cos
2
x ), 求 y .
2 2 key : y f (sin x )2 sin x cos x f (cos x )2 sin x cos x
sin 1 x
, 2） y arcsin
2
, 3） y arctan
x a
2
1 x
tan
6
2x
tan 3 x , 5） y
a arccos （ x 0 , a 0） x
作业：P71 1(1)(2)(4)(5);2(2)(3)(4)(7)(8) 选做：3；5
x x0
f ( u 0 ) g ( x 0 ) f [ g ( x 0 )] g ( x 0 )
(3 4)
写成导函数的形式为
dy dx
简写为
( f [ g ( x )] ) f [ g ( x )] g ( x ) dy dx dy du du dx
e
x
x
sin
2 x , 求 y
x
x
) sin
2x e
(sin
cos
2 x )
2x (
2
( x ) sin
sin
2x e
x
x
2 x )
e
e
复 合 函 数 的 求 导 法 则
练习 求下列函数的导数
y = e3x (A)1.
3x 3x 3x 解：y ′ = ( e ) ′ = e ( 3 x ) ′ = 3 e
y = cos( x 3 ) (A)2.
2 3 3 3 3 解：y ′ = (cos x ) ′ = − sin x ( x ) ′ = − 3 x sin x
(B)3. y = e 解： y ′ = e
2x ′ 1 所以 yx = yu ⋅ ux = ⋅ (−2x) = 2 u x −1
′
′
(A) 例3 求函数 y = cos 2 x 的导 数 2 解：设 y = u 则 u = cos x
因为 所以
′ ′ yu = 2u, ux = −sinx
′ ′ ′ yx = yu ⋅ ux = 2u(−sin x) = −2cosx sin x = −sin2x
′ y u = 5u 4 , u ′ = 3, x
′ x y′ = yu ⋅ u′ = 5u4 ×3 = 5(3x + 2)4 ×3 =15(3x + 2)4 所以 x
2 (B) 例2 求函数 y = ln(1 − x ) 的导数
解：设 因为
y = ln u
则
u = 1− x2
′ 1 ′ yu = , u x = −2 x, u
x π (B) 例5 求 y = ln tan( + ) 的导数。 的导数。 2 4
x π 解： 设 y = ln u , u = tan v, v = + 2 4
由
y ′ = f ′ ( u ) ⋅ φ ′( v ) ⋅ ϕ ′( x ) 得
x π ′ = (lnu)′ ⋅ (tanv)′ ⋅ ( + )′ y 2 4
复合函数求导
复合函数的求导法则可以写成: 复合函数的求导法则可以写成
dy dy du = dx du dx
即因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求 即因变量对自变量求导， 导乘以中间变量对自变量求导，我们称它为链式法则 导乘以中间变量对自变量求导，我们称它为链式法则. 复合函数的微分公式为: 复合函数的微分公式为
n n1 (sin x n ) ′(sin x n ) cos x n nx n1
= n 3 x n1 cos x n f n1[ n (sin x n )]
n1 (sin x n ) f ′[ n (sin x n )] ′(sin x n ).
三、一阶微分的形式不变性
设函数 y = f ( x )有导数 f ′( x )
第四节
复合函数求导 法则及其应用
一、复合函数求导法则 二、初等函数的求导问题 三、一阶微分的形式不变性 四、隐函数的导数 五、对数求导法 六、参数形式的函数的求导公式
一、复合函数求导法则
定理4.4.1 (复合函数求导法则 ) 设函数 u = g( x ) 在 x0可导， 可导， 定理 复合函数求导法则 处可导， 而函数 y = f (u) 在 u0 = g( x0 ) 处可导，则复合函数 y = f [ g( x )] 在 x0 可导，且有 可导，且有:
d[ f ( g( x))] = f ′(u) g′( x)dx
推广
设 y = f ( u), u = (v ), v = ψ ( x ),
则复合函数
y = f { [ψ ( x )]}的导数为 :
dy dy du dv = dx du dv dx
例4.4.1 解: 求函数 y = ln sin x 的导数 .
