离散数学 第2章 习题解答
离散数学 第2章 习题解答
第2章习题解答2.1 本题没有给出个体域,因而使用全总个体域.(1) 令x(是鸟xF:)(会飞翔.G:)xx命题符号化为xF∀.Gx→)())((x(2)令xx(为人.F:)(爱吃糖G:)xx命题符号化为xFx→G⌝∀))()((x或者Fx⌝x∧∃)))(((xG(3)令xx(为人.F:)G:)(爱看小说.xx命题符号化为xF∃.Gx∧(x())()(4) x(为人.xF:)(爱看电视.G:)xx命题符号化为Fx⌝∧⌝∃.xG()())(x分析 1°如果没指出要求什么样的个体域，就使用全总个休域，使用全总个体域时，往往要使用特性谓词。
（1）-（4）中的)F都是特性谓词。
(x2°初学者经常犯的错误是，将类似于（1）中的命题符号化为Fx∀Gx∧())()(x即用合取联结词取代蕴含联结词，这是万万不可的。
将（1）中命题叙述得更透彻些，是说“对于宇宙间的一切事物百言，如果它是鸟，则它会飞翔。
”因而符号化应该使用联结词→而不能使用∧。
若使用∧，使（1）中命题变成了“宇宙间的一切事物都是鸟并且都会飞翔。
”这显然改变了原命题的意义。
3° （2）与（4）中两种符号化公式是等值的，请读者正确的使用量词否定等值式，证明（2），（4）中两公式各为等值的。
2.2 (1)d (a),(b),(c)中均符号化为)(x xF ∀其中,12)1(:)(22++=+x x x x F 此命题在)(),(),(c b a 中均为真命题。
（2） 在)(),(),(c b a 中均符号化为)(x xG ∃其中02:)(=+x x G ，此命题在（a ）中为假命题，在(b)(c)中均为真命题。
（3）在)(),(),(c b a 中均符号化为)(x xH ∃其中.15:)(=x x H 此命题在)(),(b a 中均为假命题，在(c)中为真命题。
分析 1°命题的真值与个体域有关。
2° 有的命题在不同个体域中，符号化的形式不同，考虑命题“人都呼吸”。
离散数学课后习题答案二
习题3.71. 列出关系}6|{=⋅⋅⋅∈><+d c b a d c b a d c b a 且，，，，，，Z 中所有有序4元组。
解 }6|{=⋅⋅⋅∈><+d c b a d c b a d c b a 且，，，，，，Z,2,1,3,1,3,1,2,1,2,3,1,1,3,2,1,1,1,1,1,6,1,1,6,1,1,6,1,1,6,1,1,1{><><><><><><><><=><><><><><><><><2,1,1,3,3,1,1,2,1,2,1,3,1,3,1,2,1,1,2,3,1,1,3,2,1,2,3,1,1,3,2,12. 列出二维表3.18所表示的多元关系中所有5元组。
假设不增加新的5元组，找出二维表3.18所有的主键码。
表3.18 航班信息航空公司 航班 登机口 目的地 起飞时间 Nadir 112 34 底特律 08:10 Acme 221 22 丹佛 08:17 Acme 122 33 安克雷奇 08:22 Acme 323 34 檀香山 08:30 Nadir 199 13 底特律 08:47 Acme 222 22 丹佛 09:10 Nadir 32234底特律09:44解 略3. 当施用投影运算5,3,2π到有序5元组><d c b a ，，，时你能得到什么？解 略4. 哪个投影运算用于除去一个6元组的第一、第二和第四个分量？ 解 略5. 给出分别施用投影运算4,2,1π和选择运算Nadir 航空公司＝σ到二维表3.18以后得到的表。
解对航班信息二维表进行投影运算5,3,2π后得到的二维表航班 登机口 起飞时间 112 34 08:10 221 22 08:17 122 33 08:22 323 34 08:30 199 13 08:47 222 22 09:10 3223409:44对航班信息二维表进行选择运算Nadir 航空公司＝ 后得到的二维表航空公司 航班 登机口 目的地 起飞时间 Nadir 112 34 底特律 08:10 Nadir 199 13 底特律 08:47 Nadir 32234底特律09:446. 把连接运算3J 用到5元组二维表和8元组二维表后所得二维表中有序多元组有多少个分量？解 略7. 构造把连接运算2J 用到二维表3.19和二维表3.20所得到的二维表。
离散数学课后习题答案(第二章)
b) 他是田径或球类运动员。 解：设 S（x） ：x 是田径运动员。B（x） ：x 是球类运动员。h：他 则有 S（h）∨B（h） c) 小莉是非常聪明和美丽的。 解：设 C（x） ：x 是聪明的。B（x） ：x 是美丽的。l：小莉。 则有 C（l）∧ B（l） d）若 m 是奇数，则 2m 不是奇数。 解：设 O（x） ：x 是奇数。 则有 O（m）→¬ O（2m） 。 e)每一个有理数是实数。 解：设 R（x） ：x 是实数。Q（x） ：x 是有理数。 则有 （∀x） （Q（x）→R（x） ） f) 某些实数是有理数。 解：设 R（x） ：x 是实数。Q（x） ：x 是有理数。 则有 （∃x） （R（x）∧Q（x） ） g) 并非每个实数都是有理数。 解：设 R（x） ：x 是实数。Q（x） ：x 是有理数。 则有 ¬（∀x） （R（x）→Q（x） ） h)直线 A 平行于直线 B，当且仅当直线 A 不相交于直线 B。 解：设 P（x，y） ：直线 x 平行于直线 y，G（x，y） ：直线 x 相交于直线 y。 则有 P（A，B）�¬G（A，B） （2） 找出以下十二个句子所对应的谓词表达式。 a) 所有的教练员是运动员。 （J(x)，L(x)） 解：设 J(x)：x 是教练员。L(x)：x 是运动员。 则有 （∀x） （J（x）→L（x） ） b) 某些运动员是大学生。 （S(x)） 解：设 S(x)：x 是大学生。L(x)：x 是运动员。 则有 （∃x） （L（x）∧S（x） ） c) 某些教练是年老的，但是健壮的。 （O(x)，V（x） ） 解：设 J(x)：x 是教练员。O(x)：x 是年老的。V（x） ：x 是健壮的。 则有 （∃x） （J（x）∧O（x）∧V（x） ） d) 金教练既不老但也不健壮的。 （j） 解：设 O(x)：x 是年老的。V（x） ：x 是健壮的。j：金教练 则有 ¬ O（j）∧¬V（j） e) 不是所有的运动员都是教练。 解：设 L(x)：x 是运动员。J(x)：x 是教练员。 则 ¬（∀x） （L（x）→J（x） ） f) 某些大学生运动员是国家选手。 （C（x） ）
离散数学(微课版) 第2章习题答案
离散数学（微课版）第2章习题答案习题 2.11. 给出以下相关数集的定义：•人类：所有人类的集合。
•学生：具有在某所学校注册学籍的人的集合。
•男学生：具有在某所学校注册学籍且性别为男性的学生的集合。
2. 判断以下命题是否为真：•男学生集合是人类集合的子集。
•学生集合是男学生集合的子集。
答案：1.人类集合和学生集合的关系可以表示为：学生集合是人类集合的子集。
