离散数学 第2章 习题解答

习题 2.1

1．将下列命题符号化。

(1) 4不是奇数。

解：设A(x)：x是奇数。a：4。

“4不是奇数。”符号化为：¬A(a)

(2) 2是偶数且是质数。

解：设A(x)：x是偶数。B(x)：x是质数。a：2。

“2是偶数且是质数。”符号化为：A(a)∧B(a)

(3) 老王是山东人或河北人。

解：设A(x)：x是山东人。B(x)：x是河北人。a：老王。

“老王是山东人或河北人。”符号化为：A(a)∨B(a)

(4) 2与3都是偶数。

解：设A(x)：x是偶数。a：2，b：3。

“2与3都是偶数。”符号化为：A(a)∧A(b)

(5) 5大于3。

解：设G(x,y)：x大于y。a：5。b：3。

“5大于3。”符号化为：G(a,b)

(6) 若m是奇数，则2m不是奇数。

解：设A(x)：x是奇数。a：m。b：2m。

“若m是奇数，则2m不是奇数。”符号化为：A(a)→A(b)

(7) 直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B。

解：设C(x,y)：直线x平行于直线y。设D(x,y)：直线x相交于直线y。a：直线A。b：直线B。

“直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B。”符号化为：C(a,b)↔¬D(x,y)

(8) 小王既聪明又用功，但身体不好。

解：设A(x)：x聪明。B(x)：x用功。C(x)：x身体好。a：小王。

“小王既聪明又用功，但身体不好。”符号化为：A(a)∧B(a)∧¬C(a)

(9) 秦岭隔开了渭水和汉水。

解：设A(x,y,z)：x隔开了y和z。a：秦岭。b：渭水。c：汉水。

“秦岭隔开了渭水和汉水。”符号化为：A(a,b,c)

(10) 除非小李是东北人，否则她一定怕冷。

解：设A(x)：x是东北人。B(x)：x怕冷。a：小李。

“除非小李是东北人，否则她一定怕冷。”符号化为：B(a)→¬A(a)

2．将下列命题符号化。并讨论它们的真值。

(1) 有些实数是有理数。

解：设R(x)：x是实数。Q(x)：x是有理数。

“有些实数是有理数。”符号化为：(∃x)(R(x)∧Q(x))

它的真值为：真。

(2) 凡是人都要休息。

解：设R(x)：x是人。S(x)：x要休息。

“凡是人都要休息。”符号化为：(∀x)(R(x)→S(x))

它的真值为：真。

(3) 每个自然数都有比它大的自然数。

解：设N(x)：x是自然数。G(x,y)：x比y大。

“每个自然数都有比它大的自然数。”符号化为：(∀x)(N(x)→(∃y)(N(y)∧G(y,x)))

它的真值为：真。

(4) 乌鸦都是黑的。

解：设A(x)：x是乌鸦。B(x)：是黑的。

“乌鸦都是黑的。”符号化为：(∀x)(A(x)→B(x))

它的真值为：真。

(5) 不存在比所有火车都快的汽车。

解：设A(x)：x是汽车。B(x)：是火车。K(x,y)：x比y快。

“不存在比所有火车都快的汽车。”符号化为：¬(∃x)(A(x)∧(∀y)(B(y)→K(x,y)))

它的真值为：真。

(6) 有些大学生不佩服运动员。

解：设S(x)：x是大学生。L(x)：是运动员。B(x,y)：x佩服y。

“有些大学生不佩服运动员。”符号化为：(∃x)(S(x)∧L(y)∧¬B(x,y))

它的真值为：真。

(7) 有些女同志既是教练员又是运动员。

解：设W(x)：x是女同志。J(x)：x是教练员。L(x)：x是运动员。

“有些女同志既是教练员又是运动员。”符号化为：(∃x)(W(x)∧J(x)∧L(x))

它的真值为：真。

(8) 除2以外的所有质数都是奇数。

解：设A(x)：x是质数。B(x)：x是奇数。C(x,y)：x不等于y。

“除2以外的所有质数都是奇数。”符号化为：(∀x)(A(x)∧C(x,2)→B(x))

它的真值为：真。

3．指出一个个体域，使下列被量化谓词的真值为真，该个体域是整数集合的最大子集。在以下各题中，A(x)表示：x＞0，B(x)表示：x=5，C(x,y) 表示：x＋y=0

(1) (∀x)A(x)

解：正整数集合Z+。

(2) (∃x)A(x)

解：整数集合Z。

(3) (∀x)B(x)

解：集合｛5｝。

(4) (∃x)B(x)

解：整数集合Z。

(5) (∀x)(∃y)C(x,y)

解：整数集合Z。

4．分别在全总个体域和实数个体域中，将下列命题符号化。

(1) 对所有的实数x，都存着实数y，使得x－y=0

解：设R(x)：x是实数。B(x,y)：x－y=0。

在实数个体域符号化为：(∀x)(∃y)B(x,y)

在全总个体域符号化为：(∀x)(R(x)→(∃y)(R(y)∧B(x,y))) (2) 存在着实数x，对所有的实数y，都有x－y=0

解：设R(x)：x是实数。B(x,y)：x－y=0。

在实数个体域符号化为：(∃x)(∀y)B(x,y)

在全总个体域符号化为：(∃x)(R(x)∧(∀y)(R(y)→B(x,y))) (3) 对所有的实数x和所有的实数y，都有x＋y=y＋x

解：设R(x)：x是实数。B(x,y)：x=y。

在实数个体域符号化为：(∀x)(∀y)B(x+y,y+x)

在全总个体域符号化为：(∀x)(R(x)→(∀y)(R(y)→B(x+y,y+x))) (4) 存在着实数x和存在着实数y，使得x＋y=100

解：设R(x)：x是实数。B(x,y)：x＋y=100。

在实数个体域符号化为：(∃x)( ∃y)B(x,y)

在全总个体域符号化为：(∃x)(R(x)∧(∃y)(R(y)∧B(x,y)))

习题 2.2

1. 指出下列公式中的约束变元和自由变元。

(1) (∀x)(P(x)→Q(y))

解：约束变元：x，自由变元：y

(2) (∀x)(P(x)∧R(x))→((∃x)P(x)∧Q(x))

解：约束变元：x，自由变元：x

(3) (∀x)(P(x)∧(∃x)Q(x))∨((∀x)R(x,y)∧Q(z))

解：约束变元：x，自由变元：y，z

(4) (∃x)(∀y) (R(x,y)∧Q(z))

解：约束变元：x，y，自由变元：z

(5) (∀z) (P(x)∧(∃x)R(x,z)→(∃y)Q(x,y))∨R(x,y)

解：约束变元：x，y，z，自由变元：x，y

2. 对下列谓词公式中的约束变元进行换名。

(1) (∃x)(∀y)(P(x,z)→Q(x,y))∧R(x,y)

解：将约束变元x换成u：(∃u)(∀y)(P(u,z)→Q(u,y))∧R(x,y) 将约束变元y换成v：(∃x)(∀v)(P(x,z)→Q(x,v))∧R(x,y)

(2) (∀x)(P(x)→(R(x)∨Q(x,y)))∧(∃x)R(x)→(∀z)S(x,z)

解：将前面的约束变元x换成u，后面的约束变元x换成v：