一般矩阵的相似对角形
矩阵相似于对角矩阵的条件
矩阵相似于对角矩阵的条件
1、对角矩阵：
对角矩阵是指矩阵的非零元素只存在主对角线上，根据主对角线类型的不同，还可以将对角矩阵分为两大类：单位对角矩阵和非单位对角矩阵。
单位对角矩阵非零元素全为1；而非单位对角矩阵的非零元素有不同的系数。
2、相似于对角矩阵的条件：
一个矩阵相似于对角矩阵，就必须满足三个要素：首先，矩阵中每一行和每一列的非零元素只有一个；其次，每一行和每一列上不同的非零元素的值必须不相等；最后，每一行和每一列的不同的非零元素的位置一定是主对角线上的相邻位置，例如，第一行第一列的非零元素，只能是矩阵的第一行第二列的非零元素的相邻位置，或者是第二行第一列的非零元素的相邻位置。
3、相似于对角矩阵的例子：
一个 3×3 的矩阵：
3 4 0
5 0 8
0 9 7
此时，第一行和第一列上都只有一个非零元素 3，而在主对角线上非零元素有两个 4 和 7，并且都是相邻的位置在第一行第二列和第二行第一列，所以这个矩阵就不相似于对角矩阵。
再比如如下矩阵：
1 6 0
4 0 5
0 3 7
第一行和第一列同样只有一个非零元素 1，且主对角线上非零元素有 6 和 7，这两个非零元素在第一行第二列和第二行第一列互为相邻，这个矩阵就相似于对角矩阵。
矩阵可以相似对角化的条件
矩阵可以相似对角化的条件
两个矩阵可以相似对角化的条件如下：
1. 矩阵A和B必须是n×n维的方阵，其中n是矩阵的阶数。
2. 如果矩阵A可以与另一个矩阵P相似对角化，即A = P^(-1) * D * P，其中D是对角矩阵，P是可逆矩阵（其逆矩阵存在），则这两个矩阵相似对角化。
3. 矩阵B也必须可以与相同的矩阵P相似对角化，即B = P^(-1) * E * P，其中E是对角矩阵。
4. 对角矩阵D和E必须具有相同的特征值，尽管它们的特征向量可以不同。
这意味着矩阵A和B有相同的特征值分布。
总之，两个矩阵A和B可以相似对角化的条件是它们可以通过相同的可逆矩阵P对角化，并且拥有相同的特征值。
相似对角化是一种重要的矩阵分解方法，它可以使复杂的矩阵运算变得更简单，特别是在线性代数和数学中的应用中。
矩阵的相似性与对角化
矩阵的相似性与对⾓化概要介绍相似矩阵、对⾓化以及⼀⼤堆性质.相似矩阵的定义从⼀节中，我们了解到每⼀个可逆矩阵都是⼀个可变换基的矩阵，每⼀个可变换基的矩阵也都是可逆的. 设 B 是向量空间V的⼀组基，T是V上的⼀个线性变换，A=B[T]B, 则T的所有基表⽰的集合是{B1[I]B⋅B[T]B⋅B[I]B1:B1is a basis of V}={S−1AS:S∈M n(F)is invertible}这恰是所有与A的相似的矩阵的集合，说明了相似矩阵正好就是单个线性变换的不同的基表⽰. 于是研究相似性可以看成是研究线性变换固有的性质或者是它们所有的基表⽰共有的性质。
与任何等价关系类似，相似性将集合M n分划成不相交的等价类。
每个等价类是M n中⼀个给定矩阵（这个类的⼀个代表元）相似的所有矩阵组成之集合。
⼀个等价类中所有的矩阵是相似的，不同等价类中的矩阵是不相似的，关键的结论是处于⼀个相似类中的矩阵共同享有许多重要的性质。
相似矩阵的性质相似矩阵有相同的特征多项式 **证明**：计算 \\begin{align\*} p\_B(t)&=\mathrm{det}(tI-B)=\mathrm{det}(tS^{-1}S-S^{-1}AS)=\mathrm{det}(S^{-1}(tI-A)S) \\\\ &=\mathrm{det}\\,S^{-1} \mathrm{det}(tI-A) \mathrm{det}S=( \mathrm{det}\\,S)^{-1}(\mathrm{det}\\,S) \mathrm{det}(tI-A)=\mathrm{det}(tI-A)=p\_{A}(t) \\end{align\*} 基于此有个简单的推论，对相似性来说，有相同的特征值是⼀个必要但⾮充分的条件，⽐如01 00与0000有相同的特征值但不相似。