因为学生是人类的一个子集，但并不是全部人类都是学生。
2.男学生集合是人类集合的子集，因为男学生是学生的一个子集，而学生又是人类的一个子集。
所以男学生集合也是人类集合的一个子集。
3.学生集合是男学生集合的超集，因为男学生是学生的一个子集，但并不是所有学生都是男学生。
所以学生集合包含了男学生集合。
习题 2.21. 给出以下关系的定义：•R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3)}。
2. 判断以下命题是否为真：•R 是对称关系。
•R 是自反关系。
答案：1.该关系 R 中的元素可以表示为有序对的形式，如 (1, 1) 表示元素 1 和元素 1 之间存在关系。
根据 R 的定义，可以发现所有的对称元素都存在于 R 中。
所以 R 是一个对称关系。
2.该关系 R 中包括了所有元素对 (x, x)，表示每个元素和它自己之间都存在关系。
所以 R 是一个自反关系。
习题 2.31. 给出以下集合的定义：• A = {1, 2, 3, 4}• B = {2, 4, 6, 8}• C = {1, 3, 5, 7}2. 判断以下命题是否为真：• A ∩ B = {2, 4}• A ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 7}答案：1. A ∩ B表示 A 和 B 的交集，即包含了同时属于 A 和B 的元素。
根据 A 和 B 的定义，可以发现共同元素为 {2, 4}。
所以命题A ∩ B = {2, 4} 是真的。
2. A ∪ C 表示 A 和 C 的并集，即包含了属于 A 或 C 的所有元素。
离散数学 第2章 习题解答
习题 2.11．将下列命题符号化。
(1) 4不是奇数。
解：设A(x)：x是奇数。
a：4。
“4不是奇数。
”符号化为：¬A(a)(2) 2是偶数且是质数。
解：设A(x)：x是偶数。
B(x)：x是质数。
a：2。
“2是偶数且是质数。
”符号化为：A(a)∧B(a)(3) 老王是山东人或河北人。
解：设A(x)：x是山东人。
B(x)：x是河北人。
a：老王。
“老王是山东人或河北人。
”符号化为：A(a)∨B(a)(4) 2与3都是偶数。
解：设A(x)：x是偶数。
a：2，b：3。
“2与3都是偶数。
”符号化为：A(a)∧A(b)(5) 5大于3。
解：设G(x,y)：x大于y。
a：5。
b：3。
“5大于3。
”符号化为：G(a,b)(6) 若m是奇数，则2m不是奇数。
解：设A(x)：x是奇数。
a：m。
b：2m。
“若m是奇数，则2m不是奇数。
”符号化为：A(a)→A(b)(7) 直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B。
解：设C(x,y)：直线x平行于直线y。
设D(x,y)：直线x相交于直线y。
a：直线A。
b：直线B。
“直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B。
”符号化为：C(a,b)↔¬D(x,y)(8) 小王既聪明又用功，但身体不好。
解：设A(x)：x聪明。
B(x)：x用功。
C(x)：x身体好。
a：小王。
“小王既聪明又用功，但身体不好。
”符号化为：A(a)∧B(a)∧¬C(a)(9) 秦岭隔开了渭水和汉水。
解：设A(x,y,z)：x隔开了y和z。
a：秦岭。
b：渭水。
c：汉水。
“秦岭隔开了渭水和汉水。
”符号化为：A(a,b,c)(10) 除非小李是东北人，否则她一定怕冷。
解：设A(x)：x是东北人。
B(x)：x怕冷。
a：小李。
“除非小李是东北人，否则她一定怕冷。
”符号化为：B(a)→¬A(a)2．将下列命题符号化。
并讨论它们的真值。
(1) 有些实数是有理数。
解：设R(x)：x是实数。
离散数学习题解答-第2章命题逻辑
(2) 有 4 个不同的命题变元，使公式的真值为 0 的赋值有 p 0, q 0, r 1, w 0 ；
p 0, q 1, r 0, w 1 ； p 0, q 1, r 1, w 0 ； p 1, q 1, r 0, w 1 ；
3
p 1, q 1, r 1, w 1 ； 使 公 式 的 真 值 为 1 有 赋 值 有 p 0 , q 0 ,r 0 ,w ； 0 p 0, q 0, r 0, w 1 ； p 0, q 0, r 1, w 1 ； p 0, q 1, r 0, w 0 ； p 0, q 1, r 1, w 1 ； p 1, q 0, r 0, w 0 ； p 1, q 0, r 0, w 1 ； p 1, q 0, r 1, w 0 ； p 1, q 0, r 1, w 1 ； p 1, q 1, r 0, w 0 ； p 1, q 1, r 1, w 0 ；
((p q) s) (r t )
3. 列出下列各公式的所有赋值， 并指出哪些赋值使公式的真值为 1， 哪些赋值使公式的真值 为 0。 (1) ( p q) r r (2) (w q) ( p r ) w (3) (( p q) ( p q)) p (4) ((u q) (t r )) (r u) (5) (m q) ((q r ) s) (6) (m q) (t r ) q 解 ： (1) 有 3 个 不 同 的 命 题 变 元 ， 使 公 式 的 真 值 为 0 的 赋 值 有 p 0, q 0, r 0 ；
p 0, q 0, r 1 ； p 0, q 1, r 0 ； p 0, q 1, r 1 ； p 1, q 0, r 1 ； p 1, q 1, r 0 ； p 1, q 1, r 1 . 使公式的真值为 1 有赋值有 p 1, q 0, r 0 .
离散数学(刘任任版)第2章答案
而关系图中任何两个结点之间的有向弧是单向的。 （即若关系R是反对称的，当且仅当关系矩阵中 以对角线对称的元素不能同时为1，在关系图上 任两个结点的定向弧线不可能成对出现）
5.
R·S={<1,4>,<1,3>},S·R={<3,4>}; R 2={<1,1>,<1,2>,<1,4>}; S 2={<2,2>,<3,4>,<3,3>}.
β(A×A-{<x,x>})=2n2-n
(4)共有2n 2n(n1)/ 2 2n(n1)/ 2 种定义在A上
的不同的对称关系; 说明: ∵A上的对称关系必须满足：如果<x,y>在
这个关系中，则<y,x>也必须在这个关系中。 ∴在构造A上的对称关系的时候可以先将所有 的<x,y>和<y,x>（其中x≠y）看成是一个整体。 ∴要考虑的序偶的个数有：
s(R1) s(R2 ) (R1 R11) (R2 R21)任取 x, y s(R1 R2 ) (R1 R2 ) (R1 R2 )1 (i)若 x,y (R1 R2 ),
则 x, y R1 R1 R11,且 x, y R2 R2 R21,从而 x,y (R1 R11) (R2 R21)
14.
