专题勾股定理与折叠问题
专题：勾股定理折叠问题(1)
中考在线： （2011•内江）如图,在直角坐标系中，矩形ABC0的 边OA在x轴上，边0C在y轴上，点B的坐标为 （1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的 位置，且AD交y轴于点E,那么点D的坐标为（ ）.
三、正方形的折叠
１．将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中
点E处，点A落在F处，折痕为MN，
A
C´
CD
B
2.如图，Rt⊿ABC中，∠C=90°， D为AB上一点，将 ⊿ABC沿DE折叠，使点B与点A重合，
①若AC=4，BC=8，求CE的长。 ②若AC=24，BC=32，求折痕DE的长.
A
D
CE
B
二、矩形的折叠
1.如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD， 再折叠，使AD落在对角线BD上，得折痕DG，若AB = 2，BC = 1， 求AG。
(2)设AE=a，AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关
系，并给予证明.
A′
D B′
EA
CF
B
6.如图，矩形ABCD的边长AB=6，BC=8，将矩形折叠， 使点C与点A重合，则折痕EF长为______．
7.动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3,AD=5.如图所
示，折叠纸片，使点A落在BC边上的E处，折痕为PQ，当
①求线段CN的长
②求AM ③求折痕MN的长
总结：①折叠的规律是，折叠部 分的图形，折叠前后，关于折痕
A M
A´
D 成轴对称，两图形全等。
②注意利用线段关系和勾股定理 列方程计算
N
BE C
变式：（2015•自贡）如图，在矩形ABCD中，AB=4， AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将
勾股定理中的常考问题(6种类型48道)—2024学年八年级数学上册(解析版)
勾股定理中的常考问题6种类型48道【类型一用勾股定理解决折叠问题】1．如图，将长方形ABCD沿着AE折叠，点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10，则EC的长为（）A．4B．3C．5D．2【答案】B【分析】长方形ABCD沿着AE折叠，得AD=AF=BC=10，EF=ED，根据勾股定理得BF=6，则CF=4，设EC=x，ED=8−x，根据勾股定理得EF2=EC2+CF2，即可解得EC的长．【详解】解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD=BC=10，DC=AB=8，∵长方形ABCD沿着AE折叠，∴AD=AF=BC=10，EF=ED，∴BF=√AF2−AB2=√100−64=6，CF=BC−BF=4，设EC=x，ED=8−x，∴EF2=EC2+CF2，即(8−x)2=x2+42，解得x=3，所以EC=3，故选：B．【点睛】本题主要考查了图形折叠以及勾股定理等知识内容，掌握图形折叠的性质是解题的关键．2．如图，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=4，BC=3，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则BD的长为（）【答案】C【分析】利用勾股定理求得AB=5，由折叠的性质可得AB=AE=5，DB=DE，求得CE=1，设DB=DE=x，则CD=3−x，根据勾股定理可得12+(3−x)2=x2，进而求解即可．【详解】解：∵∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=√32+42=5，由折叠的性质得，AB=AE=5，DB=DE，∴CE=1，设DB=DE=x，则CD=3−x，在Rt△CED中，12+(3−x)2=x2，，解得x=53故选：C．【点睛】本题考查勾股定理、折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【答案】B【分析】根据图形翻折变换的性质可知，AE=BE，设AE=x，则BE=x，CE=8−x，再Rt△BCE中利用勾股定理即可求出CE的长度．【详解】解：∵△ADE翻折后与△BDE完全重合，∴AE=BE，设AE=x，则BE=x，CE=8−x，∵在Rt△BCE中，CE2=BE2−BC2，即(8−x)2=x2−62，解得，x=7，4．∴CE=74故选：B【点睛】本题考查了图形的翻折变换，解题中应注意折叠是一种对称变换，属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，AD为∠BAC的平分线，将△DAC沿AD向上翻折得到△DAE，使点E在射线AB上，则DE的长为（）【答案】B【分析】根据勾股定理求得BC，进而根据折叠的性质可得AE=AC，可得BE=2，设DE=x，表示出BD,DE，进而在Rt△BDE【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，∴BC=√AC2−AB2=√52−32=4，∵将△DAC沿AD向上翻折得到△DAE，使点E在射线AB上，∴AE=AC，设DE=x，则DC=DE=x,BD=BC−CD=4−x，BE=AE−AB=5−3=2，在Rt△BDE中，BD2+BE2=DE2，即(4−x)2+22=x2，解得：x=52，即DE的长为52故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．5．如图，矩形纸片ABCD的边AB长为4，将这张纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，已知折痕EF长为2√5，则BC长为（）A．4.8B．6.4C．8D．10【答案】C【分析】过点F作FG⊥BC于点G，则四边形ABGF是矩形，从而FG=AB=4，在Rt△EFG中，利用勾股定理求得EG=√EF2−FG2=√(2√5)2−42=2．设BE=x，则BG=BE+EG=x+2．由∠AFE=∠CEF=∠AEF 得到AE=AF=BG=x+2，从而在Rt△ABE中，有AB2+BE2=AE2，代入即可解得x的值，从而得到BE，CE的长，即可得到BC．【详解】过点F作FG⊥BC于点G∵在矩形ABCD中，∠DAB=∠B=90°∴四边形ABGF是矩形∴FG=AB=4∴在Rt△EFG中，EG=√EF2−FG2=√(2√5)2−42=2设BE=x，则BG=BE+EG=x+2∵在矩形ABCD中，BC∥AD∴∠AFE=∠CEF由折叠得∠CEF=∠AEF∴AE=AF∵在矩形ABGF中，AF=BG=x+2∴AE=AF=x+2∵在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2∴42+x2=(x+2)2解得x=3即BE=3，AE=5∴由折叠可得CE=AE=5∴BC=BE+EC=3+5=8故选：C【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理的应用，利用勾股定理构造方程是解决折叠问题的常用方法．A．7B．136【答案】B【分析】根据题意可得AD=AB=2，∠B=∠ADB，CE=DE，∠C=∠CDE，可得∠ADE=90°，继而设AE=x，则CE=DE=3−x，根据勾股定理即可求解．【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，∴AD=AB=2，∠B=∠ADB，∵折叠纸片，使点C与点D重合，∴CE=DE，∠C=∠CDE，∵∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，∴∠ADB+∠CDE=90°，∴AD2+DE2=AE2，设AE=x，则CE=DE=3−x，∴22+(3−x)2=x2，，解得x=136即AE=13，6故选：B【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边BC沿CE翻折，点B落在点F处，连接CF交AB于点D，则FD的最大值为（）【答案】D【分析】根据将边BC沿CE翻折，点B落在点F处，可得FD=CF−CD=4−CD，即知当CD最小时，FD最大，此时CD⊥AB，用面积法求出CD，即可得到答案．【详解】解：如图：∵将边BC沿CE翻折，点B落在点F处，∴CF=BC=4，∴FD=CF−CD=4−CD，当CD最小时，FD最大，此时CD⊥AB，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB=√AC2+BC2=√32+42=5，∵2S△ABC=AC⋅BC=AB⋅CD，∴CD=AC⋅BCAB =3×45=125，∴FD=CF−CD=4−125=85，故选：D．【点睛】本题考查直角三角形中的翻折问题，涉及勾股定理及应用，解题的关键是掌握翻折的性质．A．73B．154【答案】B【分析】先求出BD=2，由折叠的性质可得DN=CN，则BN=8−DN，利用勾股定理建立方程DN2= (8−DN)2+4，解方程即可得到答案．【详解】解：∵D是AB中点，AB=4，∴AD=BD=2，∵将Rt△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，∴DN=CN，∴BN=BC−CN=8−DN，在Rt△DBN中，由勾股定理得DN2=BN2+DB2，∴DN2=(8−DN)2+4，∴DN=17，4，∴BN=BC−CN=154故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，正确理解题意利用方程的思想求解是解题的关键．【类型二杯中吸管问题】9．如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得内径为5cm，高为12cm，今有一支15cm的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．不能确定【答案】B【分析】吸管露出杯口外的长度最少，即在杯内最长，可用勾股定理解答．【详解】解∶∵CD=5cm,AD=12cm，∴AC=√CD2+AD2=√52+122，露出杯口外的长度为=15−13=2(cm)．故答案为：B．【点睛】本题考查勾股定理的应用，所述问题是一个生活中常见的问题，与勾股定理巧妙结合，可培养同学们解决实际问题的能力．10．如图，一支笔放到圆柱形笔筒中，笔筒内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支笔长18cm，则这支笔在笔筒外面部分的长度是()A．6cm B．5cm C．3cm D．2cm【分析】根据勾股定理求得AC的长，进而即可求解．【详解】解：根据题意可得图形：AB=12cm，BC=9cm，在Rt△ABC中：AC=√AB2+BC2=√122+92=15(cm)，所以18−15=3(cm)．则这只铅笔在笔筒外面部分长度为3cm．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．11．如图，一支笔放到圆柱形笔筒中，笔筒内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支笔长18cm，则这支笔在笔筒外面部分的长度是（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm【答案】D【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长度．然后求其差．【详解】解：根据题意可得：AB BC=9cm，在Rt△ABC中∶AC=√AB2+BC2=√122+92=15(cm)，所以18−15=3(cm),则这只铅笔在笔筒外面部分长度为3cm．故选：D．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的最短长度是解决问题的关键．12．将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度ℎcm，则ℎ的取值范围是（）A．ℎ≤17cm B．ℎ≥16cm C．5cm<ℎ≤16cm D．7cm<ℎ≤16cm【分析】根据勾股定理及直径为最大直角边时即可得到最小值，当筷子垂直于底面时即可得到最大值即可得到答案；【详解】解：由题意可得，当筷子垂直于底面时ℎ的值最大，ℎmax=24−8=16cm，当直径为直角边时ℎ的值最小，根据勾股定理可得，ℎmin=24−√82+152=7cm，∴7cm<ℎ≤16cm，故选D．【点睛】本题考查勾股定理的运用，解题的关键是找到最大与最小距离的情况．13．将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度ℎcm，则ℎ的取值范围是（）A．ℎ≤17cm B．ℎ≥16cm C．5cm<ℎ≤16cm D．7cm≤ℎ≤16cm【答案】D【分析】如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出的取值范围．【详解】解：如图1所示，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，=24−8=16cm，∴ℎ最大如图2所示，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，在Rt△ABD中，AD=15cm，BD=8cm，∴AB=√AD2+BD2=17cm，=24−17=7cm，∴此时ℎ最小∴的取值范围是7cm≤h≤16cm．故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．A．5B．7C．12D．13【答案】A【分析】根据勾股定理求出h的最短距离，进而可得出结论．【详解】解：如图，当吸管、底面直径、杯子的高恰好构成直角三角形时，h最短，此时AB=√92+122=15（cm），故ℎ＝20−15＝5（cm）；最短故选：A．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．15．如图，某同学在做物理实验时，将一支细玻璃棒斜放入了一只盛满水的烧杯中，已知烧杯高8cm，玻璃棒被水淹没部分长10cm，这只烧杯的直径约是（）A．9cm B．8cm C．7cm D．6cm【答案】D可．【详解】解：由题意，可得这只烧杯的直径是：√102−82=6（cm）．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，能够将实际问题转化为数学问题是解题的关键．16．如图，一根长18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是（）A．4＜h＜5B．5＜h＜6C．5≤h≤6D．4≤h≤5【答案】C【分析】根据题意，求出牙刷在杯子外面长度最小与最大情况即可得出取值范围．【详解】解：根据题意，当牙刷与杯底垂直时，ℎ最大，如图所示：故ℎ最大=18−12=6cm；∵当牙刷与杯底圆直径、杯高构成直角三角形时，ℎ最小，如图所示：在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，则AB=√BC2+AC2=√52+122=13cm，∵牙刷长为18cm，即AD=18cm，∴ℎ最小=AD−AB=18−13=5cm，∴h的取值范围是5≤h≤6，故选：C．【点睛】本题考查勾股定理解实际应用题，读懂题意，根据牙刷的放置方式明确牙刷在杯子外面长度最小与最大情况是解决问题的关键．【类型三楼梯铺地毯问题】17．如图在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯至少需要（）．A．3米B．4米C．5米D．7米【答案】D【分析】当地毯铺满楼梯时的长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，即可求得地毯的长度．【详解】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度=√52−32=4（米），∵地毯铺满楼梯的长度应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，∴地毯的长度至少是3+4=7（米）．故选：D．【点睛】此题考查了生活中的平移现象以及勾股定理，属于基础题，利用勾股定理求出水平边的长度是解答本题的关键．18．如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（）【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．【详解】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度=√132−52=12m，∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，∴地毯的长度至少是12+5=17(m)．故选B．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．19．如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5米，AC=5米，AB=13米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（）A．65m2B．85m2C．90m2D．150m2【答案】B【分析】勾股定理求出BC，平移的性质推出防滑毯的长为AC+BC，利用面积公式进行求解即可．【详解】解：由图可知：∠C=90°，∵AC=5米，AB=13米，∴BC=√AB2−AC2=12米，由平移的性质可得：水平的防滑毯的长度=BC=12（米），铅直的防滑毯的长度=AC=5（米），∴至少需防滑毯的长为：AC+BC=17（米），∵防滑毯宽为5米∴至少需防滑毯的面积为：17×5=85（平方米）．故选：B．【点睛】本题考查勾股定理．解题的关键是利用平移，将防滑毯的长转化为两条直角边的边长之和．A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm【答案】A【分析】根据勾股定理即可得出结论．【详解】如图，由题意得AC=1×5=5(cm)，BC=2×6=12(cm)，故AB=√122+52=13(cm)．故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．21．如图所示：某商场有一段楼梯，高BC＝6m，斜边AC是10米，如果在楼梯上铺上地毯，那么需要地毯的长度是（）A．8m B．10m C．14m D．24m【答案】C【分析】先根据直角三角形的性质求出AB的长，再根据楼梯高为BC的高＝6m，楼梯的宽的和即为AB的长，再把AB、BC的长相加即可．【详解】∵△ABC是直角三角形，BC＝6m，AC＝10m∴AB＝√AC2−BC2＝√102−62＝8（m），∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AB+BC＝8+6＝14（米）．故选C【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，解答此题的关键是找出楼梯的高和宽与直角三角形两直角边的等量关系.22．某酒店打算在一段楼梯面上铺上宽为2米的地毯，台阶的侧面如图所示，如果这种地毯每平方米售价为80元，则购买这种地毯至少需要（）A．2560元B．2620元C．2720元D．2840元【答案】C【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求．【详解】利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为√132−52=12米、5米，∴地毯的长度为12+5=17米，地毯的面积为17×2=34平方米，∴购买这种地毯至少需要80×34=2720元．故选C.【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的应用，生活中的平移现象，解题关键是要注意利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算．23．如图所示：是一段楼梯，高BC是3m，斜边AC是5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（）A．5m B．6m C．7m D．8m【答案】C【详解】楼梯竖面高度之和等于AB的长．由于AB=√AC2−BC2=√52−32=4，所以至少需要地毯长4＋3＝7（m）．故选C24．如图，是一段楼梯，高BC是1.5m，斜边AC是2.5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（）A．2.5m B．3m C．3.5m D．4m【答案】C【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得AB，然后求得地毯的长度即可．【详解】解：由勾股定理得：AB=√2.52−1.52=2因为地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和所以地毯的长度至少是1.5+2=3.5（m）故选C．【点睛】本题考查了图形平移性质和勾股定理，解决本题的关键是要熟练掌握勾股定理.【类型四最短路径问题】25．如图，透明圆柱的底面半径为6厘米，高为12厘米，蚂蚁在圆柱侧面爬行．从圆柱的内侧点A爬到圆柱的外侧点B处吃食物，那么它爬行最短路程是厘米．(π≈3)【答案】30【分析】把圆柱的侧面展开，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：∵透明圆柱的底面半径为6厘米，∴透明圆柱的底面周长为2×6π=厘米≈36厘米，作点A关于直线EF的对称点A′，连接A′B，则A′B的长度即为它爬行最短路程，×36=18厘米，∴A′A=2AE=24厘米，AB=12∴A′B=√AB2+A′A2=√182+242=30(cm)，故答案为：30．【点睛】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值，然后用勾股定理进行计算．【答案】10【分析】将圆柱侧面展开，由图形可知蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路程即为AB的长，再由勾股定理求出．【详解】解：根据圆柱侧面展开图，cm，高为8cm，∵圆柱的底面半径为6π∴底面圆的周长为2×6×π=12cm，π×12=6cm，∴BC=8cm，AC=12由图形可知蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路程即为AB的长，AB=√AC2+BC2=10cm，故答案为：10．【点睛】本题考查了平面展开最短路线问题，勾股定理，将立体图形转化成平面图形求解是解题的关键．27．