高二数学函数的单调性与导数PPT教学课件

(2kp2 p,2kp2 p)k ( Z );
33
递减区间是:
(2kp2 p,2kp4 p)k ( Z ).
33
练习3、确定下面函数的单调区间：
f(x)=x/2-ln(1+x)+1 解:函数的定义域是(-1,+∞),
f(x)11 x1. 21x 2(1x)
由 xf(x1xf)(1x0)000即x2(x1x21(1xx1)11x0),0, 解得x>1.
当 f(x) >0，
即 x117或 x117 时，
2
2
函数单调递增；
当 f(x) <0，
即 117x117时， y
2
2
函数单调递减；
图象见右图。
o
x
练习1:确定下列函数的单调区间:
(1) f(x)=x2-2x+4 x<1时，函数单调递减， x>1时，函数单调递增。
(2) f(x)=3x-x3 x<-1或x>1时，函数单调递减， -1<x<1时，函数单调递增。
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o1
x
(3) f(x)=sinx-x ; x∈(0,p) 解： f(x)=cosx-1<0
从而函数f(x)=sinx-x
在x∈(0,p)单调递减， y
见右图。
o
x
f (x) sin x x
(4) f(x)=2x3+3x2-24x+1 ;
解： f(x)=6x2+6x-24=6(x2+x-4)>0
当 1<x< 4时，
y
o1
解：由题意可知
yf(x)
当1<x<4时， f(x)为增函数 当x>4,或x<1时，
f(x)为减函数
当x=4,或x=1时，
4
x 两点为“临界点”
其图象的大致形状如图。
例2、判断下列函数的单调性，并求出
单调区间：
y
(1) f(x)=x3+3x ;
解： f(x)=3x2+3=3(x2+1)>0
练习2:确定下面函数的单调区间:
f(x)=x/2+sinx;
解: (1)函数的定义域是R,
f(x)1coxs.
2
令 1cosx0 ,解得 2 k p2 px2 k p2 p(k Z ).
2
3
3
令
1cosx0 2
,解得
2 k p2 px2 k p4 p(k Z ).
3
3
因此,f(x)的递增区间是:
yx12 0
在x∈( 0,+∞)内
图象是单调下降的.
yx12 0
函数的单调性与其导函数正负的关系: 当函数y=f (x)在某个区间内可导时，
如果 f(x)0, 则f (x)为增函数；
如果 f(x)0, 则f (x)为减函数。
f (x)
例1、 f(x)0 f(x)0 f(x)0
已知 导函 数 的下 列信 息：
从而函数f(x)=x3+3x 在x∈R上单调递增， 见右图。
o
x
f (x) x3 3x
(2) f(x)=x2-2x-3 ;
解： f(x)=2x-2=2(x-1)>0
当 f(x)>0，即x>1时，函数单调递增；
当 f(x)<0，即x<1时， 函数单调递减；
y
f (x) x2 2x 3
图象见右图。
第三章 导数及其应用 y
3.3.1 函数的单调性与导数
o
x
观察下列图象的单调区间, 并求单调区间相应的导数.
图象是单调上升的.
y10
在x∈(-∞,0)内 图象是单调下降的.
y2x0
在x∈( 0,+∞)内 图象是单调上升的.
y2x0
图象是单调上升的.
y3x20 (当 x0 时 )
在x∈(-∞,0)内 图象是单调下降的.
(4)不等式组 x A
f
( x )
0
的解集为f(x)的单调减区间；
例3、如图，水以常速(即单位时间内注入 水的体积相同)注入下面四种底面积相同 的容器中，请分别找出与各容器对应的水 的高度h与时间t的函数关系图象。
练习4 如图，直线l和圆c，当l从l0开始在 平面上绕点O匀速旋转(旋转角度不超过 90o)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是 时间t的函数，它的图象大致是（ ）。
故f(x)的递增区间是(1,+∞);
由
f x
(
x 1
)0 0
解得-1<x<1,
故f(x)的递减区间是(-1,1).
求函数的单调区间的一般步骤:
(1) 求出函数 f(x)的定义域A；
(2) 求出函f(x)数的导数 f(x) ；
(3)不等式组
x f
A ( x )
0
的解集为f(x)的单调增区间；