证明 S {Ai Bj | Ai Bj } (1)由S定义知, Ai Bj (2)任取Ai Bi S和Al Bm S, 1 i, j r,1 j, m s ( Ai Bj ) ( Al Bm ) ( Ai Am ) (Bj Bm )
离散数学(屈婉玲版)第二章习题答案培训资料
离散数学(屈婉玲版)第二章习题答案2.13 设解释I为：个体域D I ={-2,3,6},一元谓词F（X）：X≤3，G （X）：X>5,R(X):X≤7。
在I下求下列各式的真值。
（1）∀x(F(x)∧G(x))解：∀x(F(x)∧G(x))⇔(F(-2) ∧G(-2)) ∧(F(3) ∧G(3)) ∧(F(6) ∧G(6))⇔((-2≤3) ∧(-2>5)) ∧((3≤3) ∧(3>5)) ∧((6≤3) ∧(6<5))⇔((1 ∧0))∧((1 ∧0)) ∧((0 ∧0))⇔0∧0∧0⇔0(2) ∀x(R(x)→F(x))∨G(5)解：∀x(R(x)→F(x))∨G(5)⇔(R(-2)→F(-2))∧ (R(3)→F(3))∧ (R(6)→F(6))∨ G(5)⇔((-2≤7) →(-2≤3))∧ (( 3≤7) →(3≤3))∧ (( 6≤7) →(6≤3)) ∨ (5>5)⇔(1 →1)∧ (1 →1)∧ (1→0) ∨ 0⇔1∧ 1∧ 0 ∨ 0⇔0(3)∃x(F(x)∨G(x))解：∃x(F(x)∨G(x))⇔(F(-2) ∨ G(-2)) ∨ (F(3) ∨G(3)) ∨ (F(6) ∨G(6))⇔((-2≤3) ∨ (-2>5)) ∨ ((3≤3) ∨ (3>5)) ∨ ((6≤3) ∨ (6>5))⇔(1 ∨ 0) ∨ (1 ∨ 0) ∨ (0 ∨ 1)⇔1 ∨ 1 ∨ 1⇔12.14 求下列各式的前束范式，要求使用约束变项换名规则。
（1）⌝∃xF(x)→∀yG(x,y)(2) ⌝（∀xF(x,y) ∨∃yG(x,y) ）解：（1）⌝∃xF(x)→∀yG(x,y)⇔⌝∃xF(x)→∀yG(z,y) 代替规则⇔∀x⌝F(x)→∀yG(z,y) 定理2.1（2 ）⇔∃x(⌝F(x)→∀yG(z,y) 定理2.2（2）③⇔∃x∀y(⌝F(x)→G(z,y)) 定理2.2（1）④（2）⌝（∀xF(x,y) ∨∃yG(x,y) ）⇔⌝(∀zF(z,y) ∨∃tG(x,t)) 换名规则⇔⌝(∀zF(z,y) )∧⌝(∃tG(x,t) )⇔∃z⌝F(z,y) ∧∀t⌝G(x,z)⇔∃z (⌝F(z,y) ∧∀t⌝G(x,z))⇔∃z ∀t(⌝F(z,y) ∧⌝G(x,t))2.15 求下列各式的前束范式，要求使用自由变项换名规则。
离散数学 杨圣洪等著第二章习题三解答
第二章习题三一、证明如下推理式1、∃xF(x)→∀y((F(y)∨G(y))→R(y))，∃xF(x) ⇒∃xR(x)(1)∃xF(x) 前提条件(2)∃xF(x) →∀y((F(y) ∨G(y)) →R(y)) 前提条件(3)∀y((F(y) ∨G(y)) →R(y)) (1)(2)假言推理(4)F(c) (1)存在量词指定(5)F(c) ∨G(c) (4)及析取的定义(6)(F(c) ∨G(c)) →R(c) (3)全称量词指定(7)R(c) (5)(6)假言推理(8)∃xR(x) (7)存在推广2、∀x(F(x)→(G(a) ∧R(x)))，∃xF(x) ⇒∃x(F(x) ∧R(x))(1)∃xF(x) 前提条件(2)F(c) (1)存在量词指定(3)∀x(F(x)→G(a) ∧R(x))) 前提条件(4)F(c)→G(a)∧R(c)) (3)全称指定，尤其x=c应成立(5)G(a)∧R(c) (2)(4)假言推理或分离原则(6)R(c) (5)与合取的定义(2)(6)与合取的定义(7)F(c)∧R(c)(8)∃x(F(x)∧R(x) (7)存在推广3、∀x(F(x)∨G(x))，¬∃xG(x) ⇒∃xF(x)(1)¬∃xG(x) 前提条件(2)∀x¬G(x) (1)的等值(3)¬G(x0) (2)全称指定，x0为任意变元(4)∀x(F(x) ∨G(x)) 前提条件(4)全称指定为x0(5)(F(x0) ∨G(x0))(6)¬G(x0) →F(x0) (5)等值变换(7)F(x0) (3)(6)分离原则或假言推理(8)∃xF(x) (7)存在推广4、∀x(F(x) ∨G(x))，∀x(¬R(x) ∨¬G(x))，∀xR(x) ⇒∃xF(x)(1)∀x(F(x) ∨G(x)) 前提条件(2)(F(x0) ∨G(x0)) (1)全称指定，x0为任意变元(3)∀x(¬R(x) ∨¬G(x)) 前提条件(4)(¬R(x0) ∨¬G(x0)) (3)全称指定，变元x指定为(2)中确定的变元x0，即是同一个x0(5)∀xR(x) 前提条件(6)R(x0) (5)全称指定，与(2)中的x0为同一个(4)的等值变换(7)R(x0) →¬G(x0)(8)¬G(x0) (6)(7)分离原则或假言推理(9)¬G(x0) → F(x0) (2)的等值变换(10)F(x0) (8)(9)分离原则或假言推理(11)∃xF(x) (10)存在推广。
离散数学(屈婉玲版)第二章习题答案
2.13 设解释I为：个体域D I ={-2,3,6},一元谓词F（X）：X≤3，G（X）：X>5,R(X):X≤7。
在I下求下列各式的真值。
（1）∀x(F(x)∧G(x))解：∀x(F(x)∧G(x))⇔(F(-2) ∧G(-2)) ∧(F(3) ∧G(3)) ∧(F(6) ∧G(6))⇔((-2≤3) ∧(-2>5)) ∧((3≤3) ∧(3>5)) ∧((6≤3) ∧(6<5))⇔((1 ∧0))∧((1 ∧0)) ∧((0 ∧0))⇔0∧0∧0⇔0(2) ∀x(R(x)→F(x))∨G(5)解：∀x(R(x)→F(x))∨G(5)⇔(R(-2)→F(-2))∧ (R(3)→F(3))∧ (R(6)→F(6))∨ G(5)⇔((-2≤7) →(-2≤3))∧ (( 3≤7) →(3≤3))∧ (( 6≤7) →(6≤3)) ∨ (5>5)⇔(1 →1)∧ (1 →1)∧ (1→0) ∨ 0⇔1∧ 1∧ 0 ∨ 0⇔0(3)∃x(F(x)∨G(x))解：∃x(F(x)∨G(x))⇔(F(-2) ∨ G(-2)) ∨ (F(3) ∨G(3)) ∨ (F(6) ∨G(6))⇔((-2≤3) ∨ (-2>5)) ∨ ((3≤3) ∨ (3>5)) ∨ ((6≤3) ∨ (6>5))⇔(1 ∨ 0) ∨ (1 ∨ 0) ∨ (0 ∨ 1)⇔1 ∨ 1 ∨ 1⇔12.14 求下列各式的前束范式，要求使用约束变项换名规则。
（1）⌝∃xF(x)→∀yG(x,y)(2) ⌝（∀xF(x,y) ∨∃yG(x,y) ）解：（1）⌝∃xF(x)→∀yG(x,y)⇔⌝∃xF(x)→∀yG(z,y) 代替规则⇔∀x⌝F(x)→∀yG(z,y) 定理2.1（2 ）⇔∃x(⌝F(x)→∀yG(z,y) 定理2.2（2）③⇔∃x∀y(⌝F(x)→G(z,y)) 定理2.2（1）④（2）⌝（∀xF(x,y) ∨∃yG(x,y) ）⇔⌝(∀zF(z,y) ∨∃tG(x,t)) 换名规则⇔⌝(∀zF(z,y) )∧⌝(∃tG(x,t) )⇔∃z⌝F(z,y) ∧∀t⌝G(x,z)⇔∃z (⌝F(z,y) ∧∀t⌝G(x,z))⇔∃z ∀t(⌝F(z,y) ∧⌝G(x,t))2.15 求下列各式的前束范式，要求使用自由变项换名规则。