如图有一个棱长为9cm的正方体，一只蜜蜂要沿正方体的表面从顶点A爬到C点（C点在一条棱上，距离顶点B 3cm处），需爬行的最短路程是cm．【答案】15【分析】首先把正方体展开，然后连接AC，利用勾股定理计算求解即可．【详解】解：如图，连接AC，由勾股定理得，AC=√92+(9+3)2=15，故答案为：15．【点睛】本题考查了正方体的展开图、勾股定理的应用，解题的关键在于明确爬行的最短路线．28．如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的内壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是厘米．【答案】10【分析】将杯子侧面展开，作A关于杯口的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′P的长度即为所求，再结合勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示：将杯子侧面展开，作A关于杯口的对称点A′，连接PA′，最短距离为PA′的长度，)2+(6−1.5+1.5)2=10(厘米)，PA′=√PE2+EA′2=√(162最短路程为PA ′=10厘米．故答案为：10．【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．【答案】20【分析】先把圆柱的侧面展开，连接AS ，利用勾股定理即可求得AS 的长．【详解】解：如图，∵在圆柱的截面ABCD 中，AB =24π，BC =32，∴AB =12×24π×π=12，BS =12BC =16， ∴AS =√AB 2+BS 2=20，故答案为：20．【点睛】本题考查平面展开图−最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解题的关键．30．如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm ，底面周长为16cm ，在杯内壁离杯底4cm 的点A 处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm ，且与蜂蜜相对的点B 处，则蚂蚁从外壁B 处到内壁A 处所走的最短路程为 cm ．（杯壁厚度不计）【答案】10【分析】如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作B关于EF的对称点B′，根据两点之间线段最短可知AB′的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得．【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，作B关于EF的对称点B′，作B′D⊥AE，交AE延长线于点D，连接AB′，BB′=1cm,AE=9−4=5(cm)，由题意得：DE=12∴AD=AE+DE=6cm，∵底面周长为16cm，×16=8(cm)，∴B′D=12∴AB′=√AD2+B′D2=10cm，由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为AB′=10cm，故答案为：10．【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．31．如图所示，ABCD是长方形地面，长AB=20m，宽AD=10m．中间竖有一堵砖墙高MN=2m．一只蚂蚱从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它要走的路程s取值范围是．【答案】s≥26m【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC的长，再把中间的墙平面展开，使原来的长方形长度增加而宽度不变，求出新长方形的对角线长即可得到范围．【详解】解：如图所示，将图展开，图形长度增加4m，原图长度增加4m，则AB=20+4=24m，连接AC，∵四边形ABCD是长方形，AB=24m，宽AD=10m，∴AC=√AB2+BC2=√242+102=26m，∴蚂蚱从A点爬到C点，它要走的路程s≥26m．故答案为：s≥26m．【点睛】本题考查的是平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键．【答案】5【分析】要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．【详解】解：将圆柱表面切开展开呈长方形，则彩灯带长为2个长方形的对角线长，∵圆柱高3米，底面周长2米，∴AC2=22+1.52=6.25，∴AC=2.5，∴每根柱子所用彩灯带的最短长度为5m．故答案为5．【点睛】本题考查了平面展开−最短路线问题，勾股定理的应用．圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．【类型五旗杆高度问题】【答案】6m【分析】设AD=x，在△ABC中，利用勾股定理列出方程，解之即可．【详解】解：∵BF=2m，∴CE=2m，∵DE=1m，∴CD=CE−DE=1m，设AD=x，则AB=x，AC=AD−CD=x−1，由题意可得：BC⊥AE，在△ABC中，AC2+BC2=AB2，即(x−1)2+32=x2，解得：x=5，即AD=5，∴旗杆AE的高度为：AD+DE=5+1=6m．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的相关知识并在直角三角形中正确运用是解题的关键．34．荡秋千是深受人们喜爱的娱乐项目，如图，小丽发现，秋千静止时踏板离地面的垂直高度DE=0.5m，将它往前推送至点B，测得秋千的踏板离地面的垂直高度BF=1.1m，此时水平距离BC=EF=1.8m，秋千的绳索始终拉的很直，求绳索AD的长度．【答案】3m【分析】设绳索AD的长度为xm=(x−0.6)m，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】解：设秋千的绳索AD长为xm，则AB为xm，∵四边形BCEF是矩形，∴BF=CE=1.1m，∵DE=0.5m，∴CD=0.6m则AC为(x−0.6)m在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，即：(x−0.6)2+1.82=x2解得：x=3∴绳索AD的长度为3m．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得出方程是解题的关键．35．如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），聪明的小红发现：先测出垂到地面的绳子长，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离n，利用所学知识就能求出旗杆的长，若m=1米，n=5米，求旗杆AB的长．【答案】12米【分析】设旗杆的高为x米，在Rt△ABC中，推出x2+52=(x+1)2，可得x=12，由此解决问题.【详解】解：设AB=x米，因为∠ABC=90°，所以在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：x2+52=(x+1)2，解之，得：x=12，所以，AB的长为12米，答：旗杆AB的长为12米．【点睛】本题考查直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程.【答案】风筝的高度CE为61.68米．【分析】利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度．【详解】解：在Rt△CDB中，由勾股定理，得CD=√CB2−BD2=√652−252=60(米)．∴CE=CD+DE=60+1.68=61.68(米)．答：风筝的高度CE为61.68米．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．37．看着冉冉升起的五星红旗，你们是否想过旗杆到底有多高呢？某数学兴趣小组为了测量旗杆高度，进行以下操作：如图1，先将升旗的绳子拉到旗杆底端，发现绳子末端刚好接触到地面；如图2，再将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现绳子末端距离地面2m．请根据以上测量情况，计算旗杆的高度．【答案】17米【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为xm，可得AC=AD=x m，AB=(x−2)m，BC=8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．【详解】解：如图所示设旗杆高度为x m，则AC=AD=x m，AB=(x−2)m，BC=8m，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2(x−2)2+82=x2解得：x=17，答：旗杆的高度为17m．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形．38．同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算学校旗杆的高度．爱动脑的小华设计了这样一个方案：如图，将升旗的绳子拉直刚好触底，此时测得绳子末端C到旗杆AB的底端B的距离为1米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5米的点E处，此时测得绳子末端E距离地面的高度DE为1米．请你根据小华的测量方案和测量数据，求出学校旗杆的高度．【答案】12.5米【分析】过点E作EF⊥AB，垂足为F，在Rt△ABC和Rt△AEF中，根据勾股定理得出AC2=AB2+BC2，AE2= AF2+EF2，根据AC=AE，得出AB2+12=(AB−1)2+52，求出AB的长即可．【详解】解：过点E作EF⊥AB，垂足为F，如图所示：由题意可知：四边形BDEF是长方形，△ABC和△AEF是直角三角形，∴DE=BF=1，BD=EF=5，BC=1，在Rt△ABC和Rt△AEF中，根据勾股定理可得：AC2=AB2+BC2，AE2=AF2+EF2，即AC2=AB2+12，AE2=(AB−1)2+52，又∵AC=AE，∴AB2+12=(AB−1)2+52，解得：AB=12.5．答：学校旗杆的高度为12.5米．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理列出关于AB方程AB2+12= (AB−1)2+52．39．学过《勾股定理》后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆AB的高度，得到如下信息：①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米（如图1）；②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为6米（如图2）．根据以上信息，求旗杆AB的高度．【答案】9米【分析】设AB=x，则AC=x+1，AE=x−1，再根据勾股定理可列出关于x的等式，解出x即得出答案．【详解】解：设AB=x依题意可知：在Rt△ACE中，∠AEC=90°，AC=x+1，AE=x−1，CE=6，根据勾股定理得：AC2=AE2+CE2，即：(x+1)2=(x−1)2+62，解得：x=9答：旗杆AB的高度是9米．【点睛】本题考查勾股定理的实际应用．结合题意，利用勾股定理列出含未知数的等式是解题关键．40．如图，学校要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米，求旗杆的高度．【答案】12米【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．【详解】解：设旗杆的高度AB为x米，则绳子AC的长度为(x+1)米，在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：x2+52=(x+1)2，解得，x=12，答：旗杆的高度为12米．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟知勾股定理是解题关键．【类型六航海问题】【答案】30海里/小时【分析】先根据题意结合方位角的描述求出∠ABC=90°以及AB、BC的长，再利用勾股定理求出AC的长即可得到答案．【详解】解：如图所示，由题意得，∠HAB=90°−60°=30°，∠MBC=90°−∠EBC=60°，∵AH∥BM，∴∠ABM=∠BAH=30°，∴∠ABC=∠ABM+∠MBC=90°，∵巡逻艇沿直线追赶，半小时后在点C处追上走私船，∴BC=18×0.5=9海里，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=12海里，BC=9海里，∴AC=√AB2+BC2=15海里，∴我军巡逻艇的航行速度是15=30海里/小时，0.5答：我军巡逻艇的航行速度是30海里/小时．【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长是解题的关键．(1)求点A与点B之间的距离；(2)若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为处有一艘轮船准备沿直线向点多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）【答案】(1)AB=1000海里(2)最多能收到14次信号【分析】（1）由题意易得∠ACB是直角，由勾股定理即可求得点A与点B之间的距离；（2）过点C作CH⊥AB交AB于点H，在AB上取点M，N，使得CN＝CM＝500海里，分别求得NH、MH的长，可求得此时轮船过MN时的时间，从而可求得最多能收到的信号次数；【详解】（1）由题意，得：∠NCA＝54°，∠SCB＝36°；。
勾股定理折叠问题
CB ADE一、折叠问题1、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,你能求出CD 的长吗？2、折叠矩形ABCD 的一边AD ，使D 落在BC 边上的F 处，得折痕AE ，若AB ＝8，BC=10， 求CE,CF,EF3、如图，将矩形ABCD 纸片沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在边BC 的F 处，已知3,CE cm =8AB cm =，求图中阴影部分的面积．4、如图，已知长方形ABCD 中AB =8 cm,BC =10 cm,在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长.5、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于________ 。
A CD F ／E图56、将矩形ABCD（A B﹤AD）沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8㎝，AB=4㎝，求三角形BED的面积。
7、如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C'处，BC'交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为8、如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与BD重合，得折痕DG，若AB=4，BC=3，求AG的长。
9、P为正方形ABCD内一点，将△ABP绕B顺时针旋转90°到△CBE的位置，若BP＝a.求：以PE为边长的正方形的面积.二、生活应用D ˊABCD A ˊ B ˊC ˊ1、将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为320cm ， 在无风的天气里，彩旗自然下垂，如右图. 求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h .彩旗完全展平时的尺寸如左图的长方形（单位：cm ）.2、八（2）班数学课外活动小组的同学测量学校旗杆的高度时，发现升旗的绳子垂到地面要多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面。
勾股定理中的折叠问题(分类整理版)
勾股定理中的折叠问题
1、如图，在Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，求
线段BN的长．
2、在一张直角三角形纸片中,两条直角边BC等于6,AC等于8,将三角形ABC按如图所示的方式折叠,使点A 和点B重合,折痕为DE,求CD的长
3、如图所示，在△ABC中，AB=20，AC=12，BC=16，把△ABC折叠，使AB落在直线AC上，求重叠部分（阴影部分）
的面积．
变式：如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使AC恰好落在
斜边AB上，且点C与点E重合，求CD的长。
4、如图所示,折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边上的点F处,已知AB=8cm,BC=10CM,求DE的长
5、在长方形ABCD中,AB=6,BC=8,将长方形ABCD沿CE折叠后,点D恰好在对角线AC上的点F处、求EF的长。
6、如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm，BC=6cm，E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落
在CD边上的点G处，求BE的长.
7、如图，在长方形ABCD中，将△ABC沿AC对折至△AEC位置，CE与AD交于点F．
（1）试说明：AF=FC；
（2）如果AB=3，BC=4，求AF的长．。
8.C专题 勾股定理与折叠问题
专题 勾股定理与折叠问题【方法归纳】扣住折叠前后的对应线段、对应角相等，将有关线段转化到直角三角形中用勾股定理来解决.一、折叠直角三角形1.如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，点D 为AB 上一点，沿CD 折叠△ABC ，点A 恰好落在边BC 上的A ′处，AB ＝4，AC ＝3，求BD 的长.A BCD A'【解答】由题意得AD ＝A ′D 、AC ＝A ′C ，设AD ＝x ，则BD ＝4－x ,在Rt △A ′BD 中，22＋x 2＝(4－x )2,x ＝32.BD ＝52.二、折叠长方形2.如图，长方形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝5，F 为CD 上一点，将长方形沿折痕AF 折叠，点D 恰好落在BC 上的点E 处，求CF 的长.【解答】BE ＝3.设CF ＝x ，DF ＝EF ＝4－x ,CE ＝2, 22＋x 2＝(4－x )2,x ＝32.3. 如图，长方形ABCD 中，AD ＝8cm ，AB ＝4cm ，沿EF 折叠，使点D 与点B 重合，使点C 与点C′重合.(1)求DE 的长; (2)求折痕EF 的长.【解答】(1)由题意得DE ＝EB ，设DE ＝EB ＝x ,则AE ＝8－x .在Rt △AEB 中， x 2＝42＋(8－x )2,x ＝5.(2)作EM ⊥BC 于M ，证∠DEF ＝∠BEF ＝∠BFE ，∴BE ＝BF ＝5，MF ＝2.∴EF ＝EM 2＋MF 2＝2 5.4. 如图，长方形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，沿BD 折叠使点A 到A ′处，DA ′交BC 于点F .(1)求证：FB ＝FD ；(2) 求证：CA ′∥BD ；(3) 求△DBF 的面积.【解答】(1)∠DBF ＝∠ADB ＝∠DBF ，∴FB ＝FD .(2)A ′D ＝AD ＝BC ，FA ′＝FC ，∠DBF ＝∠BDF ＝∠FCA ′＝∠FA ′C ，(3)设FB ＝FD ＝x ,x 2＝(8－x )2＋62,x ＝254,∴S △BFD ＝12×254×6＝754.三、折叠正方形5.如图，长方形ABCD 中，点E 在边CD 上，将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，G 为BC 的中点，连接AG 、CF .(1)求证：AG ∥CF ；(2)求DE CE 的值.【解答】(1)连接BF ，∴BG ＝FG ＝CG .∴CF ⊥BF .∵BG ＝FG ，AB ＝AF ，∴AG 垂直平分BF .∴AG ∥CF .(2)设DE ＝EF ＝x ，BG ＝FG ＝y ,则CE ＝2y －x ，CG ＝y ,在△CEG 中，（x ＋y ）2＝（2y －x ）2＋y 2,3x＝2y ,∴DE CE ＝12。
折叠问题与勾股定理例题总结
CD E折叠问题与勾股定理例题总结1．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8。
将矩形ABCD 沿CE 折叠后，使点D 恰好落在对角线AC 上的点F 处。
(1)求EF 的长；(2)求梯形ABCE 的面积。
2．如图所示，在?ABC 中，AB=20，AC=12，BC=16，把?ABC 折叠，使AB 落在直线AC 上，求重叠部分(阴影部分)的面积．3．如图，矩形纸片ABCD 的长AD=9cm ，宽AB=3cm ，将其折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长是多少?4如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB=6，BC=8，将三角形ABC 折叠,使AB 落在斜边AC 上得到线段AB ’,折痕为AD ，求BD 的长为．5.如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD 处，已知AB=8cm ，BC=10cm ．求EC 的长．6.如图，将边长为8cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 点F 处，折痕为MN ，求线段CN 的长．(MN 的长)7．如题，在长方形ABCD 中，将?ABC 沿AC 对折至?AEC 位置，CE (1)试说明：AF=FC(2)如果AB=3，BC=4，求AF 的长。
8.把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ． 若AB=3cm ，BC=5cm ，（1）重叠部分△DEF 的面积是多少cm 2? （2）求EF 的长。