### 对⾓矩阵的相似性由于对⾓矩阵特别简单且有很好的性质，我们乐于知道何种矩阵与对⾓矩阵相似. **证明**：假设k<n, 且="" n="" 元向量=""x(1)="",=""⋯="",x(k)="" 是线性⽆关的，⼜对每个="" i="1,"⋯,=""k="" 有="" ax(i)="λi x(i)." 设="" λ="diag(λ1,"λk),=""s1=""x(1)=""⋯=""x(k)="",="" 并选取任意⼀个="" s2=""∈=""m n,="" 使得="" s=""s1s2="" 是⾮奇异的.="" 计算="" \\begin{align\*}="" s^{-1}as="" &="S^{-1}"=""ax(1)⋯ax(k)as_2="S^{-1}" \lambda\_1="" x^{(1)}&\cdots&\lambda\_k="" x^{(k)}&as\_2\end{bmatrix}="" \\\\="" s^{-1}="" &s^{-1}as\_2\end{bmatrix}=""e_1=""⋯λ_k=""e_k=""s−1as_2="" \lambda="" c="" 0="" d="" \end{bmatrix},\quad="" \end{bmatrix}="S^{-1}AS\_2" \\end{align\*}="" 反过来，如果="" s="" 是⾮奇异的，s−1as=""且我们给分划=""s1s2,="" 其中="" m_{n,k},=""那么=""s_1=""的列就是线性⽆关的，且=""=""as1as2="AS=S"s1λ=""s1c+s2=""d.=""于是，as_1="S_1\Lambda,"所以=""的每⼀列都是=""a=""的特征向量。
矩阵的特征值与矩阵的相似对角化
当 λ1 = −1 时， 齐次线性方程组为
(A+ E)x = 0
5 − 5 1 −1 系数矩阵 ( A + E ) = → 2 −2 0 0
x1 = x2
1 得基础解系: 令 x2 = 1 得基础解系 p1 = 1
当
λ2 = 2 时， 齐次线性方程组为 ( A − 2 E ) x = 0
例6：已知 阶矩阵 A 的特征值为 ，2，3， ：已知3阶矩阵 的特征值为1， ， ， 能否与对角阵相似？ 设 B = A2 − 3 A + E , 问矩阵 B 能否与对角阵相似？ 解： 方法 方法1 令 f ( x) = x3 − 3 x + 1
B = f ( A) = A 3 − 3 A + E ,
2n =0 0 0 n n 5 + 1 5 − 1 2 2 n n 5 − 1 5 + 1 2 2 0
B n = PAn P −1
例9
x1 + 2x2 + 3x3 = 1, 取何值时， 设x1 + 3x2 + 6x3 = 2, 问λ取何值时， 2x + 3x + 3x = λ, 2 3 1
∴ B 的特征值为 f (1) = −1
f (2) = 3 f (3) = 19
3阶矩阵 B 有3个不同的特征值，所以 B可以对角化。 阶矩阵 个不同的特征值， 可以对角化。 个不同的特征值
方法2： 个不同的特征值， 方法 ：因为矩阵 A 有3个不同的特征值，所以可以对角化， 个不同的特征值 所以可以对角化， 1 即存在可逆矩阵 P , 使得 P − 1 AP = Λ = 2 3 3 −1 −1 ∴ P BP = P ( A − 3 A + E ) P
线性代数 第5.2节 矩阵相似对角化
2 2 得基础解系 p1 1 , p2 0 . 0 1 当 3 7 时，齐次线性方程组为 A 7 E X 0 1 8 2 2 1 0 2 2 5 4 0 1 1 A 7E 0 0 0 2 4 5
求矩阵 A.