复合函数求导公式
f[g(x)]中,设g(x)=u,则f[g(x)]=f(u)，
从而（公式）：f'[g(x)]=f'(u)*g'(x)
呵呵，我们的老师写在黑板上时我一开始也看不懂，那就举个例子吧,耐心看哦！
f[g(x)]=sin(2x),则设g(x)=2x,令g(x)=2x=u,则f(u)=sin(u)
所以f'[g(x)]=[sin(u)]'*(2x)'=2cos(u),再用2x代替u，得f'[g(x)]=2cos(2x).
以此类推y'=[cos(3x)]'=-3sin(x)
y'={sin(3-x)]'=-cos(x)
用伟大的母语简单的说就是：复合函数的导数等于原函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。
举个例子来说：F(x)=In(2x+5),这个函数就是个复合函数，设u=2x+5，则u就是中间变量，则F（u）=Inu （1）
原函数对中间变量的导就是函数（1）的导，即1/u
中间变量对自变量的导就是u对x求导，即2
最后原函数的导数等于他们两个的乘积，即2乘以1/u，但千万别忘了把u=2x+5带进去，所以答案就是2/(2x+5)。
其他的不管在复杂的复合函数都是这么求的，要是有多重复合就一层一层的求下去，一般来讲，高三最多要你求3层复合就像：F(x)=log[(2x+5)平方}，这个就是简单的三层复合，设u=v平方，v=2x+5, 再用上面一样的方法把各自的求出来，来乘起来就是.。
复合函数求导公式有哪些
复合函数求导公式有哪些
有很多的同学是非常的想知道，复合函数求导公式是什幺，小编整理了
相关信息，希望会对大家有所帮助！
1 复合函数如何求导规则：1、设u=g(x)，对f(u)求导得：f’(x)=f’(u)*g’(x)；
2、设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f’(x)=f’(a)*p’(u)*g’(x)；
拓展：
1、设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那幺对于Mx∩Du内的任意一个x 经过u；有唯一确定的y 值与之对应，则变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为：y=f[g(x)]，其中x 称为自变量，u 为中间变量，y 为因变量（即函数）。
2、定义域：若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数
y=f[g(x)]的定义域是D= {x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x 的取值范围，取他们的交集。
3、周期性：设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则
y=f(μ)的最小正周期为T1*T2，任一周期可表示为k*T1*T2(k 属于R+).
4、单调（增减）性的决定因素：依y=f(u)，μ=φ(x)的单调性来决定。
即“增+增=增；减+减=增；增+减=减；减+增=减”，可以简化为“同增异减”。
1 复合函数求导法则Y=f(u),U=g(x),则y′=f(u)′*g(x)′
例1.y=Ln(x),Y=Ln(u),U=x,
y′=f(u)′*g(x)′=[1/Ln(x)]*(x)′=[1/Ln(x)]*(3x)。
高等数学入门——复合函数的求导法则
高等数学入门——复合函数的求导法则一、复合函数的定义在高等数学中，复合函数是由两个函数通过组合而成的新函数。
假设有两个函数f(x)和g(x)，则它们的复合函数可以表示为f(g(x))。
其中，g(x)是内层函数，f(x)是外层函数。
二、复合函数的求导法则对于复合函数f(g(x))，我们希望求出它的导数。
根据链式法则，复合函数的导数可以通过内层函数和外层函数的导数相乘来计算。
具体的求导法则如下：1. 内层函数求导：首先求出内层函数的导数g'(x)。
2. 外层函数求导：然后求出外层函数对内层函数的导数f'(g(x))。
3. 乘积求导：将内层函数的导数和外层函数对内层函数的导数相乘，即可求得复合函数的导数。
三、示例分析为了更好地理解复合函数的求导法则，我们来看一个具体的示例。
假设有两个函数f(x) = x^2和g(x) = 2x + 1，我们希望求出复合函数f(g(x))的导数。
求出内层函数g(x)的导数：g'(x) = 2然后，求出外层函数对内层函数的导数f'(g(x))：f'(g(x)) = 2g(x) = 2(2x + 1) = 4x + 2将内层函数的导数和外层函数对内层函数的导数相乘，得到复合函数的导数：[f(g(x))]'= f'(g(x)) * g'(x)= (4x + 2) * 2= 8x + 4因此，复合函数f(g(x))的导数为8x + 4。