9.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，M 为AB 边上中点，将Rt 使点C 与点A 重合得到△DEA ，设AE 交CB 于点N ． (1) 若∠B=25°,求∠BAE 的度数； (2) 若AC=2，BC=3，求CN 的长．10.如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落到点于点E ．(1)求证：△AED ≌△CEB'；(2)AB ＝8，DE ＝3，点P 为线段AC 上任一点，PG ⊥AE 于G ，PH ⊥EC 于H ．求PG＋PH 的值，并说明理由．11.有一边长为2的正方形纸片ABCD ，先将正方形ABCD 对折，设折痕为EF ；再沿过点D的折痕将角A翻折，使得点A落在EF的H上，折痕交AE于点G,求EG的长。
《勾股定理》典型例题折叠问题
《勾股定理》典型例题折叠问题1、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=4 BC=8将△ABCW叠，使点B与点A重合, 折痕为DE则CD等于（）A. 25B. 22C. 7D. 54 3 4 32、如图所示，已知△ ABC中，/C=90° , AB的垂直平分线交BC?于M交AB于N,若AC=4MB=2MC求AB的长.3、折叠矩形ABCD勺一边AD,点D落在BC边上的点F处，已知AB=8CM,BC=10CM CF和EC4、如图，在长方形ABCLfr, DC=5在DC边上存在一点E,沿直线AE把△ABCff叠，使点D 恰好在BC边上，设此点为F,若4ABF的面积为30,求折叠的^ AED勺面积5、如图，矩形纸片ABCD勺长AD=9cm,宽AB=3cm,将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE 的长是多少？6、如图，在长方形ABCDK 将ABCS AC对折至AEC位置, CE与AD交于点F。
(1)试说明：AF=FC (2)如果AB=3, BC=4求AF的长7、如图2所示，将长方形ABCDS直线AE折叠，顶点D正好落在BC边上F点处，已知CE=3cm AB=8cm则图中阴影部分面积为8、如图2-3,把矩形ABCDS直线BD向上折叠，使点C落在C'的位置上，已知AB=?3, BC=7重合部分△ EBD勺面积为.9、如图5,将正方形ABCDT 叠，使顶点A 与CD4上白t 点M 重合，折痕交AD 于E,交BC 于 F,边AB 折叠后与BC 边交于点 G 如果M 为CD 边的中点，求证：DE DM EM=3 4: 5。
2-5,长方形ABCDfr, AB=3, BC=4若将该矩形折叠，使C 点与A 点重合，？则折2-51-3-11 ,有一块塑料矩形模板ABCD 长为10cm,宽为4cm,将你手中足够大的直角三角板PHF 的直角顶点P 落在AD 边上（不与A 、D 重合）,在AD 上适当移动三角板顶点P:①能否使你的三角板两直角边分别通过点 B 与点C?若能，请你求出这时AP 的长；若不能，请说明理由.②再次移动三角板位置，使三角板顶点 P 在AD 上移动，直角边PH 始终通过点B,另一 直角边PF 与DC 的延长线交于点Q,与BC 交于点E,能否使CE=2cm 若能，请你求出这时AP 的长；若不能，请你说明理由.10、如图 叠后痕迹 EF 的长为（）11、如图 C12、如图所示，△ ABC是等腰直角三角形，AB=AC D是斜边BC的中点，E、F分别是AB AC边上的点，且DEL DF,若BE=12 CF=5.求线段EF的长13、如图，公路MNF口公路PQ&点P处交汇，且/QPN= 30°，点A处有一所中学，AP= 160ml 假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN±?吉PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h, 那么学校受影响的时间为多少秒?《勾股定理》典型复习题一、知识要点：1、勾股定理2、勾股定理的逆定理3、勾股数满足a2+ b2= c2的三个正整数，称为勾股数。
勾股定理中的折叠问题
勾股定理中的折叠问题姓名：例1：如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC =6cm ,BC =8cm ,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？E BCA D 对应练习：1、如图,已知矩形ABCD 沿着直线BD 折叠,使点C 落在C ／处,BC ／交AD 于E,AD=8,求BC ＇的长2、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它恰好落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长． AB C DE C ／3、如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在C ′处，折痕为EF ，若AB=1，BC=2，（1）请找出图中的等腰三角形（2）求△ABE 和△BC ′F 的周长之和BAC D E4、如图①是一个直角三角形纸片，∠A=30°，BC=4cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图②，再将②沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，如图③，则折痕DE的长为（）5、如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O．（1）求证：△AOE≌△COD；（2）若∠OCD=30°，AB=，求△AOC的面积．（3）请找出图中的等腰三角形6、如图，将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落在点B′的位置，AB′与CD 交于点E．（1）求证：△AED≌△CEB′；（2）求证：点E在线段AC的垂直平分线上；（3）若AB=8，AD=3，求图中阴影部分的周长．7、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点M、N、分别在BC、AB上，将矩形ABCD沿MN折叠，设点B的对应点是点E．（1）若点E在AD边上，BM=，求AE的长；（2）若点E在对角线AC上，请直接写出AE的取值范围：。
专题 利用勾股定理解决折叠问题(三大题型)(原卷版)
（苏科版）八年级上册数学《第3章 勾股定理》专题 利用勾股定理解决折叠问题【例题1】（2021•西城区校级模拟）如图，Rt △ABC 中，AB ＝18，BC ＝12，∠B ＝90°，将△ABC 折叠，使点A 与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．10【变式1-1】（2023•滕州市校级开学）如图，有一张三角形纸片Rt△ABC，两直角边AC＝4，BC＝8，将△ABC折叠，使点B与A重合，折痕为FE，则AE的长为（ ）A．3B．4C．5D．8【变式1-2】（2022秋•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AB、AC 于点D、E，若AC＝8，BD＝5，则CE的长度是．【变式1-3】如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为（ ）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【变式1-4】（2021•鞍山一模）如图的三角形纸片中，AB＝8，BC＝6，AC＝5，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长是（ ）A．7B．8C．11D．14【变式1-5】（2022秋•高邮市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点D、E 分别在AC、BC边上．现将△DCE沿DE翻折，使点C落在点H处．连接AH，则AH长度的最小值为（ ）A．0B．2C．4D．6【变式1-6】（2022秋•秦淮区校级月考）如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处．若BC＝12，BE＝2，则AB2﹣AC2的值为（ ）A．20B．22C．24D．26【变式1-7】（2022•天津模拟）如图，Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，∠B＝90°，M，N分别是边AC，AB上的两个动点．将△ABC沿直线MN折叠，使得点A的对应点D落在BC边的三等分点处，则线段BN的长为（ ）A ．3B ．53C ．3或53D ．3或154【变式1-8】（2023•从化区一模）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点F 在AC 上，并且CF ＝2，点E 为BC 上的动点（点E 不与点C 重合），将△CEF 沿直线EF 翻折，使点C 落在点P处，PE 的长为83，则边EF 的长为（ ）A ．83B ．3C ．103D ．4【变式1-9】（2022春•鲤城区校级期中）如图，矩形纸片ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，点P 在BC 边上．将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处．PE 、DE 分别交AB 于点O 、F ，且OP ＝OF ．则AF 的长为（ ）A ．2B ．85C ．175D ．135【变式1-10】如图，在△ABC 中，D 为BC 中点，连接AD ，把△ABD 沿着AD 折叠得到△AED ，连接EC ，若DE ＝5，EC ＝6，AB ＝AD 的长是（ ）A．4B．5C．6D．7【变式1-11】直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图折叠，使点A与点B重合，则折痕DE的长是（ ）A．252B．152C．254D．154【变式1-12】如图，三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，折叠△ABC使点A与点B重合，DE为折痕，求DE的长．【例题2】（2023春•新市区期中）如图，将长方形纸片ABCD 折叠，使边DC 落在对角线AC 上，折痕为CE ，且D 点落在对角线D ′处．若AB ＝3，AD ＝4，则ED 的长为（ ）A ．1B ．43C ．32D ．3【变式2-1】（2023春•越秀区校级期中）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，点E 为BC 上一点，把△CDE 沿DE 翻折，C 恰好落在AB 边上的F 处，则CE 的长是（ ）A ．53B ．32C ．43D ．2【变式2-2】（2022秋•锦江区期末）如图，长方形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝25，将此长方形折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF ，则BE 的长为（ ）A ．12B ．8C ．10D ．13【变式2-3】（2022秋•胶州市校级月考）如图，矩形ABCD中，AB＝16，BC＝8，将矩形沿AC折叠，点D落在点D'处，则重叠部分△AFC的面积为（ ）A．12B．20C．16D．40【变式2-4】（2022•斗门区一模）如图所示，矩形纸片ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，现将其沿EF 对折，使得点C与点A重合，则AF的长为 ．【变式2-5】（2022秋•历城区期末）如图，已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，且BE＝4，BC＝6，将△CBE沿直线CE翻折，使点B落在点G，延长EG交CD于点F，则线段FG的长为 ．【变式2-6】（2023•泰山区校级一模）如图，矩形ABCD中，AD＝12，AB＝8，E是AB上一点，且EB＝3，F是BC上一动点，若将△EBF沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距离为（ ）A．10B．9.8C．D．【变式2-7】如图，矩形纸片ABCD，AB＝8，BC＝12，点M在BC边上，且CM＝4，将矩形纸片折叠使点D落在点M处，折痕为EF，则AE的长为 ．【变式2-8】（2023春•武汉期末）如图，点E是矩形ABCD的边BC上的中点，将△ABE折叠得到△AFE，点F在矩形内部，AF的延长线交CD于点G，若AD＝12，CG＝4，则AB的长为（ ）A．7B．8C．9D．10【变式2-9】（2022秋•梅县区校级期末）如图是一张矩形纸片ABCD，点E，G分别在边BC，AB上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线BD上的点F处；把△DAG沿直线DG折叠，使点A落在线段DF上的点H处，HF＝1，BF＝8，则矩形ABCD的面积为（ ）A．420B．360C．D．【变式2-10】（2022秋•城阳区校级月考）把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB＝3cm，BC＝5cm，则重叠部分△DEF的面积是（ ）cm2．A．2B．3.4C．4D．5.1【变式2-11】（2022秋•宝安区期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E为AB上一点，将△BCE沿CE翻折至△FCE，延长CF交AB于点O，交DA的延长线于点G，且EF＝AG，则BE的长为 ．【变式2-12】（2023春•东莞市校级月考）如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且BE＝3．（1）求CF的长；（2）求AB的长．【例题3】（2022春•永嘉县校级期末）如图，将边长为8cm正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC 边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是（ ）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm【变式3-1】如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q 处，折痕为FH，则线段AF的长是（ ）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【变式3-2】（2022春•桂林期末）如图，正方形ABCD的边长为4，将正方形折叠，使顶点D落在BC 边上的点E处，折痕为GH，若BE：EC＝3：1，则线段CH的长是（ ）A．3B．158C．1D．2【变式3-3】（2022春•荔城区校级月考）如图，在边长为7的正方形ABCD 中，E 为BC 边上一点，F 为AD 边上一点，连接AE 、EF ，将△ABE 沿EF 折叠，使点A 恰好落在CD 边上的A ′处，若A ′D ＝2，则B ′E 的长度为（ ）A ．2714B ．137C ．2514D ．2【变式3-4】（2023•南京一模）如图，在正方形ABCD 中，E 是CD 边上一点，将△ADE 沿AE 翻折至△AD ′E ，延长ED ′交BC 于点F ．若AB ＝15，DE ＝10，则BF 的长是 ．【变式3-5】（2022春•社旗县期末）如图，点E 和点F 分别在正方形纸片ABCD 的边CD 和AD 上，连接AE ，BF ，沿BF 所在直线折叠该纸片，点A 恰好落在线段AE 上点G 处．若正方形纸片边长12，DE ＝5，则GE 的长为（ ）A ．4913B ．5013C ．4D ．3【变式3-6】（2022春•长清区期末）如图1，将正方形纸片ABCD 对折，使AB 与CD 重合，折痕为EF 如图2，展开后再折叠一次，使点C 与点E 重合，折痕为GH ，点B 的对应点为点M ，EM 交AB 于N ，AD ＝4，则CH 的长为（ ）A ．52B ．65C ．34D ．54【变式3-7】（2022秋•和平区期末）如图，已知正方形ABCD 面积为2，将正方形ABCD 沿直线EF 折叠，则图中阴影部分的周长为（ ）A B ．2C ．8D ．【变式3-8】将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的点M 重合，折痕交AD 于E ，交BC 于F ，边AB 折叠后与BC 边交于点G （如图）．如果DM ：MC ＝3：2，则DE ：DM ：EM ＝（ ）A ．7：24：25B ．3：4：5C ．5：12：13D ．8：15：17【变式3-9】如图，正方形ABCD中，CD＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．（1）求证：△ABG≌△AFG；（2）求GC的长；（3）求△FGC的面积．。
专题05 勾股定理与几何图形折叠问题(解析版)
专题05 勾股定理与几何图形折叠问题一、单选题1．如图，在△ABC 中，AB =10，AC =6，BC =8，将△ABC 折叠，使点C 落在AB 边上的点E 处，AD 是折痕，则△BDE 的周长为( )A ．6B ．8C ．12D ．14【答案】C【分析】 利用勾股定理求出AB=10，利用翻折不变性可得AE=AC=6，推出BE=4即可解决问题．【解析】在Rt△ABC 中，△AC =6，BC =8，△C =90°，△AB ==10，由翻折的性质可知：AE =AC =6，CD =DE ，△BE =4，△△BDE 的周长=DE +BD +BE =CD +BD +E =BC +BE =8+4=12．故选：C ．【小结】本题考查翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 2．如图，有一张直角三角形纸片，90ACB ∠=︒，5cm AB =，3cm AC =，现将ABC ∆折叠，使边AC 与AB 重合，折痕为AE ，则CE 的长为（ ）A ．1cmB ．2cmC ．3cm 2D ．5cm 2【答案】C【分析】 先根据勾股定理求出BC 的长度，再由折叠的性质可得CE=DE ，设CE x =，然后在Rt BDE 中利用勾股定理即可求出x 的值.【解析】△90ACB ∠=︒，5cm AB =，3cm AC =△4BC ===由折叠可知CE=DE,AC=AD ，90ADE ACE ∠=∠=︒设CE x =，则4,2,BE x BD AB AD =-=-=在Rt BDE 中△222DE BD BE +=△2222(4)x x +=- 解得32x =故选C【小结】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理的内容及方程的思想是解题的关键.3．如图，将等腰直角三角形ABC （90ABC ∠=︒）沿EF 折叠，使点A 落在BC 边的中点1A 处，6BC =，那么线段AE 的长度为A．5B．4C．4. 25D．154【答案】D【分析】由折叠的性质可求得AE=A1E，可设AE=A1E=x，则BE=6-x，且A1B=3，在Rt△A1BE中，利用勾股定理可列方程，则可求得答案．【解析】由折叠的性质可得AE=A1E，△△ABC为等腰直角三角形，BC=6，△AB=6，△A1为BC的中点，△A1B=3，设AE=A1E=x，则BE=6-x，在Rt△A1BE中，由勾股定理可得32+（6-x）2=x2，解得x=154，故选：D．【小结】本题考查折叠的性质，利用折叠的性质得到AE=A1E是解题的关键，注意勾股定理的应用．4．如图，矩形ABCD，AB=3，BC=4，点E是AD上一点，连接BE，将△ABE沿BE折叠，点A恰好落在BD上的点G处，则AE的长为（）A．2B．52C．32D．3【答案】C【分析】先用勾股定理求出BD，再由折叠得出BG=AB=3，从而求出DG=2，最后再用勾股定理求解即可．【解析】在Rt△ABD中，AB=3，AD=BC=4，△BD=5由折叠得，△BGE=△A=90°，BG=AB=3，EG=AE，△DG=BD-BG=2，DE=AD-AE=4-AE，在Rt△DEG中，EG2+DG2=DE2，△AE2+4=（4-AE）2，△AE=32．故选：C．【小结】本题考查翻折变换的性质，勾股定理，熟记性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．5．如图所示，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使边AD与对角线BD重合，点A落在点A′处，折痕为DG，则AG的长为( )A．2B．1C．43D．32【答案】D【解析】【分析】由题得BD=√AB2+AD2=5，根据折叠的性质得出△ADG△△A′DG，继而得A′G=AG，A′D=AD，A′B=BD-A′G，再Rt△A′BG根据勾股定理构建等式求解即可.【解析】由题得BD=√AB2+AD2=5，根据折叠的性质得出：△ADG△△A′DG ，△A′G=AG ，A′D=AD=3，A′B=BD -A′G=5-3=2，BG=4-A′G在Rt△A′BG 中，BG 2=A′G 2+A′B 2可得：（4−A′G)2=A′G 2+22，解得A′G=32，则AG=32，故选：D ．【小结】本题主要考查折叠的性质，由已知能够注意到△ADG△△A′DG 是解决的关键．6．如图，在四边形ABCD 中，△A ＝△B ＝90°，△C ＝60°，BC ＝CD ＝8，将四边形ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为EF ，则BE 的长为（ ）A ．1B ．2CD 【答案】A【分析】作DG△BC ，连接AE ，先根据Rt△CDG ，△DCG=60°，得出CG=4，利用勾股定理求出AB=BE=x ，则CE=8-x ，根据折叠得AE= CE=8-x ，再根据勾股定理在Rt△ABE 列出方程进行求解.【解析】作DG△BC ，连接AE ，在Rt△CDG ，△DCG=60°，得出CG=4，设BE=x ，则CE=8-x ，根据折叠得AE= CE=8-x ，在Rt△ABE 中，AE 2=AB 2+BE 2，即(8-x)22+x 2故选A.【小结】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的应用.7．已知：如图，折叠矩形ABCD，使点B落在对角线AC上的点F处，若BC＝8，AB＝6，则线段CE的长度是（）A．3B．4C．5D．6【答案】C【分析】在Rt△ABC中利用勾股定理可求出AC＝10，设BE＝a，则CE＝8﹣a，根据折叠的性质可得出BE＝FE＝a，AF＝AB＝6，△AFE＝△B＝90°，进而可得出FC＝4，在Rt△CEF中，利用勾股定理可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a值，将其代入8﹣a中即可得出线段CE的长度．【解析】在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，△AC＝10．设BE＝a，则CE＝8﹣a，根据翻折的性质可知，BE＝FE＝a，AF＝AB＝6，△AFE＝△B＝90°，△FC＝4．在Rt△CEF中，EF＝a，CE＝8﹣a，CF＝4，△CE2＝EF2+CF2，即（8﹣a）2＝a2+42，解得：a＝3，故选C．