22
解：因为特征向量是3维向量，所以矩阵 A 是3 阶方阵。
因为 A 有 3 个不同的特征值，所以 A 可以对角化。 即存在可逆矩阵 P , 使得 P 1 AP
1 1 1 其中 P 1 0 2 , 1 1 1
求得 P 1
1 3 1 2 1 6 1 3 0 1 3
A 可以对角化。
当 1 1 时， 齐次线性方程组为
A Ex 0
5 5 1 1 系数矩阵 A E 2 2 0 0
x1 x2
1 令 x2 1 得基础解系: p1 1
25
当
2 2 时， 齐次线性方程组为 A 2 E x 0 2 5 2 5 系数矩阵 A 2 E 2 5 0 0
x1 2 x2
2 得基础解系 p1 1 , 0
0 0. p2 1
当 3 2 时，齐次线性方程组为 A 2 E X 0
6 A 2 E 3 3 6 3 6 0 1 0 0 3 0 0 1 0 1 1 0
可对角化的矩阵主要有以下几种应用： 1. 由特征值、特征向量反求矩阵 例3：已知方阵 A 的特征值是
1 0, 2 1, 3 3, 1 1 1 1 , 0 , 2 , 相应的特征向量是 1 2 3 1 1 1
线性代数-矩阵的相似对角化
即 y1 0.9 z1 0.1
0.2 0.8
y0 z0
,
矩 阵
第 k 年末城乡人口为
yk zk
0.9 0.1
0.2 0.8
yk 1 zk 1
,
即
yk zk
0.9 0.1
0.2 0.8
k
y0 z0
,
记 A 0.9 0.1
0.2 , 0.8
则有
yk zk
Ak
y0 z0
,
相
其重数分别为 s1, s2 , , sr ;
似 矩
(2) 对每一个特征值 i , 求矩阵 A 特征向量，
阵
并找出其中线性无关的特征向量，其最大个数为 ti ;
(3) 若 ti si , 则 A 不能相似对角化；
(4) 若 ti si (i 1, 2, , r), 则以这些特征向量作为列向量构成矩阵 P， 从而有 P 1 AP Λ;
有
y0 z0
a
X1
b
X
2
,
X2
1 3
1 , 1
(线性无关)
故第 k 年末城乡人口为
yk zk
Ak
y0 z0
a Ak X1 b Ak X2
ak1 X1 bk2 X2 a X1 b(0.7)k X 2 ,
y z
a
X
1
1 2a , 3a
y : z 2 :1.
25
§5.2 矩阵的相似对角化
13
§5.2 矩阵的相似对角化
第 五
例
试将矩阵
A
a
a
1
相似对角化。
章
a
相 解 令 | I A| 0 , 得 A 的特征值为 1 a , (三重根)
第二节 矩阵的相似对角化
解之得基础解系
2 0 1 0 , 2 1 . 1 1
同理, 对 3 7,由 A E x 0,
求得基础解系 3 1,2,2
2 0 1 由于 0 1 2 0, 1 1 2
所以 1 , 2 , 3线性无关.
２．相似变换与相似变换矩阵
相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A 变成 P 1 AP，而可逆矩阵 P 称为进行这一变换的 相似变换矩阵．
这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种 运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与 之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从 而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对 角矩阵的运算．
定理 设f ( )是矩阵A的特征多项式, 则f ( A) O . 证明 只证明A与对角矩阵相似的情形. 若A与对角矩阵相似, 则有可逆矩阵P , 使 1 P AP diag ( 1 ,, n ),
其中 i 为A的特征值, f ( i ) 0. 由A P P 1 , 有 f ( 1) 1 1 f ( A) Pf ( ) P P P f ( n ) PO P 1 O .
１．相似矩阵 相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好 的性质，除了课堂内介绍的以外，还有： (1) A与B相似, 则 det( A) det( B );
( 2)若A与B相似, 且A可逆, 则B也可逆, 且A 1与 B 1相似; ( 3) A与B相似, 则kA与kB相似, k为常数;
(4)若A与B相似, 而f ( x )是一多项式, 则f ( A)与 f ( B )相似.