四、总结通过以上示例分析，我们可以总结出复合函数的求导法则：1. 求出内层函数的导数。
2. 求出外层函数对内层函数的导数。
3. 将内层函数的导数和外层函数对内层函数的导数相乘，得到复合函数的导数。
复合函数的求导法则在微积分中具有重要的应用价值，它可以帮助我们计算复杂函数的导数。
通过理解和掌握复合函数的求导法则，我们可以更好地应用微积分知识解决实际问题。
希望本文能够对读者理解复合函数的求导法则有所帮助。
复合函数求导(链式法则)
复合函数求导（链式法则）（建议阅读原文）预备知识微分若有两个一元函数 f(x) 和 g(x)，我们可以把 g 的函数值作为 f 的自变量，得到一个新的函数称为f(x) 和 g(x) 的复合函数，记为 f[g(x)]．如果我们已知两个函数 f(x) 和 g(x) 的导函数 f'(x) 和 g'(x)，那么我们可以通过以下公式求复合函数 f[g(x)] 的导数．\begin{align}&f[g(x)]' = f'[g(x)]g'(x)&(1)\\\end{align}对于多个函数的复合函数，我们也有类似的公式，例如\begin{align}&f[g(h(x))]' =f'[g(h(x))]g'[h(x)]h'(x)&(2)\\\end{align}例1 基本初等函数的复合函数求导我们已经知道基本初等函数的导数的导函数，下面对它们的一些常见的复合函数进行求导． \sin^2 x 可以看作幂函数 f(x) = x^2 和 g(x) =\sin x 的复合函数，已知 f'(x) = 2x， g'(x) = \cos x，代入式 1 得\begin{align}&(\sin^2 x)' = 2\sin x \cosx&(3)\\\end{align}几何理解为了方便表示，我们把 g 的函数值和 f 的自变量记为 u，把 f 的函数值记为 y．图 1：可以将 \sin^2 x 看做 f(u) = u^2 和 g(x) = \sin x 的复合函数我们可以用类似图 1 的图像来直观地理解复合函数．先画出y = f(u) 和 u = g(x) 的图像，并将 g(u) 的图像逆时针旋转90° 使得两图的 u 轴对齐．这样对于任何定义域中的自变量 x，我们只需要先在 g(x) 的图中画出 u 的位置，再对应到 f(u) 的图像中求出 y 的位置即可．现在我们要讨论的问题是，若已知两函数的导函数 f'(x) 和 g'(u)（假设它们在定义域内处处可导）如何求复合函数 f[g(x)] 的导数．对于给定的 x，我们先来看当 x 增加 \Delta x 时 y 的增量 \Delta y 的大小．我们可以使用与图 1 类似的方法画出图 2 ，然后只需要令 \Delta x \to 0，就可以根据定义求出复合函数的导数\begin{align}&f[g(x)]' =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} f[g(x)] =\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Deltax}&(4)\\\end{align}图 2：用图 1 中的方法求出任意 \Delta x 对应的 \Delta y在这个过程中，我们在得到 \Delta y 之前先得到了 u 的增量 \Delta u．当 \Delta x 较小时有微分近似（式2 ）\begin{align}&\Delta {u} \approx g'(x) \Delta{x}\qquad \Delta{y} \approx f'(u)\Delta{u}&(5)\\\end{align}当 \Delta x \to 0 时对应的微分关系（式 1 ）为\begin{align}&\,\mathrm{d}{u} = g'(x) \,\mathrm{d}{x} \qquad \,\mathrm{d}{y} = f'(u)\,\mathrm{d}{u}&(6)\\\end{align}将上式中的左边代入右边得 \begin{align}&\,\mathrm{d}{y} = f'(u) g'(x) \,\mathrm{d}{x} = f'[g(x)]g'(x)\,\mathrm{d}{x}&(7)\\\end{align}而复合函数的微分是 \begin{align}&\,\mathrm{d}{y} =f[g(x)]' \,\mathrm{d}{x}&(8)\\\end{align}对比以上两式（微分和导数的关系）得\begin{align}&f[g(x)]' = f'[g(x)]g'(x)&(9)\\\end{align}这就是复合函数的求导公式．