离散数学答案第二章习题解答
离散数学答案第二章习题解答第二章谓词逻辑习题与解答1、将下列命题符号化:(1) 所有的火车都比某些汽车快。
(2) 任何金属都可以溶解在某种液体中。
(3) 至少有一种金属可以溶解在所有液体中。
(4) 每个人都有自己喜欢的职业。
(5) 有些职业就是所有的人都喜欢的。
解 (1) 取论域为所有交通工具的集合。
令x x T :)(就是火车, x x C :)(就是汽车, x y x F :),(比y 跑得快。
“所有的火车都比某些汽车快”可以符号化为))),()(()((y x F y C y x T x ∧?→?。
(2) 取论域为所有物质的集合。
令x x M :)(就是金属, x x L :)(就是液体, x y x D :),(可以溶解在y 中。
“任何金属都可以溶解在某种液体中” 可以符号化为))),()(()((y xD y L y x M x ∧?→?。
(3) 论域与谓词与(2)同。
“至少有一种金属可以溶解在所有液体中” 可以符号化为))),()(()((y x D y L y x M x →?∧?。
(4) 取论域为所有事物的集合。
令x x M :)(就是人, x x J :)(就是职业, x y x L :),(喜欢y 。
“每个人都有自己喜欢的职业” 可以符号化为))),()(()((y x L y J y x M x ∧?→?(5)论域与谓词与(4)同。
“有些职业就是所有的人都喜欢的”可以符号化为))),()(()((x y L y M y x J x →?∧?。
2、取论域为正整数集,用函数+(加法),?(乘法)与谓词<,=将下列命题符号化:(1) 没有既就是奇数,又就是偶数的正整数。
(2) 任何两个正整数都有最小公倍数。
(3) 没有最大的素数。
(4) 并非所有的素数都不就是偶数。
解先引进一些谓词如下:x y x D :),(能被y 整除,),(y x D 可表示为)(x y v v =??。
离散数学答案第二章习题解答
第二章 谓词逻辑习题与解答1、 将下列命题符号化:(1) 所有的火车都比某些汽车快。
(2) 任何金属都可以溶解在某种液体中。
(3) 至少有一种金属可以溶解在所有液体中。
(4) 每个人都有自己喜欢的职业。
(5) 有些职业就是所有的人都喜欢的。
解 (1) 取论域为所有交通工具的集合。
令x x T :)(就是火车, x x C :)(就是汽车, x y x F :),(比y 跑得快。
“所有的火车都比某些汽车快”可以符号化为))),()(()((y x F y C y x T x ∧∃→∀。
(2) 取论域为所有物质的集合。
令x x M :)(就是金属, x x L :)(就是液体, x y x D :),(可以溶解在y 中。
“任何金属都可以溶解在某种液体中” 可以符号化为))),()(()((y x D y L y x M x ∧∃→∀。
(3) 论域与谓词与(2)同。
“至少有一种金属可以溶解在所有液体中” 可以符号化为))),()(()((y x D y L y x M x →∀∧∃。
(4) 取论域为所有事物的集合。
令x x M :)(就是人, x x J :)(就是职业, x y x L :),(喜欢y 。
“每个人都有自己喜欢的职业” 可以符号化为))),()(()((y x L y J y x M x ∧∃→∀(5)论域与谓词与(4)同。
“有些职业就是所有的人都喜欢的”可以符号化为))),()(()((x y L y M y x J x →∀∧∃。
2、 取论域为正整数集,用函数+(加法),•(乘法)与谓词<,=将下列命题符号化:(1) 没有既就是奇数,又就是偶数的正整数。
(2) 任何两个正整数都有最小公倍数。
(3) 没有最大的素数。
(4) 并非所有的素数都不就是偶数。
解 先引进一些谓词如下:x y x D :),(能被y 整除,),(y x D 可表示为)(x y v v =•∃。
x x J :)(就是奇数,)(x J 可表示为)2(x v v =•⌝∃。
【免费下载】离散数学 第2章 习题解答
习题 2.11．将下列命题符号化。
(1) 4不是奇数。
解：设A(x)：x是奇数。
a：4。
“4不是奇数。
”符号化为：¬A(a)(2) 2是偶数且是质数。
解：设A(x)：x是偶数。
B(x)：x是质数。
a：2。
“2是偶数且是质数。
”符号化为：A(a)∧B(a)(3) 老王是山东人或河北人。
解：设A(x)：x是山东人。
B(x)：x是河北人。
a：老王。
∨“老王是山东人或河北人。
”符号化为：A(a)B(a)(4) 2与3都是偶数。
解：设A(x)：x是偶数。
a：2，b：3。
“2与3都是偶数。
”符号化为：A(a)∧A(b)(5) 5大于3。
解：设G(x,y)：x大于y。
a：5。
b：3。
“5大于3。
”符号化为：G(a,b)(6) 若m是奇数，则2m不是奇数。
解：设A(x)：x是奇数。
a：m。
b：2m。
“若m是奇数，则2m不是奇数。
”符号化为：A(a)→A(b)(7) 直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B。
解：设C(x,y)：直线x平行于直线y。
设D(x,y)：直线x相交于直线y。
a：直线A。
b：直线B。
“直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B。
”符号化为：C(a,b)↔¬D(x,y)(8) 小王既聪明又用功，但身体不好。
解：设A(x)：x聪明。
B(x)：x用功。
C(x)：x身体好。
a：小王。
“小王既聪明又用功，但身体不好。
”符号化为：A(a)∧B(a)∧¬C(a)(9) 秦岭隔开了渭水和汉水。
解：设A(x,y,z)：x隔开了y和z。
a：秦岭。
b：渭水。
c：汉水。
“秦岭隔开了渭水和汉水。
”符号化为：A(a,b,c)(10) 除非小李是东北人，否则她一定怕冷。
解：设A(x)：x是东北人。
B(x)：x怕冷。
a：小李。
“除非小李是东北人，否则她一定怕冷。
”符号化为：B(a)→¬A(a)2．将下列命题符号化。
并讨论它们的真值。
(1) 有些实数是有理数。
解：设R(x)：x是实数。
(完整word版)离散数学第二版 屈婉玲 1-5章(答案)
《离散数学1-5章》练习题答案第2，3章(数理逻辑)1.答：（2），（3），（4）2.答：（2），（3），（4），（5），（6）3.答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是4.答：（4）5.答：⌝P ，Q→P6.答：P(x)∨∃yR(y)7.答：⌝∀x(R(x)→Q(x))8、c、P→(P∧(Q→P))解：P→(P∧(Q→P))⇔⌝P∨(P∧(⌝Q∨P))⇔⌝P∨P⇔ 1 (主合取范式)⇔ m0∨ m1∨m2∨ m3 （主析取范式）d、P∨(⌝P→(Q∨(⌝Q→R)))解：P∨(⌝P→(Q∨(⌝Q→R)))⇔ P∨(P∨(Q∨(Q∨R)))⇔ P∨Q∨R⇔ M0 (主合取范式)⇔ m1∨ m2∨m3∨ m4∨ m5∨m6 ∨m7 (主析取范式) 9、b、P→(Q→R)，R→(Q→S) => P→(Q→S)证明：（1） P 附加前提（2） Q 附加前提（3） P→(Q→R) 前提（4） Q→R （1），（3）假言推理（5） R （2），（4）假言推理（6） R→(Q→S) 前提（7） Q→S （5），（6）假言推理（8） S （2），（7）假言推理d、P→⌝Q，Q∨⌝R，R∧⌝S⇒⌝P证明、(1) P 附加前提（2） P→⌝Q 前提（3）⌝Q （1），（2）假言推理（4） Q∨⌝R 前提(5) ⌝R （3），（4）析取三段论(6 ) R∧⌝S 前提（7） R （6）化简（8） R∧⌝R 矛盾（5），（7）合取所以该推理正确10.写出∀x(F(x)→G(x))→(∃xF(x) →∃xG(x))的前束范式。