1 若令P 3 , 1 , 2 1 1 2 0 1 则有 P AP 0 1 0 0
相似对角化
相似对角化相似对角化是线性代数中一个重要的概念，用于研究矩阵的性质和结构。
在相似对角化中，我们尝试将一个给定的矩阵通过相似变换转化成对角矩阵的形式，从而简化矩阵的运算和分析。
在研究相似对角化之前，我们先来回顾一下矩阵的基本知识。
矩阵是由数个行和列组成的矩形阵列，通常用大写字母表示。
矩阵的大小由行数和列数确定，对于一个n×n的矩阵A，我们可以表示为A=(aij)，其中i表示矩阵的行数，j表示列数，aij表示矩阵A第i行第j列的元素。
在矩阵的运算中，我们经常会遇到矩阵的乘法和幂操作。
矩阵的乘法满足结合律和分配律，而矩阵的幂操作是将一个矩阵连乘多次。
矩阵的乘法和幂操作都可以通过相似对角化来简化。
相似对角化的概念是建立在矩阵相似的基础上的。
如果存在一个可逆矩阵P，使得矩阵A满足以下等式：A=PDP^{-1}其中，D是一个对角矩阵，即对角线上的元素外其他元素都为0。
那么我们称矩阵A可以被相似对角化。
现在让我们来看一下相似对角化的具体步骤。
假设我们有一个n×n的矩阵A，我们的目标是找到一个可逆矩阵P，使得A可以被相似对角化。
第一步，我们需要求得A的特征值和特征向量。
特征值是一个标量，特征向量是一个非零向量，它们满足下列方程：Av=λv其中，v是非零向量，λ是标量。
第二步，我们将特征向量构成一个矩阵P，P的每一列都是一个特征向量。
如果特征值是重复的，那么对应的特征向量可以取多个。
第三步，我们求得P的逆矩阵P^{-1}。
第四步，我们构造对角矩阵D，D的对角线上的元素是A 的特征值，其他元素为0。
第五步，我们可以根据等式A=PDP^{-1}来验证A是否满足相似对角化的条件。
如果等式成立，那么矩阵A可以被相似对角化。
相似对角化在线性代数的很多应用中都起着重要作用。
通过相似对角化，我们可以简化矩阵的运算和分析，并且可以更加深入地了解矩阵的特性和结构。
对于矩阵的乘法、幂操作和求逆等运算，相似对角化都有很大的帮助。
《线性代数》教学课件—矩阵的相似、对角化
若A PB P 1 , 则
k
1
A PB P 1 PB P
PB P 1 PB P 1 P B k P 1 .
A的多项式
( A) a0 An a1 An1 an1 A an E
a 0 P B n P 1 a 1 P B n 1 P 1
判断下列实矩阵能否对角化？
1 2 2
(1) A 2 2 4
2
4
2
解
2 1 2
( 2) A 5 3 3
1 0 2
1
(1)由 E A
2
2
2
2
2 4
4
2
2 7
为对角阵，称矩阵A可对角化或相似于对角阵。
定理（重要结论）n阶方阵A与对角阵相似（即A能对角化)
的充要条件是A 有n个线性无关的特征向量。
1
假设存在可逆阵
P
,
使
P
AP 为对角阵,
定理证明：
把 P 用其列向量表示为 P p1 , p2 ,, pn .
由 P 1 AP , 得AP P ,
1
2
即 A p1 , p2 ,, pn p1 , p2 ,, pn
1 p1 , 2 p2 ,, n pn .
n
A p1 , p2 ,, pn Ap1 , Ap2 ,, Apn 1 p1 , 2 p2 ,
2
线性代数 矩阵的相似对角化(1)
矩阵的相似对角化◼矩阵的相似对角化◼矩阵相似对角化举例矩阵的相似对角化(1)主要内容◼可相似对角化的方阵◼矩阵的相似对角化定义1设A 是数域P 上的n 阶方阵，如果存在数域P 上的可逆阵Q ，使得n Q AQ λλλ−⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭121,则称A 是可相似对角化的方阵，简称A 为()i P i n λ∈=1,2,,,可对角化.⚫可相似对角化的方阵例11101A ⎛⎫= ⎪⎝⎭取复数域C 上的二阶矩阵则A 在复数域上不能对角化.证a b Q c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭设若不然，则存在可逆矩阵并非所有方阵都可以对角化.Q AQ λλ−⎛⎫= ⎪⎝⎭11200，λ1,λ2∈P .使AQ Q λλ⎛⎫= ⎪⎝⎭120012011001a b ab c d cd λλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即于是比较两边元素有1212a c a a dbc cd d λλλλ+=⎧⎪+=⎪⎨=⎪⎪=⎩由于Q 可逆，再由第一式有c = 0，c ,d 不能同时为0，不妨设c ≠ 0，这导致矛盾.因此，不可能存在可逆矩阵Q 使Q -1AQ 化即A 在复数域C 上不能对角化.则有λ1=1，成对角形，(1)单位矩阵只能同单位矩阵相似.例2(2)数量矩阵也只相似于数量矩阵.因为对单位矩阵E与任何可逆矩阵P,都有P−1EP = E, P−1kEP = kE.