在上面的例子中\begin{align}&g(x) = \sin x \qquad g'(x) = \cos x\qquad f(u) = u^2 \qquad f'(u) = 2u\qquad&(10)\\\end{align}代入上式得\begin{align}&\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \sin^2 x = 2\sin x \cos x&(11)\\\end{align}复合函数的求导公式也叫链式法则，原因是我们可以把以上推导过程用导数的另外一种符号表示如下．\begin{align}&\,\mathrm{d}{y} =\frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{u}} \,\mathrm{d}{u} = \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{u}}\frac{\mathrm{d}{u}}{\mathrm{d}{x}}\,\mathrm{d}{x}&(12)\\\end{align}得 \begin{align}&\frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}} = \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{u}}\frac{\mathrm{d}{u}}{\mathrm{d}{x}}&(13)\\\end{align}这种书写方式让人不禁想把 \mathrm{d}{y}/\mathrm{d}{x} 看做是 \,\mathrm{d}{y} 和 \,\mathrm{d}{x} 相除，这样的符号分割是错误的，尤其是在以后学习高阶导数和偏导数时．多重复合函数要对多重复合函数如 f[g(h(x))] 求导，可以先对 g[h(x)] 求导得 g'[h(x)]h'(x) 再得到\begin{align}&f[g(h(x))]' =f'[g(h(x))]g'[h(x)]h'(x)&(14)\\\end{align}令 v = h(x)，用微分符号可以表示为\begin{align}&\frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}} =\frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{u}}\frac{\mathrm{d}{u}}{\mathrm{d}{v}}\frac{\mathrm{d}{v}}{\mathrm{d}{x}}&(15)\\\end{align}任意多重的复合函数求导同理可得．例2 对函数求导\begin{align}&\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}&(16)\\\end{alig n}首先令 f(x) = 1/\sqrt{x} 再令 g(x) = x^2+a^2，上式等于 f[g(x)]．由基本初等函数的导数， \begin{align}&f'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{x^3}} \qquad g'(x) =2x&(17)\\\end{align}代入式 9 ，得\begin{align}&\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}}\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} = f'[g(x)] g'(x) = -\frac{x}{\sqrt{(x^2+a^2)^3}}&(18)\\\end{align}一种较灵活的情况是，当三个变量只有一个自由度1时，任何一个变量都可以看做任何另外两个变量的函数2，这时可以根据需要灵活运用链式法则，如例 3 ．例3 加速运动公式假设质点做一维运动，位移，速度和加速度分别记为 x(t)， v(t) = \mathrm{d}{x}/\mathrm{d}{t}，a(t) = \mathrm{d}{v}/\mathrm{d}{t}，但若把速度 v 看做复合函数 v[x(t)]，根据链式法则有\begin{align}&a = \frac{\mathrm{d}{v}}{\mathrm{d}{t}} = \frac{\mathrm{d}{v}}{\mathrm{d}{x}}\frac{\mathrm{d}{x}}{\mathrm{d}{t}} =\frac{\mathrm{d}{v}}{\mathrm{d}{x}} v&(19)\\\end{align}写成微分表达式，有 a \,\mathrm{d}{x} = v\,\mathrm{d}{v}．