【小结】本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理以及解一元二次方程，在Rt△CEF中，利用勾股定理找出关于a的一元二次方程是解题的关键．8．如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B'处，点AB C'=，则AM的长是（）的对应点为A'，且3A．1B．1.5C．2D．2.5【答案】C【分析】连接BM，MB′，由于CB′=3，则DB′=6，在Rt△ABM和Rt△MDB′中由勾股定理求得AM的值．【解析】连接BM，MB′，设AM=x，在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2，在Rt△MDB′中，B′M2=MD2+DB′2，△MB=MB′，△AB2+AM2=BM2=B′M2=MD2+DB′2，即92+x2=(9-x)2+(9-3)2，解得x=2，即AM=2，【小结】本题考查了翻折的性质，对应边相等，利用了勾股定理建立方程求解．9．如图，矩形纸片ABCD 中，4AB =，3AD =，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，则折痕为DG 的长为（ ）A B C ．2 D 【答案】D【分析】 首先设AG ＝x ，由矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，可求得BD 的长，又由折叠的性质，可求得A′B 的长，然后由勾股定理可得方程：x 2+22＝（4-x ）2，解此方程即可求得AG 的长，继而求得答案．【解析】设AG ＝x ，△四边形ABCD 是矩形，△△A ＝90°，△AB ＝4，AD ＝3，△BD 5，由折叠的性质可得：A′D ＝AD ＝3，A′G ＝AG ＝x ，△DA′G ＝△A ＝90°，△△BA′G ＝90°，BG ＝AB -AG ＝4-x ，A′B ＝BD -A′D ＝5-3＝2，△在Rt△A′BG 中，A′G 2+A′B 2＝BG 2，△x 2+22＝（4-x ）2，解得：x ＝32， △AG ＝32，△在Rt△ADG 中，DG =【小结】此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．10．如图，正方形ABCD 的边长为8，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为GH ．若BE ＝EC ，则线段CH 的长是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【分析】 根据折叠可得DH ＝EH ，在直角△CEH 中，设CH ＝x ，则DH ＝EH ＝8﹣x ，根据BE ＝EC ，可得CE ＝4，可以根据勾股定理列出方程，从而解出CH 的长．【解析】设CH ＝x ，则DH ＝EH ＝8﹣x ，△BC ＝8，△BE ＝EC ＝4，在Rt△ECH 中，EH 2＝EC 2+CH 2，△（8﹣x ）2＝42+x 2，解得：x ＝3，即CH ＝3．故选：A ．【小结】本题考查以正方形为背景的折叠问题，掌握正方形的性质，和折叠的轴对称性质，会利用中点求线段的长，会找问题所在的直角三角形，会利用勾股定理解决问题是关键．11．如图，把直角△ABC 沿AD 折叠后，使点B 落在AC 边上点E 处，若AB=6，AC=10，则CDE S =（ ）A ．15B ．12C ．9D ．6【答案】D【分析】 由勾股定理求出BC 的长，再由折叠性质求出EC 的长、证明△DEC 是直角三角形、CD+DE=BC=8，由勾股定理列出关于DE 的方程，求出DE 后，由面积公式求出CDE S ∆【解析】△△ABC 是直角三角形，AB=6，AC=10由勾股定理得：BC= 8，由折叠可知：AE=AB=6，DE=BD ，△AED=△B=90°，△EC=AC -AE=10-6=4，设BD=x ，则DE=x ，，CD=8-x ，在Rt△CDE 中，222EC DE CD +=，即2224(8)x x +=-，解得x=3，即DE=3，所以△CDE 的面积为：3422DE EC ⋅⨯==6． 故选：D△【小结】本题考查用勾股定理计算直角三角形边长．本题中Rt△CDE△△△△△△△△△△△△EC=4，和其它两边△△△△△△△△△DE+CD=8，此时列方程就很关键了．12．如图，将直角△ABC 沿AD 对折，使点C 落在AB 上的E 处，若AC=6，AB=10，则DB 的长度是（ ）A ．3B ．4C ．8D ．5【答案】D【分析】根据折叠对应边相等，找出对应边，再根据小直角三角形的三边关系即可求出．【解析】△直角△ABC 沿AD 对折，AC=6，AB=10△AE=AC=6，BE=4，DE=DC ，，△BED=△C=900在直角△DEB 中DE 2+BE 2=BD 2△42+（8-BD ）2=BD 2 解得BD=5故选D ．【小结】本题主要考察了勾股定理等知识点，准确找出对应边和找出新的直角三角形是解题关键．13．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 为边BC 上一点，连接AE ，将ABE △沿AE 翻折，点B 的对应点是点B '，当点B '落在边AD 上时，8AE =，6BB '=，则边AB 的长是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．9【答案】A【分析】 由翻折可知，AE BB BF B F ''⊥=，，再根据平行四边形对边平行的性质，解得AB B B BE ''∠=∠，进而证明()BFE B FA ASA '≅，根据全等三角形对应边相等的性质，可解得AF EF =，结合已知条件及勾股定理，可解题．【解析】根据翻折的性质，可知AE BB BF B F ''⊥=，在平行四边形ABCD 中，//AB BE 'AB B B BE ''∴∠=∠AFB BFE '∠=∠()BFE B FA ASA '∴≅AF EF ∴=8AE =，6BB '=，43AF BF ∴==，，由勾股定理得5AB ==，故选：A ．【小结】本题考查翻折、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．14．如图，平行四边形纸片ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，将平行四边形纸片沿对角线BD 拆叠，使点C 落在平面上的点C '处，若45AOB ∠=︒，1AC =，则点A ，C '之间的距离是（ ）A ．1B C ．D 【答案】D【分析】 连接A C '，由折叠的性质，解得O C '的长，45AOB CO D D C O ∠=∠='=∠︒，根据三角形内角和180°，解得90AOC ∠'=︒，最后根据勾股定理解题即可．【解析】连接A C '，根据折叠的性质可知1122OC OC AO AC '==== 45AOB CO D D C O ∠=∠='=∠︒ 18090AOC AOB C OD ∴∠'=︒-∠-∠'=︒在t AO R C '中AC '= 故选：D ．【小结】本题考查折叠的性质、三角形内角和定理、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．15．如图，长方形纸片ABCD 中，6AB cm =，8BC cm =，现将其沿EF 对折，使得点C 与点A 重合，则AF 的长为（ ）A ．254B ．6C ．74D ．234【答案】A【分析】设AF=xcm ，则DF=（8-x ）cm ，利用矩形纸片ABCD 中，现将其沿EF 对折，使得点C 与点A 重合，由勾股定理求AF 即可．【解析】设AF=xcm ，则DF=（8-x ）cm ，△矩形纸片ABCD 中，AB=6cm ，BC=8cm ，现将其沿EF 对折，使得点C 与点A 重合，△DF=D′F ，在Rt△AD′F 中，△AF 2=AD′2+D′F 2，△x 2=62+（8-x ）2，解得：x=254， 故选：A ．【小结】本题考查了图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变是解题关键．16．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边6AC cm =，8BC cm =，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上且与AE 重合，则CD 等于（ ）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm【答案】B【分析】 根据翻折的性质可知：AC ＝AE ＝6，CD ＝DE ，设CD ＝DE ＝x ，在RT△DEB 中利用勾股定理解决．【解析】在RT△ABC 中，△AC ＝6，BC ＝8，△AB =10，△ADE 是由△ACD 翻折，△AC ＝AE ＝6，EB ＝AB−AE ＝10−6＝4，设CD ＝DE ＝x ，在RT△DEB 中，△DE 2＋EB 2＝DB 2，△x 2＋42＝（8−x ）2△x ＝3，△CD＝3．故选：B．【小结】本题考查翻折的性质、勾股定理，利用翻折不变性是解决问题的关键，学会转化的思想去思考问题．17．已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．4cm2B．5cm2C．6cm2D．7cm2【答案】C【分析】根据折叠的条件可得：BE=DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．【解析】将此长方形折叠，使点B与点D重合，△BE=ED．△AD=9cm=AE+DE=AE+BE．△BE=9-AE，根据勾股定理可知AB2+AE2=BE2．解得AE=4．△△ABE的面积为3×4÷2=6．故选C．【小结】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．18．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC如图折叠，使点A和点B重合，则折痕DE 的长是（）A ．3B ．3.5C ．3.75D ．4【答案】C【分析】 由勾股定理求解AB ，由对折可得,5,AE BE BD AD ===设,BE x = 则,8,AE x CE x ==- 利用勾股定理求解x ，再利用勾股定理可得答案．【解析】90,6,8,C BC AC ∠=︒==10,AB ∴===由折叠可得：,5,AE BE BD AD ===设,BE x = 则,8,AE x CE x ==-()22286,x x ∴-+= 25,4x ∴=15 3.75,4DE ∴==== 故选C ．【小结】本题考查的是求一个数的算术平方根，轴对称的性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 19．如图，在矩形ABCD 中，8BC =，6CD =，将ABE △沿BE 折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上的F 处，则折痕BE 的长是（ ）A ．3B ．5C ．D ．【答案】D【分析】 由折叠性质，可知BEF BAE ≅，根据勾股定理，计算BD 的长，进而计算FD 的长，设EF AE x ==，再用勾股定理解得AE 的长，最终求BE 的长．【解析】在矩形ABCD 中，90BAD ∠=︒，由折叠可得BEF BAE ≅，EF BD AE EF AB BF ∴⊥==，，，在t R ABD 中，AB=CD=6,BC=AD=8，根据勾股定理得：BD=10，即FD=10-6=4，设EF AE x ==，则8ED x =-，根据勾股定理得：2224(8)x x +=-，解得：3x ，=BE ∴=故选：D ．【小结】本题考查折叠的性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．20．如图，点F 是长方形ABCD 中BC 边上一点将△ABF 沿AF 折叠为△AEF ，点E 落在边CD 上，若AB ＝5，BC ＝4，则BF 的长为（ ）A ．73B ．52C ．136D ．56【答案】B【分析】根据矩形的性质可得CD=AB=5，AD=BC=4，△C=△D=90°，由折叠的性质可得AE=AB=5，BF=EF，利用勾股定理即可求出DE，从而求出CE，设BF=EF=x，利用勾股定理列出方程即可求出结论．【解析】△四边形ABCD为矩形，AB＝5，BC＝4，△CD=AB=5，AD=BC=4，△C=△D=90°由折叠的性质可得AE=AB=5，BF=EF在Rt ADE中，3=△CE=CD－DE=2设BF=EF=x，则CF=4－x在Rt CEF中，CF2＋CE2=EF2即（4－x）2＋22=x2解得x=5 2即BF=5 2故选B．【小结】此题考查的是矩形与折叠问题，掌握矩形的性质、折叠的性质和勾股定理是解决此题的关键．21．如图，ABC 中，△C=90°，AC=3，AB = 5，点D 是边BC 上一点，若沿将ACD翻折，点C刚好落在边上点E处，则BD等于（）A．2B．52C．3D．103【答案】B 【分析】根据勾股定理，求出BC 的长度，设 BD=x ，则DC= 4-x ，由折叠可知：DE= 4-x ，BE=2，在 Rt BDE 中，222BD =BE DE +，根据勾股定理即可求出x 的值，即BD 的长度．【解析】△△C= 90°，AC=3，AB=5∴BC= ，设BD=x ，则DC= 4-x ，由折叠可知：DE=DC=4-x ，AE=AC=3，△AED= △C=90°，△ BE= AB -AE = 2．在 Rt BDE 中，222BD =BE DE +，即：222x =2(4-x)+，解得：x=52， 即BD=52， 故选：B ．【小结】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理，解题的关键在于写出直角三角形BDE 三边的关系式，即可求出答案．22．如图，把一张长方形纸片ABCD 沿EF 折叠，若△1＝40°，则△AEF 的度数为（ ）A ．130°B ．120°C ．110°D ．100°【答案】C【分析】 如图，设B 的对应点为K ．由AD△BC ，推出△AEF+△BFE=180°，求出△BFE 即可解决问题．【解析】如图设B 的对应点为K ．△△BFE ＝△EFK ，△1＝40°，△△BFK ＝180°﹣40°＝140°，△△BFE ＝70°，△AD △BC ，△△AEF +△BFE ＝180°，△△AEF ＝110°，故选：C ．【小结】本题考查了矩形折叠的问题，掌握折叠的性质、矩形的性质、平行线的性质是解题的关键．23．在矩形纸片ABCD 中，6,10AB AD ==．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A '处，折痕为PQ ，当点A '在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动，若限定点P 、Q 分别在线段AB 、AD 边上移动，则点A '在BC 边上可移动的最大距离为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】 根据翻折的性质，△当P 与B 重合时，可得BA′与AP 的关系，根据线段的和差，可得A′C ，△当Q 与D 重合时，根据勾股定理，可得A′C ，根据线段的和差，可得答案．【解析】△当P 与B 重合时，BA′＝BA ＝6，CA′＝BC−BA′＝10−6＝4，△当Q 与D 重合时，由勾股定理，得CA′8，CA′最大是8，CA′最小是4，点A′在BC 边上可移动的最大距离为8−4＝4，故选：B ．【小结】本题考查了翻折变换，利用了翻折的性质，勾股定理，分类讨论是解题关键．24．如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B '处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段B F '的长为（ ）A ．45B ．35C ．23D ．34【答案】A【分析】根据折叠的性质可知AC=CD ，△A=△CDE ，CE△AB ，Rt△ABC 中根据勾股定理求得AB=5，再根据三角形的面积可求得B′F 的长．【解析】△Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，△AB ＝5，根据折叠的性质可知AC ＝CD ，△A ＝△CDE ，CE △AB ，△B ′D ＝BC ﹣CD ＝4﹣3＝1，△DCE +△B ′CF ＝△ACE +△BCF ，△△ACB ＝90°，△△ECF ＝45°，△△ECF 是等腰直角三角形，△EF ＝CE ，△EFC ＝45°，△△BFC ＝△B ′FC ＝135°，△△B ′FD ＝90°，△S △ABC ＝12AC •BC ＝12AB •CE ， △AC •BC ＝AB •CE ，△CE ＝125，△EF ＝125，ED ＝AE 95=， △DF ＝EF ﹣ED ＝35△B ′F 45=． 选：A ．【小结】此题主要考查了翻折变换，勾股定理的应用等，根据折叠的性质求得相等的角是本题的关键．25．如图，在ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，AD 上．将AEF 沿EF 折叠，点A 恰好落在BC 边上的点G 处．若45A ∠=︒，AB =5BE AE =，则AF 长度为（ ）A．152 B ．7 C ．6 D ．【答案】A【分析】过B 作BM△AD 于M ，作FH△BC 于H ，作EN△BC 于N ，交CB 延长线于N ，分别求出BN 、EN 、AM 、BM ，继而在Rt△GEN 中求出GN 的值，设FM=BH =x ，在Rt△GFH 中，由勾股定理列方程解出x ，即可得出结果．【解析】过B 作BM△AD 于M ，作FH△BC 于H ，作EN△BC 于N ，交CB 延长线于N ，如图1所示：则BM△BC ，BM=FH ，FM=BH ，由折叠的性质得：AE=GE= GF=AF ，△四边形ABCD 是平行四边形，△AD△BC ，△△EBN=△A=45°，△△ABM 和△BEN 是等腰直角三角形，△BN=EN=，AM=BM= ， △FH=6，在Rt△GEN 中，由勾股定理得：12+GN 2= 2，解得：GN=±7（负值舍去），△GN=7，设FM=BH =x ，则GH=7-1-x=6-x ，GF=AF=x+6，在Rt△GFH 中，由勾股定理得：62+（6-x ）2=（x+6）2， 解得：x=32， △AF=32+6=152； 故选：A ．【小结】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质．等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．26．如图，已知 Rt ABC 中，90,6,8C AC BC ∠︒＝＝＝，将它的锐角A 翻折，使得点A 落在边 BC 的中点D 处，折痕交 AC 边于点E ，交AB 边于点F ，则 DE 的值为（ ）A ．5B ．4C ．133D ．143【答案】C【分析】 由折叠可得△AEF△△DEF ，可知AE=DE ，由点 D 为边 BC 的中点，可求CD=118422CB =⨯=，设DE=x ，CE=6-x ，在Rt△CDE 中由勾股定理()22246x x +-=解方程即可．【解析】 △将它的锐角A 翻折，使得点A 落在边 BC 的中点 D 处，折痕交 AC 边于点E ，交AB 边于点F ， △△AEF△△DEF ，△AE=DE ，△点 D 为边 BC 的中点， △CD=118422CB =⨯=， 设DE=x ，CE=6-x ，在Rt△CDE 中由勾股定理，222CD CE DE +=即()22246x x +-=， 解得133x =． 故选择：C ．【小结】本题考查折叠性质，中点定义，勾股定理，掌握折叠性质，中点定义，勾股定理，关键是利用勾股定理构造方程．27．如图，矩形纸片ABCD ，3AB =，5AD =，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的E 处，折痕为PQ ，当点E 在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动，若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点E 在BC 边上可移动的最大距离为（ ）A．1B．2C．4D．5【答案】B【分析】根据翻折变换，当点Q与点D重合时，点E到达最左边，当点P与点B重合时，点E到达最右边，所以点E就在这两个点之间移动，分别求出这两个位置时EB的长度，然后两数相减就是最大距离．【解析】如图1，当点D与点Q重合时，根据翻折对称性可得ED=AD=5，在Rt△ECD中，ED2=EC2+CD2，即52=（5-EB）2+32，解得EB=1，如图2，当点P与点B重合时，根据翻折对称性可得EB=AB=3，△3-1=2，△点E在BC边上可移动的最大距离为2．故选：B．【小结】本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．28．如图，已知ABCD 是长方形纸片，3CD =，在CD 上存在一点E ，沿直线AE 将AED 折叠，D 恰好落在BC 边上的点F 处，且6AFB S =△，则AED 的面积是（ ）．A ．253B ．256 C ．43 D ．23 【答案】B 【分析】根据面积求出BF 、AF 、CF ，设DE 为x ，列方程求出即可．【解析】ABCD 是长方形纸片，△AB=CD=3，12AFB S AB BF =⋅△， △1632BF =⨯⋅， △BF=4，△AF=5=，△AF=AD=BC=5，CF=1，设DE 为x ，EF=DE=x ，EC=3-x ，x 2=(3-x)2+1，解得，x=53， △1152552236AED S AD ED ∆=⋅=⨯⨯=， 故选：B ．【小结】本题考查了勾股定理与翻折，解题关键是恰当的设未知数，根据勾股定理列方程．29．如图，点A是y正半轴上一点，点B是x负半轴上一点，3BC=，AB=，点C（在B的右边）在x轴上，且5点D是x轴上一动点，将三角形ABD沿直线AD翻折，点B落在点E处，已知CE的最小值为1，则点A的坐标是（）A．（0，2）B．（0，2.4）C．（0，2.5）D．（0，1.8）【答案】B【分析】由折叠的性质可求AC的长，由勾股定理可求OA的长．【解析】△将三角形ABD沿直线AD翻折，点B落在点E处，△AB＝AE=3，△EC≥AC-AE，△当点A，点E，点C共线时，EC有最小值，如图，△CE的最小值为1，△AC＝4，△AO2+OC2＝16，AO2+（5﹣OC）2＝9，△OC=3.2,OA＝2.4，△点A坐标为（0，2.4），故选：B．【小结】本题考查了折叠的性质，勾股定理，利用勾股定理列出方程组是解决问题的关键．30．如图，在Rt△ABC中，△BAC＝90°，以Rt△ABC各边为斜边分别向外作等腰Rt△ADB、等腰Rt△AFC、等腰Rt△BEC，然后将等腰Rt△ADB和等腰Rt△AFC按如图方式叠放到等腰Rt△BEC中，其中BH＝BA，CI ＝CA，已知，S四边形GKJE＝1，S四边形KHCJ＝8，则AC的长为（）A．2B．52C．4D．