问题：给定n阶矩阵A，如何在与A相似的所有方阵中，找出最简单的矩阵是什么？(相似标准形问题)换言之，如何寻找一个可逆矩阵Q，使Q-1AQ=B成为对角阵呢?（这一片不出现）这就是下面要讨论的主要问题.我们知道：1.单位矩阵只能同单位矩阵相似.2.数量矩阵也只相似于数量矩阵.除这两类阵矩外，再简单的矩阵就是对角矩阵.那么任何矩阵A是否都相似于一个对角矩阵呢？如果A 可相似对角化，n Q AQ λλλ−⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭121,则存在可逆阵Q 使也就是说，满足什么条件的矩阵是可以对角化的呢?若此式成立, λi 应满足什么条件呢？n AQ Q λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭12.记α1,α2, …, αn 为Q 的列向量，121212(,,,)(,,,),n n n A λλααααααλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭则有从而有即()()121122,,,,,,n n n A A A αααλαλαλα=从而()i i i A i n αλα==1,2,,且α1, α2, …, αn 线性无关.⚫矩阵相似变换下化为对角形定理1证明(⇐)若A 有n 个线性无关的分别属于特征值n 阶矩阵A 与对角矩阵相似⇔A 有n 个线性无关的特征向量.λ1, λ2, …, λn 的特征向量α1, α2, …, αn , 以α1, α2, …, αn 为列向量作矩阵Q =(α1, α2, …, αn ),显然Q 满秩. 且12(,,,)nAQ A A A ααα=1122(,,,)n n λαλαλα=()1212n n λλαααλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭n Q λλλ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭12即n Q AQ λλλ−⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭121.(⇒)必要性由充分性逆推可得.注：证明中λ, λ2, …, λn的顺序与α1, α2, …, αn1对应.不管顺序如何，对角矩阵的主对角线元素总是A的n 个特征值.因此在不考虑顺序时，与矩阵A相似的对角阵唯一.定理1表明：一个n阶方阵A是否可以相似对角化，关键在于它是否有n个线性无关的特征向量.我们从例1可以看到，并非任何方阵都可相似对角化.问题是否任一n 阶矩阵都有n 个线性无关的特征向量呢?征值的特征向量是彼此线性无关的，有n 个线性无关的特征向量，如果A 的特征值都是单根，因为属于不同特这时A 从而A 可以对角化.推论：证若A 是复数域上的n 阶矩阵，且A 在复数域上的特征根都是单根，在复数域上可相似对角化.由于复数域上的n 次多项式必有n 个根，如果都是单根，则这n 个根互不相同.必有分别属于它们的特征向量于是，则A α1, α2, …, αn .α1, α2, …, αn 线性无关，由定理可知:A 可相似对角化. 从而该推论给出了方阵相似于对角形矩阵的一个充分条件，但不是必要条件.问题是否任一n阶矩阵都有n个线性无关的特征向量呢?如果A有重根，注意到属于A 的不同特征值的线性无关的特征向量组成的向量组是线性那么只有属于它的每个重根的线性无关的，无关的特征向量个数和该特征值的重数相等它才有n个线性无关的特征向量，这时时，A才可以对角化.补充定理在复数范围内，n阶矩阵相似于对角形矩阵的充分必要条件:每个特征值的线性无关特征向量的个数等于它的重根的次数.。
相似矩阵与矩阵相似于对角阵的条件
A 有n 个线性无关的特征向量.
【注】 ①若矩阵 A 相似于对角阵，则称 A可相似对角化.
②证明过程给出找与 A 相似的对角阵的方法： 即用 A 的n个线性无关的特征向量 1,2 ,,n
构成可逆矩阵U，U (1 2 n ) ，则
1
U 1 AU
2
n
其中i 是属于特征 值i 的特征向量.
【注】矩阵U的列向量和对角阵中特征值的位置要
～A
【注】单位矩阵 E 只与自己相似
因为对任意可逆矩阵 U，U 1 EU E
数量矩阵 aE 只与自己相似 U 1aEU aE
2. 相似矩阵的性质 （1）基本性质
反身性，即A～A， 对称性，即A～B，则B～A 传递性， 如果A～B，B～C，则A～C
（2）相似矩阵有相同的特征多项式
相同的特征值(包括重数),迹,行列式.
【注】 逆不真,即有相同特征多项式的矩阵不一定相似.
反例1 A 1 0 0 1
B 1 1 0 1
（3）相似矩阵有相同的秩
【注】逆不真,即秩相同的矩阵不一定相似.——反例1
推论：相似矩阵同为可逆或不可逆，若可逆，逆矩阵也相似.