注意到 \,\mathrm{d}\left(v^2 \right) = 2v \,\mathrm{d}{v}，代入得\begin{align}&\,\mathrm{d}\left(v^2 \right) = 2a\,\mathrm{d}{x}&(20)\\\end{align}若质点做匀加速运动，该式的物理意义是在任何一段微小时间内，速度平方的增量正比于这段时间内的位移增量．在一段时间 [t_1,t_2] 内把这些增量累加起来，就得到高中熟悉的运动学公式 \begin{align}&v_2^2-v_1^2 = 2a(x_2-x_1)&(21)\\\end{align}其中 x_1,v_1 和 x_1,v_1 分别是 t_1,t_2 时刻的位置和速度．1. 即任何一个变量值确定后，另外两个变量也随之确定2.姑且假设不会出现一个自变量对应两个函数值的情况。
复合函数怎么求导
复合函数求导公式什么？怎么求导？
总的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)。
主要方法：先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。
设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x)的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u;有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数。
复合函数求导公式：①设u=g(x)，对f(u)求导得：f'(x)=f'(u)*g'(x)；②设
u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)；总的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)。
先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。
两个函数商的复合函数可导的前提条件是作分母的函数即g(x)≠0，否则无意义。
复合函数求导，就是找出构成复合函数的子函数，一个复合函数可以拆分成无数种子函数。
对于复合函数自身带有幂指对这类较为难求导的函数，一般来说会以它为中心进行化简，即最终子函数能够很容易求出复合函数中的幂指对。
将复合函数的本框架作为原函数，化好子函数后，就是求导过程，划出来的函数全部求导，代入即可。
复合函数怎么求导
复合函数怎么求导一、复合函数的概念复合函数是指由两个或多个函数组合而成的新函数，例如f(g(x))。
其中g(x)称为内函数，f(u)称为外函数。
在微积分中，常常需要对复合函数进行求导。
二、链式法则链式法则（chain rule）是求导复合函数的基本方法，它是微积分中非常重要的概念之一。
链式法则会用到两个函数f(x)和g(x)，其中g(x)是f(x)的内部函数。
假设y = f(g(x))，则y关于x的导数可以表示为：dy/dx = dy/du * du/dx其中，u = g(x)，dy/du是外函数f(u)对内函数u=g(x)的导数，称为外导数；du/dx是内函数g(x)对自变量x的导数，称为内导数。
链式法则就是基于这个公式进行求导的。
三、基本问题：对于复合函数的求导问题，我们首先需要解决以下几个基本问题：1. 如何确定内函数和外函数？2. 如何计算外导数和内导数？3. 如何组合外导数和内导数，求得最终的导数？接下来，将从这三个问题出发，逐一解答。
四、内函数和外函数在求复合函数的导数时，首先需要确定内函数和外函数。
一般来说，我们将靠近自变量的函数看成内函数，靠近因变量的函数看成外函数。
例如对于函数f(x) = sin(x²)，我们可以将其拆分为f(u) = sin(u) 和u = x²，其中u是内函数，f(u)是外函数。
此时f(u)可以看成一元函数，对它求导很容易。
五、外导数和内导数1. 外导数外导数是指外函数对内函数的导数。
假设外函数为f(u)，内函数为u=g(x)，则外导数可以表示为：df/du其中，u是内函数，f是外函数。
求外导数需要用到导数的基本公式，例如常数函数、幂函数、指数函数、三角函数等函数的导数公式。
例如，对于指数函数f(u)=e^u，其外导数为：df/du = e^u2. 内导数内导数是指内函数对自变量的导数。
假设内函数为u=g(x)，则内导数可以表示为：du/dx其中，g(x)是内函数，u=g(x)是外函数中的内函数。
复合函数求导法则
复合函数求导法则复合函数是由两个或多个函数构成的函数，形式为f(g(x))，其中g(x)是一个函数，f(u)是一个与u相关的函数。
在求复合函数的导数时，我们可以使用复合函数求导法则，该法则有三个部分：链式法则，反链式法则和迭代法则。