6【答案】D【分析】设AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c，由勾股定理可求a2+b2＝c2，由S四边形GHCE＝S四边形GKJE+S四边形KHCJ＝9，可求b＝【解析】设AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c，△AB=，AC=，BC=，△△BAC＝90°，△AB2+AC2＝BC2，△2a2+2b2＝2c2，△a2+b2＝c2，△将等腰Rt△ADB 和等腰Rt△AFC 按如图方式叠放到等腰Rt△BEC ，△BG ＝GH ＝a ，△S 四边形GHCE ＝S 四边形GKJE +S 四边形KHCJ ＝9， △12（a +c ）（c ﹣a ）＝9， △c 2﹣a 2＝18，△b 2＝18，△b ＝△AC =＝6，故选：D ．【小结】本题考查了勾股定理，折叠的性质，利用整体思想解决问题是本题的关键．31．如图，矩形ABCD 中，6,8AB BC ==．点E 、F 分别为边BC 、AD 上一点，连接EF ，将矩形ABCD 沿着EF 折叠，使得点A 落到边CD 上的点A '处，且2DA A C '='，则折痕EF 的长度为（ ）A ．B ．C D【答案】A【分析】 由2DA A C '='，6DC =，可求出DA '，A C '的长，再根据折叠和勾股定理可求出DF 和FA '，依据三角形相似可求出NC 、NA '，进而求出MF ，最后根据勾股定理求出EF ．【解析】如图，过点E 作EM AD ⊥，垂足为M ，2DA A C ''=，6DC =， 243DA DC '==，123A C DC '==，由折叠得，AF FA ='，6AB A B =''=， 设DF x =，则8FA FA x ='=-， 在Rt DFA ∆'中，由勾股定理得， 2224(8)x x +=-，解得3x =，即3DF =，835FA FA ∴='=-=，1809090NA C DA F ∠'+∠'=︒-︒=︒，90NA C A NC ∠'+∠'=︒， DA F A NC ∴∠'=∠'，90C D ∴∠=∠=︒，∴△A NC '∽△FA D '， ∴A C NC A N FD A D FA ''==''，即2345NC A N '==， 解得83NC =，103A N '=， 108633B N A B A N NC ∴'=''-'=-==， ∴△()A CN ENB AAS '≅∆'，103EN A N ∴='=， 108633EC EN NC MD ∴=+=+==， 633MF ∴=-=，在Rt EFM ∆中，EF == 故选：A ．【小结】 本题考查矩形的性质、折叠轴对称、相似三角形、全等三角形以及勾股定理等知识，掌握折叠的性质和直角三角形的边角关系是得出答案的前提，建立图形中线段之间的关系是解决问题的关键．32．如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，连结AD ，把△ACD 沿AD 翻折，得到△AD C '，D C '与AB 交于点E ，连结B C '，若BD ＝B C '＝2，AD ＝3，则点D 到A C '的距离( )AB C D 【答案】B【分析】连接CC '，交AD 于点M ，过点D 作DH AC '⊥于点H ，由翻折知，ADC ADC '∆≅∆，AD 垂直平分CC '，证BDC '∆为等边三角形，利用解直角三角形求出1DM =，C M '=2AM =，在Rt 'AC M ∆中，利用勾股定理求出AC '的长，在ADC '∆中利用面积法求出DH 的长．【解析】如图，连接CC '，交AD 于点M ，过点D 作DH AC '⊥于点H ，2BD BC ='=，D 是AC 边上的中点，2BD DC ==，由翻折知，ADC ADC '∆≅∆，AD 垂直平分CC '，2DC DC '∴==，AC AC '=，CM C M '=，2BD BC DC '∴='==，BDC '∴∆为等边三角形，60BDC BC D C BC '''∴∠=∠=∠=︒，DC DC '=，160302DCC DC C ''∴∠=∠=⨯︒=︒，在Rt △C DM '中，30DC C '∠=︒，2DC '=，1DM ∴=，C M '=312AM AD DM ∴=-=-=，在Rt 'AC M ∆中，AC ==' 1122ADC S AC DH AD CM ∆''==， ∴3=DH =， 故选：B ．【小结】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的长度．二、填空题33．如图，AD 是ABC 的中线，45ADC ∠=︒，10BC =，把ABC 沿直线AD 折叠，点C 落在点C '处，那么BC '的长为________．【答案】【分析】由题意可得BD=CD=5，根据折叠的性质可得CD=C'D=5，△ADC=△ADC'=45°，根据勾股定理可求BC'的长．【解析】△AD 是ABC 的中线，10BC =，△BD=CD=5，△把ABC 沿直线AD 折叠，△CD=C'D ，△ADC=△ADC'=45°，△BD=C'D=5，△BDC'=90°，=故答案为：【小结】本题考查了翻折变换，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．34．如图，在三角形纸片ABC 中，90,30,6C A AC ︒︒∠=∠==,折叠纸片，使点C 落在AB 边上的点D 处，折痕BE 与AC 交于点E ，则折痕BE 的长为_____________；【答案】4【分析】根据勾股定理求得BC =AB =△CBE=△ABE=12△ABC=30°，继而证得BE=AE ，在Rt△BCE 中，利用勾股定理列方程即可求得答案．【解析】在Rt△ABC 中，90,30,6C A AC ︒︒∠=∠==，设BC x =，则2AB x =，△222BC AC AB +=，即()22262x x +=，解得：x =△BC =AB =△折叠△ABC 纸片使点C 落在AB 边上的D 点处，△△CBE=△ABE ，在Rt△ABC 中，△A=30°，△△ABC=60°， △△CBE=△ABE=12△ABC=30°，△△ABE=△A=30°，△BE=AE ，在Rt△BCE 中，△C=90°，BC =6CE AC AE BE =-=-，△222BC CE BE +=，即(()2226BE BE +-=， 解得：4BE =．【小结】本题主要考查了勾股定理的应用，含30度的直角三角形的性质以及折叠的性质，利用勾股定理构建方程求线段的长是解题的关键．领会数形结合的思想的应用．35．如图，在长方形ABCD 中，AB =3cm ，AD =9cm ，将此长方形折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF ，则ΔABE 的面积为________cm 2.【答案】6【解析】【分析】由折叠的性质可知AE 与BE 间的关系，根据勾股定理求出AE 长可得面积.【解析】由题意可知BE =ED .因为AD =AE +DE =AE +BE =9cm ，所以BE =(9−AE )cm.在RtΔABE 中，根据勾股定理可知，AB 2+AE 2=BE 2，所以32+AE 2=(9−AE )2，所以AE =4cm ，所以RtΔABE 的面积为12×AB ×AE =12×3×4=6（cm 2）. 故答案为：6【小结】本题考查了勾股定理，由折叠性质得出直角边与斜边的关系是解题的关键.36．如图，在Rt ABC ∆中，B 90∠=︒，AB 30=，BC 40=，将ABC ∆折叠，使点B 恰好落在边AC 上，与点B'重合，AE 为折痕，则EB'=_________.【答案】15【分析】根据折叠的性质可设BE=EB′=x，EC=40﹣x，然后再利用勾股定理在Rt△ABC中求得AC，进而在Rt△B′EC 中求解x即可.【解析】根据折叠的性质可得BE=EB′，AB′=AB=30，设BE=EB′=x，则EC=40﹣x，△△B=90°，AB=30，BC=40，△在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC=50，△B′C=50﹣30=20，在Rt△B′EC中，由勾股定理得，x2+202=（40﹣x）2，解得x=15．故答案是15．【小结】勾股定理和翻折变换是本题的考点，熟练掌握勾股定理和折叠的性质是解题的关键.37．如图，长方形ABCD中，AB=8，BC=4，将其沿AC折叠，点D落在E处，CE与AB交于点F，且EF=FB，则重叠部分△ACF的面积是____________【答案】10【分析】因为BF=EF，所以可设EF=x，则在Rt△AFE中，根据勾股定理求x，进而求出即可．【解析】△EF=BF，△设EF =x ，则AF =8-x ，在Rt △AFE 中，（8-x ）2=x 2+42，解之得：x =3，△AF =AB -FB =8-3=5，1102AFC S AF BC ∴==△． 故答案为：10．【小结】此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理的应用，利用已知设EF =x ，根据直角三角形AFE 中运用勾股定理求x 是解题的关键．38．如图，在三角形纸片ABC 中，△C ＝90°，AC ＝18，将△A 沿DE 折叠，使点A 与点B 重合，折痕和AC 交于点E ，BC ＝12，则EC 的长为__________．【答案】5【分析】由翻折的性质可知BE =EA =18-EC ，最后在Rt △BCE 中由勾股定理求得EC 的长即可．【解析】△AC =18，△BE =AE =18-EC ，△可得()2221218EC EC +=-，解得：EC =5，故答案为：5．【小结】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，利用翻折的性质求得BE =EA =18-EC 是解题的关键． 39．如图，在菱形纸片ABCD 中，4AB =，60A ∠=︒，将菱形纸片翻折，使点A 落在CD 边的中点E 处，折痕为FG ，点F 、G 分别在边AB 、AD 上，则GE =_______．【答案】2.8【分析】过点E 作EH AD ⊥于H ， 根据菱形的性质，得到//AB CD ，4AD BC CD AB ====，继而可证60A HDE ∠=∠=︒，再利用含30°角的直角三角形性质，解得12DH DE =，结合勾股定理解得HE 的长，根据折叠的性质，得到,AG GE AF EF ==，最后在Rt HGE 中利用勾股定理得222GE GH HE =+，据此整理解题即可．【解析】过点E 作EH AD ⊥于H ，ABCD 是菱形//AB CD ∴，4AD BC CD AB ====60A HDE ∴∠=∠=︒ E 是CD 中点2DE ∴=在Rt DHE △中，2DE =HE DH ⊥60HDE ∠=︒30HED ∴∠=︒1,DH HE ∴===折叠,AG GE AF EF ∴==在Rt HGE 中222GE GH HE =+22(41)3GE GE ∴=-++2.8GE ∴=故答案为：2.8．【小结】本题考查翻折变换、菱形的性质、含30°角的直角三角形等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．40．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，点E 、F 分别在AC 、BC 上，将CEF △沿EF 翻折，使C 与AB 的中点M 重合，则CF 的长为______．【答案】258【分析】 过点M 作MN BC ⊥于N ，则//MN AC ，可得MN 是Rt ABC △的中位线，利用三角形中位线定理可得MN=12AC=3，BN=CN=12BC=4，设CF=x ，则NF=4-x ，由折叠的性质可得MF=CF ，在Rt MNF △中，利用勾股定理即可求解．【解析】过点M 作MN BC ⊥于N ，△90ACB ∠=︒，MN BC ⊥，△//MN AC ，△M 是AB 的中点，△MN 是Rt ABC △的中位线， △MN=12AC=3，BN=CN=12BC=4， 设CF=x ，则NF=4-x ，△将CEF △沿EF 翻折，使C 与AB 的中点M 重合，△MF=CF=x ，在Rt MNF △中，222MN NF MF +=，△()22234x x +-=，解得258x =， △CF=258． 故答案为：258． 【小结】本题考查折叠的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，熟练掌握三角形的中位线定理，利用勾股定理建立方程求解是解题的关键．41．如图，在直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，6BC =，8AC =，点D 是AC 边上一点，将BCD △沿BD 折叠，使点C 落在AB 边的E 点，那么DE 的长度是________．【答案】3【分析】先根据勾股定理得到AB=10，再根据折叠的性质得到DC=DE ，BC=BE=6，则AE=4，设DE=x ，在Rt△ADE 中利用勾股定理得（8-x ）2=x 2+42，解得方程即可．【解析】△△C=90°，BC=6，AC=8，△10AB ==△将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在AB 边的E 点，△△BCD△△BED ，△△C=△BED=△AED=90°，DC=DE ，BC=BE=6，△AE=AB -BE=4，设DC=x ，则AD=8-x ，在Rt△ADE 中，AD 2=AE 2+ED 2，即（8-x ）2=x 2+42，解得x=3，△DE=3【小结】本题考查了折叠的性质以及勾股定理等知识，利用折叠性质折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点的连线段被折痕垂直平分是解题关键．42．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，按图中所示方法将BCD △沿BD 折叠，使点C 落在边AB 上的点C '处，则点D 到AB 的距离=________．【答案】3【分析】首先根据勾股定理求出AB 的长，然后利用折叠的性质求出AC ′的长，在△AC ′D 中，设DC ′=x ，则AD =8-x ，根据勾股定理求出x 的值即可．【解析】△△C =90°，AC =8，BC =6，△AB =10．根据折叠的性质，BC =BC ′，CD =DC ′，△C =△AC ′D =90°．△AC ′=10-6=4．在△AC ′D 中，设DC ′=x ，则AD =8-x ，根据勾股定理得（8-x ）2=x 2+42．解得x =3．△DC ′=CD =3，故答案为3．【小结】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应边、角相等．43．如图，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =8，对角线AC 、BD 相交于点O ，点P 为边AD 上一动点，连接OP ，以OP 为折痕，将AOP 折叠，点A 的对应点为点E ，线段PE 与OD 相交于点F ．若PDF 为直角三角形，则DP 的长__________．【答案】52或1 【分析】 先根据矩形的性质、折叠的性质可得90DAB ∠=︒,8AD =,10BD =,5OA OD OE ===，,EP AP E ADB =∠∠=∠，设DP x =，从而可得8EP x =-，再根据直角三角形的定义分90DFP ︒∠=和90DPF ︒∠=两种情况，然后分别利用相似三角形的判定与性质、勾股定理求解即可得．【解析】四边形ABCD 是矩形，6AB =，8BC =，90DAB ︒∴∠=，8AD BC ==，10BD =，152OA OD BD ===，。
2.勾股定理与折叠问题
3 A 2 C B 1 1 2 3 4 5 x -5 -4 -3 -2 1 -1 O -2 -3
典例精讲 二：利用割补法求图形的面积
例2：如图，求四边形OABC的面积。
y
4 3 A 2 1 1 2 O
利用割补法求图 形的面积
B
3
C
4 x
典例精讲
4 B 3A 割 3 2 1 2 1 +— S BEC ×OD ×AD+ — ×(AD+BE)×DE = 2 1 1 D 3 E 1 C x 2 1 1 2 3 4 5 6 + — ×EC×BE-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 1 1 ×1×2+ — ×(2+3)×3+ = — -2 2 2 1 — ×1×3 -3 2 =10 -4 解：S四边形OABC =S OAD+ S梯形ADEB
E D
C
图1
A(B)
典例精讲
类型二：折叠长方形 如图所示，将长方形纸片ABCD的一边AD向下折叠，点D落 在BC边的F处。已知AB=CD=8cm，BC=AD=10cm，求EC的长。
A D
E B F C
典例精讲
≌
A
D
E B F C
课堂小结
折叠直角 折叠长方
三角形 形
优翼微课
B
M P
P
课堂小结
一：直接利用面积公式求面积
二：利用割补法求图形的面积
三：与图形面积相关的点的存在性问题
解题步骤归纳： 1、标已知，标问题，明确目标在哪个直角三角形中， 设适当的未知数x； 2、利用折叠，找全等。 3、将已知边和未知边（用含x的代数式表示）转化到 同一直角三角形中表示出来。 4、利用勾股定理，列出方程，解方程，得解。
勾股定理折叠问题六种模型
勾股定理折叠问题六种模型首先，我们来先了解勾股定理折叠问题。
勾股定理告诉我们：任意一个直角三角形，其斜边的平方等于它的两个直角边的平方之和。
例如a²+b²=c²，其中a和b分别代表两条直角边，而c是斜边。
勾股定理折叠问题是由米彻斯把勾股定理转化为一个寻找三角形元素来组成一个功能性三角形的解决方案。
它需要一个有序的折叠和解释来完成。
一、利用三角形抽象模型利用三角形抽象模型是以好的方式实现勾股定理折叠问题的一种方法，这种方法基于三角形的内在几何结构，从而找出完美的三角形。
实用性非常强，可以帮助设计各种不同的形状的三角形，而且阻止结构受到外部环境的影响，使三角形保持其准确性，用于各种应用场景。
二、基本折叠模型基本折叠模型是一种利用简单形状折叠和拼接两个等边三角形成直角三角形的方法。
可以使用画线和折线绘制出三角形，也可以通过纸张折叠，压入特定几何形状实现最简单的直角三角形。
三、网线折叠模型网线折叠是一种快速折叠和拼接两个等边三角形的方法，它可以使用网格布线，或用具有相同数目的线段绘制几何图形，而不需要画太多细节，使折叠过程变得更简单快捷。
四、极限折叠模型极限折叠是利用特殊的几何形状（如螺旋状线条）来构建等边三角形的方法。
如果可以使用螺旋状线条，就可以节省大量长度，同时保持精确度，成功实现三角形拼接。
五、纯几何折叠模型纯几何折叠模型是一种利用几何图形功能来折叠和连接两个等边三角形的技术，这种方法使用精确的几何图形，考虑物理原理和几何角度，从而精确折叠出正确形状，使得三角形完美体现。
六、超级折叠模型超级折叠模型是一种将分层折叠和几何折叠结合到一起的方法，该方法在折叠时考虑多个因素，利用几何图形折叠和正确的分层折叠，最终得到准确的直角三角形。
它非常可靠，除了得到准确的直角三角形外，还可以用于构建其他复杂的几何模型，以满足设计需求。
勾股定理折叠问题,方程思想
第一讲 勾股定理本章知识要点导航 ：（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．（2）勾股定理公式a 2+b 2=c 2 的变形有：;;222222b a c a c b b c a +=-=-=及（3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形．（4）勾股数：满足a 2+b 2=c 2 的三个正整数，称为勾股数．说明：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a 2+b 2=c 2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．（5）平面展开-最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．课堂笔记：_______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________➢ 知识考点1☆☆☆：在Rt △中，已知两边求第三边；(1)在ABC Rt ∆中，已知ο90=∠C ，8,6==b a ，则c=______________；(2)在ABC Rt ∆中，12,5==b a ，则c=______________；变式1：直角三角形的两直角边分别为5,12，则斜边上的高为______________；变式2：若一个直角三角形两直角边之比为4:3，斜边的长为20，则这个三角形的周长是___________； 变式3：已知在ABC Rt ∆中，ο90=∠C ，4,12==+b c a ，则ABC ∆的面积为___________；➢ 知识考点2☆☆☆：利用勾股定理求面积；思考：“问号正方形”的面积是多少？这个类型的问题还有哪些拓展呢？【经典例题1】有一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形D C B A 、、、的边长分别是3,2,5,3，则最大正方形E 的面积是（ ）A.13B.26C.47D.94【变式1】如图，直线l 上依次放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形面积分别是3,2,1，正放置的四个正方形的面积是4321,,,S S S S ，则=+++4321S S S S _________________【变式2】如图，已知直角△ABC 的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，求图中阴影部分的面积是_____________.（例1） （变1） （变2）➢ 知识考点3☆☆☆：应用勾股定理，求等腰三角形底边上的高；1、一个等腰三角形的腰长为cm 13,底边长为cm 10,这个三角形的面积为_________；2、一个等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，以底边为边长的正方形的面积为_________；3、等腰中，，是底边上的高，若，求 ①AD 的长；②ΔABC 的面积．➢ 知识考点4☆☆☆：利用方程思想求线段长（含双勾股）1、在ABC ∆中，AD 是高线，若4=AB ，2=AD ，3=AC ，则BC 的长为_____________;2、在ABC ∆中，17=AB ，10=AC ，9=BC ，则BC 边上的高为_____________;3、如图，小溪边有两棵树隔岸相望，一棵树高m 9，另一棵树高m 6，两棵树之间的距离是m 15，在两棵树顶上各停着一只水鸟，两只鸟同时看到水面上有一条小鱼，它们立刻以相同的速度飞去抓鱼，结果同时到达目标，求小鱼离较高那棵树有多远？4、如图，点P 是长方形ABCD 内一点，7,5,1===PC PB PA ，求PD 的长。
第11讲勾股定理折叠问题
第十一讲勾股定理折叠问题一、知识梳理初中数学中，有关折叠的问题也是相对比较难的问题，主要涉及求角的度数、求线段的长度、求周长、面积等，其中求线段的长度的问题必然用到勾股定理.图形折叠问题核心实质是轴对称性质，即先找出对称轴，再观察元素不变量与变量，然后运用所学知识合理、有序、全面解决问题。