（4）如果 A～B，则 Ak ~ Bk（k 为非负整数）
【注】逆命题不成立.
相互对应.
例1
判断
1 A 2
2 1
2 2
是否可以相似对角化.
2
2
1
A的属于特征值5的特征向量为
1
1 1
1
A的属于特征值
-1（二重）2
1
的特征向量为
0
1
3
1,2 ,3 线性无关 ，A可以相似对角化
1
0
1
令U
一般矩阵的相似对角形.ppt
(ii) 当A与对角阵相似时，求出A的n个线性无关的特征
向量1,2 , ,n，并令P (1,2 , ,n )，则有
1
P 1 A P
2
n
作业 设矩阵 a a L
A
a M
a M
L
a a L
a
a
M
a 0
a
求 A 的特征值与特征向量 ，
并判断A能否与对角矩阵相似 .
1
将3 2代入A E x 0,得方程组的基础
解系
3 1,1,1T .
由于 1,2 ,3 线性无关. 所以 A 可对角化.
2 0 1
令
P
1
,
2
,3
1
0
1
0 1 1
1 0 0
则有
P 1 AP
0
1
0.
0 0 2
注意
1 2 0
若令P
3
,1
,
2
1
1
0
,
1 0 1
则有
P
1 AP
2 0
0 1
0 0 .
0 0 1
即矩阵 P 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应．
例：判断A
2 1
0 3
01能否与对角阵相似，并在相似时求
1 0 1
可逆阵P，使P1AP 为对角阵。
解：
2 0
A E 1 3
0
1 (1 )(2 )(3 )
1 0 1
1 1, 2 2, 3 3 A ~ 对1 1，求得特征向量为1 (0,1,2)T , 对2 2，求得特征向量为2 (1,0,1)T
矩阵的相似对角化
2 4
2
4 2
2 7
0
得 1 2 2, 3 7.
将 1 2 2代入 A 1 E x 0, 得方程组
x1 2 x2 2 x3 0 2 x1 4 x2 4 x3 0 2x 4x 4x 0 1 2 3
将3 2代入 A E x 0, 得方程组的基础 解系
3 1,1,1T .
所以 A 可对角化. 0 1 0 1 1 1
0 1 0 . 0 2 0
由于 1 , 2 , 3 线性无关. 2 令 P 1 , 2 , 3 1 0 1 1 则有 P AP 0 0
§2
矩阵的相似对角化
一、相似矩阵的概念 义1 设 A , B 都是 n 阶矩阵, 若有可逆矩阵 P ,
使 P 1 AP B , 则称 B 是 A 的相似矩阵, 或说矩阵 A 与 B 相似.
记为 A ~ B
显然，矩阵的相似满足如下三个基本性质： (1) 反身性 (2) 对称性 (3) 传递性 A~A； A ~ B ，则 B ~ A ； A ~ B, B ~ C, 则A ~ C 。
1 若令P 3 , 1 , 2 1 1 2 0 1 则有 P AP 0 1 0 0
注意
2 0 1 0 , 0 1 0 0 . 1
即矩阵 P 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应．
例 3
故A 不能化为对角矩阵.
6 0 4 例2 设A 3 5 0 3 6 1 A能否对角化？若能对角 化, 则求出可逆矩阵P , 使P 1 AP为对角阵.
解
相似矩阵及对角化
相似矩阵及对角化
相似对角化的条件是：n阶方阵存在n个线性无关的特征向量；如果这个n阶方阵有n个不同的特征值，那么矩阵必然存在相似矩阵；如果阶n方阵存在重复的特征值，每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重复次数。
相似对角化是指设m为元素取自交换体k中的n阶方阵，将m对角化，就是确定一个对角矩阵d及一个可逆方阵p，使m=pdp-1。
设f为典范对应于m的kn的自同态，将m对角化，就是确定kn的一个基，使在该基中对应f的矩阵是对角矩阵。
相近对角化就是线性代数中最重要的知识点之一。
如果一个方阵a相近于对角矩阵，也就是说存有一个对称矩阵p，使就是对角矩阵，则就被称作可以相近对角化的。
可对角化矩阵是线性代数和矩阵论中重要的一类矩阵。
如果一个方块矩阵a相似于对角矩阵，也就是说，如果存在一个可逆矩阵p对角矩阵，则它就被称为可对角化的。
如果v是有限维度的向量空间，则线性映射t存在v→v被称为可对角化的，如果存在v的一个基，t关于它可被表示为对角矩阵。
对角化是找到可对角化矩阵或映射的相应对角矩阵的过程。
准确对角化法本身的物理概念极为直观，若是只须要获得极小尺寸的结果，在程式编写方面也很难，然而减少系统尺寸时，随着所需的内存激增，程式设计显得非常困难。
精确对角化法本身的物理概念极为简单，若是只需要得到极小尺寸的结果，在程式撰写方面也很容易，然而增加系统尺寸时，随着所需的内存暴增，程式设计变得非常困难。
主要困难之处在于如何有效运用有限的内存，以及提升程式运作的效率。
第二十五讲方阵相似于对角阵的充分必要条件
得 当
时，齐次线性方程组为
得基础解系
当
时，齐次线性方程组为
得基础解系
8
线性无关
即A有3个线性无关的特征向量，所以A可以对角化。
相似变换矩阵
相似对角阵
9
当 得基础解系
时，解 所以 不能化为对角矩阵.