1.链式法则：链式法则适用于复合函数f(g(x))，其中g(x)是一个内层函数，f(u)是一个外层函数。
链式法则的公式如下：[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)例如，我们考虑函数f(u) = sin(u^2)，其中g(x) = x^2、我们先计算g'(x)，然后计算f'(u)，最后使用链式法则计算出f(g(x))的导数。
首先，计算g'(x)如下：g'(x)=2x接下来，计算f'(u)如下：f'(u) = cos(u^2) * 2u最后，使用链式法则计算f(g(x))的导数如下：[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)= cos((x^2)^2) * 2(x^2)= cos(x^4) * 2x^2所以，f(g(x)) = sin(x^4) 的导数为 cos(x^4) * 2x^22.反链式法则：反链式法则适用于复合函数f(g(x))，其中g(x)是一个外层函数，f(u)是一个内层函数。
反链式法则的公式如下：[f(g(x))]'=f'(u)*u'例如，我们考虑函数f(u) = u^3，其中g(x) = sin(x)。
我们可以直接计算出g'(x)和f'(u)，然后使用反链式法则计算出f(g(x))的导数。
首先，计算g'(x)如下：g'(x) = cos(x)接下来，计算f'(u)如下：f'(u)=3u^2最后，使用反链式法则计算f(g(x))的导数如下：[f(g(x))]'=f'(u)*u'= 3(sin(x))^2 * cos(x)= 3sin^2(x) * cos(x)所以，f(g(x)) = sin^3(x) 的导数为 3sin^2(x) * cos(x)。
复合函数求导公式如何求导函数
复合函数求导公式如何求导函数1.复合函数的定义复合函数是指一个函数的输入是另一个函数的输出。
设函数y=f(u)和u=g(x)，则复合函数可以表示为y=f(g(x))。
2.链式法则链式法则描述了复合函数的导数与内外函数的导数之间的关系。
设函数y=f(u)和u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))的导数可以表示为：dy/dx = dy/du * du/dx3.复合函数的导数计算根据链式法则，求复合函数的导数需要分别计算内外两个函数的导数，并将其乘以一起。
为了方便计算，将内外函数分别用u表示。
假设f(u)的导数为df/du，g(x)的导数为dg/dx，复合函数y=f(g(x))的导数dy/dx可以表示为：dy/dx = (df/du) * (dg/dx)这里有一个例子来帮助理解复合函数的求导过程：4.例子假设有函数y=(x^2+1)^3，将其拆分为内外两部分，即令u=(x^2+1)，f(u)=u^3、我们可以看到，y是f(u)的复合函数。
首先，计算内外两个函数的导数。
对于外函数f(u)=u^3，其导数df/du=3u^2对于内函数u=(x^2+1)，其导数du/dx=2x。
然后，将内外函数的导数代入链式法则，并将其相乘，得到复合函数的导数。
dy/dx = (df/du) * (du/dx)=(3u^2)*(2x)注意，这里的u实际上是内函数的值，即u=(x^2+1)，所以将其代入式子中。
=3(x^2+1)^2*2x最终，我们得到复合函数y=(x^2+1)^3的导数为dy/dx =3(x^2+1)^2 * 2x。
当然，这只是一个简单的例子，实际问题中可能会更加复杂。
不过，不管是什么样的复合函数，都可以通过链式法则来求导。
只需要先计算内外函数的导数，然后将其代入公式即可。
总之，复合函数求导公式通过链式法则，将复合函数的导数化简为内外函数导数的乘积。
通过理解和应用这一公式，可以在实际问题中简化求导计算，提高计算效率。
复合函数求导
y x sin x .
方法:
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数.
--------对数求导法
例5： 设 y ( x 1)3 x 1 , 求y. ( x 4)2 e x
解: 等式两边取对数得
ln y ln( x 1) 1 ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3
y
x
y y(cos x ln x sin x 1 ) x
x sin x (cos x ln x sin x ) x
四、由参数方程所确定的函数的导数
若参数方程
x y
(t )确定 (t)
y与x间的函数关系
,
称此为由参数方程所确定的函数.
例如
x 2t,
y
t
2
,
t x 2
消去参数 t
2
1 cos
1.
2
当 t 时, x a( 1), y a.