图形折叠对象主要是三角形、矩形、梯形等，考查问题涉及点坐标、角度、线段、周长、面积、图形规律、最值、三角函数、比例、解析式等等，折叠问题中，“折”是过程，“叠”是结果，此题型灵活多变，能考查学生的自主探索能力与空间想象能力以及推理能力，解决折叠问题，首先要对图形折叠有一定准确定位，把握折叠实质，从点、线、面三个方面发现图形中的位置关系和数量关系，抓住图形的变量和不变量，其次探索折叠变化规律，充分挖掘图形隐含的几何性质，运用所学知识合理、有序、全面解决问题。
折叠性质：①对应线段相等（能够重合的线段）②对应角相等（能够重合的角）性质记忆：折叠必有角相等、边相等。
处理策略：求什么设什么，找直角三角形，用勾股定理二、典型例题（1）折叠与角度问题例1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=25°，则∠CDE=__________.解：∵将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，∠ACB=90°，∴∠BCD=∠ECD=45°，∠B=∠CED，∵∠A=25°，∴∠B=90°-25°=65°，∴∠CED=65°，∴∠CDE=180°-45°-65°=70°，故答案为：70°．例2、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，将∠A 折叠，使点A 落在边CB 上的点A′处，折痕为CD ；若∠A′DC=84°，则∠B=________°．解：∵△CDA′与△CDA 关于CD 成轴对称，∴∠ADC=∠A′DC=84°，∵∠ACB=90°，∴∠DCA=∠DCB=45°，∵∠CDA=∠B+∠DCB ，∴∠B=84°-45°=39°故答案为：39．（2）折叠与线段长度例3、如图，有一张直角三角形纸片，90ACB ∠=︒，5cm AB =，3cm AC =，现将ABC ∆折叠，使边AC 与AB 重合，折痕为AE ，则CE 的长为（）A ．1cmB ．2cmC ．3cm2D ．5cm 2【解析】∵90ACB ∠=︒，5cm AB =，3cm AC =∴4BC ===由折叠可知CE=DE,AC=AD ，90ADE ACE ∠=∠=︒设CE x =，则4,2,BE x BD AB AD =-=-=在Rt BDE 中∵222DE BD BE +=∴2222(4)x x +=-解得32x =故选C例4、如图，在矩形ABCD 中，6,8AB AD ==，点E 是边A D 上一动点，将ABE △沿直线BE 对折，点A 的落点为A '，当A DE ' 为直角三角形时，线段AE 的长为（）A ．3B ．4C ．6或3D ．3或4【答案】C 【分析】当A DE ' 为直角三角形时，有两种情况：①当点A '在矩形内部时，如图1所示，先利用勾股定理求出BD =10，根据折叠的性质得90BA E DA E ''∠=∠=︒，设AE =x ，则A E x '=，DE =8-x ，然后在Rt A DE ' 中运用勾股定理计算出x 的值即可；②当点A '落在边BC 上时，如图2所示，此时四边形ABA E '是正方形，得出AE =AB =6．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形∴∠A =∠C =90°，AB =6，AD =8∴10BD ===当A DE ' 为直角三角形时，有两种情况：①当点A '在矩形内部时，如图1所示，由折叠的性质得，AE A E '=，6A B AB '==设AE x =，则A E x '=，8DE x =-∴1064DA BD A B ''=-=-=在Rt A DE ' 中，222A E DA DE ''+=∴2224(8)x x +=-解得，x =3∴AE =3；②当点A '落在边BC 上时，如图2所示，此时四边形ABA E '是正方形，∴AE =AB =6故选：C ．例5、如图，在Rt ABC 的纸片中，90C ∠=︒，5AC =，13AB =．点D 在边BC 上，以A D 为折痕将ADB △折叠得到AD B ' ，A B '与边BC 交于点E ．若D EB ' 为直角三角形，则BD 的长是_______．【答案】7或263【分析】由勾股定理可以求出BC 的长，由折叠可知对应边相等，对应角相等，当△DEB′为直角三角形时，可以分为两种情况进行考虑，分别利用勾股定理可求出BD 的长．【详解】解：在Rt ABC 中，12BC ===，（1）当90ED B ∠'=︒时，如图1，过点B ′作B F AC '⊥，交AC 的延长线于点F ，由折叠得：13AB AB ='=，BD B D C F ='=，设BD x =，则B D CF x '==，12B F CD x '==-，在Rt AFB' 中，由勾股定理得：222(5)(12)13x x ++-=，即：270x x -=，解得：10x =（舍去），27x =，因此，7BD =．（2）当90D EB ∠'=︒时，如图2，此时点E 与点C 重合，由折叠得：13AB AB ='=，则1358B C '=-=，设BD x =，则B D x '=，12CD x =-，在Rt △B CD ¢中，由勾股定理得：222(12)8x x -+=，解得：263x =，因此263BD =．故答案为：7或263．例6、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，将边AC A 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B'处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则△B'FC 的面积为______________．【答案】9625【分析】由题意可得AB=10，根据面积可得CE=4.8，根据勾股定理可求BE=6.4，由折叠可求∠ECF=45°，可得EC=EF=4.8，即可求BF 的长，可求面积．【详解】解：∵Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴BA==10，∵将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处，∴∠AEC=∠CED ，∠ACE=∠DCE ，∵∠AED=180°，∴∠CED=90°，即CE ⊥AB ，∵S △ABC =12AB×EC=12AC×BC ，∴EC=4.8，在Rt △BCE 中，=6.4，∵将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B′处，∴BF=B'F ，∠BCF=∠B'CF ，∵∠BCF+∠B'CF+∠ACE+∠DCE=∠ACB=90°，∴ECF=45°，又CE ⊥AB ，∴∠EFC=∠ECF=45°，∴CE=EF=4.8，∵BF=BE-EF=6.4-4.8=1.6，∴△BFC 的面积为:12FB×EC=18249625525⨯⨯=，由翻折可知，△B'FC 的面积=△BFC 的面积=9625故答案为9625．【点睛】本题考查了折叠问题，勾股定理，根据折叠的性质求∠ECF=45°是本题的关键．（2）折叠与最值问题例7、如图，在ABC 中，,904C AC ︒∠==cm ，3BC =cm ，点D 、E 分别在AC 、BC上，现将DCE 沿DE 翻折，使点C 落在点'C 处，连接AC '，则AC '长度的最小值（）A ．不存在B ．等于1cmC ．等于2cmD ．等于2.5cm【解析】当C′落在AB 上，点B 与E 重合时，AC'长度的值最小，∵∠C=90°，AC=4cm ，BC=3cm ，∴AB=5cm ，由折叠的性质知，BC′=BC=3cm ，∴AC′=AB-BC′=2cm ．故选：C ．例8、如图，矩形纸片ABCD，3AD=，折叠纸片，使点A落在BC边上的E处，AB=，5折痕为PQ，当点E在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动，若限定点P、Q分别在AB、A D边上移动，则点E在BC边上可移动的最大距离为（）A．1B．2C．4D．5【答案】B【分析】根据翻折变换，当点Q与点D重合时，点E到达最左边，当点P与点B重合时，点E到达最右边，所以点E就在这两个点之间移动，分别求出这两个位置时EB的长度，然后两数相减就是最大距离．【详解】解：如图1，当点D与点Q重合时，根据翻折对称性可得ED=AD=5，在Rt△ECD中，ED2=EC2+CD2，即52=（5-EB）2+32，解得EB=1，例9、如图2，当点P与点B重合时，根据翻折对称性可得EB=AB=3，∵3-1=2，∴点E在BC边上可移动的最大距离为2．故选：B ．例10、如图，在矩形ABCD 中，10AB =，12AD =，点E 是AB 的中点，点F 是A D 边上的动点，将AEF ∆沿EF 翻折，得到A EF '∆，则A C '的最小值是（）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C 【分析】求A C '的最小值，先求出EC 的大小，再根据EA A C EC ''+≥，求出A C '的范围即可．【详解】解析：连接E C 在△A CE '中，可得EA A C EC ''+≥．在Rt EBC ∆中，由勾股定理，得13EC ==．由折叠可知，5EA EA '==，∴8A C '≥故选C ．【点睛】本题主要考查了三角形三边的大小关系及勾股定理，正确掌握三角形三边的大小关系及勾股定理是解题的关键．例11、如图在三角形纸片ABC 中，已知∠ABC =90º，AC =5，BC=4，过点A 作直线l 平行于BC ，折叠三角形纸片ABC ，使直角顶点B 落在直线l 上的点P 处，折痕为MN ，当点P 在直线l 上移动时，折痕的端点M 、N 也随之移动，若限定端点M 、N 分别在AB 、BC 边上（包括端点）移动，则线段AP 长度的最大值与最小值的差为________________．【答案】1【分析】分别找到两个极端,当M 与A 重合时，AP 取最大值，当点N 与C 重合时，AP 取最小，即可求出线段AP 长度的最大值与最小值之差【详解】如图所示，当M 与A 重合时，AP 取最大值，此时标记为P 1，由折叠的性质易得四边形AP 1NB是正方形，在Rt △ABC 中，，∴AP 的最大值为A P 1=AB=3如图所示，当点N 与C 重合时，AP 取最小，过C 点作CD ⊥直线l 于点D ，可得矩形ABCD ，∴CD=AB=3，AD=BC=4，由折叠的性质有PC=BC=4，在Rt △PCD 中，∴AP 的最小值为AD PD=4-线段AP 长度的最大值与最小值之差为(1AP AP=341----故答案为1例12、如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠ABC =45°，D 是BC 边上的一点，BD =2，将△ACD 沿直线AD 翻折，点C 刚好落在AB 边上的点E 处.若P 是直线AD 上的动点，则△PEB 的周长的最小值是________．【答案】2【分析】连接CE，交AD于M，根据折叠和等腰三角形性质得出当P和D重合时，PE+BP的值最小，此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，先求出BC和BE 长，代入求出即可．【详解】如图，连接CE，交AD于M，∵沿AD折叠C和E重合，∴∠ACD=∠AED=90°，AC=AE，∠CAD=∠EAD，∴AD垂直平分CE，即C和E关于AD对称，BD=2，∴，∴当P和D重合时，PE+BP的值最小，即此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，∵∠DEA=90°，∴∠DEB=90°，∵∠ABC=45°，∴∠B=45°，∵，∴，即，∴△PEB 的周长的最小值是．故答案为．【点睛】本题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称-最短路线问题，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出P 点的位置．三、课堂练习1.如图所示，将长方形ABCD 沿DE 折叠，使点C 恰好落在BA 边上，得到点C′，若∠C′EB=40°，求∠EDC′的度数．2.在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，点D 在边AB 上，连接CD ，将△ADC 沿直线CD 翻折，点A 恰好落在BC 边上的点E 处，若AC ＝3，BE ＝1，则DE 的长是_____．【答案】157【分析】过点D 作DHAC ⊥于H ，DF BC ⊥于F ，由折叠的性质可得3AC CE ==，45ACD BCD ∠=∠=︒，由勾股定理可求5AB =，由面积法可求D F 的长，由勾股定理可求D E 的长．【详解】解：如图，过点D 作DHAC ⊥于H ，DF BC ⊥于F ，将ADC ∆沿直线CD 翻折，3AC CE ∴==，45ACD BCD ∠=∠=︒，4BC ∴=，D H AC ⊥ ，DF BC ⊥，45ACD BCD ∠=∠=︒，DF DH ∴=，45DCF FDC ∠=∠=︒，DF CF ∴=，22291625AB AC BC =+=+= ，5AB ∴=，111222ABC S AC BC AC DH BC DF ∆=⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯ ，127DF ∴=，127DF ∴=，127DF CF ∴==，97EF =，157DE ∴===，故答案为：157．3.如图，矩形ABCD 中，AB=8，BC=4，把矩形ABCD 沿过点A 的直线AE 折叠，点D 落在矩形ABCD 内部的点D′处，则CD′的最小值是（）A ．4B ．C ．4-D ．4+【答案】C 【解析】【分析】根据翻折的性质和当点D'在对角线AC 上时CD′最小解答即可．【详解】解：当点D'在对角线AC 上时CD′最小，∵矩形ABCD中，AB=4，BC=2，把矩形ABCD沿过点A的直线AE折叠点D落在矩形ABCD内部的点D处，∴AD=AD'=BC=2，在Rt△ABC中，＝4∴，故选：C．4.如图，在长方形ABCD的边CD上适当选定一点E，沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在边BC上的点F处．已知AB＝6cm，△ABF的面积是24cm2．（1）求BF的长；（2）求AD的长；（3）求点E与点C的距离．【答案】（1）8cm；（2）10cm；（3）83 cm【分析】（1）由在长方形ABCD中，AB＝6cm，△ABF的面积是24cm2，即可求得BF的长；（2）由（1），易得AD＝AF，DE＝EF，即可求得AF的长，然后得出AD的长；（3）首先设EC＝xcm，则EF＝DE＝（6﹣x）cm．由勾股定理得：CE2+CF2＝EF2求出x 的值即可得出答案．【详解】（1）∵ABCD是长方形，∴△ABF是直角三角形，∵△ABF面积是24cm2，∴12AB•BF＝24．∵AB＝6cm，∴BF＝8cm；（2）由题意知，△ADE和△AFE重合，则△ADE≌△AFE，则AD＝AF，DE＝EF．在Rt△ABF中，由勾股定理得10AF===（cm）．则AD＝10cm；（3）∵BC＝AD＝10cm，∴CF＝BC﹣BF＝2cm.设EC ＝xcm ，则EF ＝DE ＝（6﹣x ）cm ．由勾股定理得：CE 2+CF 2＝EF 2，∴x 2+22＝（6﹣x ）2，解得：83x =，∴点E 与点C 间的距离是83cm.【点睛】此题考查长方形的性质、勾股定理、折叠的性质，（3）是此题的难点，根据（2）求出CF ，由折叠得到EF ＝DE ，设EC ＝xcm ，因此利用勾股定理列得关于x 的关系式解出x 的值，由此解答此题.5.在矩形纸片ABCD 中，3AB =，5AD =.如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的'A 处，折痕为PQ ，当点'A 在BC 边上移动时，折痕的端点P ，Q 也随之移动，若限定点P 、Q 分别在线段AB 、A D 边上移动，则点'A 在BC 边上可移动的最大距离为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】根据翻折变换，当点Q 与点D 重合时，点A′到达最左边，当点P 与点B 重合时，点A′到达最右边，所以点A′就在这两个点之间移动，分别求出这两个位置时A′B 的长度，然后两数相减就是最大距离．【详解】解：如图1，当点D 与点Q 重合时，根据翻折对称性可得A’D=AD=5，在Rt △A’CD 中，A’D 2=A’C 2+CD 2，即52=(5-A’B)2+32，解得A’B=1；如图2，当点P与点B重合时，根据翻折对称性可得A’B=AB=3，∵3-1=2，∴点A’在BC边上可移动的最大距离为2．故选B．6.矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E是AB的中点，点F是BC上任意一点，把△EBF沿直线EF翻折，点B落在点P处，则PC的最小值是_______________．【答案】2【详解】连接CE，当点P在CE上时，CP的值最小．CE===∴=-=．CP CE EP2故答案为：2．7.如图，在长方形纸片ABCD 中，3AB =，9AD =，折叠纸片ABCD ，使顶点C 落在边A D 的点G 处，折痕分别交边A D 、BC 于点E 、F ．（1）求证：GEF △是等腰三角形（2）求GEF △面积的最大值．【答案】（1）见解析；（2）152【分析】（1）根据翻折的性质得到EFC EFG ∠=∠，根据//AD BC 得到EFC GEF ∠=∠，从而得到EFG GEF ∠=∠，问题得证；（2）根据GEF △高为AB=3，得到当点G 与点A 重合时，GEF △的面积最大．根据勾股定理求出AF=5，进而得到GE=5，即可求出GEF △的面积．【详解】（1）由翻折得：EFC EFG ∠=∠．∵//AD BC ，∴EFC GEF ∠=∠，∴EFG GEF ∠=∠，∴GE=GF ，∴GEF △是等腰三角形．（2）如图，∵GEF △高为AB=3，∴当GE 最大时GEF △的面积最大，∴当点G 与点A 重合时，GEF △的面积最大．在Rt ABF 中，222AF AB BF =+，∴()22239AF AF =+-，解得：5AF =，∴5GE AF ==，∴GEF △的面积最大值＝1155322=⨯⨯=．四、举一反三1.如图，EF 是正方形两对边中点的连线段，将∠A 沿DK 折叠，使它的顶点A落在EF 上的G 点，求∠DKG 的度数．2.如图，在Rt ABC 中，90,A AB AC ∠=︒==，点,E F 分别是边,AB BC 上的动点，沿EF 所在直线折叠B Ð，使点B 的对应点B ′始终落在边AC 上，若FB C ' 为直角三角形，则BF 的长为__________．【解析】90,A AB AC ∠=︒==，∴∠C=45°，2BC ==，折叠后，要使FB C ' 为直角三角形，则有：FB C ' 也为等腰直角三角形，①当90B FC '∠=︒时，∴45C FB C '∠=∠=︒，此时点B '与点C 重合，∴E 、F 分别是AB 、BC 的中点，∴112BF BC ==，②当90FB C'∠=︒时，∴45C B FC '∠=∠=︒，∴BF FB B C ''==，在Rt B FC '△中，FC F '=，BC=BF+FC ，∴)12BC BF BF =+=+=，解得：2BF =-；故答案为2-或1．3.如图，Rt △ABC 中，AB ＝18，BC ＝12，∠B ＝90°，将△ABC 折叠，使点A 与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为（）A ．8B ．6C ．4D ．104.如图，长方形纸片ABCD ，10AB =，8BC =，点P 在BC 边上，将CDP 沿DP 折叠，点C 落在E 处，PE ，D E 分别交AB 于点O ，F ，且OP OF =，则A F 长为______．【答案】103【分析】根据折叠的性质可得出DC=DE 、CP=EP ，由“AAS”可证△OEF ≌△OBP ，可得出OE=OB 、EF=BP ，设EF=x ，则BP=x 、DF=10-x 、BF=PC=8-x ，进而可得出AF=2+x ，在Rt △DAF 中，利用勾股定理可求出x 的值，即可得AF 的长．【详解】解：∵将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，∴DC=DE=10，CP=EP ．在△OEF 和△OBP 中，90EOF BOP E B OF OP ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△OEF ≌△OBP （AAS ），∴OE=OB ，EF=BP ．设EF=x ，则BP=x ，DF=DE -EF=10-x ，又∵BF=OB+OF=OE+OP=PE=PC ，PC=BC-BP=8-x ，∴AF=AB -BF=2+x ．在Rt △DAF 中，AF 2+AD 2=DF 2，∴（2+x ）2+82=（10-x ）2，∴43x =；∴410233AF =+=．故答案为：103．5.如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，点E 是AD 边上一动点，将△ABE 沿BE 折叠，使点A 的对应点A′恰好落在矩形ABCD 的对角线上，则AE 的长为_______.答案：3924or 6.如图，已知等腰△ABC 中，AB =AC =5，BC =8，E 是BC 上的一个动点，将△ABE 沿着AE 折叠到△ADE 处，再将边AC 折叠到与AD 重合，折痕为AF ，当△DEF 是等腰三角形时，BE 的长是___________．【答案】52或258或74．【分析】分三种情况讨论：DE=DF ，DE=EF ，EF=DF ．利用等腰三角形的性质和全等三角形解题．【详解】解：由折叠可知，BE=DE ，DF=CF ，AD=AB=AC=5，当DE=DF 时，如图1，此时DE=DF=BE=CF ，∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，在△ABE 和△ACF 中，AB AC B C BE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABE ≌△ACF ，∴AE=AF ，∴AD 垂直平分EF ，∴EH=FH ，142BH CH BC ===，∴3AH ===，∴532HD =-=，设BE DE x ==，则4EH x =-，则在直角△DHE 中，()22242x x -+=，解得52x =，当DE=EF 时，如图2，作AH ⊥BC 于H ，连接BD ，延长AE 交BD 于N ，可知BE=DE=EF ，∵AH ⊥BC ，AB=AC ，BC=8∴BH=CH=4，∴3AH ===，设EH m =，则4BE EF m ==-，∴()8242CF m m =--=，即2DF m=∵AB=AD ，∠BAN=∠DAN ，∴AN ⊥BD ，BN=DN ，∴12EN DF m ==，∴EN EH=在△AHE 和△BNE 中，90AHE BNE EH ENAEH BEN ==︒⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠∴△AHE ≌△BNE ，∴AE=BE ，设BE AE x ==，则4EH x =-，在直角△AEH 中，()22243x x -+=，解得258x =，当DF=EF 时，如图3，过A 作AH ⊥BC 于H ，延长AF 交DC 于M，同理258 EF CF==∴252578884 BE=--=故答案为：52或258或74．