10
实对称矩阵的相似对角化
定理1 实对称矩阵的特征值为实数.
定理2 设A为 n 阶实对称矩阵，λ是A的特征方 程的r 重根,则矩阵A-λE的秩R(A-λE)=n-r，从
4
Step2 : 对 A 的基础解系, 设为 pi1 , pi 2 , , pini
( i = 1, 2, ···, s ) . 以这些向量为列构造矩阵
P ( p11,p12,, p1n1 ,p21,p22,, p2n2 ,, ps1,ps2,,psns ),
0 1 3
得特征值 1 2, 2 3 4.
12
0
对 1 2,由A 2E x 0,得基础解系
p1
1
对 2 3 4,由A 4E x 0,得基础解系 1
1
p2
0
,
0
0
p3
1
.
1
0 1 0
2 0 0
记P
p1 ,
p2 ,
p3
1
0
1
则
P 1 AP
0
4
0
.
1 0 1
Λ diag(λ1,,λ1, λ2,,λ2,, λs ,,λs ),
n1
n2
ns
5
则 P-1AP = . 要注意矩阵 P 的列与对角矩阵 主对角线
上的元素( A 的特征值 ) 之间的对应关系.
相似标准型和相似对角化
相似标准型和相似对角化
相似标准型和相似对角化是线性代数中与矩阵相似性相关的两个概念。
相似标准型是指对于一个给定的矩阵A，存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP为一个特定的形式，这个形式被称为相似标准型。
相似标准型的形式取决于矩阵A的特征值和特征向量。
对于一个n阶矩阵A，其相似标准型可以表示为：
P^{-1}AP = \begin{bmatrix} D_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & D_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & D_k \end{bmatrix}
其中D_1, D_2, ..., D_k是A的不同特征值所对应的特征子空间的维度。
相似对角化是指对于一个给定的矩阵A，存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP为一个对角矩阵。
相似对角化的形式更为简洁，但是不是所有的矩阵都可以相似对角化。
一个矩阵可以相似对角化的充要条件是它有n个线性无关的特征向量，其中n是矩阵的阶数。
总结起来，相似标准型是一种特殊的相似形式，它可以适用于所有的
矩阵，而相似对角化是一种更为特殊的相似形式，只适用于具有n个线性无关特征向量的矩阵。
矩阵的相似对角化
信息系 刘康泽
二、矩阵可对角化的条件 并非任何方阵 A 都可对角化，那么当方阵 A 满足什
么条件时可对角化呢？
【定理】 n 阶方阵 A 与对角阵相似的充分必要条件 是 A 有 n 个线性无关的特征向量。 证明：充分性 设 A 有 n 个线性无关的特征向量 1 , 2 ,, n ，对应的特征值依次为 1 , 2 ,, n ，
1 3 2 3 4 1 2。 3 5 2
（2）由题设 A 40 ，又若 A 有特征值 ，则 A* 有特征
40 40 40 , , 值 ， 所以 A 的特征值为 ， A* 的特征 即 2 4 5 值为 20 , 10 , 8 。
1 , 2 ,, n 线性无关。
【注】从定理证明过程知, 若 A 与对角阵 相似，则 （1）与 A 相似的对角矩阵 的主对角线上的元素 1 , 2 ,, n 恰好是 A 的 n 个特征值；
（2） P AP 中的可逆阵 P 的各列 1 , 2 ,, n
1
恰好是 A 的属于 j 的特征向量。
征向量组中所含向量的个数为 n j ，j 1, 2,, m ， A 可 则 对角化的充分必要条件是：
n
j 1
m
j
n。
【推论 3】 如果 n 阶方阵 A 有 m 个互不相同的特征 值 1 , 2 ,, m ， m n ，依次分别为 r1 ,r2 , , rm 重特征 根，且
PP 1 Pk P 1
信息系 刘康泽
1 1k k 2 2 P 1 。 P 1 P P k n n 同理，当 A 时，若 f ( x ) a0 x m a1 x m 1 am 1 x am 是 m 次多项式，则 f ( A) ~ f () ，即 f (1 ) f (2 ) P 1 。 f ( A) Pf () P 1 P f (n )
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0 1 0
P
(1,2
,3 )
1
0
1 ,
2 1 0
1 0 0
P1
AP
0
2
0 .