2
2
所求切线方程为
y a x a( 1) 2
即 y x a(2 )
2
谢谢
上式两边对 x求导得
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
y
( x 1)3 x ( x 4)2 e x
1[
x
1
1
1 3( x
1)
x
2
4
1]
例6：设 y xsinx ( x 0), 求y.
解： 等式两边取对数得
上式两边对x求导得
1 y cos x ln x sin x 1
dy
dy dx
dy dt
dt dx
dy dt
1 dx
(t) (t)
即
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小结： 复合函数y=f(x)要先分解成基本 初等函数y=g(u), u=h(v), v=i(x) 等， 再求导：y’x=y’uu’vv’ x 根据函数式结构或变形灵活选择 基本初等函数求导公式或复合函数求 导方法
作业本：“基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则”
例5.某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s= -4t3+16t2. (1)此物体什么时刻在始点? (2)什么时刻它的速度为零? 解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得: t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在 始点. (2) s(t ) t 3 12t 2 32t , 令s(t ) 0, 即t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8, 故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.
例6.已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均 相切,求l的方程.
பைடு நூலகம்
解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2).
对于S1 , y 2 x, 则与S1相切于P点的切线方程为y-x12 =2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.① 对于S2 , y 2( x 2), 与S2相切于Q点的切线方程为y+ (x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.②
u
0.05e 0.05e
u 0.05 x 1
(3) y sin( x )(其中，均为常数)
解： (1)函数y sin( x )可以看作函数y sin u和 u x 的复合函数。根据复合函数求导法则有
y x ' yu 'u x ' (sin u )'(x )' cos u cos(x )
从而切线方程为 y 1 3( x 1),即3 x y 4 0.
设直线m的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公 式得:
| b (4) | 32 1 10 | b 4 | 10, b 6或b 14;
故所求的直线m的方程为3x+y+6=0或3x+y-14=0.
1.2.3复合函数求导
我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数 公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1 ; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a ( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x
思考？如何求函数
y ln x 2
的导函数：
复合函数的概念
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x),
如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称
这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，
记作y=f(g(x)).
如下函数由多少个函数复合而成：
1. y sin 2 x 2 2. y 2 x 1 2 3. y (sin 2 x 1) 4. y ln x 2
y x ' yu 'u x ' (u )'(2 x 3)'
2
4u 8 x 12
(2) y e
解： (1)函数y e
0.05 x1
0.05 x 1
可以看作函数y e 和
u
u 0.05 x 1的复合函数。根据复合函数求导法则有
yx ' yu 'u x ' (e )'(0.05 x 1)'
练习1、求下列函数的导数。
(1) y= 5
y 0
4
-2
(2) y= x
(3) y= x
2 y 2 x 3 x
3
y 4 x
3
x (4) y= 2
y 2 ln 2
x
(5) y=log3x y
1 x ln 3
练习2、求下列函数的导数。
1、y=5 2、y=xn 3、y=sinx 4、y=cosx 5、y=ax 6、y=ex 7、y=logax 8、y=lnx 9、y=x5+sinx-7x 10、y=6x-cosx+log7x 11、y=ex+lnx+9x7 12、y=4ex-2cosx+7sinx
2 x1 2( x2 2) x1 0 x1 2 或 . 因为两切线重合, 2 2 x1 x2 4 x2 2 x2 0
若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.
所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.
导数的运算法则：
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的 导数的和(差),即: f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 , 即: f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) 法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 , 再除以第二个函数的平方.即: f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
1 4 t 4
1 练习:已知曲线 y x 3 在点P(1,1)处的切线与直线m平
行且距离等于 10 ,求直线m的方程.
1 1 3 4 解：y 3 , y ( 3 ) ( x ) 3 x ; x x 曲线在 P (1,1)处的切线的斜率为 k y | x 1 3,
复合函数y f ( g ( x))的导数和函数 y f (u ), u g ( x)的导数间的关系为 yx ' yu 'u x '
例4 求下列函数的导数
(1) y (2 x 3)
2
解： (1)函数y (2 x 3)2 可以看作函数y u 2和 u 2 x 3的复合函数。根据复合函数求导法则有