解：原式⇔∀x(⌝F(x)∨G(x))→(⌝(∃x)F(x) ∨ (∃x)G(x))⇔⌝(∀x)(⌝F(x)∨G(x)) ∨(⌝(∃x)F(x) ∨ (∃x)G(x))⇔ (∃x)((F(x)∧⌝ G(x)) ∨G(x)) ∨ (∀x) ⌝F(x)⇔ (∃x)((F(x) ∨G(x)) ∨ (∀x) ⌝F(x)⇔ (∃x)((F(x) ∨G(x)) ∨ (∀y) ⌝F(y)⇔ (∃x) (∀y) (F(x) ∨G(x) ∨⌝F(y))（集合论部分）1、答：(4)2.答：323.答：（3）4. 答：（4）5.答：（2），（4）6、设Ａ，Ｂ，Ｃ是三个集合，证明：a、A⋂ (B－C)＝(A⋂B)－(A⋂C)证明：(A⋂B)－(A⋂C)= (A⋂B)⋂~（A⋂C）=(A⋂B) ⋂（~A⋃~C）=(A⋂B⋂~A)⋃(A⋂B⋂~C)= A⋂B⋂~C=A⋂（B⋂~C）=A⋂（B-C）b、(A－B)⋃(A－C)=A－(B⋂C)证明：(A-B)⋃(A-C)=(A⋂~B)⋃(A⋂⋂~C) =A⋂ (~B ⋃~C)=A⋂~（B⋂C）= A-(B⋂C)（二元关系部分）1、答：（1）R={<1,1>,<4,2>} (2) R1-={<1,1>,<2,4>}2.答：RοR ={〈1,1〉，〈1,3〉，〈2,2〉，〈2,4〉}R-1 =｛〈2,1〉，〈1,2〉，〈3,2〉，〈4,3〉｝3.答：R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>,<6,6>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>,<2,4>,<2,6>,<3,6>}4.答：R 的关系矩阵=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡000000001000000001 R 1-的关系矩阵=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0000000100000000015、解：（1）R={<2,1>,<3,1>,<2,3>};M R =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001101000;它是反自反的、反对称的、传递的；（2）R={<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>,<2,3>,<3,2>};M R =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛011101110;它是反自反的、对称的；（3）R={<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,3>};M R =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001110;它既不是自反的、也不是反自反的、也不是对称的、也不是反对称的、也不是传递的。
离散数学第二章课后题目讲解
用谓词公式符号化上述三条公理。 [解]：设 N（x）：x 是一个数。S（x，y）：y 是 x 的后继数（即 x 是 y 的直接先行者，例如 z 的直接先行者是 1） 于是，（a）x（N（x）→（！y）（N（y）S∧（x，y））） （b）┐x （N（x）S∧（x，1） （c）x（N（x）┐S∧（x，z）→（！y）N（y）S∧（y，x）））
24（3）对下列谓词公式中的自由变元进行代入 （a）（yＡ（x，y）→xＢ（x，z））∧xzＣ（x，y，z）； （b）（yＰ（x，y）∧Ｑ（x，z））∨xＲ（x，y）。 [解] （a）（yＡ（u，y）→xＢ（x，v））∧xzＣ（x，t，z）。 （b）（yＰ（u，y）∧Ｑ（u，z））∨xＲ（x，t）。
23（3）设 Q（x，y，z）：x+y=z，（其中 x，y，z 均为实数）试确定如下两个命题的真假值： xyz Q（x，y，z）； zxy Q（x，y，z）。 [解]： xyz Q（x，y，z）表示对任意实数 x，y 必存在实数 z 使 x+y=z。显然是真
命题。 zxy Q（x，y，z）表示存在实数 z，对任意实数 x，y 必有 x+y=z。当然这样
21（2）将下列命题符号化： （a） 所有的教练员是运动员（J（x），L（x））；
（b） 某些运动员是大学生；（S（x））； （c） 某些教练是年老的，但是健壮的（Ｑ（x），V（x））； （d） 不是所有的运动员都是教练； （e） 所有的运动员都钦佩某些教练（A（x，y））； （f） 有些大学生不钦佩运动员。
离散数学答案 屈婉玲版 第二版 高等教育出版社课后答案,DOC
离散数学答案屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案第一章部分课后习题参考答案16设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨(q∧r)⇔0∨(0∧1)⇔0（2）（p?r）∧(﹁q∨s)⇔（0?1）∧(1∨1)⇔0∧1⇔0.（3）（⌝(4)（176能被2q:3r:2s:619（4）(p（5）(p（6）((p答：（pqp→q⌝0011111011011110010011110011所以公式类型为永真式（5）公式类型为可满足式（方法如上例）（6）公式类型为永真式（方法如上例）第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1)⌝(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)⇔(⌝p∨(p∨q))∨(⌝p∨r)⇔⌝p∨p∨q∨r⇔1所以公式类型为永真式(3)P qrp∨qp∧r（p∨q）→(p∧r)0000010010014.(2)(p→(4)(p∧证明（2（45.(1)(⌝p→q)→(⌝q∨p)(2)⌝(p→q)∧q∧r(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)解：（1）主析取范式(⌝p→q)→(⌝q∨p)⇔⌝(p∨q)∨(⌝q∨p)⇔(⌝p∧⌝q)∨(⌝q∨p)⇔(⌝p∧⌝q)∨(⌝q∧p)∨(⌝q∧⌝p)∨(p∧q)∨(p∧⌝q)⇔(⌝p∧⌝q)∨(p∧⌝q)∨(p∧q)⇔∑(0,2,3)主合取范式：(⌝p→q)→(⌝q∨p)⇔⌝(p∨q)∨(⌝q∨p)⇔(⌝p∧⌝q)∨(⌝q∨p)⇔(⌝p⇔1∧(p⇔(p∨⇔∏(2)⌝(p→q)⇔(p∧(3)⇔⌝⇔1∧1⇔1所以该式为永真式.