0 0 3
矩阵相似对角化的步骤：
(i)求出A的所有特征值1,2,, n， 若1,2,, n互异，则A与对角阵相似； 若1,2,, n中互异的为1,2,, m, 每个i的重数 为ri，当r( A iE) n ri时(i 1,2,, m),
设为k重特征值，只要r( A E) n k, 则 ( A E) X O就有k个线性无关的解向量，即A有k个线
性无关的特征向量。
定 理 2：设A的相异特征值为1，2，，m, 其重数分别为
m
r1, r2 ,, rm , ri n, 则 A ~ r( A iE) n ri.
i 1
2
APi iPi, i 1,2,, n.
n
（Pi是否为特征向量？）
(1P1,2P2,, nPn)
P 0 P1, P2,, Pn为非零向量。（且线性无关。）
1, 2,, n是特征值 P1, P2,, Pn是特征向量。
反之设1,2,, n是A的特征值, 对应的特征向量为
P1, P2,, Pn.
练习
2 0 0
A 1 3 1能否与对角阵相似?
1 0 1
1 1,2 2, 3 3 A ~
1 1 1
B
2
4
2
能否与对角阵相似？
1
2
2, 3
6.
3 3 5
当 1 2 2 时
1 1 1 1 1 1
B
2E
2
3
2 3
2
0
3 0
0 0
00 .
二、矩阵相似对角化的方法：
相似对角形
特征值与特征向量 一般矩阵的相似对角化 实对称矩阵的相似对角化
一般矩阵的相似对角化
一、矩阵与对角阵相似的条件：
设A与对角阵相似，存在一个n阶可逆阵P，使 P1AP
1
设P
(P1,
P2
,,
Pn
)，
2
n
P1AP AP P
1
AP ( AP1, AP2,, APn ) = (P1, P2 ,, Pn )
A一定与对角阵相似；否则A不与对角阵相似。
(ii)当A与对角阵相似时，求出A的n个线性无关的特征向 量
1,2 ,,n，并1令P (1,2 ,,n )，则有
P1
AP
2
.
n
练习
1 1 1
B
2
4
2
能否与对角阵相似？并在相似时求可逆
3 3 5
阵P，使P1BP 为对角阵。
思考
仅用矩阵的特征值就可以判定矩阵能否与对角阵 相似，为什么？怎么做？
2 0 0
例：判断A 11
3 0
11能否与对角阵相似，并在相似时求
可逆阵P，使P1AP 为对角阵。
解：
2 0 0
A E 1 3 1 (1 )(2 )(3 )
1 0 1
1 1,2 2, 3 3 A ~
对1 1，求得特征向量为1 (0,1,2)T , 对2 2，求得特征向量为2 (1,0,1)T 对3 3，求得特征向量为3 (0,1,0)T .
推论：若A有n个互异的特征值，则A与对角阵相似；但反之不对。
思考：矩阵能否与对角阵相似，取决于矩阵能否有n个线性无
关的特征向量。 若矩阵A的特征值互异，则矩阵能与对角阵相似，问题已经解
决；若矩阵A有重特征值，则不能马上断言。这时要看特征向量了。
实际上，只要k重特征值对应k个线性无关的特征向量就行了。
1
设P
(P1,
P2 ,,
Pn
)，
2
, 则有
n
AP ( AP1, AP2,, APn) (1P1,2P2,, nPn)
1
(P1, P2,, Pn )
2
P
n
由此可得什么结论？
A ~ P可逆 P1, P2,, Pn线性无关。
定理1：n阶矩阵A与对角阵相似的充要条件为A有n个线性 无关的特征向量。