【点睛】本题考查了折叠问题，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，注意分类讨论是解题的关键．7.如图，等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD平分B A C∠，且AD=8，P，Q分别是AB、AD上的动点，连接BP，PQ，则BP+PQ的最小值为___．【答案】9.6【分析】过C作CQ⊥AB于Q，交AD于P，得到CQ=BP+PQ的最小值，由勾股定理不求得AD=8，再利用等面积法即可求得其值．【详解】∵AB=AC，AD是角平分线，∴AD⊥BC，BD=CD，∴B点，C点关于AD对称，如图，过C作CQ⊥AB于Q，交AD于P，则CQ=BP+PQ的最小值，根据勾股定理得，AD=8，利用等面积法得：AB•CQ=BC•AD，∴CQ=12310BC ADAB⨯==9.6故答案为：9.6．8.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，联结CE．（1）求证：AD∥CE；（2）求CE的长．【答案】（1）见解析；（2）75【分析】（1）由折叠的性质可得DE=BD ，AE=AB ，可证EF=BF ，AD ⊥BE ，由等腰三角形的性质可求∠DBE ＝∠DEB ，∠DEC ＝∠DCE ，由三角形的内角和定理可求CE ⊥BE ，可得结论；（2）由三角形的面积公式可求BF 的长，由勾股定理可求CE 的长．【详解】证明：（1）∵∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，∴BC 5==，∵点D 是BC 的中点，∴AD ＝BD ＝DE ＝52，∵将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ，∴DE ＝BD ，AE ＝AB ，∴AD 垂直平分BE ，∴EF ＝BF ，AD ⊥BE ，∵DE ＝DB ＝CD ，∴∠DBE ＝∠DEB ，∠DEC ＝∠DCE ，∵∠DBE +∠DEB +∠DEC +∠DCE ＝180°，∴∠DEB +∠DEC ＝90°，∴∠BEC ＝90°，∴CE ⊥BE ，∴AD ∥CE ；（2）∵S △ABC ＝12×AC ×AB ＝12×3×4＝6，且CD ＝BD ，∴S △ADB ＝12S △ABC ＝3，∴12AD ×FB ＝3，∴FB ＝125，∴BE ＝245，∴CE 75==．【点睛】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，平行线的判定，三角形的面积公式，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．五、课后练习一、选择题1.如图，在△ABC 中，AB =10，AC =6，BC =8，将△ABC 折叠，使点C 落在AB 边上的点E 处，AD 是折痕，则△BDE 的周长为()A ．6B ．8C ．12D ．14【解析】在Rt △ABC 中，∵AC =6，BC =8，∠C =90°，∴AB ==10，由翻折的性质可知：AE =AC =6，CD =DE ，∴BE =4，∴△BDE 的周长=DE +BD +BE =CD +BD +E =BC +BE =8+4=12．故选：C ．2.如图，将等腰直角三角形ABC （90ABC ∠=︒）沿EF 折叠，使点A 落在BC 边的中点1A 处，6BC =，那么线段AE 的长度为（）A ．5B ．4C ．4.25D ．154【解析】由折叠的性质可得AE=A 1E ，∵△ABC 为等腰直角三角形，BC=6，∴AB=6，∵A 1为BC 的中点，∴A 1B=3，设AE=A 1E=x ，则BE=6-x ，在Rt △A 1BE 中，由勾股定理可得32+（6-x ）2=x 2，解得x=154，故选：D ．3.如图，矩形ABCD ，AB =3，BC =4，点E 是AD 上一点，连接BE ，将△ABE 沿BE 折叠，点A 恰好落在BD 上的点G 处，则AE 的长为（）A ．2B ．52C ．32D ．3【解析】在Rt △ABD 中，AB=3，AD=BC=4，∴BD=5由折叠得，∠BGE=∠A=90°，BG=AB=3，EG=AE ，∴DG=BD-BG=2，DE=AD-AE=4-AE ，在Rt △DEG 中，EG 2+DG 2=DE 2，∴AE 2+4=（4-AE ）2，∴AE=32．故选：C ．4.如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝90°，∠C ＝60°，BC ＝CD ＝8，将四边形ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为EF ，则BE 的长为（）A ．1B ．2CD ．2【解析】作DG ⊥BC ，连接AE ，在Rt △CDG ，∠DCG=60°，得出CG=4，∴DG=4AB=，设BE=x ，则CE=8-x ，根据折叠得AE=CE=8-x ，在Rt △ABE 中，AE 2=AB 2+BE 2，即(8-x)2)2+x 2解得x=1，故选A.5.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边6AC cm =，8BC cm =，现将直角边AC 沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，则CD等于（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【解析】在RT△ABC中，∵AC＝6，BC＝8，∴AB=10，△ADE是由△ACD翻折，∴AC＝AE＝6，EB＝AB−AE＝10−6＝4，设CD＝DE＝x，在RT△DEB中，∵DE2＋EB2＝DB2，∴x2＋42＝（8−x）2∴x＝3，∴CD＝3．故选：B．6.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB＝6，BC ＝9，则BF的长为（）A．4B．C．4.5D．5【解析】∵点C′是AB边的中点，AB＝6，∴BC′＝3，由图形折叠特性知，C′F＝CF＝BC﹣BF＝9﹣BF，在Rt△C′BF中，BF2+BC′2＝C′F2，∴BF2+9＝（9﹣BF）2，解得，BF＝4，故选：A．二、填空题7.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝6，P 为AD 上一动点，把△ABP 沿BP 翻折，使点A 落在点F 处，连接CF ，若BF ＝CF ，则AP 的长为_____．【答案】53【分析】过点F 作EN ∥DC 交BC 于点N ，交AD 于点E ，设AP ＝x ，则PF ＝x ，得出（3﹣x ）2+12＝x 2，解方程即可得解．【详解】解：过点F 作EN ∥DC 交BC 于点N ，交AD 于点E ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠D ＝∠DCB ＝90°，∴FN ⊥BC ，FE ⊥AD ，∵BF ＝CF ，BC ＝6，∴CN ＝BN ＝3，由折叠的性质可知，AB ＝BF ＝5，AP ＝PF ，∴4FN ==，∴EF ＝EN ﹣FN ＝5﹣4＝1，设AP ＝x ，则PF ＝x ，∵PE 2+EF 2＝PF 2，∴（3﹣x ）2+12＝x 2，解得，53x =，故答案为：53．【点睛】本题主要考查了折叠变换的性质、等腰三角形的性质、矩形的性质、勾股定理的综合运用；熟练掌握折叠变换的性质、勾股定理是关键．8.如图，三角形纸片ABC 中，∠ACB =90 ，BC =6，AB =10．在AC 边上取一点E ，以BE 为折痕，使AB 的一部分与BC 重合，A 与BC 延长线上的点D 重合，则CE 的长为________．【答案】3【分析】根据折叠得，BD＝AB＝10，EA＝ED，求出CD＝4，在直角三角形CDE中，设未知数，利用勾股定理列方程求解即可．【详解】∵∠ACB=90 ，BC=6，AB=10∴8=由折叠得，BD＝AB＝10，EA＝ED，设CE＝x，则EA＝ED＝8−x，在Rt△DCE中，CD＝10−6＝4，由勾股定理得，x2＋42＝（8−x）2，解得，x＝3故填：3．9.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在射线BC上运动，AD=AB=1，则△ADE的周长最小值为______.【答案】1+【分析】作D点关于BC的对称点D’,连接AD’与BC的交点即为E点，此时△ADE的周长为AD+AE+DE=AD+AD’,故可求解.【详解】作D点关于BC的对称点D’,连接AD’与BC的交点即为E点，此时△ADE的周长最小，即△ADE的周长AD+AE+DE=AD+AD’,∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=AB=1∴四边形ABFD为正方形，∴AD+AD’=1+1+1+.10.如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE 折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为___________．【答案】12-或1．【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=1，可计算出-1，设BE=x，则EB′=x，CE=2-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形．【详解】解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如图1所示．连结AC，在Rt△ABC中，AB=1，BC=2，∴=∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，∴∠AB′E=∠B=90°，当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，∴EB=EB′，AB=AB′=1，∴CB′=1-，设BE=x，则EB′=x，CE=2-x，在Rt△CEB′中，∵EB′2+CB′2=CE2，∴x2+1-）2=（2-x）2，解得x=51 2-，∴BE=1 2；②当点B′落在AD边上时，如图2所示．此时ABEB′为正方形，∴BE=AB=1．故答案为：12-或1．11.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，点D是BC边上的点，AB=18，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则BP+EP的最小值是____．【答案】9【分析】根据翻折变换的性质可得点C、E关于AD对称，再根据轴对称确定最短路线问题，BC与AD的交点D即为使PB+PE的最小值的点P的位置，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠BAC=60°，再求出∠CAD=30°，然后解直角三角形求解即可．【详解】∵将△ACD沿直线AD翻折，点C落在AB边上的点E处，∴点C、E关于AD对称，∴点D即为使PB+PE的最小值的点P的位置，PB+PE=BC，∵∠C=90°，∠BAC=30°，∴BC=12AB，∴BC=9．∴PB+PE的最小值为9.故答案为9．12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠A=60°，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是_________．【答案】．【分析】延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．运用勾股定理求解.【详解】解:如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．∵AC=6，CF=2，∴AF=AC-CF=4，∵∠A=60°，∠AMF=90°，∴∠AFM=30°，∴AM=12AF=2，∴，∵FP=FC=2，∴-2，∴点P到边AB距离的最小值是-2．故答案为:．【点睛】本题考查了翻折变换，涉及到的知识点有直角三角形两锐角互余、勾股定理等，解题的关键是确定出点P 的位置.12．如图，折叠矩形纸片ABCD ，使B 点落在A D 上一点E 处，折痕FG 的两端点分别在AB BC 、上(含端点)，且6,10AB BC ==．则AE 的最大值是_____，最小值是_______．【答案】6；2．【分析】点G 在AB 边上，点F 在BC 边上．分别利用当点F 与点C 重合时，以及当点G 与点A 重合时，求出AE 的极值进而得出答案：【详解】解：如图，设AE 的长度为,x 当点F 与点C 重合时，根据翻折对称性可得10,EC BC ==在Rt CDE ∆中，222,CE CD ED =+即()22210106AE =-+，解得2,AE =即2,x =如图，当点G 与点A 重合时，根据翻折对称性可得6,AE AB ==即6x =；所以AE 的最大值是6,最小值为2.故答案是：6,2．三、解答题13.如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=10，E 为CD 边上一点，将△ADE 沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处．（1）求BF 的长；（2）求CE的长．【答案】（1）BF长为6；（2）CE长为3，详细过程见解析．【分析】（1）由矩形的性质及翻折可知，∠B=90°，AF=AD=10，且AB=8，在Rt△ABF中，可由勾股定理求出BF的长；（2）设CE=x，根据翻折可知，EF=DE=8-x，由（1）可知BF=6，则CF=4，在Rt△CEF中，可由勾股定理求出CE的长．【详解】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴∠B=90°，且AD=BC=10，又∵ AFE是由 ADE沿AE翻折得到的，∴AF=AD=10，又∵AB=8，在Rt△ABF中，由勾股定理得：，故BF的长为6．（2）设CE=x，∵四边形ABCD为矩形，∴CD=AB=8，∠C=90°，DE=CD-CE=8-x，又∵△AFE是由△ADE沿AE翻折得到的，∴FE=DE=8-x，由（1）知：BF=6，故CF=BC-BF=10-6=4，CF+CE=EF，在Rt△CEF中，由勾股定理得：2224+x=(8-x)，解得：x=3，∴222故CE的长为3．14.如图，在△ABC中，∠C＝90°，把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合．(1)若∠A＝35°，则∠CBD的度数为________；(2)若AC＝8，BC＝6，求AD的长；(3)当AB＝m(m>0)，△ABC的面积为m＋1时，求△BCD的周长．(用含m的代数式表示)【答案】（1）∠CBD=20°；（2）AD=164；(3)△BCD 的周长为m+2【分析】（1）根据折叠可得∠1=∠A=35°，根据三角形内角和定理可以计算出∠ABC=55°，进而得到∠CBD=20°；（2）根据折叠可得AD=DB ，设CD=x ，则AD=BD=8-x ，再在Rt △CDB 中利用勾股定理可得x 2+62=（8-x ）2，再解方程可得x 的值，进而得到AD 的长；（3）根据三角形ACB 的面积可得112AC CB m =+ ，进而得到AC•BC=2m+2，再在Rt △CAB 中，CA 2+CB 2=BA 2，再把左边配成完全平方可得CA+CB 的长，进而得到△BCD 的周长．【详解】（1）∵把△ABC 沿直线DE 折叠，使△ADE 与△BDE 重合，∴∠1=∠A=35°，∵∠C=90°，∴∠ABC=180°-90°-35°=55°，∴∠2=55°-35°=20°，即∠CBD=20°；（2）∵把△ABC 沿直线DE 折叠，使△ADE 与△BDE 重合，∴AD=DB ，设CD=x ，则AD=BD=8-x ，在Rt △CDB 中，CD 2+CB 2=BD 2，x 2+62=（8-x ）2，解得：x=74，AD=8-74=164；（3）∵△ABC的面积为m+1，∴12AC•BC=m+1，∴AC•BC=2m+2，∵在Rt△CAB中，CA2+CB2=BA2，∴CA2+CB2+2AC•BC=BA2+2AC•BC，∴（CA+BC）2=m2+4m+4=（m+2）2，∴CA+CB=m+2，∵AD=DB，∴CD+DB+BC=m+2．即△BCD的周长为m+2．15.如图，长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，在边CD上取一点E，将△ADE折叠后点D恰好落在BC边上的点F处（1）求CE的长；（2）在（1）的条件下，BC边上是否存在一点P，使得PA+PE值最小？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由．【答案】（1）3；（2．【分析】（1）先判断出AF=AD=8，进而利用勾股定理求出BF=6，最后在Rt△ECF，利用勾股定理，即可得出结论；（2）先作出点E关于BC的对称点E，进而求出DE'，再利用勾股定理即可得出结论．【详解】解：（1）长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，∴∠B＝∠BCD＝90°，CD＝AB＝8，AD＝BC＝10，由折叠知，EF＝DE，AF＝AD＝8，在Rt△ABF中，根据勾股定理得，BF6，∴CF＝BC﹣BF＝4，设CE＝x，则EF＝DE＝CD﹣CE＝8﹣x，在Rt△ECF中，根据勾股定理得，CF2+CE2＝EF2，∴16+x2＝（8﹣x）2，∴x＝3，∴CE＝3；（2）如图，延长EC 至E '使CE '＝CE ＝3，连接AE '交BC 于P ，此时，PA +PE 最小，最小值为AE '，∵CD ＝8，∴DE '＝CD +CE '＝8+3＝11，在Rt △ADE '中，根据勾股定理得，AE '．16.如图，在矩形ABCD 中，2,AB AD m ==，动点P 从点D 出发，沿射线DA 以每秒1个单位的速度向点A 方向运动，连接CP ，把PDC △沿PC 翻折，得到PEC V ．设点P 的运动时间为()t s ．（1）若3m =，当P E B 、、三点在同一直线上时，求t 的值；（2）若点E 到直线BC 的距离等于1，求t 的值；（3）若AE 的最小值为1，直接写出m 的值．【答案】（1）t=3（2）t=；（3）m=【分析】（1）如图1中，设PD=t ．则PA=3-t ．首先证明BP=BC=6，在Rt △ABP 中利用勾股定理即可解决问题；（2）通过添加辅助线，构造直角三角形再解决问题；（3）当点A,点E ，点C 在同一条直线上时，AE 最短，利用勾股定理求值即可．【详解】解：（1）如图1中，设PD=t ．则PA=3-t∵P 、B 、E 共线，∴∠BPC=∠DPC ，∵AD ∥BC ，∴∠DPC=∠PCB ，∴∠BPC=∠PCB ，∴BP=BC=3，在Rt △ABP 中，∵AB 2+AP 2=BP 2，∴22+（3-t ）2=32，∴t=3（舍去）或∴当t=3P E B 、、三点在同一直线上．（2）过点E 作MN ⊥BC ，交AD 于点M∵四边形ABCD 是矩形，MN ⊥BC∴MN ⊥AD∵点E 到直线BC 的距离等于1∴EN=1∵MN=AB=2,EC=CD=2,∴EN=MN-EN=2-1=1∴在Rt △ENC 中，∴MD=∵由题意得：-t,ME=MN-EN=2-1=1,EP=PD=t∴在Rt △MPE 中，222=ME MP PE +即：)2221=t +，解得：（3）如图，当点A,点E ，点C 在同一条直线上时，AE 最短．由题意得：AE=1，EC=CD=AB=2∴在Rt△ABC中，BC=∴．【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理，学会构造图形思考问题是解答此题的关键，属于中考压轴题．。
《勾股定理》典型例题折叠问题
《勾股定理》典型例题折叠问题1、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边A Ｃ＝６,ＢＣ＝8，将△AB Ｃ折叠，使点B 与点A 重合,折痕为DE,则CD 等于( ）A. 425B. 322C. 47D ． 352、如图所示,已知△A ＢＣ中,∠C=9０°,ＡB 的垂直平分线交ＢC •于Ｍ,交AB 于N,若AC ＝4，MB=2M Ｃ,求ＡB 的长．3、折叠矩形AB ＣD 的一边ＡＤ,点D 落在BC 边上的点F 处,已知A Ｂ=8ＣＭ,BC=1０C Ｍ,求C Ｆ 和EC 。
4、如图，在长方形ＡBCD 中，DC=5,在DC 边上存在一点E,沿直线A Ｅ把△ＡBC 折叠，使点D 恰好在BC 边上，设此点为F ，若△ABF 的面积为30,求折叠的△AE Ｄ的面积B CEDDCBAF E5、如图,矩形纸片ABCD 的长AD ＝9㎝，宽ＡＢ＝3㎝,将其折叠，使点Ｄ与点Ｂ重合，那么折叠后DE 的长是多少?6、如图,在长方形ＡB ＣＤ中,将∆ABC 沿AC 对折至∆ＡEC 位置，C Ｅ与AD 交于点F 。
（1）试说明：AF=FC ；（2)如果ＡＢ=3,B Ｃ=４,求A Ｆ的长7、如图2所示,将长方形ABCD 沿直线A Ｅ折叠,顶点Ｄ正好落在B Ｃ边上Ｆ点处,已知CE=3cm ，AB ＝8ｃｍ,则图中阴影部分面积为_______．8、如图２-3，把矩形ABＣD沿直线BD向上折叠,使点Ｃ落在C′的位置上,已知ＡB=•3,BC=7,重合部分△EＢＤ的面积为___＿＿_＿_.9、如图５,将正方形AＢCD折叠,使顶点A与ＣD边上的点M重合，折痕交ＡD于Ｅ,交BC于Ｆ，边AＢ折叠后与BC边交于点Ｇ。
如果Ｍ为CD边的中点,求证:DE：DM：EM=3:４:５。
１0、如图2-5,长方形ＡBＣＤ中，ＡB=3,BC＝4,若将该矩形折叠，使C点与A点重合，•则折叠后痕迹ＥＦ的长为（ )A．3．74 B．３.75 C．3.7６ D．３.7７2-511、如图1-３-11，有一块塑料矩形模板ABCＤ，长为10cｍ,宽为4cｍ，将你手中足够大的直角三角板ＰHＦ的直角顶点Ｐ落在AD边上(不与A、D重合）,在AD上适当移动三角板顶点P：①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点Ｃ？若能，请你求出这时ＡP 的长；若不能，请说明理由.②再次移动三角板位置,使三角板顶点P在AＤ上移动,直角边ＰH 始终通过点B,另一直角边PＦ与DC的延长线交于点Q,与BC交于点E，能否使CE＝２cm?若能，请你求出这时AP 的长;若不能,请你说明理由．１2、如图所示，△ABC是等腰直角三角形,AB＝AC，D是斜边ＢC的中点，E、Ｆ分别是AB、AC边上的点,且DE⊥DF，若BE=12，CF=５．求线段ＥＦ的长。
培优专题11 勾股定理与折叠问题
（2）设 AE ＝ a ， ED ＝ b ， DC ＝ c .请写出一个 a ， b ， c 三者之间的数量关系式.