永真式的主合取范式为1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14.在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(2)前提：p→q,⌝(q∧r),r结论：⌝p(4)前提：q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论：p∧q证明：（2）①⌝(q∧r)前提引入②⌝q∨⌝r①置换③q→⌝r②蕴含等值式④r⑤⌝q⑥p→q⑦￢p（3证明（4①t②t③q④s⑤q⑥（⑦（⑧q⑨q⑩p15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：(1)前提：p→(q→r),s→p,q结论：s→r证明①s附加前提引入②s→p前提引入③p①②假言推理④p→(q→r)前提引入⑤q→r③④假言推理⑥q前提引入⑦r⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：(1)前提：p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s结论：⌝p证明：①p②p③﹁④￢⑤￢⑥r⑦r⑧r3.:(1)均有2=(x+)(x).(2)其中(a)(b)解：F(x):2=(x+)(x).G(x):x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为)(x∀，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。
离散数学(微课版) 第2章习题答案
离散数学（微课版）第2章习题答案2.1 集合与运算习题1给定两个集合A={1，3，5，7，9}和B={2，4，6，8，10}，求A∪B和A∩B。
解答：集合A和B的并集（A∪B）是包含了A和B中所有元素的集合。
根据题目给出的集合A和B，可以得到并集A∪B={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}。
集合A和B的交集（A∩B）是包含了A和B中共有的元素的集合。
根据题目给出的集合A和B，可以得到交集A∩B={}，因为集合A和B中没有共有的元素。
习题2给定两个集合A={奇数}和B={偶数}，求A和B的交集和并集。
如果集合B改为B={2，4，6，8}，结果是否有变化？解答：集合A表示奇数，集合B表示偶数。
当集合A和B中元素的范围比较广泛时，它们的交集为{}，因为奇数和偶数没有共有的元素。
当集合B改为B={2，4，6，8}时，集合A和B中共有的元素为{}，并集为A∪B=奇数∪{2，4，6，8}={奇数，2，4，6，8}。
2.2 命题与逻辑运算习题3给定两个命题p：“小明喜欢篮球”和q：“小明是篮球队的队长”。
请判断以下复合命题是真还是假：（1）p∧q；（2）p∨q；（3）p→q。
解答：命题p：“小明喜欢篮球” 是真命题。
命题q：“小明是篮球队的队长” 是假命题。
（1）p∧q：当p和q都为真时，命题p∧q才为真。
根据题目中给出的p和q的真值，可以确定p∧q是假命题。
（2）p∨q：当p和q中至少一个为真时，命题p∨q就为真。
根据题目中给出的p和q的真值，可以确定p∨q是真命题。
（3）p→q：当p为真时，命题p→q为真，否则为假。
根据题目中给出的p和q的真值，可以确定p→q是真命题。
习题4给定一个命题p：“2是偶数”。
请判断以下复合命题是真还是假：（1）¬p；（2）p∧¬p；（3）¬p∨p。
解答：命题p：“2是偶数” 是真命题。
（1）¬p：取命题p的否定，即“2不是偶数”，根据命题p的真值，可以确定¬p是假命题。
自考离散数学第二章答案
习题答案(从本章起，习题答案由jhju提供，晓津补充。
如有问题或不同意见，欢迎到分课论坛发表)1、用谓词表达式写出下列命题a)小张不是研究生；解：设A(x)：x是研究生；a:小张；|A(a)。
b)他是跳高或篮球运动员；解：设A(x):x是跳高运动员；B(x):x是篮球运动员；a: 他；A(a)∨B(a) 。
c)晓莉非常聪明和能干；解：设 A(x):x非常聪明；B(x):x能干；l: 晓莉；A(l)∧B(l)d)若m是奇数则2m是偶数解：设 A(x): x是奇数B(y):y是偶数m:某数A(m)→ B(2m)2、将下列命题符号化并要分析到个体词及谓词a)长江流经四川省；解：B(x,y):x流经y；a:长江 b:四川省B(a,b)。
个体词：长江、四川省谓词：流经b)这架新式歼击机击沉了那艘老式快艇解：设A(x,y):x击沉了ya:新式歼击机 b:老式快艇A(a,b).个体词：歼击机、快艇谓词：击沉3、用谓词表达式符号化下列命题。
那位戴眼镜穿西服的大学生在看一本英文杂志。
解：设：A(x): x戴眼镜；B(x): x穿西服；C(x): x在看英文杂志；a: 那位大学生A(a)∧B(a)∧C(a)这个表达式的含义就是一个陈述句：那位大学生戴眼镜且那位大学生穿西服且那位大学生在看英文杂志。
个体词是：那位大学生。
谓词有：戴眼镜、穿西服、在看英文杂志。
习题答案(从本章起，习题答案由jhju提供，晓津补充。
如有问题或不同意见，欢迎到分课论坛发表)题号：1 2 3 4 5 61、对下列公式指出约束变元和自由变元，并指明量词的辖域。
a,(x)(P(x)—→Q(x))∧(x)R(x,y)；(x)的指导变元是x,其辖域是(P(x)—→Q(x))(x)的指导变元是x,其辖域是R(x,y)对于(x)来说，x是约束出现，y则是自由出现。
b,(x)(y)(P(x)∨Q(y))—→(x)(R(x)∧S(z))；(x)和(y)的指导变元是x,y,其辖域是(P(x)∨Q(y))(x)的指导变元是x,其辖域是(R(x)∧S(z))x,y在辖域是约束出现，z则是自由出现(注，教材中本题原来是多一个括号的(或者说少一个)，现在jhju将它改成这个样子，请大家仔细在书中找BUG)c,(x)(y)(P(x,y)∧Q(z))(x)(y)的指导变元是x,y,自由变元是z,其辖域是P(x,y)∧Q(z)2、在下列公式中，对约束变元进行换名，对自由变量进行代入。
湖南大学离散数学第二章习题二解答
第二章习题二解答1、求证∀x∀y(P(x)→Q(y))⇔∃xP(x)→∀yQ(y)证：∀x∀y (P(x)→Q(y))⇔∀x∀y (¬P(x)∨Q(y)) 条件式等值式⇔∀x(¬P(x)∨∀yQ(y)) 量词辖域的扩充收缩律⇔∀x¬P(x)∨∀yQ(y) 量词辖域的扩充收缩律⇔¬∃xP(x)∨∀yQ(y) 量词的德摩律⇔∃xP(x)→∀yQ(y) 条件式等值式2、把下列各式转换为前束范式(1) ∃x(¬ (∃yP(x,y)→(∃zQ(z)→R(x)) ) )⇔∃x(¬ (¬∃yP(x,y)∨(¬∃zQ(z)∨R(x)) ) 条件式等值式⇔∃x ( (∃yP(x,y)∧(∃zQ(z)∧¬R(x)) ) 德摩律⇔∃x∃y（P(x,y)∧(∃zQ(z)∧¬R(x))) 量词辖域的扩充收缩律⇔∃x∃y (P(x,y)∧∃z (Q(z)∧¬R(x)) ) 量词辖域的扩充收缩律⇔∃x∃y∃z (P(x,y)∧Q(z)∧¬R(x)) 量词辖域的扩充收缩律(2) ∀x∀y((∃zP(x,y,z)∧∃uQ(x,u))→∃vQ(y,v))⇔∀x∀y(¬ (∃zP(x,y,z)∧∃uQ(x,u)) ∨∃vQ(y,v)) 条件式等值式⇔∀x∀y( (¬∃zP(x,y,z) ∨¬∃uQ(x,u)) ∨∃vQ(y,v)) 德摩律⇔∀x∀y( (∀z¬P(x,y,z) ∨∀u¬Q(x,u)) ∨∃vQ(y,v)) 德摩律⇔∀x∀y∀z∀u∃v ( ¬P(x,y,z) ∨¬Q(x,u)∨Q(y,v)) 量词辖域的扩充收缩律(用了三次)(3) ∀xF(x) →∀yP(x,y)⇔∀zF(z) →∀yP(x,y) 约束变元与自由变元同名，故约束变元改名⇔¬∀zF(z)∨∀yP(x,y) 条件式等值式⇔∃z¬F(z)∨∀yP(x,y) 德摩律⇔∃z∀y(¬F(z)∨P(x,y)) 德摩律(4) ∀x(P(x,y)→∃yQ(x,y,z)) 注意约束变元y 与自由变元y 同名⇔∀x(P(x,y)→∃sQ(x,s,z)) 约束变元y改名s⇔∀x(¬P(x,y)∨∃sQ(x,s,z)) 条件式的等值式⇔∀x∃s(¬P(x,y)∨Q(x,s,z)) 量词辖域的扩充收缩律(5) ∀x(P(x,y)↔∃yQ(x,y,z)) 注意约束变元y 与自由变元y 同名⇔∀x(P(x,y)↔∃sQ(x,s,z)) 约束变元y改名s⇔∀x((P(x,y)→∃sQ(x,s,z)) ∧(∃sQ(x,s,z)→P(x,y))) 双条件的等值式⇔∀x((P(x,y)→∃sQ(x,s,z)) ∧(∃tQ(x,t,z)→P(x,y))) 后约束变元s因同名而改名t⇔∀x((¬P(x,y)∨∃sQ(x,s,z))∧(¬∃tQ(x,t,z)∨P(x,y))) 条件式等值式⇔∀x((¬P(x,y)∨∃sQ(x,s,z))∧(∀t¬Q(x,t,z)∨P(x,y))) 德摩律⇔∀x∃s∀t((¬P(x,y)∨Q(x,s,z))∧(¬Q(x,t,z)∨P(x,y))) 量词辖域的扩充收缩律(用了四次)(6) ∀x(F(x) →G(x,y)) →(∃yH(y) →∃zL(y,z))⇔∀x(F(x) →G(x,y)) →(∃sH(s) →∃zL(y,z)) 约束变元改名⇔¬∀x(¬F(x) ∨G(x,y)) ∨(¬∃sH(s) ∨∃zL(y,z)) 条件式等值式⇔∃x(F(x)∧¬G(x,y))∨(∀s¬H(s)∨∃zL(y,z)) 德摩律⇔∃x(F(x)∧¬G(x,y))∨(∀s¬H(s)∨∃zL(y,z)) 否定的否定⇔∃x∀s∃z(F(x)∧¬G(x,y))∨(¬H(s)∨L(y,z)) 量词辖域的扩充收缩律(用了三次)(7) ∃xF(x,y) →(F(x) →¬∀yG(x,y))⇔∃sF(s,y) →(F(x) →¬∀yG(x,y)) 约束变元x改名s⇔∃sF(s,y)→(F(x)→¬∀tG(x,t)) 约束变元y改名t⇔¬∃sF(s,y)∨(¬F(x)∨¬∀tG(x,t)) 条件式等值式⇔∀s¬F(s,y)∨(¬F(x)∨∃t¬G(x,t)) 德摩律⇔∀s∃t(¬F(s,y)∨(¬F(x)∨¬G(x,t)) 量词辖域的扩充收缩律(用了二次) ⇔∀s∃t(¬F(s,y)∨¬F(x)∨¬G(x,t) ) 结合律。
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习题 2.11．将下列命题符号化。
(1) 4不是奇数。
解：设A(x)：x是奇数。
a：4。
“4不是奇数。
”符号化为：¬A(a)(2) 2是偶数且是质数。
解：设A(x)：x是偶数。
B(x)：x是质数。
a：2。
“2是偶数且是质数。
”符号化为：A(a)∧B(a)(3) 老王是山东人或河北人。
解：设A(x)：x是山东人。
B(x)：x是河北人。
a：老王。
“老王是山东人或河北人。
”符号化为：A(a)∨B(a)(4) 2与3都是偶数。
解：设A(x)：x是偶数。
a：2，b：3。
“2与3都是偶数。
”符号化为：A(a)∧A(b)(5) 5大于3。
解：设G(x,y)：x大于y。
a：5。
b：3。
“5大于3。
”符号化为：G(a,b)(6) 若m是奇数，则2m不是奇数。
解：设A(x)：x是奇数。
a：m。
b：2m。
“若m是奇数，则2m不是奇数。
”符号化为：A(a)→A(b)(7) 直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B。
解：设C(x,y)：直线x平行于直线y。
设D(x,y)：直线x相交于直线y。
a：直线A。
b：直线B。
“直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B。
”符号化为：C(a,b)↔¬D(x,y)(8) 小王既聪明又用功，但身体不好。
解：设A(x)：x聪明。
B(x)：x用功。
C(x)：x身体好。
a：小王。
“小王既聪明又用功，但身体不好。
”符号化为：A(a)∧B(a)∧¬C(a)(9) 秦岭隔开了渭水和汉水。
解：设A(x,y,z)：x隔开了y和z。
a：秦岭。
b：渭水。
c：汉水。
“秦岭隔开了渭水和汉水。
”符号化为：A(a,b,c)(10) 除非小李是东北人，否则她一定怕冷。
解：设A(x)：x是东北人。
B(x)：x怕冷。
a：小李。
“除非小李是东北人，否则她一定怕冷。
”符号化为：B(a)→¬A(a)2．将下列命题符号化。
并讨论它们的真值。
(1) 有些实数是有理数。
解：设R(x)：x是实数。
Q(x)：x是有理数。
“有些实数是有理数。
”符号化为：(∃x)(R(x)∧Q(x))它的真值为：真。
(2) 凡是人都要休息。
解：设R(x)：x是人。
S(x)：x要休息。
“凡是人都要休息。
”符号化为：(∀x)(R(x)→S(x))它的真值为：真。
(3) 每个自然数都有比它大的自然数。
解：设N(x)：x是自然数。
G(x,y)：x比y大。
“每个自然数都有比它大的自然数。
”符号化为：(∀x)(N(x)→(∃y)(N(y)∧G(y,x)))它的真值为：真。
(4) 乌鸦都是黑的。
解：设A(x)：x是乌鸦。
B(x)：是黑的。
“乌鸦都是黑的。
”符号化为：(∀x)(A(x)→B(x))它的真值为：真。
(5) 不存在比所有火车都快的汽车。
解：设A(x)：x是汽车。
B(x)：是火车。
K(x,y)：x比y快。
“不存在比所有火车都快的汽车。
”符号化为：¬(∃x)(A(x)∧(∀y)(B(y)→K(x,y)))它的真值为：真。
(6) 有些大学生不佩服运动员。
解：设S(x)：x是大学生。
L(x)：是运动员。
B(x,y)：x佩服y。
“有些大学生不佩服运动员。
”符号化为：(∃x)(S(x)∧L(y)∧¬B(x,y))它的真值为：真。
(7) 有些女同志既是教练员又是运动员。
解：设W(x)：x是女同志。
J(x)：x是教练员。
L(x)：x是运动员。
“有些女同志既是教练员又是运动员。
”符号化为：(∃x)(W(x)∧J(x)∧L(x))它的真值为：真。
(8) 除2以外的所有质数都是奇数。
解：设A(x)：x是质数。
B(x)：x是奇数。
C(x,y)：x不等于y。
“除2以外的所有质数都是奇数。
”符号化为：(∀x)(A(x)∧C(x,2)→B(x))它的真值为：真。
3．指出一个个体域，使下列被量化谓词的真值为真，该个体域是整数集合的最大子集。