◉答案 解：（2） a ， b ， c 三者之间的数量关系式为 a2＝ b2＋ c2.理
由：由（1）得 CE ＝ AE . 因为四边形 ABCD 是长方形，所以∠ D ＝
A. 1cm
A ）
B. 1.5cm
C. 2cm
D. 3cm
第1题图
2. （烟台莱州期中）如图，Rt△ ABC 中， AB ＝9， BC ＝6，∠ B ＝90°，将△
ABC 折叠，使 A 点与 BC 的中点 D 重合，折痕为 MN ，则线段 BN 的长为 4
第2题图
.
3. 如图，在边长为6的正方形 ABCD 中， E 是边 CD 的中点，将△ ADE 沿 AE 对折至
90°.因为 AE ＝ a ， ED ＝ b ， DC ＝ c ，所以 CE ＝ AE ＝ a .在Rt△
DCE 中， CE2＝ ED2＋ DC2，所以 a ， b ， c 三者之间的数量关系式
为 a2＝ b2＋ c2.
FG ＝ x ，则 GC ＝6－ x .因为 E 为 CD 的中点，所以 CE ＝ DE ＝ EF
＝3，所以 EG ＝3＋ x .在Rt△ CEG 中，32＋（6－ x ）2＝（3＋ x ）2，
解得 x ＝2，所以 BG 的长为2.
类型二：巧用折叠求图形面积
4. （威海文登区期中）如图，在四边形 ABCD 中，∠ A ＝90°， AB ＝4cm， AD ＝
第三章 勾股定理
培 优 专 题 11 ： 勾 股 定 理 与 折 叠 问 题
类型一：巧用折叠求线段长
北师大版八年级数学上学期压轴题攻略专题01 勾股定理与折叠问题两种考法全梳理(解析版)
专题01勾股定理与折叠问题两种考法全梳理目录【方法归纳】 (1)【考法一、三角形翻折问题】 (1)【考法二、四边形翻折问题】 (8)【课后练习】 (15)【方法归纳】1.折叠的基本性质：翻折前后对应的边与角相等；2.对于翻折都不确定的情况，注意分类讨论，避免漏掉解；3.方程思想：灵活设未知数，通过勾股定理建立方程，解出答案【考法一、三角形翻折问题】例．如图，Rt ABC △纸片中，90,6,8C AC BC ∠=︒==，点D 在边BC 上，以AD 为折痕ABD△折叠得到,AB D AB ''△与边BC 交于点E ．若DEB '△为直角三角形，则BD 的长是（）A ．2B ．3C ．5D ．2或5【答案】D 【分析】根据勾股定理求得AB 的长，由翻折的性质可知：10AB '=，DB DB '=，然后分90B DE '∠=︒和90B ED '∠=︒，两种情况画出图形求解即可．【详解】解：∵Rt ABC △纸片中，90,6,8C AC BC ∠=︒==，∴10AB =，∵以AD 为折痕ABD △折叠得到AB D 'V ，∴BD DB '=，10AB AB '==．如图1所示：当90B DE '∠=︒时，过点B 作B F AF '⊥，垂足为F ．则四边形CDB F '是矩形，∴,CD FB CF B D ''==．设BD DB x '==，则6AF =+在Rt AFB '△中，由勾股定理得：222B A AF B F ''=+，即()6x +解得：12x =，20x =（舍去）∴2BD =．如图2所示：当90B ED '∠=︒∵10AB AB '==，6AC =，∴设BD DB y '==，则8CD =-在Rt BDE △中，22B D DE '=+解得：5y =．∴5BD =．综上所述，BD 的长为2或5．故选D ．△ECD ，连接BE ，则线段BE 的长等于（）A ．5B ．75C ．145D ．365【答案】C 【分析】根据勾股定理及直角三角形的中线、翻折得CD=DE=BD=5，CE=AC=6，作DH ⊥BE 于H ，EG ⊥CD 于G ，证明△DHE ≌△EGD ，利用勾股定理求出75EH DG ==，即可得到BE.【详解】∵∠BCA=90∘，AC=6，BC=8，∴22226810AB AC BC =+=+=，∵D 是AB 的中点，∴AD=BD=CD=5，由翻折得：DE=AD=5，∠EDC=∠ADC ，CE=AC=6，∴BD=DE ，作DH ⊥BE 于H ，EG ⊥CD 于G ，∴∠DHE=∠EGD=90︒，∠EDH=12∠BDE=12（180︒-2∠EDC ）=90︒-∠EDC ，∴∠DEB=90︒-∠EDH=90︒-(90︒-∠EDC)=∠EDC ，∵DE=DE ，∴△DHE ≌△EGD ，∴DH=EG ，EH=DG ，设DG=x ，则CG=5-x ，∵2EG =2222DE DG CE CG -=-，∴222256(5)x x -=--，∴75x =，∴75EH DG ==，∴BE=2EH=145，故选：C.【点睛】此题考查翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，将求BE 转换为求其一半的长度的想法是关键，由此作垂线，证明△DHE ≌△EGD ，由此求出BE 的长度.变式2．如图，在等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，AB =P 是边BC 上任意一点，连接AP ，将ABP 沿AP 翻折，点B 的对应点为B '，当APB ' 有一边与BC 垂直时，BP 的长为．在等腰直角三角形ABC 中，BAC ∠∴12212BC AB AQ BC ====，设BP x =，则B P x '=，1PQ =-∵将ABP 沿AP 翻折，∴2AB AB '==，45B '∠=︒，此时，112BP BC==；当B P BC'⊥时，如图，此时，点A，B，B'在同一直线上，综上，当APB'有一边与BC垂直时，故答案为：22-或1或2．变式3．如图，在ABC中，∠BC上任意一点，若将CDP△沿DP折叠得EDP△，若点E在ABC的中位线上，则CP的长度为．当E 在DM 上时，由折叠可知，CP PE =2ME DM DE =-=，在Rt PEM △中，PM 222PM ME PC ∴=+，当E 点落在DN 上时，由折叠可知，DE ∴四边形CDEP 是正方形3PC DE ∴==③如图，设BC 、∴点D 到MN 的距离为CM的三等分点B'处，求CE的长．【考法二、四边形翻折问题】例．在长方形ABCD 中，5AB =，12BC =，点E 是边AD 上的一个动点，把BAE 沿BE 折叠，点A 落在A '处，当A DE ' 为直角三角形时，DE 的长为（）A ．7B ．263C ．7或263D ．以上答案均不对设AE x =，由翻折的性质得：ED AD AE ∴=-=A D BD A B ∴=-'='综上，DE 的长为故选：C ．变式1．如图，已知矩形纸片P 点，将纸片沿直线BP 折叠，点A 落到A '处，设AP x =，当点A '恰好在矩形纸片的对称轴上时，则x 的值为．连接AA '，∴AA BA ''=，又AB BA '=，∴ABA '△是等边三角形，∴30BA M AA M ''∠=∠=︒，30ABP A BP '∴∠=∠=︒，在Rt A BF '△中，226425A F '=-=，在Rt A PE '△中，222A P PE A E ''=+ ，()222(4)625x x ∴=-+-，935x ∴=-③如图3中，当点A '在BC 的下方时，同法可得：()222(4)625x x =-++，935x ∴=+，故答案为：23或935+或935-．变式2．如图，长方形纸片ABCD ，AB 叠，点C 落在E 处，PE ，DE 分别交AB 于点O ，F ，且OP OF =，则AF 长为．，得到中，利用勾股定理进将ADE V 沿AE 折叠得到D AE ' ，连接D B '，若ABD '△为直角三角形，则AE =-△的位置，当点B落在CD边(1)若P为边BC上一点，如图①将ABP沿直线AP翻折至AEP上点E处时，求PB的长；△沿AQ翻折，点D恰好落在直线BQ上(2)如图②，点Q为射线DC上的一个动点，将ADQ的点D'处，求DQ的长．设DQ x =，则10QC =根据图形折叠的性质可知QD D Q x ='=，AD '=在Rt ABD ' 中根据图形折叠的性质可知DQA ∠∵AB CD ∥，∴DQA QAB ∠=∠．∴D QA QAB '∠=∠．∴10AB BQ ==．在Rt BCQ △中【课后练习】1．如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B '处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段DF 的长为（）AB C ．85D ．65沿直线AD 翻折得到ADE V ，线段AE 交直线CB 于点F ．若DEF 为直角三角形，则BD 的长是．则四边形DCGE 为长方形，∴,EG CD CG DE BD ===，∴4EF AE AC =-=，设BD x =，则：8CD x =-，由勾股定理，得：(2248x =+-解得：5x =；∴5BD =，线DE 翻折ADE V ，点A 落在BC 边上，记为点F ，如果2CF =，则BE 的长为．2∵90C AC BC ∠=︒==，∴62AB =，62BF =-∴222FG GB BF ===∴62AG AB BG =-=-设AE x =，则EF x =，在Rt EGF 中，2EG FG +即()()224222x x -+=解得522x =，∴62BE AB AE =-=-D 为边AB 上一点，连接DE ，将ADE V 沿DE 折叠得到A DE ' ，若EA '的延长线恰好经过点B ，则AD =．∵1CE =，∴3AE AC CE =-=，在Rt ABE △中，90A ∠=︒，∴222BE AB AE =+，形的长BC 为8，宽AB 为4，则阴影部分的面积为．设DE GE x ==，则8AE = 在Rt AEG △中，2AG GE +2224(8)x x ∴+=-，解得3x =，3DE ∴=，5AE =；ABC 沿AC 翻折，使点B 落点D 处，连接DE ，求DE 的长．【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．连接，由勾股定理求出 将ABC 沿AC 翻折，使点,,AB AD BC CD BF DF ===∴BF DF ∴=，90BFC ∠=︒，4AB = ，3BC =，22243AC AB BC ∴=+=+设CF x =，则5AF x =-，7．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，D 是AB 上的一点，连接CD ．将ACD 沿CD 折叠，使点A 落在A '处，且A C 'AB ⊥于点E ，若6CD =，5BD =．则线段CE 的长为．∴132DF FC DC===∴4BF=，∵1122BCDS BD EC DC BF =⨯=⨯∴642455 DC BFECBD⨯⨯===24△ACD沿AD翻折得到△AED，连接BE，则BE的长为．∵等腰△ABC，AB=AC=5，在AB 上的点D 处，再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B '处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E ，F ，则B DF ' 的面积为．10．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，P 为斜边AB 上的一动点（不包含A ，B 两端点），以CP 为对称轴将ACP △翻折得到A CP ' ，连结BA '．当A P AB '⊥时，BA '的长为．由折叠性质可知12∠=∠，PA 又1290A PA '∠=∠+∠=︒145∠=∠2=︒∴，又2390∠+∠=︒ ，【初步感知】(1)如图1，在三角形纸片ABC 中，90C ∠=︒，18AC =，将A ∠沿DE 折叠，使点A 与点B 重合，折痕和AC 交于点E ，5EC =，求BC 的长；【深入探究】(2)如图2，将长方形纸片ABCD 沿着对角线BD 折叠，使点C 落在C '处，BC '交AD 于E ，若4AB =，8BC =，求AE 的长(注：长方形的对边平行且相等)；【拓展延伸】(3)如图3，在长方形纸片ABCD 中，5AB =，8BC =，点E 为射线AD 上一个动点，把ABE 沿直线BE 折叠，当点A 的对应点F 刚好落在线段BC 的垂直平分线上时，求AE 的长(注：长方形的对边平行且相等)．142AN AD ∴==，BM 由折叠的性质得：BF =在Rt BFN △中，由勾股定理得：53FN MN FM ∴=-=-由折叠的性质得：BF BA =同①得：3FM =，FN ∴=设AE FE a ==，则EN a =-在Rt ENF △中，由勾股定理得：即AE 的长为10；综上所述，点【点评】本题是四边形综合题，考查了长方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾。
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专题：勾股定理在折叠问题中应用
.知识要点
(1) 折叠的规律是，折叠部分的图形，折叠前后，关于折痕成轴对称，两图形全等
(2) 利用线段关系和勾股定理，运用方程思想进行计算.
二典例解析
(一)三角形的折叠
1. 如图，Rt/ABC中，/ C=90，AC=6 AB=10 D为BC上一点，将AC沿AD折叠，使点C落
在AB上，求CD的长
2. 如图，Rt/ABC中，/ C=90，D为AB上一点，将/ ABC沿DE折叠，使点B与点A重合,
①若AC=4 BC=8求CE的长
②若AC=24 BC=32求折痕DE的长
D
C E
（二）矩形的折叠
1. 如图，折叠矩形纸片ABCD先折出折痕（对角线）BD再折叠，使AD落在对角线BD上,
得折痕DG 若AB = 2，BC = 1，求AG
2. 如图，折叠长方形的一边AD,点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm BC=10cm 求EC的长.
变式：如图.在直角坐标系中，矩形ABC0的边0A在x轴上，边0C在y轴上，点B的坐标为（1, 3），将矩形沿对角线AC 翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E.那么点D的坐标为 ______________
3. 如图，矩形纸片ABCD AB=4cm BC=8cm现将A C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF
①求DF的长；
②求重叠部分△ AEF的面积;
③求折痕EF的长.
B
E
（三）正方形的折叠
1•将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN ①求线段CN的长；
②求AM
③求折痕MN的长
MN折叠，使点B落在CD边上变式：如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿
的B处，点A对应点为A，且BC 3，则AM的长是 ________________。