在以下各题中，A(x)表示：x＞0，B(x)表示：x=5，C(x,y) 表示：x＋y=0(1) (∀x)A(x)解：正整数集合Z+。
(2) (∃x)A(x)解：整数集合Z。
(3) (∀x)B(x)解：集合｛5｝。
(4) (∃x)B(x)解：整数集合Z。
(5) (∀x)(∃y)C(x,y)解：整数集合Z。
4．分别在全总个体域和实数个体域中，将下列命题符号化。
(1) 对所有的实数x，都存着实数y，使得x－y=0解：设R(x)：x是实数。
B(x,y)：x－y=0。
在实数个体域符号化为：(∀x)(∃y)B(x,y)在全总个体域符号化为：(∀x)(R(x)→(∃y)(R(y)∧B(x,y))) (2) 存在着实数x，对所有的实数y，都有x－y=0解：设R(x)：x是实数。
B(x,y)：x－y=0。
在实数个体域符号化为：(∃x)(∀y)B(x,y)在全总个体域符号化为：(∃x)(R(x)∧(∀y)(R(y)→B(x,y))) (3) 对所有的实数x和所有的实数y，都有x＋y=y＋x解：设R(x)：x是实数。
B(x,y)：x=y。
在实数个体域符号化为：(∀x)(∀y)B(x+y,y+x)在全总个体域符号化为：(∀x)(R(x)→(∀y)(R(y)→B(x+y,y+x))) (4) 存在着实数x和存在着实数y，使得x＋y=100解：设R(x)：x是实数。
B(x,y)：x＋y=100。
在实数个体域符号化为：(∃x)( ∃y)B(x,y)在全总个体域符号化为：(∃x)(R(x)∧(∃y)(R(y)∧B(x,y)))习题 2.21. 指出下列公式中的约束变元和自由变元。
(1) (∀x)(P(x)→Q(y))解：约束变元：x，自由变元：y(2) (∀x)(P(x)∧R(x))→((∃x)P(x)∧Q(x))解：约束变元：x，自由变元：x(3) (∀x)(P(x)∧(∃x)Q(x))∨((∀x)R(x,y)∧Q(z))解：约束变元：x，自由变元：y，z(4) (∃x)(∀y) (R(x,y)∧Q(z))解：约束变元：x，y，自由变元：z(5) (∀z) (P(x)∧(∃x)R(x,z)→(∃y)Q(x,y))∨R(x,y)解：约束变元：x，y，z，自由变元：x，y2. 对下列谓词公式中的约束变元进行换名。
(1) (∃x)(∀y)(P(x,z)→Q(x,y))∧R(x,y)解：将约束变元x换成u：(∃u)(∀y)(P(u,z)→Q(u,y))∧R(x,y) 将约束变元y换成v：(∃x)(∀v)(P(x,z)→Q(x,v))∧R(x,y)(2) (∀x)(P(x)→(R(x)∨Q(x,y)))∧(∃x)R(x)→(∀z)S(x,z)解：将前面的约束变元x换成u，后面的约束变元x换成v：(∀u)(P(u)→(R(u)∨Q(u,y)))∧(∃v)R(v)→(∀z)S(x,z)将约束变元z换成w：(∀x)(P(x)→(R(x)∨Q(x,y)))∧(∃x)R(x)→(∀w)S(x,w)3. 对下列谓词公式中的自由变元进行代入。
(1) ((∃y)Q(z,y)→(∀x)R(x,y))∨(∃x)S(x,y,z)解：将自由变元z用u代入：((∃y)Q(u,y)→(∀x)R(x,y))∨(∃x)S(x,y,u)将自由变元y用v代入：((∃y)Q(z,y)→(∀x)R(x,v))∨(∃x)S(x,v,z)(2) (∀y)P(x,y)∧(∃z)Q(x,z)↔(∃x)R(x,y)解：将自由变元x用u代入：(∀y)P(u,y)∧(∃z)Q(u,z)↔(∃x)R(x,y)将自由变元y用v代入：(∀y)P(x,y)∧(∃z)Q(x,z)↔(∃x)R(x,v)4. 利用谓词公式对下列命题符号化。
(1) 每列火车都比某些汽车快。
解：设A(x)：x是火车。
B(x)：x是汽车。
C(x,y)：x比y快。
“每列火车都比某些汽车快。
”符号化为：(∀x)(A(x)→(∃y)(B(y)∧C(x,y)))(2) 某些汽车比所有火车慢。
解：设A(x)：x是火车。
B(x)：x是汽车。
C(x,y)：x比y快。
“某些汽车比所有火车慢。
”符号化为：(∃x)(B(x)∧(∀y)(A(y)→C(y,x)))(3) 对每一个实数x，存在一个更大的实数y。
解：设R(x)：x是实数。
G(x,y)：x比y大。
“对每一个实数x，存在一个更大的实数y。
”符号化为：(∀x)(R(x)→(∃y)(R(y)∧G(y,x)))(4) 存在实数x，y和z，使得x与y之和大于x与z之积。
解：设R(x)：x是实数。
G(x,y)：x比y大。
“存在实数x，y和z，使得x与y之和大于x与z之积。
”符号化为：(∃x)(∃y)(∃z)(R(x)∧R(y)∧R(z)∧G(x+y,xz))(5) 所有的人都不一样高。
解：设R(x)：x是人。
G(x,y)：x和y一样高。
“所有的人都不一样高。
”符号化为：(∀x)(∀y)(R(x)∧R(y)→¬G(x,y))5. 自然数一共有下述三条公理：a) 每个数都有惟一的一个数是它的后继数。
b) 没有一个数使数1是它的后继数。
c) 每个不等于1的数都有惟一的一个数是它的直接先驱数。
用两个谓词表达上述三条公理。
注：设n是不等于1的自然数，则n＋1是n的后继数，n－1是n的先驱数。
解：设A(x)：x是数。
B(x,y)：x是y后继数(根据定义，也可理解为y是x先驱数)。
a) “每个数都有惟一的一个数是它的后继数。
”符号化为：(∀x)(A(x)→(∃y)(A(y)∧B(y,x))∧((∃z)(A(z)∧B(z,x))→(z=y)))b) “没有一个数使数1是它的后继数。
”符号化为：¬(∃x)(A(x)∧B(1,x))c) “每个不等于1的数都有惟一的一个数是它的直接先驱数。
”符号化为：(∀x)(A(x)∧¬(x=1)→(∃y)(A(y)∧B(x,y))∧((∃z)(A(z)∧B(x,z))→(z=y)))6. 取个体域为实数集R，函数f在a点连续的定义是：对每个ε＞0，存在一个δ＞0，使得对所有x，若|x－a|＜δ，则|f(x)－f(a)|＜ε。
试把此定义用符号化的形式表达出来。
解：(∀ε) ((ε＞0)→(∃δ)( (δ＞0)∧(∀x) ((|x－a|＜δ)→(|f(x)－f(a)|＜ε))))7.若定义惟一性量词(∃!x)为“存在惟一的一个x”，则(∃!x)P(x)表示“存在惟一的一个x使P(x)为真”。
试用量词，谓词及逻辑运算符表示(∃!x)P(x)。
解：(∃!x)P(x)⇔(∃x)P(x)∧((∃y)P(y)→(y=x))习题 2.31. 设个体域为D=⎨1,2,3⎬，试消去下列各式的量词。
(1) (∀x)P(x)解：(∀x)P(x)⇔P(1)∧P(2)∧P(3)(2) (∀x)P(x)→(∃y)Q(y)解：(∀x)P(x)→(∃y)Q(y)⇔(P(1)∧P(2)∧P(3))→(Q(1)∨Q(2)∨Q(3))(3) (∀x)P(x)∨(∃y)Q(y)解：(∀x)P(x)∨(∃y)Q(y)⇔(P(1)∧P(2)∧P(3))∨(Q(1)∨Q(2)∨Q(3))(4) (∀x)(P(x)↔Q(x))解：(∀x)(P(x)↔Q(x))⇔(P(1)↔Q(1))∧(P(2)↔Q(2))∧(P(3)↔Q(3))(5) (∀x)⌝P(x)∨(∀y)Q(y)解：(∀x)¬P(x)∨(∀y)Q(y)⇔ (¬P(1)∧¬P(2)∧¬P(3))∨(Q(1)∧Q(2)∧Q(3))2. 求下列各式的真值。